重庆市名校联盟2020届高三“二诊”模拟考试理科数学试卷及答案2020.4
经典重庆市名校联盟高2020届“二诊”模拟理数(A卷)答案
理科数学参考答案（A 卷）17．（1）设数列{}n a 的公差为d ， 则由已知得112572149a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得，11a =，2d =，所以1(1)21n a a n d n =+-=-.（2）2122n n n n a n b -==， 所以135212482n nn T -=++++L ， 1113523212481622n n n n n T +--=+++⋯++， 两式相减得11111111212224822n n n n T -+-=+++++-L ，故212123333222n n n nn n T --+=--=-<. 18．（1）因为//EF 平面ABD ，得EF ⊂平面ABC ， 平面ABC I 平面=ABD AB ， 所以//EF AB ，又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 所以点F 为AC 的中点， 由AFAC λ=，得1=2λ； （2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点， 所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，又=AE DE E ⋂，AE ⊂平面AED ，DE ⊂平面AED ，所以BC ⊥平面AED ， 又BC ⊂平面BCD ， 所以平面BCD ⊥平面AED . 19．（1）由已知，单只海产品质量~(280,25)N ξ，则280,μ=5σ=， 由正态分布的对称性可知，11(265)[1(265295)][1(33)]22P P P ξξμσξμσ<=-<<=--<<+1(10.9974)0.00132=-=， 设购买10只该商家海产品，其中质量小于265g 的为X 只，故~(10,0.0013)X B ， 故10(1)1(0)1(10.0013)10.98710.0129P X P X ≥=-==--≈-=，所以随机购买10只该商家的海产品，至少买到一只质量小于265克的概率为0.0129． （2）由 6.8,t =563,y =()()81108.8,ii i tty y =--=∑()8211.6i i t t =-=∑，有()()()81821108.8ˆ681.6ii i i i tty y bt t ==--===-∑∑， 且ˆˆ56368 6.8100.6ay bt =-=-⨯=， 所以y 关于x的回归方程为ˆ100.6y=+ 当49x =时，年销售量y的预报值ˆ100.6576.6y=+=千元． 所以预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量为576.6千元． 20． （1）()()211ln 2F x ax a x x =+--， ()()()()'11110ax x F x ax a x x x-+=+--=>， ①当0a ≤时，()'0F x <，所以()F x 在(0,)+∞上单调递减；①当0a >时，由()'0F x <，得10x a <<，由()'0F x >，得1x a>， 所以()F x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1(,)a+∞上单调递增. （2）不等式()()h x f x ≥对任意0()x ∈+∞恒成立，即1ln x mxe x x -≥+恒成立， 因为0x >，所以ln 1xx x m xe++≥ 令()ln 1xx x G x xe ++=()()()'21ln xx x x G x x e +--=令()ln p x x x =--，()'110p x x=--<， 故()p x 在(0,)+∞上单调递减，且1110p e e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()110p =-<，故存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()000ln 0P x x x =--=，即00ln 0x x +=即00xx e -=，当()00,x x ∈时，()0p x >，()0G x '>；当0(,)x x ∈+∞，()0p x <，()0G x '<；所以()()000ax 0m 000ln 111x x x x x G x G x x e e e -++====，故实数m 的取值范围是m 1≥. 21．（1）(1,1)A -，故(1,1)B -，设(),P x y ，故2211111113PA PBy y y k k x x x -+-⋅=⋅==-+--. 整理得到：223144x y +=，1x ≠±.（2）设()00,P x y ，则P 到直线AB的距离为d =故0012PAB S AB d x y ∆=⋅=+；0011AP y k x -=+，故直线PA ：()001111y y x x -=+++，取3x =得到()00413,11y M x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， 同理可得：()00213,11y N x +⎛⎫- ⎪-⎝⎭，故()()2000000020004121226611111y y x x y y x MN x x x -+⎡⎤⎡⎤+--=+--=⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦， 故()20000002022661321PMNx x y y x S x x ∆+--=--， 故()2000000002022661321x x y y x x x y x +---=+-，整理得到()220031x x -=-，故053x =.故存在点5,39P ⎛ ⎝⎭或5,39P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭满足条件.22．（1）如图所示：设弧»AB 上任意一点()1,M ρθ因为ABCD 是边长为2的正方形，AB 所在的圆与原点相切，其半径为1， 所以132sin ,44ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭所以1C 的极坐标方程为132sin ,44ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭； 同理可得：2C 的极坐标方程为2352cos ,44ππρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭； 3C 的极坐标方程为3572sin ,44ππρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭； 4C 的极坐标方程为42cos ρθ=，04πθ≤≤（或724πθπ≤≤）（2）因为直线l 的参数方程为22x ty t λ=+⎧⎨=+⎩所以消去t 得()22y x λ=+-，过定点P ()2,2，1C 直角坐标方程为()2211x y +-=如图所示：13PQ k =因为直线l 与曲线1C 有两个不同交点,M N ， 所以103λ<≤因为直线l的标准参数方程为22x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入1C 直角坐标方程()2211x y +-=得240t ++=12124t t t t +=⋅=1212t tP M PN t t+=+==+====令131[,)272λμ+=∈所以21211015[,)255494mλ⎛⎫=-+∈⎪+⎝⎭所以PM PN+∈所以PM PN+的取值范围是(4,]523．（1）12122()()333a ba ba b a b b a+=++=+++=+…“b=”时取等号，故12a b+的最小值为3+；（2）222222222412)155ab b ab b ab bb ba b ab ba+++===++++++„当且仅当1,2a b=时取等号，此时1a b+≠．故2221ab ba b+<++．。
重庆2020届高三调研测试数学(理)试题Word版含答案及解析
重庆2020届高三调研测试数学（理）试题满分150分。
考试时间120分钟★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。
务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，贴好考号条形码或将考号对应数字涂黑。
用2B铅笔将试卷类型A填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．非选择答题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的清洁。
考试结束后，监考人员将答题卡和试卷一并收回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. 1 D.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.3.设，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.4.设等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为20，则（）A. 127B. 64C. 63D. 325.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，且，则C. 若，，且，，则D. 若直线与平面所成角相等，则6.函数的图像大致为（）A. B.C. D.7.运行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 128.设函数的一条对称轴为直线，将曲线向右平移个单位后得到曲线，则在下列区间中，函数为增函数的是（）A. B.C. D.9.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）A. B. C. D.10.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为（ ）A. 9B. 7C. 6D. 5 11.已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，，三棱锥的体积为4，则球的表面积为（ ）A.B.C.D.12.已知是函数（其中常数）图像上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最小值为（ ） A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.若实数x ，y 满足00320x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-+的最小值为______.14.住在狗熊岭的7只动物，它们分别是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，萝卜头，图图.为了更好的保护森林，它们要选出2只动物作为组长，则熊大，熊二至少一只被选为组长的概率为______.15.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若23S =，()*11n n a S n N +=+∈，则通项公式n a =______.16.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点为1F 、2F ，过1F的直线l 与C 的一条渐近线在第一象限相交于A 点，若21AF AF ⊥，则该双曲线的离心率为______.三、解答题：共70分。
重庆市名校联盟高2020届“二诊”模拟理数(含解析)
试卷类型：B重庆市名校联盟高2020级“二诊”模拟考试理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．设集合{|{|19}A x y B x x ===<≤，则=A ．(1,3)B ．(3,9)C ．[3,9]D ．∅2．设43z i =-，则在复平面内1z对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-4．小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，小方：“我得第一名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我得第一名”．已知他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一名．根据以上信息可以判断出得第一名的人是A ．小明B ．小马C ．小红D ．小方()B A C R I5．设点O 在ABC ∆的内部,且有()32AB OB OC =+u u u v u u u v u u u v,则ABC ∆的面积与BOC ∆的面积之比为A ．3B ．13C ．2D ．126．《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱） A ．乙分8两，丙分8两，丁分8两B ．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C ．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D ．乙分9两，丙分8两，丁分7两7．设实数1a -=⎰，则6212ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 A ．352π-B ．320π-C ．41516πD ．415π8．在直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与圆22:4O x y +=交于第一象限内的点P ，点P 的纵坐标为23，把射线OP 顺时针旋转3π，到达射线OQ ，Q 点在圆O 上，则Q 的横坐标是A ．6B ．6C ．3D ．39．下图是一个算法的程序框图，如果输入0i =，0S =，那么输出的结果为A ．23B ．34C ．45D ．5610．设函数()f x 是定义在(1,)-+∞上的连续函数，且在0x =处存在导数，若函数()f x 及其导函数()f x '满足()f x '()()ln(1)1f x fx x x x +-¢=+，则函数()f x ( ) A ．既有极大值又有极小值 B ．有极大值 ，无极小值 C ．有极小值，无极大值D ．既无极大值也无极小值11．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作渐近线的垂线，设垂足为P （P 为第一象限的点），延长FP 交抛物线22(0)y px p =>于点Q ，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若1()2OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r，则双曲线的离心率的平方为A ．5B ．5 C ．51+ D ．51+ 12．奔驰定理：已知O 是ABC ∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=ru u u v u u u v u u u v ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则必有A ．sin sin sin 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅=ru u u v u u u v u u u vB ．cos cos cos 0A OA B OBC OC ⋅+⋅+⋅=u u u v u u u v u u u v vC ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=ru u u v u u u v u u u vD ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=ru u u v u u u v u u u v二、填空题微博橙子辅导（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知实数x ，y 满足22020220x y x y x y --≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为________．14．已知等差数列{}n a 和等差数列{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且()*3221nn S n n N T n +=∈-，则33a b =______. 15．长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____． 16．定义函数{}12()min (),()f x f x f x =，表示函数1()f x 与2()f x 较小的函数．设函数1()2x f x =，2()32x pf x -=⋅，p 为正实数，若关于x 的方程()3f x =恰有三个不同的解，则这三个解分别是________．三、解答题微博橙子辅导（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分12分)在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()222(2)2cos a c a b c abc C --+=.（1）求角B 的大小；（2）若3sin 13cos 02A C ⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎭，求ba 的值.18．(本小题满分12分)如图1所示，在等腰梯形ABCD 中， ,3,15,33BE AD BC AD BE ⊥===.把ABE ∆沿BE 折起，使得62AC =，得到四棱锥A BCDE -.如图2所示.（1）求证：面ACE ⊥面ABD ；（2）求平面ABE 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值.19．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，1F 、2F 为椭圆的左、右焦点，21,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆上一点，且132||2PF =. （1）求椭圆的标准方程；ABC ∆（2）设直线:2l x =-，过点2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M 、N 两点，当MAN ∠最小时，求直线AB 的方程.20．(本小题满分12分) 已知函数()ln 1x f x x+=. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）证明：()()2*222ln 2ln 3ln 21,22341n n n n N n n n --++⋅⋅⋅+<∈≥+. 21．(本小题满分12分)手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i ）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A 级；（ii ）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B 级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C 级；（iii ）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D 级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为13，且各手工艺品质量是否过关相互独立. （1）求一件手工艺品质量为B 级的概率；（2）若一件手工艺品质量为A ,B ,C 级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D 级不能外销，利润记为100元.①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件； ①记1件手工艺品的利润为X 元，求X 的分布列与期望.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所微博橙子辅导做的第一个题目计分． 22．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221121t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.点()00,p x y 在曲线C 上，点(,)Q m n满足002m x n =⎧⎪⎨=⎪⎩. （1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点Q 的轨迹1C 的极坐标方程；（2）点A ，B 分别是曲线1C 上第一象限，第二象限上两点，且满足2AOB π∠=，求2211||||OA OB +的值.23．(本小题满分10分) 设函数()211f x x x =-++. （1）求不等式()4f x ≥的解集；（2）记函数()f x 的最小值为t ，若,,a b c 为正实数，且a b c t ++=，求222a b c ++的最小值.理科数学参考答案（B卷）17．（1）①角,,A B C的对边分别为,,a b c，且()()22222cosa c abc abc C--+=①()()2222cos2a c a c bb Cac-+-=，①()2cos cosa c Bb C-=①cos2cosb Ba c C=-，①由正弦定理得：2sin sin sina b cRA B C===，①2sina R A=，2sinb R B=，2sinc R C=，①2sin cos4sin2sin cosR B BR A R C C=-，①2sin cos sin cos sin cosA B C B B C-=，①2sin cos sin cos cos sinA B C B C B=+()sin sinC B A=+=，①sin0A≠，①1cos2B=①()000,180B∈，①060B=.（2）①sin1cos0A C+=⎭，①3sin102A C+-=，①1sin2A C-=，①060B=，①0018060C A=--，①0120C A=-，①()1sin1202A A-=，①)001sin cos120cos sin120sin2A A A+=①131sin cos sin222A A A⎛⎫--=⎪⎝⎭p p=11sin 22A A -=①()1cos 302A +=①000120A <<，①0003030150A <+<①030A =①由正弦定理得：sin sin a bA B=，060B =，030A =，①0sin sin6021sin sin302b B a A ==== 18．（1）证明：在等腰梯形ABCD 中3,15,BC AD BE AD ==⊥，可知6,9AE DE ==.因为3,BC BE BE AD ==⊥，可得6CE =.又因为6,AE AC ==222AC CE AE =+，则AE EC ⊥.又,BE AE BE EC E ⊥⋂=，可得AE ⊥面BCDE ，故AE BD ⊥.又因为tan DE DBE BE ∠===，则060DBE ∠=，tan 3BC BEC BE ∠===，则030BEC ∠=，所以CE BD ⊥， 又AE EC E ⋂=，所以BD ⊥面ACE ，又BD ⊂面ABD ，所以面ABD ⊥面ACE ； （2）设EC BD O ⋂=，过点O 作//OF AE 交AC 于点F ，以点O 为原点，以,,OB OC OF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O BCF -.在BCE ∆中，①030BEO ∠=， BO EO ⊥，①93,,22EO CO BO ===，则39,0,,0,0,,0222B C E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ①1//,,62FO AE FO AE AE ==， ①3FO =，则()90,0,3,0,,62F A ⎛⎫-⎪⎝⎭， ①//,9DE BC DE =，①3ED BC =u u u r u u u r ，①D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，①()()93,0,0,0,6,0,6,6,,02222BE AE CA CD ⎛⎫⎛⎫===-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，设平面ABE 的法向量为()1111,,n x y z =u r，由11·0{·0n AE n BE ==u r u u u r u r u u u r，得11160902z x y =+=，取1x ABE的法向量为)11,0n =-u r，设平面ACD 的一个法向量为()2222,,n x y z =u u r，由22·0{·0n CA n CD ==u u r u u u r u u r u u u r，得1111660{302y z x y -+=-=，取11x =，可得平面ABE的一个法向量为(21,n =--u u r . 设平面ABE 与平面ACD 所成锐二面角为θ，则1212·cos n n n n θ===u r u u r u r u u r 所以平面ABE 与平面ACD. 19．（1）设椭圆的左焦点1(,0)(0)F c c ->，则1PF ==，解得1c =，所以2||PF =，则由椭圆定义122PF PF a +==①2a =，1b = 故椭圆的标准方程为2212x y +=. （2）由题意直线AB 的斜率必定不为零，于是可设直线:1AB x ty =+， 联立方程22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210t y ty ++-=， ①直线AB 交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y ，①()()222442810t t t ∆=++=+> 由韦达定理12222t y y t -+=+，12212y y t =-+ 则22N t y t =-+，①22221122N N t x ty t t =+=-+=++①MN AB ⊥，①MN k t =-，①222226||222t MN t t +=--=++又121||||2AN AB y y ==-=①23||tan 4||t MN MAN AN +⎫∠===≥==即1t =±时取等号.此时直线AB 的方程为10x y +-=或10x y --=.20． （1）①函数()ln 1x f x x+=，①0x >，则()2ln 'x f x x =-， 由()'0f x =，得1x =，列表如下：因此增区间为()0,1，减区间为()1,+∞，极大值为()11f =，无极小值.（2）证明：由（1）可得()()()max ln 111x f x f x f x+=≤==， ①ln 11x x x≤-，当且仅当1x =时取等号. 令()2*,2x nn N n =∈≥，①222ln 11n n n<-，①()()22ln 1111111111222121n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<-<-=-+≥⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ①222ln 2ln 3ln 23n n ++⋅⋅⋅+11111111111122323421n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ()()2*111211,221241n n n n N n n n --⎛⎫-+-=∈≥ ⎪++⎝⎭=. 21．（1）一件手工艺品质量为B 级的概率为122311116C (1)(1)33381⨯⨯-⨯-=. （2）①由题意可得一件手工艺品质量为D 级的概率为2233331117C ()(1)C ()33327⨯⨯-+⨯=， 设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是ξ件，则7~(10,)27B ξ， 则1010720()C ()()2727k k k P k ξ-==,119101010720C ()()(1)7072727720()2020C ()()2727k k k k k k P k k P k k ξξ++--=+-===+. 由70712020k k ->+得5027k <，所以当1k =时，(2)1(1)P P ξξ=>=，即(2)(1)P P ξξ=>=， 由70712020k k -<+得5027k >，所以当2k ≥时，(1)()P k P k ξξ=+<=， 所以当2k =时，()P k ξ=最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.①由上可得一件手工艺品质量为A 级的概率为318(1)327-=，一件手工艺品质量为B 级的概率为1681， 一件手工艺品质量为C 级的概率为1212321111120C (1)[C (1)()]3333381⨯⨯-⨯⨯⨯-+=， 一件手工艺品质量为D 级的概率为727， 所以X 的分布列为则期望为81620713100()9006003001002781812727E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 22． （1）222222212111t t x y t t ⎛⎫-⎛⎫+=+=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， ①(]2211,11t t-∈-+，①1x ≠-，①221(1)x y x +=≠-， 由题可知：002m x n =⎧⎪⎨=⎪⎩022021(2)43m x m n m y ⎧=⎪⎪⇒⇒+=≠-⎨⎪=⎪⎩， 1C ：22223cos 4sin 12ρθρθ+=（πθπ-<<）.（2）因为222123cos 4sin ρθθ=+， 设()11,A ρθ，21,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则2211213cos 4sin 112θθρ+=， 2211223cos 4sin 12212ππθθρ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=22113sin 4cos 12θθ+=， 22221211117||||12OA OB ρρ+=+=.23．（1）原不等式等价于：1314x x ≤-⎧⎨-+≥⎩或1134x x -<<⎧⎨-+≥⎩或1314x x ≥⎧⎨-≥⎩， 解得1x ≤-或53x ≥， 所以不等式()4f x ≥的解集是5(,1][,)3-∞-⋃+∞.（2）由（1）函数()f x 的最小值为2，所以2t =，所以2a b c t ++==，所以()()222234a b c a b c ++⨯≥++=， 所以22243a b c ++≥，当且仅当23a b c ===时，取等号. 所以222a b c ++的最小值是43.。
