三角形相似判定定理的证明

第四章图形的相似

5．相似三角形判定定理的证明

驻马店市第四中学：田慧婷一、学生知识状况分析

“相似三角形判定定理的证明”是“探索三角形相似的条件”之后的一个学习内容，学生已经学习了相似三角形的有关知识，对相似三角形已有一定的认识，并且在前一节课的学习中，以充分经历了猜想，动手操作，得出结论的过程。本节主要进行相似三角形判定定理的证明，证明过程中需添加辅助线，对学生来说具有挑战性，需要通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程。

二、教学任务分析

本节共一个课时，本节是从证明相似三角形判定定理1、两角分别相等的两个三角形相似入手，使学生进一步通过推理证明上节课所得结论命题1的正确性，从而学会证明的方法，为后续证明判定定理2,3打下基础。

三、教学过程分析

本节课设计了个教学环节：第一环节：复习回顾,导入课题；第二环节：动手操作、探求新知；第三环节：动手实践，推理证明；第四环节：方法选择，合理应用；第五环节：课堂小结，布置作业。

第一环节：复习回顾，导入课题

内容：1.平行线分线段成比例公理及推论定理；

2.判定两个三角形全等的方法有哪些？

3.三角形相似的定义，判定两个三角形相似的方法有哪些？

在上节课中，我们通过类比两个三角形全等的条件，寻找并探究判定两个三角形相似的条件，您能证明它们一定成立吗？

目的：通过学生回顾复习已得结论入手，激发学生学习兴趣。

效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣。

第二环节：动手操作，探求新知

内容：命题1、两角分别相等的两个三角形相似。如何对文字命题进行证明？与同伴进行交流.

目的：通过学生回顾证明文字命题的步骤入手，引导学生进行画图，写出已知，求证。

第一步：引导学生根据文字命题画图，

第二步：根据图形和文字命题写出已知，求证。

已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，∠A=∠A’，∠B=∠B’。

求证: △ABC∽△A’B’C’。

第三步：写出证明过程。（分析现在能说明两个三角形相似的方法只有相似三角形的定义，我们可以利用这一线索进行探索，已知两角对应相等，根据三角形内角和定理可以推出第三个角也相等，从而可得三角对应相等，下一步，我们只要再证明三边对应成比例即可。根据平行线分线段成比例的推论，我们可以在△ABC内部或外部构造平行线，从而构造出与△A’B’C’全等的三角形。）教师可以以填空的形式进行引导。

证明：在△ABC的边AB（或延长线）上截取AD=A’B’,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则∠ADE=∠B,

∠AED=∠C,

________(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)。

过点D作AC的平行线，交BC于点F,则

__________(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)。

∴____________

∵DE∥BC，DF∥AC

∴四边形DFCE是平行四边形。

∴DE=CF

∴____________

∴____________

而∠ADE=∠B, ∠DAE=∠BAC, ∠AED=∠C,

∴____________

∵∠A=∠A’, ∠ADE=∠B’, AD=A’B’,

∴△____≌△____

∴△ABC∽△A’B’C’.

通过证明，我们可以得到命题1是一个真命题，从而得出相似三角形判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。现在，我们已经有两种判定三角形相似的方法。

第三环节：动手实践，推理证明

下面我们可以类比前面的证明方法，来继续证明命题2，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。能自己试试吗？

鼓励学生积极思考，模仿前面的证明过程进行证明。可让学生板书过程，或老师在学生中寻找资源，通过投影修正过程中存在的问题。

通过证明，学生可以得到相似三角形判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

下面让每个学生独立完成三边成比例的两个三角形相似的证明。

从而得到相似三角形判定定理：三边成比例的两个三角形相似。

第四环节：方法选择，合理应用

一．判断题：

1.所有的等边三角形都相似. ( )

2.所有的直角三角形都相似。( )

F E B C

D A

A C

B

P

Q 3.所有的等腰三角形都相似。 ( )

4.所有的等腰直三角形都相似.( )

5.有一个锐角相等的直角三角形都相似。（ ）

二．初试牛刀

1.如图，在等边三角形ABC 中，D 、E 、F 分别是三边上的点，AE=BF=CD ，那么△ABC 与△DEF 相似么？请证明你的结论。

D

C

A

B E F

2.如图，AD ⊥BC 于点D ， CE ⊥AB 于点 E ，且交AD 于F ，你能从中找出几对相似三角形？

3.如图，在△ABC 中，AB=8cm,BC=16cm,动点P 从点A 开始沿AB 边运动，速度为2cm/s,动点Q 从点B 开始运动，速度为4cm/s,如果P 、Q 两动点同时运动，那么何时△QBP 与△ABC 相似？

第五环节：课堂小结，分层作业

通过本节课的学习，您学会了哪些知识和方法？哪里还有困惑？

作业：必做题：习题4.9，1.2.3

选做题：问题解决：4

教学反思：

本节课判定定理的证明对学生来说有很大的难道，主要让学生理解转化和化归的数学思想，以及构造辅助线的方法和思想。让学生经历从特殊到一般，从猜想-实践-证明的过程，并让学生能选择最优方法进行问题的解决。