自相关函数3

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matlab产生随机信号并计算自相关函数与协方差

clc;clear all;Signal_1=rand(1,2000);%产生随机信号 Signal_1Signal_2=rand(1,2000);%产生随机信号 Signal_2%Signal_3=[Signal_1;Signal_2];n=length(Signal_1);Signal_1_2=Signal_1.^2;% 计算 Signal_1 的每个元素的平方Signal_2_2=Signal_1.^2;Signal_1_aver1=sum(Signal_1)/n; % 利用定义计算Signal_1 的均值Signal_1_aver2=mean(Signal_1);% 利用mean函数计算Signal_1的均值Signal_1_2_aver=sum(Signal_1_2)/n; %计算Signal_1_2 的均值Signal_2_aver=mean(Signal_2);for i=1:nSignal_1_3(1,i)=Signal_1(1,i)-Signal_1_aver1;end%产生一个新的矩阵，即 Signal_1的每个元素减去Signal_1的均值Signal_1_3_aver=sum(Signal_1_3.^2)/n;%公式（1.2.9）计算Signal_1_3的方差，也是Signal_1的方差Signal_1_D2=Signal_1_2_aver-Signal_1_aver1^2;%公式（1.2.10），得结果与公式(1.2.9)一样D=std(Signal_1);%计算Signal_1的标准差Signal_1_D1=std(Signal_1)^2;%通过先求向量的标准差再求平方，算得的结果与直接用函数var算到的结果相同，也是Signal_1的方差Signal_1_D3=var(Signal_1);% 利用var函数求向量Signal_1的方差%R_Signal_1=xcorr(Signal_1);%用库函数xorr求Signal_1自相关函数%R_Signal_2=xcorr(Signal_2);%用用库函数xorr求Signal_2自相关函数%Sig1_Sig2_C=cov(Signal_3);R1_Signal_1_Signal_2=cov(Signal_1,Signal_2);R2_Signal_1_Signal_2=mean((Signal_1-Signal_1_aver2).*(Signal_2-Signal_2 _aver));R3_Signal_1_Signal_2=mean(Signal_1.*Signal_2)-Signal_1_aver2*Signal_2_a ver;R_Signal_1=mean(Signal_1_2);R_Signal_2=mean(Signal_2_2);C=R_Signal_1-Signal_1_aver2*Signal_1_aver2;subplot(3,2,1);plot(Signal_1);title('随机信号Signal_1');axis([0 2000,-1 2]);subplot(3,2,2);plot(Signal_2);title('随机信号Signal_2');axis([0 2000,-1 2]);subplot(3,2,3);%将画布分为 2行2列，在第1行第1列画Signal_1_R自相关函数，并写上标题Signal_1自相关函数plot(Signal_1_R);title('Signal_1自相关函数');subplot(3,2,4);%将画布分为 2行2列，在第1行第2列画Signal_2_R 自相关函数，并写上标题Signal_2自相关函数plot(Signal_2_R);title('Signal_2自相关函数');subplot(3,2,5);plot(Sig1_Sig2_C);title('随机信号Signal_1，Signal_1协方差');axis([0 2000,-1 1]);0500100015002000-1012随机信号Signal 10500100015002000-1012随机信号Signal 20100020003000400005001000Signal 1自相关函数0100020003000400005001000Signal 2自相关函数0500100015002000-101随机信号Signal 1，Signal 1协方差。

2.2.4 平稳随机过程的相关性分析

τ →∞
2 lim RX (τ ) = RX (∞) = mX
证明 : 当 τ → ∞ 时 , X (t )与 X (t + τ )不相关 , 则有 :
τ →∞
lim R X (τ ) = R X ( ∞ ) = lim E [ X ( t ) X ( t + τ )]
τ →∞
2 = lim { E [ X ( t )] ⋅ E [ X (t + τ )]} = m X
17
∞
样本函数x(t)的平均功率：样本函数x(t)的平均功率： x(t)的平均功率
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T 1 1 ∞ 2 = lim ⋅ ∫−∞ XT (ω) dω T →∞ 2 T 2π 1 ∞ 1 2 = lim ∫−∞[T→∞ 2T XT (ω) ]dω 2π
∫
∞
−∞
xT ( t ) e
− jω t
dt =
∫
T
−T
x (t )e
− jω t
dt
1 xT (t ) = 2π
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T
∫
∞
−∞
X T (ω )e jωt dω
2
1 ∞ 2 ∫−∞[x(t)] dt = 2π ∫−∞ X (ω) dω
样本函数x(t)的功率谱密度，样本函数x(t)的功率谱密度， x(t)的功率谱密度简称样本的功率谱密度。简称样本的功率谱密度。
x(t), w和 T (ω)取于验结 , 都有定随性 X 决试的果带一的机 .
例 : 已知平稳过程 X (t )的自相关函数为 : (1) R X (τ ) = 3e

