高等数学考研大总结之四导数与微分

第四章 导数与微分 第一讲 导数 一，导数的定义：1函数在某一点0x 处的导数：设()x f y = 在某个()δ,0x U 有定义,如果极限()()0lim00→∆∆-∆+x xx f x x f (其中()()xx f x x f ∆-∆+00称为函数()x f 在(0x ,0x +x ∆)上的平均变化率(或差商)称此极限值为函数()x f 在0x 处的变化率)存在则称函数()x f 在0x 点可导.并称该极限值为()x f 在0x 点的导数记为()0/x f,若记()()00,x f x f y x x x -=∆-=∆则()0/x f =()()000limx x x x x f x f →--=0lim →∆∆∆x x y解析：⑴导数的实质是两个无穷小的比。

即：函数相对于自变量变化快慢的程度,其绝对值越大,则函数在该点附近变化的速度越快。

⑵导数就是平均变化率(或差商)的极限,常用记法: ()0/x f,0/x x y =,0x x dxdy=。

⑶函数()x f 在某一点0x 处的导数是研究函数()x f 在点0x 处函数的性质。

⑷导数定义给出了求函数()x f 在点0x 处的导数的具体方法,即：①对于点0x 处的自变量增量x ∆,求出函数的增量（差分）y ∆=()()00x f x x f -∆+②求函数增量y ∆与自变量增量x ∆之比xy ∆∆③求极限0lim→∆∆∆x x y若存在,则极限值就是函数()x f 在点0x 处的导数,若极限不存在,则称函数()x f 在0x 处不可导。

⑸在求极限的过程中, 0x 是常数, x ∆是变量, 求出的极限值一般依赖于0x ⑹导数是由极限定义的但两者仍有不同，我们称当极限值为∞时通常叫做极限不存在，而导数则不同，因其具有实在的几何意义，故当在某点处左，右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在某点可导。

实质是给导数的定义做了一个推广。

⑺注意: 若函数()x f 在点0x 处无定义,则函数在0x 点处必无导数,但若函数在点0x 处有定义,则函数在点0x 处未必可导。

2 单侧导数：设函数()x f 在某个(]00,x x δ-（或[)δ+00,x x ）有定义，并且极限()()-→∆∆-∆+0lim00x x x f x x f （或()()+→∆∆-∆+0lim 0x xx f x x f ）存在，则称其极限值为()x f 在0x 点的左（右）导数，记为：()00/-x f 或()0/x f -（或()()0/0/,0x f x f ++）。

左导数和右导数统称为单侧导数。

函数在某一点处有导数的充要条件：左导数和右导数存在且相等。

3 函数在某一区间上的导数：⑴在()b a ,可导：如果函数()x f 在开区间()b a ,每一点都可导，则说()x f 在()b a ,可导（描述性）。

⑵在[]b a ,可导：如果函数()x f 在()b a ,可导且()()b f a f //,-+存在则说函数()x f 在[]b a ,上可导。

4 导函数：如果函数()x f 在区间I 上可导，则对于任意一个I x ∈都对应着唯一一个（极限的唯一性）确定的导数值()x f/，这样就构成了一个新的函数，称为函数()x f y =的导函数。

记为：()x f /或dx dy 或()dxx df 或/y ，由此可知函数()x f 某一点0x 处的导数实质是在点0x 处的导函数值。

解析：（1）区别()0/x f与()[]/0x f ：()0/x f 表示函数()x f 在点0x 处的导函数值，而()[]/0x f 表示对函数值()0x f 这个常数求导，其结果为零。

（2）与在某一区间可导的关系：在某一区间可导就是在该区间上存在导函数。

5 可导与连续的关系：可导必连续，但连续不一定可导。

二，导数的几何意义： 当y=()x f 表示一条曲线时,则()x f/表示曲线在()y x ,点的切线的斜率，()x f /的正和负分别表示曲线在该点是上升还是下降. ()x f/的大小则表示曲线在该点的邻域起伏的程度,()x f /越小说明曲线在该点的邻域近似水平,反之()x f /越大说明曲线在该点的邻域越陡,起伏明显。

解析：⑴用曲线上某点和增量点连线的割线的斜率的极限来表达曲线在某点的斜率。

⑵过曲线y=()x f 上的点(0x ,0y )的方程:①切线方程y -0y =()0/x f (x-0x ).②法线方程: y -0y =()()00/1x x x f --( ()0/x f ≠0)⑶如果点P(A,B)在曲线y=()x f 外,那么过P 点与曲线相切的切线有两条。

