高中数学开放性与探究性问题
高中数学课堂中探究性学习的思考
高中数学课堂中探究性学习的思考随着教育教学改革的不断推进，探究性学习在教学中备受重视。
而在高中数学课堂中，探究性学习更是一种重要的教学方法。
探究性学习是指学生在教师的指导下，通过自主思考、探索和实验，主动探求知识，培养创新思维和解决问题的能力。
那么在高中数学课堂中，如何开展探究性学习呢？本文将针对这一问题进行思考和探讨。
如何在高中数学课堂中开展探究性学习也是一个值得探讨的问题。
一方面，教师应该在教学设计上注重培养学生的自主学习能力。
在授课中，教师可以通过设计一些具有启发性和挑战性的问题，引导学生自主思考和探索。
在教学中可以引导学生分析实际问题，运用数学模型进行分析和解决，从而培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。
教师应该注重培养学生的团队合作和交流能力。
在授课中，教师可以设计一些小组合作的任务，让学生在小组中相互讨论、交流，共同探究问题的解决方法，从而培养学生的合作精神和交流能力。
在高中数学课堂中开展探究性学习还需要教师具备相应的教学能力和素养。
一方面，教师应具备扎实的数学知识和丰富的教学经验。
只有教师在数学知识上扎实，才能够在教学中引导学生对数学知识进行深入的探究和思考。
教师还应具备一定的教学创新能力。
在实际教学中，教师应根据学生的实际情况和学习特点，灵活运用各种教学方法和手段，设计出具有启发性和挑战性的教学任务，从而激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
高中数学课堂中探究性学习还需要学校和家长的重视和支持。
学校应该为教师提供相应的教学资源和支持，包括教学设备、教学用书等。
学校还应该加强对教师的培训和引导，提高教师的教学水平和素养。
家长在学生学习中的支持和配合也非常重要。
家长可以在家中加强对学生的引导和督促，鼓励学生积极参与学习，培养学生的自主学习能力和探究精神。
浅谈高中数学课堂中探究性学习的困惑与思考
浅谈高中数学课堂中探究性学习的困惑与思考高中数学是一门扎实严谨的学科，其精髓不仅体现在数学公式和方法上，更体现在数学思维和素养的培养上。
然而，在实际的课堂中，我们常常会遇到探究性学习的困惑和挑战。
首先，探究性学习需要学生具备一定的知识和技能储备。
在探究性学习中，学生需要依靠自己的知识和思考能力来解决问题，因此，若基础薄弱，就难以进行深入的探究。
但是，在课堂中，学生的基础往往是不同的，有些学生可能需要更多的时间来巩固基础，而另一些学生则能更快地进入探究阶段，如何让这些学生都能够得到适当的指导和帮助，是课堂教学的一个难点。
其次，探究性学习需要培养学生自主思考的能力。
探究性学习要求学生独立思考，自主探究，而传统的教学模式往往是以教师为中心，教师讲解知识点，学生跟随接收知识。
这样的教学模式不利于学生的自主思考和探究能力的培养。
因此，在探究性学习中，教师不再是简单的知识传授者，而应扮演引导者和辅助者的角色，提供必要的帮助和支持，鼓励学生自主思考，激发学生的发现兴趣。
最后，探究性学习需要学生具备良好的合作意识和团队合作能力。
在探究性学习中，学生往往需要与同学合作，分享思考和解决问题的过程，这要求学生具备良好的合作意识和团队合作能力。
然而，在高中数学课堂中，学生们往往是在竞争中成长起来的，他们更加注重自我表现和竞争，缺乏合作和协作的经验。
如何在课堂中培养学生的合作意识和团队精神，是课堂教学中的一个难点。
针对这些困惑，我们可以尝试从以下几个方面进行思考和探索：一是完善课程设计，注重前置知识的引入和梳理。
在探究性学习中，前置知识的掌握对学生的成败至关重要，在课程设计中，应注重前置知识的引入和梳理，使学生的思维线索清晰明了，能快速进入探究环节。
二是推广多元化教学方法，拓展学生的思维途径。
探究性学习要求学生具备自主思考和独立探究的能力，而多元化的教学方法能够拓展学生的思维途径和解决问题的能力，包括教师讲解、演示、案例分析、小组合作等，根据不同学生的需求和差异，选择合适的教学方法，提供支持和帮助。
浅谈高中数学开放性问题
数 学 开放 题 由于 具 有 探 索 性 和 多样 性 ， 不 同 的 问题 应 有 不 同 的解 题 策
多 种 可 能 性 。 这样 ， 有 利 于 倡 导 民主 的 教 学 氛 围 ， 有利于学生体验 成功 ， 树
师都 不会 压 制 学生 的这 种 愿 望 ， 这 就 使 课 堂 教 学 自 然 地 走 向 了 以学 生 主 动 略 ， 需 要 不 断研 究 和推 敲 。 常 常要不循 常规、 勇于创新 ， 考 虑 的 问 题 存 在 着
二、 数 学 开 放 题 的特 点
２ ． 开放 题 的教 学 有 利 于 学 生 体 验 成 功 ， 树 立信 心
由于 学 生 对 开放 性 问题 的解 答 彼 此 可 以是 互 不相 同 的 ， 学 生 采 用 的 策
略 也 可 以是 不 相 同 的 ， 解答 完开放题 后， 学 生 的 概 括 能 力 和 知 识 运 用 能 力 ３ ． 开 放 题 的 教 学 有 利 于培 养 学 生 的 思 维 能 力
教学 方法， 学生主动参与解题活 动不但成 为可能 ， 而 且 是 非 常 自 然 和 必 要 的 方 案 ， 这本身就是一种创造。 的 。 一 些学 生希 望 老 师与 学 生 一 起 来 分 享 这 种 成 功 的 喜 悦 ， 任 何 一 个 好 教
参 与 为 主 要特 征 的 开放 式 的教 学 。 三、 数 学 开 放题 的类 型
（ １ ） 问题 的条 件 常 常 是 不 完 备 的 ； （ ２） 问题的答 案是不确定 的 ， 具 有 层 得 以提 高 ， 并 且 在 解 答过 程 中树 立 了信 心 ， 体验到成功的乐趣。 次性 ； （ ３） 问题 的解 决 策 略 具 有 非 常 规 性 、 发散 性和 创 新 性 ； （ ４） 问题 的研 究
高中数学课堂中探究性学习的思考
高中数学课堂中探究性学习的思考【摘要】引言部分首先介绍了探究性学习在高中数学课堂中的重要性，以及探究性学习的定义和特点。
正文部分分别探讨了探究性学习对学生认知能力、问题解决能力和创新思维能力的提升和培养，并提出了在高中数学课堂中引入探究性学习的方法。
结合实践案例展示了探究性学习在高中数学课堂中的具体运用及效果。
最后结论部分强调了探究性学习为高中数学课堂注入活力，是未来教育发展的趋势。
通过全文的讨论，读者能够更深入地了解探究性学习在高中数学教学中的重要性和实践价值，为未来教育教学提供了有益的启示。
【关键词】探究性学习、高中数学课堂、认知能力、问题解决能力、创新思维能力、引入方式、实践案例、活力、教育趋势。
1. 引言1.1 探究性学习在高中数学课堂中的重要性探究性学习在高中数学课堂中的重要性是不可忽视的。
在传统的数学教学中，学生往往只是被passively 接受知识，缺乏主动思考和探究的机会。
而探究性学习则能够激发学生的学习兴趣和潜能，帮助他们建立扎实的数学基础。
通过探究性学习，学生可以更加深入地理解数学知识，掌握数学的思维方法和解题技巧。
他们不仅能够记住知识，更能够灵活运用、延伸和创新。
在探究性学习中，学生需要自己动手实践，思考问题，提出假设，验证结论，这样的过程能够培养他们的逻辑思维能力和创造力。
探究性学习也能够增强学生的自主学习能力和问题解决能力。
在探究的过程中，学生需要自己寻找解决问题的方法，和同学讨论交流，积极参与和合作。
这种学习方式能够培养学生的团队合作精神和沟通能力，让他们在解决实际问题时游刃有余。
探究性学习在高中数学课堂中的重要性不言而喻，它不仅能够提高学生的学习效果，更能够培养学生的综合能力，为他们未来的发展打下坚实的基础。
1.2 探究性学习的定义和特点探究性学习是一种强调学生独立探究、发现和解决问题的学习方法。
其核心理念是通过学生主动参与、积极思考和实践，从而深化对知识的理解和应用。
高中数学开放性题目教案
高中数学开放性题目教案
题目: 请解释在四个数1，3，4，6中找出符合以下条件的数字:
A. 一个数字可以整除所有其他数字
B. 一个数字不被任何其他数字整除
教学目标:
1. 熟练掌握整除的概念和具体操作方法。
2. 培养学生逻辑思维和分析问题的能力。
3. 提高学生的数学解决问题的能力。
教学步骤:
1. 引入问题：让学生思考四个数字1，3，4，6的整除关系，启发学生的思维。
2. 分组讨论：将学生分为小组，让他们讨论解决问题的方法，并互相交流思路。
3. 探究解题方法：引导学生从整除的定义和性质出发，寻找可以符合条件的数字。
4. 解决问题：让学生尝试找出符合条件的数字，并解释他们的答案是如何得到的。
5. 拓展讨论：讨论其他可能的解决方法，引导学生拓展思考。
教学互动:
1. 教师引导学生思考问题，激发学生的求知欲和探究兴趣。
2. 引导学生积极参与讨论和交流，激发学生思维的碰撞和火花。
3. 提醒学生要注重逻辑推理和细致分析，培养学生解决问题的能力。
教学评价:
1. 通过学生的讨论和解答，了解学生对整除概念的理解和应用情况。
2. 评价学生解决问题的思维和方法，鼓励学生勇于创新和挑战。
3. 鼓励学生在解决问题的过程中，敢于提出疑问和质疑，积极探索解决方案。
教学反思:
1. 教学中是否引导学生正确理解整除的概念和性质，促进学生的数学思维发展？
2. 学生对问题的理解和解决方法是否充分，是否提高了解决问题的意识和方法？
3. 如何提高教学效果，激发学生对数学的兴趣和热爱，促进其综合素质的提高？。
高中数学专题备考 高考新题型5 开放性试题特点及求解策略
(2)设直线 AC：y＝k′x＋t，A(x1，y1)，C(x2，y2)， y＝k′x＋t，
联立方程，得x42＋y32＝1， 得(3＋4k′2)x2＋8k′tx＋4t2－12＝0， 则 x1＋x2＝－3＋8k4′k′t 2，x1x2＝34＋t2－4k1′22， 由题设条件易知 kPA＋kPC＝0， 所以 kPA＋kPC＝y1x－1 3＋y2x－2 3＝x2y1－3x＋1xx2 1y2－3 ＝x2k′x1＋t－3x＋1x2x1k′x2＋t－3＝2k′x1x2＋x1tx－2 3x1＋x2＝0，
一、条件开放型问题 [典例 1] 如图所示，在四棱锥 P-ABCD
中，PA⊥底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足________时， 平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是 正确的条件即可)
[解析] 由定理可知，BD⊥PC．
∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时， 即有 PC⊥平面 MBD，而 PC⊂平面 PCD， ∴平面 MBD⊥平面 PCD.
∴m ·―A→G ＝43－23－23＝0， ∴直线 AG 在平面 AEF 内．
[跟踪训练] 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝ CD＝2，BC＝3.E 为 PD 的中点，点 F 为 PC 上靠近 P 的三等分点． (1)求二面角 F-AE-P 的余弦值； (2)设点 G 在 PB 上，且PPGB＝23，试判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，并说明理由．
则 r2∈(3,4)，
设过点 P 的切线方程为 y＝kx＋3，
则 r＝ 1＋3 k2∈( 3，2)，得 k2∈54，2，
①
联立切线方程与椭圆方程，
y＝kx＋3， 得x42＋y32＝1， 得(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，
高中数学考试有哪些常见题型？
高中数学考试有哪些常见题型？高中数学考试是高考的重要组成部分，实际考察学生对高中数学知识的掌握程度，包括运用数学知识解决问题的能力。
为了帮助同学们更好地备考复习，本文将从教育专家的角度，对高中数学考试比较常见的题型进行解析，并提供一些复习建议。
一、基础知识题这类题型主要考察学生对高中数学基本概念、公式、定理的理解和掌握程度，通常以选择题、填空题的形式出现。
例如：概念表述题：判断函数的奇偶性、求函数的定义域、判断数列的单调性等。
公式应用题：利用三角函数公式、导数公式、积分公式等进行计算。
定理证明题：证明三角形全等、证明不等式、证明数列的收敛性等。
备考复习建议：扎实掌握课本基础知识，特别注重概念的理解和公式的推导。
多做练习，熟练掌握公式和定理的应用。
总结易错点，避免相同的错误。
二、综合应用题这类题型主要考察学生对数学知识的综合运用能力，通常以解答题的形式出现，题型相对灵活，要求学生灵活运用所学知识进行分析、推理和计算。
例如：函数与方程的综合题：利用函数图像、函数性质、方程的根等知识解决问题。
三角函数与向量的综合题：利用三角函数、向量、坐标系等知识解决几何问题。
数列与不等式的综合题：利用数列的性质、不等式的性质等知识解决问题。
导数与函数的综合题：利用导数的性质、函数的极值、单调性等知识解决问题。
备考复习建议：掌握各章节知识之间的联系，注重知识的整合。
多做综合型练习，提高分析问题和解决问题的能力。
重视培养良好的解题思路，学会将问题分解成若干个小问题，逐个解决。
三、创新应用题这类题型主要考察学生的创新能力和解决实际问题的能力，常见以开放性问题、探究性问题等形式出现，要求学生发挥所学知识进行分析、推理、计算和创造。
例如：应用问题：利用数学知识解决生活中的问题，例如最大利润、成本最小化等。
探究性问题：观察现象，探索数学问题的规律、性质或应用。
开放性问题：提供一些条件，要求学生通过分析、推理，并提出自己的结论。
高中数学开放问题教案
高中数学开放问题教案
教学目标：通过开放问题教学，培养学生自主思考和解决问题的能力，提升他们的数学思
维水平。
教学内容：开放问题解决方法的探究与实践。
教学步骤：
第一步：引入问题
引入一个具有挑战性的数学问题，可以是一个实际生活中的问题或者一个抽象的数学问题，激发学生的兴趣和思考欲望。
第二步：讨论与提问
引导学生展开讨论，分享他们对问题的理解和解决思路，教师可以提出一些引导性的问题，帮助学生深入思考和拓展解决思路。
第三步：解决问题
鼓励学生在小组或个人中进行问题的探究和解决，同时提供必要的指导和支持。
学生可以
使用不同的方法和策略来解决问题，培养他们灵活运用知识的能力。
第四步：总结与分享
让学生分享他们的解决过程和策略，总结不同的解决方法和思考路径，引导学生从交流中
汲取经验和启发。
第五步：拓展与应用
提供一些类似的问题或者延申问题，鼓励学生进一步拓展解决思路，同时讨论问题的实际
应用和意义。
教学评价：通过学生的表现和表述，观察他们在解决问题过程中的思维方式和合作能力，
评价他们的数学思维水平和解决问题的能力，鼓励他们不断提升和发展。
教学建议：在开放问题的教学中，教师应该充分尊重学生的思维和探究过程，引导他们积
极参与和思考，激发他们的学习动力和兴趣。
同时，教师要注重多元化的教学方法和策略，以满足不同学生的学习需求和发展水平。
论高中数学教学中学生开放性思维训练
论高中数学教学中学生开放性思维训练高中数学教学中，开放性思维训练是非常重要的。
开放性思维不仅是一种认知能力，更是一种思维方式，是学生全面发展的重要保障。
在高中数学教学中，如何开展学生的开放性思维训练，促进学生思维的发展，提高学生的数学素养，是非常重要的。
一、开放性思维在数学教学中的重要性开放性思维是学生在面对问题时，能够以积极主动的态度，从不同的角度进行思考和分析问题的能力。
这种思维方式可以激发学生的求知欲，培养他们的创造力和想象力，同时也可以提高学生的解决问题的能力和逻辑推理能力。
在数学教学中，开放性思维可以使学生更好地理解数学概念，提高他们的数学运用能力，培养他们的数学思维方式。
二、开放性思维训练应该如何进行在高中数学教学中，开展学生的开放性思维训练，需要从教学内容、教学方法和教学环境等多个方面进行。
1. 选择合适的教学内容教师应该选择合适的教学内容来进行开放性思维训练。
