压杆稳定性计算汇总精编版
压杆稳定性最新计算
2000kg 500kg500kg3800kg G 3500kg M 停车库的受力分析计算一、停车状态如下图所示二、分析立柱受力并校核已知：立柱截面为环形，令钢管厚度﹩=(D-d)/2为20mm 即D-d=0.02,材料选为45#，屈服强度s σ≥355Mpa,安全系数n 取为1.5，弹性模量取为210Gpa ，泊松比取为0.26。
解：简化模型如图1所示,显然Mx>My,故按照Mx 情况进行校核。
板自重m1=500Kg ，小车自重为m2=2000Kg 。
分析立柱受力知其受压力和弯矩（包含风载），故：需校核其强度即，[]σσ≤1、起升载荷Q 的确定起升载荷包括允许起升的最大汽车重量、以及载车板，因起升高度＜50米，故钢丝绳质量不计。
因起升速度≤R v 0.2m/s,故起升载荷动载系数2ϕ05.1min ==ϕ故，()2221m ϕϕ⨯+=⨯=g m Q F2、 风载荷W P 的确定qA CK P W h =C ——风力系数，用以考虑受风结构物体型、尺寸等因素对风压的影响 h K ——风力高度变化系数q ——计算风压()2/m NA ——立柱垂直于风向的迎风面积()2m2000kg2000kg 500kg正视图左视图Mx500kgMy图1简化模型如图1） 计算风压q风压计算公式为 2613.0q v =风压按照沿海地区工作状态风压计算v=20m/s,故q=245.22m /N风压按照工作状态下的最大计算风压计算，此时q 取2502m /N ，故最终q 取2502m /N 。
2） 风力系数C因为离地面高度≤10m,按照海上及海岛2.010⎪⎭⎫⎝⎛h ，风压高度变化系数h K 取1.00因为是圆管结构且10q 2≈d （q 为计算风压，d 为圆管直径），故C 取0.9 3） 迎风面积At A A ψ=ψ——结构的充实率，tA A=ψ，钢管桁架结构ψ值取0.2-0.4，故0.3 t A ——结构或物品外形轮廓面积在垂直于风向平面上的投影()2m h D A t =()2m D ——立柱外径；h ——立柱高度 D D qA CK P W 675325000.19.0h =⨯⨯⨯⨯==3、 强度校核1[]nsσσσ=≤即[]σσ≤+=W M A F maxcmax令WM A F +=σ 2ϕ⨯=Q F ;()g m m Q 21+=()224d D A -=π21M M M += M1——由重力引起的弯矩；M2——由风载引起的弯矩()3.121m 1⨯+=g m M ;h P M W *=212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=443d 132D D W π ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-*+⨯++-=+=443222d 132213.121m 4D D hP g m d D Q W M A F W ππϕσ=()()[]()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--*⨯+⨯++--*+D D D hD g m D D g m 4322204.032675213.121m 04.0421m ππϕ将m1=500kg, m2=2000kg, g=9.8N/kg, h=3m,2ϕ=0.5 代入上式， 令[]nsσσσ=≤得m 1202.0≥D4、 强度校核2[]nsσσσ=≤即[]σσ≤+=WM A F maxcmax 令WM A F +=σ 2ϕ⨯=Q F ;()g m m Q 21+=()224d D A -=π2221M M M += M1——由重力引起的弯矩；M2——由风载引起的弯矩()3.121m 