Fourier变换-习题课
Fourier变换
t
d
2
0
sin
1
sin
2
t
d
所以有
0
sin sint 12
d
2
sin 0
t
| t | | t |
17
例2 求函数 f (t) A et2 旳Fourier变换及其积分体现 式，其中A > 0,β> 0。这个函数叫做钟形脉冲 函 数，也是工程技术中常遇到旳一种函数。
解 根据Fourier变换式，有
2 jsin 12
(cos t
j sin t ) d
1
2
2
sin sin 12
t
d
16
例
求函数
f (t)
sin t
0
|t |t
| |
旳Fourier变换并求：
0
sin
1
sin
2
t
d
.
解： f (t ) F 1[F ( )] 1 F ( )ejtd
2
1
2
2
sin sin 12
2
1
0
cos t 2
sin
2
t
d
所以
0 t0
f (t) 1
0
cos t 2
sint 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d
1 / 2 e t
t0 t0
11
例1
求函数
0, f (t ) e t ,
t t
0 0
旳Fourier变换及其积
分体现式，其中β >0。这个f (t) 叫指指数衰减函数，
是工程技术上常遇到旳一种函数。
sin
复变函数课件--7-习题课
| | e e (1ii )t
(1 i i )t
1 i i 0
1 i i 0
10
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1 2
1
1 i
i
1
1 i
i
1
1 (1
)i
1
1 (1
)i
2 2 4 44 .
再由Fourier积分公式得
f (t) 1
F
(
)e
it
d
2
11
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(1) 设f (t ) tei0t ,则F [ f (t )] ( D )
( A) 2 ( 0 ) (C) 2i ( 0 )
(B) 2 ( 0 ) (D) 2i ( 0 )
(2)设F [ f (t)] F (),假如当t 时,
g(t) t f (t)dt 0,则F [ 2t f (t)dt] ( B )
(2)设f (t) sin2 t,则F [ f (t)]
.
( ) [ ( 2) ( 2)]
2
21
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(3) 设f (t ) (2 t ) ei0t , 则F [ f (t )] ( A )
( A) e2i 2 ( 0 ) (C ) e2i 2 ( 0 )
变 换.
解 法一 由F [u(t )et ] 1 ,
i
利用位移性质
F [u(t )et sin 0t]
1 F [u(t )etei0t ] 1 F [u(t )etei0t ],
2i
2i
26
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2 0
( A) 1 F ( ) 2i 2
fourier级数 习题课
定义 16.4.1 设函数 f 在[a , b]上除有限个点 a x0 x1 x2 x N b , 外均可导，而在 x i （ i 0,1,2,, N ) 处 f 的左右极限 f ( x i ) 和 （在 x0 a 右极限存在， 在 x N b 左极限存在） ， f ( x i )都存在 并且极限 f ( x i h) f ( x i ) lim h 0 h 和 f ( x i h) f ( x i ) lim h 0 h 都存在（在 x0 a 上述第二个极限存在，在 x N b 上述第一 个极限存在） ，那么称 f 在[a, b]上分段可导。
数学分析 a0 (a n cos nx bn sin nx ) 是某个在[ , ]上可 推论 16.3.1 2 n 1 bn 积或绝对可积函数的 Fourier 级数的必要条件是 收敛。 n 1 n
定理 16.3.3 （Fourier 级数的逐项微分定理） 设 f ( x)在[ , ] a0 (a n cos nx bn sin nx ) ， f ( ) f ( ) ， 上连续， f ( x ) ~ 2 n 1 且除了有限个点外 f ( x)可导。进一步假设 f ( x)在[ , ]上可 积或绝对可积（注意： f ( x)在有限个点可能无定义，但这并 不影响其可积性） 。则 f ( x)的 Fourier 级数可由 f ( x)的 Fourier 级数逐项微分得到，即 d a0 d f ( x ) ~ (a n cos nx bn sin nx ) dx 2 n 1 dx
数学分析
2 f ( x ) ~ bn sin nx bn 0 f ( x ) sin nxdx ( n 1,2,) n 1
Fourier变换.