这些内容应该具有一定的难度和挑战性，能够激发学生思考的欲望和兴趣。
这些内容也需要与学生的实际生活和学习经验结合，这样才能够更好地引发学生的思考和探索。
2. 创设良好的教学环境教师需要创设一个良好的教学环境，为学生的开放性思维提供条件。
这个环境应该是积极主动的，鼓励学生提出问题、表达观点，接受不同的看法和思维方式。
这个环境也需要是开放的，允许学生进行自由的思考和探索。
3. 运用合适的教学方法教师也需要运用合适的教学方法来进行开放性思维训练。
可以采用探究式教学、问题解决式教学等方法，引导学生积极主动地进行学习和思考。
也可以采用小组合作学习、案例分析等方法，促进学生之间的交流和合作，激发他们的思维和想象。
在高中数学教学中，许多学校和教师已经开始尝试开展学生的开放性思维训练，并取得了一些成效。
下面我们通过一个具体的案例来介绍一下开放性思维训练在高中数学教学中的实践。
某高中数学老师在教学中采用了一个探究式学习项目：学生们需要设计一个数学游戏，并通过游戏的规则和过程来帮助学生们理解数学概念。
高中数学课堂中探究性学习的思考
高中数学课堂中探究性学习的思考一、探究性学习与数学教学从教学实践来看，高中数学课堂中传统的教学模式主要是以教师为中心，教师侧重于知识的传授，学生被动接受，缺乏主动性和创造性。
而探究性学习则是一种基于问题驱动的学习方式，强调学生积极参与和合作探究，教师的角色更多地是引导者和促进者。
在数学课堂中，教师可以通过提出问题、引导学生进行探究和讨论，培养学生的探究精神和解决问题的能力，使学生从 passively receiving to actively participating。
探究性学习重视对数学概念、方法和原理的理解和认知，强调学生的数学思维和解决问题的能力的培养，符合数学学科的特点和发展规律。
探究性学习已被越来越多的教师和教育工作者所认可和采用。
二、探究性学习的优势1. 提升学生的学习兴趣和态度传统的数学教学模式往往会让学生对数学产生抵触情绪，而探究性学习则能够激发学生的好奇心和求知欲，提高学生对数学学习的积极性和主动性。
通过探索性学习，学生不仅能够感受到数学的魅力，还能够从中感受到成功的喜悦，激发学生的学习兴趣和积极的学习态度。
2. 培养学生的创新能力和问题解决能力探究性学习注重培养学生的创新思维和问题解决能力。
在探究性学习的过程中，学生需要自主思考、探索解决问题的方法和策略，从而培养了学生的创新能力和问题解决能力。
这种学习方式也能够激发学生的好奇心，培养学生对新事物的接受能力和探索精神。
3. 结合数学知识应用探究性学习注重知识的整合和应用，能够让学生更好地理解数学概念和方法，培养学生将数学知识应用到实际问题中的能力。
通过“学中做、做中学”，学生能够在探究性学习中真正掌握和理解数学知识，提高数学的实际运用能力。
三、高中数学课堂中实施探究性学习的策略1. 提出开放性问题在数学课堂中，教师可以通过提出一些开放性问题来引导学生进行探究性学习。
这些问题常常是多解、多途径的，需要学生进行思考、讨论和探索，能够激发学生的探究兴趣和挑战学生的解题能力。
数学高中开放性试题及答案
数学高中开放性试题及答案试题一：函数的性质题目：给定函数 \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求证该函数是奇函数，并找出其单调区间。
解答：首先，我们需要证明函数 \( f(x) \) 是奇函数。
根据奇函数的定义，如果对于函数定义域内的任意 \( x \)，都有 \( f(-x) = -f(x) \)，则该函数是奇函数。
证明：\[ f(-x) = 2(-x)^3 - 3(-x)^2 + (-x) - 5 = -2x^3 - 3x^2 - x -5 = -(2x^3 - 3x^2 + x - 5) = -f(x) \]由于 \( f(-x) = -f(x) \)，所以 \( f(x) \) 是奇函数。
接下来，我们找出函数的单调区间。
首先求导数：\[ f'(x) = 6x^2 - 6x + 1 \]令 \( f'(x) = 0 \) 求解 \( x \)：\[ 6x^2 - 6x + 1 = 0 \]这是一个二次方程，可以通过求根公式求解：\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm\sqrt{36 - 24}}{12} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{6} \]由于 \( f'(x) \) 的判别式 \( \Delta = 36 - 24 > 0 \)，我们知道 \( f'(x) \) 有两个实根。
这两个实根将 \( x \) 轴分为三个区间，我们可以分别代入 \( f'(x) \) 来确定函数的单调性。
由于 \( f'(x) \) 在 \( x < \frac{3 - \sqrt{3}}{6} \) 和 \( x > \frac{3 + \sqrt{3}}{6} \) 时为正，所以 \( f(x) \) 在这些区间内是单调递增的。
高中数学开放问题教案设计
高中数学开放问题教案设计
目标：通过开放性问题的学习，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
一、引入问题：
1. 提出一个开放性问题，例如：在一个三角形ABC中，已知AB=AC，角B=40°，角C=70°，求角A的大小。
2. 引导学生讨论如何解决这个问题，鼓励他们提出不同的思路和方法。
二、探究过程：
1. 让学生自主思考问题，尝试用不同的方法解决。
2. 引导学生进行小组讨论，分享各自的解决方法和思路。
3. 鼓励学生尝试用勾股定理、正弦定理、余弦定理等知识解决问题。
三、总结归纳：
1. 收集学生们的解法，进行总结，讨论各种解题方法的优缺点。
2. 引导学生从中总结规律，加深对相关知识点的理解。
四、拓展延伸：
1. 提出更复杂的开放性问题，让学生继续挑战自己的思维能力。
2. 鼓励学生独立思考，尝试不同的解决方法。
五、课堂总结：
1. 引导学生结合自己的学习经验，总结开放性问题的解题方法和技巧。
2. 鼓励学生提出问题，沟通交流。
六、作业布置：
1. 布置相关题目作业，巩固学生的知识点。
2. 提醒学生关注课堂讨论的内容，思考如何解决开放性问题。
七、评价反馈：
1. 收集学生的作业，进行批改和评价。
2. 鼓励学生提出问题和建议，持续改进教学方法。
浅谈高中数学探究性学习
、
要在 问题情境 的激发 中探 究 ， 创设 具有诱 发性 的问题情境最能激 发学 生学 习的动 机 ， 使学生 形成 强烈的 问题 意识 ， 主动 地探 究 。亚里 士 多德 曾说 ： “ 的思 想是 从 猜 想 开 始 的 。恰 到 好 处 的猜 想 ， 以 人 ” 可 揭 露 学 生 认 知 中 的矛 盾 ， 起 学 生 探 究 知 识 的 欲 望 ， 引 使学生情绪处于最佳状 态。观察 比较 是人们获取知 识 、 现 新 问题 和 发 明 新 成 果 必 不 可 少 的环 节 之 一 。 发 它不仅是一个认知 过程 ， 也是 情感 过程 、 意识 过程 。 观察 、 比较活 动常常会 激起 学生浓厚 的探究兴趣 ， 取 得 探 究 性 学 习 的成 果 。 根 据 学 生 特 点 ， 教 学 过 程 在 中 有 目的 、 组 织 地 让 学 生 自己 动 手 操 作 可 以 使 学 有 生 获得 大 量 的 感 性 知 识 ， 助 于 提 高 他 们 的 学 习 能 有 力 。课 堂上 师 生 互 动 、 生 互 动 的 合 作 交 流 能 出 现 生 始料未 及的探究 体验 和思维 火花 的激烈 碰撞 ， 学 使 生处于积极 、 跃 、 活 自由 的 状 态 ， 同 的 学 生 可 得 到 不 不 同的发展。 四 、 纳 交流 。 合 运 用 归 综 引导学生学 会 交 流 、 论 ， 行提 炼 、 括 、 讨 进 概 归 纳， 梳理知识点 ， 综合运 用知识 ， 探究 性学 习 的重 是 要 目的 。