1⨯+=g m M ;h P M W *=212 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=443d 132D D W π ()()[]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡*+⨯++-=+=44322222d 132213.121m 4D D h P g m d D Q W M A F W ππϕσ=()()[]()[]()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡*⨯+⨯++--*+D D D h D g m D D g m 432222204.032675213.121m 04.0421m ππϕ 将m1=500kg, m2=2000kg, g=9.8N/kg, h=3m,2ϕ=0.5 代入上式， 令[]nsσσσ=≤得m 1200.0≥D5、压杆稳定性校核：将立柱简化为一端固定，另一端自由的杆件，故压杆的长度因素μ取2.临界压力与工作压力之比即为压杆的工作安全系数，他应大于规定的稳定安全系数st n ，故有crst F n n F=≥，这里取st n =4.立柱承受的轴向压力为()212*(5002000)*9.8*1.0525725F m m g N ϕ=+=+=若在稳定条件中取等号，则立柱的临界压力应该是cr 4*25725102900st F n F N === ①由欧拉公式求得临界压力为()()()29442cr 22210106423D d EIF l πππμ⨯⨯⨯-==⨯ （D=d+0.04 m ）②由①、②两式解0.07887D m = 取0.08D m =用所确定的D 计算立柱的柔度 liμλ=因为0.0116i ===== 故23517.240.0116liμλ⨯===对于材料45#钢来说，由公式求得176.41λ=== 由于1λλ>，所以前面用欧拉公式进行计算是正确的。
压杆稳定性计算
Wz=102⨯10-6m3,A=21.5⨯10-4m2
由此得到
σmax
MmaxFN15.63⨯10321.65⨯103
=+=+-6
WzA102⨯1021.5⨯10-4
=163.2⨯106Pa=163.2MPa
Q235钢的许用应力[σ]=
σs
ns
=
235
=162MPa 1.45
临界载荷为：Fcr=σcrA=191.5⨯10⨯
3
π⨯0.022
4
=60.1kN
根据稳定条件：n=
Fcr
≥nst F
Fcr
nst
则F=1.67P≤
于是得P≤
Fcr60.1
==12.0kN
1.67nst1.67⨯3
可见托架D端的许用载荷不应超过12.0 kN。
例12-6图12-14所示的结构中，梁AB为No.14普通热轧工字钢，CD为圆截面直杆，其直径为d=20 mm，二者材料均为Q235钢，A、C、D三处均为球铰约束。已知F=25 kN，l1=1.25 m，l2=0.55 m，σs=235 MPa。强度安全因数ns=1.45，稳定安全因数nst=1.8。试校核此结构是否安全
可见，压杆稳定性满足要求。
例12-5油管托架如图12-13所示。杆AB直径d=20mm，长l=400 mm，材料为Q235钢。如果取稳定安全因数nst=3，试确定托架D端的许用载荷P的大小。
解：杆AB两端可简化为铰支，忽略其自重，则可视为二力杆，受轴向压力F作用。以杆CD为研究对象，由平衡方程：
∑Mc=0,P(240+80)-F⋅CE=0
?
解：在给定的结构中，梁AB承受拉伸与弯曲的组合作用，属于强度问题；杆CD承受压力，属于稳定问题。应分别校核。
《工程力学》第六章 压杆的稳定性计算
x
Fcr
图示两端铰支（球铰）的细长压杆，当压力
