自相关函数3

利用模型对yt做短期预测
AR(p)模型
AR(p)模型是回归模型的一种形式,其一般形 式为: Yt = α + ρ1Yt 1 + ... + ρ pYt p + et , AR(p)模型的性质与AR(1)模型相类似. 另一种表达方式是用差分形式: Yt = α + θYt 1 + γ 1Yt 1 + ... + γ p 1Yt p +1 + et .
Yt = + α1Yt 1 + + α pYt p + β 0et + β1et 1 + + β q et q
– 式中e为相同独立分布随机变量,其均值为 0,方差为σ2 . – 在应用工作中,习惯上假定e为正态分布变 量.
AR,MA和ARMA模型
一元时间序列分析常用的方法
– 自回Fra Baidu bibliotek模型(AR):反映经济变量的当前 值与其过去值的关系 – 移动平均模型(MA):反映经济变量当前 值与当前及过去误差项的关系 – 两者结合的模型(ARMA)
利用AR模型做预测
以AR(2)模型为例
– 做预测时要利用当期和前期的观察值(Yt和Yt-1). – 利用估计得到的AR(2)模型系数可以做滚动预测, 即利用已经得到的预测值继续往前推.
该模型可以预测未来的无限时期. 然而,我们应认识到未来的经济运行模式可 能不同于历史上出现的模式. 在应用工作中,此类模型多用于短期预测, 并可以不断利用新获得的数据更新参数. 该法也常用于联立方程组模型对外生变量做 预测.
– 如果AC函数以几何速率下降,PAC函数在一期后 接近0,那么应选择AR(1). – 如果AC函数在一期后接近0,而PAC函数以几何 速率下降,那么应选择MA(1).
利用EVIEWS估计ARMA模型
在EVIEWS软件中估计ARMA模型使用 与OLS方法相同的步骤:
– Quick → Estimate equation – 在窗口中输入因变量,自变量为AR(p)或/ 和MA(q),以ARMA(1,2)为例:
AR模型OLS估计量的性质
考虑以下的AR模型
– AR(1)模型 Yt = + ρ1Yt 1 + et – AR(P)模型 Yt = + ρ1Yt 1 + … + ρ pYt p + et
AR模型等号右边总是有一个或多个滞后的因 变量. 此时利用OLS方法估计的参数不具有BLUE 性质,但仍具有渐近一致性.
– 此时报告的t统计值是正确的,但相应的概率p是错误的.
Dickey-Fuller检验利用估计上述方程得到的θ的t统计 值,但所使用的临界值不同. Eviews分别报告显著性水平为1%,5%和10%时的 临界值.
单元根检验
我们可以增加yt 的p期滞后,以反映更复杂的动态 过程. 我们仍需要计算得到θ的t统计值,但直接利用估计 AR(p)模型得到的θ的t统计检验结果来判断是否应接 受θ=0可能出现错误. 此时应采用ADF检验(augmented Dickey-Fuller test), 其所使用的临界值同一期滞后的情况.
选择AR模型的滞后期
如何选择AR模型的滞后期
– 利用偏自回归函数(Partial Autocorrelation Function ) – 偏自回归函数相关是在将早期滞后对yt的 影响保持不变的前提下,变量的当前值与 其过去值相关系数的序列. – 可以根据PAF(j) = 0发生的时间j选择AR(p) 模型,j > p.
单元根检验
考虑AR(1)过程yt = α + ρyt-1 + et 虚假设: H0: ρ = 1 (假定存在一个单元根). 定义θ = ρ – 1,从方程两边减去yt-1 得到
– yt = α + θyt-1 + et
然而,由于所涉及的时间序列是一个I(1) 过程,直接 用与θ对应的t统计值做检验是不合适的.
时间序列分析 (Time Series Analysis)
时间序列分析通常并不需要建立在经济学模 型所体现的经济关系基础之上; 从方法学角度看,时间序列分析主要基于统 计学,而不是经济学; 时间序列模型通常适用于做短期预测,即统 计序列过去的变化模式尚未发生根本变化的 期间; 长期预测则需要建立在经济行为基础之上.
– 当t值大于临界值时,拒绝有单元根的虚假设.
使用滞后项的目的是清除任何可能的序列相关,因而 若滞后期过短,检验结果可能不正确.
检验有趋势的单元根
如果一个序列表现出明显的趋势,那么 我们需要调整序列,否则会错误地将趋 势平稳序列当作有单元根的序列. 这种调整可以通过在模型中增加一个时 间趋势变量来实现. 此时的单元根检验仍利用估计参数θ的t 统计值,但Dickey-Fuller检验的临界值 发生变化.
样本区间外评判标准 (Out-of-Sample Criteria)
计算平均平方误的根(root mean square error ):
1 2 RMSE = m ∑ en+ h+1 h =0
m 1
12
该指标越小,模型的预测能力越强.
利用一元时间序列模型做预测
在必要时扩展样本区间
– Expand 起始时间 终止时间 – 注意:起始时间不得迟于原样本起始时间,终止 时间不得早于原样本终止时间
时间序列模型
一些研究(如Nelson, 1972;Ashley, 1987)发现,简单的时间序列模型常常 能够比复杂的联立方程组模型更好地预 测宏观经济发展. 时间序列模型在上世纪80年代中期后得 到快速发展.
一元时间序列模型 (Univariate model)
一元时间序列模型是利用单一变量的历 史值和当前及过去的随机误差项对该变 量自身变化前景进行预测的方法.