《积分变换》第一章 Fourier 变换 §.1 Four ier 积设f T (t)以T 为周期，在［-? T"］满足Dirichletf T (t)=亚 + 瓦 I a ^ jbne jn® t2 n =1 L 2变换是数学的灵魂.我们经常利用变换把复杂运算转化为简单运算.例如，解析几何中的坐标变换、复变中的保角变换，四则运算中利用对数变换可将积与商转化为加与减:alg(ab ^lg ^lgb, lg -^lg ^lgb.再取反对数变换复原.b积分变换 T:A T B , T(f) = F(U a f (t)K(t,d )dt ,af(t)壬 A 象原函数,F©)- B ――象函数,K(t,a )——核.它实现了从函数类A 到函数类B 的变换.在一定条件下可逆.积分变换是应用性很强的数学工具，在数学和其它学科中均有应用.主要应用：a .求解线性微分方程(组);b 信号处理.第一类间断点;20只有有限个极值点.则在［- p£］的连续点t 处，有 f T (t)二並+ 2+瓦(a n cosn® t 十 b nn =1sin n ⑷t), 其中2一〒， 21 =T, Ia nb n %T 』巧 f T (t)cos n ⑷ tdt, 2 T /=—f T (t)sin n« tdt,T /2(n =0,1,2,3，…) (n - 1,2,3/ ) 利用Euler 公式，转化成复数形式:cos® =丄(e" + e j) 2 ，sin® -1(e W e j 、 2j (…)收敛条件， 即: 10连续或只有有限个+ a n + jb n -j n « t2V f /T —j n T.b "I j«n t二心f 心d丁-T Tf T （t ）=f （t ）, tq 〒 2】.1 母-母.，"I ■. t—石J 亠卩亠fC )ej e*, t 匸(-处，+处),(3).称为Fourier 积分公式.它成立的条件如下.Fourier 积分定理.若f (t)在(S +处)上满足：1。
积分变换第一章习题及答案
(2).微分性质 如果f (t)在(-, +)上连续或只有
有限个可去间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则 ℱ[f '(t)]=j ℱ [f (t)]. 同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设
d F ( ) d
ℱ[- j tf ( t )].
(3). 位移性质:
1）象原函数的位移性质
ℱ
-1
[ F1 ( ) F2 ( )] f1 ( t ) f 2 ( t )
同理可得
1 F1 ( ) F2 ( ). ℱ [ f1 ( t ) f 2 ( t )] 2
12
任给函数f(t), 都有f(t)*d(t)=f(t), 这是因为
f (t )* d (t ) f (t )
单位脉冲函数d(t)在卷积运算中起着类似数的 运算中的1的作用.
6 微分、积分方程的Fourier解法
首先取傅氏变换将微分方程化为象函数的代数方程, 解代数方程求出象函数, 再取逆变换得最后的解. 如 下图所示. 象原函数 (微分方程的解)
象函数
取傅氏逆变换 解代数 方程
微分、积分方 程
取傅氏变换
-
d ( n) (t ) f (t )dt ( -1)n f ( n) (0)
两个常用的积分：
-
e e
- j t
d t 2d ( ) d t 2d ( - 0 )
- j( -0 ) t
-
4 Fourier变换的性质
(1).线性性质 设F1()= ℱ [f1(t)], F2()= ℱ [f2(t)], a, b是常数,则 ℱ[af1(t)+bf2(t)]=aF1()+bF2() 同样, 傅氏逆变换亦具有类似的线性性质, 即 ℱ -1[aF1()+bF2()]=af1(t)+bf2(t)
第4章傅立叶变换例题
g2 g2
2
g2
g2
例7：时域微分
sgn t
求：f
2
t
1 t2
F
j ?
j
2 2 sgn
jt
1 j sgn
t
d dt
1 t
j
j
sgn
sgn
1 t2
sgn
例8：频域微分
特别：当n=1时，
tf
jt n f t F n
t j dF j
j
d
nF
d
3
g2 5 g2 5
1
2
2g2
5
5
yt 2sin t cos 5t
t
Sa t g2
2
Sa
t
2
g
2
例12：帕斯瓦尔关系式
求：f t 2 cos 997t sin 5t 的能量
t
g10 t 10Sa 5
1 10
g10
t
Sa
5
Sa
5t
2
1 10
g10
sin 5t
t
g10
1
t
1 0 1
3
4
画出 1 F 2
j 2
e j 2所对应的时域信号的波 形。
4 f 2t 1 1 F 2
j 2
e j 2
图略
5 画出 ReF j 所对应的时域信号的波 形。
ReF j 所对应的时域信号为 f t 的偶函数分量fe t .
f t
fev
t
1 2
f
t
f
t
2
1
t
1 0 1
fm
923872-复变函数-7-习题课
f (t) 1
F
(
)e
it
d
2
i
F ( )sintd
0
2
0
sin
1
sint 2
d
即
0
sin sint 12
d
2 0,
sint, | t | | t |
.
