效用理论与保险

1.2 期 望 效 用 模 型
假设一个个体面临损失额为B ，发生概率0.01的风 险，他可以将损失进行投保，并愿意为这份保单 支付保费P ，B 和P 之间有何种关系？ • 如果B 非常小，那么P 几乎不会大于0.01B ; • 如果B 略微大一点，如500，那么P 就可能比5稍 大一些; • 如果B 非常大，那么P 就会比0.01B 大很多。因 为这么大的损失一旦发生可以导致破产。 • 结论：可以付出比期望值高的费用为风险投保。
例 1.2.2（偏好风 险与厌恶 风险） 假设一个拥有资 本w的个体使用效用函数u(·)衡量其财富的价值。 他面临两种选择： • A：以概率1/2损失b元, • B ：仅支付固定的b/2元. 他得决策是这样的： • 当b = 1时，选择A； • 当b = 4时，选择B ； • 当b = 2时，两种选择等价。
1.4 停 止 损 失 再 保 险 的 最 优 性
• 再保险合同只承保保险人的一部分风险。停止损 失再保险承保损失超过制定免赔额的超额部分。 • 定义如下：如果损失为X (X ≥ 0)，则理赔支付 为 (X − d)+ = max{X − d, 0} = X − d, X > d 0, X≤d
• 保险人保留损失小于d的风险（自留额），同时 再保险公司支付损失的剩余部分。
那么他的期望效用将会提高。 • P + 代表被保险人愿意支付的最大保费，则有
E [u(w − X )] = u(w − P + ) • 因为u(·)是一个非减的连续函数，所以P ≤ P + 。
保险人：
• 保险人的效用函数为U (·)，资本为W 。如果 E [U (W + P − X )] ≥ U (W )
例 1.3.1（ 指 数 保 费 ） 假 设 一 保 险 人 使 用 参 数 为α的指数效用函数，对于风险X ，最小保费P − 应 为多少？ 解 ： 把U (x) = −αe−αx 带 入U (W ) = E [U (W + P − − X )]，得
P− =
1 log(mX (α)) α
其中mX (α) = E [eαX ]是X 的矩母函数。 • 最大保费P + 为
例 1.2.1（ 圣 彼 得 堡 悖 论 ） 以价格P 元参与如下游 戏：抛掷一枚均匀地硬币，直到出现正面为止。 如果投掷n才首次出现正面，则游戏的参与者就可 以获得2n 元。因此，从该游戏中获得的期望收益 是 ∞ 1 2n ( )n = ∞ 2 n=1 然而，除非P 很小，否则很少有人会参加这样的游 戏，这意味着人们并不仅仅看到期望收益。
• πX (0) = E [X ], πX (∞) = 0, πX (d) = FX (d) − 1.
定 理1.4.1（停止 损失再保险的最优性 ） 用I (X )表 示当损失为X (X ≥ 0)时，某再保险合同约定的理 赔支付。假设0 ≤ I (x) ≤ x 对于任意x ≥ 0成立， 则 E [I (X )] = E [(X − d)+ ]
=⇒ V ar[X − I (X )] ≥ V ar[X − (X − d)+ ] Proof. We write the retained risks as follows: V (X ) = X − I (X ), W (X ) = X − (X − d)+
=
n −α log(1 − α), 0 < α < 1 ∞, α≥1
因为log(1 + x) < x, x > −1, x = 0，所以log(1 − α) < −α，因而P + > E [X ] = n。
• 如果α ≥ 1，则P + = ∞，这表明决策者愿意支 付任何有限的保费。 • 按照效用理论，如果α ≥ 1，那么承保该风险的 保险人对于任何有限的保费P ，都会遭受损失，因 为P − = ∞。 • 对于这些保险人来说，这种风险是不可保的。
v (x) = xα/γ , From Jensen’s inequality, it follows that v (E [Y ]) > E [v (Y )]
Take Y = exp(γX ), then v (Y ) = exp(αX ) and {E [eγX ]}α = {(E [Y ])α/γ }γ = {v (E [Y ])}γ > {E [v (Y )]}γ = {E [eαX ]}γ . Therefore, {mX (α)}γ < {mX (γ )}α which implies that, for any α < γ , 1 1 log(mX (α)) < log(mX (γ )) α γ
• Absolute risk aversion coefficient： r(w) = − u (w) u (w)
• Relative risk aversion parameter: r(w) = −w u (w) u (w)
例 1.2.4（ 风 险 厌 恶 系 数 ） 给定效用函数u(x)，我 们如何近似计算风险X 最大保费P + ？ 解：设E [X ] = µ和V ar[X ] = σ 2 。u(·)在点w − µ处 展开，得
E [v (Y )] ≥ v (E [Y ]),
其中等号成立当且仅当v (·)在Y 的支撑集上是线性 的或V ar(Y ) = 0。 • 由此不等式得到，对于一个凹的效用函数u(·)， 有
E [u(w − X )] ≤ u(E [w − X ]) = u(w − E [X ]) .