建立GDP与总消费关系模型
– CONSt=α0+ α1GDPt+ut – DCONSt=β0+ β1DGDPt+vt
利用1978-2000年的总消费时间序列估计 AR(p)模型或MA(q)模型 分别利用两种类型的模型对2001-2002年的 居民消费做推断,比较结果并做出评价.
�
选择AR模型的滞后期
对于有确定性时间趋势的AR(p)模型,确定其 滞后期数可以按以下思路:
– 利用常规检验方法,确定是否该包括时间趋势变 量; – 由AR(p)模型开始,看最后一期滞后的系数γp是否 具有统计显著性; – 如果不显著,则估计AR(p-1)模型,看γp-1是否具有 统计显著性; – 按此方法排除,直到最后一项滞后具有显著系数 为止.
有确定性时间趋势的AR(p)模型
对有确定性时间趋势的AR(p)模型做分 析时,人们常采用以下的差分形式:
Yt = α + θYt 1 + γ 1Yt 1 + ... + γ p Yt p+1 + δt + et .
这样做的理由是:
– 对于此模型,很容易检验是否存在单元根 (当θ=0时存在单元根) – 减少多重共线
第十一章 时间序列模型(二)
本章内容
单元根检验 一元时间序列分析 长期记忆模型
非平稳时间序列
多数现实经济为非平稳时间序列 直接使用这样的时间序列数据估计模型 会引起虚假回归问题 因而在建立模型前有必要检验时间序列 数据的性质 单元根检验是一种常用的方法 如果某时间序列有一个单元根,那么通 过一阶差分可以将其转变为平稳序列.
( yt y )2 ∑
t =1
T
自回归移动平均模型(ARMR)
举例说,一个ARMA(1,2)模型有一期自回归 滞后和两期 移动平均滞后. 其表达形式如:
yt = δ + θ1yt-1 + et + β1et-1 + β2 et-2
ARIMA模型
考虑ARIMA(p,d,q)模型 一个ARIMA(p,d,q)模型代表一个I(d)变量经过 d次差分后所做的AR(p)和MA(q)模型. ARIMA模型的滞后期选择通过观察AC和PAC 函数确定.一般而言:
MA(q)模型
一般形式的MA(q)模型可以表示为 Yt = + β 0et + β1et 1 + ... + β q et q . 通常假定β0=0 MA(q)模型也不存在非平稳问题. 当MA过程为yt = + et + β1et-1时,利用OLS 方法做估计是求下式的最小值:
S(,β1) = ∑ et = t=1 t - - β1et-1) ∑(y
– 这种模型设定形式可以减少多重共线性
如果一个时间序列有一个单元根,那么在回 归模型中可以仅包括Y.
有确定性时间趋势的AR(1)模型
有确定性时间趋势的AR(1)模型形式为: Yt = α + ρYt 1 + δt + et .
– 等号右侧第三项反映一种确定性时间趋势
有单元根的序列则体现了一个"随机时间趋 势" 即使在ρ的绝对值小于1的情况下(即平稳序 列),含有确定性时间趋势的序列,其表现 行为类似于有单元根的序列.
习惯上用AR(p),MA(q)或ARMA(p,q) 来表示对应的滞后时期.
Box-Jenkins方法
模型识别
– 首先对时间序列做消除趋势的处理 – 观察样本的AC函数和PAC函数,在此基础上就滞 后期数做出判断 – 用线性或非线性最小二乘法估计模型 – 借助于各种信息标准(Akaike, Schwarz, PIC,..)和 统计检验指标(t, F, Wald..)来支持所做的选择 – 检验残差项是否符合随机性要求
自相关函数(AC)
自相关函数是因变量当前值与其滞后k期的值 之间的相关系数. AC函数的理论公式为: T ∑ ( yt y )( yt k yt k ) (T k )
rk =
t = k +1
( yt y )2 ∑
t =1
T
T
Eviews的计算公式为:
rk =
t = k +1
∑(y
T
t
y )( yt k y )
样本区间外评判标准 (Out-of-Sample Criteria)
此方法的思路是,在估计模型时不使用全部 观察到的数据,而是将部分数据留做评判之 用. 假定整个观察资料的区间为n+m,我们利用 n+m 前n个观察值建立模型. 利用估计的模型推断其余的m个观察值,计 算得到实际值与推断值差别,这被称作预测 误差( ên+h+1 for h = 0, 1, …, m ).
选择预测区间
– Quick → Sample
利用估计的方程结果进行预测
– 在显示方程的窗口下用Forecast指令 – 必要时给出预测值的变量名称
练习:宏观经济数据分析
用1978-2000年数据检验主要宏观经济指标 是否是平稳序列(数据文件Macroe.wf1);
– GDP,居民消费,政府消费,投资,净贸易
GDP c AR(1) MA(1) MA(2)
– 参考AC或PAC确定滞后期 – 根据回归结果选择适合的估计结果
预测
我们可以利用时间序列模型做预测. 与利用常规模型做推断一样,利用时间 序列模型可以做点预测和区间预测. 此时,在判断预测的质量好坏时常常不 是用样本区间内的评判标准如R2,而是 用样本区间外的评判标准.
2
t=1
T
T
2
选择MA(q)模型的滞后期
选择MA(q)模型的滞后期需要利用自相 关函数(Autocorrelation Function ) 自相关函数是变量的当前值与其过去值 相关系数的序列,不需要将早期滞后对 yt的影响保持不变. 可以用来根据该值等于0发生的时间j来 选择MA(q)模型,j > q.