数字信号处理-原理实现及应用(高西全-第3版)第5章信号的相关函数及应用

rxy (m) ryx (m)
性质2 rxy (m) rx (0)ry (0) ExEy
性质3
lim
m
rxy (m)
0
因为一般能量信号都是有限非零时宽的，所以，当 m 时，二者的非零区不重叠，所以，该性质成立。
信息与通信工程系—数字信号处理
2.自相关函数性质
性质1
若 x(n) 是实信号，则 rx (m)是实偶函数，即
[h(m) h(m)][x(m) x(m)]
rh (m) rx (m)
ry (0) rh (m) rx (m) m0
= rh (n)rx (n m) = rh (n)rx (n)
n
m0 n
系统稳定，则h(n)为能量信号
rh (m) 存在；
如果 rx (m) 存在，则 ry (m) 存在。
观测信号 y(n) x(n) w(n)；y(n) 的自相关函 ry (m)
(a) 2
w(n)
0
-2 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 n
(b) 2
y(n)
0
-2
10
20
30
40
50 n
60
70
80
90 100
噪声自相关
(c)
函数导致
1
ry(m)
0
-1
-50 -40 -30 -20 -10
h(m) [x(m) x(m)]
h(m) rx (m)
所以，ryx (m)可以看成线性时不变系统对输入序列的响应输出。
rx (m)
LTI系统 h(n)
ryx (m)
信息与通信工程系—数字信号处理
系统输出信号的自相关函数:

随机过程知识点汇总

随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。

２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。

离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。

连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。

３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。

均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。

自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。

４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。

弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。

强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。

５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。

高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。

６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。

马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。

７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。

泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。

８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。

例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。

t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。

复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。

协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。

复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。

3个样本函数的随机过程求自相关函数

题目：三个样本函数的随机过程求自相关函数在统计学和概率论中，我们经常需要研究各种随机过程的性质。

其中，自相关函数是一个非常重要的概念，它能够帮助我们理解不同时间点的随机变量之间的相关性。

在本文中，我们将探讨三个样本函数的随机过程如何求取自相关函数，并对其进行深入分析。

1.样本函数的随机过程及自相关函数的概念在开始探讨三个样本函数的随机过程求自相关函数之前，我们首先要了解两个重要概念：样本函数的随机过程和自相关函数。

对于一个具体的概率空间Ω和一个指定的测度p，如果我们对每一个固定的ω∈Ω，都有一个随机变量X(t, ω)与之对应，则称X(t, ω)为一个随机过程。

当固定t后，X(t, ω)就成为关于ω的函数，我们称之为样本函数。

而自相关函数则是用来描述同一随机过程中不同时间点的随机变量之间的相关性的函数。

它在信号处理、时间序列分析等领域中扮演着非常重要的角色。

2.三个样本函数的随机过程求自相关函数的方法接下来，我们将介绍如何对三个样本函数的随机过程求取自相关函数。

根据统计学中相关性的定义，自相关函数的定义如下：R(t1, t2) = E[X(t1)X(t2)]其中，E[•]表示期望值的运算符。

对于离散情况下的随机过程，我们可以通过计算期望值来求取自相关函数。

而对于连续情况下的随机过程，我们则需要使用积分来表示期望值。

对于三个不同的样本函数，我们分别记为X1(t)、X2(t)和X3(t)，我们可以按照上述定义分别求取它们之间的自相关函数。

在实际计算中，我们可以利用数值模拟或者数学分析的方法来求取自相关函数。

3.对三个样本函数的随机过程求自相关函数的分析在获得三个样本函数的自相关函数之后，我们需要对其进行深入分析，以便更好地理解随机过程的特性。

我们可以比较三个样本函数的自相关函数的形状和特点，从而发现它们之间的关联和差异。

通过图表或者数学分析的方法，我们可以清晰地展现这些信息。

我们可以探讨自相关函数的物理意义和应用价值。

随机过程的自相关函数与其功率谱密度是傅里叶变换关系

随机过程的自相关函数与其功率谱密度是傅里叶变换关系随机过程是一个随时间变化的信号，每个时间点上都有一定的随机性。

我们可以用一个随机变量来描述每个时间点上的取值。

这个随机变量的集合就是一个随机过程。

自相关函数是用来描述随机过程在不同时间点上的相关性的函数。

它表示了随机过程在不同时间点上的取值之间的相关程度。

具体来说，自相关函数R(t1,t2)表示了时刻t1和t2上的信号值之间的相关性。

它的定义如下：R(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]其中，X(t1)和X(t2)是随机过程在时刻t1和t2上的取值，E[.]表示期望操作。

功率谱密度是用来描述随机过程在频域上的特性的函数。

它表示了随机过程在不同频率上的功率分布情况。

具体来说，功率谱密度S(f)表示了随机过程在频率f上的功率。

它的定义如下：S(f)=，F{R(t)}，^2其中，R(t)是随机过程的自相关函数，F{.}表示傅里叶变换操作。

自相关函数和功率谱密度之间存在一个重要的关系，即它们通过傅里叶变换相关联。

具体来说，自相关函数是功率谱密度的傅里叶变换的模的平方，而功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换的伪谱密度。

这个关系可以用下面的公式表示：R(t1, t2) = ∫S(f)e^(j2πft)df其中，∫表示积分操作，e^(j2πft)是复指数函数，代表了频率f上的旋转。

这个关系的意义是，自相关函数和功率谱密度提供了从时域到频域和从频域到时域的映射。

我们可以通过自相关函数计算功率谱密度，也可以通过功率谱密度计算自相关函数。

总结起来，自相关函数和功率谱密度是通过傅里叶变换相关联的重要概念。

自相关函数描述了随机过程在不同时刻上的相关性，而功率谱密度描述了随机过程在不同频率上的功率分布情况。

它们的傅里叶变换关系提供了从时域到频域和从频域到时域的映射。

这个关系在信号处理和随机过程分析中具有重要的应用价值。

随机过程分析

随机过程分析摘要随着科学的发展，数学在我们日常的通信体系中有着越来越重的地位，因为在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描述一个现象的不同量之间的关系,从最简单的加减乘除，到复杂的建模思想等等。

其中，随机过程作为数学的一个重要分支，更是在整个通信过程中发挥着不可小觑的作用。

如何全面的对随机信号进行系统和理论的分析是现在通信的关键，也是今后通信业能否取得巨大进步的关键。

关键字通信系统随机过程噪声通信中很多需要进行分析的信号都是随机信号。

随机变量、随机过程是随机分析的两个基本概念。

实际上很多通信中需要处理或者需要分析的信号都可以看成是一个随机变量，利用在系统中每次需要传送的信源数据流，就可以看成是一个随机变量。

例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。

也就是说把随某个参量而变化的随机变量统称为随机函数；把以时间t为参变量的随机函数称为随机过程。

随机过程包括随机信号和随进噪声。

如果信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全预知，这种信号就称为随机信号；在通信系统中不能预测的噪声就称为随机噪声。

下面对随机过程进行分析。

一、随机过程的统计特性1、数学期望:表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心，即均值2、方差:表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。

即均方值与均值平方之差。

3、自协方差函数和相关函数:衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性时，常用协方差函数和相关函数来表示。

（1）自协方差函数定义式中t1与t2是任意的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及t2得到的数学期望；用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。

（2）自相关函数用途：a 用来判断广义平稳；b 用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。

二、平稳随机过程1、定义（广义与狭义）：则称X(t)是平稳随机过程。

该平稳称为严格平稳，狭义平稳或严平稳。

广义平稳概念：若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，而其相关函数仅与τ有关，则称这个随机过程为广义平稳随机过程。

通信原理习题

习题11.1 什么是通信？通信系统是如何分类的？1.2 模拟信号和数字信号的区别是什么？1.3 何谓数字通信？数字通信的优缺点是什么？1.4 请画出数字通信系统的基本原理方框图，并说明各个环节的作用。

