线面角的计算方法
法向量求线面角公式
法向量求线面角公式为：cosθ=a*b/(|a|*|b|)。
不平行于平面的直线上一点作平面的垂线，这条垂线与平面的交点与原直线与平面的交点的连线与原直线构成的（这条线与原直线的夹角的余角）即为线面角。
公式上部分：a与b的数量积坐标运算：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a·b=x1x2+y1y2。
公式下部分是a与b的模的乘积：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则（|a||b|）=根号下（x1平方+y1平方）*根号下（x2平方+y2平方）。
线线角和线面角求解方法：
线线角可以直接采用公式求取，因为线线角范围是(0,π/2]，因此其夹角的正弦值和余弦值均恒大于等于零，所以直接求绝对值即可。
线面角的求取则需要借助平面的法向量，线面角与该直线和该平面的法向量所成的角互余，所以线面角的正弦值为直线与平面法向量所成角的余弦值，线面角的余弦值与平面法向量所成角的正弦值。
又因为线面角的范围同样为(0,π/2]，其夹角的正弦值和余弦值均恒大于等于零，所以在求该直线与该平面的法向量所成角的余弦值直接取绝对值即可。
线面所成角公式
线面所成角公式线面所成角（又称线棱所成角）是一类几何计算中的一个基础概念，可以在几何学中发挥重要作用，也是机械设计与结构分析方面经常使用的概念。
它作为实体几何学中的基本概念，具有普遍意义，涉及两条相交的线段或曲线和一个空间平面之间所形成的角度。
线面所成角的角度可以用以下公式来表达：α = arccos（(ab) / (ab)）其中，α表示两条线段之间的夹角，a和b分别表示两条线段的向量，而“”表示两个向量的点积，ab表示两个向量的模的乘积，即两个向量的模的乘积。
线面所成角的计算首先要计算两条相交线段或曲线对应的向量，即a和b，然后利用以上公式计算出a和b之间的夹角α，由此可以得出两条相交线段或曲线之间的夹角。
线面所成角概念在几何学、机械设计及结构分析中被广泛使用，是一种重要的几何计算工具。
它可以用来计算一个物体的总夹角、方位角等，以此得到物体整体形状的正确性。
此外，线面所成角在机械设计与结构分析中无处不在，它可以用来计算出机械部件连接和改变形态时的夹角变化，从而确定出部件的最佳连接方式，检查出机械结构动态变形，同时也可以更好地预测结构及机械部件的受力情况，从而确定出最优的机械设计方案。
线面所成角的计算以及其在几何学和机械设计中的使用，为我们的学习和科技发展提供了重要的支撑。
其公式的推导和应用不止于此，因此，有必要深入研究线面所成角的计算公式，以及在几何学和机械设计中的应用，加深对线面所成角的理解，以改善科技发展与人类文明之间的联系。
总之，线面所成角公式是一个重要的算法和工具，它可以被广泛应用于几何学，机械设计和结构分析，为科学教育和科技发展提供了重要的支撑。
研究线面所成角及其公式能够帮助我们更深入地了解它，把科学和技术发展和人类文明的联系更加紧密，进而促使科技进步和社会发展。
线面角的求法总结
线面角的求法总结线面角是立体几何中的一个重要概念，指的是直线与平面之间的夹角。
在实际问题中，线面角的求法有多种方法，包括正投影法、平行线交线法、倾斜线投影法等。
下面将从这些不同的求法角度，总结线面角的求法方法。
一、正投影法正投影法是线面角的一种常用求法方法。
具体的求法步骤是：首先，以直线上的两点为基点，分别作两条垂直于平面的直线，将平面上的两个点投影到这两条垂直线上。
然后，连接两个投影点与基点，即可得到线面角。
简单来说，就是将线段的两个端点在平面上做垂线，再连接垂线与线段的两个端点所构成的三角形。
二、平行线交线法平行线交线法是另一种求解线面角的常用方法。
它适用于直线与平面的交点在平行线上的情况。
具体的求法步骤是：首先，找到平行于直线的两条线，并找出这两条线与交线的交点。
然后，以这两个交点为基点，分别作两条直线与交线相交，再连接交线两个端点与这两个交点，即可得到线面角。
简单来说，就是在平行线上找到与线段相交的两条线，将线段的两个端点与两个交点连线所构成的三角形。
三、倾斜线投影法倾斜线投影法是应用于倾斜线与平面的角的求法方法。
具体的求法步骤是：首先，判断倾斜线是否与平面相交，如果相交，则找到交点。
然后，以交点为基点，分别作两条垂直于平面的直线，并将交点投影到这两条垂直线上。
