(完整版)高等数学偏导数第三节题库
高等数学-偏导数的求法
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
偏导数存在
(2) 偏导数连续
函数可微
14
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证: 由全增量公式
得到对 x 的偏增量
x x
x
z lim x z A x x0 x
z x (1, 2)
z x1 1 3y y2
z
y (1, 2)
3
例2
求
f (x, y) x y yx (x 1)2 ( y 2)3 arctan
fx (1,2), f y (1,2)
ex 4 y2 1
解 : f x (1,2) [ f (x,2)] x1 [ x2 2x 0] x1
2z y 2
2x3 18xy
3z 6y2
x3
11
三、函数全微分
二元函数
当x, y 取得增量x, y 时如何方便
求出全增量 Z f x x, y y f x, y
引例:设有一圆柱体,受压后方式变形,它的底面半径由
r 变化到 r r, 高度由 h 变化到 h h. 问圆柱体体积
V 改变了多少.
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0)y]
x y (x)2 (y)2
x y (x)2 (
y)
2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
注: 此为证明二元函数可微的方法!
16
定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数 z , z x y
在点 (x, y) 连续, 则函数在该点可微分.且
高等数学偏导数第三节题库(可编辑修改word版)
[ ]【090301】【计算题】【较易 0.3】【全微分】【全微分的定义】 x + y【试题内容】求函数 z = arctan1 - xy的全微分。
【试题答案及评分标准】z = arctan x + y 1 - xy= arctan x + arctan y ± π∂z = ∂xd z = 1 1 + x 211 + x 2,d x + ∂z =∂y1 1 + y2 1 1 + y 2d y（8 分）（10 分）或d z =1⎛ x + y ⎫ 2 1 + x - y ⎪⋅(1 - xy )(d x + d y ) - ( x + y )(- y d x - x d y ) (1 - xy ) 2= 1 1 + x 2 ⎝ d x + ⎭1 d y 1 + y 2（8 分）（10 分）【090302】【计算题】【较易 0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数 z = ln( x 2 + y 2 + e xy ) 的全微分。
【试题答案及评分标准】∂z = ∂x 2x + ye xyx 2+ y 2 + e xy,∂z =∂y 2 y + xe xy x 2 + y 2 + e xy（8 分）d z = 1 (2x + ye xy ) d x + (2 y + xe xy) d yx 2 + y 2 + e xy（10 分）【090303】【计算题】【较易 0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数u = x y z的全微分。
【试题答案及评分标准】ln u = y z ln x∂u = u ⋅ y z ⋅ 1= y z x y z -1（2 分）∂x x∂u= z ⋅ y z -1 ⋅ x y z ⋅ ln x ∂y（5 分）- y y⎥ =⎥ =∂u = y z⋅ x y z⋅ ln x ⋅ ln y∂z（8分）d u = y z x y z -1d x + z ⋅ y z -1 ⋅ x y z⋅ ln x d y + y z ⋅ x y z⋅ ln x ⋅ ln y d z（10 分）【090304】【计算题】【较易 0.3】【全微分】【全微分的定义】【试题内容】设u = d u 。
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高等数学试题库(总44页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除《高等数学》试题库一、选择题 （一）函数1、下列集合中（ ）是空集。
{}{}4,3,02,1,0. a {}{}7,6,53,2,1. b (){}x y x y y x c 2,.==且 {}01.≥〈x x x d 且2、下列各组函数中是相同的函数有（ ）。
()()()2,.x x g x x f a == ()()2,.x x g x x f b ==()()x x x g x f c 22cos sin ,1.+== ()()23,.x x g xx x f d ==3、函数()5lg 1-=x x f 的定义域是（ ）。
()()+∞∞-,55,. a ()()+∞∞-,66,. b()()+∞∞-,44,. c ()()()()+∞∞-,66,55,44,. d4、设函数()⎪⎩⎪⎨⎧-+2222x x x 〈+∞≤〈≤〈∞〈-x x x 2200 则下列等式中，不成立的是（ ）。
()()10.f f a = ()()10.-=f f b ()()22.f f c =- ()()31.f f d =-5、下列函数中，（ ）是奇函数。
x xa . x xb sin .211.+-x x a a c 21010.xx d -- 6、下列函数中，有界的是（ ）。
arctgx y a =. tgx y b =. x y c 1.= x y d 2.=7、若()()11-=-x x x f ，则()=x f （ ）。
()1.+x x a ()()21.--x x b ()1.-x x c .d 不存在8、函数x y sin =的周期是（ ）。
π4.a π2.b π.c 2.πd 9、下列函数不是复合函数的有（ ）。
xy a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21. ()21.x y b --= x y c sin lg .= xey d sin 1.+=10、下列函数是初等函数的有（ ）。
高等数学-偏导数
z
记为
,
x x x0
y y0
f x
,
x x0 y y0
zx
x x0 ,
y y0
或
f x ( x0 , y0 ).