重庆市名校联盟高2020届“二诊”模拟理数(A卷)答案
理科数学参考答案（A 卷）17．（1）设数列{}n a 的公差为d ，则由已知得112572149a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得，11a =，2d =，所以1(1)21n a a n d n =+-=-.（2）2122n n n n a n b -==， 所以135212482n n n T -=++++L ， 1113523212481622n n n n n T +--=+++⋯++， 两式相减得11111111212224822n n n n T -+-=+++++-L ， 故212123333222n n n nn n T --+=--=-<. 18．（1）因为//EF 平面ABD ，得EF ⊂平面ABC ， 平面ABC I 平面=ABD AB ，所以//EF AB ，又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 所以点F 为AC 的中点， 由AFAC λ=，得1=2λ； （2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点， 所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，又=AE DE E ⋂，AE ⊂平面AED ，DE ⊂平面AED ， 所以BC ⊥平面AED ， 又BC ⊂平面BCD ， 所以平面BCD ⊥平面AED . 19．（1）由已知，单只海产品质量~(280,25)N ξ，则280,μ=5σ=， 由正态分布的对称性可知，11(265)[1(265295)][1(33)]22P P P ξξμσξμσ<=-<<=--<<+1(10.9974)0.00132=-=， 设购买10只该商家海产品，其中质量小于265g 的为X 只，故~(10,0.0013)X B ， 故10(1)1(0)1(10.0013)10.98710.0129P X P X ≥=-==--≈-=，所以随机购买10只该商家的海产品，至少买到一只质量小于265克的概率为0.0129．（2）由 6.8,t =563,y =()()81108.8,ii i tty y =--=∑()8211.6i i t t =-=∑，有()()()81821108.8ˆ681.6ii i i i tty y btt==--===-∑∑， 且ˆˆ56368 6.8100.6ay bt =-=-⨯=， 所以y 关于x的回归方程为ˆ100.6y=+ 当49x =时，年销售量y的预报值ˆ100.6576.6y=+=千元． 所以预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量为576.6千元． 20． （1）()()211ln 2F x ax a x x =+--， ()()()()'11110ax x F x ax a x x x-+=+--=>， ①当0a ≤时，()'0F x <，所以()F x 在(0,)+∞上单调递减；①当0a >时，由()'0F x <，得10x a <<，由()'0F x >，得1x a>， 所以()F x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1(,)a+∞上单调递增. （2）不等式()()h x f x ≥对任意0()x ∈+∞恒成立，即1ln x mxe x x -≥+恒成立，因为0x >，所以ln 1xx x m xe ++≥令()ln 1xx x G x xe ++=()()()'21ln xx x x G x x e +--=令()ln p x x x =--，()'110p x x=--<， 故()p x 在(0,)+∞上单调递减，且1110p e e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()110p =-<，故存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()000ln 0P x x x =--=，即00ln 0x x +=即00xx e -=，当()00,x x ∈时，()0p x >，()0G x '>；当0(,)x x ∈+∞，()0p x <，()0G x '<；所以()()000ax 0m 000ln 111x x x x x G x G x x e e e-++====， 故实数m 的取值范围是m 1≥. 21．（1）(1,1)A -，故(1,1)B -，设(),P x y ，故2211111113PA PBy y y k k x x x -+-⋅=⋅==-+--. 整理得到：223144x y +=，1x ≠±.（2）设()00,P x y ，则P 到直线AB的距离为d =，故0012PAB S AB d x y ∆=⋅=+；0011AP y k x -=+，故直线PA ：()001111y y x x -=+++，取3x =得到()00413,11y M x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， 同理可得：()00213,11y N x +⎛⎫- ⎪-⎝⎭， 故()()2000000020004121226611111y y x x y y x MN x x x -+⎡⎤⎡⎤+--=+--=⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦， 故()20000002022661321PMNx x y y x S x x ∆+--=--， 故()2000000002022661321x x y y x x x y x +---=+-，整理得到()220031x x -=-，故053x =.故存在点5,39P ⎛ ⎝⎭或5,39P ⎛- ⎝⎭满足条件.22．（1）如图所示：设弧»AB 上任意一点()1,M ρθ因为ABCD 是边长为2的正方形，AB 所在的圆与原点相切，其半径为1，所以132sin ,44ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭所以1C 的极坐标方程为132sin ,44ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭； 同理可得：2C 的极坐标方程为2352cos ,44ππρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭； 3C 的极坐标方程为3572sin ,44ππρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭；4C 的极坐标方程为42cos ρθ=，04πθ≤≤（或724πθπ≤≤） （2）因为直线l 的参数方程为22x ty tλ=+⎧⎨=+⎩所以消去t 得()22y x λ=+-，过定点P ()2,2，1C 直角坐标方程为()2211x y +-=如图所示：13PQ k =因为直线l 与曲线1C 有两个不同交点,M N ，所以103λ<≤因为直线l的标准参数方程为22x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入1C 直角坐标方程()2211x y +-=得240t ++=12124t t t t +=⋅=1212t t P M PN t t +=+==+====令131[,)272λμ+=∈ 所以21211015[,)255494m λ⎛⎫=-+∈ ⎪+⎝⎭所以(4,5PM PN +∈所以PM PN +的取值范围是 23．（1）12122()()333a b a b a b a b b a +=++=+++=+…“b =”时取等号，故12a b+的最小值为3+ （2）222222222412)155ab bab b ab b b b a b ab b a +++===++++++„，当且仅当1,2a b ==时取等号，此时1a b +≠．故2221ab b a b +<++．。
2020高三数学联合诊断性考试理科
xx 届重庆市高三联合诊断性考试第二次理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分.）1．集合},02|{},,01|{22R x x x x B R x x x A ∈>-+=∈>-=集合，则A 、B 满足的关系是（ ）A ．A ≠⊂BB ．B ≠⊂AC ．A=BD ．A ⊆B 或B ⊆A 2．已知x x f 26log )(=，则)8(f 等于 （ ）A ．21B ．34 C ．8D ．183．设)(x f 是定义在R 上的最小正周期为π35的函数，⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=),0[cos )0,32[sin )(ππx xx xx f ，则)316(π-f 的值为（ ）A ．－21 B ．21 C ．23-D ．23 4．函数)01(11)(2≤≤---=x x x f ，则函数)(1x f y -=的图象是（ ）5．设公比为q （|q|<1）的等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，且n n S p ∞→=lim .则下列命题正确的是（ ）A ．1-⋅=n n q p aB ．)1(n n q p a -=C ．)1(n n q p S -=D ．qq p S nn --=1)1(6．设a 、b 是不共线的两个非零向量，已知.2,,2b a CD b a BC b p a AB -=+=+=若A 、B 、D 三点共线，则p 的值为（ ）A ．1B ．2C ．－2D ．－17．在7)1(+ax 的展开式中，x 3项的系数是x 2项系数与x 5项系数的等比中项，则a 值为（ ）A ．510B ．925C ．35 D ．3258．平面M 、N 都垂直于平面γ，且M ∩γ=a ，N ∩γ=b.给出四个命题：①若b a ⊥，则M ⊥N ；②若a //b ，则M//N ；③若M ⊥N ，则b a ⊥；④若M//N ，则a //b.以上命题中，正确命题的个数为 （ ）A ．4B ．3C ．2D ．19．计算21lim 231--+-→x x x x 的值为（ ）A ．31 B ．0C ．－31 D ．91-10．球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这三个点的小圆的周长为4π.那么这个球的半径为 （ ）A ．34B ．32C ．2D ．411．已知椭圆E 的离心率为e ，两焦点为F 1，F 2.抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点.P 为两曲线的一个交点.若e e PF PF 则.||||21=的值为（ ）A ．33 B ．23C ．22D ．3612．某火车站在节日期间的某个时刻候车旅客达到高峰，此时旅客还在按一定的流量到达.如果只打开三个检票口，需要半小时才能使所有滞留旅客通过检票口，如果打开六个检票口则只需10分钟就能让所有滞留旅客通过.现要求在5分钟内使所有滞留旅客通过，则至少同时需要打开的检票口数为（假设每个窗口单位时间内的通过量相等）（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分，只填结果，不要过程）.13．已知|163|,12++-+=z z z i z 则= . 14．设P 是等轴双曲线)0(222>=-a a y x 右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若0212=⋅F F PF ， |PF 1|=6，则该双曲线的方程为 . 15．已知向量)2sin 5,2cos2(BA B A +-=的模为B A tan tan ,223⋅则的值为 . 16．定义一种“x ”运算：对于*N n ∈满足以下运算性质，（1）2x2=1；（2）（2n+2）x2=3（2nx2）.则用含n 的代数式表示2nx2为 . 三、解答题：（本大题6个小题，共74分，必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤）. 17．（12分）已知函数54)(23+++=bx ax x x f 的图象在x =1处的切线方程为.12x y -=（1）求函数)(x f 的解析式； （2）求函数)(x f 在[－3，1]上的最值.18．（12分）已知函数),(23cos cos sin 3)(2R x R x x x x f ∈∈+-⋅=ωωωω的最小正周期为π，且图象关于直线6π=x 对称.（1）求)(x f 的解析式；（2）若函数)(1x f y -=的图象与直线y=a 在[0，2π]上只有一个交点，求实数a 的取值范围.19．（12分）在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//CB ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=6，BC=3，DC=6，A是P 1D 的中点，沿AB 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置，使二面角P —CD —B 成45°角.设E、F分别是线段AB、PD的中点.（1）求证：AF//平面PEC；（2）求PC与底面所成角的正弦值.20．（12分）设事件A发生的概率为P，若在A发生的条件下发生B的概率为P′，则由A 产生B的概率为P·P′.根据这一事实解答下题.一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0、1、2、……、100，共101站，一枚棋子开始在第0站（即P0=1），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次.若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站.直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束.已知硬币出现正、反面的概率相同，设棋子跳到第n 站时的概率为P n .（1）求P 1，P 2，P 3；（2）设)1001(1≤≤-=-n P P a n n n ，求证：数列{}n a 是等比数列； （3）求玩该游戏获胜的概率.21．（12分）已知两个动点A 、B 和一个定点M ),(00y x 均在抛物线)0(22>=p px y 上.设F 为抛物线的焦点，Q 为对称轴上一点，若|||,||,|,0)21(且=⋅+成等差数列.（1）求的坐标；（2）若||=3，||,2||AB FM 求=的取值范围.22．（14分）已知)].([)(,*2),()(,2)(1123x g f x g N n n x f x g ax x x f n n -=∈≥=-=时且当 （1）若1)1(=f 且对任意*N n ∈，都有,)(00x x g n =求所有x 0组成的集合； （2）若3)1(>f ，是否存在区间A ，对*N n ∈，当且仅当A x ∈时，就有,0)(<x g n如果存在，求出这样的区间A，如果不存在，说明理由.数学试题（理科）评分标准及参考答案一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）BACBC DBADB AC二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）13．2； 14．422=-y x ； 15．91； 16．3n —1 三、解答题：（本大题6个小题，共74分）17．（12分）解：（1）∵1)(,212)(2==++='x x f y b ax x x f 在而处的切线方程为x y 12-=，…………2分∴.18,312541221212)1()1(12-=-=⇒⎩⎨⎧-=+++-=++⇒⎩⎨⎧-='=-=b a b a b a f f k …………5分故，.51834)(23+--=x x x x f …………6分 （2）∵)32)(1(618612)(2-+=--='x x x x x f 令,0)(='x f 解得驻点为 .23,121=-=x x …………7分 那么)(x f 的增减性及极值如下： ………………9分∵驻点11-=x 属于[－3，1]，且,12)1(,76)3(,16)1(-=-=-=-f f f 又…………11分 ∴)(x f 在[－3，1]上的最小值为－76，最大值为16.…………12分 18．（12分）解：（1）∵23cos cos sin 32+-⋅x x x ωωω =23)2cos 1(212sin 23++-x x ωω…………2分 =1)62sin(+-πωx ………………3分由f (x )的周期为,1|2|2,±=⇒=∴ωπωππ……4分 ∴1)62sin()(+-±=πx x f ………………5分1）当16sin)6(,1)62sin()(,1+=+-==πππωf x x f Θ时不是最大或最小值，其图象不x（－∞，－1）－1 （－1，3/2）3/2 （3/2，+∞）)(x f '的符号+ 0 － 0 + f(x)增减性递增极大值16递减极小值－61/4递增关于6π=x 对称，舍去.……………………………………………6分2）当012sin )6(,1)62sin()(,1=+-=++-=-=πππωf x x f Θ时是最小值，其图象关于6π=x 对称.………………………7分故，)62sin(1)(π+-=x x f 为所求解析式.…………………………………………8分（2）∵)62sin()(1π+=-=x x f y 在同一坐标系中作出)62sin(π+=x y 和y=a 的图象：……………………………………10分 由图可知，直线y=a 在1)21,21[=-∈a a 或时，两曲线只有一个交点， ∴.1)21,21[=-∈a a 或……………………12分 19．（12分）解法一：设PC 中点为G ，连FG.……1分∵FG//CD//AE ，且GF=AE CD =21∴AEGF 是平行四 边形，……2分∴AF//EG ，EG ⊂平面PEC ，∴AF//平面PEC.…………4分 （2）连接AC. ∵BA ⊥AD ，BA ⊥AP 1， ∴BA ⊥AD ，BA ⊥AP …………5分∴BA ⊥平面PAD …………①…………6分 又CD//BA ，∴CD ⊥PD ，CD ⊥AD ，∴∠PDA 是二面角P —CD —B 的平面角， ∴∠PDA=45°.…………8分又PA=AD=3，∴△PAD 是等腰直角三角形， ∴PA ⊥AD …………②…………9分由①、② ∴PA ⊥平面ABCD ，∴AC 是PC 在底面上的射影.…………10分 ∵PA=3，1563222=+=+=DC AD AC ，∴623152=+=PC ， 则46623sin ==∠PCA ，∴PC 与底面所成角的正弦值为.46…………12分 解法二：（1）设线段PC 的中点为G ，连结EG.…………1分 ∵)(2121CP DC BC DP BC DF AD AF ++=+=+= =EG CG EC CG BC EB CG AB BC =+=++=++21…………2分∴AF//EG ，又EG ⊂平面PEC ，AF ⊆平面PEC ，…………3分∴AF//平面PEC.…………4分（2）∵BA ⊥P 1D ，∴BA ⊥平面PAD …………①………………6分又CD//BA ，∴CD ⊥PD ，CD ⊥AD ，∴∠PDA 是二面角P —CD —B 的平面角，∠PDA=45°.………8分 又PA=AD=3，∴△PAD 是等腰直角三角形，∴PA ⊥AD …② 由①、② ∴PA ⊥平面ABCD ，………………9分设PA 与PC 所成的角为)20(πθθ≤< 则PC 与平面ABCD 所成的角为.2θπ-……10分 ∵又知,-+=-=、、两两互相垂直， 且.6993)(cos 6||,3||||++-+==⇒===AP AB AD PA AB AD AP θ4666=⋅=APAP ………………11分 故知PC 与底面所成角的正弦值为46.………………12分 20．（12分）解：（1）∵P 0=1，∴.852*******,43212121,21321=⨯+⨯==+⨯==P P P ……3分 （2）棋子跳到第n 站，必是从第n －1站或第n －2站跳来的)1002(≤≤n ，所以212121--+=n n n P P P ………………5分 ∴)(212121212111--------=++-=-n n n n n n n P P P P P P P …………6分 ∴.21),1002(210111-=-=≤≤-=-P P a n a a n n 且…………7分 故{}n a 是公比为21-，首项为21-的等比数列.)1001(≤≤n …………8分 （3）由（2）知，9921a a a +++Λ=(P 1－P 0)+( P 2－P 1)+…+ (P 99－P 98)=992)21()21()21(-++-+-=Λ………………10分 ).211(323)21(11009999099-=⇒-+-=-⇒P P P ………………11分 故，获胜的概率为).211(3210099-=P …………12分21．（12分）解：（1）设.2||,2||,2||),,(),,(2012211p x p x p x y x B y x A +=+=+=则…1分 由|||,|,||FA 成等差数列，有.2)2()2()2(2210210x x x p x p x p x +=⇒+++=+…………2分 ∵,2,2222121px y px y ==两式相减，得.2212121y y p x x y y k AB +=--=…………3分 设AB 的中点为,0)21(),2,(210=⋅++y y x N Θ ∴NQ 是AB 的垂直平分线，设).0,(Q x Q …………4分 ∴.1202,1,0221021021-=+⋅--+-=⋅--+=y y p x x y y k k x x y y k Q AB NQ Q NQ 得由…………5分 ∴,0p x x Q += ∴).0,(0p x Q +…………6分（2）由.2,122,3,2||,3||000==⇒=+=+==p x p x p x 且得……7分 ∴抛物线为)0)(1(2:.42≠-=-=N NN y x y y y AB x y 为又直线…………8分 ∴有.0422)14(2222=-+-⇒-=-N N N N y y y y y y y y ……9分 ∴,16)42(4411||4222N N N ABy y y k -=--⋅+=…………10分 由,0,220≠<<-⇒>∆N N y y 且…………11分 ∴||AB 的取值范围为（0，4）.…………12分22．（14分）解：（1）由.1211)1(=⇒-=⇒=a a f ………………1分∴232)(x x x f -=……2分 当,0)12(2)()(020*********=--⇒=-==x x x x x x x f x g∴.2110000-===x x x 或或…………4分由题设，,)()]([)(000102x x f x g f x g ===……5分 假设00)(x x g k =，……6分 当n=k+1时，,)()]([)(00001x x f x g f x g k k ===+∴1)(00+==k n x x g n 对时也成立.……………………………………8分 ∴当0010)(x x g x =满足时，就有.)(00x x g n =∴所有x 0组成的集合为}.21,1,0{-………………………………………………9分（2）若.132)1(-<⇒>-=a a f …………………………………………10分 令,20)2(,02)()(2231a x a x x ax x x f x g <⇔<-<-==得…………11分 对于.2)(0)]([0)(,211a x g x g f x g n n n n <⇔<⇔<≥--…………12分 ∴若对,0)(*<∈x g N n n 有必须且只须.0)(1<x g …………13分 ∴).2,(a A -∞=…………………………………………14分。
2020届高三第二次模拟考试数学(理科)试题 Word版含解析