最后，连接两个投影点与交点，即可得到线面角。
简单来说，就是将倾斜线段的一个端点与交点连线，再以交点为顶点做一个角的投影。
四、线面角的特殊情况求解除了以上常用的求解线面角的方法外，还有一些特殊情况需要考虑。
例如，如果线段与平面平行，则线面角为无穷大；如果线段垂直于平面，则线面角为直角，即90度；如果线段在平面上，则线面角为0度。
这些特殊情况可以根据实际问题的需要灵活运用，以求解线面角。
总之，线面角的求法有多种方法，根据具体的问题和实际情况选择合适的方法进行求解。
正投影法、平行线交线法和倾斜线投影法是常用的求解方法，可以满足大多数情况下的求解需要。
线面角的求法总结[学习]
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线面角的求法总结[学习]
一、定义
斜线面角，又称为投影面角，是指在一个平面和另一个平面上投影的两个斜线之间的
夹角。
一般我们用斜线来表示斜线面角，用直线来表示竖直面角。
二、求法
1.两斜线角度法
如果两斜线是相互垂直的，则斜线面角等于这两条斜线的夹角，这也是斜线面角最常
使用的求法。
4.斜线特点法
如果斜线有一个特点或异性，则可以用它来求斜线连接线的夹角，进而求出斜线面角。
比如说斜线的弦长、半径长I、斜线的最大距离C可以用来求斜线的斜线面角。
计算方式
如下：斜线面角=arcsin[(I-C)/C]
三、总结
以上就是斜线面角的求法总结：1.两斜线角度法；2.斜线直线角度法；3.斜线圆心角法；4.斜线特点法。
此外，也可以把斜线面角写成三角形的标准式求出，只要知道斜线面
角上两个边长，以及所角的度数就可以求出三角形的剩余一边所构成的总面角，也就是斜
线面角。
线面角和二面角的范围
线面角和二面角的范围一、引言线面角和二面角是几何学中的重要概念，广泛应用于计算机图形学、化学、材料科学等领域。
本文将详细介绍线面角和二面角的定义、计算方法以及其范围。
二、线面角的定义和计算方法1. 定义线面角是指直线与平面之间的夹角，即直线在平面上的投影与该直线本身之间的夹角。
它通常用于描述两个分子之间的相对位置关系。
2. 计算方法设直线L与平面P相交于点A，过点A作平面P上的垂线AD，则所求得的夹角就是∠LAD。
其中，LAD构成了一个直角三角形，因此可以使用三角函数来计算该夹角。
三、线面角的范围由于直线和平面可以任意取向，因此线面角没有固定的范围。
但是，在实际应用中，通常将其限制在0到180度之间。
四、二面角的定义和计算方法1. 定义二面角是指两个平面之间的夹角，即一个多面体两个相邻侧面所张开的空间部分所对应的立体角。
它通常用于描述多边形网格模型中不同面的相对位置关系。
2. 计算方法设多面体的两个相邻侧面分别为ABC和ABD，则所求得的二面角就是∠CABD。
其中，CABD构成了一个四面体，因此可以使用四面体立体角公式来计算该夹角。
五、二面角的范围二面角的范围通常被限制在0到180度之间。
在实际应用中，如果两个相邻侧面共线，则其二面角为0度；如果两个相邻侧面互相垂直，则其二面角为90度；如果两个相邻侧面背向而行，则其二面角为180度。
六、总结本文介绍了线面角和二面角的定义、计算方法以及其范围。
线面角是直线与平面之间的夹角，没有固定的范围；而二面角是两个平面之间的夹角，通常被限制在0到180度之间。
这些概念在计算机图形学、化学、材料科学等领域中有着广泛应用。
线线角-线面角的向量求法--
线线角-线面角的向量求法--
在几何中，线段与面的角度是指两个线段在空间上的夹角，一条线段穿过一个平面，产生了一个线面角。
它的计算是利用空间线段的垂直向量来求解的，它与传统的线线角的求法有所不同。
线面角的求法主要有以下三种：
（1）直接求解线段的垂直向量。
利用空间线段的垂直向量，可以比较容易地求出线面角，其具体步骤是：（1）确定两个空间线段，并计算出每条线段的斜率；（2）由斜率计算出线段的垂直向量；（3）通过两个垂直向量的夹角来求出线面角的余弦值，然后将余弦值转化为角度值，即，线面角的值。
（2）转换为线线角的求法。
首先，由空间线段可以构造出一个平面；然后，可以将两个空间线段在这个平面上展开，其中一条线段是斜45°展开，另一条线段则与它垂直，这样，就可以计算出展开后的两条线段间的夹角，这个夹角就是原来空间中的线面角。
（3）空间坐标描述求解法。