例3 计算函数f (t ) e|t| cos t的Fourier变换, 并证明
(
)e
i
(1
)dt
ei
f
(
)e i( )
dt
eiF[tf (t)]
ie i
dF ( ) d
例7求函数f (t) tet2的Fourier变换,并推证
1
e
4 2
sintd
2
tet2 .
0
解 由钟型脉冲函数的Fourier变换知,
F[et2 ]
2
e 4 .
再由微分性质可得
F[tet 2 ]
0
t
]
F[t
cos
0t]
i(
1
0
)
( 0 )
i(
1
0
)
( 0 )
( 0 ) ( 0 )
(
1
0 )2
1
( 0 )
.
例6 求函数 (t 2)f (2t) 的傅里叶变换, 其中
F ( ) F[ f (t )].
解
F[( t
2)
f
(2t )]
1 2
1 2
F[tf
(t
)]
2
2F[ f (2t )]
傅里叶变换习题
∑ (a
n =1
∞
n
cos n ω 0 t + b n sin n ω 0 t )
其中an,bn分别用p89(3-3）,（3-4）表达 均方误差En为
E
n
N 1 N 2 2 2 = f 2 (t ) − a0 + ∑ (a1n + b1n ) − ∑ (a1n an + b1n bn ) 2 n =1 n =1
0
例三：p170.3 − 46
f (t)
E
−T − T − τ
2
τ T
2 2
T
t
2
解：单个梯形脉冲的傅立叶变换为（380.附录3）
8E (T + τ )ω (T − τ ) F1 (ω ) = 2 sin sin ω (T − τ ) 4 4 (T + τ ) E (τ + T )ω (T − τ ) = Sa[ Sa ] 2 4 4
− 2 n
2
2
1 N 2 2 + ∑(an + bn )] 2 n=1
证明:设 证明 设
1 2 其 : f (t) = ∫ f (t )dt 中 TT
2
sN (t) = a0 + ∑(a1n cos nω1t + b1n sin nω1t)
N
ε N (t) = f (t) − sN (t)
EN = ξn
*冲激抽样
∞
1 ∞ f (t ) ∑ δ (t − nTS ) ↔ ∑ F (ω − nω s ) Ts n = −∞ N = −∞ ∞ ωm f (t ) = ∑ f ( nT ) Sa[ω m (t − nT )] (内插公式) N = −∞ π
工程数学-积分变换-第四版-课后习题答案精选全文
可编辑修改精选全文完整版工程数学 积分变换（第四版 张元林 编）课后习题答案编辑者：余小龙第一章：Fourier 变换习题一解答1、证：利用Fourier 积分变换的复数形式，有⎰⎰+∞∞--+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)( ⎰⎰∞+∞-∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ωτωτωττπωd e d j f t j )sin )(cos (121[]⎰+∞∞-+-=ωωωωωd t j t jb a )sin (cos )()(21 由于)()(ωω-=a a ， )()(ωω--=b b ， 所以⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=ωωωωωωtd b td a t f sin )(21cos )(21)(⎰⎰+∞+∞+=ωωωωωωtd b td a sin )(cos )(0。
注：本题也可以由Fourier 积分公式的三角形式得到证明。
2、解：（1）此题亦可写成⎩⎨⎧-=.0,1)(2t t f .1;1>≤t t 它是一个连续的偶函数，利用Euler 公式和分部积分法，由Fourier 积分公式的复数形式，有 ⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)(⎰⎰+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ωτωττπωd e d t j 102cos )1(1ωωωττωωτωωττωωτπωd e tj 1232sin sin 2cos 2sin 1⎰∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==ωωωωωπωd e t j ⎰+∞∞--3)cos (sin 21=⎰+∞∞-+-ωωωωωωωπd t j t )sin (cos cos