2
同理,可定义函数 z f ( x, y) 在点( x0, y0 ) 处
对y的偏导数为
f y( x0 ,
y0 )
lim
y0
f ( x0,
y0
y) y
f ( x0,
y0 )
z
记为
, y x x0
x 导数,则 2z ( ).
xy
yf ( xy) ( x y) y( x y)
z x
1 x2
f ( xy)
y x
f ( xy)
y( x y)
26
设u
yf
x y
xg
y ,其中f , g有连续的 x
二阶 导数, 求x
2u x 2
y
2u xy
.
答案: 0
解
u x
f
x y
u x x x2 y2 ,
2u (x2 y2) x 2x x2 ( x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2
利用函数关于自变量的对称性
2u y 2
x2 y2 (x2 y2)2
.
2u x 2
2u y2
(
y2 x2
x2 y2 )2
(
x2 x2
y2 y2 )2
0
24
例 验证函数 z sin( x ay)满足波动方程:
2z y2
a2
2z x 2
.
证 因 z cos( x ay), x
高考高等数学复习重点偏导数应用
高考高等数学复习重点偏导数应用要说这高考里的高等数学，偏导数的应用那可真是个让人又爱又恨的家伙！对于很多同学来说，它就像是一座隐藏着宝藏但又布满荆棘的神秘岛屿。
咱们先来说说偏导数在几何中的应用。
想象一下，你正在设计一个超级酷炫的立体雕塑，你得知道不同方向上的变化率才能把它的形状雕琢得完美无缺。
比如说，偏导数能帮我们求出曲面在某一点处的切平面方程。
这就好比你要给这个雕塑找一个最合适的底座，让它稳稳地站立在那里，展现出最迷人的姿态。
还记得我之前教过的一个学生小明，那可真是个聪明但又有点粗心的孩子。
有一次做练习题，遇到一个求曲面在某点处切平面方程的题目。
他一开始信心满满，觉得自己肯定能拿下。
可算着算着，就把偏导数的符号给弄混了，结果整个答案都错得离谱。
我看着他那懊恼的样子，又好气又好笑。
我就跟他说：“小明啊，这偏导数就像是你手里的工具，你得把它们认清楚，用对地方，不然可就修不出你想要的雕塑啦！”打那以后，小明每次做这类题目都会格外小心，成绩也有了明显的提高。
再来说说偏导数在优化问题中的应用。
这就像是你要在一堆琳琅满目的商品中，找到那个性价比最高的宝贝。
比如说，工厂要生产一种产品，怎么安排生产才能让成本最低、利润最大？这时候偏导数就派上用场啦。
通过求偏导数为零的点，就能找到可能的极值点。
还有偏导数在物理中的应用，比如热传导问题。
这就好比你要搞清楚一杯热水是怎么慢慢变凉的，温度在不同位置、不同时间的变化规律是怎样的。
同学们，复习偏导数的应用可不能马虎。
要多做练习题，熟悉各种题型。
遇到不会的问题，别着急，多想想，多问问老师和同学。
相信只要你们用心，偏导数这个“小怪兽”一定能被你们打败！就像小明一样，从错误中吸取教训，最终在高考的战场上取得胜利！总之，偏导数的应用在高考高等数学中至关重要。
大家一定要把基础打牢，熟练掌握各种方法和技巧，这样才能在考场上应对自如，取得好成绩！加油吧，同学们！。
偏导函数习题及答案
偏导函数习题及答案偏导函数习题及答案偏导函数是微积分中的一个重要概念，它用于描述多元函数在某个指定变量上的变化率。
在解决实际问题时，经常会遇到需要求偏导函数的情况。
本文将给出一些偏导函数的习题及其答案，帮助读者更好地理解和应用偏导函数。
一、一元函数的偏导函数1. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x在x = 2处的偏导数。
解：由于f(x)是一元函数，所以只有一个自变量x。
在求偏导数时，可以将其他自变量视为常数。
因此，对于f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x，求其在x = 2处的偏导数，即求f'(2)。
首先，对f(x)进行求导得到f'(x) = 3x^2 + 4x - 3。
然后，将x = 2代入f'(x)中，得到f'(2) = 3(2)^2 + 4(2) - 3 = 19。
所以，函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x在x = 2处的偏导数为19。
二、多元函数的偏导函数2. 求函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2在点(1, 2)处关于x的偏导数。
解：对于多元函数f(x, y)，求其关于某个变量的偏导数时，需要将其他变量视为常数。
因此，对于f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，求其关于x的偏导数，即求∂f/∂x。
首先，对f(x, y)进行求导得到∂f/∂x = 2x + 2y。
然后，将x = 1，y = 2代入∂f/∂x中，得到∂f/∂x = 2(1) + 2(2) = 6。
所以，函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2在点(1, 2)处关于x的偏导数为6。
3. 求函数f(x, y) = e^x + ln(y)在点(0, 1)处关于y的偏导数。
解：对于函数f(x, y) = e^x + ln(y)，求其关于y的偏导数时，需要将其他变量视为常数。
因此，对f(x, y)进行求导得到∂f/∂y = 1/y。
高等数学基础概念解读及例题演练-偏导数及多元复合函数的求导法则