1.5 对于二进制信息源，在等概发送时，每一符号所包含的信息量是否等于其平均信息量？1.6 衡量数字通信系统的主要性能指标是什么？1.7 设英文字母中A、B C D出现的概率各为0.001 , 0.023 , 0.003 , 0.115，试分别求出它们的信息量。

1.8 已知某四进制信源{0 ，1 ，2，3} ，每个符号独立出现，对应的概率为P0 ，P1 ，P2 ，卩3，且P°+P1+F2+P3=1。

⑴ 试计算该信源的平均信息量。

⑵ 指出每个符号的概率为多少时，平均信息量最大，为多少？1.9 已知二进制信号的传输速率为4800b/s ，试问变换成四进制和八进制数字信号时的传输速率各为多少？（码元速率不变）1.10 在强干扰环境下，某电台在5min 内共接收到正确信息量为355Mb ，假定系统信息速率为1200kb/s ，⑴ 试问系统误信率P b = ?⑵ 若具体指出系统所传数字信号为四进制信号，Pb 值是否改变？为什么？⑶ 若假定信号为四进制信号，系统传输速率为1200 KB,贝U P b=?1.11 设一信息源的输出由256个不同符号组成，其中32 个出现的概率为1/64，其余224 个出现的概率为1/448。

信息源每秒发出2400 个符号，且每个符号彼此独立。

试计算该信息源发送信息的平均速率及最大可能的信息速率。

1.12二进制数字信号以速率200b/s传输，对此通信系统连续进行2小时的误码测试，结果发现15bit差错。

问该系统的误码率为多少？如果要求误码率在1x 10-7以下，原则上应采取一些什么措施？习题22.1 判断一个随机过程是广义平稳的条件？2.2 平稳随机过程的自相关函数具有什么特点？2.3 窄带高斯噪声的三种表示方式是什么？2.4 窄带高斯白噪声中的“窄带” 、“高斯”、“白”的含义各是什么？2.5 高斯过程通过线性系统时，输出过程的一维概率密度函数如何？输出过程和输入过程的数字期望及功率谱密度之间有什么关系？2.6 设变量E的分布为正态分布，E E =2 , D E =1，求E >2的概率为多少？2.7 某随机过程X (t) = Acos ( wt+ 0),其中A , 3, B是相互独立的随机变量，其中A 的均值为2,方差为4, 0在区间(0, 2 n上均匀分布，3在(-5, 5)上均匀分布。

第三章_语音信号的特征分析

浊音时能量集中于较低频率段内，具有较低的过零率，而清音时能量集中于较高频率段内，具有较高的过零率。
浊音和清音情况下典型的平均过零率的直方图
直方图的分布形状与高斯分布很吻合，而且浊音时的短时平均过零率的均值为14过零/10ms，清音时短时过零率的均值为47过零/10ms。注意到浊音和清音有一个交叠区域，此时很难分清是浊音还是清音，尽管如此，平均过零率仍可以粗略的判断清音和浊音。
35语音信号的短时自相关函数假设一段加窗语音信号非零区间为n0n1的自相关函数称为语音信号的短时自相关函数自相关函数是偶函数在l0处取得最大值且值为短时能量如果sn是周期的则rl也是周期的且周期等于sn的周期36浊音和清音的自相关函数图浊音浊音清音37半周期错误2倍周期错误由自相关函数图判断浊音的周期38为了减少这种错误可以先将语音信号进行中心削波处理再求自相关函数39中心削波处理前后的语音信号及其自相关函数40短时自相关函数的特点浊音是周期信号浊音的短时自相关函数也呈现明显的周期性自相关函数的周期就是浊音信号的周清音接近于随机噪声请音的短时自相关函数不具有周期性且随着l的增大迅速减小
0
-50
-100
-150 0
40 30 20 10
0 -10 -20
0
0.2
Fre0q.u4ency do0m.6ain
0.8
Normalized Frequency ( rad/sample)
0.2
0.4
0.6
0.8
Normalized Frequency ( rad/sample)
不同的窗选择，将决定短时语音分析结果的好坏
数据率(kB/s) (未压缩)
频率范围
8
300～3400 Hz

