有关瞬态、稳态、零状态、零输入、自由和强迫响应的讨论
自由响应和强迫响应定义
自由响应和强迫响应定义
自由响应的定义是：动态电路的完全响应中，已由初始条件确定待定系数k的微分方程通解部分，称为电路系统的自由响应；强迫响应的定义是：动态电路微分方程的特解形式，仅仅由激励决定，称为强迫响应。
一、自由响应自由响应是信号与系统学科内的概念。
动态电路的完全响应中，已由初始条件确定待定系数k的微分方程通解部分，称为电路系统的自由响应，它的函数形式是由电路系统本身结构决定的，与外加激励无关。
但值得注意的是，虽然自由响应的形式是由系统自身决定的，与激励无关；但这并不意味着自由响应和激励无关，事实上自由响应和激励是相关的。
总结：自由响应不等同于零输入响应，自由响应=零输入响应+零状态响应中的一部分。
二、强迫响应动态电路微分方
程的特解形式，仅仅由激励决定，称为强迫响应。
三、暂态响应动态电路全响应中，当t→∞时，趋于0的部分，称为暂态响应。
四、稳态响应动态电路全响应中，除去暂态响应，剩下的部分称为稳态响应。
五、全响应全响应=自由响应+强迫响应，等号右端第一项的变化规律与外加激励的变化规律无关，称为自由响应分量；等号右端第二项的变化规律与外加激励的变化规律相同，称为强迫响应分量。
即全响应可分解为自由响应与强迫响应之和。
同时全响应也可以分解为暂态响应和稳态响应，即全响应=暂态响应+稳态响应。
全响应还可以分解为零输入响应和零状态响应，既全响应还=零输入响应+零状态响应。
它们仅仅是从不同的角度进行分类。
零输入响应和零状态响应
计算方法
利用系统的传递函数和初始条 件进行计算。
通过求解常微分方程或差分方 程ห้องสมุดไป่ตู้找到系统的零输入响应。
在MATLAB/Simulink等仿真软 件中，可以通过设置系统的初 始状态来模拟零输入响应。
02 零状态响应
定义
零状态响应：是指在系统无输入 信号的情况下，系统对初始状态
产生的响应。
描述了系统在没有输入信号作用 时，其内部状态的变化情况。
零状态响应完全取决于系统本身 的特性，与输入信号无关。
产生原因
系统内部存在储能元件（如电容、电 感），当输入信号为零时，储能元件 的能量不会立即消失，而是会以某种 形式继续存在并产生响应。
系统参数（如电阻、电感、电容等） 发生变化，导致系统内部状态发生变 化，从而产生零状态响应。
计算方法
根据系统的传递函数 和初始状态进行计算。
针对复杂系统和多尺度问题，发展基于零输入响应和零状态响应的跨学科 解决方案，促进各领域之间的交流与合作。
探索零输入响应和零状态响应在可持续发展、环境保护、公共安全等领域 的潜在应用价值，为社会发展和人类福祉做出贡献。
技术创新
开发高效、稳定的零输入响应和零状态响应算 法，提高计算效率和精度，降低计算成本。
零状态响应
零状态响应描述的是系统在外部输入作用下的输出变化。通过研究零状态响应， 可以了解系统对不同类型输入的响应特性，进而设计出更好的控制系统。
系统建模与仿真
零输入响应
在系统建模与仿真中，零输入响应用 于描述系统的内部动态特性。通过分 析零输入响应，可以深入了解系统的 内部工作原理和稳定性。
零状态响应
零状态响应用于描述系统对外部输入 的响应特性。通过研究零状态响应， 可以预测系统在不同输入条件下的行 为表现，有助于优化系统的设计和控 制。
时间响应基本概念
a sin t（当t 0） xi (t ) （a为常数） 0 （当 t 0 )
当
三、选择典型输入信号视不同系统的 具体工作条件而定
1、若控制系统的输入量通常是随时间 逐渐变化的函数，象雷达天线、火 炮、机床、控温装置等，以选择斜 坡函数较为合适。 2、若控制系统的输入量是冲击量，象 导弹发射，以选择脉冲函数较为适 当。
是线性定常系统时间响应的一个重要性 质，即如果系统的输入信号存在微分和 积分关系，则系统的时间响应也存在对 就的微分和积分关系。
a(当t 0) xi (t ) 0(当t 0)
其中a为常数。