存在，那么称极限为函数z= J(x,y） 在点（布，Yo ） 处对于x的偏导数，记作
一｜。＇ZI
δ!X lx=xo
;:ll'I ，斗ax lx=xo
,z;lx＝句或兀（xo ,Yo ). )I＝均
类似的，函数 z =f(x,y） 在点（x。. ，Yo ） 对y的偏导数定义为
lim ／（布，Yo +11y)-f（句，Yo )
dt
［答案J e' (cost-sint)+cost
第三节全微分及全微分形式不变性 设函数Z = f(x,y） 在点。，y） 的某邻域内有定义，如果函数在点（x,y） 的全增量
&=f(x＋缸， y+6y)-f(x,y)
可以表示为 ＆＝AAt+B6y+o(p),
其中 A,B 不依赖于 llx和6y ，而仅与 x和y 有关， p=o（」（At)2+(6y）勺，那么称函数
az , az 例13设
z=f(lnx
＋
一），其中函数
y
f(u
）
可微，贝tlx
一
ax
＋
Y'�
一
命
＝
［答案JO
(2012年，数学二）
f 例14设 z = f(x+ y,x-y，圳，其中 具有二阶连续偏导数， 求dz 与£ axay 乙
λ（
［答案］飞
’＋J;’＋yj3' I)dx＋飞（刀’＋儿’＋乓f；＇ I）命；
【解题步骤】理清函数与变元之间的关系z (1）画出函数结构图，理清函数间复合关系，注意到哪些变元是自变量，中间变量，因变量． (2）注意函数映射是多元函数，还是一元函数， 注意导数符号的不同． (3）先对中间变量求偏导，再乘以中间变量对自变量的偏导数．
偏导数(习题课)
的二元函数，记作 z f (x, y) 其中x, y为自变量， z为因变量，(x, y)变化的范围 D称为函
数的定义域。设点 (x0, y0 ) D,则，z f (x, y)称为对应于 (x0, y0 )
的函数值，函数值的总体称为函数的值域。 类似地，可定义三元函数及其他多元函数。
Hale Waihona Puke 2 z ex cos(2x y) 2ex sin(2x y) yx
JPZX９
学生练习：
1.求下列函数的偏导数:
(1) z xe y
(2) z arctan x y
2.求下列函数的二阶偏导数:
(1) z exy
(2) z sin2 (x y)
JPZX10
x x2 y2
f y(x, y) 1 2
2y 1
x2 y2
y x2 y2
所以
f (3,4) 1 3 2 55
f y(0,5) 11 0
JPZX5
高阶偏导数
高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设
函数z f (x, y)在区域D内具有偏导数：
§18～6 偏导数（习题课）
• 复习回忆:
1.二元函数的定义 2.偏导数的概念 3.二元函数的偏导数 4.高阶偏导数
• 例题分析: • 学生练习:
例一: 例二: 例三:
JPZX1
二元函数的定义 定义1 设有三个变量 x, y和z,如果当变量 x, y在某一给定
的二元有序实数对 D内任取一对值 (x, y)时，变量z按照一定
x
z ex cos(2x y) y
高数下偏导数例题
例1． 设222(,),(,){(0,0)}xyf x y x y D x y=∈=-+ ，讨论极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →。
解：令y mx =，2222(,)(0,0)0lim (,)lim 1x y x y mxx mx mf x y x m x m →→=⋅==++——随m 的不同而不同。
所以，(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在。
例2．设22222(,)()x y f x y x y x y =+-，讨论(,)(0,0)lim (,)x y f x y →， 解：取y x =，则2222(,)(0,0)0lim (,)lim 10x y x y x x y f x y x y →→===+， 取0y =，则2(,)(0,0)00lim (,)limlim000x y x x y xf x y x →→→====+，故(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在。
注：若取2y x =，则22222224(,)(0,0)0()1lim(,)lim ()2x y x y x x x x x f x y x x x x →→=--==-+，也能证明。
例3（1）设y z x =，求z x ∂∂，zy∂∂ （2）设22sin y zx u e y=+，求u x ∂∂，u y ∂∂，u z ∂∂例4．设2(,)arctan y f x y x-=，求(1,2)y f解：（二种解法）下面的例子指出，00(,)x f x y 和00(,)y f x y 不蕴含f 在0P 处连续，这是与一元导数的不同之处。
例5．22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，证明(,)x f x y 和(,)y f x y 在2 上都存在，但(,)f x y 在原点不连续。
证：当(,)(0,0)x y ≠时，22222()(,)()x y y x f x y x y -=+；22222()(,)()y x x y f x y x y -=+；当(,)(0,0)x y =时，00(,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x→→--===，(0,0)0y f =；例6．求22z x y xy =-的全微分dz 及点(1,1)处的全微分；解：因222,2z zxy y x xy x y∂∂=-=-∂∂在2 上连续，故22(2)(2)dz xy y dx x xy dy =-+-， 所以(1,1)dz dx dy =-。