⑷若()0/x f=∞说明函数()x f 的曲线在点0x 处的切线与x 轴垂直。

若()0/x f=0则说明()x f 的曲线在点0x 处的切线与x 轴平行。

三，导数的四则运算如果函数()x u u =及()x v v =都在点x 具有导数,那么其和差积商(除分母为零的点外)都在点x 具有导数。

⑴()()[]()()x v x u x v x u ///±=±⑵()()[]()()()()x v x u x v x u x v x u ///+= ()[]()x ku x ku //=⑶()()()()()()()()()02///≠-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x v x v x v x u x v x u x v x u ()()()()()02//≠-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x v x v x kv x v k 解析：和差积可推广为有限项即：⑴()()()[]()()()x u x u x u x u x u x u n n //2/1/21±±±=±±±⑵()()()[]()()()[]()()x u x u x u x u x u x u x u x u kknk n n /121/21∑≡= 四，几类函数的求导法则1反函数的求导法则：如果函数()y f x =在区间y I 单调且()0/≠y f 则它的反函数y=()x f1-在区间(){}y x I y y f x x I ∈==,也可导，且()[]()y fx f//11=-或dydxdx dy 1=即：ｙ是ｘ的函数反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

解析：⑴()0/≠y f且()y f x =在点y 处连续。

⑵反函数求导法则的几何意义：由于()x f/是函数()x f 的曲线上点x 处的切线与x 轴正向夹角α的正切。

而反函数()y f x =与y=()x f 在同一坐标系中有相同的曲线，只不过反函数()y f x =的自变量是y 所以导数()y f /就是y=()x f 曲线上x 的对应点y 处的同一条切线与y 轴正向夹角β的正切，因此：()()x fy f//1=即：αβtan 1tan =（α，β之和为2π） 2 复合函数的求导法则（链式求导）：如果()x g u =在点x 可导，而y=()u f 在点()x g u =可导，则复合函数()[]x g f y =在点x 可导，且其导数为：()()x g u f dxdy//=或dx du du dy dx dy =。

解析：⑴复合函数整体在某点是否可导与()x g u =和()x g 在某点是否可导无关。

⑵逐层分解为简单函数在求导，不重，不漏。

3 隐函数求导法则：对方程()0,=y x F 所确定的隐函数求导，要把方程()0,=y x F 的两边分别对x 求导即可。

在求导过程中应注意y 是x 的函数，所以在对y 或y 的函数求导时应理解为复合函数的求导。

4 参数方程求导法则：由参数方程()()()βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x 所确定的ｙ与ｘ的函数的导数为：()()()t t x f ///ϕψ=。

解析：注意理解()()()()()()[]3///////////2t t t t t dtdx dt x df y dt dx dt dy y x ϕϕψϕψ-==⇒=。

5 对数求导法则：是求幂指数()()x fy x ϕ=型导数的有效方法即：对函数()()x f y x ϕ=的两边同时取对数，然后根据对数的性质将作为指数的函数()x ϕ化为与()x f ln 相乘的一个因子，再利用上述方法求导。

6 两个结论：⑴可微分的周期函数其导数仍为具有相同周期的周期函数。

⑵可微分的偶函数的导函数为奇函数，而可微分的奇函数的导函数为偶函数。

这个事实说明：凡对称于y 轴的图形其对称点的切线也关于y 轴对称。

凡关于原点对称的图形，其对称点的切线互相平行。

五，常见函数的一阶导数 ⑴0/=c （ｃ为常数）⑵()1/-=a a ax x ⑶()x xa a a ⋅=ln /⑷()x xe e =/⑸()ax xaln 1log /= ⑹()x x 1ln /=⑺()x x cos sin /=⑻()x x sin cos /-=⑼()xx x 22/cos 1sec tan == ⑽()xx x 22/sin 1csc cot -=-=⑾()x x x tan sec sec /=⑿()x x x cot csc csc /-= ⒀()2/11arcsin x x -=⒁()2/11arccos x x --=⒂()2/11arctan xx +=⒃()2/11cot x x arc +-=⒄()chx shx =/⒅()shx chx =/⒆()xch x h thx 22/1sec ==⒇()xsh x h cthx 22/1csc ==（21）()112/+=x arcshx （22）()112/-=x archx（23）()2/11x arcthx -=六，高阶导数 设()x f/是函数()x f 在I 上的导数，并且()x f /也在I 上可导，则称()x f 在I 上二阶可导，并称()x f//的导函数是()x f 在I 上二阶导数，记为：()x f//或()()x f2，一般地，设()()()21≥-n x fn 是()x f 在区间I 上的()1-n 阶导函数并且()()x fn 1-也在I 上可导则称()x f 在I 上ｎ阶可导，并称()()x f n 1-的导函数是()x f 在区间I 上的ｎ阶导函数记为：()()x fn 当函数由()x f y =给出时()x f 的ｎ阶导数也可表示为：(),,n n n dxy d y ()()x fn 。

若在0x 点的ｎ阶导数常记为：()()()0000,,,x x dx x f d x x dx y d x x y x fxn n n nn ===。