B
F达到临界力FCr时，压杆在FCr作用下处于
微弯的平衡状态，
考察微弯状态下局部压杆的平衡
M (x) Fcr w
d 2w dx2
M (x) EI
d 2w Fcr w
w
dx2
EI
x
FCr
M
w
x
根据杆端边界条件，求解上述微分方程 可得两端铰支细长压杆的临界力
FCr
2EI (l)2
Cr
FCr A
Cr
FCr A
2EI (l)2 A
2E (l / i)2
2E 2
Cr
2E 2
——临界应力的欧拉公式
柔度（长细比）： L
i
i I A
——截面对失稳时转动
轴的惯性半径。
——表示压杆的长度、横截面形状和尺寸、杆端的约束 情况对压杆稳定性的综合影响。
200
2.中柔度杆（中长压杆）及其临界应力
工程实际中常见压杆的柔度往往小于p，其临界应力超过材料的
比例极限，属于非弹性稳定问题。这类压杆的临界应力通常采用直线 经验公式计算， 即
Cr a b ——直线型经验公式
式中，a、b为与材料有关的常数，单位为MPa。
由于当应力达到压缩极限应力时，压杆已因强度问题而失效，因此
12 h
1 2300 60
12 133
在xz平面内，压杆两端为固定端，=0.5，则
iy
Iy A
b 12
y
l
iy
l 12
b
0.5 2300 40
12 100
因为 z＞y，连杆将在xy平面内失稳（绕z轴弯曲），因 此应按 =z=133计算连杆的临界应力。
压杆稳定性计算
后支撑压杆稳定性计算:1.后支撑的截面系数：2.后支撑的长度：假设后支撑的长度L=1325mm3.后支撑所受的压力：假设后支撑所受的压力F1：F1= 3702 N后支撑主要受压力的作用，需校验其抗压性，即压杆稳定。
4.压杆的3种类型：a.大柔度杆b.中柔度杆c.小柔度杆5.压杆的柔度由下式算出：λ：柔度μ：压杆的长度因素l: 压杆的长度i ： 压杆的惯性半径6.压杆类型的判定：a.λ≥λ1，判定为大柔度杆b.λ 2 <λ<λ1，判定为中柔度杆c. λ≤λ2，判定为小柔度杆(说明：λ1、λ2与材料的性质有关，不同的材料有不同的取值。
i l μλ=材质Q235B: λ1=100; λ2=62材质硬铝：λ1=55；λ2=0)7.压杆临界力计算：a. 大柔度杆 : (欧拉公式)b.中柔度杆：（直线公式） (说明：a 与b 与材料的性质有关的常数。
材质Q235B: a =304Mpa ; b =1.12 Mpa材质硬铝：a =372 Mpa ；b =2.14 Mpa )c.小柔度杆： A F s cr ⨯=σ8.计算：由压杆的约束条件选择相应的长度因素：因为后支撑的两端铰接，所以μ=1 压杆长度l=1325mm惯性半径 i=15.4mm由于斜支撑的材质：Q235B所以，弹性模量E=206GPa ；λ1=100 ；λ2=62柔度判定：因为λ 2 <λ<λ 1 ； 所以为中柔度杆因此，采用直线公式进行计算：F1=3702N ＜cr F N 61681=所以后支撑稳定。
864.1513251=⨯==i l μλ()()N A F cr 616811013.297108612.1304b λa 66=⨯⨯⨯⨯-=⨯-=-22)(l EI F cr μπ=()A F cr ⨯-=b λa。
7-3压杆稳定计算-精选文档
5m
7m
9m
d
2 2 9 E ( 200 × 10 ) = = 99 . 35 6 p= 200 × 10 P
c > p
属于大柔度杆 （a） （b） (c)
故用欧拉公式计算临界压力
2 EI Fcr 3136 KN 2 = ( l )
例2 ：1000吨双动薄板液压冲压机的顶出器杆
σ σ
∴ σcr ≤σp
2E 有 p = p
或
E p
2
3、对λ<λp的压杆，不能用欧拉公 式，可用后面介绍的经验公式.