随机信号分析基础第三章课后答案

第三章，平稳随机过程的n 维概率密度不随时间平移而变化的特性，反映在统计特征上就是其均值不随时间的变化而变化，mx 不是t 的函数。

同样均方值也应是常数。

（2）二维概率密度只与t1,t2的时间间隔有关，而与时间起点t1无关。

因此平稳过程的自相关函数仅是单变量tao 的函数。

则称他们是联合宽平稳的。

第三章Chapter 3 ==========================================3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为()02222>=-a eaa P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。

解：由题意可得:()[]()()002121020222220002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()120212021202021202022212020220210120220222020100222222002010212121221122102122121212212122222222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX ）（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。

《随机过程及其在金融领域中的应用》习题三答案

。
5、（1）设通过某路口的车辆数符合强度为的泊松过程，已知 1 分钟内无车辆通过的概率为 0.2，试求 2 分钟内有多于 1 辆车通过的概率。（2）设乘客到达某汽车站的乘客数为一泊松过程，平均每 10 分钟到达 5 位乘客，试求在 20 分钟内到达汽车站至少有 10 位乘客的概率。
答：
（1） P Nt
证明：
由柯西-许瓦兹不等式知 E
Xt A t B, t 均值函数、自相关函数、协方差函数。
答：
均值函数： Xt E Xt E At B tE A E B 0
自相关函数：
R t1,t2 E X X t1 t2 E At1 B At2 B E t1t2 A2 t1 t2 AB B2 t1t2E A2 E B2 t1 t2 E AB
x
定义随机过程 Yt

1, Xt 0, Xt

x x
，证明：
Yt 的均值函数和自相关函数分别是 Xt 的一维和二维分布函数。证明：
设随机过程 Xt , t T 的一维分布函数为 F1 x;t ，二维分布函数为
F2 x1, x2;t1,t2 ，固定 t 时，Yt 是服从 0-1 分布的随机变量，其分布律为
P Xt1 x, Xt2 x
1
P Xt1 x, Xt2 x
P Xt1 x, Xt2 x
RY t1,t2 E Y Yt1 t2 0 0 P Xt1 x, Xt2 x 01 P Xt1 x, Xt2 x 1 0 P Xt1 x, Xt2 x 11 P Xt1 x, Xt2 x P Xt1 x, Xt2 x