sin 23ωωωωωωπtd cos cos sin 403⎰+∞-= （2）函数)(t f 为一连续函数，用类似于（1）的方法，有⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)(⎰⎰+∞∞-+∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωττd e d e e t j j 02sin 21 ⎰⎰+∞∞-+∞+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωτωd e d e t j j 0)1(2sin 21 {}()()⎰∞+∞-+∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++--+-=ωωττωπωτωd e j j e tj j 02)1(412cos 22sin )1(21 ⎰+∞∞-+-=ωωωπωd e j tj 252212[][]⎰∞+∞-+--+---=ωωωωωωωωωπd t j t j j j )sin (cos 2)5(2)5(2)5(1222⎰∞+∞-+---++-=ωωωωωωωωωωωπd tj t j t t 222224)5(cos 2sin )5(sin 2cos )5(1⎰∞+∞-+-+-=ωωωωωωωπd tt 432625sin 2cos )5(2(3)可以看出)(t f 为奇函数，且-1,0,1为其间断点。
《高等数学教学资料》fourier变换的性质复习
03
Fourier变换的应用
信号处理
80%
信号的频谱分析
通过Fourier变换，可以将信号分 解成不同频率的成分，从而更好 地理解信号的特性。
100%
信号去噪
在信号处理中，Fourier变换可以 帮助我们识别和去除噪声，提高 信号的清晰度。
80%
信号压缩
通过识别信号中的冗余成分， Fourier变换可以实现信号压缩， 减少存储和传输所需的资源。
卷积的逆Fourier变换
总结词
卷积的逆Fourier变换是将两个函数在频 域中的乘积转换为时域表示的过程。
VS
详细描述
卷积的逆Fourier变换是将两个函数在频 域中的乘积转换为时域表示的过程。这个 过程可以通过将两个函数的Fourier变换 相乘，然后进行逆Fourier变换来实现。 在时域中，两个函数的乘积可以通过卷积 来表示，因此卷积的逆Fourier变换可以 用来计算两个函数的乘积在时域中的表示 。
02
Fourier变换的卷积性质
卷积定理
总结词
卷积定理是Fourier变换中的一个重要性质，它表明两个函数的卷 积的Fourier变换等于这两个函数Fourier变换的乘积。
详细描述
卷积定理是Fourier分析中的一个基本定理，它表明两个函数的卷 积的Fourier变换等于这两个函数Fourier变换的乘积。这个定理在 信号处理、图像处理、量子力学等领域有广泛的应用。
叠和计算量大。
习题答案与解析
01
进阶习题3解析
02
进阶习题4答案
03
进阶习题4解析
全面分析了Fourier变换在图像处 理中的优缺点和应用时的注意事 项。
Fourier变换在数值分析中主要用 于求解微分方程、积分方程等数 学问题，提高计算效率和精度。
考研高数总复习Fourier变换性质(讲解)
F1
2E
e
j
2
sin
2
2E sin
且 F F1
2
.
F1
E
2π
4π
6π
三、微分性质
上连续或只有 如果f t 满足： 在 ，
有限个可去间断点, 且当 t 时, f t 0 则
1
j0t
（
）
它表明频谱函数 F
沿 轴向左或向右位移
j t0
0的 Fourier 逆变换等于原来的函数（ f t）乘以 e
.
E，0 t 求矩形单脉冲 f (t ) 的频谱函数. 0，其他
根据Fourier变换的定义，有
F
f (t )e
2
Parseval等式
六、能量积分
证明： 由乘积定理，有
1 f1 ( t ) f 2 ( t )dt F1 ( )F2 ( )d 2π
1 F1 ( )F2 ( )d 2π
六、能量积分
令 f1 (t ) f 2 (t ) f (t )，则
1 f1 ( t ) f 2 ( t )dt F1 ( )F2 ( )d 2π 1 f1 ( t ) f 2 ( t )dt F1 ( )F2 ( )d 2π
其中 f1 ( t ), f 2 ( t ), F1 ( )及 F2 ( ) 是 f1 ( t ), f 2 ( t ), F1 ( )及F2 ( )的共 轭函数.