偏导练习题及答案
偏导练习题及答案一导数的概念在微积分中，导数是一种描述函数变化率的数学工具。
它表征了函数在某一点的局部变化情况。
偏导数则是在多元函数中，对其中一些自变量求导而得到的导数。
二求解偏导数的基本方法对于一元函数求导，我们只需要使用基本的求导公式即可。
但是在多元函数中，求解偏导数则需要特殊的技巧。
以下是一些常用的方法：1. 部分积分法：对于含有多个乘积项的函数，可以使用部分积分法将其分解为更简单的形式，然后再进行求导。
2. 链式法则：当函数中涉及复合函数时，可以使用链式法则进行求导。
根据链式法则，我们可以将一个函数的导数表示为另一个函数的导数与它的导数的乘积。
3. 参数替换法：有时候，为了简化计算，我们可以通过将函数中的自变量进行合适的替换，从而将其转化为更易求导的形式。
三偏导数的几何意义偏导数不仅仅是一种纯数学概念，它还具有重要的几何意义。
在多元函数中，每个偏导数可以看作是函数关于某个自变量的斜率。
以二元函数为例，偏导数可以用来描述曲面在某一方向上的变化率。
偏导数的正负可以告诉我们曲面在某个点的上升或下降趋势。
此外，偏导数还可以用来确定函数的驻点和极值点。
四偏导练习题及答案1. 求函数 f(x, y) = x^2 + 3xy - 2y^2 的偏导数。
解：对于 x 的偏导数，我们将 y 视为常数，于是有：∂f/∂x = 2x + 3y对于 y 的偏导数，我们将 x 视为常数，于是有：∂f/∂y = 3x - 4y2. 求函数 f(x, y) = sin(x^2) + cos(xy) 的偏导数。
解：对于 x 的偏导数，我们将 y 视为常数，于是有：∂f/∂x = 2xcos(x^2) - ysin(xy)对于 y 的偏导数，我们将 x 视为常数，于是有：∂f/∂y = -xsin(xy)3. 求函数 f(x, y, z) = xyz 的偏导数。
解：对于 x 的偏导数，我们将 y 和 z 视为常数，于是有：∂f/∂x = yz对于 y 的偏导数，我们将 x 和 z 视为常数，于是有：∂f/∂y = xz对于 z 的偏导数，我们将 x 和 y 视为常数，于是有：∂f/∂z = xy五总结通过以上的练习题，我们可以更加熟悉偏导数的计算方法。
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第一章 函数、极限与连续一、 判断题:1．极限)(lim 0x f x x →存在的充要条件是)0(0-x f 与)0(0+x f 都存在。
（ ）2．如果)0(0-x f 与)0(0+x f 都存在且相等，则)(lim 0x f x x →存在。
（ ）3．如果函数)(x f 在0x 处既左连续且右连续，则)(x f 在0x 连续。
（ ） 4．如果)(lim 0x f x x →存在，则)(x f 在0x 连续。
（ ）5．如果函数)(x f 在0x 连续，则)(lim 0x f x x →存在。
（ ）6．极限 2200limy x xyy x +→→存在 。
（ ）7．如果)(x f 在()b a ,内连续，则)(x f 在()b a ,内必有最大值和最小值。
（ ） 8．如果)(x f 在[]b a ,内连续，则)(x f 在[]b a ,内必有最大值和最小值。
（ ） 9．极限 ()e x xx -=-→1lim 0。
（ ）10．极限21946853lim 2323=-++-∞→x x x x x 。
（ ） 二、 填空题:1．函数1)3ln(2222-++--=y x y x y 的定义域是 。
2. 函数4192222-++--=y x y x y 的定义域是 。
3.若⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,00,,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f 。
4. 函数 x y 2sin ln =的复合过程是 。
5. 一切初等函数在其 内都是连续的。
6. 设arctgx x y 2-=，则)(lim x y x --∞→= 。
7. 如果322sin 3lim0=→x mx x ，则m = 。
8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤-+=2,2221,1,32)(2x x x x x x x x f ，则)(lim 1x f x →= 。
9. 函数11)(2+-=x x x f 的间断点是 。
高等数学试题(含答案)
《高等数学》试题库一、选择题 （一）函数1、下列集合中（ ）是空集。
{}{}4,3,02,1,0. a {}{}7,6,53,2,1. b (){}x y x y y x c 2,.==且 {}01.≥〈x x x d 且2、下列各组函数中是相同的函数有（ ）。
()()()2,.x x g x x f a == ()()2,.x x g x x f b ==()()x x x g x f c 22cos sin ,1.+== ()()23,.x x g xx x f d ==3、函数()5lg 1-=x x f 的定义域是（ ）。