机械工程测试技术基础知识点总结

机械⼯程测试技术基础知识点总结《机械⼯程测试技术基础》知识点总结1. 测试是测量与试验的概括，是⼈们借助于⼀定的装置，获取被测对象有相关信息的过程。

测试⼯作的⽬的是为了最⼤限度地不失真获取关于被测对象的有⽤信息。

分为：静态测试，被测量（参数）不随时间变化或随时间缓慢变化。

动态测试，被测量（参数）随时间（快速）变化。

2. 基本的测试系统由传感器、信号调理装置、显⽰记录装置三部分组成。

传感器：感受被测量的变化并将其转换成为某种易于处理的形式，通常为电量（电压、电流、电荷）或电参数（电阻、电感、电容）。

信号调理装置：对传感器的输出做进⼀步处理（转换、放⼤、调制与解调、滤波、⾮线性校正等），以便于显⽰、记录、分析与处理等。

显⽰记录装置对传感器获取并经过各种调理后的测试信号进⾏显⽰、记录、存储，某些显⽰记录装置还可对信号进⾏分析、处理、数据通讯等。

3. 测试技术的主要应⽤：1. 产品的质量检测 2.作为闭环测控系统的核⼼ 3. 过程与设备的⼯况监测4. ⼯程实验分析。

4. 测试技术是信息技术的重要组成部分，它所研究的内容是信息的提取与处理的理论、⽅法和技术。

现代科学技术的三⼤⽀柱：能源技术材料技术信息技术。

信息技术的三个⽅⾯：计算机技术、传感技术、通信技术。

5. 测试技术的发展趋势： (1) 1. 传感技术的迅速发展智能化、可移动化、微型化、集成化、多样化。

（2）测试电路设计与制造技术的改进（3）计算机辅助测试技术应⽤的普及（4）极端条件下测试技术的研究。

6. 信息：既不是物质也不具有能量，存在于某种形式的载体上。

事物运动状态和运动⽅式的反映。

信号：通常是物理、可测的（如电信号、光信号等），通过对信号进⾏测试、分析，可从信号中提取出有⽤的信息。

信息的载体。

噪声：由测试装置本⾝内部产⽣的⽆⽤部分称为噪声，信号中除有⽤信息之外的部分。

（1）信息和⼲扰是相对的。

（2）同⼀信号可以反映不同的信息，同⼀信息可以通过不同的信号来承载。

AR,MA,ARIMA模型介绍及案例分析

AR,MA,ARIMA模型介绍及案例分析BOX-JENKINS 预测法1（1）()AR p 模型（Auto regression Model ）——⾃回归模型p 阶⾃回归模型：y t =c +?1y t?1+?2y t?2+?+?p y t?p +e t式中，y t 为时间序列第t 时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量；y t?1，y t?2，?，y t?p 为时序y t 的滞后序列，这⾥作为⾃变量或称为解释变量；e t 是随机误差项；c ，?1，?2，?，?p 为待估的⾃回归参数。

（2）()MA q 模型（Moving Average Model ）——移动平均模型q 阶移动平均模型：1122t t t t q t q y e e e e µθθθ---=+----式中，µ为时间序列的平均数，但当{}t y 序列在0上下变动时，显然µ=0，可删除此项；t e ，1t e -，2t e -，…，t q e -为模型在第t 期，第1t -期，…，第t q -期的误差；1θ，2θ，…，q θ为待估的移动平均参数。

（3）(,)ARMA p q 模型——⾃回归移动平均模型（Auto regression Moving Average Model ）模型的形式为：11221122t t t p t p t t t q t q y c y y y e e e e φφφθθθ------=+++++----显然，(,)ARMA p q 模型为⾃回归模型和移动平均模型的混合模型。

当q =0,时，退化为纯⾃回归模型()AR p ；当p =0时，退化为移动平均模型()MA q 。

2 改进的ARMA 模型（1）(,,)ARIMA p d q 模型这⾥的d 是对原时序进⾏逐期差分的阶数，差分的⽬的是为了让某些⾮平稳（具有⼀定趋势的）序列变换为平稳的，通常来说d 的取值⼀般为0,1,2。

自相关和互相关

1. 首先说说自相关和互相关的概念。

这个是信号分析里的概念，他们分别表示的是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度，即互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度，自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。

自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度；互相关函数给出了在频域内两个信号是否相关的一个判断指标，把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。

它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号，对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效.事实上，在图象处理中，自相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(t)，则自相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷积；设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。

那么，如何在matlab中实现这两个相关并用图像显示出来呢？dt=.1;t=[0:dt:100];x=cos(t);[a,b]=xcorr(x,'unbiased');plot(b*dt,a)上面代码是求自相关函数并作图，对于互相关函数，稍微修改一下就可以了，即把[a,b]=xcorr(x,'unbiased');改为[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');便可。

2. 实现过程：在Matalb中，求解xcorr的过程事实上是利用Fourier变换中的卷积定理进行的，即R(u)=ifft(fft(f)×fft(g))，其中×表示乘法，注：此公式仅表示形式计算，并非实际计算所用的公式。

当然也可以直接采用卷积进行计算，但是结果会与xcorr的不同。

事实上，两者既然有定理保证，那么结果一定是相同的，只是没有用对公式而已。

金融计量学-考试整理

②VAR模型的稳定性要求A的全部特征值，即特征方程 | A - λ I | = 0的全部根必须在单位圆以内三、概念题1、白噪声模型对于随机过程{ xt , t∈T }, 如果(1) E(xt) = 0, (2) Var(xt) = σ2 <∞, t∈T;(3) Cov(xt ,xt + k)=0, (t + k ) ∈ T , k ≠ 0 , 则称{xt}为白噪声过程。

白噪声是平稳的随机过程，因其均值为零，方差不变，随机变量之间非相关。

显然上述白噪声是二阶宽平稳随机过程。

2、宽平稳过程（1）m阶宽平稳过程。

如果一个随机过程m阶矩以下的矩的取值全部与时间无关，则称该过程为m阶宽平稳过程。

（2）二阶宽平稳过程。

如果一个随机过程{xt} E[x(t) ] = E[x(t +k)] = μ< ∞,Var[x(t)] = Var[x(t +k)] = σ 2 < ∞, Cov[x(ti ),x(tj)] =Cov[x(ti+k),x(tj+k)]=σ2i j < ∞,其中μ, σ 2 和σij2为常数，不随 t, (t∈T ); k,((tr+ k)∈T, r = i, j ) 变化而变化，则称该随机过程 {x t} 为二阶平稳过程。