经 过 自主 探 究 活 动 后 ， 引 导 学 生 将 所 获 要 得 的结 论 纳 入 知 识 系 统 。 如 在 探 究 学 习 某 些 概 念 时， 导学生逐步理 解这些 数学概 念 的确切 定义是 引 相 对 的 ， 在 一 定 条 件 下 定 义 的 ， 并 非 永 远 不 变 是 而 的。例如 ， 角的概念在平面几何 中是 “ 同一点 引出 从 的两条射线所成 的 图形 ” 可 以说这 是独 立 的、 ， 静止 的定义 ； 在三角 中是“ 射线 围绕着它的端点旋转所成 的图形 （ 规定 了正 负方 向） ； ” 在立 体几 何 中又有 “ 异 面直线所成 的角 ” “ 、直线和平面所成 的角 ” “ ，平面和 平面所成 的角” 。这样 从静 到动 、 由正到 负 、 平面 从 到 空 间 ， 念 就 逐 步 完 善 了 。教 师 要 营造 一个 民 主 、 概 和谐 的学 习氛围 ， 让学生敢想 、 敢说 ， 于表 达 ， 善 对获 得 的数 学 思 想 方 法 进 行 反 思 与评 价 ， 生 不 仅 要 归 学 纳 得 出结 论 ， 要 阐 述 知 识 是 如 何 发 现 的 ， 什 么 经 还 有 验教训 。 数学 的起源是对 实际 问题 的描述 ， 学 的发展 数 依赖于生产实践 。因此 ， 老师应尽量从生产 、 生活的 需要和知识 的发 生 、 展 中引导学 生探究 学 习数学 发 知识 ； 从学生 已有 知识 出发 ， 通过 具体 事例 ， 引导学 生观察 、 分析并从 中抽 象概括出数学概念 ， 使学生不 但易于理解 ， 更重 要的是培养他们 的应用意识 ， 使学 生经常接受应用数 学知识解 决实 际 问题 的训 练 ， 理 论联系实际 ， 去感 知数学。这样 ， 不但 能培养 学生应 用数学知识 的能力 ， 还有利于培养学生 的创新意识 。 （ 者单位 ： 作 江苏省兴化 市安丰 高级 中学）
高中数学总复习：开放、探究题的特点及求解策略
f（θ）＝m·n的最小值为g（m）（m∈R）.
（1）当m＝1时，求g（m）的值；
解 （1）f（θ）＝2sin θcos θ－（m＋2）（sin θ＋cos θ）＝sin 2θ－ 2（m＋
2）sin
所以四边形ABCD的对角线交于定点（0，1）.
点评 求解结论开放型问题的一般思路：要充分利用已知条件或图形特征，进
行猜想、归类、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象.然后经过论
证作出取舍，这是一种归纳类比型思维方式.它要求解题者要依据条件进行大胆
合理的猜想，发现规律得出结论.
三、条件、结论同时开放型问题
h
4
−3−2
sin+cos
对θ∈
π
0,
2
恒成立，
即f（θ）＝2sin θcos θ－（m＋2）（sin θ＋cos
θ∈
π
0,
2
在
恒成立，
令t＝sin θ＋cos θ∈[1， 2]，则2sin θcos
－2m，
4
θ）＞
－3－2m
sin+cos
4
2
2
θ＝t －1，则t －1－（m＋2）t＞ －3
定顺推”法.
1.已知函数f（x）为定义在R上的函数满足以下两个条件：①对于任意的实数
x，y恒有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋1；②f（x）在R上单调递减.请写出满足
条件的一个f（x）＝
.
解析：由①②可设f（x）＝ax＋b（a＜0），由f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋1，
可得a（x＋y）＋b＝ax＋b＋ay＋b＋1＝a（x＋y）＋2b＋1，化简可得b＝－1.故
高中数学课堂中探究性学习的困惑与思考
2020年27期教学研究44扫描二维码，获取更多本文相关信息引 言新课程改革给传统的高中数学课堂教学带来了全新的挑战，注重培养学生的能力和数学方法，如自主学习能力、合作探究能力、数学概括能力、模型构建和运用能力等。
这就要求数学教学以探究活动为载体，进而全面提升高中数学课堂教学效果。
一、探究式学习内容概述探究式学习与传统的课堂教学模式不同，主要是指在教师的指导下，学生进行自主探究、互动学习，不断提升学生获取知识、促使学生能力发展的教学模式。
具体来说，在探究性学习模式下，教师不再直接将数学理论展现在学生面前，而更多的是以引导者的身份，给学生提供一定的数学素材，或设置一定的具有研究性的问题，或让学生合作交流，通过思考和交流，自主发现数学规律，解决数学问题，从而实现综合数学能力的提升。
与传统的课堂教学模式相比，数学探究性学习模式有以下三个显著的特点。
（1）开放性：在探究性学习模式下，教师所设置的数学问题来源于书本而高于书本，并且结合学生学习、生活中的实际问题，涉及领域广泛。
在具体探究学习中，教师可结合学生的实际情况，包括兴趣、特长等，指导学生开展学习。
（2）探究性：探究性学习正好弥补了传统高中数学教学模式的弊端，给学生留有充足的时间、精力对数学问题进行思考、解决。
（3）实践性：在探究性学习模式下，教师选择数学探究课题时，应结合理论与社会、科学与实践的联系，使探究课题不仅限于理论知识，而是将其与实践有机结合到一起，进而指导学生重视实践，并亲自参与到实践中[1]。
二、探究性学习运用中存在的困惑分析（一）观念保守、教学方式单一当下，很多高中数学教师仍然观念保守，采取单一的应试教育方法，严重影响了高中数学探究性学习模式的应用。
受这一传统教学观念的影响，教师在开展探究性学习过程中，常常以课本知识为中心，对学生进行灌输式教学，以致课堂教学效果不甚理想，制约了学生探究能力的发展。
而且，从教学方式上来说，教师开展高中数学课堂教学，基本上采用传统的教学方式，无法实现理论知识的最优运用，忽略了高中数学的探究性学习。
高考数学开放性问题的类型及求解探索
高考数学开放性问题的类型及求解探索■福建省龙岩市永定区城关中学童其林高考评价体系由“一核四层四翼”组成，其中，“一核”是高考的核心功能，即“立德树人、服务选才、引导教学”，回答“为什么考”的问题；“四层”为高考的考查内容，即“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”，回答“考什么”的问题；“四翼”为高考的考查要求，即“基础性、综合性、应用性、创新性”，回答“怎么考”的问题.那么，在“四翼”考查要求下，有哪些命题原则？在“四翼”考查要求下，新高考有哪些新题型？一般来说，在“四翼”考查要求下，新高考数学有以下三个命题原则：一是注重学科间的渗透和交叉，适当增加具有自然科学和社会人文学科情境的试题，促进学科间的融合以及对核心素养的有效考查；二是关注探究能力、数学学习能力的考查，设计结论开放、解题方法多样、答案不唯一、结构不良的试题，增强试题的开放性和探究性，对学生的创新能力进行考查；三是通过调整试卷结构，打破固有模式，探索试题排列新方式，努力破除复习备考中题海战术和套路训练的影响.在“四翼”考查要求下，新高考数学将有以下五种新题型：一是多选题，选择题答案不唯一，存在多个正确选项；二是逻辑思维题，以日常生活情境考查推理、论证、比较、评价等逻辑思维能力；三是数据分析题，给出一些材料背景，以及相关数据，要求考生读懂材料，获取信息，根据材料给出的情境、原理以及猜测等，自主分析数据，得出结论，并解决问题；四是举例题，要求考生通过给出的已知结论、性质和定理等条件，从题干中获取信息，整理信息，写出符合题干的结论或具体实例；五是开放题，问答题开放设问，答案并不唯一，要求考生能综合运用所学知识，进行探究，分析问题并最终解决问题.本文主要谈谈开放性问题的类型及求解.所谓开放型问题是相对有明确条件和明确结论的封闭式问题而言的，是指题目的条件不完备或结论不确定的问题.一、条件开放型这类题目的特点是给出了题目的结论，但没有给出满足结论的条件，并且这类条件常常是不唯一的，需要解题者从结论出发，通过逆向思维去判断能够追溯出产生结论的条件，并通过推理予以确认．这种条件探究性问题实质上是寻找使命题为真的充分条件（未必是充要条件）．