2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1.设351i z i i=++，则z =（ ）A. 2B.12C.22D.102【★答案★】C 【解析】 【分析】根据复数运算法则求得1122z i =-+，根据模长的定义求得结果. 【详解】()351111222i i i z i i i i --=+=+=-++ 112442z ∴=+= 本题正确选项：C【点睛】本题考查复数模长的求解问题，关键是能够通过复数的运算求得复数，属于基础题. 2.已知集合{}2670A x x x =--<，{}B x x x ==-，则A B =（ ）A. (]1,0-B. (]7,0-C. [)0,7D. [)0,1【★答案★】A 【解析】 【分析】分别求解出集合A 和集合B ，根据交集的定义求得结果. 【详解】{}()26701,7A x x x =--<=-，{}(],0B x x x ==-=-∞(]1,0A B ∴=-本题正确选项：A【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【★答案★】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除D ；根据()0,1x ∈时，()0f x <，排除,A C ，从而得到正确选项.【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C . 本题正确选项：B【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除. 4.已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A.22B.23C.24D.25【★答案★】C 【解析】 分析】先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出12a b ⋅=，再由向量夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=，所以2||2-=b a ，即2222+-⋅=b a a b ，因此12a b ⋅=， 所以12cos ,422⋅<>===a b a b a b. 故选：C【点睛】本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型.5.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的准线l 与圆22:(1)(2)16M x y -+-=相切，则(p = )A. 6B. 8C. 3D. 4【★答案★】D 【解析】 【分析】根据题意，求出圆的圆心为()1,2和半径为4，以及抛物线的准线方程:2pl y =-，利用直线与圆相切的性质得出242p+=，即可求出p 的值． 【详解】解：由题可知，圆22:(1)(2)16M x y -+-=的圆心为()1,2，半径为4，抛物线2:2(0)C x py p =>的准线:2p l y =-与圆22:(1)(2)16M x y -+-=相切， 则有242p+=，解得：4p =． 故选：D .【点睛】本题考查圆的标准方程和抛物线的简单性质，以及直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A. 8B. 7C. 6D. 4【★答案★】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，得到13123322123132221111a a a a a S a a a a a a a a +++++=+==，结合题中数据，即可得出结果.【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1231112a a a ++=，22a =， 则13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+===,则38S =. 故选A【点睛】本题考查等比数列的性质，熟记等比数列的性质即可，属于常考题型. 7.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（ ）（参考数据：32.09460.8269≈）A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413【★答案★】A 【解析】 【分析】先设圆的半径为r ，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率，即可得出结果. 【详解】设圆的半径为r ，则圆的面积为2r π，正六边形的面积为213336222r r r ⨯⨯⨯=，因而所求该实验的概率为22333320.82692rr ππ==，则33 3.141920.8269π=≈⨯.故选A【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型. 8.已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ） A.π6B.π3C.2π3D.5π6【★答案★】B 【解析】 【分析】先由最小正周期，求出ω，再由对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭恒成立，得到2,3k k Z πϕπ=+∈，进而可得()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求出其单调递减区间，即可得出结果. 【详解】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈， 即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π.故选B【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.9.已知函数||2()2x f x x =+，设21(log )3m f =，0.1(7)n f -=，()4log 25p f =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A. m p n >> B. p n m >>C. p m n >>D. n p m >>【★答案★】C 【解析】 【分析】先由函数奇偶性的概念判断函数()f x 的奇偶性，再得到其单调性，确定21log 3，0.17-，4log 25的范围，即可得出结果.【详解】因为()22xf x x =+，所以()222()2()xxf x x x f x --=+-=+=，因此()22xf x x =+为偶函数，且易知函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又()221log log 31,23=∈，()0.170,1-∈，()42log 25log 52,3=∈， 所以0.1421log 25log 73->>， 因此p m n >>. 故选C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，熟记函数性质即可，属于常考题型.10.已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A. x 2212y -=1B. 22134x y -= C. 221169x y -= D. 221916x y -=【★答案★】D 【解析】 【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可得1||22AF a c =+，再由三角形的余弦定理，可得35c a =，45c b =，即可判断出所求双曲线的可能方程． 【详解】解：由题可知，1212F A F F F A →→→=-+，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，即为2221210F F F F A F F A →→→→⎛⎫+⋅ ⎛⎫-+⎪⎝ ⎭⎪⎭=⎝， 可得21222F AF F →→=，即有221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可知122AF AF a -=， 可得1||22AF a c =+， 由于过F 2的直线斜率为247， 所以在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-， 则217cos 25AF F ∠=-， 由余弦定理得：22221744(22)cos 25222c c a c AF F c c+-+∠=-=，化简得：35c a =， 即35a c =，45b c =， 可得:3:4a b =，22:9:16a b =，所以此双曲线的标准方程可能为：221916x y -=.故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P平面1A BM ，则1C P 的最小值是（ ）A.305 B.2305C. 275D.475【★答案★】B【解析】 【分析】在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD ，根据面面平行的判定定理可知平面1//B QDN 平面1A BM ，从而可得P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）；由垂直关系可知当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值.【详解】如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD//DN BM ，1//DQ A M 且DNDQ D =，1BMA M M =∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值此时，22212512CP ⨯==+ 2212230255C P ⎛⎫∴≥+= ⎪⎝⎭本题正确选项：B【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.12.已知函数()2ln 2xx f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2xg x e x =+-的零点为2x ，函数()ln 2xh x x=的最大值为3x ，则（ ） A. 123x x x >> B. 213x x x >>C. 312x x x >>D. 321x x x >>【★答案★】A 【解析】 【分析】根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ⎛⎫⎛⎫''⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知导函数零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，即()f x 的极值点111,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；根据()g x 单调递增且11024g g ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知211,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得()max 1124h x e =<，即314x <，从而可得三者的大小关系. 【详解】()1x f x e x x'=+-在()0,∞+上单调递增且1213022f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，14115044f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭111,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭且11110x e x x +-= 函数()2xg x e x =+-在()0,∞+上单调递增且1213022g e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，14112044g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭211,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭又()()11111211112220xg x e x x x g x x x ⎛⎫=+-=-+-=->=⎪⎝⎭且()g x 单调递增 12x x ∴> 由()21ln 2x h x x-'=可得：()()max 12h x h e e ==，即31124x e =< 123x x x ∴>>本题正确选项：A【点睛】本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把★答案★填在答题卡中的横线上.13.设x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值是________.【★答案★】0 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线0x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知当:0l x y +=平移到过点(2,2)-时，min 0z =.【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力. 14.某公司对2019年1～4月份的获利情况进行了数据统计，如表所示：利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y 关于x 的线性回归方程为_____【★答案★】0.954y x =+ 【解析】 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，结合已知列关于b 与a 的方程组，求解即可得到y 关于x 的线性回归方程.【详解】解：由已知表格中的数据可得，12342.54x +++==，56 6.5825.544y +++==，∴25.52.54b a =+，① 又11.68b a =+，②联立①②解得：0.95b =，4a =.∴y 关于x 的线性回归方程为0.954y x =+.故★答案★为：0.954y x =+.【点睛】本题考查线性回归方程，直接利用公司计算即可，属于基础题15.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______. 【★答案★】8π. 【解析】 【分析】作出圆柱与其外接球的轴截面，结合题中数据，求出外接球半径，再由球的表面积公式，即可得出结果.【详解】作出圆柱与其外接球的轴截面如下：设圆柱的底面圆半径为r ，则2BC r =，所以轴截面的面积为()224ABCD S r ==正方形，解得1r =，因此，该圆柱的外接球的半径2222222BD R +===， 所以球的表面积为()2428S ππ==.故★答案★8π【点睛】本题主要考查圆柱外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型.16.数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则2019a =______. 【★答案★】1 【解析】 【分析】根据数列构造方法可知：21n a n -=，即()21121n nk k a a k -+=≤<-；根据变化规律可得20192a a =，从而得到结果.【详解】由数列{}n a 的构造方法可知11a =，32a =，73a =，154a =，可得：21n a n -= 即：()21121n nk k a a k -+=≤<-201999648523010340921a a a a a a a a ∴========本题正确结果：1【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求A 的大小； （2）若2a =，π3B =，求ABC ∆的面积.【★答案★】(1) 4A π=.(2) 334ABC S ∆+=【解析】 【分析】（1）先由正弦定理，将2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭化为222bc b c a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合余弦定理，即可求出角A ；（2）先求出sin C ，再由正弦定理求出b ，根据三角形面积公式，即可得出结果.【详解】（1）因为2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：222bc b c a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 即2222b c a bc +-=，再由余弦定理可得2cos 2bc A bc =，即2cos 2A =, 所以4A π=；（2）因为3B π=，所以()62sin sin 4C A B +=+=， 由正弦定理sin sin a b A B=，可得3b =. 133sin 24ABC S ab C ∆+==. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、余弦定理即可，属于常考题型.18.如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，A 1D 与AD 1交于点E ，AA 1＝AD ＝2AB ＝4.（1）证明：AE ⊥平面ECD.（2）求直线A 1C 与平面EAC 所成角的正弦值. 【★答案★】（1）证明见解析；（2）69【解析】 【分析】（1）证明AA 1⊥CD，CD⊥AD，推出CD⊥平面AA 1D 1D ，得到CD⊥AE.证明AE⊥ED.即可证明AE⊥平面ECD ；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解直线A 1C 与平面EAC 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是直四棱柱， 所以AA 1⊥平面ABCD ，则AA 1⊥CD.又CD ⊥AD ，AA 1∩AD ＝A ，1,AA AD ⊂平面AA 1D 1D ， 所以CD ⊥平面AA 1D 1D ，所以CD ⊥AE.因为AA1⊥AD，AA1＝AD，所以AA1D1D是正方形，所以AE⊥ED.又CD∩ED＝D，,CD ED⊂平面ECD.所以AE⊥平面ECD.（2）如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以1AA所在直线为z轴，建立如图所示的坐标系，A1D与AD1交于点E，AA1＝AD＝2AB＝4.A（0，0，0），A1（0，0，4），C（2，4，0），D（0，4，0），所以E（0，2，2），(0,2,2)AE=，(2,4,0)AC=，1AC=（2，4，﹣4），设平面EAC的法向量为n=（x，y ，z），可得n ACn AE⎧⋅=⎨⋅=⎩，即240220x yy z+=⎧⎨+=⎩，不妨n=（﹣2，1，-1），所以直线A1C与平面EAC 所成角的正弦值为11||444|46966|636nA CA Cn⋅-++===⋅.【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，考查空间线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y 元，每天软件服务的次数为x ，试写出两种方案中y 与x 的函数关系式； （2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．【★答案★】(1) 方案一中:1060,y x x N =+∈,方案二：200,15,20100,15,x x Ny x x x N ≤∈⎧=⎨->∈⎩.(2) 从节约成本的角度考虑，选择方案一. 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，建立等量关系，即可得出所需函数关系；（2）分别设两种方案的日收费为X ，Y ，由题中条形图，得到X ，Y 的分布列，求出对应期望，比较大小，即可得出结果.【详解】（1）由题可知，方案一中的日收费y 与x 的函数关系式为1060,y x x N =+∈方案二中的日收费y 与x 的函数关系式为200,15,20100,15,x x Ny x x x N ≤∈⎧=⎨->∈⎩.（2）设方案一种的日收费为X ，由条形图可得X 的分布列为X190 200 210 220 230 P0.10.40.10.20.2所以()1900.12000.42100.12200.22300.2210E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 方案二中的日收费为Y ，由条形图可得Y 的分布列为Y200 220 240 P0.60.20.2()2000.62200.22400.2212E Y =⨯+⨯+⨯=（元）所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.【点睛】本题主要考查函数的应用，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记相关概念即可，属于常考题型.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，焦距为23.（1）求C 的方程； （2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点. ①证明：直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列. ②若Q '与Q 关于x 轴对称，证明：4tan 3POQ '∠>. 【★答案★】（1）2214x y +=； （2）①见解析；②见解析.【解析】 【分析】（1）根据离心率、焦距和222b a c =-可解出,,a b c ，从而得到椭圆方程；（2）①设直线l 的方程为：12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，从而求得12y y ；整理可知：2121214Q Q O O P P y y k k k x x ===，从而证得结论；②Q '与Q 关于x 轴对称可知xOQ xOQ'∠=∠，由①知1tan tan 4xOQ xOP '∠⋅∠=，则()tan tan POQ xOQ xOP ''∠=∠+∠，利用两角和差正切公式展开整理，根据基本不等式求得最小值，经验证等号无法取得，从而证得结论.【详解】（1）由题意可得：32223c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：23a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2221b a c ∴=-=∴椭圆C 的方程为：2214x y += （2）证明：①设直线l 的方程为：12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：()222210x mx m -+-= 则()()222481420m m m∆=--=->，且122xx m +=，()21221x x m =-()22121212121111122422m y y x m x m x x m x x m -⎛⎫⎛⎫∴=-+-+=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2212212112421OP OQPQ m y y k k k x x m -∴====- 即直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列 ②由题可知：xOQ xOQ '∠=∠ 由①可知：1tan tan 4xOQ xOP '∠⋅∠=，tan 0xOQ '∠>，tan 0xOP ∠> ()tan tan tan tan 1tan tan xOQ xOP POQ xOQ xOP xOQ xOP'∠+∠''∴∠=∠+∠='-∠⋅∠()44tan tan 2tan tan 3343xOQ xOP xOQ xOP ''=∠+∠⨯⋅∠=≥∠ 若xOQ xOP '∠=∠，则,P Q 两点重合，不符合题意；可知无法取得等号4tan 3POQ '∴∠>【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、直线与椭圆综合应用问题，涉及到斜率关系的证明和不等式的证明.证明不等式的关键是能够利用倾斜角的关系，利用两角和差正切公式构造出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值；易错点是忽略对于取等条件能否成立的验证.21.已知函数()xf x e ax b =++，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为20ex y --=．（1）求函数()f x 的解析式，并证明：()1f x x -．（2）已知()2g x kx =-，且函数()f x 与函数()g x 的图象交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，且线段AB 的中点为0(P x ，0)y ，证明：0()f x g <（1）0y <.【★答案★】（1）()2xf x e =-；证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据题意，对()f x 求导得()x f x a e '=+，利用导数的几何意义和切线方程求出a 和b ，即可求出()f x 的解析式，令()()11x h x f x x e x =-+=--，利用导数研究函数得单调性和最值得出()0h x ≥，即可证明不等式；（2）结合分析法，把所要证明的问题转化为证明212121221112x x x x x x e e x x e----+<<-，设210t x x =->，进而转化为只需证：22tte e t -->，构造函数22()ttF t e e t -=--，利用导数研究函数的单调性，从而可证明出0()f x g <（1）0y <.【详解】解：（1）由题可知，()xf x e ax b =++，则()x f x a e '=+，由于()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为20ex y --=， 所以f （1）2e a b e =++=-，即2a b +=-， 即f '（1）e a e =+=，则0a =，解得：2b =-， 则()2xf x e =-．令()()11x h x f x x e x =-+=--，()1xh x e '=-，令()0h x '=，即10x e -=，解得：0x =，则0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减；0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以函数()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，()(0)0h x h ∴=，则()1f x x -．