该过程属于宽平稳过程。

3、随机游走（random walk）过程对于表达式xt = xt -1 + ut，如果ut为白噪声过程，则称xt为随机游走过程。

4、p阶自回归模型如果一个线性过程xt可表达为xt = φ1xt-1+ φ2xt-2+ … + φpxt-p+ ut其中φi ,i =1,…,p 是自回归参数，ut是白噪声过程，则称xt为p阶自回归过程，用AR(p)表示。

自相关函数的定义

自相关函数的定义
两个相关函数都是对相关性，即相似性的度量。

如果进行归一化，会看的更清楚。

自相关就是函数和函数本身的相关性，当函数中有周期性分量的时候。

互相关就是两个函数之间的相似性，当两个函数都具有相同周期分量的时候，它的极大值同样能体现这种周期性的分量。

相关运算从线性空间的角度看其实是内积运算，
而两个向量的内积在线性空间中表示一个向量向另一个向量的投影，表示两个向量的相似程度，所以相关运算就体现了这种相似程度。

例如：cdma系统
一个小区中最大可以支持64个信道（包括用户业务和信令信道）。

自相关最大用来提取期望用户信号。

互相关等于零（理论上也不是零）用来抑制干扰信号（其他用户的信号）。

物理意义是一段时间内的积分值。

3.DFT——精选推荐

离散Fourier Discrete Fourier Transform周期序列的离散离散Fourier 抽样z 变换——利用DFT 计算模拟信号的一、序列的分类：无限长序列：有限长序列：由于计算机容量的限制，只能对过程进行逐段分析。

有限长序列在数字信号处理中是很重要的一种序列。

二、DFT 引入由于有限长序列，引入DFT 是反映“DFT 作为有限长序列的一种论上重要之外，由于存在计算(快速Fourier 变换数字信号处理的算法中起着核心的作用。

有限长序列的(DFS) 本质上是一致的。

Fourier 变换：建立以时间为自变量的关系。

所以当自变量或离散值时，就形成各种不同形式的换对。

3.2 Fourier 一、连续时间、连续频率()X j Ω∞−∞=∫1()2x t π∞−∞=∫时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。

二、连续时间、离散频率()(k x t X ∞=−∞=∑001()X jk dtT Ω=∫时域的连续函数造成频域是非周期的频谱函数，而频域的离散频谱就与时域的周期时间函数对应。

频域采样，时域周期延拓三、离散时间、连续频率ωn j e X ∞−∞=∑=)(1()2x n TππωπωΩ−==∫时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续。

四、离散时间、离散频率—离散Fourier 变换前面三种Fourier 变换对，都不适于计算机上运算，因为它们至少在一个域（时域或频域）中函数是连续的。

从数字计算角度出发，我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况，这就是离散(X (x n 周期性时间信号造成频谱是离散的；离散时间信号造成频谱是周期性的；总之，一个域的离散必然造成另一个域的周期延拓。

3.3 周期序列的离散( Discrete Fourier Series )我们先从周期序列的离散论，然后再讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的离散连续周期信号：(~x 周期序列( r 为任意整数∑==k a a t x x t x )(~~)(~()N k xn ==∑%()xn %可写成如下的101()N k xn X N −==∑%%两边同乘以e21021()11N jrn Nn N jrn Nn xn e eNN ππ−−=−====∑∑%周期序列的()[(Xk DFS x =%%()[xn IDFS X =%%N W 其中：函数1、共轭对称性：2、周期性：101(N nk mk N N k W W N −=∑3、可约性：4、正交性：N W e−=周期为N 的周期性序列的∑∞−∞=−i x n ~(δ∑∞−∞==i n x )(~=)(~k X ()Xk z %与变换的关系：()x n ⎧=⎨⎩令()x n z 对作变换:()10N n X k x −==∑%%可看作是对的一个周期做z 换在z 平面单位圆上按等间隔角抽样得到()Xk ∴%()x n 2NπDFS 的图示说明例：周期序列x ~n x 21)(=)(~=N k X ∑=11~)(n k X 解：方法1整理与DFS 定义对比知：在方法2由定义式直接计算，得⎪⎩⎪⎨⎧=−−−−==−×−−=∑k ek X k n n 其它的,012,612,61112121)(~122(121)11111)12πππ-2 -1 0 1 2 11 12 N =12()cos 6xn π=%k k k ,)(~-2 -1 0 1 2 11 12例：已知序列如图所示，试求其的系数。

