高中数学推理与证明

推理与证明要点1:合情推理例1: (2010 •福建高考文科・T16)观察下列等式：2① cos2a=2 cos a -1;42②cos4a =8cos a - 8 cos a + 1;642③ cos6a=32 cos a - 48 COS a + 18 COS a - 1；8642④ cos8a=128 cos a - 256 COS a + 160 cos a - 32 cos a + 1;108642⑤ cos10a= m cos a - 12 80cos a + 1120 cos a + n cos a + p cos a - 1. 可以推测，m - n + p =.【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为 1m —128°+112° + n+p —〔二1，二 m + n+p = 162,又 9p = 10^ 5= 5 0 , m 2 =512n = 400,二 m —n +p=962 .【答案】962.要点2 :演绎推理例2： (2010 -浙江高考理科•AAT 14)设 n X2,n 乏 N,(2x + — )n_(3x+—)n =a° +a 1x + a 2X 2+ …+ a n X n, 2 3将a k (0兰k 乞n)的最小值记为 1 1 1 1T n ,则 T 2 =0,T 3 =飞一丁T 4 = 0,T 5 =飞一飞，…,T n ,…2 3 2 3其中T n =T_ 11 T _ 1 1【规范解答】观察Tn 表达式的特点可以看出T 2=0,T4=0 ,......,当n 为偶数时，Tn=0 ；323 33 , 5 25 35,，当n 为偶数时T =.丄-斗,当n 为奇数时 、2n 3n要点3:直接证明与间接证明例3: (2010 -北京高考文科•[ 20)B =(b 1,d,…b n ,) S n ,定义 A 与 B 的差为 A _ B = (| 印 _b |,| a ? -b ? |,…& -b n |);nA 与B 之间的距离为d(A, B)=52 a j —b ji=1(i)当 n=5时，设 A = (0,1,0,0,1), B =(1,1,1,0,0)，求 A _B , d(A, B)；(n)证明：一 A,B,C S n ,有A — B S n ，且 d( A-C, B-C)二 d(A, B); (山)证明：—A,B,C* S n ,d(A, B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数 【思路点拨】(I ) (n )直接按定义证明即可；(山)“至少”问题可采用反证法证明.■当n 为奇数时,.【答案】已 知集合S n ={X X =(X 1，X 2， ,X n ),X i{0,1}, i = 1,2, ,n}( n — 2)A = (a 1, a 2,…,a n )【规范解答】(I )A-B^O-1,1-1，0-1，0-0,1-) =( 1,0,1,0,1)d(A,B) =0-1]+|1-1 +0-1]+|0-0 + 1-0 = 3(n )设A =佝总，…，a n ),B =Q ,b 2,…,b n ),C =(G ,C 2,…,C n ) S n因(山)证明：设 A = (a 1, a 2,「a n ), B = (D,b 2,…,b n ),C = (c 1,c 2,…,c n )匸 S n , d(A, B) = k,d(A,C) = l,d(B,C) = hd(A, B) =d(A_A, B _A) = d(0, B_ A) = k d(A,C) =d(A-A,C - A) =d(0,C - A) =1记=(°,°, ''0)匸Sn 由(U )可知d(B,C ^d(^-A,^ -A)= h ,所以 bi-a (i =1,2,",n)中 1 的个数为k, c 一a (i =1,2, ''',n)中1的个数为l ,设t 是使b —a i = G —a ii 成立的i 的个数。

则h = I +k —2t由此可知，k 」，h 三个数不可能都是奇数，即d （A,B ）,d （A,C ）,d （B,C ）三个数中至少有一个是偶数. 注：有关否定性结论的证明常用反证法或举岀一个结论不成立的例子即可；要点4：数学归纳法例4：等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,已知对任意的n • N ，点（n ,S n ），均在函数y =b x • r （b 0且b = 1,b, r 均为常数）的图像上.（1）求r 的值；（11）当b=2时，记 b n =2（log 2 a n ■ 1）（ n • N ）证明：对任意的n " N ，不等式xny=b r （b 0且b=1,b, r 均为常数的图像上.所以得S n = b r ,当n =1 时，印=3 =b r ,当 n _2 时,a^S^ S n 」=b n • r -(b n 」• r) = b n - b n‘ 二(b —1)b n ‘，又因为{ a n }为等比数列,所以 r = 一1,公比为 b , a n =（b 「1）b n ‘ （2）当 b=2 时，a n 二（b T ）b n 」=2n 」,b n =2(log 2a n +1)=2(Iog 22nJL +1)=2n 则■^二2^!,所以 心••…^^=3 .5 匸川 ， b n2n b 1b 2 b n 2 4 6 2n下面用数学归纳法证明不等式b5.^1成立.b-j b 2b n2 4 6 2n① 当n = 1时，左边=—，右边=si ,因为一，•. 2 ,所以不等式成立.2 2为a1, b 1 {0,1 }a 1 -b 1 {0,1}(i =1,2,,n)从而A — Ha,2b) na由意.知a, b ici,'i -C ib i -( C1n以叫C%C)=ai - b i= d(A,B)D +1 b 2 +1 b-jb 2b n 1 b n【解析】因为对任意的 n • N ,点（n,S n ），均在函数所以当n ^k 1时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立注：(1)用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由 n=k 到n=k+1时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。