被保险人：
• 假设一个厌恶风险的被保险人拥有财富w，效用 函数为u(·)，以保费P 获得对损失X 的保险保障。 如果 E [u(w − X )] ≤ u(w − P )
在经济学中，由von Neumann和Morgenstern于1947年 引入的模型描述了决策者怎样在不确定的结果中 做出选择。 • 一个评估财富w的效用函数u(·), • 决策基于期望E [u(w − X )], • 如果有两个损失X 和Y ，比较E [u(w−X )]与E [u(w− Y )]的大小来决定.
u(w − P + ) ≈ u(w − µ) + (µ − P + )u (w − µ)
1 u(w − X ) ≈ u(w − µ) + (µ − X )u (w − µ) + (µ − X )2 u (w − µ) 2
因此，有
1 E [u(w − X )] ≈ u(w − µ) + σ 2 u (w − µ) 2
• 这个人喜欢一定程度的冒险，但他害怕大的损 失，就像拥有火灾保单的个人同时愿意参与抽奖 的活动。 • 对于这样的决策，效用函数u(·)应该具有怎样的 形式。
选择w = 0。假设u(0) = 0和u(−1) = −1。
• 当b = 1时，选择A。因此有 1 1 u(− ) < (u(0) + u(−1)) 2 2 • 当b = 4时，选择B 。因此有 1 u(−2) > (u(0) + u(−4)) 2 • 当b = 2时，两种选择等价。因此有 1 u(−1) = (u(0) + u(−2)) 2
由E [u(w − X )] = u(w − P + )，得
P = P (w) =
(11/2 − w)2 + 1/4 − (5 − w)
容易验证P (w) > 0。
例 1.3.3（ 不 可 保 风 险 ） 某决策者使用风险厌恶系 数为α > 0的指数效用函数，对分布为Γ(n, 1)的 风 险 进 行 投 保 。 确 定P + ， 并 证 明P + > n。 何 时P + = ∞，此时说明什么？ 解：由于 1 P + = log(mX (α)) α
第一章 效用理论与保险
1.1 引 言
例 1： 我们有如下两种选择： • A：0.1%的机会得到10000元钱，99.9%的机会什 么也得不到. • B ：100%的机会得到10元钱. 选A？或选B ？ 喜好风险
例 2： 我们有如下两种选择： • A：0.1%的机会失去10000元钱，99.9%的机会不 损失. • B ：100%的机会失去10元钱. 选A？或选B ？ 厌恶风险
P+ =
1 log(mX (α)) α
假设损失X 服从参数为β 的指数分布。令β = 0.01， 则E [X ] = 1/β = 100. • 如果被保险人的效用函数是参数为α = 0.005的 指数效用函数，那么
P+ =
1 β log(mX (α)) = 200 log( ) = 138.6 α β−α
所以
1 2 σ u (w − µ) ≈ (µ − P + )u (w − µ) 2 • 因此，风险X 的最大保费P + 近似为 1 u (w − µ) 1 P + = µ − σ2 = µ + σ 2 r(w − µ) 2 u (w − µ) 2 • 风险厌恶系数真正反映了风险厌恶程度：对风险 厌恶程度越高，准备支付的保费也越大。
为了比较X 和Y ，效用函数u(x)与其线性变换au(x)+ b(a > 0)是等价的，即无论选择哪个效用函数会得 出相同的决策：
E [u(w − X )Leabharlann Baidu ≤ E [u(w − Y )]
当且仅当
E [au(w − X ) + b] ≤ E [au(w − Y ) + b]
• 效用函数是存在的，但很难给出一个明确的解析 式。 • 可以向决策提出大量的问题，通过他对这些问题 的回答来决定该决策者的效用函数。 • 如“为了避免以概率q 发生损失1，你愿意支付多 大保费P ？”
1.3 效 用 函 数 族
• • • • •
linear utility: u(w) = w quadratic utility: u(w) = −(α − w)2 (w ≤ α) logarithmic utility: u(w) = log(α + w)(w > −α) exponential utility: u(w) = −αe−αw (α > 0) c power utility: u(w) = w c (w > 0, c ≤ 1)
• 因此，有P + > E [X ] = 100. • 由（1.18）得 1 P + ≈ E [X ] + Var[X ] = 125 2
如果X 是方差有限的非负随机变量，则
P− =
1 log(mX (α)) α
是α的递增函数。 Proof. For 0 < α < γ , consider the strictly concave function v (·) with
这既不是凸函数，也不是凹函数。
• 有重大决策时，决策者往往是风险厌恶的。 • 被保险人是风险厌恶的。 • 风险厌恶者的效用函数具有如下特点： 1. 边际效用是非负的，u (x) ≥ 0； 2. 边际效用是递减的，u (x) ≤ 0。
定 理1.2.3（Jensen不 等 式 ） 如果v (x)是一个凸函 数，Y 是一个随机变量，则
例 1.3.2（ 平 方 效 用 函 数 ） 假设被保险人的效用 函数为u(w) = 10w − w2 , w < 5。对损失额为1， 以概率1/2发生的风险进行承保的保单，其最大保 费P + 作为w的函数关系式？如果w增加，保费会如 何变化？ 解：发生损失X 之后的期望效用为
E [u(w − X )] = 11w − 11/2 − w2 • 支付保费之后的期望效用为 u(w − P ) = 10(w − P ) − (w − P )2
保险人将以保费P 承保损失X 。 • 如果不等号成立，那么他的期望效用将会提高。 • P − 代表保险人要求的最小保费，则有
U (W ) = E [U (W + P − − X )] • 因 为U (·)是 一 个 非 减 的 连 续 函 数 ， 所 以P ≥ P −。
• 如果P + ≥ P − ，那么交易会同时增加保险人和被 保险人双方的期望效用。 • 保险合约能够成交。
• 停止损失保费（纯保费）： πX (d) = E [(X − d)+ ] • 在离散情形，pX (x) = P (X = x)为分布律；在 连续情形，fX (x)为密度函数。则有 πX (d) =
∞ x>d (x − d)pX (x) ∞ d (x − d)fX (x)dx
=
d
[1 − FX (x)]dx