（2）由题可知，()2g x kx =-，且12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，则1202()22x x x f x e e+=-=-，12120422x x y y e e y ++-==， 要证0()f x g <（1）0y <成立， 只需证：121224222x x x x e e ek ++--<-<，即证：121222x x x x e k e e++<<，即证：1122122212xx x x x x e e e x e e x +-+<<-， 只需证：212121221112x x x x x x e e x x e----+<<-， 不妨设210t x x =->，即证：2112tt t e e e t -+<<， 要证21t t e e t-<，只需证：22t t e e t -->，令22()t t F t e et -=--，则221()()102t tF t e e -'=+->，()F t ∴在(0,)+∞上为增函数，()(0)0F t F ∴>=，即21t t e e t-<成立； 要证112t t e e t -+<，只需证：112t t e t e -<+，令1()12t t e tG t e -=-+，则22222214(1)(1)()0(1)22(1)2(1)t t t t t t t e e e e G t e e e -+--'=-==<+++， ()G t ∴在(0,)+∞上为减函数，()(0)0G t G ∴<=，即112t te e t -+<成立． ∴2112tt t e e e t -+<<，0t >成立， 0()f x g ∴<（1）0y <成立．【点睛】本题考查导数的几何意义的应用和利用导数证明不等式，还涉及利用导数研究函数的单调性和最值，属于导数知识的综合应用，考查转化思想和运算能力．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a +-=，曲线C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且直线OA 与OB 的斜率之积为54，求a . 【★答案★】（1）l :cos sin0a ，C ：()2224sin cos 4ρθθ+=；（2）12a =±. 【解析】 【分析】（1）利用直角坐标与极坐标换算公式直接可得； （2）联立直线l 与曲线C 的极坐标方程，得()()22224sincos 4cos sin aθθθθ++=，设()()1122,,,A B ρθρθ，则125tan tan 4O O B A k k θθ==，解得a 即可. 【详解】（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入0x y a +-=的方程中，所以直线l 的极坐标方程为cos sin 0a .在曲线C 的参数方程中，消去α，可得2214x y +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入2214x y +=的方程中，所以曲线C 的极坐标方程为()2224sincos 4ρθθ+=.（2）直线l 与曲线C 的公共点的极坐标满足方程组()222cos sin 04sin cos 4a ρθρθρθθ+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，由方程组得()()22224sin cos 4cos sin a θθθθ++=， ()2222224sin cos 4si 2cos n sin cos a a θθθθθθ+=++，两边同除2cos θ，可化为22224tan 48tan 4tan a a θθθ+=++，即()22244tan 8tan 40a a θθ--+-=， 设()()1122,,,A B ρθρθ，则212245tan tan 444O OB A a k k a θθ-===-，解得12a =±. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，普通方程之间的换算关系．考查了直线与椭圆极坐标方程的应用．属于中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23.已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集；（2）若x ∀∈R ，使得()()(2)f x a f x f a ++恒成立，求a 的取值范围.【★答案★】(1) {}22x x -<<.(2) 22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）先由题意得24x x x ++<+，再分别讨论2x -≤，20x -<≤，0x >三种情况，即可得出结果；（2）先由含绝对值不等式的性质，得到()()22f x a f x x a x a ++=++++≥，再由题意，可得22a a ≥+，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式()()24f x f x x +-<+ 可化为24x x x ++<+，当2x -≤时，224x x --<+ ，2x >-，所以无解；当20x -<≤时，24x <+ 所以20x -<≤；当0x >时，224x x +<+，2x < ，所以02x <<，综上，不等式()()24f x f x x +-<+的解集是{}|22x x -<<.（2）因为()()22f x a f x x a x a ++=++++≥又x R ∀∈，使得()()()2f x a f x f a ++≥ 恒成立，则22a a ≥+，()2222a a ≥+，解得223a -≤≤-. 所以a 的取值范围为22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
2020届高三二诊数学模拟试题(理科)及答案
2020届高三二诊数学模拟考试（理科）（满分150分，用时120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}0652<--=x xx A ，{}02<-=x x B ，则=B A （ ）A ．{}23<<-x x B ．{}22<<-x x C ．{}26<<-x x D ．{}21<<-x x2．设i z i -=⋅+1)1(，则复数z 的模等于（ ）A ．2B ．2C ．1D ．3 3．已知α是第二象限的角，43)tan(-=+απ，则=α2sin （ ） A ．2512 B ．2512- C ．2524 D ．2524-4．设5.0log 3=a ，3.0log 2.0=b ，3.02=c ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c <<5．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的32，并且球的表面积也是圆柱表面积的32”这一完美的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为π24，则该圆柱的内切球体积为（ ）A ．π34B ．π16C ．π316 D ．π3326．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是空气 质量合格，下面四种说法不．正确．．的是( )A ．1月至8月空气质量合格天数超过20天的月份有5个B ．第二季度与第一季度相比，空气质量合格天数的比重下降了C ．8月是空气质量最好的一个月D ．6月的空气质量最差7．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 则“2312a a a <+”是“012<-n S ”的（ ）A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要8．设x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+22142y x y x y x ，则y x z +=的取值范围是（ ）A ．[]3,5-B ．[]3,2C ．[)+∞,2D ． (]3,∞-9．设函数1sin )(22+=x xx x f ，则)(x f y =，[]ππ,-∈x 的大致图象大致是的（ ）ABCD10．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，23c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则sin C =（ ） A ．37B ．217C ．2112D ．1957 11．如图示，三棱椎ABC P -的底面ABC 是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，且2===AB PB PA ，3=PC ，则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（ ）A ．31B ．36C ．33 D ．32 12．在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，︒=∠60A ，O 为ABC ∆的外心，若AC y AB x AO +=，R y x ∈,，则=+y x 32（ ）A ．2B ．35C ．34 D ．23 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在6)(a x +的展开式中的3x 系数为160，则=a _______．PCBA14．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0>x 时，x x x f 2)(2-=，则不等式x x f >)(的解集为__________．15．若对任意R x ∈，不等式0≥-kx e x 恒成立，则实数k 的取值范围是 ．16．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，延长2AF交椭圆C 于点B ，若△1ABF 为等腰三角形，则椭圆的离心率=e ______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题 考生都必须作答．第22、23为选考题，考生仅选一个作答．17．设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，11=a ，若1a ，2a ，5a 成等比数列．（Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）设*)(1121N n a b n n ∈-=+，设数列{}n b 的前n 项和n T ，证明：41<n T ． 18．2019年6月，国内的5G 运营牌照开始发放.从2G 到5G ，我们国家的移动通信业务用了不到20年 的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G 的消费意愿，2019年8月， 从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：我们将大学生升级5G 时间的早晚与大学生愿意为5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G 套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.（Ⅰ）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G 的概率； （Ⅱ）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X 表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.注意：题目中图形的最后一行应该是早期，中期，后期。
2020届重庆市渝中区、九龙坡区等主城区高三学业质量调研抽测(第二次)数学(理)试题
高2020届高三学业质量调研抽测（第二次）理科数学参考答案及评分意见一、选择题：1—5：D C B A B6—10:B A D D C 11—12：C B 二、填空题：13.3π14.1215．816.②③(在无错选答案的前提下，选对1个给2分，选对两个给5分)三、解答题：17．解：（Ⅰ）因为121n n a S +=+，所以2n ≥，121n n a S -=+，……………2分两式相减化简得13n n a a +=(2)n ≥，……………………………………………4分.又11a =，所以23a =，213a a =符合上式，所以{}n a 是以1为首项，以3为公比的等比数列，所以13n n a -=……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知31log ()n n n b a a += 13log 3321n n n -=⨯=-，所以2(121)2n n n T n +-==，…………………………………………………8分所以22212111111111......1...121223(1)n T T T n n n+++=+++<++++⋅⋅-…10分11111111...222231n n n=+-+-++-=-<-．……………………………12分18.解：（Ⅰ）22200(8559515)50 5.556 6.635100*********K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯∴没有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”．………4分（Ⅱ）∵每天生产的次品数为x ，日利润()305050150080y x x x =--=-，其中04x ≤≤，x ∈N ．由1500801340x -≥得02x ≤≤……………………………………………5分∵X 是甲、乙1天中生产的次品数不超过2件的人数之和，∴X 的可能值为0，1，2，……………………………………………………6分又甲1天中生产的次品数不超过2件的概率为28102303++=，……………7分乙1天中生产的次品数不超过2件的概率为3693305++=，………………8分∴122(0)3515P X ==⨯=,22137(1)353515P X ==⨯+⨯=,236(2)3515P X ==⨯=∴随机变量X 的分布列为：X 012P 215715615∴27619()01215151515E X =⨯+⨯+⨯=．………………………………………12分19.（Ⅰ）证明：连接DM ，DN .在正三棱柱111ABC A B C -中，11//BB CC ，11BB CC =，且四边形11AA B B 是矩形，所以D 为1AB 的中点．又因为M 为AB 的中点，所以1//DM BB ，且112DM BB =.……………………………………………2分因为N 为1CC 的中点，所以112CN CC =，所以DM CN =，且//DM CN ，所以四边形CMDN 是平行四边形，………………………………………………4分所以//CM DN ,又DN ⊂平面1AB N ，CM ⊄平面1AB N ，所以//CM 平面1AB N .…………………………………………………………5分（Ⅱ）取BC 的中点为O ,11B C 的中点为E ,连接AO ,OE ,因为ABC ∆为正三角形，所以AO BC ⊥,又平面11BB C C ⊥平面ABC ,所以AO ⊥平面11BB C C .………………………6分以,,OBOE OA 所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如图所示.则A ,1A ,1(1,4,0)B ,(1,2,0)N -,11(1,0,A B = ,1(1,4,AB = ,1(2,2,0)B N =-- ……………………8分设平面1AB N 的法向量为(,,)n x y z = ，则10AB n = 且10B N n = 40x y ∴+=且220x y --=，令1x =，则1y =-，z =，则(1,1,n =- …………………………10分A A 1MB CD N B 1C 1A A 1MB C D NB 1C 1z x y E O设11A B 与平面1AB N 所成角为θ，则1111sin ||5||||A B n A B n θ=== .…12分20．解：（1）设圆I 的半径为r ，题意可知，点I满足：||IC r =，||IM r =，所以，||||IC IM +=由椭圆定义知点I 的轨迹是以,C M 为焦点的椭圆，……………………………3分所以2a c ==b =，故轨迹E 方程为：22162x y +=．…………………………………………………5分（Ⅱ）直线l 的方程为(2)y k x =-，联立2212(62)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()222231601212k x k x k +--+=.直线(2)y k x =-恒过定点(2,0)，在椭圆内部，所以0∆>恒成立，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有21221231k x x k +=+，212212631k k x x -⋅=+21221)||||31k AB x x k +=-==+………7分设AB 的中点为00(,)Q x y ，则202631k x k =+，02231k y k =-+，直线PQ 的斜率为1k-（由题意知0k ≠），又P 为直线3x =上的一点，所以3P x =,2023(1)|||31P k PQ x x k +=-=+…………………………………9分当ABP ∆为等边三角形时，3||||2PQ AB =,22223(1)326(1)31231k k k k ++=++解得1k =±，即直线l 的方程为20x y --=或20x y +-=．………………12分21．解：（Ⅰ）设函数1()()()ln x e h x f x g x x x x=-=--，(0,)x ∈+∞，22211(1)(1)()x x x xe e x e h x x x x x---'=-+=………………………………………2分(0,)x ∈+∞，10x e ->，当01x <<时，(0h x '<，()h x 单调递减；当1x >时，()0h x '>，()h x 单调递增；()h x 在(0,)+∞上有最小值min ()(1)1h x h e ==-………………………………4分当1m =时，||PQ 的最小值为1e -.………………………………………………5分（Ⅱ）1()(ln )x F x e a x x=++，2211121()(ln )()(ln )x x x F x e a x e e a x x x x x x'=+++-=+-+，因为e 0x >，所以()F x '与221ln a x x x+-+同号．设221()ln t x a x x x =+-+，则223322(1)1()x x x t x x x -+-+'==……………6分所以对任意()0,x ∈+∞，有()0t x '>，故()t x 在()0,+∞单调递增．………7分因()0,ln 2a ∈，()011t a =+>，11(ln 022t a =+<，所以存在01(,1)2x ∈，使得0()0t x =……………………………………………8分当0)1(,2x x ∈，()0F x '<，()F x 单调递减；当0,)(1x x ∈，()0F x '>，()F x 单调递增；所以若()0,ln2a ∈，存在01(,1)2x ∈，使得0x 是()F x 的极小值点．………10分由0()0t x =得020021ln 0a x x x +-+=，即00220001212ln x a x x x x -+=-=，所以00002012(ln )0x x x e a x e x -+=< ．…………………………………………12分22．解：（Ⅰ）将22222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩中参数t 消去得20x y --=，………………2分将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2sin 8cos ρθθ=，得28y x =,…………………………5分∴直线l 和曲线C 的直角坐标方程分别为20x y --=和28y x =．（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，得2320t --=，设A 、B 两点对应的参数为1t 、2t ，则1||||MA t =，2||||MB t =，∴12t t +=，1232t t =-，∴1212||||||8t t t t +=-=16，………………………………8分∴1212121212||||||11111||||||||||||t t t t MA MB t t t t t t +-+=+===12=．………………10分23.解:（Ⅰ）当2a =时，()|1||24||1|5f x x x x +-=++-≥，则22415x x x <-⎧⎨---+≥⎩得83x ≤-；……………………………………………2分212415x x x -≤≤⎧⎨+-+≥⎩得01x ≤≤；……………………………………………3分12415x x x >⎧⎨++-≥⎩得1x >，………………………………………………4分所以()15f x x +-≥的解集为8(,][0,)3-∞-+∞ .………………………5分（Ⅱ）对于任意实数x ，不等式23()2x f x a +-<成立，即22322x x a a +-+<恒成立，又因为2222322323x x a x x a a +-+≤+--=-，……………………7分要使原不等式恒成立，则只需232a a -<，由2232a a a -<-<得13a <<所以实数a 的取值范围是(1,3).………………………………………………10分。
重庆市名校联盟2020届高三“二诊”模拟数学(理)试题(B卷) 含答案
试卷类型：B重庆市名校联盟高2020级“二诊”模拟考试理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．设集合{|{|19}A x y B x x ===<≤，则=A ．(1,3)B ．(3,9)C ．[3,9]D ．∅2．设43z i =-，则在复平面内1z对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-4．小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，小方：“我得第一名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我得第一名”．已知他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一名．根据以上信息可以判断出得第一名的人是A ．小明B ．小马C ．小红D ．小方()B A C R I5．设点O 在ABC ∆的内部,且有()32AB OB OC =+u u u v u u u v u u u v,则ABC ∆的面积与BOC ∆的面积之比为A ．3B ．13C ．2D ．126．《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱） A ．乙分8两，丙分8两，丁分8两B ．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C ．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D ．乙分9两，丙分8两，丁分7两7．设实数1a -=⎰，则6212ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 A ．352π-B ．320π-C ．41516πD ．415π8．在直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与圆22:4O x y +=交于第一象限内的点P ，点P 的纵坐标为23，把射线OP 顺时针旋转3π，到达射线OQ ，Q 点在圆O 上，则Q 的横坐标是A ．6B C D 9．下图是一个算法的程序框图，如果输入0i =，0S =，那么输出的结果为A ．23B ．34C ．45D ．5610．设函数()f x 是定义在(1,)-+∞上的连续函数，且在0x =处存在导数，若函数()f x 及其导函数()f x '满足()f x '()()ln(1)1f x f x x x x +-¢=+，则函数()f x ( ) A ．既有极大值又有极小值 B ．有极大值 ，无极小值 C ．有极小值，无极大值D ．既无极大值也无极小值11．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作渐近线的垂线，设垂足为P （P 为第一象限的点），延长FP 交抛物线22(0)y px p =>于点Q ，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若1()2OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r，则双曲线的离心率的平方为A ．5B ．5 C ．51+ D ．51+ 12．奔驰定理：已知O 是ABC ∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=ru u u v u u u v u u u v ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则必有A ．sin sin sin 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅=ru u u v u u u v u u u vB ．cos cos cos 0A OA B OBC OC ⋅+⋅+⋅=u u u v u u u v u u u v vC ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=ru u u v u u u v u u u vD ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=ru u u v u u u v u u u v二、填空题微博橙子辅导（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知实数x ，y 满足22020220x y x y x y --≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为________．14．已知等差数列{}n a 和等差数列{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且()*3221n n S n n N T n +=∈-，则33a b =______. 15．长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____． 16．定义函数{}12()min (),()f x f x f x =，表示函数1()f x 与2()f x 较小的函数．设函数1()2x f x =，2()32x pf x -=⋅，p 为正实数，若关于x 的方程()3f x =恰有三个不同的解，则这三个解分别是________．三、解答题微博橙子辅导（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分12分)在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()222(2)2cos a c a b c abc C --+=.（1）求角B 的大小；（2）若3sin 13cos 02A C ⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎭，求ba 的值.18．(本小题满分12分)如图1所示，在等腰梯形ABCD 中， ,3,15,33BE AD BC AD BE ⊥===.