现代控制理论 3-3 线性系统的可观性 3-4 可控可观标准型

cae 特殊形式判据 (1) A 为对角阵 (2) A 为约当阵
x& = Λx + Bu
tcy x& = Jx+Bu 返回
(1) A 为对角阵
⎡λ1 0 L 0 ⎤
ae Λ
=
⎢ ⎢ ⎢
0 M
λ2 M
L M
0
⎥ ⎥
M⎥
⎢ ⎣
0
0
L
λn
⎥ ⎦
x& = Λx + Bu y = Cx + Du
c tcy ¾¾CC矩矩阵阵的的列列不不全全为为零零
1
举例
y＝x1，故 x1 可观测；
e x2 与 y 之间没有任何联系， x2不可观测。
cau
x&2 ∫ x2
−
1
x&1 −
∫
2
x1 = y
tcy 系统不完全可观！
一，线性连续系统的可观测性定义
e 二, 线性定常连续系统的可观测性判据 ca三，线性离散系统的可观测性定义 tcy 四，线性定常离散系统的可观测性判据
⎤ ⎥ ⎦
系统不可观！
tc or: 秩判据
rank
⎡c⎤ ⎢⎣cA⎥⎦
=
rank
⎡1 ⎢⎣1
1⎤ 1⎥⎦
=
1
<
dim
A
=
2
(2) A 为约当阵
⎡λ1 1 0
⎢ ⎢
0
λ1
1
⎤
0
⎥ ⎥
e ⎢0
⎢ J=⎢
0
λ1 λ2
1
⎥ ⎥ ⎥
a⎢
0 λ2
⎥
⎢
⎢
c⎢
0
λ6 O
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣
λn ⎥⎦
x& = Jx + Bu y = Cx + Du
y CC矩矩阵阵中中与与约约当当块块第第一一列列对对应应的的列列不不全全为为零零
((与与约约当当块块其其它它列列对对应应的的列列可可以以全全为为零零))
tc CC矩矩阵阵中中与与互互异异特特征征值值对对应应的的列列不不全全为为零零 返回
9
x&
=
⎡λ1 ⎢
⎣
1⎤ ⎡0⎤
λ1
⎥ ⎦
x
+
⎢⎣b2
⎥u ⎦
⎡λ1 1
e ⎢
⎢
λ1
⎤ ⎥ A 的三重特征值有两 ⎥ 个独立的特征向量
a⎢⎣
λ1 ⎥⎦
c¾¾CC矩矩阵阵的的列列线线性性无无关关
比较
⎡C⎤
y or:秩判据
⎢ rank ⎢
CA
⎥ ⎥=n
tc ⎢ M ⎥
⎢⎣CA
n−1
⎥ ⎦
例：判别下列约当规范型线性定常系统的可观性。
1，
⎡ ⎢ ⎢
x&1 x&2
⎤ ⎥ ⎥
a 解: 物理含ห้องสมุดไป่ตู้：
−1⎤
1 ⎥⎥x(k ),
2 ⎥⎦
y(k ) = [0 1 0]x(k )
系统可观！
cy(k + 2) = x2(k + 2) = −2x2(k +1)+ x3(k +1)
= −2[− 2x2 (k )+ x3(k )]+ 3x1(k )+ 2x3(k )
y = 4x2(k)+ 3x1(k) tc ——第k +2步可以确定状态变量 x1(k)
——第k步可由输出 y(k ) 确定状态变量 x2 (k )
y y(k +1) = x2(k +1) = −2x2(k)+ x3(k) tc ——第k +1步可以确定状态变量 x3(k)
返回
15
例：判别下列线性定常离散系统的可观性。 返回
前页
⎡1 0
e x(k +1) = ⎢⎢0 − 2 ⎢⎣3 0
⎡1
tcy rank
⎡C⎤ ⎢⎣CA⎥⎦
=
rank
⎢⎢−1
⎢1
⎢ ⎣
0
0⎤
1
⎥ ⎥
=
2
−1⎥
2
⎥ ⎦
系统可观！
5
PBH 秩判据 Popov-Belevitch-Hautus Tests
线性定常连续系统完全可观 ⇔
e⎡ C ⎤ arank⎢⎣λiI − A⎥⎦ = dim A = n
i = 1,2,L, n
=
⎡1 ⎢⎣1
−1⎤
1
⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡2 ⎢⎣1
−1⎤
0
⎥ ⎦