空间线段可以根据它的端点坐标来描述，给定每条线段的端点坐标，可以用端点坐标计算出空间线段的方向向量，由此可以计算出这两条线段的夹角，即空间中的线面角。
向量求线面角公式
向量求线面角公式好的，以下是为您生成的关于“向量求线面角公式”的文章：咱先来说说啥是线面角。
想象一下，有一根直直的线，还有一个平平的面，这根线和这个面相交了，它们之间形成的那个角就是线面角。
那向量和线面角又有啥关系呢？这就好比我们找到了一把神奇的钥匙来解开这个角度的秘密。
在向量的世界里，有个超重要的公式可以帮助我们求出线面角。
假设直线的方向向量是 a ，平面的法向量是 n ，线面角是θ ，那这个公式就是sinθ = |cos < a, n >| 。
这里面的“cos < a, n >”就是向量 a 和向量 n 的夹角的余弦值。
那为啥要用绝对值呢？这是因为向量的夹角有可能是钝角，可咱们要求的线面角得是锐角呀。
我给大家讲个我之前教学时遇到的事儿。
有一次在课堂上，我刚讲完这个公式，就看到一个同学一脸迷茫。
我走过去问他咋啦，他挠挠头说：“老师，我咋觉得这个公式这么抽象，搞不懂啊。
”我就笑着跟他说：“别着急，咱们一起来看看。
”我拿起一支笔当作直线，拿一本书当作平面，给他比划着解释。
“你看，这直线和平面相交，咱们通过向量来找到它们之间的关系。
就像你要找到去朋友家的路，得先知道方向和路线一样。
”慢慢地，这位同学的眼睛亮了起来，他说：“老师，我好像有点明白了！”其实啊，学习这个公式就像是在解谜。
我们得先搞清楚每个向量代表的意思，然后再按照公式一步步计算。
比如说，给你一个直线的方程，还有平面的方程，你得先把它们的方向向量和法向量找出来。
这就像是在一堆线索中找出关键的那几条。
有时候，同学们在计算的时候容易出错。
比如说，忘了取绝对值，或者把向量的坐标算错了。
这就好比你在走路的时候不小心走错了方向，结果越走越远。
那怎么才能熟练掌握这个公式呢？得多做练习题呀！每做一道题，就像是积累了一块拼图，做得多了，整个知识的画面就清晰了。
总之，向量求线面角公式虽然看起来有点复杂，但只要我们用心去理解，多练习，就一定能掌握它，轻松应对各种线面角的问题。
线面角的求法总结
线面角的求法总结三种求解线面角的方法1.直接法：当平面的斜线与斜线在平面内的射影相交时，它们所成的角即为直线与平面所成的角。
一般通过解直角三角形来计算，其中垂线段是最重要的元素，它可以联系各线段。
例如，在四面体ABCS中，SA、SB、SC两两垂直，且∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。
（2）SC与平面ABC所成的角。
解：（1）由于SC垂直于SB和SA，因此SB是BC在平面SAB上的射影，∴∠XXX为60°。
2）连接SM和CM，得到SM垂直于AB。
由于SC垂直于AB，因此AB垂直于平面SCM，从而面ABC垂直于面SCM。
过S作SH⊥CM于H，则SH⊥平面ABC，∴CH即为SC在面ABC内的射影。
因此，∠SCH为SC与平面ABC所成的角，其正弦值为√7／7.2.利用公式sinθ=h／ι，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长。
求出垂线段的长是关键也是难点，可以使用三棱锥的体积相等来求解。
例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，A1A=4，求AB与面AB1C1D1所成的角的正弦值。
解：设点B到AB1C1D1的距离为h，由于VAB1C1D1=VA1B1C1D，因此1／3S△AB1C1·h=1／3S△BB1C1·AB，解得h=12／5.设AB与面AB1C1D1所成的角为θ，则sinθ=h／AB=4／5.3.利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2已知，其中AO是平面α的斜线，A是斜足，OB垂直于平面α，B为垂足，则直线AB是斜线在平面α内的射影。
设AC是平面α内的任意一条直线，且OBC垂直于AC，垂足为C，则∠BAO=θ1，∠BAC=θ2.例如，如图所示，求直线AB与平面α所成的角的余弦值。
解：由于OB垂直于平面α，因此∠XXX即为直线AB与平面α所成的角。
线面角的三种求法
长方体ABCD A1B1C1D1 , AB 3，BC 2, A1A 4，求AB与面AB1C1D 所成的角的正弦值
设点B到平面 AB1C1D的距离为 h 1
