高中数学开放性与探究性问题
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2
1 2 sin 2 (1 cos sin )( x ) 2 2 cos 2 sin (1 2 sin ) sin 4(1 cos sin )
2
由sin 0, cos 0可知 : 1 cos sin 0 1 2sin 0 1. 2 2 cos 2 sin
[链接高考]
[例1] 已知当x [0,1]时, 不等式x cos
2
x(1 x ) (1 x ) sin 0恒成立, 试求
2
的取值范围.
[链接高考]
[例1] 已知当x [0,1]时, 不等式x cos
2
x(1 x ) (1 x ) sin 百度文库0恒成立, 试求
d l2
[例2] 设集合A {( x , y ) | ax y 1}, B
{( x , y ) | x y a }, C {( x , y ) | x y 1}.
2 2
问： (1)当a为何值时 （ , A B ) C为含 有两个元素的集合？ ( 2) 当a为何值时, ( A B ) C为含有 三个元素的集合？
2. 已知ABC的三个顶角A、B、 C 及平面内一点 P , 且 PA PB PC AB, 则点P与ABC的位置关系为 ( ) A. P在ABC内部 B. P在ABC外部 C. P在AB边上或延长线上 D. P在AC边上
[解析] 由已知得 :
PA PB PC PB PA, 则 PC 2 PA, 故选D.
[法二] 令x 0, x 1由已知条件可知: sin 0, cos 0, 设x (0,1), 原不等式 1 x 2 1 x 变为 : ( ) sin ( ) cos 0 x x 1 x 2 令 t , t R , 即t sin t cos 0 x 2 令f ( t ) t sin t cos 1 1 2 sin ( t ) cos 2 sin 4 sin
P2
x P3 l 2
2 当a 0时, l1与圆C相交, A C有两 个元素, 则l 2与圆C相离(如图), 或者l1与l 2重 合 , 设圆心到l 2的距离为d , d a 2 1或a 1.
y l1 x
a 2或a 2 或a 1 ( A B ) C有两个元素.
结合原不等式对任意 x [0,1]恒成立知 sin 0 cos 0 2 (1 2 sin ) 0 f ( x )min sin 4(1 cos sin ) 1 可得 : sin 2 . 2 5 所以2k 2k (k Z) 12 12
[解析] 由已知得 :
PA PB PC PB PA, 则 PC 2 PA, 故选D.
[答案] D
[考点搜索]
1. 探索点的位置及参量的取值范围往 往是综合已知条件和所学知识点，根据转 化或数形结合的思想进行探索，直到结论 显然为止. 2. 在解决数列和恒成立的问题时，要 根据特殊和一般的辩证思想，从特殊的个 体总结出一般的规律，对普遍的规律任何 个体都会满足.
2
的取值范围.
[法一] 令x 0, x 1由已知条件可知:
sin 0, cos 0, 设 f ( x ) x cos x(1 x ) (1 x ) sin
2 2
(1 cos sin ) x (1 2 sin ) x sin
开放性 与探究性问题求解
第一课时：
范围与轨迹的探究：
2
[课前导引]
1. 设二次函数f ( x ) x ax 5对 任意t都有f ( t ) f ( 4 t ), 且在闭区间 [m ,0]上有最大值5, 最小值1, 则m 的取值 范围是 ( ) A.m 2 B. 4 m 2 C. 2 m 0 D. 4 m 0
第一课时：
范围与轨迹的探究：
2
[课前导引]
1. 设二次函数f ( x ) x ax 5对 任意t都有f ( t ) f ( 4 t ), 且在闭区间 [m ,0]上有最大值5, 最小值1, 则m 的取值 范围是 ( B ) A.m 2 B. 4 m 2 C. 2 m 0 D. 4 m 0
[解析] (1) ( A B ) C ( A C ) ( B C ), 设l1 : ax y 1, l 2 : x y a .
在A中ax y 1是定点系直线 , 恒过点(0,1), (0,1) A C . y P1 l1 1当a 0时, l1与圆C相 切, l 2与圆相交(如图). 则( A B ) C有 3个公 共元素, 不符合.
1 f ( t )min cos 0 4 sin 1 解得 : sin 2 , 2 5 所以2k 2k ( k Z ). 12 12
1 f ( t )min cos 0 4 sin 1 解得 : sin 2 , 2 5 所以2k 2k ( k Z ). 12 12 [点评] 从特殊的个体考察普遍的规律是 高中阶段必须掌握的思维方式, 本题先令x=0 和x=1得到sin >0, cos >0, 大大的缩小了的 考察范围, 为后面的解答提供的很大的方便. 而解法二通过换元, 使得式子更为规范.