⎡u1 ⎢⎣u2
⎤ ⎥, ⎦
⎡ ⎢ ⎣
y1 y2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡1 ⎢⎣−1
0⎤⎡ x1 ⎤
1⎥⎦
⎢ ⎣
x2
⎥ ⎦
a 解: 秩判据
crank[B
AB]
=
rank
⎡2 ⎢⎣1
−1 0
1 3
−1⎤ −1⎥⎦
=
2
系统可控！
e y = [c1 0]x
x&1 = λ1x1 + x2 x&2 = λ1x2 + b2u
返回
y = c1x1
系统可观测！
a尽管 y 不显含 x2 x2 通过 x1 反映在 y 中
cu tcy b2
x&2 ∫ x2
λ1
x&1 ∫ x1 c1
y
λ1
x&
=
⎡λ1 ⎢
⎣
1⎤ ⎡0⎤ λ1⎥⎦x + ⎢⎣b2 ⎥⎦u
=
⎢⎢1 ⎢2 ⎢
tc ⎣
⎡0
A
=
⎢ ⎢
0
⎢⎣− 2
1 0 −4
0⎤ 1 ⎥⎥, − 3⎥⎦
C
=
⎡0 ⎢⎣1
1 2
−1⎤
1
⎥ ⎦
1 −1⎤
2 4
1
⎥ ⎥
4⎥
前三行已使
rankV = n = 3
M
⎥ ⎦
系统完全可观！（后续元素不必计算）
例：判别下列系统的可控性和可观性。
⎡ x&1
⎢
e ⎣
x&2
⎤ ⎥ ⎦
CA M
⎥
⎥ ⎥
=
dim
A
=
n
tc ⎢⎣CA
n−1
⎥ ⎦
nq×n阶可观测性矩阵
返回
4
例：判别下列系统的可观性。
⎡0 1 0⎤
e x&
=
⎢ ⎢
0
⎢⎣− 2
0 −4
1 ⎥⎥x, − 3⎥⎦
y
=
⎡0 ⎢⎣1
1 2
−1⎤ 1 ⎥⎦x
a 解: 秩判据
c ⎡0
y V
=
⎡C⎤
⎢ ⎢
CA
⎥ ⎥
⎢⎣CA2 ⎥⎦
⎢ ⎢ ⎢
x&3 x&4
⎥ ⎥ ⎥
=
⎢ ⎢ ⎢
1 −1
−2
1 −2
⎤⎡ x1 ⎤
⎥ ⎥
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
1
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
x3 x4
⎥ ⎥ ⎥
tc ⎢⎣x&5⎥⎦ ⎢⎣
− 2⎥⎦⎢⎣x5 ⎥⎦
不为零
y = [− 5 0 2 0 0]x
系统可观！
11
3，
⎡ ⎢ ⎢
x&1 x&2
⎤ ⎥ ⎥
=
⎡−1
⎢ ⎢
n−1
⎥ ⎦
14
例：判别下列线性定常离散系统的可观性。 返回
⎡1 0 −1⎤
e x(k +1) = ⎢⎢0 − 2 1 ⎥⎥x(k), ⎢⎣3 0 2 ⎥⎦
a 解: c 秩判据
y(k ) = [0 1 0]x(k )
⎡c⎤
⎡0 1 0⎤
y rank
⎢ ⎢
cG
⎥ ⎥
=
rank
⎢⎢0
−2
1⎥⎥ = 3
返回
7
x&
=
⎡λ1 ⎢
⎣
λ2
⎤ ⎥ ⎦
x
+
⎡b1 ⎢⎣b2
⎤ ⎥u ⎦
e y = [c1 0]x
ab1
x&1 ∫
x&1 = λ1x1 + b1u x&2 = λ2 x2 + b2u
y = c1x1
x1 c1
y
cu
λ1
b2
x&2 ∫ x2
系统不可观测！
y λ2 tc y与 x2无任何联系
x2 既未直接反映在 y 中， 也未通过 x1 间接反映在 y 中
=
rank
⎢ ⎢
0
⎢0
⎢⎢− 2
0 0 2
1⎥⎥ 0⎥ = 3 0⎥⎥
tc ⎢⎣ M ⎥⎦
线线性性定定常常连连续续系系统统可可观观性性判判据据
e 格拉姆矩阵判据 a 秩判据 c PBH 秩判据 y PBH 特征向量判据 tc 特殊形式判据
12
x&(t) = Ax(t)+ Bu(t) y(t) = Cx(t)+ Du(t)
tc M
x(t ) = eA(t−t0 )x(t0 )
y(t) ⇒ x(t0 ) ⇒ x(t)
——由输出测量值求状 态初值，再由状态初值 求状态任意时刻的值。
定义