它表明时间函数 f t
数学物理方法2-1Fourier变换new
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
定理2.1.1 Fourier积分收敛定理 设 f ( x ) 在 ( , ) 上满足： 1°在任一有限区间满足 Dirichlet 条件；
2°绝对可积
f (t ) dt
1 -i w x iwt 则 f x dx dw ( ( )e )e 2 在 t 点连续 f ( t ), 1 ( f ( t 0) f ( t 0))， 其它 2 注:满足条件1°才能保证函数在任意有限区间上能展为 Fourier级数;满足条件2°才能保证T→+∞时极限存在。
T 则当T→+∞时，等价于△w → 0,从而
1 T -i wn x i wnt 2 ( ( )e ) e f (t ) lim f x dx w T T T 2 n 2 1 ( f ( x)e-i wxdx)ei wtdw 2
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
注:
1.
ˆ ( w ) | dw 收敛 | f ( x ) | dx 收敛保证，不一定保证 | f
2.能否扩大Fourier变换（逆变换）定义空间
1 ˆ 1 ˆ ˆ 3. f (t ) f ( w) F [ f ](t ) ， F [ f ](t )等于f (t )？ 1
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
1, t 1 例 1 求矩形脉冲函数 f (t ) 的Fourier积分。 0, t 1
1 e it it ˆ f ( w) f (t )e dt e dt 1 i it 1
积分变换(Fourier)课件与习题
的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的
线性组合来逼近.---- Fourier级数
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
4
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周 期内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内 函数变化的情况.
T T fT (t )为T 周期函数，在 , 上满足 2 2 Dirichlet条件： fT (t )连续或仅有有限个第一类间断点； fT (t )仅有有限个极值点 则fT (t )可展开为Fourier级数，且在连续点t处成立： a0 fT (t ) an cos nt bn sin nt 2 n1
18
一般地, 对于周期T
1 T2 j n t cn T fT (t )e dt T 2 1 1 j n t e dt T 1 1 1 1 j n t j n j n e e e Tj n Tj n 1 2 sin n 2 sinc( n ) (n 0,1,2, ) T n T
cos nt
e
int
e 2
int
, sin nt
e
int
e 2i
int
6
级数化为： a0 e int e int e int e int an bn 2 n 1 2 2i a0 a n ibn int a n ibn int e e 2 n 1 2 2
1 从 而f (t ) f ( )cos (t )d d 2 1 可得 f (t ) f ( )cos (t )d d ， 0 这就是f (t )的Fourier积分公式的三角形式。
Fourier变换练习题(全,有答案)(可编辑修改word版)
0
eateit dt
0
R
0
= lim e(ai)t dt lim e(ai)t dt
R
=
lim
R
0
e(ai )t (a i)
R 0
R R
lim e(ai)t R a i
0 R
1 a i
1 a i
2a a2 2
;
F1[F ()]
1 2
F ()eitd=
1 2
2a a2 2
sin
td
2
0
1 0
1d
cos
sin td
2
0
1
cos
1 0
1 0
cos d
sin td
2
0
1
cos
sin
1 sintd 0
2
0
1
cos
sin
sin
td
2
sin
2
cos
sin td
0
3
0,
(2)
f
(t
)
1,
1,
0,
2
1 2i (cos sin )(cost i sin t)d
2
2 sin sin t cos sin t d
0
2
解法二：由于 f(t)为奇函数，故由课本 P12 页的(1.12)式可知，
f
(t)
2
0
0
f
(
) sin d
sin
td
2
0
1 0
sin d
(1)
f
(t
)
t, 0,
| t | 1
第一章fourier变换
jwn t
(w n = nw )
当T
?
， Tlim f T ( t ) = f ( t )
f (t ) =
蝌 2p
1
+? - ?
轾 犏 犏 臌
f (t )e
- j wt
dt e
jwt
dw
三 Fourier 积分定理：
f (t )
在 (-
? ,
) 满足下列条件:
(1) f ( t ) 在 任 何 有 限 区 间 上 满 足 展 开 为 Fourier 级数的条件,即只存在有限个第一类间断 点和有限个极值点； (2)
F2 ( w ) = F [ f 2 ( t )] 则
F1 ( w ) = F [ f 1 ( t )]
，
F [ a f 1 ( t ) + b f 2 ( t )] = a F1 ( w ) + b F2 ( w ) = a F [ f 1 ( t )] + b F [ f 2 ( t )]
F
- 1
1 2
ò
0
ì f (t ) t 贡 1 ï ï sin w cos w t dw =ï 1 í ï w t= 1 ï ï 2 î
+
当 t = 0 时， ò0
sin w w
dw =
p 2
——Dirichlet 积分
§1.2 Fourier变换
一 Flourier 积分
f (t ) = 1 2p
+ ?