把ABE ∆沿BE 折起，使得62AC =，得到四棱锥A BCDE -.如图2所示.（1）求证：面ACE ⊥面ABD ；（2）求平面ABE 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值.19．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，1F 、2F 为椭圆的左、右焦点，21,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆上一点，且132||2PF =. （1）求椭圆的标准方程；ABC ∆（2）设直线:2l x =-，过点2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M 、N 两点，当MAN ∠最小时，求直线AB 的方程.20．(本小题满分12分) 已知函数()ln 1x f x x+=. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）证明：()()2*222ln 2ln 3ln 21,22341n n n n N n n n --++⋅⋅⋅+<∈≥+. 21．(本小题满分12分)手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i ）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A 级；（ii ）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B 级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C 级；（iii ）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D 级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为13，且各手工艺品质量是否过关相互独立. （1）求一件手工艺品质量为B 级的概率；（2）若一件手工艺品质量为A ,B ,C 级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D 级不能外销，利润记为100元.①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件； ②记1件手工艺品的利润为X 元，求X 的分布列与期望.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所微博橙子辅导做的第一个题目计分． 22．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221121t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.点()00,p x y 在曲线C 上，点(,)Q m n满足002m x n =⎧⎪⎨=⎪⎩. （1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点Q 的轨迹1C 的极坐标方程；（2）点A ，B 分别是曲线1C 上第一象限，第二象限上两点，且满足2AOB π∠=，求2211||||OA OB +的值.23．(本小题满分10分) 设函数()211f x x x =-++. （1）求不等式()4f x ≥的解集；（2）记函数()f x 的最小值为t ，若,,a b c 为正实数，且a b c t ++=，求222a b c ++的最小值.理科数学参考答案（B卷）17．（1）∵角,,A B C的对边分别为,,a b c，且()()22222cosa c abc abc C--+=∴()()2222cos2a c a c bb Cac-+-=，∴()2cos cosa c Bb C-=∴cos2cosb Ba c C=-，∵由正弦定理得：2sin sin sina b cRA B C===，∴2sina R A=，2sinb R B=，2sinc R C=，∴2sin cos4sin2sin cosR B BR A R C C=-，∴2sin cos sin cos sin cosA B C B B C-=，∴2sin cos sin cos cos sinA B C B C B=+()sin sinC B A=+=，∵sin0A≠，∴1cos2B=∵()000,180B∈，∴060B=.（2）∵sin1cos0A C++=⎭，∴3sin102A C+-=，∴1sin2A C=，∵060B=，∴0018060C A=--，∴0120C A=-，∴()1sin1202A A-=，∴)001sin cos120cos sin120sin2A A A+=∴131sin cos sin222A A A⎛⎫--=⎪⎝⎭p p+=11sin 22A A -=∴()1cos 302A +=∵000120A <<，∴0003030150A <+<∴030A =∵由正弦定理得：sin sin a bA B=，060B =，030A =，∴0sin sin6021sin sin302b B a A ====18．（1）证明：在等腰梯形ABCD 中3,15,BC AD BE AD ==⊥，可知6,9AE DE ==.因为3,BC BE BE AD ==⊥，可得6CE =.又因为6,AE AC ==222AC CE AE =+，则AE EC ⊥.又,BE AE BE EC E ⊥⋂=，可得AE ⊥面BCDE ，故AE BD ⊥.又因为tan DE DBE BE ∠===，则060DBE ∠=，tan BC BEC BE ∠===，则030BEC ∠=，所以CE BD ⊥， 又AE EC E ⋂=，所以BD ⊥面ACE ，又BD ⊂面ABD ，所以面ABD ⊥面ACE ； （2）设EC BD O ⋂=，过点O 作//OF AE 交AC 于点F ，以点O 为原点，以,,OB OC OF 所在直线分别为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O BCF -.在BCE ∆中，∵030BEO ∠=， BO EO ⊥，∴93,,222EO CO BO ===，则39,0,,0,0,,022B C E ⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∵1//,,62FO AE FO AE AE ==， ∴3FO =，则()90,0,3,0,,62F A ⎛⎫-⎪⎝⎭， ∵//,9DE BC DE =，∴3ED BC =u u u r u u u r ，∴D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，∴()()93,0,0,0,6,0,6,6,,022BE AE CA CD ⎫⎛⎫===-=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，设平面ABE 的法向量为()1111,,n x y z =u r，由11·0{·0n AE n BE ==u r u u u r u r u u u r，得11160902z x y =+=，取1x =ABE的法向量为)11,0n =-u r，设平面ACD 的一个法向量为()2222,,n x y z =u u r，由22·0{·0n CA n CD ==u u r u u u r u u r u u u r，得1111660{302y z x y -+=-=，取11x =，可得平面ABE的一个法向量为(21,n =--u u r . 设平面ABE 与平面ACD 所成锐二面角为θ，则1212·cos n n n n θ===u r u u r u r u u r 所以平面ABE 与平面ACD. 19．（1）设椭圆的左焦点1(,0)(0)F c c ->，则1PF ==，解得1c =，所以2||PF =，则由椭圆定义122PF PF a +==∴2a =，1b = 故椭圆的标准方程为2212x y +=. （2）由题意直线AB 的斜率必定不为零，于是可设直线:1AB x ty =+， 联立方程22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210t y ty ++-=， ∵直线AB 交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y ，∴()()222442810t t t ∆=++=+> 由韦达定理12222t y y t -+=+，12212y y t =-+ 则22N t y t =-+，∴22221122N N t x ty t t =+=-+=++∵MN AB ⊥，∴MN k t =-，∴222226||222t MN t t +=--=++又121||||2AN AB y y ==-=∴23||tan 4||t MN MAN AN +⎫∠===≥==即1t =±时取等号.此时直线AB 的方程为10x y +-=或10x y --=.20． （1）∵函数()ln 1x f x x+=，∴0x >，则()2ln 'x f x x =-， 由()'0f x =，得1x =，列表如下：因此增区间为()0,1，减区间为()1,+∞，极大值为()11f =，无极小值.（2）证明：由（1）可得()()()max ln 111x f x f x f x+=≤==， ∴ln 11x x x≤-，当且仅当1x =时取等号. 令()2*,2x nn N n =∈≥，∴222ln 11n n n<-，∴()()22ln 1111111111222121n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<-<-=-+≥⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴222ln 2ln 3ln 23n n ++⋅⋅⋅+11111111111122323421n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ()()2*111211,221241n n n n N n n n --⎛⎫-+-=∈≥ ⎪++⎝⎭=. 21．（1）一件手工艺品质量为B 级的概率为122311116C (1)(1)33381⨯⨯-⨯-=. （2）①由题意可得一件手工艺品质量为D 级的概率为2233331117C ()(1)C ()33327⨯⨯-+⨯=， 设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是ξ件，则7~(10,)27B ξ， 则1010720()C ()()2727k k k P k ξ-==,119101010720C ()()(1)7072727720()2020C ()()2727k k k k k k P k k P k k ξξ++--=+-===+. 由70712020k k ->+得5027k <，所以当1k =时，(2)1(1)P P ξξ=>=，即(2)(1)P P ξξ=>=， 由70712020k k -<+得5027k >，所以当2k ≥时，(1)()P k P k ξξ=+<=， 所以当2k =时，()P k ξ=最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.②由上可得一件手工艺品质量为A 级的概率为318(1)327-=，一件手工艺品质量为B 级的概率为1681， 一件手工艺品质量为C 级的概率为1212321111120C (1)[C (1)()]3333381⨯⨯-⨯⨯⨯-+=， 一件手工艺品质量为D 级的概率为727， 所以X 的分布列为则期望为81620713100()9006003001002781812727E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 22． （1）222222212111t t x y t t ⎛⎫-⎛⎫+=+=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， ∵(]2211,11t t -∈-+，∴1x ≠-，∴221(1)x y x +=≠-， 由题可知：002m x n =⎧⎪⎨=⎪⎩022021(2)43m x m n m y ⎧=⎪⎪⇒⇒+=≠-⎨⎪=⎪⎩， 1C ：22223cos 4sin 12ρθρθ+=（πθπ-<<）.（2）因为222123cos 4sin ρθθ=+， 设()11,A ρθ，21,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则2211213cos 4sin 112θθρ+=， 2211223cos 4sin 12212ππθθρ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=22113sin 4cos 12θθ+=， 22221211117||||12OA OB ρρ+=+=.23．（1）原不等式等价于：1314x x ≤-⎧⎨-+≥⎩或1134x x -<<⎧⎨-+≥⎩或1314x x ≥⎧⎨-≥⎩， 解得1x ≤-或53x ≥， 所以不等式()4f x ≥的解集是5(,1][,)3-∞-⋃+∞.（2）由（1）函数()f x 的最小值为2，所以2t =，所以2a b c t ++==，所以()()222234a b c a b c ++⨯≥++=， 所以22243a b c ++≥，当且仅当23a b c ===时，取等号. 所以222a b c ++的最小值是43.。
【2020精品高考提分卷】重庆市2020届高三4月调研测试二诊数学试题含答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷 理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,0,1,2,3}A =-，2{|30}B x x x =->，则()R AC B =（ ）A ． {1}-B ．{0,1,2}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3}2．若复数z 满足2(1)1z i i +=-，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知向量(,1)a x =-，(1,3)b =，若a b ⊥，则||a =（ ）A B ．2 D ． 44．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（ ） A ．10日 B ． 20日 C ． 30日 D ．40日5．设直线0x y a --=与圆224x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，若AOB ∆为等边三角形，则实数a 的值为（ ）A ．． C ． 3± D ．9±6．方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ） A ．30m -<< B ．32m -<< C ． 34m -<< D ．13m -<< 7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的数不可能是（ ）A ．15B ．18C ． 19D ．208．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中11DD =，12AB BC AA ===，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数2sin()y x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π B ．4π C ． 3π D ．2π 10．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点,P Q ，若||2||PQ QF =，60PQF ∠=，则该双曲线的离心率为（ ）A 3．13+． 23+ D ．423+11．已知函数2()(3)xf x x e =-，设关于x 的方程2212()()0()f x mf x m R e --=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为（ ）A ． 3B ． 1或3C ． 4或6D ．3或4或612．已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（ ） A ．92π B ．92π C ． 23π D ．32π 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在52(2)a x x+的展开式中4x -的系数为320，则实数a = ． 14．甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，其中m 为小于10的自然数，已知甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，则甲组数据的平均数也大于乙组数据的平均数的概率为 ．15．设函数22log (),12()142,1333x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪=⎨⎪-++>-⎪⎩，若()f x 在区间[,4]m 上的值域为[1,2]-，则实数m 的取值范围为 ．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，2n n a n a =-，211n n a a +=+，则100S = ．（用数字作答）三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin()2sin ()24C A B π-=-． （1）求sin cos A B 的值； （2）若23a b =B ．18． 如图，矩形ABCD 中，22AB =，2AD =，M 为DC 的中点，将DAM ∆沿AM折到'D AM ∆的位置，'AD BM ⊥．（1）求证：平面'D AM ⊥平面ABCM ；（2）若E 为'D B 的中点，求二面角'E AM D --的余弦值．19． “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，20()P K k ≥ 0．100．05 0．025 0．010 0k2．7063．8415．0246．635（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有X 人，超过10000步的有Y 人，设||X Y ξ=-，求ξ的分布列及数学期望．20．已知,A B分别为椭圆C：22142x y+=的左、右顶点，P为椭圆C上异于,A B两点的任意一点，直线,PA PB的斜率分别记为12,k k．（1）求12,k k；（2）过坐标原点O作与直线,PA PB平行的两条射线分别交椭圆C于点,M N，问：MON∆的面积是否为定值？请说明理由．21．已知曲线2ln ln()x a x af xx++=在点(,())e f e处的切线与直线220x e y+=平行，a R∈．（1）求a的值；（2）求证：()xf x ax e>．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1cos1sin2x ty tαα=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22244sin cosρθθ=+．（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P的直角坐标为1(1,)2-，直线l与曲线C相交于不同的两点,A B，求||||PA PB的取值范围．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|||3|f x x a x a=-+-．（1）若()f x的最小值为2，求a的值；（2）若对x R ∀∈，[1,1]a ∃∈-，使得不等式2||()0m m f x --<成立，求实数m 的取值范围．试卷答案2020年普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷 理科数学一、选择题 1～6 DCCCCD7～12 DABCAD第（11）题解析：xx x x f +-='e )3)(1()(，)(x f ∴在)3,(--∞和),1(+∞上单增，)1,3(-上单减又当-∞→x 时0)(→x f ，+∞→x 时+∞→)(x f ， 故)(x f 的图象大致为： 令t x f =)(，则方程0e 1222=--mt t 必有两根21,t t )(21t t <且221e 12-=t t ， 当e 21-=t 时恰有32e 6-=t ，此时1)(t x f =有1个根，2)(t x f =有2个根； 当e 21-<t 时必有32e 60-<<t ，此时1)(t x f =无根，2)(t x f =有3个根； 当0e 21<<-t 时必有32e 6->t ，此时1)(t x f =有2个根，2)(t x f =有1个根； 综上，对任意R m ∈，方程均有3个根.第（12）题解析：由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过A点的三个面相切，且切点分别在线段11,,ADACAB上，设线段1AB上的切点为E，1AC面21OBDA=，圆柱上底面的圆心为1O，半径即为EO1记为r，则2262331312=⨯⨯==DFFO，13112==ACAO，由FOEO21//知EOAOAOEO11112122=⇒=，则圆柱的高为rAO223231-=-，232329242(322)42()42()428r rS r r r rππππ+-=-=-⋅==侧≤.二、填空题（13）2（14）53（15）]1,8[--（16）1306第（15）题解析：函数)(xf的图象如图所示，结合图象易得，当]1,8[--∈m时，]2,1[)(-∈xf.第（16）题解析：1122+=++naann，则12745032999832=+++=++++aaaa，31302932262550136122550100=+=+=-=+=+=-=a a a a a a a ，则1306100=S .三、解答题 （17）解：（Ⅰ）1cos sin 2)sin(1sin 1)2cos(1)sin(=⇒+-=-=--=-B A B A C C B A π，21cos sin =∴B A ； （Ⅱ）332sin sin ==b a B A ，由（Ⅰ）知212sin 33cos sin 332cos sin ===B B B B A ，232sin =∴B ， 32π=∴B 或32π，6π=∴B 或3π. （18）解：（Ⅰ）由题知，在矩形ABCD 中，︒=∠=∠45BMC AMD ，︒=∠∴90AMB ，又BM A D ⊥'，⊥∴BM 面AM D '，∴面⊥ABCM 面AM D '；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在平面AM D '内过M 作直线MA NM ⊥，则⊥NM 平面ABCM ， 故以M 为原点，MN MB MA ,,分别为z y x ,,轴的正方向建立空间直角坐标系，则)0,0,0(M ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)1,0,1(D '，于是)21,1,21(E ，)0,0,2(=MA ，)21,1,21(=，设平面EAM 的法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=0212102z y x x 令1=y ，得平面EAM 的一个法向量)2,1,0(-=，显然平面AM D '的一个法向量为)0,1,0(=，故51,cos >=<，即二面角D AM E '--的余弦值为55.（19） 解：（Ⅰ）841.3114018222020)861214(4022<=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，故没有95%以上的把握认为二者有关；（Ⅱ）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为81，超过10000步的概率为41，且当0==Y X 或1==Y X 时，0=ξ，12551129888464P C =⨯+⋅=；当0,1==Y X 或 1,0==Y X 时，1=ξ，6430854185811212=⋅+⋅=C C P ；当0,2==Y X 或2,0==Y X 时，2=ξ，645)81()41(22=+=P ，即ξ的分布列为：85=ξE .（20）解：（Ⅰ）设),(00y x P ，则21242220202020000021-=-=-=-⋅+=y y x y x y x y k k ； （Ⅱ）由题知，直线x k y OM 1:=，直线x k y ON 2:=，设),(),,(2211y x N y x M ， 则|)(|21||21||2121211122211221x x k k x k x x k x y x y x S -=⋅-⋅=-=，由212112221442k x xk y y x +=⇒⎩⎨⎧==+， 同理可得2222214k x +=，故有1)(24)2(16214214)(42221222121222122212212+++-+=+⋅+⋅-=k k k k k k k k k k k k S ，又2121-=k k ，故8)(22)1(164222122212=++++=k k k k S ，2=∴S . （21）解：（Ⅰ）22ln (2)ln ()x a x f x x -+-'=，由题22122(e)3e e a f a -+-'==-⇒=；（Ⅱ）2ln 3ln 3()x x f x x ++=，2ln (ln 1)()x x f x x -+'=，1()01ef x x '>⇒<<， 故()f x 在1(0,)e和(1,)+∞上递减，在1(,1)e上递增， ①当(0,1)x ∈时，1()()e e ≥f x f =，而33(1)()e e x x x x -'=，故3ex x 在(0,1)上递增， 33e e e x x ∴<<，3()e x x f x ∴>即()3ex f x x >；2 / 2②当[1,)x ∈+∞时，2ln 3ln 30033≥x x ++++=，令23()e x x g x =，则23(2)()e x x x g x -'=故()g x在[1,2)上递增，(2,)+∞上递减，212()(2)3e≤g x g ∴=<，223ln 3ln 3e x x x x ∴++>即()3ex f x x >； 综上，对任意0x >，均有()3ex f x x >. （22）解：（Ⅰ）14444cos sin 422222222=+⇒=+⇒=+y x x y θρθρ； （Ⅱ）因为点P 在椭圆C 的内部，故l 与C 恒有两个交点，即R ∈α，将直线l 的参数方程与椭圆C 的直角坐标方程联立，得4)sin 21(4)cos 1(22=+++-ααt t ，整理得 02)cos 2sin 4()sin 31(22=--++t t ααα，则]2,21[sin 312||||2∈+=⋅αPB PA . （23）解：（Ⅰ）|||3||()(3)||2|x a x a x a x a a -+----=≥，当且仅当x 取介于a 和a 3之间的数时，等号成立，故)(x f 的最小值为||2a ，1±=∴a ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知)(x f 的最小值为||2a ，故]1,1[-∈∃a ，使||2||2a m m <-成立，即 2||2<-m m ，0)2|)(|1|(|<-+∴m m ，22<<-∴m .。
重庆市2020届高三数学学业质量调研抽测4月二诊试题 理(含解析)