(2) 在本例证明过程中，①考虑“ n 取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值供稿通项，判断命题的真 假，②在由n=k 到n=k+1的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。

(3)在用数学归纳法证明的第 2个步骤中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确 n=k+1时证明的目标, 充分考虑由n=k 到n=k+1时，命题形式之间的区别和联系。

【高考真题探究】2 '4 '3'1. (2010 -山东高考文科・TIO )观察(x ) =2x ， (x) = 4x ， (cosx) - -si nx ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数 f (x)满足 f ( _x)二 f (x)，记 g(x)为 f (x)的导函数，贝U g( _x)=( )【规范解答】选 D .通过观察所给，的结论可知，若f(x)是偶函数，则导函数 g(x)是奇函数，故选 D 2.( 2010 •陕西高考理科・T12)观察下列等式：13 2^ 32, 13 23 33 = 62,13 23 33 4^ 102,……，根据上述规律,第五个等式为 ______________ .【规范解答】由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：1 2^3,1 2^6,12 3^10,即左边底数的和等于右边的底数。

故第五个等式为13 23 33 43 53 63 = (1 2 3 45 6)2 = 2123333332【答案】1 2 3 4 5 6 =21.3.(2010 -北京高考理科・T 20)已知集合 S n ={X X =(x 「x 2，…,x n ),X j 亡{0,1}, i = 1,2，…,n}(n 去2)对于 A =佝42,...,务)，B =(4,6,…b n ,) • S n ，定义 A 与 B 的差为 A-B =(|內 |,低-b 2〔，…|a^b n |)； A 与 Bn之间的距离为 d(代 B)a j -b i ； (i)证明：VA,B,^ S n ,有 A —B^S n ，且 d(A —C, B — C) = d(代 B);i二1(U)证明：-A, B,c ・ S n ,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一 个是偶数② 假设当n 二k 时不等式成立，即bl 1 P 2 1bi b 2b k 13 52------------------ — T —b k 2 4 7 2k 1 6 2T k 1成立.则当n = k ：：；-1时，左边_ b 1 1 b 2 1 bib 2b k 1 b k d 13 5------------- =—•——bkbk 12 42k 12k 3 2k 22k 3 (2 k 3)22k 2~\ 4(k 1)4(k -1)24(k 1) 1q4(k +1).(k 1) 11 4(k 1)(k 1) 1(A ) f (x)(B)-f (x)(C)g(x) (D) -g(x)(山)设p- S n ，P 中有m (m> 2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为d (P).证明：d (P )mn 2(m-1)【思路点拨】（I ）直接按定义证明即可；（H ） “至少”问题可采用反证法证明；（山）把送 d （代B ）表示出来，再利用均值不等式A ,BEP证明 【规范解答】(I )设 A — (a 1 , a 2，…，a n ) B — (b 1, b 2,…，b n ) C— (c 1, c2，…，G ) J S n因为 ai ，b匸 <0,1"，所以1 ai— b i F {o,l}, (i = 1,2,..., n),从而 A - B = (| a 1 -b1 1,1 a2 —b2 h...」a n — bn D 匕 S nd(B,C)=d(B-A, C -A) = h ,所以 g — a i |i(= 1 , 2 n...中, 1 的个数为 k ，l c -a i 1 (i T,2,…，n)中1的个数为| .设t 是使也- a i |=|C i -ai |T 成立的i 的个数，则h = I • k —2tk,l, h 三个数不可能都是奇数，即（, ）, （ , ）, （ , ） 三个数中至少有一个是偶数.1 、d(代 B 忙吗 d(P)叮 d(A,B) 2” A,克 P 4 ,从而 C m A,B®4C m 2(口一1)【方法技巧】（1）证明“至少有一个……”的时，一般采用反证法； （2）证明不等式时要多观察形式，适当变形转化为基本不等式.4 . （ 2010 •江苏高考23）已知△ ABC 的三边长都是有理数。