解决此类问题的策略有两种，一种是将结论作为已知条件，逐步探索，找出结论成立所需的条件，这也是我们通常所说的“分析法”；第二种是假设题目中指定的探索条件，把它作为已知，并结合其他题设进行推导，如果能正确推导出结论，则此探索条件就可以作为题设条件，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答．例1.如图，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件__________时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情况）解析：本题是条件探索型试题，即寻找结论A1C⊥B1D1成立的充分条件，由AA1⊥平面A1C1以及A1C⊥B1D1（平面A1C1的一条斜线A1C与面内的一条直线B1D1互相垂直），容易联想到三垂线定理及其逆定理.因此，欲使A1C⊥B1D1，只需B1D1与CA1在平面A1C1上的射影垂直即可.显然，CA1在平面A1C1上的射影为A1C1，故当B1D1⊥A1C1时，有A1C⊥B1D1，又由于直四棱柱的上、下底面互相平行，从而B1D1∥BD，A1C1∥AC.因此，当BD⊥AC时，有A1C⊥B1D1.由于本题是要探求使A1C⊥B1D1成立的充分条件，故当四边形ABCD为菱形或正方形时，依然有BD⊥AC，从而有A1C⊥B1D1，故可以填：①AC⊥BD或②四边形ABCD 为菱形，或③四边形ABCD为正方形中的任一个条件即可.点评：AC⊥BD是结论A1C⊥B1D1成立的充要条件，而所填的ABCD是正方形或菱形则是使结论A1C⊥B1D1成立的充分而不必要的条件．本例中，满足题意的充分条件不唯一，具有开放性特点，这类试题重在考查基础知识的灵活运用以及归纳探索能力.例2.有一道题目由于纸张破损，有一条件看不清楚，具体如下：在△ABC中，已知a=3姨，____________，2cos2（A+C2）＝（2姨-1）cos B，求角A.经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，该题的答案A＝60°是唯一确定的，试将条件补充完整，即空白处应填的条件是__________.解析：2cos2（A+C2）＝（2姨-1）cos B圳2·1+cos（A+C）2＝（2姨-1）cos B圳cos B＝2姨2.又B∈（0°，180°），所以B=45°.（1）bsin45°＝3姨sin60°圯b＝2姨，A1B1D1C1ABCD252021年第22021年第2检验：b sin B ＝a sin A 圳2姨sin45°＝3姨sin A 圳sin A ＝3姨2，又A ∈（0°，180°），且a ＞b ，所以A ＝60°或者A ＝120°，这与已知角A 的解为唯一解矛盾.（2）B =45°，又A ＝60°，所以C ＝75°，c sin75°＝3姨sin60°圯c ＝6姨+2姨2.检验：c sin C ＝a sin A圳6姨+2姨2sin750＝3姨sin A圳sin A ＝3姨2.又A ∈（0°，180°），且c ＞a ，所以A ＝60°.故应填的条件是：c ＝6姨+2姨2.点评：本题所求的边要么是b ，要么是c ，但还要满足三角形存在这个条件，所以检验是必要的，否则容易忽视隐含条件而引起错误.例3.在①ac ＝3姨，②c sin A ＝3，③c ＝3姨b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3姨sin B ，C ＝仔6，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解析：在△ABC 中，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3姨sin B ，C ＝仔6，这是公共条件.在此条件下，从①ac ＝3姨，②c sin A ＝3，③c ＝3姨b 这三个条件中任选一个，求问题中的三角形是否存在，若存在，求c 的值，若不存在，说明理由．公共条件怎样用？通常有两种转化方法，一是在sin A ＝3姨sin B 中，利用正弦定理角化边，得到a ，b 的比例关系，再设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解；二是利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tan A 的值，得到角A ，B ，C 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.具体解法有如下几种：解法一：由sin A ＝3姨sin B 可得：a b ＝3姨，不妨设a ＝3姨m ，b ＝m （m ＞0），则c 2＝a 2+b 2-2ab cos C=3m 2+m 2-2×3姨m ×m ×3姨2＝m 2，即c=m .选择条件①的解法：据此可得：ac=3姨m ×m ＝3姨m 2＝3姨，∴m ＝1，此时c ＝m ＝1.选择条件②的解法：据此可得：cos A ＝b 2+c 2-a 22bc ＝m 2+m 2-3m 22m 2＝-12，则sin A ＝1-（-12）2姨＝3姨2，此时：c sin A ＝m ×3姨2＝3，则：c ＝m ＝23姨.选择条件③的解法：可得c b ＝m m＝1，c ＝b ，与条件c ＝3姨b 矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵sin A ＝3姨sin B ，C=仔6，B =仔-（A +C ），∴sin A ＝3姨sin （A +C ）＝3姨sin （A +仔6），sin A ＝3姨sin （A +仔6）＝3姨sin A ·3姨2+3姨cos A ·12，∴sin A ＝-3姨cos A ，∴tan A ＝-3姨，∴A ＝2仔3，∴B=C ＝仔6，若选①，ac ＝3姨，∵a ＝3姨b ＝3姨c ，∴3姨c 2＝3姨，∴c ＝1；若选②，c sin A ＝3，则3姨c 2＝3，c ＝23姨；若选③，与条件c ＝3姨b 矛盾.点评：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．值得注意的是，本例属于结构不良问题.结构不良的问题并不是指问题本身有什么错误或者不恰当，而是指它没有明确的结构或者解决途径.例如，修电脑，其初始状态不明确，要先检查电脑故障状态在哪？再如，让学生考察当地城市环境污染状况，写一篇论文，其初始状态、目标状态、甚至问题的解决方案都不明确，是名副其实的结构不良问题.近年来，结构不良问题引起了研究者的关注，因为现实生活中充斥着大量结构不良问题需要解决者从诸多现象中自己分析、设计出解决方案.数学“结构不良”问题比开放性问题的范畴更大、更广.二、结论开放型这类题目的特点是给出一定的条件，要求从条件出发去探索结论，而结论往往是不唯一的，甚至是不确定的，或给出特例后通过归纳得出一般性结论.解决此类问题的策略有：从已知条件出发，运用所学过的知识进行推理、探究或实验得出结论；通过归纳得出一般性结论，再去证明；对多种结论进行优化（内含分类讨论）等.例4老师给出一个函数y ＝ｆ（x ），四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对于ｘ∈R ，都有ｆ（1+x ）＝ｆ（1-x ）；乙：在（-∞，0]上函数递减；丙：在（0，+∞）上函数递增；丁：f （0）不是函数的最小值．26如果其中恰有三个人说得正确，请写出一个这样的函数：____________．解析：首先看甲的话，所谓“对于ｘ∈R，都有ｆ（1+x）＝ｆ（1-x）”，其含义即为：函数f（ｘ）的图像关于直线x=1对称．数形结合，不难发现：甲与丙的话相矛盾．（在对称轴的两侧，函数的单调性相反）因此，我们只需选择满足甲、乙、丁（或乙、丙、丁）条件的函数即可．如果我们希望找到满足甲、乙、丁条件的函数，则需要认识到：所谓函数在（-∞，0]上单调递减，并不是说函数f（ｘ）的单调递减区间只有（-∞，0]．