当a=1时，该函数称为单位阶跃函数。
1 L[1(t )] s
3、斜坡函数
这是指输入变量是等速度变化的,如图(c) 其数学表达式为：
at (当t 0） xi (t ) 0 t 0） （当
其中a为常数，当a=1时 1 该函数称为单位斜坡函数。 L[ t ] 2
1 1 T X 0 (s) G(s) X i (s) 1 1 Ts 1 s T 进行拉氏逆变换得：
(t 0)
1 (1 T ) t x0 (t ) L X 0 (s) e T
1
输出曲线：
1 T1 1 T2
特点：
1、曲线的切线斜率在t=0处为-1/T2。 2、曲线单调下降的指数曲线， 系统稳定无振荡。
2
F 1 化简得 Y 2 k 1
于是，完全解为
n
F 1 y(t ) A sin nt B cos nt cos t 2 k 1
求导有
F (t ) A n cos nt B n sin nt y sin t 2 k 1
零输入、零状态
全响应=零输入响应+零状态响应
一．关于
1.零输入响应的定义 外加激励信号为零时，仅由系统的 起始状态 (系统的历史储能)所产生
的响应，记为
。
2.特点
（1）仅是因为系统储能元件存储的能量释放 而产生的，只起始状态与有关 （2）可由求解对应的微分方程得到，因为无 外加激励信号，所以求解时特解为零 （3）在数学上是齐次方程的通解，
解特征方程得特征根为 齐次解： 由激励源自号形式，设特解： 完全响应为
系数A的确定：
先判断是否有跳变 由方程两侧 函数平衡条件容易判断 ， 在起始点 无跳变。
利用
求出系数
，即
从而，有：
自由响应： 强迫响应： 1
(2)求零输入响应和零状态响应：
：
由 的特点找对应的微分方程
起始状态
，此方程的解即为
（3）数学上，零状态响应是非齐次方程的解， 其形式为
式中
是特解．
可能会出
（4）因有外加激励，所以在 现跳变，需要判断才能确定系数。
r （二）. rzi 、 zs 的求解步骤
[例2-5]已知系统方程式为
起始状态 求自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态 响应和全响应。
解：(1)先求自由响应和强迫响应：
是系统方程的齐次解，
因为
，所以
所对应的微分方程为：
又因为根据前面的判断，在起始点 无 跳变。所以此时 ，且满足系统微分方 程，即
故系统全响应为
：
：
思考： 两种分类形式的响应有何联系？
（三）响应的分解形式及其关系
信号与系统 响应
第2章 连续时间系统的时域分析
y(0 ) y(0 ) 1 y (0 ) y (0 ) 0
代入起始条件，得初始条件：
y(0 ) 1 y(0 ) 0
考虑 函数的影响后，方程变为：
y" (t ) 5 y' (t ) 6 y(t ) 2et u(t )
零输入响应是输入信号为零时仅由系统的初始条件所产
生的响应，零状态响应是初始状态为零时仅由系统的输
入信号所产生的响应。
暂态响应随着时间的增长而消失，稳态响应则趋于一个
常数或稳定变化
第2章 连续时间系统的时域分析
(1) 自由响应和零输入响应 都满足齐次方程之解， 然而它们的系数不同。 零输入响应的 Azik仅由起始储能情况决定 ，而自由响应的 Ak 要同时由起 始状态和激励信号决定 。 (2) 自由响应由两部分组成 ，一部分由起始状态决 定，另一部分由激 励信号决定，二者都与 系统自身参数有关。
b.求冲激序列的响应h(t ) (LTI系统) (t ) h(t )
x( ) (t )d
t1
bh(t t1 )
t2
ch(t t 2 )
ah(t )
0
(t ) h(t ) x( ) (t )d x( )h(t )d
2
第2章 连续时间系统的时域分析
作业 P70 2.4(a)
第2章 连续时间系统的时域分析
§2.4 卷积积分
一.任意函数表示为冲激函数的积分
*.基本思想:
e(t)
0
t
1.用一系列脉冲代替激励.
2.又用一系列冲激代替脉冲.
3.求一系列冲激在系统中引起的响应之0 和.