第三节
欧拉公式的适用范围
经验公式
三、经验公式 （1） 三类不同的压杆
细长杆（大柔度杆）—发生弹性屈曲,失稳 λ> λp 中长杆（中柔度杆）—发生弹塑性屈曲，失稳 λs < λ <λp 或 σp < σcr < σs
例1:三根直径均为d=16cm的圆杆，其长度及支承情况如图示。圆杆材料为
Q235钢，E=200GPa,σp=200MPa，试求： 1.哪一根压杆易丧失稳定？ 2.三杆中最大的临界压力值。
解： 压杆的柔度越大，临界压力 越小，越容易失稳。 1.计算柔度
4 I d × 4 d i= = 2 = A 64 × d 4 l 1 5 杆a: 1 2 5 2 i 4 1 0 l 0 . 7 7 杆b: 1 2 2 . 5 2 i 4 1 0 l 0 . 5 9 杆c: 1 1 2 . 5 2 i 4 1 0
粗短杆（小柔度杆）—不发生屈曲，而发生屈服 λ <λs 或
σs < σcr
第四节
压杆的稳定性计算
压杆的稳定计算
界力。
矩形 : Fcr 3.7kN
从以上三种情况的分 析，其截面面积相等、支承 条件也相同,但是，计算得到 的临界力却不一样。可见在 材料用量相同的条件下，选 择L/恰O/G当/O的截面形式可以提高 细长压杆的临界力。
Fcr 7.95kN
D y
z
30mm
30mm
⒉ 细长压杆的临界应力计算
⑴细长压杆临界应力的计算公式 — 欧拉公式
【例8-1】试计算图示压杆(截面面积 相同的矩形、正方形和圆形)的临 界力。
矩形 : Fcr 3.7kN
解：⑴计算截面的惯性矩
I max
Iy
hb3 12
45 203 12
3.0 104 mm4
⑵计算临界力
Fcr
2EI (l)2
2 200109 3108
L/O/G/O
(2 2)2
3701N 3.7kN
适用范围应当是压杆的临界应力不超过材料的比例极限，即
：
cr
2E 2
≤P
≥
E
P
设λP为压杆临界应力达到材料的比例极限时的柔度值，即：
L/O/G/O
则欧拉公式的适用范围为 ：≥ P
P =
E
P
cr
2E 2
8.2.2 中长压杆的临界力和临界应力计算 我国常用的临界应力经验计算公式为直线公式：
cr a b
学习情境8
压杆的稳定计算
学习要点：压杆稳定的概念、临界压力和 欧拉公式等。
教学目标：了解压杆稳定的概念；会计算细 长杆、中长杆和短粗杆的临界力；会对各种压杆 进行稳定校核。了解提高压杆稳定性的措施。
L/O/G/O
引例
一个实验：
松木板条：截面尺寸5×30，抗压极 限应力40MPa。
工程力学29-压杆稳定计算
1.压杆的稳定校核
F
[F ]
Fcr nst
nst：稳定安全系数
工作安全系数 n
Fcr F
cr
nst
9-
2 目录
n st
解：
CD梁 MC 0
F 2000 FN sin 30 1500
得 FN 26.6kN
3 目录
P 时称为大柔度杆（或长细杆），用欧拉公式求临界力；
P 时称为中、小柔度杆,不能用ns欧t 拉公式求临界力。
已求得FN 26.6kN
32m
l i
1
i
I A
D4 d4 4 64 D 2 d 2
D2 d2
4
16mm
得
1 1.732 16 103
108
P
AB为大柔度杆
Fcr
2EI l 2
制宜根据压杆稳定要求选取最优截面
难点
法三：增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
法四：增大弹性模量 E（合理选择材料）
大柔度杆
Fcr
2EI (l)2
中柔度杆 cr a b
表 10.2
6 目录
小结：
• 了解：压杆稳定校核公式的适用范围 重点 • 理解：各截面参数对于压杆稳定的影响 • 掌握：压杆稳定校核公式计算与应用，会因地
118kN
n
Fcr FN
118 26.6
4.42
nst
3
AB杆满足稳定性要求
4
2.提高压杆稳定性的措施
Fcr
2EI (l)2
欧拉公式
Fcr 越大越稳定
•减小压杆长度 l •减小长度系数μ（增强约束） •增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） •增大弹性模量 E（合理选择材料）
(整理)压杆稳定计算
第16章压杆稳定16.1 压杆稳定性的概念在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度条件，就能保证其正常工作。
但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。
当短粗杆受压时(图16-1a)，在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷F s(或抗压强度载荷F b)，杆件发生强度破坏时为止。