重庆市2020届高三数学学业质量调研抽测4月二诊试题理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. 1 D.【答案】C【解析】【分析】根据已知求解出，再计算出模长.【详解】则本题正确选项：【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是利用复数的运算求得，属于基础题.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求解出两个集合，根据交集定义求得结果.【详解】则本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，关键在于能够利用指数函数单调性和对数函数的定义域求解出两个集合，属于基础题.3.设，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数单调性可得，再利用作为临界值可得，，从而得到三者之间的关系.【详解】可知：本题正确选项：【点睛】本题考查指对数混合的大小比较问题，关键是能够利用函数的单调性进行判断，属于基础题.4.设等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为20，则（）A. 127B. 64C. 63D. 32【答案】C【解析】【分析】先求出等比数列的首项和公比，然后计算即可.【详解】解：因为，所以因为与的等差中项为，，所以，即，所以故选：C.【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，属于基础题.5.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，且，则C. 若，，且，，则D. 若直线与平面所成角相等，则【答案】B【解析】【分析】结合空间中平行于垂直的判定与性质定理，逐个选项分析排除即可.【详解】解：选项A中可能，A错误；选项C中没有说是相交直线，C错误；选项D 中若相交，且都与平面平行，则直线与平面所成角相等，但不平行，D错误. 故选：B.【点睛】本题考查了空间中点线面的位置关系，属于基础题.6.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性可排除和两个选项，再根据时，的符号，可排除选项，从而得到正确结果.【详解】定义域为为定义在上的奇函数，可排除和又，当时，，可排除本题正确选项：【点睛】本题考查函数图像的判断，解决此类问题的主要方法是利用奇偶性、特殊值、单调性来进行排除，通过排除法得到正确结果.7.运行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】【分析】将的变化规律整理为数列的形式，求解出数列的通项，根据求解出输出时的取值. 【详解】将每次不同的取值看做一个数列则，，，…，则，则当时，；当时，即时，，输出结果本题正确选项：【点睛】本题考查利用循环结构的程序框图计算输出结果，由于循环次数较多，可以根据变化规律，利用数列的知识来进行求解.8.设函数的一条对称轴为直线，将曲线向右平移个单位后得到曲线，则在下列区间中，函数为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将化简为，根据对称轴可求得；通过平移得到；依次代入各个选项，判断其单调性，从而得到结果.【详解】将代入可得：又，可得：当时，，不单调，可知错误；当时，，单调递增，可知正确；当时，，单调递减，可知错误；当时，，不单调，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查的单调性问题，主要采用整体对应的方式来进行判断.关键是能够通过辅助角公式、对称轴方程、三角函数平移等知识准确求解出的解析式.9.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果.【详解】设事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件为“学生丙第一个出场”则，则本题正确选项：【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.10.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为（）A. 9B. 7C. 6D. 5【答案】B【解析】【分析】根据渐近线方程求出双曲线方程，根据定义可将问题转化为求解的最小值，由位置关系可知当与圆心共线时取最小值.【详解】由渐近线方程可知设双曲线右焦点为由双曲线定义可知：则则只需求的最小值即可得到的最小值设圆的圆心为，半径则本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线中的最值问题，关键是能够利用双曲线的定义将问题进行转化，再根据圆外点到圆上点的距离的最值的求解方法得到所求最值.11.已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，，三棱锥的体积为4，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求解出面积后，利用三棱锥的体积，构造方程，求解出点到底面的距离，从而可知的长度；利用正弦定理得到，勾股定理得到球的半径，从而求得球的表面积. 【详解】原题如下图所示：由，得：则设外接圆圆心为，则由正弦定理可知，外接圆半径：设到面距离由为球直径可知：则球的半径球的表面积本题正确选项：【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积问题的求解，关键是能够利用球心与底面外接圆圆心的连线与底面垂直的关系构造直角三角形.12.已知是函数（其中常数）图像上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过函数解析式可判断出关于对称，可知取最小值时，与相切且；利用导数求解切线斜率，求解出，从而可得函数最小值.【详解】当时，，则由此可知，关于对称又最小值为，即，此时则此时函数图象如下图所示：此时与相切于当时，设，则又，可得则本题正确选项：【点睛】本题考查函数最值的求解问题，关键是能够通过解析式判断出函数的对称性，从而借助导数的几何意义求得参数的值，进而得到函数最值.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：，，，，，根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则______．【答案】375【解析】【分析】求解出，利用求解出，进而求得结果.【详解】由题意：则：本题正确结果：【点睛】本题考查回归直线方程问题，关键是明确回归直线必过，利用此点可求解得到结果.14.若实数满足不等式组，则的最大值为_____．【答案】16【解析】【分析】先由简单线性规划问题求出的最大值，然后得出的最大值.【详解】解：由不等式组画出可行域如图中阴影部分然后画出目标函数如图中过原点虚线，平移目标函数在点A处取得最大值解得点所以最大为4所以的最大值为16故答案为：16.【点睛】本题考查了简单线性规划问题，指数复合型函数的最值，属于基础题.15.已知点是抛物线上不同的两点，且两点到抛物线的焦点的距离之和为6，线段的中点为，则焦点到直线的距离为______．【答案】【解析】【分析】通过抛物线焦半径公式和点差法可求得抛物线和直线的方程，再利用点到直线距离求得结果. 【详解】设，由抛物线定义可知：，则又为中点，则抛物线方程为则：，两式作差得：则直线的方程为：，即点到直线的距离本题正确结果：【点睛】本题考查抛物线的几何性质，关键是在处理弦的中点的问题时，要熟练应用点差法来建立中点和斜率之间的关系.16.已知数列，对任意，总有成立，设，则数列的前项的和为______．【答案】【解析】【分析】利用求得，从而可得，则每两项作和，通过裂项相消的方式求得结果.【详解】当且时，由……①得：……②①②得：当时，综上所述：则：则的前项和为：本题正确结果：【点睛】本题考查数列裂项相消法求和，关键是能够通过的前项和求得数列的通项公式，从而得到的通项公式，根据的形式确定每两项作和可得裂项相消法的形式.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角的对边分别为，已知，.（1）求的面积；（2）若，求的值. 【答案】(1)4(2) 【解析】【分析】（1）利用正弦定理求得的正余弦的值；利用向量数量积求得，从而可求面积；（2）利用余弦定理求得的正余弦值，利用两角和差公式求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：，的面积为（2），，即【点睛】本题考查正余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、两角和差公式的应用问题，关键是能够熟练应用正余弦定理处理边角关系式.18.有两种理财产品和，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：产品：投资结果获利不赔不赚亏损概率产品：投资结果获利不赔不赚亏损概率注：（1）若甲、乙两人分别选择了产品投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数的取值范围；（2）若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想.【答案】(1) (2) 当时，丙可在产品和产品中任选一个投资；当时，丙应选产品投资；当时，丙应选产品投资.【解析】【分析】（1）“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”的概率，可求得；又可得，由此可得的范围；（2）分别求出投资，两种产品的数学期望，通过数学期望的大小比较可知应选哪种产品.【详解】（1）记事件为“甲选择产品投资且获利”，记事件为“乙选择产品投资且获利”，记事件为“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”则，，，又，且，（2）假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为投资结果概率假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为投资结果概率当时，，丙可在产品和产品中任选一个投资；当时，，丙应选产品投资；当时，，丙应选产品投资.【点睛】本题考查概率统计中的独立事件的概率、数学期望的应用问题.在以期望值作决策依据进行选择时，关键是分别求解出数学期望，依据大小关系来确定结果.19.如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，已知，，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的正弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）分别证得，，从而证得平面，进而证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，利用法向量夹角求得结果.【详解】（1）证明：连接，取的中点为，连接在菱形中，，为正三角形在中，，，由勾股定理知为等腰直角三角形，即平面 又平面平面平面（2）解：如图，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系则，，，， ，，设平面的法向量为，则，且即，令，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，则二面角的平面角的正弦值为【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明、空间向量法求解二面角的问题，关键是能够建立起空间直角坐标系，通过法向量夹角的余弦值求得二面角平面角的正弦值，属于常规题型.20.已知离心率为的椭圆：的右焦点为，点到直线的距离为1.（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于不同的两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 或【解析】【分析】（1）通过点到直线的距离、离心率和的关系，求得标准方程；（2）直线与椭圆方程联立，利用可得；再利用，根据弦长公式可求得，得到；利用表示出点坐标，代入椭圆可得，从而可求得的范围.【详解】（1）由题意得：，即又，，即，椭圆的方程为（2）由题意可知直线的斜率存在，设，，，由得：由，得：（*），，结合（*）得：从而，点在椭圆上整理得：即或【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中参数取值范围的求解问题，关键是能够利用直线与椭圆相交于不同两点且弦长得到的取值范围；再通过向量的坐标运算，可得到关于与的关系，进而可求得结果.21.已知函数，.（1）若函数与的图像上存在关于原点对称的点，求实数的取值范围；（2）设，已知在上存在两个极值点，且，求证：（其中为自然对数的底数）.【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】（1）将问题转化为在有解，即在上有解，通过求解的最小值得到；（2）通过极值点为可求得，通过构造函数的方式可得：；通过求证可证得，进而可证得结论.【详解】（1）函数与的图像上存在关于原点对称的点即的图像与函数的图像有交点即在有解，即在上有解设，，则当时，为减函数；当时，为增函数，即（2），在上存在两个极值点，且且，即设，则要证，即证只需证明，即证明设，则则在上单调递增，即【点睛】本题考查利用导数来解决函数中的交点问题、恒成立问题，解决问题的关键是能将交点问题转变为能成立问题、不等式的证明问题转化为恒成立的问题，从而通过构造函数的方式，找到合适的函数模型来通过最值解决问题.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，设点，已知，求实数的值. 【答案】（1）直线: ，曲线:（2）【解析】【分析】（1）在直线的参数方程中消去参数t得直线的一般方程，在曲线的极坐标方程为中先两边同乘，得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程直接代入曲线的直角坐标方程中，得到韦达定理，由，，列方程求出答案. 【详解】解：（1）因为直线的参数方程为消去t化简得直线的普通方程：由得，因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为（2）将代入得即，则，，∴，∴∴∵，∴，满足∴【点睛】本题考查了直线的参数方程，曲线极坐标方程与直角坐标方程得转化，直线与圆的位置关系，属于中档题.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，. （1）当时，求不等式的解集；（2）若，且当时，不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】 试题分析：(1)将不等式零点分段可得不等式的解集为.(2)将不等式转化为，可得实数的取值范围是.试题解析：解：（1）当时，， ∴等价于或或，解得或或，即.∴不等式的解集为.（2）∵，∴， 不等式，∴，∴实数的取值范围是.点睛：绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2020年重庆市名校联盟高考数学二诊试卷(理科)(B卷)(含答案解析)
2020年重庆市名校联盟高考数学二诊试卷（理科）（B卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.2.设，则在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.若x，y满足约束条件，且的最大值为，则a的取值范围是A. B. C. D.4.小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：小方：“我得第一名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我的第一名”已知他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一．根据以上信息可以判断出得第一名的人是A. 小明B. 小马C. 小红D. 小方5.设点O在的内部，且有，则的面积与的面积之比为A. 3B.C. 2D.6.算法统宗全称新编直指算法统宗，是中国古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱．问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？注：1两等于10钱A. 乙分8两，丙分8两，丁分8两B. 乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C. 乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D. 乙分9两，丙分8两，丁分7两7.设实数，则展开式中的常数项为A. B. C. D.8.在直角坐标系xOy中，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆O：交于第一象限内的点P，点P的纵坐标为，把射线OP顺时针旋转，到达射线OQ，Q点在圆O上，则Q的横坐标是A. B. C. D.9.如图是一个算法的程序框图，如果输入，，那么输出的结果为A. B. C. D.10.设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数A. 既有极大值又有极小值B. 有极大值，无极小值C. 有极小值，无极大值D. 既无极大值也无极小值11.过双曲线的右焦点F作渐近线的垂线，设垂足为为第一象限的点，延长FP交抛物线于点Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率的平方为A. B. C. D.12.奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为，，，则“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的l o go很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O是锐角内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足，则必有A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x，y满足，则的最小值为______14.已知等差数列和等差数列的前n项和分别为，，且，则______．15.长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“有中学高级教师；中学教师不多于小学教师；小学高级教师少于中学中级教师；小学中级教师少于小学高级教师；支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是______．16.定义函数，表示函数与较小的函数．设函数，，p为正实数，若关于x的方程恰有三个不同的解，则这三个解分别是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．求角B的大小；若，求的值．18.如图1所示，在等腰梯形ABCD中，把沿BE折起，使得，得到四棱锥如图2所示．求证：平面平面ABD；求平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值．19.已知椭圆，、为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且．求椭圆的标准方程；设直线l：，过点的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l、直线AB于M、N两点，当最小时，求直线AB的方程．20.已知函数．求函数的单调区间和极值；证明：．21.手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外．近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级．已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立．求一件手工艺品质量为B级的概率；若一件手工艺品质量为A，B，C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D级不能外销，利润记为100元．求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数点在曲线C上，点满足．Ⅰ以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求动点Q的轨迹C的极坐标方程；Ⅱ点A、B分别是曲线C上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值．23.设函数．求不等式的解集记函数的最小值为t，若a，b，c为正实数，且，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，，，，故选：A．根据交集补集的定义即可求出．本题主要考查求集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2.答案：A解析：【分析】根据复数的四则运算及复平面内点的意义即可求解．本题考复数的概念与复数的运算．【解答】解：由题意得，所以，因此在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A．3.答案：A解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分．由，得，平移直线，要使的最大值为，即直线经过点时，截距最大，则目标函数的斜率，满足，解得，故选：A．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．4.答案：A解析：解：假设第一名是小方，则小方、小明、小马说的都是真话，小红说的是假话，不合题意；假设第一名是小明，则只有小明说的是真话，别外三人说的都是假话，符合题意；假设第一名是小马，则小方、小马、小红说的都是假话，小明说的是真真话，不合题意；假设第一名是小红，则小方、小明说的是假话，小马和小红说的是真话，不合题意．故选：A．分别假设第一名是小方、小明、小马、小红，依次判断四个人的话的真假，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查简单的合情推量等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化思想，是基础题．5.答案：A解析：【分析】本题考查了平面向量的线性运算与三角形面积的计算问题，是中档题．以OB、OC为邻边作平行四边形，根据题意画出图形，结合图形求出三角形的面积比．【解答】解：以OB、OC为邻边作平行四边形OBDC，连接OD交BC于点M，如图所示：由，则，，的面积与的面积之比为．故选：A．6.答案：C解析：解：由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列，设公差为d，则，，所以，即，解得，可得；；，所以乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱，故选：C．由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列，设公差为d，则，，利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：D解析：解：因为实数，表示以为圆心，1为半径的圆的上半圆的面积；所以：．；其展开式的通项公式为：，令；展开式中的常数项为：．故选：D．先由积分的几何意义求出a，再求出二项展开式的通项，让x的指数为0即可求出其常数项．本题主要考查二项式定理的应用以及定积分的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8.答案：A解析：解：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆O：交于第一象限内的点P，则点P的纵坐标为，点P的横坐标为，把射线OP顺时针旋转，到达射线OQ，Q点在圆O上，则Q的横坐标为，故选：A．由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求出点P的横坐标为的值，再利用两角差的余弦公式，求出Q的横坐标的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，求出Q的横坐标，属于基础题．9.答案：C解析：【分析】本题考查了循环结构的程序框图，以及数列的裂项求和法，是基础题．分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序知：该程序是利用循环计算的值，用裂项法求值即可．【解答】解：模拟程序框图运行过程，如下；当时，，满足循环条件，此时；当时，，满足循环条件，此时；当时，，满足循环条件，此时；当时，，不满足循环条件，此时．故选C．10.答案：C解析：解：函数是定义在上的连续函数，，令，则，为常数，函数是连续函数，且在处存在导数，，，，，，，令，则，令，则，当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，，，使，又，函数在的两个零点，分别为和0，当时，令，则，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上有极小值，无极大值．故选：C．由已知条件求出函数的解析式，然后判断函数的单调性，根据单调性确定函数的极值点，从而得到正确选项．本题考查了利用导数求函数的解析式、利用导数研究函数的单调性极值和零点存在定理，考查了转化思想和函数思想，考查了推理能力和计算能力，属难题．11.答案：D解析：解：由，可得P为FQ的中点，设，由渐近线方程，可设直线FP的方程为，由解得，由中点坐标公式可得，代入抛物线的方程可得，由题意可得，即，即有，由可得，解得．故选：D．由，可得P为FQ的中点，设，一条渐近线方程和垂直的垂线方程，求得交点P的坐标，由中点坐标公式可得Q的坐标，代入抛物线的方程，结合离心率公式，解方程可得所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和中点坐标公式，以及点满足抛物线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.答案：C解析：解：如图，由题知O为垂心，所以，．同理，，，所以．．又，．由奔驰定理得，故选：C．利用已知条件画出图形，通过向量的数量积，转化求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查数形结合以及计算能力，是中档题．13.答案：3解析：解：由已知的不等式组得到平面区域如图：根据得到，当此直线经过图中A时在y轴截距最大，z最小，由得到，所以z的最大值为；故答案为：3．画出可行域，根据目标函数的几何意义求最小值即可．本题考查了简单线性规划问题；画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值．14.答案：解析：解：．故答案为：．利用等差数列的性质可得：，代入即可得出．本题考查了等差数列的通项公式、求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.