信号与线性系统课件(第5版)管致中 第2章2-3及应用
得齐次解 (自由响应)为： y(t) =12e−t −11e−2t t ≥0
得全解(全响应)为： y(t) =12e−t −11e−2t +2e−3t
14
t ≥0
(4)零输入响应，特征根为：λ1 = −1, λ2 = −2
∴ yzi (t ) = A1e −t + A2e−2t
代入初始值，得
⎧A1 + ⎩⎨− A1
11
例
已知系统的转移算子 H ( p)
=
p2
p +2p+1
，初始条件为
r(0) = 1, r′(0) = 2, 试求系统的零输入响应 rzi(t)。并画出草图。
解：令 p2 + 2 p +1 = 0 得：p1 = p2 = −1
∴ rzi (t) = (C1 + C2t)e− t 代入初值得：
⎧r(0) = C1 = ⎩⎨r′(0) = −C1
一.冲激响应的定义
定义：当激励为单位冲激函数δ (t)时，系统的零状态响应称 为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。
h(t)
δ(t)
(1)
δ(t)
h(t)
LTI
0
t
零状态
0
t
冲激响应的一般形式：
δ (t)
h (t)
22
冲激响应的求法 � 直接求解法 � 间接求解法 � 转移算子法 � 拉普拉斯变换
� 受迫响应（强迫响应）
� 有输入激励时系统的响应。
� 对应于特解（只含外加激励频率项） 。
� 形式由微分方程的自由项或外加激励信号决定。
2
零输入响应与零状态响应
� 一个连续系统的完全响应，可以根据引起响应的不同原 因，将它分解为零输入响应和零状态响应两部分。 � 零输入响应
系统函数零极点分布对系统时域特性的影响
, 极点在实轴上，
h(t) tet u(t), 0, t , h(t) 0
H(s)
(s2
2s
2
)2
,在虚轴上，
h(t) t sintu(t), t , h(t) 增幅振荡
有实际物理意义的物理系统都是因果系统，即随 t ,
ht ，0 这H (表s)明的极点位于左半平面，由此可知，收敛 域包括虚轴， Fs均和存F在( j， )两者可通用，只需 将
（自由／强迫，瞬态／稳态）；
3．可以用来说明系统的正弦稳态特性。
1
二．H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应
1．系统函数的零、极点
H (s) A(s) K (s z1 )(s z2 ) (s z j ) (s zm ) B(s) (s p1 )(s p2 ) (s pk ) (s pn )
零输入响应／零状态响应
s2 3s 2Rs s 3Es sr0 r0 3r0
则
Rzi s
sr0 r0 3r0
s2 3s 2
零输入响应为:
Rzs
s
s 3Es
s2 3s 2
rzi (t) 4et 3e2t t 0
即零状态响应为:
rzs (t) 0.5e 2t 2e t 1.5 (t 0)
即可s 。 j 6
三．H(s) 、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应
激励： e(t) E(s) u
系统函数：h(t) Hm(s)
(s zl )
(s zj )
E(s) l1 v
H (s) j1 n
(s Pk )
(s Pi )
k 1
响应： r(t) R(s)
u
m
(s zl ) (s zj )
信号与系统拉普拉斯变换
•第一周期的拉氏变换 •时移特性
•无穷级数求和
•21
时移特性例题
•【例1】 •已知
•【例2】
•22
用时移性质求单边信号抽样后的拉氏变换
•23
•24
复频移特性举例
•25
•26
例：
•两边取拉氏变换 ：
•整理得：
•27
电感元件的s域模型
•设 •应用原函数微分性质
•电感元件的s模型
•，求其傅氏变换。
•128
•以上两种方法的结果完全相同
•129
•130
•131
•30
•132
•133
•电路 s 域分析课堂练习1：
• 求解下图所示电路的回路电流，已知电感
上的初始储能为
，激励信号
，
•
，
。
•L
•+
•-
•i(t)
•+ •R
•-
•4
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换
•1．拉普拉斯正变换
•则
•5
2．拉氏逆变换
•6
3．拉氏变换对
•7
二．拉氏变换的收敛
•收敛域：使F(s)存在的• •s的区域称为收敛域。 •记为：ROC(region of convergence) •实际上就是拉氏变换存在的条件；
•8
•部分s平面收敛的情况：
•96
例4-7-2，教材习题2-6(1)
•给定系统微分方程
•试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状 态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳 态响应分量。 •解：•方程两端取拉氏变换
•97
零输入响应／零状态响应
信号与系统王明泉第二章习题解答
其 值
方程特征根 ， ，故零输入响应
将初始值代入上式及其导数，得
由上式解得 ， ，所以
（2）零状态响应 是初始状态为零，且 时，原微分方程的解，即 满足方程
即
及初始状态 。先求 和 ，由于上式等号右端含有 ，令
积分(从 到 )得
将 、 和 代入微分方程可求得 。对以上三式等号两端从 到 积分，并考虑到 ， ，可求得