练 习
1.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面
成角，B是A在上的射影,OD是内的
直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则
sin =
6
解:
3
由最小角原理得ຫໍສະໝຸດ cosAOD cosBODcos
即cos 60 cos30 cos
。
A
O
B
C
D
cos 3
3
“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面 的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂 直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
例题
例1 . 如图，在Rt△ ABC中，已知
∠C=90，AC=BC=1，PA⊥平面ABC，且 PA= 2 ，求PB与平面PAC所成的角.
A
B
α
O
D
C
解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知
∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC ∴cos60° =cos∠AOD·cos30°∴ cos∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC所成的角的余弦值为√3／3。
VB AB1C1 VABB1C1 3 SBB1C1 • AB 得h 12
求线面角的三种方法
试题研究SHI TI Y ANJIU本文介绍求线面角的三种常见方法，并对其作比较分析.例如图1，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =2AA 1，点D 是A 1B 1的中点，点E 在A 1C 1上，且DE ⊥AE ．求直线AD 和平面ABC 1所成角的正弦值．A 1ABCDE C 1B 1A 1AB C D E C 1B 1FH 图1图2方法1直接作出线面角求解分析因为本题几何图形是特殊的几何体——正三棱柱，点D 在特殊位置上——线段A 1B 1的中点，所以本题比较容易作出线面角.解如图2，设F 是AB 的中点，连结DF ，DC 1，C 1F ．由正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的性质及D 是A 1B 1的中点知，A 1B 1⊥C 1D ，A 1B 1⊥DF ．又C 1DDF =D ，所以A 1B 1⊥平面C 1DF ．而AB ∥A 1B 1，所以AB ⊥平面C 1DF ．又AB 平面ABC 1，故平面ABC 1⊥平面C 1DF ．过点D 作DH 垂直C 1F 于点H ，则DH ⊥平面ABC 1．连结AH ，则∠HAD 是AD 和平面ABC 1所成的角．由已知AB =2AA 1，不妨设AA 1=2，则AB =2，DF =2，DC 1=3，C 1F =5，AD =AA 21+A 1D 2=3，DH =DF ·DC 1C 1F=305．所以sin ∠HAD =DHAD=105．方法2用等体积法求出点D 到面ABC 1的距离h ，h AD为所求线面角的正弦值分析如图3，连结C 1D ，BD ，即得四棱锥D -ABC 1．用等体积法，即V D -ABC 1=V C 1-DAB，容易求出点D 到平面ABC 1的距离h ．解如图3，连结C 1D ，BD.因为平面A 1B 1C 1⊥平面AB 1，C 1D ⊥A 1B 1，所以C 1D ⊥平面AB 1．不妨设AA 1=2，则AB =2，DC 1=3，AC 1=BC 1=6，AD =BD =3.易求S ΔA DB =2，S ΔABC 1=5．设D 在平面ABC 1内的射影为H ，DH =h ，连结AH ，则∠HAD 是AD 和面ABC 1所成的角.因为V D -A B C 1=V C 1-DA B，所以13×h ×S ΔA B C 1=13×C 1D ×S ΔABD ，h =305．所以sin ∠HAD =DHAD=105．A 1AB C DE C 1B 1图3H ⊙潜江舒云水五胡十六国标志中国正式成为具有相似生活习惯和同一文化观念的多民族国家。
空间向量求线面角公式