f
(n)
(0 )
-
+
由于 F ( w ) = F [ d ( t )] =
ò
d (t )e
-
高等电磁理论-杨儒贵-课后习题详解
1-1利用fourier 变换，由时域形式的Maxwell方程导出其频域形式解：时域形式的Maxwell方程为：∇×H(r,t)=J(r,t)+ðD(r,t)ðt∇×E(r,t)=−ðB(r,t)ðt∇∙B(r,t)=0∇∙D(r,t)=ρ(r,t) Fourier变换的定义为F(ω)=∫f(t)+∞−∞e−iωt dt 将第一个方程两边同时进行Fourier变换得：∫∇×H(r,t) +∞−∞e−iωt dt=∫[J(r,t)+∞−∞+ðD(r,t)ðt]e−iωt dt对矢量场某点先取旋度再积分等于先积分再取旋度，整理得：∇×∫H(r,t)+∞−∞e−iωt dt=∫J(r,t)+∞−∞e−iωt dt+∫ðD(r,t)ðt+∞−∞e−iωt dt由于∫ðD(r,t)ðt+∞−∞e−iωt dt=∫e−iωt+∞−∞dD(r,t)=e−iωt D(r,t)|−∞+∞+iω∫D(r,t)+∞−∞e−iωt dt由Fourier 变换的绝对可积的条件可得：e−iωt D(r,t)|−∞+∞=0故∫ðD(r,t)ðt+∞−∞e−iωt dt=iω∫D(r,t)+∞−∞e−iωt dt∇×∫H(r,t)+∞−∞e−iωt dt=∫J(r,t)+∞−∞e−iωt dt+iω∫D(r,t)+∞−∞e−iωt dt因此：∇×H(r,ω)=J(r,ω)+iωD(r,ω)同理可得∇×E(r,ω)=−iωB(r,ω)∇∙B(r,ω)=0∇∙D(r,ω)=ρ1-2:各向异性的介电常数为ε̅=ε0[720240003]当外加电场强度为 （1） E 1=e x E 0 （2） E 2=e y E 0 （3） E 3=e z E 0（4） E 4=E 0(e x +2e y ) （5） E 4=E 0(2e x +e y ) 产生的电通密度。
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f ( )e- j d e j t d -
设 F ( ) 则
-
f (t ) e- j t d t
-
( 1) (2)
1 f (t ) 2
F ( ) ej t d
(1)式叫做f(t)的Fourier变换式, (2)式为F()的Fourier逆 变换式, f(t)与F()可相互转换,可记为 F()= ℱ [f(t)] 和 f(t)= ℱ -1[F()]
（3）-
1 d ( t )dt u t 其中, u(t ) 0
t0 t0
称为单位阶跃函数.反之,有
d u( t ) d t dt
(4)若f (t )为无穷次可微的函数,则有
' ' d ( t ) f ( t ) dt f (0) -
一般地，有
ℱ
-1
j0t F ( ) f ( t ) e 0
j t0 e f (t ) F ( - 0 ) ℱ
(4). 积分性质
如果当t 时, g( t )
t -
f ( t )d t 0
t 1 则 ℱ f ( t )d t [ f ( t )]. ℱ - j
实际上, 只要记住下面几个常用的Fourier变换, 则 所有的Fourier变换都无须用公式直接计算而可由 Fourier变换的性质导出.
d (t )
e j 0 t
1, 2d ( - 0 )
d ( t - t0 )
1
e - j t0 2d ( ) 1 b j
1 u( t ) d ( ) u( t )e - b t j sin 0 t j [d ( 0 ) - d ( - 0 )]
(3)结合律 f1 (t ) [ f 2 (t )* f 3 (t )] [ f1 (t ) f 2 (t )]* f 3 (t )
卷积定理 假定f1(t), f2(t)都满足傅氏积分定理中 的条件, 如 ℱ[ f1(t) ]=F1(), ℱ[f2(t) ]=F2() 则 ℱ[ f1(t) * f2(t) ] = F1()F2() 以及
0, t 0 例4 已知f (t ) - b t ( b 0), e , t 0
求 ℱ [tf ( t )], ℱ [t 2 f ( t )].