()()+∞∞-,55,. a ()()+∞∞-,66,. b()()+∞∞-,44,. c ()()()()+∞∞-,66,55,44,. d4、设函数()⎪⎩⎪⎨⎧-+2222x x x〈+∞≤〈≤〈∞〈-x x x 2200 则下列等式中，不成立的是（ ）。
()()10.f f a = ()()10.-=f f b ()()22.f f c =- ()()31.f f d =-5、下列函数中，（ ）是奇函数。
x xa . x xb sin .211.+-x x a a c 21010.x x d -- 6、下列函数中，有界的是（ ）。
arctgx y a =. t g xy b =. xy c 1.= xy d 2.= 7、若()()11-=-x x x f ，则()=x f （ ）。
()1.+x x a ()()21.--x x b ()1.-x x c .d 不存在8、函数x y sin =的周期是（ ）。
π4.a π2.b π.c 2.πd 9、下列函数不是复合函数的有（ ）。
xy a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21. ()21.x y b --= x y c s i n lg .= x ey d s i n1.+=10、下列函数是初等函数的有（ ）。
11.2--=x x y a ⎩⎨⎧+=21.xx y b 00≤〉x x x y c c o s 2.--=()()2121lg 1sin .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x e y d x11、区间[,)a +∞, 表示不等式（ ）.（A ）a x <<+∞ （B ）+∞<≤x a （C ）a x < （D ）a x ≥12、若ϕ3()1t t =+,则 ϕ3(1)t +=（ ）.（A ）31t + （B ）61t + （C ）62t + （D ）963332t t t +++13、函数log (a yx =+ 是（ ）.（A ）偶函数 （B ）奇函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 14、函数()yf x =与其反函数1()y f x -=的图形对称于直线（ ）. （A ）0y = （B ）0x = （C ）y x = （D ）y x =-15、函数1102x y-=-的反函数是（ ）.（A ）1xlg22y x =- （B ）log 2x y = （C ）21log y x= （D ）1lg(2)y x =++ 16、函数sin cos yx x =+是周期函数，它的最小正周期是（ ）.（A ）2π （B ）π （C ）2π （D ）4π 17、设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ ）． A ． x B ．x + 1 C ．x + 2 D ．x + 3 18、下列函数中，（ ）不是基本初等函数． A ． x y )e1(= B ． 2ln x y = C ． xx y cos sin =D ． 35x y = 19、若函数f(e x)=x+1，则f(x)=( )A. e x+1 B. x+1 C. ln(x+1) D. lnx+120、若函数f(x+1)=x 2，则f(x)=( )A.x 2B.(x+1) 2C. (x-1) 2D. x 2-1 21、若函数f(x)=lnx ，g(x)=x+1，则函数f(g(x))的定义域是( ) A.x>0 B.x ≥0 C.x ≥1 D. x>-1 22、若函数f(x)的定义域为(0,1)则函数f(lnx+1)的定义域是( )A.(0，1)B.(-1，0)C.(e -1，1)D. (e -1，e) 23、函数f(x)=|x-1|是( )A.偶函数B.有界函数C.单调函数D.连续函数 24、下列函数中为奇函数的是( )A.y=cos(1-x)B.⎪⎭⎫ ⎝⎛++=21ln x x y C.e x D.sinx 2 25、若函数f(x)是定义在(-∞，+∞)内的任意函数，则下列函数中（ ）是偶函数。
偏 导 数
显然
0
0
在上节224页例3已证 f(x,y)在点(0,0)并不连续! 函数在点(0,0)的极限不存在,所以不连续.
西藏大学理学院数学系
高等数学
例1
解法1
z z 2x 3 y , 3x 2 y x y
2z z z 2z ( ) f y x ( x , y ); ( ) f y y ( x, y) 2 x y y x y y y
西藏大学理学院数学系
高等数学
第二节
偏 导 数
类似可以定义更高阶的偏导数. z 例如， f ( x, y ) 关于 x 的三阶偏导数为
V R T p
p V T RT V T p pV
1
西藏大学理学院数学系
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z f x ( x, y) , x z f y ( x, y) y
高等数学
第二节
偏 导 数
高等数学
定理
f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 ) (证明略)
第二节
偏 导 数
若 f x y ( x,y ) 和 f y x ( x,y ) 都在点( x0 , y0 ) 连续 , 则
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 例如, 对三元函数 u f ( x , y, z ) 当三阶混合偏导数
偏 导 数