空间向量求线面角公式在空间几何中，线面角是指一条直线与一个平面之间的夹角。
空间向量是空间中具有方向和大小的量，它可以用来描述线段、直线、平面等几何实体。
那么，我们如何利用空间向量来求解线面角呢？我们需要了解空间向量的基本概念和性质。
空间中的向量通常用有序数组表示，例如A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)表示的向量可以表示为AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁)。
假设直线L上有一点P，平面Π上有一点Q，我们要求解线面角α。
首先，我们可以利用向量的点乘公式来计算直线L的方向向量和平面Π的法向量之间的夹角。
直线L的方向向量可以表示为向量AP，即AP = P - A。
平面Π的法向量可以表示为向量n，其中n是平面Π的法线向量的一个单位向量。
根据向量的点乘公式，我们知道两个向量的点乘等于两个向量的模长之积与它们的夹角的余弦值。
因此，我们可以得到以下公式：cos(α) = (AP · n) / (|AP| |n|)其中，AP · n表示向量AP和向量n的点乘，|AP|表示向量AP的模长，|n|表示向量n的模长。
接下来，我们需要计算向量AP和向量n的模长。
向量AP的模长可以表示为：|AP| = √((x - x₁)² + (y - y₁)² + (z - z₁)²)其中，(x, y, z)表示点P的坐标。
向量n的模长可以表示为：|n| = √(a² + b² + c²)其中，(a, b, c)表示平面Π的法线向量的坐标。
将向量AP和向量n的模长代入公式，我们可以得到：cos(α) = ((x - x₁) * a + (y - y₁) * b + (z - z₁) * c) / (√((x - x₁)² + (y - y₁)² + (z - z₁)²) * √(a² + b² + c²))我们可以通过求解反余弦函数来得到线面角α的值：α = arccos(((x - x₁) * a + (y - y₁) * b + (z - z₁) * c) / (√((x - x₁)² + (y - y₁)² + (z - z₁)²) * √(a² + b² + c²)))这个公式可以用来计算空间中直线与平面之间的夹角。
向量法求线面角公式
向量法求线面角公式
线面角是指由一条直线和一个平面所形成的角度。
通过向量法可以求出线面角的公式，具体如下：
假设直线的向量为 a，平面的法向量为 n，则线面角的大小可以通过向量点积计算：
cosθ = (a·n) / (|a||n|)
其中，|a|为向量 a 的模长，|n|为法向量 n 的模长，a·n 表示向量 a 和向量 n 的点积，θ 为线面角的大小。
通过反余弦函数可以求出线面角的弧度值，再将其转换为角度值即可得到最终的结果。
需要注意的是，在计算时需要确保直线和平面是在同一坐标系下表示的，且向量 a 与法向量 n 是互相垂直的。
线面角的计算公式
线面角的计算公式线面角在数学和几何中是一个非常重要的概念。
它与平面和空间图形的研究有着密切的关系，同时也在日常生活中具有很大的应用。
在本文中，我们将介绍线面角的定义、计算公式以及如何应用这些公式。
1. 线面角的定义首先，我们需要了解什么是线面角。
线面角是由一条线段与一个平面形成的夹角。
当我们将线段平移到平面上时，它将会成为一个角，这个角就是线面角。
线面角有两个端点，一个位于线段所在的点，另一个位于线段与平面相切的点。
线面角是一种度量角度大小的方法。
通常用弧度或度数来表示。
弧度是一个圆心角所对的角度，它的单位是弧长与半径的比值。
度数是每个角度有360个度的计量方法。
2. 线面角的计算公式线面角的计算公式可以根据情况有所不同。
下面列出一些常用的公式以供参考。
（1）线面角的弧度表示如果用弧度表示线面角，则公式为：线面角（弧度）= 弧长 / 半径例如，一条长4米的线段与一个半径为2米的球体相交。
则线面角的弧度表示为：线面角（弧度）= 4 / 2 = 2（2）线面角的度数表示如果用度数表示线面角，则公式为：线面角（度数）= 弧度/ π × 180°例如，如果线面角的弧度表示为2，则线面角的度数表示为：线面角（度数）= 2 / π × 180° ≈ 114.59°（3）线面角的余弦值线面角的余弦值可以用来计算两个线面角之间的夹角。