考虑到关于直线x=1的对称性，我们不妨构造函数，使之在（-∞，1]上单调递减，这样，既不与乙的话矛盾，也满足丁所说的性质．如ｆ（x）＝（x-1）2即可．实际上，ｆ（x）＝（x-1）2+m（m∈R）都满足题设，有无数个.如果希望找到满足乙、丙、丁条件的函数，则分段函数是必然的选择．如ｆ（x）＝-x+1，x≤0ｘ，x＞．实际上，ｆ（x）＝-x+k（k＞0），x≤0ｘ，x＞也满足题设，有无数个.点评：本题考查考生对于函数性质的理解和掌握．思考这样的问题，常常需要从熟悉的函数（一次、二次、反比例函数，指数、对数、三角函数等）入手，另外，分段函数往往是解决问题的关键．另外，本题也是举例题，属于开放性问题的范畴.例5.函数ｆ（x）的定义域为R，且ｆ（x+1）与ｆ（x+2）都为奇函数，则（）A.ｆ（x）为奇函数B.ｆ（x）为周期函数C.ｆ（x+３）为奇函数D.ｆ（x+4）为偶函数解析：因为g（x）=f（x+1）是奇函数，所以g（-x）+g（x）=0，即f（-x+1）+f（x+1）=0，所以f（x）关于（1，0）对称，同理f（-x+2）+ f（x+2）=0，f（x）关于点（2，0）对称.因此，f（2-x）+f（x）=0，f（（4-x）+f（x）=0，所以f（2-x）= f（4-x），所以f（x）=f（2+x），所以f（x）是以2为周期的函数.所以f（x），f（x+3）f（x+4），均为奇函数.ABC正确，所以选ABC.点评：在新高考中（比如2020年高考的山东卷、海南卷），这样的多选题一般有四道，通常设置在第9题至12题之间.对于本题而言理解和记住函数对称性和周期性的三个结论是很重要的：定理1.函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a－x）=2b.推论1：函数y=f（x）的图像关于原点O对称的充要条件是f（x）+f（－x）=0.推论2：函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（a+x）+f（a－x）=2b.定理2.函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是f（a+x）=f（a－x），即f（x）=f（2a－x）.推论：函数y=f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（－x）.定理3.①若函数y=f（x）图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a－b|是其一个周期.②若函数y=f（x）图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a－b|是其一个周期.③若函数y=f（x）图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且4|a－b|是其一个周期.（以上结论的证明留给读者）例6.已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）A.a2+b2≥１2B.2a-b>１2C.log2a+log2b≥-2D.a姨+b姨≤2姨解析：对于A，a2+b2＝a2+（1-a）2＝2a2-2a+1＝2（a-１2）2+１2≥１2，当且仅当a＝b＝１2时，等号成立，故A正确；对于B，a-b＝2a-1>-1，所以2a-b>2-1＝１2，故B正确；对于C，log2a+log2b＝log2ab≤log2（a+b2）2＝log2１4＝-2，当且仅当a＝b＝１2时，等号成立，故C不正确；对于D，因为（a姨+b姨）2＝1+2ab姨≤1+a+b＝2，所以a姨+b姨≤2姨，当且仅当a＝b＝１2时，等号成立，故D正确，故选：ABD.点评：本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.三、条件和结论都开放型有些题目条件和结论都是不确定的，但是给出了一定量的信息和情景，要求解题者在题目给出的情景中，自行设定条件，自己寻找结论，自己构建命题并进行演绎推理．例7.琢、茁是两个不同的平面，m、n是平面琢及茁之外的两条不同直线.给出四个论断：①m⊥n；②琢⊥茁；③n⊥茁；④m⊥琢.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一一一个命题：______________.解析：本题通过改变条件与结论之间呈现的顺序与组合，使问题具备了探索性，将分析—猜想—证明的思维过程巧妙地融入了解题过程；同时也使问题具有了开放性，走出了数学答案唯一确定的误区.它们以新颖的知识呈现方式改变考生的常规思维，考查考生的创新能力.答案是：②③④圯①或①③④圯②.例8.三角形ABC的三个内角A，B，C的对边的长分别为a，b，c，有下列两个条件：（Ⅰ）a，b，c成等差数列；（Ⅱ）a，b，c成等比数列.现给出三个结论：①0＜B≤仔３；②a cos C+c cos A＝a+c2；③1＜1+sin2Bcos B+sin B≤2姨请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结272021年第2论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并证明之.解析：可以组建如下正确的命题：命题一：△ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（Ⅰ）0＜B≤仔３；（Ⅱ）a cos C+c cos A＝a+c2．命题二：△ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（Ⅰ）0＜B≤仔３；（Ⅱ）1＜1+sin2Bcos B+sin B≤2姨．命题三：△ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（Ⅰ）a cos C+c cos A＝a+c2；（Ⅱ）1＜1+sin2Bcos B+sin B≤2姨．命题四：△ABC中，若a、b、c成等比数列，求证：（Ⅰ）0＜B≤仔３；（Ⅱ）1＜1+sin2Bcos B+sin B≤2姨．下面给予证明：命题一：（Ⅰ）因为a、b、c成等差数列，所以2b=a+c，故b=a+c2．cos B＝a2+c2-b22ac ＝a2+c2-（a+c2）22ac＝3（a2+c2）-2ac8ac≥6ac-2ac8ac＝１2.又B∈（0，仔），所以0＜B≤仔３．（Ⅱ）a cos C+c cos A＝a×a2+b2-c22ac +c×b2+c2-a22bc＝b＝a+c2.命题二：（Ⅰ）同命题一（Ⅰ）．（Ⅱ）1+sin2Bcos B+sin B ＝（cos B+sin B）2cos B+sin B＝cos B+sin B=2姨cos（B-仔4）.因为0＜B≤仔３，所以-仔4＜B-仔4≤仔12，所以2姨2＜cos（B-仔4）≤1，所以1＜2姨cos（B-仔4）≤2姨．命题三：可证明0＜B≤仔３．（Ⅰ）同命题一（Ⅱ）．（Ⅱ）同命题二（Ⅱ）．命题四：（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，所以b2＝ac，cos B＝a2+c2-b22ac ＝a2+c2-ac2ac≥2ac-ac2ac＝１2，且B∈（0，仔），所以0＜B≤仔３．（Ⅱ）同命题二（Ⅱ）．点评：在考场上，只要四个命题中选择一种，并证明即可，但在平时的学习过程中，应该尝试各种可能的情形进行分析求解.练习题1.设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次.记事件A={第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B={第二个四面体向下的一面出现奇数}；C={两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数}.