解：（1）求齐次解
特征方程为：
特征根为：
所以，
（2）求特解
（3）全响应
将 代入系统方程得
（1）
将初始条件代入
得：
所以全响应为：
2.5 已知描述某线性时不变连续系统的微分方程为
，
当激励为 时，系统的完全响应为 ， 。试求其零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应。
解：由全响应得初始条件 ，
（1）求零输入响应
在时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。
因果系统的冲激响应为
（2）阶跃响应
一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用 表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数 时，系统的零状态响应
阶跃响应 与冲激响应 之间的关系为
或
2.2.6卷积积分
（1）卷积积分的概念
一般情况下，如有两个信号 和 做运算
此运算定义为 和 的卷积(Convolution)，简记为
或
（2）卷积积分的图解法
用图解法能直观地说明卷积积分的计算过程，而且便于理解卷积的概念。两个信号 和 的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：
第一步，画出 和 波形，将波形图中的 轴改换成 轴，分别得到 和 的波形。
零输入响应和零状态响应
零输入响应和零状态响应
线性非时变系统的完全响应也可分解为零输 入响应和零状态响应。在激励信号加入系统之 前，系统原有的储能（如电容上的初始电压， 电感上的初始电流等）构成了系统的初始状态。
1.1 零输入响应的求取
1.2 零状态响应的求取
其中零状态响应的完全解的系数应在零状 态响应的全解中由初始条件
即
。因此，零状态响应的特解、齐次
解和完全解分别为
将零状态响应的初始条件 解得
代入上式
因此，此系统的零状态响应为 （3）求系统的完全响应。
其中，
信号与系统
确定。
1.3 系统的完全响应
系统的完全响应按性质可分为自由响应和 强迫响应，按来源可分为零输入响应和零状态 响应，它们的关系为
式中，
。
例1.1 已知某系统的微分方程模型为
初始条件
，输入
系统的零输入响应 ，零状态响应
全响应 。
解：（1）求零输入响应 。
由特征方程
，求 以及完
得单根
，因此零输入响应为
对系统响应三大分类的解释
对系统响应三大分类的解释零状态响应、零输入响应零状态响应由于与时域卷积联系密切，在信号与系统的课程中占据有十分重要的地位。
信号与系统通篇的研究对象基于LTI(LSI)系统，而卷积分与卷积和是时域与各变换域之间最关键的纽带，因而成为了研究系统极为重要的切入点。
零状态响应是由表征系统特性的单位冲激响应与输入激励相卷积后得出的产物，在变换域中由系统函数与输入的乘积所表征。
而零状态响应在变换域中的构成结构也由此被划分为两个部分。
第一个部分，是由输入激励与系统相作用后所产生的效应对系统全部（部分）固有频率因子项系数加权并求和所得的“自由响应ZS”。
第二部分，是由系统与输入激励相作用后对输入激励的全部（部分）固有频率因子项系数加权并求和所得的“强迫响应”。
由于系统函数有可能在其对应的微分方程按变换域变换后在等式两边产生因式相消的情况出现，导致对应固有频率消失，因而系统函数可以完全表征零状态响应，而无法在所有情况下表征零输入响应。
注意，此处的固有频率消失本质是由微分方程的结构导致的。
在电路系统中，微分方程反映的是系统拓扑结构与元器件特性，而与激励的形式无关。
因此，在得到H(S)系统函数的条件下，直接写出对应的微分方程的行为在数学上来说是不严谨的，需要验证；如验证结果确实证明系统函数的分母所含全部极点亦为微分方程的所有根，则此时应用系统函数反推微分方程才是合理的。
综上所述，简单来说，零状态响应是系统与激励间相互作用后的结果，反映在方程解上是以相互加权系数的形式来表征系统部分（或全部，由H(S)是否分子分母有因式相消决定）固有频率与输入激励固有频率。
零输入响应是由微分方程的特征方程唯一决定，是系统固有频率的完全反映。
由于零输入响应不符合LTI特性，因此，在实际变换域求解中，往往将其等效为“输入激励”，以T=0时刻等效储能的形式融入进变换域等效模型。
同时，零输入响应也是完全解的“自由响应”组成部分之一，可以被称为“自由响应ZP”，加上零状态响应中的组成部分“自由响应ZS”构成完整的“自由响应”。
瞬态、稳态、零状态
所用的e(t)不同， 前者用实际时刻稳态量 后者用瞬态间隔改变量
r (t ) rh (t ) rp (t ) A1e Ane rp (t ) r (t ) rzi (t ) rzs (t ) ( B1e Bne ) (C1e Cne rzsp (t )
有关。
由
所以两者的Δu(t)系数不同。
(C1e Cn e rzsp (t ))
确定Ci的值。
1tBiblioteka nt(k )( t 0 )
r (0)
(k )
三、自由响应与强迫相应
r(t) ＝rh(t) +rp(t)
rp(t)＝rzsp(t) 因为，强迫响应只与t>0+时的e(t)有关。 注：尽管在确定rzsp(t)和rp(t) 中所需的t>0+时的e(t)相同 但在确定Δrkzs(0)和Δrkz(0)时所用的0_到0＋
( B1e Bn e )
1t
nt ( k )
( t 0 )
(0 )
解出rzi(t)（即求出Bi值）.