公式如下：cos θ = a · b / |a| × |b|其中，a 和 b 分别代表两个向量，|a| 和 |b| 分别代表它们的模长。
θ 代表两向量之间的夹角。
例如，如果有两条线段 a 和 b，它们的向量分别为a = (1,2,3)b = (4,5,6)则它们之间的线面角的余弦值为：cos θ = (1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6) / √(1² + 2² + 3²) × √(4² + 5² + 6²) ≈ 0.974（4）线面角的正弦值线面角的正弦值可以用来计算线面角所在平面与另一平面之间的夹角。
线面角的求法
03
线面角的应用
平面几何中的应用
01
直线和平面的交点
02
三角形的高线
通过线面角，可以确定一条直线和一 个平面的交点位置。
在三角形中，可以使用线面角确定高 线的位置，从而求得三角形的面积。
03
圆和直线的位置关系
通过线面角，可以确定一条直线和一 个圆的位置关系。
空间几何中的应用
确定空间中点的位置
通过线面角，可以确定一个点在 三个平面上的位置。源自空间几何体的表面积 和体积
通过线面角，可以确定一个几何 体的表面积和体积。
异面直线的距离
通过线面角，可以确定两条异面 直线之间的距离。
物理学中的应用
弹性碰撞
在弹性碰撞中，可以通过线面 角确定入射和反射的角度。
光的反射和折射
在光学中，可以通过线面角确定 光的反射和折射角度。
波的传播
在波的传播过程中，可以通过线面 角确定波的方向。
利用圆的性质
在圆中，利用圆的性质可以求出圆的半径和 圆心坐标等。
利用向量求解的技巧
01
02
03
向量的数量积
利用向量的数量积可以求 出两个向量的夹角，进而 求出线面角。
向量的向量积
利用向量的向量积可以求 出两个向量的外积，进而 求出线面角。
向量的模长
利用向量的模长可以求出 线段或平面的长度等。
06
计算点的坐标
根据题目所给条件，计算出线 段或平面上的点的坐标。
计算向量
利用向量的坐标运算性质，计 算出线段或平面上的向量的坐
标。
利用几何定理求解的技巧
利用勾股定理
在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线 段或平面上的点到原点的距离。
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教师姓名 余永奇 学生姓名 洪 懿 上课时间 2014.11.15 辅导学科 数学
学生年级
高二
教材版本 人教版 课题名称
线面角，二面角的计算方法（文科）
本次学生 课时计划
第（10）课时 共（60）课时
教学目标 线面角的计算方法
教学重点 线面角的计算方法 教学难点 线面角的计算方法
教师活动 学生活动
上次作业完成情况(%)
一．检查作业完成情况，并讲解作业中存在的问题
二．回顾上次课辅导内容
三．知识回顾，整体认识 1、本章知识回顾
（1）空间点、线、面间的位置关系； （2）直线、平面平行的判定及性质； （3）直线、平面垂直的判定及性质。
2、本章知识结构框图
（二）整合知识，发展思维
1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。
公理1——判定直线是否在平面内的依据； 公理2——提供确定平面最基本的依据； 公理3——判定两个平面交线位置的依据； 公理4——判定空间直线之间平行的依据。
2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；
3、空间平行、垂直之间的转化与联系：
平面（公理1、公理2、公理3、公理4）
空间直线、平面的位置关系
直线与直线的位置关系
直线与平面的位置关系
平面与平面的位置关系
直线与直线平行
直线与平面平行
平面与平面平行
4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。
典型例题：
线面夹角的计算
例1（2014浙江高考文科20题）如图，在四棱锥A-BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE=∠BED
=90°，AB=CD=2, DE=BE=1，AC=2. （Ⅰ）证明： AC ⊥平面BCDE ；
（Ⅱ）求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值.