给出下列说法：①P（A）＝P（B）＝P（C）；②P（AB）＝P（AC）＝P（BC）；③P（ABC）＝１8；④P（A）P（B）P（C）＝１8，其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个2.已知函数ｆ（ｘ）＝ln x-x+１x，给出下列四个结论，则所有正确结论是（）A.曲线y＝ｆ（ｘ）在ｘ＝1处的切线方程为ｘ+y-1＝0B.ｆ（ｘ）恰有2个零点C.ｆ（ｘ）既有最大值，又有最小值D.若ｘ1ｘ2>0且ｆ（ｘ1）+ｆ（ｘ2）＝0，则ｘ1ｘ2＝13.能说明“若ｆ（ｘ）>ｆ（0）对任意的ｘ∈（0，2]都成立，则ｆ（ｘ）在[0，2]上是增函数“为假命题的一个函数是_________.4.已知l，m是平面琢外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥琢；③l⊥琢．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．5.已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，在①３姨cos C（a cos B+b cos A）＝c sin C；②a sin A+B2＝c sin A；③（sin B-sin A）2＝sin2C-sin B sin A，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当____________时，求sin A·sin B的最大值.练习题参考答案1.D.2.ABD.3.y=sin x，或者ｆ（ｘ）＝0，ｘ＝04-ｘ，ｘ∈（0，22]（答案不唯一）4.如果l⊥琢，m∥琢，则l⊥m.5.解析：若选①，则由正弦定理３姨cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C sin C，３姨cos C sin（A+B）＝sin C sin C，３姨＝tan C，C＝仔３.若选②，则由正弦定理知：sin A sin仔-C2＝sin C sin A，cos C2＝sin C＝2sin C2cos C2sin C2＝１2，C＝仔３.若选③，则有正弦定理知（b-a）2＝c2-bc，∴b2+a2-c2＝bc，由余弦定理知：cos C＝１2，C＝仔３，A+B＝2仔３，∴sin A·sin B＝sin A·sin（2仔３-A）＝sin A·（３姨２cos A+１2sin A）＝３姨２sin A·cos A+１2sin2A＝３姨4sin2A+１4（1-cos2A）＝１2sin（2A-仔6）+１4.∵A∈（0，2仔３），∴2A-仔6∈（-仔6，7仔6）.所以当A＝仔３时，sin A·sin B的最大值是３4.责任编辑徐国坚282021年第2。
高中数学课堂中探究性学习的思考
高中数学课堂中探究性学习的思考高中数学课堂中的探究性学习是指学生通过自主探索、合作学习和问题解决的方式来构建数学知识和技能的学习方式。
在传统的数学教学中，教师往往起着主导作用，主要是通过讲解和演示来传授知识，学生则被动接受和记忆，缺乏主动参与的机会。
而探究性学习则打破了这种教师主导的模式，更加注重培养学生的探究精神和问题解决能力。
在高中数学课堂中，探究性学习可以通过多种教学方法和策略来实现。
教师可以提出一个鲜明的数学问题或情境，引导学生主动思考和探讨。
在学习数列时，教师可以引导学生思考等差数列和等比数列的特点，并让他们通过观察和总结得出规律。
这样的问题设置可以激发学生的学习兴趣，激发他们的主动性和创造性。
教师可以设计一系列的学习任务和活动，让学生在实际操作中进行探究。
在学习函数时，教师可以让学生通过实验法和数据观察，探究函数的图像和性质。
学生在实际操作中不断提出问题、收集数据、分析结果，从而对数学概念和原理有更深入的理解。
这样的学习方式可以培养学生的观察力、实验能力和分析能力，促进他们的主动学习和自主探究。
教师还可以采用小组合作学习的方式，让学生在小组内共同解决数学问题。
小组合作学习可以促进学生之间的互动和合作，培养他们的团队精神和沟通能力。
在小组合作学习中，学生可以相互讨论和比较解题方法和策略，从而互相促进、共同进步。
教师可以充当引导者的角色，提供必要的指导和支持，帮助学生解决困难和疑惑。
教师应该为学生提供一个积极、开放的学习环境，鼓励学生提出问题和表达观点。
在数学课堂中，教师应该尊重学生的思维方式和个体差异，鼓励他们发表自己的观点和看法，激发他们的学习积极性和创造力。
教师可以设置一些开放性问题和讨论的机会，让学生参与到数学的探究中来。
高中数学课堂中的探究性学习可以有效地激发学生的学习兴趣和积极性，培养他们的问题解决能力和创新精神。
教师在教学中应该注重培养学生的自主学习能力和探究精神，激发他们的好奇心和求知欲。
高中数学解题中常见错误成因及应对策略 (4)
高中数学解题中常见错误成因及应对策略高中数学解题是学生学习数学的重要环节，也是考验学生数学能力的重要方式。
但是，由于知识点繁杂、思维难度大，往往会出现各种各样的错误。
因此，对于高中数学解题中的错误成因进行分析和总结，并提出相应的应对策略就显得至关重要。
一、错解问题错解问题是指由于解题者的疏忽、粗心或不规范导致的错误。
这种错误往往是解题者没有认真审题或没有按照一定的步骤进行解题所导致的。
实际上，许多错解问题的原因都比较简单，例如计算错误、符号错误、漏写关键步骤等。
具体如下：1.计算错误：计算错误常常是解题者精神状态不佳或缺乏细心造成的。
例如：35÷（10-5）=5，而很多学生却把它算成了7。
2.符号错误：符号错误是解题中比较常见的错误。
例如：$(-1) \\times (1-2)=-1$，而很多学生却把它算成了2。
3.漏写关键步骤：解题中若漏写关键步骤，同样也会导致错误的产生。
例如：要求求出$f(x)=\\sqrt{1-x}$在$x=-1$处的导数，但很多学生不会注意到要使用链式法则进行求导，而直接算出来为$-\\frac{1}{2}$。
应对策略：解决错解问题的办法就是增强自己的细心和认真态度，攻克解题中常见的易错点：1.认真审题：在做题之前认真审题，理解题目要求，确定具体解题步骤。
2.重视符号：识别符号、理解符号意义、确定符号使用范围，避免符号误用。
3.多核对：解题之后要认真核对，核对答案是否正确，核对解题步骤是否齐全。
二、既得论证问题既得论证问题是指解题者从已有出发，带有主观性地证明某个命题。
这种错误的产生往往是解题者对基本概念、定理及证明不了解或不理解，从而误导自己进行不当的推理。
例如：已知$PA=PB$，$\\angle A=60^\\circ$，$\\angle P=70^\\circ$，$AB=1$，则$AP=BP$。
错误的证明：由已知$PA=PB$，得$\\triangle PAB$是等边三角形，再由$\\angle P=70^\\circ$，$\\angle A=60^\\circ$可知$\\angle PBA=50^\\circ$，又由余角定理可得$\\angle ABP=80^\\circ$，因此$\\angle PAB=50^\\circ$，所以$\\triangle PAB$是等腰三角形，故$AP=BP$。
浅谈高中数学课堂中探究性学习的困惑与思考
浅谈高中数学课堂中探究性学习的困惑与思考一、探究性学习的优势与困惑探究性学习是一种培养学生自主学习、主动探索和发现问题的学习方式，能够激发学生的学习兴趣和积极性，培养学生的创新思维和问题解决能力。
在高中数学课堂中，采用探究性学习让学生们更加主动地去思考和理解数学知识，从而提高他们的数学素养和综合能力。
探究性学习也存在一些困惑。
学生的数学基础参差不齐，导致在进行探究性学习时出现了学习程度的不平衡；传统的教学模式和评价方式与探究性学习相矛盾，需要进行有效整合；学生自主学习能力和解决问题的能力有限，需要老师进行有效的引导和指导。
二、探究性学习的具体实践针对探究性学习中存在的问题和困惑，需要在实际教学中进行有针对性的措施和改进。
老师需要对学生的数学基础进行全面的了解和分析，根据学生的实际情况灵活地组织探究性学习活动。