b)零状态响应：
rkzs(0-)≡0 rkzs(0+) = rkzs(0-)＋ Δrkzs(0)
r (0 ) r (0)
k k
1.确定特解(rzsp(t))： 由e(t)形式给出rzsp(t)的形式 注：此处特解形式与自由响应中特解形式完全相同，值也完 全相同。因为方程的特解完全由e(t)(t>0+)的形式决定。 2.完全解： 完全解＝通解+特解。
由此方程组也可知
1t
nt
1t
nt
1t
nt
rzsp (t ) rp (t ) Ai Bi Ci
机械控制工程习题答案
答案：B 题 目 ： 当阻尼比为
时，系统的单位阶跃响应为持续的等幅振荡。
分 析 与 提示：当阻尼比为零时，系统的单位阶跃响应为持续的等幅振荡。
答案：零
题目：已知机械系统的传递函数为 G ( s )
4
，则系统的阻尼比是【
】
s2 s 4
A． 0.25
B． 0.5
C． 1
D． 2
分析与提示：二阶系统传递函数的标准形式为 G s
题 目 ： 系统的误差又可分为
和
。
分 析 与 提示：系统的误差又可分为稳态误差和动态误差。
答 案 ： 稳态误差、动态误差
题 目 ： 稳态误差是误差信号的
，其数学定义是
。
分析与提示：稳态误差是误差信号的稳态分量，其数学定义是 e ss lim e(t ) 。 t
答案：稳态分量、 e ss lim e (t ) t
A.上升时间 t r
B.峰值时间 t p
C.调整时间 t s
【】 D.超调量 M p
题目：设单位负反馈系统的开环传递函数为G s
1
ss
1
，求系统单位阶跃响应的上升时间 t
r
、峰
值时间 t p 、超调量 M p 和调整时间 t s 。
题目：要使下图所示系统的单位阶跃响应的最大超调量等于 25%，峰值时间t p 为 2 秒，是确定 K 和 Kt
G s L w t L 10 e 0.2t 5e 0.5t
10
5
15 s 0 .4
s 0.2 s 0.5 s 2 0.7 s 0.1
（2）由于单位阶跃函数是单位脉冲函数的积分，因此单位阶跃响应就是单位脉冲响应的积分，即
t
t
信号与系统零输入响应和零状态响应
零输入响应
系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系 统起始状态值决定的初始值求出待定系数。
系统方程：
n
k0ak
dkyzi(t) dtk
0
起始条d件 kydz： itk(0) ck,k0,1,2,,n
自由响应＋强迫响应 (Natural+forced)
自由响应也：称固有响应，对应于齐次解。 由系统本身特性决 定，与外加激励形式无关，但与起始点点跳变有关系。
强迫响应： 形式取决于外加激励。对应于特解。
零输入响应＋零状态响应
(Zero-input+Zero-state)
零输入响应： 没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系 统储能）所产生的响应。
讨论：
➢用经典法从起始条件求出 t 0 时刻的初始条件的过程往往比较复杂，需
根据实际的物理系统的约束关系求解。
➢作为纯粹的数学问题，也可从起始条件求出 t 0 时刻的初始条件，有兴趣 的同学有参考有关的参考课。“微分方程冲激函数匹配原理判断0 时刻和0
时刻状态的变化 ”
➢在系统的时域分析中，引入冲激响应后，利用卷积积分求系统的零状态响应比
r 1 ( t) r z i( t) r z s ( t) 2 e 3 t s in ( 2 t) u ( t) r 2 ( t ) r z i( t ) 2 r z s ( t ) [ e 3 t 2 s i n ( 2 t ) ] u ( t )
对系统线性的进一步认识
解得 r z i(t) 2 r 1 (t) 2 r 2 (t) 3 e 3 tu (t) r z s ( t) r 1 ( t) r z i( t) [ e 3 t s i n ( 2 t) ] u ( t) r3(t)rzi(t)rzs(t t0)
有关瞬态、稳态、零状态、零输入、自由和强迫响应的讨论
简论系统的瞬态、稳态、零状态、零输入、自由和强迫响应响应叶锐贤（佛山科学技术学院电子与信息工程学院，广东佛山，528000）摘要：工程中的控制系统总是在时域中运行的。
在分析和设计控制系统时，往往需要一个对各种控制系统性能进行比较的基础。
这种基础可以通过预先规定一些特殊的试验输入信号，然后比较各种系统对这些输入信号的响应。
关键词：系统瞬态响应稳态响应零状态响应零输入响应自由响应强迫响应Demonstration system transient, steady-state, zero-state, zero input, freeresponse and forced responseWinson Ye（School of Electronics and Information Engineering, Foshan University, Foshan , 528000,China）Abstract: Engineering control systems are always running in the time domain. In the analysis and design of control systems, often require a variety of control system performance, the basis of comparison. This can be the basis of a predetermined number of special test input signal, and then compare the system response to these input signals.Key Words：System,Transient response,Steady-state response,Zero state response,Zero-input response,Free response,Forced response一、引言信号与系统研究信号与系统理论的基本概念和基本分析方法。
第三章 系统的时间响应分析