f ( x0 , y y0 ) f ( x0 , y0 ) lim y 0 y
f y ( x 0 , y0 )
偏导数求解专题训练
偏导数求解专题训练偏导数是高等数学中的一个重要概念，用于求取多变量函数在某一点处的变化率。
在本文档中，我们将介绍偏导数的基本概念，并提供一些专题训练以加深对该概念的理解。
什么是偏导数？偏导数是用来衡量多变量函数对于其中某一变量的变化率。
在多元函数中，一个变量的变化可能会引起其他变量的变化。
偏导数能够反映其中一个变量变化对其他变量的影响。
如何求解偏导数？对于一个多元函数，我们通过对每个变量进行偏导计算来求解偏导数。
具体而言，对于函数的每个变量，我们将其它变量视为常数，并对该变量进行求导运算。
偏导数求解专题训练以下是一些偏导数求解的专题训练题目，供同学们练：1. 对于函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$，求解关于变量 $x$ 的偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$ 和关于变量 $y$ 的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial y}$。
2. 对于函数 $g(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$，求解关于变量$x$ 的偏导数 $\frac{\partial g}{\partial x}$，关于变量 $y$ 的偏导数$\frac{\partial g}{\partial y}$，以及关于变量 $z$ 的偏导数$\frac{\partial g}{\partial z}$。
3. 对于函数 $h(x, y, z) = \sin(x+y+z)$，求解关于变量 $x$ 的偏导数 $\frac{\partial h}{\partial x}$，关于变量 $y$ 的偏导数$\frac{\partial h}{\partial y}$，以及关于变量 $z$ 的偏导数$\frac{\partial h}{\partial z}$。
请同学们根据这些题目进行练，加深对偏导数的理解。
结论偏导数是多变量函数中的重要概念，用于求解函数在某一点处的变化率。
高数偏导数复习
z z f y (x, y) f x (x, y) y x
按照对变量求导次序不同有下列四个二阶偏导数：
z 2 z z 2 z ( ) 2 f xx (x, y) , ( ) f xy (x, y) y x x y x x x
z 2 z z 2 z ( ) f yx (x, y) , ( ) 2 f yy (x, y) x y yx y y y
曲面的法线方程是
x x0 y y0 z z0 . Fx (x 0 , y0 , z 0 ) Fy (x 0 , y0 , z 0 ) Fz (x 0 , y 0 , z 0 )v
例题： 求旋转抛物面 z x 2 y 2 1 在点 (2,1, 4) 的切平面及法线方程. 解:
grad f (x 0 , y0 ) f x (x 0 , y0 )i +f y (x 0 , y 0 ) j
10. 多元函数的极值和其求法. 定理 1：设函数 z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 具有偏导数，且在点 (x 0 , y 0 ) 处 有极值，则有
f x (x 0 , y 0 )=0，
f y (x 0 , y 0 )=0
定理 2： 设函数 z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 的某一领域连续且有一阶及二 阶连续偏导数 f x (x 0 , y0 )=0，f y (x 0 , y0 )=0 ，令
f xx ( x
(0x ,0 y f) = B y y,
L(x, y) f (x, y) (x, y)
n( F x , 0y 0 , zF x ( 0 y) ,
0
x 2 y 3z 6 .
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【090301】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数z x yxy=+-arctan 1的全微分。
【试题答案及评分标准】z x yxyx y =+-=+±arctanarctan arctan 1π∂∂∂∂z x x z y y =+=+111122,（8分）d d d z x x yy =+++111122（10分）或d ()(d d )()(d d )()z x y x y xy x y x y y x x y xy =++-⎛⎝ ⎫⎭⎪⋅-+-+---111122（8分） =+++111122x x yy d d（10分）【090302】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数z x y e xy=++ln()22的全微分。
【试题答案及评分标准】∂∂∂∂z x x ye x y e z y y xe x y e xy xyxyxy=+++=+++222222, （8分）[]d ()d ()d z x y ex ye x y xe y xyxy xy =+++++12222 （10分）【090303】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数u x y z=的全微分。