但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a所示的同样粗细而比较长的杆件(图16-1b)，当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。
我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。
此时，F1可能远小于F s(或F b)。
可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。
图16－1失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转(图16-2)；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆(图16-3)；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳(图16-4)。
本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。
图16-3所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。
实际上它是指平衡状态的稳定性。
我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。
第一种状态，小球在凹面的O点处于平衡状态，如图16-5a所示。
先用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。
因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。
第二种状态，小球在凸面上的O点处于平衡状态，如图16-5c所示。
当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡位置。
压杆的稳定计算
③ 确定该支架的许可荷载。
根据外力 F 与 BD 杆所承受压力之间的关系，只要考虑 AC 杆的平衡即可。
由 求得
M A 0,
FBD
l 2
F
3l 2
0
1 F 3 FBD
于是该支架能承受的最大荷载为
Fmax
1 3
FBDmax
1 47.0 103 3
15.7 103
N
最后确定该支架的许可荷载 [F] =15.7 kN。
3. 进行截面设计
已知压杆的长度、所用材料、支承条件以及承受的压力F，按照稳定条件计 算压杆所需的截面尺寸。由于在稳定条件式 (7-12) 中，折减系数 φ 是根据压杆的 柔度 λ 查表得到的，而在压杆的截面尺寸尚未确定之前，压杆的柔度 λ 不能确定， 所以也就不能确定折减系数 φ。因此，这类问题一般采用试算法。
为了计算方便，将临界应力的许用应力写成如下形式
cr
cr kst
(7-10)
式中：[σ] 为强度计算时的许用应力；φ 为折减系数，其值小于1。
由式(7-10) 可知，φ 值为
cr
kst
(7-11)
由式(7-11) 可知， 当[σ] 一定时，φ 取决于σcr 与kst。由于临界应力σcr值随 压杆的柔度而改变，而不同柔度的压杆一般又规定不同的稳定安全系数，所以
【例7-2】如图7-5a 所示，构架由两根直径相同的圆杆构成，杆的材料为 Q235 钢， 直径 d = 20 mm，材料的许用应力 [σ] = 170 MPa，已知 h = 0.4 m，作用力 F = 15 kN。 试校核两杆的稳定。
图7-5a 解：① 计算各杆承受的压力。 取结点 A 为研究对象，画受力分析图，如图7-5b 所示，根据平衡条件列方程
压杆计算汇总
第五章轴心受力构件轴心受拉构件轴心受压构件强度（承载能力极限状态）刚度（正常使用极限状态）强度刚度（正常使用极限状态）稳定（承载能力极限状态）强度计算（承载能力极限状态）N —轴心拉力或压力设计值；A n —构件的净截面面积；f —钢材的抗拉强度设计值。
nN fA σ=≤轴心受压构件，当截面无削弱时，强度不必计算。
刚度计算（正常使用极限状态）截面的回转半径；−=AIi 0[]l iλλ=<构件的计算长度；−0l 取值详见规范或教材。