第三章 系统的时间响应3-1 什么是时间响应？答：时间响应是指系统的 响应（输出）在时域上的表现形式或系统的动力学方程在一定初始条件下的解。
3.2 时间响应由哪两部分组成？各部分的定义是什么?答：按分类的原则不同，时间响应有初始状态为零时，由系统的输入引起的响应;零输入响应，即系统的 输入为零时，由初始状态引起的响应。
按响应的性质分为强迫响应和自由响应。
对于稳定的系统，其时间响应又可分为瞬态响应和稳态响应。
3.3时间响应的瞬态响应反映哪方面的性能？而稳态响应反映哪方面的性能？ 答：瞬态响应反映了系统的稳定性和响应的快速性两方面的性能；稳态响应反映了系统响应的准确性。
3.4 设系统的单位脉冲响应函数如下,试求这些系统的传递函数. 1.25(1)()0.0125;t w t e -= (2)()510s i n (44w t t t =++）；);t-3(3)w(t)=0.1(1-e(4)()0.01w t t= 解：（1）11()()()()()00w t x t L X s L G s X s i --⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦ ()1X s i=(),()()G s G s L w t =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-1w(t)=L 所以，0.01251.251)()()0.0125 1.25t G s L w t L e s -⎡⎤===⎡⎤⎣⎦⎢⎥+⎣⎦((2)()()G s L w t =⎡⎤⎣⎦5510sin(4)sin 4cos422L t t t s s=++=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦5452()2222161616s s s s s s =++=++++113(3)()()0.1(1)0.11t G s L w t L e s s s ⎧⎫⎡⎤-⎪⎪⎢⎥==-=-⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎢⎥+⎪⎪⎣⎦⎩⎭0.1(31)s s =+ 0.01(4)()()0.012G s L w t L t s ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦3.5解11()()110.256min.t TG s xt e ou Ts T -==-+=（）因为一阶系统的单位阶跃响应函数为解得，1(2)(),()10121111()()2211G s r t At t Ts A T T t x t L AL A t T Te or Ts s Ts T s s ===+⎡⎤⎡⎤---⎢⎥==-+=-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为一阶系统在输入作用下的时间响应()0.256()()()(1) 2.56(1)tt tT t T Te T e t r t x t At AAT e e or----+=-=-=-=-当t=1min e(t) = 2.53度3.6解解：（1）该系统的微分方程可以表示为o i u iR u += ω⎰=i d t C u o 1其传递函数为 111111)()()(+=+=+==Ts RCs CsR Cs s u s u s G i o 其中T=RC 。
零输入响应和零状态响应分析
c xi e
i 1
i t
c fi e
i 1
n
i t
自由响应
零输入响应
零状态响应的 齐次解
X
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两种分解方式的区别： 1、 自由响应与零输入响应的系数各不相同
X
各种系统响应定义
自由响应： 强迫响应： 暂态响应： 也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形 式无关。对应于齐次解。 形式取决于外加激励。对应于特解。 是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的 有关成分，随着时间t 增加，它将消失。
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稳态响应： 由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。 零输入响应： 没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系 统储能）所产生的响应。 零状态响应： 不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于 零），由系统的外加激励信号产生的响应。
系统方程：
n d k y zi (t ) ak 0 k dt k 0 k d 起始条件： y zi (0 ) c , k 0,1,2, , n k dt k
解的形式：
yzi (t ) Ci ei t
i 1
n
由起始条件求待定系数。 X
三.求解
n d k y zs (t ) m d k x (t ) ak bk k k dt dt 系统方程： k 0 k 0 k d 起始条件： y zx (0 ) 0, k 0,1,2, , n dt k
解的形式：齐次解+特解
y (t ) Ci ei t y p (t )
i 1
n
由初始条件求待定系数。
X
三.求解
例2： 求系统的零状态响应
各种系统响应定义
各种系统响应定义自由响应：也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。
对应于齐次解。
强迫响应：形式取决于外加激励。
对应于特解。
暂态响应：是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失。
稳态响应：由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。
