(完整版)解排列组合应用题的解法技巧

解排列组合应用题的解法•技巧

引言：

1、本资料对排列、组合应用题归纳为8种解法、13种技巧

2、解排列组合问题的“16字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合

一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径（1）以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素

（2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则

（3）先不考虑附加条件，计算岀排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数前两种方式叫直接

解法，后一种方式叫间接（剔除）解法注：数量不大时可以逐一排出结果。

3、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且

每次得岀的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得岀的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列,

无序组合.

（一）排列组合应用题的解法

排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目

中的信息进行科学地加工处理。下面通过一些例题来说明几种常见的解法。

一.运用两个基本原理二.特殊元素（位置）优先三.捆绑法四.插入法五.

排除法六.机会均等法七.转化法八.隔板法

一.运用两个基本原理

加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们

都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。

例1: n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？

解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有C0种结果；1个人通过，有c n种结果，……；

n个人通过，有C；种结果。所以一共有C： C n C：2n种可能的结果。

解法2 :用分步记数的原理。第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这

样，……，第n个人也是这样。所以一共有2n种可能的结果。

例2:同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）

（A） 6 种（B）9 种（C）11 种（D）23 种

解：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d o

第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；

第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：

（1）乙取a，则接下来丙、丁的取法都是唯一的，

（2）乙取c或d （2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。

根据加法原理和乘法原理，一共有 3 （1 2） 9种分配方式。

二.特殊元素（位置）优先----（优待法）

所谓“优待法”是指在解决排列组合问题时，对于有限制条件的元素（或位置）

要优先考虑•

例3:从0, 1 ,……,9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数

字的五位偶数多少个？

解：个位选0,有P4个，个位不选0且万位不能选0，有C4C8 P83个，所以一共可以得

到F94C4C8P8313776 个偶数。

注0, 2, 4, 6, 8是特殊元素，元素0更为特殊，首位与末位是特殊的位置。

例4: 8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？

解：先排甲，有P：种排法。再排乙，有P?种排法，再排其余的人，又有P6种排法，所以一共有P4 P51P6614400种排法。

【eg】在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被

5整除的数共有（）个.

（解法一）元素优先数字0、1、2、3、4、5中含有0元素，组成四位数时，

0不能放在首位•又所求四位数不能被5整除，因而可以根据是否含有0和5两个元素将所求四位数分成四类：第一类：含0不含5的四位数，共有匸爲：=48（个）;第

I J

二类：含5不含0的四位数，共有' 宀=72（个）；第三类：含0也含5的四位数，共有©©九=48（个）；第四类：不合0也不含5的四位数，共有'：=24（个）•所以, 符合条件的四位数共有48+72+48+24=192（个）.

（解法二）位置优待根据所求四位数对首末两个位置的特殊要求可以分步解

答：第一步：排个位一一个位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字中任选一个，共有'种选法；第二步；排首位首位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字被个位选掉后剩余的三个数字及数字5中任选一个，共有5种选法；第三步：排中间两位，中间两柱可以从个位和首位排好后剩余的数字四个数字中任选两个，共有

种排法•所以符合条件的四位数共有匚厲打=4x4X4X 3=192（个）.

〔注〕这道例题是典型的限制排列组合题. 解题时，若从元素入手（即元素优先），常要分类讨论，分类时要注意堵漏防重；若从位置入手（即位置优待1,常要分步解答，分步时要注意分步完整，各步相连.

三•捆绑法

在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法.

例5: 8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？

解：把甲、乙、丙先排好，有P2种排法，把这三个人“捆绑”在一起看成是一个，与

其余5个人相当于6个人排成一排，有P66种排法，所以一共有P22P/=1440种排法。

〔注〕运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题.

四•插空法

不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开.解决此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法.

例6:排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？

解：先排5个不是小品的节目，有P55种排法，它们之间以及最后一个节目之后一共有

6个空隙，将3个小品插入进去，有P5种排法，所以一共有P5 P53=7200种排法。

注：捆绑法与插入法一般适用于有如上述限制条件的排列问题

【eg】用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有（）个.（用数字作答）

解：由于要求1与2相邻，2与4相邻，可将1、2、4这三个数字捆绑在一起形成一

个大元素，这个大元素的内部中间只能排2,两边排1和4,因此大元素内部共有八种排

法，再把5与6也捆绑成一个大元素，其内部也有*种排法，与数字3 共计三个元素，先

将这三个元素排好，共有A：种排法，再从前面排好的三个元素形成的间隙及两端共四个位置中任选两个，把要求不相邻的数字7和8插入即可，共

有嘉种插法，所以符合条件的八位数共有仏町“；=288（种）.

〔注〕运用插空法解决不相邻问题时，要注意欲插入的位置是否包含两端位置. 五•正难则反一一排除法

对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法.

例7;求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。

解：从8个点中取4个点，共有C；种方法，其中取出的4个点共面的有6 6 12种，所以符合条件的四面体的个数为C84 12 58个。

例& 100件产品中有3件是次品，其余都是正品。现在从中取出5件产品，其中含有

次品，有多少种取法？

解：从100件产品中取5件产品，有Cw0种取法，从不含次品的95件中取出5件产品

有C95种取法，所以符合题意的取法有C為C9517347001种。