【试题答案及评分标准】ln ln u y x z =∂∂u x u y x y x z z y z =⋅⋅=-11 （2分） ∂∂uyz y x x z y z =⋅⋅⋅-1ln（5分）∂∂u zy x x y z y z=⋅⋅⋅ln ln（8分）d d ln d ln ln d u y x x z y x x y y x x y z z yz z y zz y z=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅--11（10分）【090304】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u x x y=+arccos 22，求d u 。
【试题答案及评分标准】u x y y x y x x y y x y x =-+⋅+-+⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥=-+222222232221()/ （4分） u x y y xy x y x y x y y =-+-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥=+22223222()sgn / （8分）d sgn (d d )u yx yy x x y =+-+22（10分）【090305】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u x x y=+arcsin 22，求d u 。
【试题答案及评分标准】u x y y x y x x y y x y x =+⋅+-+⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥=+222222232221()/ （4分） u x y yxy x y x y x y y =+-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-+22223222()sgn /（8分）d sgn (d d )u yx yy x x y =+-22（10分）【090306】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数u x y z yz x=的全微分。
【试题答案及评分标准】∂∂u x yx y z x y z z x y z yxz y z x y z x y z x =+=+-1ln (ln ) （3分）∂∂u y x y z x x zy z x y z zyx y z x y z x y z x =+=+-ln (ln )1 （6分）∂∂u z x y z y x y xz x y z xzy y z x y z x y z x =+=+-ln (ln )1 （9分）d (ln )d (ln )d (ln )d u x y z y x z x z y x y xz y z y z x =+++++⎡⎣⎢⎤⎦⎥（10分）【090307】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u yzx=arccos ，求d u 。
【试题答案及评分标准】∂∂u xyz x yz x yzx x y z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪⋅=-1122222（3分）∂∂uyyz x zx x z x x y z=--⎛⎝ ⎫⎭⎪⋅=--112222（6分）∂∂u z x y x x y z =--222（9分）d d d d u x y z yz xx x z x y x y x z =---⎛⎝ ⎫⎭⎪1222 （10分）【090308】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设f x y x y (,)=+22，则d f = ——— 。
【试题答案及评分标准】22d d yx y y x x ++ （10分）【090309】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设z x y x e y=--322，则d z = ——— 。
【试题答案及评分标准】()d ()d 322223x y x x x y e y y-+- 10分 【090310】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设z x y =+()1，则d z = ——— 。
【试题答案及评分标准】y x x x y y ()d ()111+++-ln()d 1+x y 10分【090311】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【试题内容】设u x y z x y z(,,)=⎛⎝ ⎫⎭⎪，则)3,2,1(d u = ——— 。
【试题答案及评分标准】38316182d d ln d x y z -- （10分） 【090312】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设f x y z xy z (,,)ln()=+，则d (,,)f 120= ——— 。