答案：小学中级解析：解：设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a，b，c，d，则，所以，，，若，则，，，，，，若，则，，，，，矛盾，若队长为小学中级时，去掉队长则，，，，满足，，，；若队长为小学高级时，去掉队长则，，，，不满足；若队长为中学中级时，去掉队长则，，，，不满足；若队长为中学高级时，去掉队长则，，，，不满足；综上可得队长为小学中级．故答案为：小学中级．设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a，b，c，d，根据条件建立不等式组关系，分别讨论队长的学段和职称是否满足不等式组即可．本题主要考查合情推理的应用，结合不等式组，利用分类讨论的数学是解决本题的关键．16.答案：、、p解析：解：函数，且为偶函数，，p为正实数，由关于x的方程恰有三个不同的解，可得函数与有两个交点；函数与必然相交于一个点，如图所示，由，得，则或；由，得，即．综上，关于x的方程的三个不同的解分别是、、p．故答案为：、、p．判断函数的奇偶性并求值域，求出的值域，作出简图，由关于x的方程恰有三个不同的解，可得函数与有两个交点；函数与必然相交于一个点，由此求解关于x的方程的三个解．本题考查了函数的图象与性质、方程的解转化为函数图象的交点问题、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：．．，由正弦定理可得：，，，，，，，，，，，，可得：，，，，可得：，，，，，由正弦定理，，，可得：．解析：由已知利用余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得，结合范围，可求B的值；利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围，可求，由正弦定理即可求得的值．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.答案：证明：在等腰梯形ABCD中，，，可知，．因为，，可得．又因为，得，则．又，，BE，平面BCDE，可得平面BCDE，又平面BCDE，故AE．又因为，则，，则，所以，又，AE、平面ACE，所以平面ACE，又平面ABD，所以平面平面ACE；解：设，过点O作交AC于点F，以点O为原点，以OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．在中，，，，则，，，，，，，，设平面ABE的法向量为，由取，可得平面ABE的一个法向量；设平面ACD的法向量为，由，取，可得平面ABE的一个法向量设平面ABE与平面ACD所成锐二面角的平面角为，则，所以平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值为．解析：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，属于较难题．推导出，，，从而平面ACE，由此能证明平面平面ACE．设，过点O作交AC于点F，以点O为原点，以OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值．19.答案：解：由题意，可知，则，解得．．点为椭圆上一点，．联立，解得．椭圆C的标准方程为．由题意，设，则当直线AB的斜率不存在时，则：．此时点N即为右焦点，即．此时．当直线AB的斜率存在时，设斜率为k，很明显则：．由题意，联立，消去y，整理得．则，，．，．点N坐标为线段AB的垂直平分线的斜率为，线段AB的垂直平分线的直线方程为设点M坐标为点M在直线l：上，即．．点M坐标为．．．在中，．令，则；令．则，，解得．当时，取最小值．此时，解得即．综上所述，可知的最小值为4，此时．直线AB的方程为：或．解析：本题第题由题意可知，再根据，可解得c的值，再根据点为椭圆上一点可得方程通过计算可得，的值，即可得到椭圆C的标准方程；第题设，则再分直线AB的斜率不存在和存在两种情况分类讨论．当斜率不存在时，：当斜率存在时，设斜率为k，很明显则：联立直线与椭圆方程，消去y，整理得一元二次方程，根据韦达定理可得，则通过计算可得点N坐标为再根据线段AB的垂直平分线的斜率为可得直线方程，然后将点代入直线方程可得的值，则即可得到，根据弦长公式可得，从而可得的值．在中，，通过换元法和判别式法求出的最小值，从而可得最小时k的取值，即可得到直线AB的方程．本题主要考查椭圆的基础知识和椭圆与直线综合的问题，考查了方程思想的应用，弦长公式的应用，换元法，设而不求法，判别式法求最值的应用，以及两直线互相垂直的关系，考查了逻辑思维能力和数学运算能力．本题属综合性很强的偏难题．20.答案：解：函数，，则，x1单调递增极大值1单调递减因此增区间为，减区间为，极大值为，无极小值．证明：由可得，，当且仅当时取等号．令，，，．解析：求出导函数，求出极值点，判断导函数的符号，得到函数的单调性，求解函数的极值即可．由可得，推出，当且仅当时取等号．令，通过累加法以及裂项消项法证明求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，数列的应用，考查转化思想以及计算能力是难题．21.答案：解：一件手工艺品质量为B级的概率为．由题意可得一件手工艺品质量为D级的概率为，设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件，则，则，．由得，所以当时，，即，由得，所以当时，，所以当时，最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件．由上可得一件手工艺品质量为A级的概率为，一件手工艺品质量为B级的概率为，一件手工艺品质量为C级的概率为，一件手工艺品质量为D级的概率为，所以X的分布列为X900600300100P则期望为．解析：利用独立重复实验的关键求解一件手工艺品质量为B级的概率．求出一件手工艺品质量为D级的概率，设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件，得到二项分布，通过概率的比值，判断10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件．求出一件手工艺品质量为A级的概率，一件手工艺品质量为B级的概率，一件手工艺品质量为C级的概率，一件手工艺品质量为D级的概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立重复实验的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.答案：解：Ⅰ曲线C的参数方程为为参数点在曲线C上，，，，，点满足，，，动点Q的轨迹C的极坐标方程为：．Ⅱ，设，，，，．解析：Ⅰ推导出，，从而，，由此能求出动点Q的轨迹C的极坐标方程．Ⅱ，设，，，，由此能求出．本题考查动点的极坐标方程的求法，考查代数式求值，考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.答案：解：，，或或，或或，不等式的解集为；由知，函数的最小值为t，，，当且仅当时取等号，的最小值为．解析：对去绝对值改写为分段函数的形式，然后分别解不等式，从而得到不等式的解集；根据求出的最小值，然后由，求出最小值．本题考查了求绝对值不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．第21页，共21页。
2020年重庆市高考数学二诊试卷(理科) (含答案解析)
2020年重庆市高考数学二诊试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|3−2x <1}，B ={x|3x −2x 2≥0}，则A ∩B =( )A. (1,2]B. (1,94]C. (1,32]D. (1,+∞) 2. 设复数z 满足1−z 1+z =i ，则|z|=( )A. 1B. √2C. √3D. 23. 下列说法正确的是( )A. 命题“若 cos x =cos y ，则 x =y ”的逆否命题为真命题B. 命题“若 xy =0，则 x =0”的否命题为“若 xy =0，则 x ≠0”C. 命题“∃x ∈R ，使得 2x 2−1<0”的否定是“∀x ∈R ，都有 2x 2−1<0”D. 若 a ∈R ，则“a >2”是“|a|>2”的充分不必要条件4. 为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算K 2的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )附：A. 有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B. 有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C. 有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关 5. 对于数列{a n }，定义数列{a n+1−a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1=3，{a n }的“差数列”的通项为3n ，则数列{a n }的通项a n =( )A. 3nB. 3n −32C. 3n +32D. 3n−1+2 6. (x 3−1)(√x +2x )6的展开式中的常数项为( )A. −60B. 240C. −80D. 180 7. 已知a >0,b >0,a +b =2，则y =1a +4b 的最小值是( )A. 92B. 72C. 5D. 48.函数y=e|x|4x的图象可能是()A. B.C. D.9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x)=f(x+4)，当x∈[−2,0)时，f(x)=2x，则f(2015)−f(2014)的值为()A. 34B. −34C. 14D. 1210.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上，若点P到抛物线的焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于()A. 2B. 1C. 4D. 811.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(sinA+sinB)(a−b)=(sinC−sinB)c，则A=()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π612.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()A. 8√6πB. 4√6πC. 2√6πD. √6π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设向量a⃗=(2,1+m),b⃗ =(3,m)，且a⃗//b⃗ ，则m=______ ．14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．15.公差不为0的等差数列{a n}的部分项a k1，a k2，a k3…构成等比数列{a kn}，且k1=1，k2=2，k3=6，则k5=______ ．16.若曲线y=ax+2cos x上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosBcosC =b2a−c．(1)求角B的大小；(2)若b=√13，a+c=5，求△ABC的面积．18.为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位：ℎ)根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示)．(Ⅰ)估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数x¯和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ)由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x¯，σ2近似为样本方差s2．①求P(0.8<Z<8.3)②若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间(0.8,8.3)的人数为ε，试求E(ε).附：√6.16≈2.5，若Z−N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<Z<μ+2σ)=0.954519.如图四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=AB，E为PD中点．(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求二面角A−BE−C的余弦值．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点A(2,0)，且离心率为√32． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +√3与椭圆C 交于M ，N 两点，若直线x =3上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．21. 已知函数f(x)=ax−1x 2+1，a ∈R ．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若a =1，证明：当x ∈[1,+∞)时，f(x)≤lnx 2．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t 1−t 2(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π3)=√54. (1)求曲线和直线的直角坐标方程；(2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于点P ，求1|PA|+1|PB|的值．23.已知函数f(x)=2|x|+|x−2|的最小值为m．(1)求m的值；(2)若实数a，b满足a2+b2=m，求11+a2+12+b2的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查交集的求法，一元一次、一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题． 分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∩B ．解：因为集合A ={x|3−2x <1}，B ={x|3x −2x 2≥0}，所以A ={x|x >1},B ={x|0≤x ≤32}，所以A ∩B ={x|1<x ≤32}，即A ∩B =(1,32],故选C ． 2.答案：A解析：本题考查复数的运算，复数的模，属于基础题．先求出复数z ，再求复数z 的模即可．解：∵复数z 满足1−z 1+z =i ，∴1−z =i +zi ，∴z(1+i)=1−i∴z =1−i 1+i =(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)=−i ，∴|z|=1，故选A ．3.答案：D解析：本题考查四种命题间的关系、命题的否定与否命题、特称命题与全称命题、充要条件等知识，比较容易．按照相关知识，逐个判断即可．解：A.易知原命题是假命题，根据原命题与逆否命题等价可知，其逆否命题为假命题，故A错误；B.命题“若xy=0，则x=0”的否命题应为“若xy≠0，则x≠0”，故B错误；C.命题“∃x∈R，使得2x2−1<0”的否定是“∀x∈R，都有2x2−1≥0”，故C错误；D.由|a|>2⇒a>2或a<−2，所以若a∈R，则“a>2”是“|a|>2”的充分不必要条件，故D 正确．故选D．4.答案：D解析：本题考查了独立性检验，属于基础题．根据K2的值，结合临界值表可得．解：K2=7>6.635，故有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关系或者说在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关．故选D．5.答案：C解析：本题考查数列的新定义，考查累加法，是中档题．利用已知条件及累加法可直接求解出答案．由已知得a n+1−a n=3n，a1=3，则a2−a1=3，当n≥2时，a3−a2=32，…，a n−a n−1=3n−1．．由累加法得a n=3+3+32+⋯+3n−1=3n+32∵a1=3符合上式．。
重庆市名校联盟高2020级高三第二次联考理科数学试题
秘密★启用前重庆市名校联盟高三第二次联合考试理科数学试题（高2020级）（本试卷共2页，总分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称。
2．请将准考证条形码粘贴在右侧的[考生条形码粘贴处]的方框内。
3．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整、笔迹清楚。
4．请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
5．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =I ( ) A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 2．若(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i3．已知向量()()1,3,2a m b ==-r r ，，且()a b b ⊥r r r+，则m =( )A ．−8B ．−6C ．6D ．84．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）A ．32fB ．322fC ．1252fD ．1272f5．以下茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x +y 的值为（ ）A ．7B ．10C ．13D ．166．已知)1,0(∈x ，令x x c x b a 3,cos ,5log ===，那么c b a ,,之间的大小关系为（）A ．c b a<< B ．c a b <<C ．a c b<< D ．b a c <<7．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m βP ”是“αβP ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两个不同的点．若|MF |+|NF |＝5，则线段MN 的中点到y 轴的距离为（ ） A ．3B ．C ．5D ．9．函数)sin()(ϕω+=x A x f （0>A ，0>ω，2π0<<ϕ）的部分图象如图所示，给出下列说法： ①函数)(x f 的最小正周期为π；②直线12π5-=x 为函数)(x f 的一条对称轴； ③点)0,3π2(-为函数)(x f 的一个对称中心； ④函数)(x f 的图象向右平移3π个单位后得到x y 2sin 2=的图象.其中正确说法的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ） A ．240种B ．188种C ．156种D ．120种11．已知双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，12,F F 为双曲线的左右焦点，P 为渐近线上一点且在第一象限，且满足120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，若01230PF F ∠=，则双曲线的离心率为（ ） A 2B ．2C ．2D ．312．已知定义在R 上的函数()2(0)x f x e mx m m =+->，当121x x +=时，不等式()()()()1201f x f f x f +>+恒成立，则实数1x 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,+∞ 第II 卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为60 s ．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为____．14．函数()2log 03xxx f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦__________. 15ABCC b c B A b a C B A ABC c b a ∆-=-+=∆则且（的对边，的三个内角分别是已知,sin )()sin )(sin 2,2,,,,面积的最大值为____________．16．已知四边形ABCD 为矩形, 24AB AD ==,M 为AB 的中点,将ADM ∆沿DM 折起,得到四棱锥1A DMBC -,设1A C 的中点为N ,在翻折过程中,得到如下有三个命题:①//BN 平面1A DM ，且BN 的长度为定值5； ②三棱锥N DMC -的最大体积为223； ③在翻折过程中，存在某个位置，使得1DM AC ⊥. 其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.若数列等差数列}{n a 和等比数列}{n b 满足*,32N n n b a n n n ∈+=+,（1）求}{n nb a +的前10项和；（2）若等比数列}{n b 的首项31=b ，求数列}{n a 和}{n b 的通项公式.18．某中学随机抽取部分高一学生调查其每日自主安排学习的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图，其中自主安排学习时间的范围是[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100．（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）从学校全体高一学生中任选4名学生，这4名学生中自主安排学习时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）．19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ， 已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点.（1）求证：1C B ⊥平面ABC ； （2）求二面角11A EB A --的余弦值；20．已知函数()2122ln 2f x x a x x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭. （1）当1=a 时，求()f x 的单调性；（2）已知函数()222e 24ln 2x a g x a x x a x+⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭在[]1,x e ∈时总有()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围.21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点3(1,)，离心率为3，点A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点1122(,),(,)P x y Q x y . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当•0AP AQ u u u r u u u r=时，求OPQ ∆面积的最大值；（Ⅲ）若直线l 的斜率为2，求证：APQ ∆的外接圆恒过一个异于点A 的定点.请从下面所给的22、23两题中选定一题做答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分. 22.（本小题满分10分）【选修4-4:极坐标与参数方程选讲】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系， 曲线1C ：24sin 20ρρθ-+=，曲线2C ：2cos 042πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求曲线1C ，2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线1C 与y 轴交于A ，B 两点，P 为曲线2C 上任一点，求PA PB +的最小值. 23.（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】已知()11f x x ax =+--.（Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.答 案选择题1-6：ADDDCA 7-12:BBCDBD 填空题13.512 14．1915. 16．①②解答题17. （原创题）（Ⅰ）2321711+ 5分（Ⅱ）n n b n a 3,2n == 12分18. 18．（Ⅰ）0.0125；（Ⅱ）分布列见解析，()1E X =. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用直方图中矩形面积的和为1，直接求解x 即可； （Ⅱ）依题意得14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭:，随机变量ξ的所有可能取值为0、1、2、3、4，由此能求出ξ的分布列及其数学期望． 【详解】（Ⅰ）由于频率分布直方图中所有矩形面积之和为1，可得()200.0250.00650.00321x ⨯+++⨯=，解得0.0125x =； 4分（Ⅱ）由频率分布直方图可知，全体高一学生中，自主安排学习时间少于20分钟的学生的频率为1200.01254⨯=，X 的可能取值为0、1、2、3、4，且14,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，()()441304,44kkk P X k C k k N -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅≤≤∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，随机变量X 的数学期望为()1414E X =⨯=． 12分 【点睛】本题考查频率直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．19．（1）证明见解析（2【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，即可证得1C B ⊥平面ABC .（2）以B 为原点，分别以BC u u u r ，1u u u u r BC 和BA u u u r的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面1AB E 和平面11A B E 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解； 【详解】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，∴1BC =又∴22211BC BC CC +=，∴1BC BC ⊥，∵AB ⊥侧面11BB C C ，∴1AB BC ⊥. 