构件的容许长细比，其−][λ轴心受压构件的整体稳定计算N Afϕ≤N f Aϕ≤Nf Aϕ≤构件长细比的确定①、截面为双轴对称或极对称构件：xxy yyoy y x ox x i l i l ==λλ②、截面为单轴对称构件：xxy yx ox x i l x =λ轴：绕非对称轴绕对称轴y 轴屈曲时，一般为弯扭屈曲，其临界力低于弯曲屈曲，所以计算时，以换算长细比λyz 代替λyxx yy轴心受压构件的局部稳定()235100.1yb t f λ≤+btb翼缘板：腹板：t wh 0h 0t w()0235250.5w yh t f λ≤+式中：λ—取构件两方向长细比较大者，当λ<30,取λ=30；当λ>100，取λ=100工字型截面：翼缘板自由外伸宽度b的取值，GB50017规定：对焊接构件取腹板边缘至翼缘板自由端的距离；对轧制构件取内圆弧起点至翼缘板自由端的距离。
箱形截面翼缘板023540yb t f ≤箱形截面th 0t w箱形截面腹板023540w yh t f ≤与长细比无关格构式轴压构件设计1、强度fA N ≤=nσN —轴心压力设计值；A n —柱肢净截面面积之和。
y yxx实轴虚轴N（1）对实轴（y-y 轴）的整体稳定得。
并按相应的截面分类查由y y y f ANλϕϕ−≤y yxx实轴虚轴2、整体稳定验算（2）对虚轴（x-x ）稳定20127x xAA λλ=+得。
压杆稳定计算简介
念概个几清分
参考食物 reference food 用于测定食物GI值的基准物质，通常为食品级或
药品级葡萄糖或葡萄糖溶液。 参考食物的GI值定为100。
待测食物 test food 用于GI值测定的食物。 如为加工食品，要求配方组成、生产工艺明确。
求要本基定测
GI测定应遵守相关伦理要求。
测定机构设施与条件应符合附录B的要求。
碳 水 ] 全谷物
] 薯类、根茎类
源]] 豆 蔬化合类菜 物 ] 水果
] 脱脂奶
] 糖来作物
] 含糖饮料
DF高 粗加工 天然
添加
可利用碳水化合物
包括糖、淀粉（抗性淀粉除外）和部分具有生血糖作 用的糖醇。
不可利用碳水化合物的组分列表
（不可消化）低聚糖
果聚糖 (低聚果糖、果寡糖、菊粉) 棉籽糖 水苏糖 低聚半乳糖 低聚木糖 — — — — —
案设计、组织与管理；以及具有执业资格的医护人员负责现场操作。
择选者试受
受试者人数要求: 不少于12人。
健康成年人（年龄在18岁～60岁），男女各半 无对待测食物过敏史和不耐受史。能够维持至少10h的空腹状态。 近3个月内未服用影响糖耐量的营养素补充剂，以及未口服避孕 药、乙酰水杨酸、类固醇、蛋白酶抑制剂和抗精神病药等药物。
EI－抗弯刚度 ；L－压杆的长度
μ－长度（支座）系数 ； μL－计算长度
压杆长度系数
杆端约 两端固定 一端固定 两端铰支 一端固定
束情况
一端铰支
一端自由
长度系
0.5
≈0.7
1.0
2.0
数
压杆的 挠曲线 形状
pcr
2 EI ( L) 2
根据欧拉公式，若要提高细长杆的稳定性，可 从下列几方面来考虑：
2021铁道工程技术 2.10压杆的稳定性计算
压杆的稳定计算—折减系数法一、稳定条件要使压杆不丧失稳定，应使作用在杆上的压力stcrn P P ≤P cr P st n st cr st cr n n P P σσ=⋅A ≤A =[]st A P σσ≤=AP=σ[]st cr st n σσ=cr σst n λ[]st σλ[]σ[]st σ[]σ[][]crst stn σσϕσ==[]σσϕ⋅=st crn []σϕ()10≤≤ϕϕλE ϕ[]σϕσ≤=Pϕ三、稳定计算应用（）式的稳定条件，可对压杆进行三种稳定方面的计算。
1稳定性校核按照压杆给定的支承情况确定μ值，然后由已知截面的形状和尺寸计算面积A 、惯性矩I 、惯性半径i 及柔度λ，由λ查表得出ϕ值，最后验算是否满足][σϕσ≤=AP这一稳定条件。
2确定许用荷载根据压杆的支承情况，截面形状和尺寸依次确定μ值、计算A 、I 、i 、λ各值。
然后根据材料和λ值，由表查出ϕ，最后按稳定条件计算许用荷载：[][]ϕσ⋅≤A P3选择截面稳定条件经变换后可得： []σϕpA ≥上式表明，要计算A ，先要查知ϕ，但ϕ与λ有关，λ与i 有关，i 与A 有关，当A 未求得之前，ϕ值也不能查出。
一般采用试算法。
例 图所示千斤顶的最大起重量kN P 120=。
已知丝杠的长度mm l 600=，mm h 100=，丝杠内径mm d 52=，丝杆材料为235Q 钢，[]MPa 80=σ，试校核丝杆的稳定性。
图解：（1）首先计算柔度丝杆可粗略地简化为下端固定、上端自由的压杆，故长度系数为2，丝杆的长度取最不利的状态为2h l -，则()62.84452506002=-⨯==ilμλ（2）查表并用内插法计算62.84=λ对应的ϕ值。
80=λ，731.0=ϕ；90=λ，669.0=ϕ任务实施PdhP62.84=λ时()702.08062.848090669.0731.0731.0=----=ϕ（3）校核丝杆稳定性[]MPa 19.5680702.0=⨯=σϕMPa AP 53.565241012023=⨯⨯==πσ[]σϕσ>，但没有超过5%，所以丝杆满足稳定性条件。