可以采用小组合作的形式，让学生们互相合作、交流和探讨；老师可以设计一些具有启发性和趣味性的问题，引导学生主动去探寻答案；需要加强对学生自主学习和解决问题能力的培养，鼓励他们在探究性学习中勇于探索和尝试。
在未来的高中数学课堂中，探究性学习将继续发挥重要作用。
随着教育理念的不断深化和完善，我们需要寻求更多的创新和改进，从而更好地开展探究性学习。
需要建立更加科学合理的评价体系，使得探究性学习与传统教学相辅相成，形成完整的教学模式；需要加强教师的培训和教育，提高他们的探究性学习能力和水平；需要注重学生的素质教育，培养他们的自主学习和创新思维能力。
高中数学课堂中探究性学习的困惑与思考是一个长期而复杂的过程。
我们需要在实际教学中不断进行探索和实践，使得探究性学习真正成为高中数学教育的有力推动者，为学生的综合素质和能力提供更好的保障。
相信在不久的将来，探究性学习必将在高中数学课堂中发挥更加重要的作用，为学生的数学学习带来更多的乐趣和收获。
高中数学课堂中探究性学习的困惑与思考
高中数学课堂中探究性学习的困惑与思考摘要：随着新课改的不断深化，我们对高中数学课堂中的学习方式也有新的要求。
在高中数学中，因数学自身所带有的特点，它对学生的思考能力等都有所要求。
在此情况下，学生可能对数学就没有很高的兴趣，以至于不能在数学上有好的提高。
因此，老师们要想改变这种现状必须改变传统的教学形式，采用探究性的学习来吸引学生的兴趣和学习效率，完成高中教学的要求。
关键词：探究性学习；探究能力；合作学习随着高中数学研究不断加深，越来越多的老师采用探究性学习的方法，这给传统的高中数学的课堂学习有着很大的冲击。
在探究性学习方法下，原本的高中数学的教学方法已经不能满足现在时代学生们的需求，无法满足现在的社会对数学人才的需求。
因此，越来越多的老师认识到在学习的过程中，学生是占有着主要位置的并且好的学习方法对学生的学习是多么的重要。
在现代探究性学习的方法下，学生们有着更高的学习兴趣，对知识有着更深的渴望，使得学生对高中数学的学习能更好的提高自己的思维能力、创新能力等的培养。
1 探究性学习的作用探究性的学习是现在主要的学习方式。
它与以前传统的学习方法是不一样的。
首先从概念上说，探究性的学习是新课程倡导的一种学习理念、方法、模式，探究性学习能让学生从探究中主动获取知识，应用知识，解决问题，在高中数学的研究中能自己探索并发现规律。
其次，探究性的学习和传统的高中数学学习相比较，探究性学习方法是建在传统的教学方式上的。
探究性学习有着传统教学所没有的特点，如第一，它的开放性，它的方式是自由的，同学们可以根据自己所想并和其他同学进行讨论或者在课堂在搜寻，在多方合作下共同去完成思考并获得知识，不再是单一的自己思考，打破了以前的方式；第二，它的探究性，探究性的学习不再是以前的照抄照搬，简简单单的由老师告诉学生这个方法，而不去想它产生的原因，打破这些让同学们自己去思考某一个问题，为什么会是这个答案，积极探索，在思考中学习，探讨中进步；第三，它的实践性，探究性的学习方法让老师对学生提问的问题更高级，不再是简单的发问，而是让同学们结合实际加以实践去开展学习，从而提高学生的探究能力和实践能力。
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1 2 sin 2 (1 cos sin )( x ) 2 2 cos 2 sin (1 2 sin ) sin 4(1 cos sin )
2
由sin 0, cos 0可知 : 1 cos sin 0 1 2sin 0 1. 2 2 cos 2 sin
[解析] 由已知得 :
PA PB PC PB PA, 则 PC 2 PA, 故选D.
[答案] D
[考点搜索]
1. 探索点的位置及参量的取值范围往 往是综合已知条件和所学知识点，根据转 化或数形结合的思想进行探索，直到结论 显然为止. 2. 在解决数列和恒成立的问题时，要 根据特殊和一般的辩证思想，从特殊的个 体总结出一般的规律，对普遍的规律任何 个体都会满足.
[链接高考]
[例1] 已知当x [0,1]时, 不等式x cos
2
x(1 x ) (1 x ) sin 0恒成立, 试求
2
的取值范围.
[链接高考]
[例1] 已知当x [0,1]时, 不等式x cos
2
x(1 x ) (1 x ) sin 0恒成立, 试求
P2
x P3 l 2
2 当a 0时, l1与圆C相交, A C有两 个元素, 则l 2与圆C相离(如图), 或者l1与l 2重 合 , 设圆心到l 2的距离为d , d a 2 1或a 1.
y l1 x
a 2或a 2 或a 1 ( A B ) C有两个元素.
[例2] 设集合A {( x , y ) | ax y 1}, B
{( x , y ) | x y a }, C {( x , y ) | x y 1}.
2 2
问： (1)当a为何值时 （ , A B ) C为含 有两个元素的集合？ ( 2) 当a为何值时, ( A B ) C为含有 三个元素的集合？
1 f ( t )min cos 0 4 sin 1 解得 : sin 2 , 2 5 所以2k 2k ( k Z ). 12 12
1 f ( t )min cos 0 4 sin 1 解得 : sin 2 , 2 5 所以2k 2k ( k Z ). 12 12 [点评] 从特殊的个体考察普遍的规律是 高中阶段必须掌握的思维方式, 本题先令x=0 和x=1得到sin >0, cos >0, 大大的缩小了的 考察范围, 为后面的解答提供的很大的方便. 而解法二通过换元, 使得式子更为规范.
开放性 与探究性问题求解
第一课时：
范围与轨迹的探究：
2
[课前导引]
1. 设二次函数f ( x ) x ax 5对 任意t都有f ( t ) f ( 4 t ), 且在闭区间 [m ,0]上有最大值5, 最小值1, 则m 的取值 范围是 ( ) A.m 2 B. 4 m 2 C. 2 m 0 D. 4 m 0
第一课时：
范围与轨迹的探究：
2
[课前导引]
1. 设二次函数f ( x ) x ax 5对 任意t都有f ( t ) f ( 4 t ), 且在闭区间 [m ,0]上有最大值5, 最小值1, 则m 的取值 范围是 ( B ) A.m 2 B. 4 m 2 C. 2 m 0 D. 4 m 0
2. 已知ABC的三个顶角A、B、 C 及平面内一点 P , 且 PA PB PC AB, 则点P与ABC的位置关系为 ( ) A. P在ABC内部 B. P在ABC外部 C. P在AB边上或延长线上 D. P在AC边上
[解析] 由已知得 :
PA PB PC PB PA, 则 PC 2 PA, 故选D.
d l2
[法二] 令x 0, x 1由已知条件可知: sin 0, cos 0, 设x (0,1), 原不等式 1 x 2 1 x 变为 : ( ) sin ( ) cos 0 x x 1 x 2 令 t , t R , 即t sin t cos 0 x 2 令f ( t ) t sin t cos 1 1 2 sin ( t ) cos 2 sin 4 sin
结合原不等式对任意 x [0,1]恒成立知 sin 0 cos 0 2 (1 2 sin ) 0 f ( x )min sin 4(1 cos sin ) 1 可得 : sin 2 . 2 5 所以2k 2k (k Z) 12 12
[解析] (1) ( A B ) C ( A C ) ( B C ), 设l1 : ax y 1, l 2 : x y a .
在A中ax y 1是定点系直线 , 恒过点(0,1), (0,1) A C . y P1 l1 1当a 0时, l1与圆C相 切, l 2与圆相交(如图). 则( A B ) C有 3个公 共元素, 不符合.
2
的取值范围.
[法一] 令x 0, x 1由已知条件可知:
sin 0, cos 0, 设 f ( x ) x cos x(1 x ) (1 x ) sin
2 2
(1 cos sin ) x (1 2 sin ) x sin