【试题答案及评分标准】d d d x y z ++1212（10分） 【090313】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u x y x x y (,)ln()=++22，则d u = ——— 。
【试题答案及评分标准】12222x yx y x x yy ++++(d d ) 10分【090314】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设z xyex y=+，则d z = ——— 。
【试题答案及评分标准】[]ey x x x y y x y++++()d ()d 11（10分）【090315】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u x y x yx y(,)=+-，则d u = ——— 。
【试题答案及评分标准】22(d d )()-+-y x x y x y （10分）【090316】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u xy xy =+cosh()cos()，则d u = ——— 。
【试题答案及评分标准】[]sinh()sin()(d d )xy xy y x x y -+ （10分）【090317】【填空题】【较易0.3】全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u xy x y =--ln()tanh()，则d u = ——— 。
【试题答案及评分标准】111122x x y x y x y y --⎛⎝⎫⎭⎪++-⎛⎝ ⎫⎭⎪cosh ()d cosh ()d （10分） 【090318】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设z ee xyxy =-cos ，则d z = ——— 。
【试题答案及评分标准】e e y x x y xyxy(sin )(d d )1++（10分）【090319】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【试题内容】研究函数z x y x y x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪2424242000在点（0，0）处的全微分是否存在？【试题答案及评分标准】∂∂z xf x f xx (,)lim(,)(,)0000000=-=→∆∆∆∂∂z yf y f yy (,)lim(,)(,)0000000=-=→∆∆∆（3分）∆∆∆∆∆z z x x z yy x yx y -+⎛⎝⎫⎭⎪=+∂∂∂∂(,)(,)d d ()()()0000242（5分）lim()()()()()∆∆∆∆∆∆∆∆x y x y x y x y →→+⎡⎣⎢⎤⎦⎥+0024222取∆∆x y =， 上式=[]lim()()()∆∆∆∆∆x x x x x→+=±≠0342212故函数z x y (,)在点（0，0）处不可微。
函数在（0，0）点全微分不存在。
（10分） 【090320】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】讨论：函数f x y x y (,)=+22在点（0，0）处是否可微？【试题答案及评分标准】lim (,)(,)lim ∆∆∆∆∆∆x x f x f xx x →→-=00000不存在（5分）f x (,)00不存在，故函数f x y x y (,)=+22在点（0，0）处不可微。
（10分）【090321】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【试题内容】设f x y x xy (,)sin =+，试研究（0，0）处的全微分是否存在？【试题答案及评分标准】因limx x x→0不存在，即f x (,)00不存在8分故f x y (,)在（0，0）全微分不存在。
10分【090322】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】【试题内容】讨论函数f x y x y x yx y x y (,)sin ,=+++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪22222222100在点（0，0）处的连续性，可导性和可微性。
【试题答案及评分标准】lim (,)lim sin(,)x y x y f x y x y x yf →→→→=++==000022221000 f x y (,)在点（0，0）连续（3分）lim(,)(,)lim sin ()∆∆∆∆∆∆∆x x f x f x x x x →→+-=00200001 极限不存在，f x y (,)在（0，0）处不可导（7分）从而在（0，0）处不可微。
（10分）【090323】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】【试题内容】函数f x y xy x y x y x y (,),=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪22222200在点（0，0）的两个偏导数是否存在？在点（0，0）是否可微？为什么？【试题答案及评分标准】f f x f x xx x x (,)lim(,)(,)lim 0000000000=-=-=→→ f y (,)000=，故f 在（0，0）的两个偏导数存在。