1 2 sin 2 (1 cos sin )( x ) 2 2 cos 2 sin (1 2 sin ) sin 4(1 cos sin )
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由sin 0, cos 0可知 : 1 cos sin 0 1 2sin 0 1. 2 2 cos 2 sin
[链接高考]
[例1] 已知当x [0,1]时, 不等式x cos
2
x(1 x ) (1 x ) sin 0恒成立, 试求
2
的取值范围.
[链接高考]
[例1] 已知当x [0,1]时, 不等式x cos
2
x(1 x ) (1 x ) sin 百度文库0恒成立, 试求
d l2
[例2] 设集合A {( x , y ) | ax y 1}, B
{( x , y ) | x y a }, C {( x , y ) | x y 1}.
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问： (1)当a为何值时 （ , A B ) C为含 有两个元素的集合？ ( 2) 当a为何值时, ( A B ) C为含有 三个元素的集合？
2. 已知ABC的三个顶角A、B、 C 及平面内一点 P , 且 PA PB PC AB, 则点P与ABC的位置关系为 ( ) A. P在ABC内部 B. P在ABC外部 C. P在AB边上或延长线上 D. P在AC边上
[解析] 由已知得 :
PA PB PC PB PA, 则 PC 2 PA, 故选D.
[法二] 令x 0, x 1由已知条件可知: sin 0, cos 0, 设x (0,1), 原不等式 1 x 2 1 x 变为 : ( ) sin ( ) cos 0 x x 1 x 2 令 t , t R , 即t sin t cos 0 x 2 令f ( t ) t sin t cos 1 1 2 sin ( t ) cos 2 sin 4 sin
P2
x P3 l 2
2 当a 0时, l1与圆C相交, A C有两 个元素, 则l 2与圆C相离(如图), 或者l1与l 2重 合 , 设圆心到l 2的距离为d , d a 2 1或a 1.
y l1 x
a 2或a 2 或a 1 ( A B ) C有两个元素.
结合原不等式对任意 x [0,1]恒成立知 sin 0 cos 0 2 (1 2 sin ) 0 f ( x )min sin 4(1 cos sin ) 1 可得 : sin 2 . 2 5 所以2k 2k (k Z) 12 12
[解析] 由已知得 :
PA PB PC PB PA, 则 PC 2 PA, 故选D.
[答案] D
[考点搜索]
1. 探索点的位置及参量的取值范围往 往是综合已知条件和所学知识点，根据转 化或数形结合的思想进行探索，直到结论 显然为止. 2. 在解决数列和恒成立的问题时，要 根据特殊和一般的辩证思想，从特殊的个 体总结出一般的规律，对普遍的规律任何 个体都会满足.
2
的取值范围.
[法一] 令x 0, x 1由已知条件可知:
sin 0, cos 0, 设 f ( x ) x cos x(1 x ) (1 x ) sin
2 2
(1 cos sin ) x (1 2 sin ) x sin
开放性 与探究性问题求解
第一课时：
范围与轨迹的探究：
2
[课前导引]
1. 设二次函数f ( x ) x ax 5对 任意t都有f ( t ) f ( 4 t ), 且在闭区间 [m ,0]上有最大值5, 最小值1, 则m 的取值 范围是 ( ) A.m 2 B. 4 m 2 C. 2 m 0 D. 4 m 0
第一课时：
范围与轨迹的探究：
2
[课前导引]
1. 设二次函数f ( x ) x ax 5对 任意t都有f ( t ) f ( 4 t ), 且在闭区间 [m ,0]上有最大值5, 最小值1, 则m 的取值 范围是 ( B ) A.m 2 B. 4 m 2 C. 2 m 0 D. 4 m 0
[解析] (1) ( A B ) C ( A C ) ( B C ), 设l1 : ax y 1, l 2 : x y a .
在A中ax y 1是定点系直线 , 恒过点(0,1), (0,1) A C . y P1 l1 1当a 0时, l1与圆C相 切, l 2与圆相交(如图). 则( A B ) C有 3个公 共元素, 不符合.
1 f ( t )min cos 0 4 sin 1 解得 : sin 2 , 2 5 所以2k 2k ( k Z ). 12 12
1 f ( t )min cos 0 4 sin 1 解得 : sin 2 , 2 5 所以2k 2k ( k Z ). 12 12 [点评] 从特殊的个体考察普遍的规律是 高中阶段必须掌握的思维方式, 本题先令x=0 和x=1得到sin >0, cos >0, 大大的缩小了的 考察范围, 为后面的解答提供的很大的方便. 而解法二通过换元, 使得式子更为规范.