3
二、线性定常连续系统的可观测性判据
e 格拉姆矩阵判据
ca 线性定常连续系统完全可观 ⇔ 存在 t1 > 0
tcy ∫ 使格拉姆矩阵
c对于初始时刻 l ∈Tk 和任意非零初始状态 x(l) = x0，
存在有限时刻 m ∈Tk , m > l,可由 [l, m]上的输出 y(k )
tcy 唯一地确定x0，则称系统在 l 时刻完全可观测。
13
四、线性定常离散系统的可观测性判据
⎧x(k +1) = Gx(k )+ Hu(k )
e⎩⎨y(k) = Cx(k)+ Du(k)
a 秩判据
条件满足即可，不必写出所有的行
c ⎡C⎤
⎢ 多输出： rank ⎢
CG
⎥ ⎥ = dim G = n
y ⎢ M ⎥
⎢ ⎣CG
n−1
⎥ ⎦
tc nq×n阶可观测性矩阵
n×n 阶可观测性矩阵
⎡c⎤
e 单输出：
⎢ rank ⎢
cG
⎥ ⎥ = dim G = n
a⎢ M ⎥
c tcy ⎢⎣cG
前页
k
k +1
k + 2 前页
y(k )
y(k +1)
y(k + 2) 题
ae x2(k) cx(k) x3(k)
x1(k )
y 三阶系统，最多三步可由输出 y(k)、y(k +1)、y(k + 2) tc 的测量值确定三个状态变量 x1(k)、x2(k)、x3(k) 。
M(0,t1) Δ
t1 eATtCT CeAt dt
0
非奇异。
返回
秩判据
n × n 阶可观测性矩阵
⎡c⎤
e 单输出： rankVT
⎢ = rank ⎢
cA
⎥ ⎥ = dim A = n
⎢M⎥
a ⎢⎣cA
n−1
⎥ ⎦
条件满足即可，
c 不必写出所有的行
⎡C⎤
y 多输出： rankVT
⎢
=
rank
⎢ ⎢
注 意 对角阵含有相同元素时，要求更高！
e ⎡λ1
⎤
⎢
a ⎢
λ1
⎥ ⎥
⎢⎣
λ2 ⎥⎦
A 的两重特征值有两个 独立的特征向量
c¾¾CC矩矩阵阵的的列列线线性性无无关关 tcy or:秩判据
⎡C⎤
⎢ rank ⎢
CA
⎥ ⎥=n
⎢M⎥
⎢ ⎣CA
n−1
⎥ ⎦
返回
8
例：判别下列对角规范型线性定常系统的可观性。
=
⎡− 2
⎢ ⎢
0
1 −2
0⎤⎡ x1 ⎤
0⎥⎥
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
e ⎢⎣x&3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 5⎥⎦⎢⎣x3 ⎥⎦
a⎡
⎢
c⎣
y1 y2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡2 ⎢⎣0
0 0
0⎤ −1⎥⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢⎣
x1 x2 x3
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
不全为零 系统可观！
y 2，
⎡ ⎢ ⎢
x&1 x&2
⎤ ⎥ ⎥
⎡−1 ⎢ ⎢
e系统的可观性完全取决于系统的 a结构、参数以及输出与状态的关系。
c tcy 系统矩阵A
输出矩阵C
三、线性离散系统的可观测性定义
线性时变离散系统的状态方程和输出方程为：
e ⎧x(k +1) = G(k)x(k)+ H(k)u(k) a⎩⎨y(k) = C(k)x(k)+ D(k)u(k) ,
k ∈Tk
0
1 −1
0 ⎤⎡ x1 ⎤
0
⎥ ⎥
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
⎢⎣x&3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 −1⎥⎦⎢⎣x3 ⎥⎦