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临界力—压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力， 称作临界压力或临界荷载。
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第二节 细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力
取X截面研究弹性范围内的挠曲线方程：
d2y dx2
M (x) EI
Plj EI
y;
令 Plj EI
k 2 ,则有 d 2 y dx2
当临界应力超出比例极限时，材料处于弹塑性阶段，此类压 杆的稳定称弹塑性稳定。临界应力由经验公式计算。
lj a b2; Plj lj A (a b2)A;
式中：λ—压杆的长细比；a、b—与材料有关的常数,可查表确定。 A3钢：a＝235,b＝0.00668；
16锰钢：a＝343,b＝0.0142。
二、欧拉公式的适用范围
λp—分界柔度，取决与
lj
2E 2
p
或
2E p
p
材料的力学性质。A3钢：
E 200GPa, p 200EPa, p
2 200000
100 200
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三、超出比例极限时压杆的临界力 临界应力总图
•
A 4850
•
w
3
0.253160
40.48MPa
[
];
• 误差为： •
w w
100%
40.48 41.23 100% 1.85% 40.48
•
实际工作应力不超过许用应力的5%规定， 故所选25a号
工字钢符合稳定性要求。
(5)强度校核：因截面有局部削弱，应对削弱截面进行强度 校核。从型钢表中查得25a号工字钢腹板厚mm,所以横 截面C处的净面积为
由 0.5, 求柔度 l 0.510000 126.6;
i
39.5
查值，用插值公式求得： 0.466 0.401 0.466 (126.6 120) 0.423;
130 120
[P] [ ]A 0.423140 21274 150.9kN
178KN
比较计算结果可知：第一种情况临界压
力小，所以木柱将在最大刚度平面内失稳（ 即绕y轴，在xoz平面内失稳）。此例说明，当 最小刚度平面和最大刚度平面内支承情况不 同时，压杆不一定在最小刚度平面内失稳， 必须经过计算才能最后确定。
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第三节 压杆的临界应力
一、临界应力与柔度
临界应力—临界压力作用下压杆处于临界直线平衡状态时
的应力。
lj
Plj A
2EI
l2 A
2E
l 2
I A
2E
l 2
i2
2E 2
其中：i I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
＝ l 称为压杆的柔度（长细比）；反映压杆的柔软程度。
i
•
第11章 压杆稳定
第一节 压杆稳定的概念
第二节 细长压杆的临界力
第三节 压杆的临界应力
第四节 压杆的稳定计算
第五节 提高压杆稳定的措施
小结
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•
第一节 压杆稳定的概念
压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其稳定性。 （指受压杆件其平衡状态的稳定性）
细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至 弯断的现象称为丧失稳定或失稳。
]
( )
二、压杆的稳定计算
1. 稳定计算：由P、A、I、l、μ，求λ，查φ，校核σ。
2. 确定许可荷载：由A、I、l、μ、E，求[P]=φ[σ].A。
3. 设计截面：由P、l、μ，求A、I。因A、φ均未知，故
用试算法计算；
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例10-5 校核木柱稳定性。已知l＝6m,圆截面d＝20cm,两端铰接，
2 EI m in (l)2
式中： E材料的弹性模量；
Imin压杆横截面对中性轴的最小惯性矩；单位：m4； μl计算长度；
长度系数，与杆端支承有关。
一端固定，一端自由压杆：μ＝2；
两端铰支细长压杆：
μ＝1；
一端固定，一端铰支压杆：μ＝0.7；
两端固定细长压杆：
μ＝0.5；