例2(2013浙江，文20)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，PA
＝3，∠ABC ＝120°，G 为线段PC 上的点． (1)证明：BD ⊥平面APC ；
(
43
3
) (2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值；(3)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PG
GC
的值．(3/2)
直线与直线垂直
直线与平面垂直 平面与平面垂直
例3（(2012浙江，文20)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1
中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=2。
AD=2，BC=4,AA 1=2，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点。
（1）证明：（i ）EF∥A 1D 1； （ii ）BA 1⊥平面B 1C 1EF ； （2）求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值。
例4(2011浙江，文20)如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，
垂足O 落在线段AD 上. （Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；
（Ⅱ）已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD =.求二面角B AP C --的大小.
例5（(2010浙江，文20)如图，在平行四边形ABCD 中，AB=2BC ，∠ABC=120°。
E 为线段AB 的中点，
将△ADE 沿直线DE 翻折成A DE '∆，使平面A DE '⊥平面BCD ，F 为线段A C '的中点。
（Ⅰ）求证：BF ∥平面A DE '； （Ⅱ）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A DE '所成角的余弦值。
例6（2009
浙江，文19)如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，
120ACB ∠=o ，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平面ABE
所成角的正弦值．
例7（2008浙江，文20)如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，
,∠BCF=∠CEF=90°,AD=.2
,3
EF
（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；
（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？
练习：
1. 如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为√2,底面三角形的边长为1,则BC1与侧面ACC1A1所成的角是＿＿.
2.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍,则侧棱与底面所成角的余弦值等于＿＿.
3. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为＿＿.
A B
B1
C
A1
C1
A B
C
D
A1B1
C1
D1
4. 在如图所示的几何体中,EA ⊥平面ABC ， DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. 求DE 与平面EMC 所成角的正切值
6. 四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,侧面SBC ⊥底面ABCD.已知∠ABC=45。
，AB=2，BC=2√2，SA=SB=√3. 求直线SD 与平面SBC 所成角的大小.
B
A
C
D
E
M
S
A
B
C
D
7. 如图,在三棱锥V-ABC 中,VC ⊥底面ABC,D 是AB 的中点,且AC=BC=a,AC BC ⊥,∠VDC=θ(0﹤θ﹤π/2).试确定角θ的值,使直线BC 与平面VAB 所成的角为π/6.
8. 右图是一个直三棱柱(以A 1B 1C 1为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为ABC,已知A 1B 1=B 1C 1=1, ∠A 1B 1C 1=90。
,AA1=4,BB1=2,CC1=3.点O 是AB 的中点.求AB 与平面AA 1C 1C 所成角的大小.
9.如图，直角梯形ABCD 中，AB//CD ，BCD ∠ = 90° , BC = CD = 2,AD = BD ：EC 丄底面
V
B
A
D
C
A
C 1
B 1
A C
B
O
ABCD, FD丄底面ABCD 且有E C=F D=2.
(I)求证：AD丄B F :
(II )若线段EC的中点为M，求直线AM与平面ABEF所成角的正弦值
课堂练习
课后作业
课
后
记
|
见
网
上
评
价
*学习态度*上课注意力
*思维能力*应用能力
*教师评语本节课教学情况(如:知识掌握、教学完成情况、课堂表现、知识接受程度等）：
提交时间教研组长/主任审批（签字）
备注：a.评价等级有A+、A、A-、B+、B、B-、C+、C、C-共9级.
b.此表用作每次课的教学设计方案.。