e⎡2 0 0⎤⎡x1⎤
ay = ⎢⎢0
0
1⎥⎥
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
⎢⎣0 0 0⎥⎦⎢⎣x3 ⎥⎦
列线性无关 系统可观！
c ⎡ 2 0 0⎤
y or: 秩判据
rank
⎡c
⎢ ⎢
cA
⎢⎣cA2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
c A 的特征值
tcy 或者
rank
⎡C ⎢⎣sI −
⎤ A⎥⎦
=
dim
A
=
n
返回
PBH 特征向量判据
e Popov-Belevitch-Hautus Eigenvector Tests a ⇔ 线性定常连续系统完全可观 cA 不能有与C 所有的行正交的非零右特征向量
tcy Aα = λα, Cα = 0 ⇒ α ≡ 0 返回 6
e 1，
⎡ ⎢ ⎣
x&1 x&2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡− 2 ⎢⎣ 0
0 ⎤⎡ x1 ⎤ −1⎥⎦⎢⎣x2 ⎥⎦
ay =[1
0]⎢⎡
⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
有全零列 系统不可观！
c2，
⎡ ⎢ ⎣
x&1 x&2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡1 ⎢⎣0
0⎤⎡ x1 ⎤
1⎥⎦
⎢ ⎣
x2
⎥ ⎦
列线性相关
y y =[1
1]⎢⎡
⎣
x1 x2
x&1 = λ1x1 + x2 x&2 = λ1x2 + b2u
比较 返回
e y = [0 c2]x
y = c2x2 系统不可观测！
cau b2
x&2 ∫ x2
y
c2
x&1 ∫ x1
λ1
λ1
tcy y与 x1无任何联系!
x` 既未直接反映在 y 中， 也未通过 x2间接反映在 y 中
10
注 意 多个约当/对角块含相同特征值时，要求更高！
现代控制理论提纲
e 线性连续系统
线性离散系统
a可控性 c可观性 tcy 稳定性
建立
建建模模
状态空间 表达式
求解
转换
分分析析
状态反馈
设设计计 状态观测器
最优控制
返回
第三章 线性系统的可控性与可观性
e §1 可控、可观测性的概念 ca §2 线性系统的可控性
§3 线性系统的可观测性
tcy §4 线性系统的可控与可观测标准型
返回
说说 明明
⎧x&(t) = Ax(t) ⎩⎨y(t) = Cx(t)
e 当输出个数与状态个数相等，且C 阵可逆时，
状态观测值可以立刻获得：x(t) = Cn×n−1y(t)
a 当输出个数少于状态个数时，状态观测值需要一定
c的时间来确定，即：
y(t0 ) = Cx(t0 )
y y(t1) = Cx(t1) = CeA(t1−t0 )x(t0 )
tc ⎢⎣cG2⎥⎦
⎢⎣3 4 0⎥⎦
系统可观！
例：判别下列线性定常离散系统的可观性。 返回
⎡1 0
e x(k +1) = ⎢⎢0 − 2 ⎢⎣3 0
a 解: 物理含义：
−1⎤
1 ⎥⎥x(k ),
2 ⎥⎦
y(k ) = [0 1 0]x(k )
系统可观！
c y(k) = [0 1 0]x(k) = x2(k)
返回
2
一、线性连续系统可观测性的定义
⎧x& (t
e⎩⎨y(t
) )
= =
A(t C(t
)x(t )x(t
), ),
t ∈Tt
x(t0 ) =
x
0
a 给定初始时刻 t0 ∈Tt，如果存在有限时刻 t1 ∈Tt , t1 > t0 c对于所有的 t ∈[t0,t1]，系统输出y(t)能唯一地确定状态 tcy 向量的初值 x(t0)，则称系统在 [t0,t1]内完全可观测。