不同支承情况的临界力公式可查表确定。
I ;
4
4
64
i I d 7mm; 1;
A4
l
i
11000 7
142.9
p
123;
大柔度杆；
lj
2E 2
2 200000 142 .92
96.7MPa
Plj lj A 96.7 615 .75 59.6kN NBA;
木柱稳定。
例10-6 求钢柱的许可荷载[P]。已知钢柱由两根10号槽钢组成，
l＝10m,两端固定，[σ]＝140MPa。
解：查型钢表，A=12.74cm2， Iy=25.6cm4, Iz＝198.3cm4, iz=3.95cm， zo=1.52cm;
I y 2[25.6 12.74(1.52 2.5)2] 463cm4 Iz Imin
由结点B的平衡条件确定支架的承载力Pmax： Y 0, NBA sin Pmax 0; Pmax NBA sin 59.6
4 5
47.7kN;
实际工程中应再考虑安全系数，取[P]=Pmax/n。
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• 第四节 压杆的稳定计算
一、 稳定条件
Plj l 2
32
346 kN
•由此可知，若轴向压力达到346KN时，此压杆便
会丧失稳定。
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• 例10-2：截面为200×120mm2的轴向受压木柱，l=8m，柱的支承
情况是，在最大刚度平面内压弯时为两端铰支（图a）；在最小 刚度平面内压弯时为两端固定（图b），木材的弹性模量 E=10GPa，试求木柱的临界压力。 解：由于柱在最大与最小 刚度平面内压弯时的支承 情况不同， 所以需要分 别计算在两个平面内失稳 的临界压力，以便确定在 哪个平面内失稳。
临界应力总图—临界应力
lj与柔度的函数关杆； lj
2E 2
;
c :中小柔度杆； lj a b2;
λc—修正的分界柔度。
A3钢：λc=123；16锰钢：λc＝102。 返回 下一张 上一张 小结
例10-3 22a号工字钢柱，长l＝3,两端铰接，承受压力P＝500kN。 钢的弹性模量E＝200GPa,试验算此杆是否能够承受此压力。
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• 例10-1 一根两端铰支的20a号工字钢压杆，
长L=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试确定 其临界压力。
•解：查表得20a号工字钢:
Iz=2370cm4,Iy=158cm4,
2 EI
•临界压力按公式 plj l 2
计算
2EI 2 200 106 158 10 8
为加大杆的承载能力，改变支承方式为两端固定（或加中间
支承减小杆长），则μ＝0.5,
l
i
129.9 2
64.95
p
123
为超出比例极限的失稳，应采用经验公式计算临界应力。
lj a b2 235 0.0066864.952 206.8MPa
Plj lj A 206 .8 4200 868 .7kN P 500 kN
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• 例10-7 图示立柱，一端固定，另一端自由，顶部受轴向压力
P=200KN的作用。立柱用工字钢制成，材料为A3钢，许用应力为 。在立柱中点横截面C处，因构造需要开一直径为
d=70mm的圆孔。试选择工字钢型号。
解：（1）第一次试算：先假定φ1=0.5
得
A
解：查表知A=42cm2,imin=2.31cm,μ=1,则柔度
l
i
1 3000 23.1
129.9
p
123
大柔度杆
由欧拉公式
lj
2E 2
2 200 103 129 .92
117 MPa
Plj lj A 117 4200 491 .3kN P 500 kN 所以，此杆不能安全承受500KN压力，而将发生失稳破坏。
k2y
0;
其通解为y c1 sin kx c2 cos kx;
由边界条件x 0, y 0; x l, y 0;
得c2 0;c1 sin kl 0;
因为c1 0,所以sin kl 0;得kl n (n 0、1、2、 n)；
则
Plj
n2 2EI
• （2）计算最小刚度平面内的临界压力（即绕 z 轴失稳）。
•
中性轴为z轴： Iz
200 120 3 12
28.8 10 6 mm 4
28.8 10 6 m4
木柱两端固定，，则得：
Plj
2EIz
l 2
3.142
10103 28.8106
0.5 80002
P
1
200 103 0.5 160
2500mm2
，则由式