零输入响应：没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。
零状态响应：不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。
由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。
(1)响应可分解为：零输入响应＋零状态响应。
(2)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。
(3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。
例：已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为()f t 时，其全响应为31()2e sin(2) ()t y t t t ε-⎡⎤=+⎣⎦；当激励为2()f t 时，其全响应为32()e 2sin(2) ()t y t t t ε-⎡⎤=+⎣⎦。
求：(1)初始条件不变，当激励为 0()f t t -时的全响应3()f t ， 0t 为大于零的实常数。
(2)初始条件增大1倍，当激励为0.5()f t 时的全响应4()f t 。
解:设零输入响应为zi ()r t ，零状态响应为zs ()r t ，则有31zi zs ()()()2e sin(2)()t y t y t y t t t ε-⎡⎤=+=+⎣⎦32zi zs ()()2()[e 2sin(2)]()t y t y t y t t t ε-=+=+3zi ()3e ()t y t t ε-= 3zs ()[e sin(2)]()t y t t t ε-=-+3zs ()[2e sin(2)]()t y t t t ε-=+(1)初始条件不变，激励 0()f t t -时03()3300()3e ()[e sin 2()]()t t t y t t t t t t εε---=+-+--(2)初始条件增大1倍，激励0.5()f t ,334()6e ()0.5[2e sin(2)]()t t y t t t t εε--=++。
夏令营信号与系统常见面试题
夏令营信号与系统常见面试题以下便是夏令营信号与系统常见面试题：（1）输入输出描述法和状态变量分析输入输出描述法，将系统看成一个黑匣子，根据系统的输入和基本属性（比如微分方程、起始状态）来求解系统输出，不讨论系统内部节点的变换，而状态变量分析法不仅讨论系统输入还需要考虑系统内部节点的变化，通过列写系统的状态方程和输出方程，然后再根据系数阵经过相关关系变换求系统函数和各响应。
（2）常用的系统分析方法（默认输入输出描述法）及优缺点常用系统分析方法主要包括时域分析和变换域分析，时域分析主要通过系统微分方程、输入和起始状态，根据经典法、双零法、卷积等方式求解系统响应，其整个计算均在时域t中操作，物理概念清楚，可直观得到信号随时间t的变化，但是计算量大；变换域分析主要包括傅里叶变换和拉普拉斯变换，变换域求解计算量小，但是无法直观反映信号随时间t的变化，即物理意义不如时域，因此尝尝涉及到逆变换，将结果以时域形式呈现。
（3）连续系统的表示形式有哪些，分别有什么应用连续系统主要有2大种表示形式，一种是表达式，一种是图形。
其中表达式又分4种，第一种是输入输出关系式，比如简易表达式，微分方程等；该方式是利用输入输出呈现的系统作用来求解系统响应或反映系统内在特性的。
第二种是单位冲激响应ht，主要应用是系统零状态响应等于输入与ht的卷积，第三种和第四种分别是网络函数Hw和系统函数Hs，即变换域表示形式，主要是将时域卷积操作，通过时域卷积定理，反映到变换域就是相乘，来求解系统响应。
以上4种均呈现的是表达式形式，而系统也可以通过模拟框图、信号流图、系统函数零极点图、子系统的级联、并联等结构图表示，一般通过梅森公式将表达式和图形紧密结合。
（4）如何判断系统的因果、稳定、滤波特性等？系统的表示形式不同，其判断方法不同，比如用系统作用表示，可通过定义法即响应不超前激励，有界输入有界输出来判断因果稳定；如果用ht表示则通过ut型和绝对可积来判断因果稳定，如果用Hs则通过收敛域为某直线右侧和是否包含虚轴来判断因果稳定。
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简论系统的瞬态、稳态、零状态、零输入、自由和强
迫响应响应
叶锐贤
（佛山科学技术学院电子与信息工程学院，广东佛山，528000）
摘要：工程中的控制系统总是在时域中运行的。
在分析和设计控制系统时，往往需要一个对各种控制系统性能进行比较的基础。
这种基础可以通过预先规定一些特殊的试验输入信号，然后比较各种系统对这些输入信号的响应。
关键词：系统瞬态响应稳态响应零状态响应零输入响应自由响应强迫响应Demonstration system transient, steady-state, zero-state, zero input, free
response and forced response
Winson Ye
（School of Electronics and Information Engineering, Foshan University, Foshan , 528000,China）Abstract: Engineering control systems are always running in the time domain. In the analysis and design of control systems, often require a variety of control system performance, the basis of comparison. This can be the basis of a predetermined number of special test input signal, and then compare the system response to these input signals.