例5 求下列函数的傅氏逆变换：
1 - j sin (1) F ( ) e d ( ); (2) F ( ) . j
5 卷积和卷积定理
f1 ( t ) f 2 ( t )
-
f1 ( ) f 2 ( t - )d
卷积满足下列性质:
(1)交换律 f1 (t ) f2 (t ) f2 (t ) f1 (t )
(2)分配律 f1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t )
象函数的 代数方程
三、典型例题
-1, t 0, 例1 求符号函数 sgn(t ) 的Fourier变换。 1, t 0.
例2 求函数f (t ) cos t sin t的Fourier变换。
例3 求函数f (t ) tu(t )e - b t sin 0t的Fourier变换， 其中b >0.
单位脉冲函数d(t)在卷积运算中起着类似数的 运算中的1的作用.
6 微分、积分方程的Fourier解法
首先取傅氏变换将微分方程化为象函数的代数方程, 解代数方程求出象函数, 再取逆变换得最后的解. 如 下图所示. 象原函数 (微分方程的解)
象函数
取傅氏逆变换 解代数 方程
微分、积分方 程
取傅氏变换
3 单位脉冲函数及其傅氏变换
对任意的f ( t ), 若
-
d ( t ) f ( t )d t lim d e (t ) f (t )d t f (0)
e 0
-
1 / e 其中d e ( t ) 0
0t e 其它
de(t)
1/e
O 称de(t)的弱极限为d-函数, 记为d(t).即
成立,而左端的f ( t )在它的间断点t 处,应以 f ( t 0) f ( t - 0) 来代替. 2
在( -, )绝对可积是指的
-
| f ( t ) | d t 收敛.
2 Fourier变换
若函数f(t)满足傅氏积分定理的条件, 则在f(t)的连 续点处, 有
1 f (t ) 2
e
lim d e ( t ) d ( t )
e 0
d-函数有性质:
(1) - d ( t ) d t 1
-
d ( t ) f ( t ) d t f (0)
-
（2） d ( t ) 函数为偶函数,即 d (- t ) d ( t )
及
t
d ( t - t0 ) f ( t ) d t f ( t0 )
ℱ
-1
[ F1 ( ) F2 ( )] f1 ( t ) f 2 ( t )
同理可得
1 F1 ( ) F2 ( ). ℱ [ f1 ( t ) f 2 ( t )] 2
12
任给函数f(t), 都有f(t)*d(t)=f(t), 这是因为
f (t )* d (t ) f (t )
例6
2
若f ( t )是微分方程
d f 2 t f ( t ) Af (t )的解,有F( )= ℱ[f(t)] 2 dt
是F "( )- F ( ) AF ( )的解.
2
例7 求积分方程
x( t )
-
e
-|t - |
x( )d e
-|t |
的解.
(2).微分性质 如果f (t)在(-, +)上连续或只有
有限个可去间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则 ℱ[f '(t)]=j ℱ [f (t)]. 同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设
d F ( ) d
ℱ[- j tf ( t )].
(3). 位移性质:
1）象原函数的位移性质
若 F ( ) =ℱ f (t )
ℱ
-1
t 0 为实常数,则
- j t0 f ( t t ) e F () 0 ℱ
- j t0 e F ( ) f (t - t0 )
2）象函数的位移性质
若 F ( ) =ℱ f (t )
பைடு நூலகம்
0 为实常数,则
第一章 Fourier变换
1 重点和难点 2 内容提要
3 典型例题
一、重点与难点
重点：1 求函数的Fourier变换
2 Fourier变换的简单应用
难点： 求函数的Fourier变换
二、内容提要
1 Fourier积分定理
傅氏积分定理 若f(t)在(-, +)上满足条件: 1). f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件; 2). f(t)在无限区间(-, +)上绝对可积, 则有 1 - j e j t d f (t ) f ( ) e d - 2 -
-
d ( n) (t ) f (t )dt ( -1)n f ( n) (0)
两个常用的积分：
-
e e
- j t
d t 2d ( ) d t 2d ( - 0 )
- j( -0 ) t
-
4 Fourier变换的性质
(1).线性性质 设F1()= ℱ [f1(t)], F2()= ℱ [f2(t)], a, b是常数,则 ℱ[af1(t)+bf2(t)]=aF1()+bF2() 同样, 傅氏逆变换亦具有类似的线性性质, 即 ℱ -1[aF1()+bF2()]=af1(t)+bf2(t)