ejwt的自相关函数

ejwt的自相关函数
ejwt的自相关函数是指对ejwt序列进行自相关分析得到的函数。

ejwt 序列是指利用离散傅里叶变换（DFT）对离散信号进行频域变换后所得到的序列。

ejwt序列在信号处理领域中广泛应用，例如图像处理、音频处理等。

ejwt的自相关函数可用于分析ejwt序列的时间域特性。

其中，自相关函数的定义如下：
R(k) = E[X(n)X(n-k)]
其中，X表示ejwt序列，n表示时间步，k表示时延。

自相关函数可用于描述ejwt序列在不同的时延下的自身相似程度。

如果自相关函数在时域上呈现出周期性，则说明ejwt序列是周期信号。

如果自相关函数在时域上呈现出明显的峰值，则说明ejwt序列具有明显的周期性。

通过对ejwt序列的自相关函数的分析，可以得到ejwt 序列的周期性和周期长度等信息。

另外，利用自相关函数还可以进行信号压缩和降噪等操作。

例如，可以利用自相关函数将ejwt序列中的重复信息进行压缩，从而减少存储
空间的占用。

同时，也可以利用自相关函数分析ejwt序列中的噪声分布规律，从而实现信号降噪。

总之，ejwt的自相关函数在信号处理领域中具有广泛的应用，可以用于分析ejwt序列的时间域特性、提取周期信号、进行信号压缩和降噪等操作。

因此，掌握ejwt的自相关函数的分析方法和应用技巧对于信号处理研究具有重要意义。

平稳分布的自相关函数为偶函数

平稳分布的自相关函数为偶函数平稳分布是指在时间上具有相同的统计性质的随机过程。

自相关函数是用来描述一个时间序列与其自身滞后版本之间的关系的数学工具。

对于一个平稳随机过程（即各个时刻的随机变量具有相同的分布和平均值），其自相关函数R(t)定义为该过程在不同时刻的随机变量之间的协方差。

换句话说，自相关函数是描述一个时间序列中各个时刻的随机变量之间的相关性的函数。

根据自相关函数的定义，我们可以得出一些性质。

其中一个重要性质是自相关函数是一个偶函数。

这意味着，对于任意的时间差t，有R(t)=R(-t)。

换句话说，随机过程在不同的正负时间差下具有相同的自相关性。

为了更好地理解自相关函数为什么是一个偶函数，我们可以从数学角度来推导。

假设X(t)是一个平稳随机过程，它的自相关函数为R(t)。

我们可以写出自相关函数的定义如下：R(t)=E[X(t)X(t+h)]其中E[]表示期望运算符，X(t)表示时间t处的随机变量，X(t+h)表示时间t+h处的随机变量。

我们可以使用平稳性的性质，将时间t+h处的随机变量替换为时间t-h处的随机变量：R(t)=E[X(t)X(t-h)]将该式中的h替换为-h，我们得到：R(t)=E[X(t)X(t+h)]=E[X(t-h)X(t)]=R(-t)这说明自相关函数在正负时间差下具有相同的值，即自相关函数是一个偶函数。

为了更好地理解这个性质，可以考虑一个具体的例子。

假设我们有一个平稳随机过程，表示每天的温度变化。

我们可以使用自相关函数来描述不同天之间的温度相关性。

如果我们选择时间间隔为1天，那么自相关函数可以告诉我们相邻的两天之间的温度变化是否有关联。

由于平稳性的假设，自相关函数在正负时间差下具有相同的值，意味着今天和昨天的温度变化与今天和明天的温度变化具有相同的相关性。

总结起来，平稳分布的自相关函数是一个偶函数，这是因为平稳性的假设使得自相关性在正负时间差下具有相同的值。

这个性质在分析时间序列数据和理解时间序列之间的相关性时非常重要。