Key Words：System,Transient response,Steady-state response,Zero state response,Zero-input response,Free response,Forced response
一、引言
信号与系统研究信号与系统理论的基本概念和基本分析方法。
初步认识如何建立信号与系统的数学模型，经适当的数学分析求解，对所得结果给以物理解释、赋予物理意义。
范围限定于确定性信号（非随机信号）经线性、时不变系统传输与处理的基本理论。
涉及的数学内容包括微分方程、差分方程、级数、复变函数、线性代数等。
二、瞬态与稳态
1. 瞬态响应：在某一输入信号的作用下，系统输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。
稳态响应：在某一输入信号的作用下，系统在时间趋于无穷大时的输出状态。
特点:(1)直接在时域中对系统进行分析校正，直观，准确；(2) 可以提供系统时间响应的全部信息。
时域分析——根据控制系统在一定输入作用下的输出量时域表达式，来分析系统的稳定性，瞬态过程性能和稳态误差。
其中单位阶跃信号是最为基本、最常见且最易产生的信号；被选为衡量系统控制性能的好坏的基准输入，并据此定义时域的性能指标。
延迟时间 t d :阶跃响应第一次达到终值的50％所需的时间
上升时间 t r :阶跃响应首次上升到稳态值 所需的时间。
对于响应无振荡的系统是阶跃
响应从稳态值的10%上升到90 %所需的时间。
峰值时间 t p : 阶跃响应越过终值达到第一个峰值所需的时间
调节时间 t s : 阶跃响应达到并保持在终值 5％误差带内所需的最短时间 超 调 量 MP : 峰值超出终值的百分比。
三、零状态与零输入响应
零输入只与起始状态有关，零状态只与输入有关，卷积形式。
完全响应=零输入响应+零状态响应。
在拉氏变换中,全响应是零输入响应和零状态响应的线性函数。
一阶线性定常电路的全响应为其零输入响应与零状态响应之和。
0()()()i y t y t y t =+。
零输入响应定义：没) 斜波信号 （天线、雷达） 正弦信号(通信) t
()
t δ 1 t 0 ()u t t
t 0 ()f t t
0 212()f t t =t
0 ()f t Sin t
ω=阶跃信号 （工业过程）
脉冲信号
(突变过程)
10111d ()d ()d ()()0d d d n n n n n n r t r t r t C C C C r t t t t ---++++=有外加激励信号作用，完全由起始状态所产生的响应，。
满足：
和
实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值 决定的初始值求出待定系数。
系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由状态
值
为零决定的初始值求出待定系数。
满足微分方程：
利用零状态线性，当激励变化时我们就不必再解方程了，只需把零状态响应部分做相应线性变化就可以了。
同样对零输入部分也是如此。
例如：中：
()(0)(0,1,2,1)k r k n -=-()0k r -=0)(d )(d d )(d d )(d )(d )(d d )(d d )(d 1111011110t e E t
t e E t t e E t t e E t r C t t r C t t r C t t r C m m m m m m n n n n n n ++++=++++------
四、自由响应与强迫响应
自由响应：动态电路的完全响应中，已由初条确定待定系数k 的微分方程通解部分，称为电路系统的自由响应，它的函数形式是由电路系统本身结构决定的，与外加激励无关。
强迫响应：动态电路微分方程的特解形式，仅仅由激励决定，称为强迫响应。
全响应＝自由响应＋强迫响应，等号右端第一项的变化规律与外加激励的变化规律无关，称为自由响应分量；等号右端第二项的变化规律与外加激励的变化规律相同，称为强迫响应分量。
即全响应可分解为自由响应与强迫响应之和。
激励：
系统函数：
响应：
论证了：全响应=自由响应分量 ＋强制响应分量
五、总结
通过以上分析，我们可以得出，在学习过程中善于发现问题，把握结论的前提条件，处理好看似矛盾的事情是异常重要的。
而对于问题本质的探究并为最终揭开谜团作的努力乃是科学与学术发展前进的亘古不变的真理与永恒的源泉！
参考文献：
[1] 《基本电路理论》上海科学技术文献出版社 王蔼 主编 苏中义 陈洪亮 李丹 改编
[2] 《简明电路分析基础》高等教育出版社 李瀚荪 主编.
[3] 《信号与系统 (第二版)》西南交大出版社陈后金 胡健 薛健
[4] 《信号与系统解题指南》 胡光锐 徐昌庆 谭政华 宫新宝编著.科学出版社.2005
[5] 《信号与系统考研指导》吕玉琴等 考北京邮电大学出版社 2010.
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()(s E t e ↔∏∏==--=v k k u l l P s z s s E 11)()()()()(s H t h ↔∏∏==--=n i i
m j j P s z s s H 11)()()()()(s R t r ↔
[6] 信号与系统例题分析（乐正友清华社2008）。