又∵AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ∴直线1C B ⊥平面ABC . 5分（2）以B 为原点，分别以BC u u u r ，1u u u u r BC 和BA u u u r的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有()0,0,2A，()1B -，1,22E ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()1A -， 设平面1AB E 的一个法向量为()111,,n x y z =r()12AB =--u u u r，122AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ∵100n AB n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v，∴1111112012022x z x y z ⎧-+-=⎪⎨+-=⎪⎩，令1y =，则11x =，∴()n =r 设平面11A B E 的一个法向量为(),,m x y z =u r ，()110,0,2A B =-u u u u r，13,,222A E ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，∵11100m A B m A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u v v，∴203202z x y z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令y =1x =，∴()m =u r ， 2m =u r，n =r 4m n ⋅=u r r，∴cos ,m n m n m n ⋅===u r ru r r u r r 设二面角11A EB A --为α，则cos cos ,5m n α==u r r∴设二面角11A EB A --. 12分 【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．（1）见解析 （2）()24e ,00,e 1⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦U 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，得到()()2x a x a f x x⎛⎫--⎪⎝⎭'=，即解不等式可求出结果；（2）先构造函数()()()2e2ln a F x f x g x ax x x+=-=--，分别讨论0a <，0a >两种情况，用导数的方法研究函数单调性，即可根据题意求出参数范围. 【详解】(1)())()()(是减函数，是增函数，在，和，在21210∞+x f 5分（2）构造函数()()()2e2ln a F x f x g x ax x x+=-=--， 当0a <时，由[]1,x e ∈，得0a ax x -≤，2e2ln 0x x--<，∴()0F x <. 当0a >时，()2222eax x a F x x-++'=， 因为[]1,x e ∈，所以220e x -≥，20ax a +>所以()0F x '>在[]1,e 上恒成立，故()F x 在[]1,x e ∈上单调递增.()max e 40e a F x a =--≤，解得24e e 1a ≤-，又0a >，所以24e0e 1a <≤-. 故a 的取值范围是()24e ,00,e 1⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦U . 12分 【点睛】本题主要考查判断函数的单调性，以及由不等式恒成立求参数的范围，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性，最值等即可，属于常考题型.21．（I ）2214x y +=；（II ）2425；（III ）308,1717⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】 【详解】试题分析：(I)根据已知椭圆上的一个点和离心率，列方程组，可求得,a b 的值.（II ）当直线斜率不存在时，设出直线方程，代入椭圆方程，求出,P Q 两点坐标，代入0AP AQ ⋅=u u u r u u u r ，可求得直线方程，进而求得三角形的面积.当直线斜率存在时，设出直线方程，联立直线的方程和椭圆的方程 ，写出韦达定理，利用弦长公式和点到直线的距离公式计算得面积的表达式，并利用二次函数求最值的方法求得最大值.（III ）设出直线l 方程和外接圆的方程，分别联立直线的方程与圆、椭圆的方程，化简后的两个方程同解，通过对比系数可求得圆方程的表达式并求出定点坐标. 试题解析：解：（Ⅰ）由题意知：且222222{141c a a b c a b==++=，可得：2{1a b c ===，椭圆C 的标准方程为2214x y +=. 3分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，设:=l x m ，与2214x y +=联立得：,,P m Q m ⎛⎛ ⎝⎝. 由于0AP AQ •=u u u r u u u r ，得()222104m m ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，解得65m =或2m =（舍去）. 此时85PQ =，OPQ ∆的面积为2425. 当直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+，与2214x y +=联立得：()()222418410kx kmx m +++-=.由>0∆，得22410k m -+>；且148221+=+k km x x ()()212241*41m x x k -=+.由于0AP AQ •=u u u r u u u r，得：()()()()()()2212121212221240x x y y k x x km x x m --+=++-+++=.代入()*式得：22125160k m km ++=，即65m k =-或2m k =-（此时直线l 过点A ，舍去）.PQ == 点O 到直线l的距离为：d =.OPQ ∆，将65m k =-代入得： OPQ ∆的面积为24242525.OPQ ∆面积的最大值为2425. 7分 （Ⅲ）设直线l 的方程为y kx m =+，联立方程2214xy +=得：()221716410x mx m ++-=①.设APQ ∆的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=：联立直线l 的方程y kx m =+的：()()225420x M D E x m mE F ++++++=②.方程①②为同解方程，所以：()22411716542m m m D E m mE F-==++++. 又由于外接圆过点()2,0A ，则24D F +=-. 从而可得到关于,,D E F 的三元一次方程组：22412{2173201717D F DE m mEF m +=-+=+=-，解得：62417312{17122017m D m E m F -=+=+=-. 代入圆的方程为：2262431212200171717m m m x y x y -+++++-=.高2020级【理科数学试题】·第 11 页（共 2 页）整理得：()22241220324017171717m x y x y x y ⎛⎫+-+-++-= ⎪⎝⎭； 所以222412200{171717240x y x y x y +-+-=+-=，解得3017{817x y ==或2{0x y ==（舍去）. APQ ∆的外接圆恒过一个异于点A 的定点308,1717⎛⎫ ⎪⎝⎭. 12分 22（Ⅰ）因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的直角坐标方程为22420x y y +-+=，因为)cos cos sin 14πρθρθρθ⎛⎫-+=++ ⎪⎝⎭， 所以曲线2C 的直角坐标方程为10x y ++=. 5分（Ⅱ）因为曲线1C 与y轴交于(0,2A，(0,2B 两点，点A 关于直线10x y ++=的对称点为()'31A --， 所以'PA PB A B ==+≥，所以PA PB + 10分 23．详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 5分 （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥； 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2． 10分。
2020年高考二诊模拟考试数学(理科)试题 -含答案
年高考二诊模拟考试数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.总分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数()1ln (1)f x x =++的定义域为（ ） A.()2,+∞ B.()()1,22,-+∞ C.()1,2- D.1,22.复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知等差数列{}n a 满足1=2a :，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d （ ） A ．1 B ．2C ．3D ．44.已知命题p ：,x R 使1sin 2xx 成立．则p 为（ ）A ．,xR 使1sin 2xx 成立 B ．,x R 1sin 2x x 均成立C ．,x R 使1sin 2x x 成立D ．,x R 1sin 2x x 均成立5.已知双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b -=>>的一条渐近线方程为3,4y x 且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为（ ）A.221916x y -= B.221169x y -= C.22134x y -= D.22143x y -= 6.函数()()1log 011a x f x x a x +=<<+的图象的大致形状是( )7.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种8.执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( ) A ．2- B ．1- C ．12- D.129.如图,的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为（ ）A.2 B. 2 C.12 D.1210.设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点,M 是线段PF 上的点，且,PM MF =则直线OM 的斜率的最大值为( )A ．1B ．12 C ．2 D.211.下列命题为真命题的个数是（ ）（其中,e π为无理数）32>； 2ln π3<②； 3ln 3.e<③ A.0 B.1 C.2 D.312.在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，ABC ∆的面积2S =，且满足()cos 1cos a B b A =+，则()()c a b c b a +-+-的取值范围是（ ）A.()8,8 B.()0,8 C.83⎛ ⎝ D.8,83⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量()()1,2,3,1,AB AC ==-则AB BC ⋅=_________．14.设()f x (),g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()21(1)2x f g x x x ++-+=，则()()11f g -=15.直线l 是圆()221:11C x y ++=与圆()222:44C x y ++=的公切线，并且l 分别与x 轴正半轴,y 轴正半轴相交于,A B 两点，则AOB ∆的面积为16.已知函数()()21,x f x e x =+令()()()()()11*,,n n f x f x f x f x n +''==∈N若()()[]2,x n n n n f x e a x b x c m =++表示不超过实数m 的最大整数，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n n b c a 22的前n 项和为,n S 则[]20203S =三、解答題（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答）17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n S n n =-(n *∈N ).（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22,(21)2,(2)(1)(1)n a n n n n k b n k a a +⎧=-⎪=⎨=⎪--⎩（k *∈N ），数列{}n b 的前n 项和n T . 若211422nn a b n T ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭对n *∈N 恒成立，求实数,a b 的值.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，PCD ∆是正三角形，PC AC ⊥，E 是PA 的中点.（1）证明：AC BE ⊥；（2）求直线BP 与平面BDE 所成角的正弦值.19.在庆祝澳门回归祖国20周年之际，澳门特别行政区政府为了解人们对回归20年的幸福指数，随机选择了100位市民进行了调查，将他们的年龄（单位：岁）分成6段：［20,30），［30,40），［40,50），［50,60），［60,70），［70,80］，并绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）现从年龄在［20,30），［30,40），［40,50）范围内的人员中，按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用ξ表示年龄在［30,40）范围内的人数，求ξ的分布列和数学期望； （2）若将样本的频率视作概率．．．．．．．．．．，用随机抽样的方法从该地区抽取20名市民进行调查，其中有k 名市民年龄在［30,50）范围内的概率为()()0,1,2,,20,P X k k ==当()P X k =最大时，求k 的值.20.已知椭圆 ()2222:10x y C a b a b+=＞＞的焦距为斜率为12的直线与椭圆交于,A B 两点，若线段AB 的中点为D ，且直线OD 的斜率为12-. （1）求椭圆C 的方程；（2）若过左焦点F 斜率为k 的直线l 与椭圆交于点,M N ,P 为椭圆上一点，且满足OP MN ⊥，问：211MN OP +是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由.21.已知函数()ln ()x e f x x x ax a =-+∈R .（1）若函数()f x 在[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若1a =，求()f x 的最大值.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，以原点为极点，轴x 的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2224=4cos a sin aρ+.（1）求曲线1C 的极坐标方程．．．．．以及曲线2C 的直角坐标方程．．．．．．； （2）若直线:l y kx =与曲线1C 、曲线2C 在第一象限交于,P Q 两点，且2OP OQ =，点M 的坐标为(2)0，，求MPQ ∆的面积.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x x x =-++，记()f x 的最小值为.m （1）解不等式()5f x ≤；（2）若正实数a ，b 满足11a b +=22232m a b+≥.参考答案1-12：CBDDB CCBDA CA13.-614.115.216.4 17.（1）①当1n =时，由21211S =-得10;a =②当2n ≥时()()221,2221122,n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦()12.n a n n =-≥显然当1n =时上式也适合，∴()11.n a n n =-≥………………4分（2）∵()()()22211,1122n n a a n n n n +==---++ ∴()()21321242n n n T b b b b b b -=+++++++()02221111112222446222n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111114114.12226342214nnn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+-=-- ⎪++⎝⎭- 211422n na Tb n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭对n *∈N 恒成立，411,.36a b ∴=-=………………12分18.（1）证明：设F 是PD 的中点，连接EF CF 、， ∵E 是PA 的中点，∴1//,2EF AD EF AD =， ∵//, 2AD BC AD BC =，∴//, EF BC EF BC =， ∴BCFE 是平行四边形，∴//BE CF ，∵//,AD BC AB AD ⊥，∴90ABC BAD ∠=∠=︒， ∵,45,AB BC CAD AC =∠=︒=由余弦定理得2222cos 2CD AC AD AC AD CAD =+-⋅⋅∠=， ∴2224AC CD AD +==，∴AC CD ⊥， ∵PD AC ⊥，∴AC ⊥平面PCD ，∴AC CF ⊥， ∴AC BE ⊥；………………6分 （2）由（1）得AC ⊥平面PCD ，CD =ABCD ⊥平面PCD ，过点P 作PO CD ⊥，垂足为,O ∴OP ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，OC 的方向为x 轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系O xyz -，则0,0,,,,,222424P D B E ⎛⎛⎫⎫⎛--- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭∴2BP ⎛=- ⎝⎭，设(),,m x y z =是平面BDE 的一个法向量， 则00m BD m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴02204x y x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩， 令1x =，则3y z =⎧⎪⎨=⎪⎩(m =，∴26cos ,13m BP m BP m BP ⋅==⋅. ∴直线BP 与平面BDE 所成角的正弦值为13.………………12分 19.（1）按分层抽样的方法抽取的8人中， 年龄在[)20,30范围内的人数为0.00581,0.0050.0100.025⨯=++ 年龄在[)30,40范围内的人数为0.01082,0.0050.0100.025⨯=++ 年龄在[)40,50范围内的人数为0.02585,0.0050.0100.025⨯=++ξ∴的取值为0,1,2.且()30623850,14C C P C ξ===()216238151,28C C P C ξ===()12623830,28C C P C ξ=== ξ∴的分布列为：则012.1428284E ξ=⨯+⨯+⨯=…………6分 （2）设在抽取的20名市民中，年龄在[)30,50范围内的人数为,X X 服从二项分布，由频率分布直方图可知，年龄在[)30,50范围内的频率为()0.0100.025100.35,+⨯= 则()20,0.35.XB 且()()()()20200.3510.350,1,2,3,,20.kkkP X k C k -==-=设()()()()()()()20201211200.3510.35721.1130.3510.35k kk k k k P X k C k t P X k kC ----=--====-- 若1,t >则7.35,k <()()1;P X k P X k =>=- 若1,t <则7.35,k >()()1;P X k P X k =<=-7k ∴=时(),P X k =最大. ………………12分20.（1）由题意可知c =，设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆可得：2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减并整理可得， 2211222112y y y y b x x x x a -+⋅=--+，即22AB OD b k k a⋅=-.又因为12AB k =，12OD k =-，代入上式可得，224a b =. 又2222,3a b c c =+=，所以224,1a b ==，故椭圆的方程为2214x y +=.……………4分（2）由题意可知，()F ，当MN 为长轴时，OP 为短半轴，此时21115=+1=||44MN OP +； 否则，可设直线l的方程为(y k x =，联立(2214x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 可得，()22221+41240k x x k ++-=，则有：2121221241+4k x x x x k-+==，所以21124+41+4k MN x k =-= 设直线OP 方程为1y x k =-，联立22141x y y xk ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，根据对称性，不妨得P ⎛⎫ ⎝，所以22244.4k OP k +=+ 则222222222111+411+445=+=+=.44||4+44+44+444k k k k MN OP k k k k ++++综上所述，211||MN OP +为定值54. ………………12分 21. （1）由题意知，1()()x x f x e xe a x '=-++1(1)0x x e a x =-++≤在[1,)+∞上恒成立，所以1(1)xa x xe ≤+-在[1,)+∞上恒成立. 令1()(1)xg x x e x=+-，则()21'()(2)01xg x x e x x =++>≥，所以()g x 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)21g x g e ==-， 所以21a e ≤-.………………4分（2）当1a =时，()ln (0)x f x x x x x e =-+>. 则11()(1)1(1)()x x f x x e x e x x'=-++=+-， 令1()x m x e x=-，则21()0x m x e x '=--<，所以()m x 在(0,)+∞上单调递减.由于1()02m >，(1)0m <，所以存在00x >满足0()0m x =，即01x ex =. 当0(0,)x x ∈时，()0m x >，'()0f x >；当0(,)x x ∈+∞时，()0m x <，()0f x '<. 所以()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(),x +∞上单调递减. 所以()0max 0000()ln xf x fx x x e x ==-+，因为01x e x =，所以00ln x x =-，所以000()11f x x x =--+=-， 所以max () 1.f x =-………………12分22.（1）依题意，曲线()221:24,C x y -+=即2240x y x +-=，故240cos ρρθ-=，即4cos ρθ=因为22244cos a sin aρ=+，故222244cos a sin a ρρ+=， 即2244x y +=，即2214x y +=.………………4分 （2）将0θθ=，代入22244cos a sin a ρ=+，得2241 3Q sin ρθ=+， 将0θθ=，代入4cos ρθ=，得04p cos ρθ=， 由2OP OQ =，得2p Q ρρ=.即()2021641 3cos sin θθ=+ 解得2023sinθ=.则201cos 3θ=又002πθ<<，故04cos p ρθ==，Q ρ== 故MPQ ∆的面积()0123MPQ OMQ OMP p Q S S S OM sin ρρθ∆∆∆=-=⋅⋅-⋅=………10分23.（1）①当1x >时，()(1)(2)215f x x x x =-++=+≤，即2x ≤， ∴12x <≤；②当21x -≤≤时，()(1)(2)35f x x x =-++=≤， ∴21x -≤≤；③当2x <-时，()(1)(2)215f x x x x =--+=--≤，即3x ≥-， ∴32x -≤<-.综上所述，原不等式的解集为{|32}-≤≤x x .………………4分 （2）∵()12(1)(2)3f x x x x x =-++≥--+=， 当且仅当21x -≤≤时，等号成立. ∴()f x 的最小值3m =.∴2222[()]a ++2(5a ≥=， 即22236a b +≥=32a b =时，等号成立.又11a b +=a =2b =时，等号成立. ∴22232m a b +≥.…………10分。
重庆市名校联盟高2020级高三第二次联考 理科综合试题
秘密★启用前重庆市名校联盟高三第二次联合考试理科综合试题（高2020级）（本试卷共16页，总分300分，考试时间150分钟）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称。
2．请将准考证条形码粘贴在右侧的[考生条形码粘贴处]的方框内。
3．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整、笔迹清楚。
4．请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
5．保持答题卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
可能会用到的相对原子质量：H：1 C：12 O：16 Na：23 Fe：56第Ⅰ卷一、选择题：本大题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求的。
1．下列关于真核细胞结构和功能的说法正确的是A．叶绿体通过基粒中的类囊体增大膜面积B．生物膜是对生物体内所有膜结构的统称C．细胞膜都是由蛋白质、糖类、胆固醇组成的D．蛙的红细胞在分裂过程中，纺锤体的形成与中心体有关2．Na+-K+泵是普遍存在于动物细胞表面的一种载体蛋白，如下图所示，它具有A TP酶活性，能将Na+排出细胞外，同时将K+运进细胞内，维持细胞内外Na+和K+的浓度差。
载体蛋白1和载体蛋白2依赖于细胞膜两侧的Na+浓度差完成相应物质的运输。
下列叙述正确的是A．图中所示过程说明细胞膜具有流动性B．图中对Na+和K+的运输均属于主动运输C．载体蛋白1和载体蛋白2的空间结构不同D．图中各种载体蛋白参与构成细胞膜的基本骨架3．某实验小组研究化合物X对淀粉酶活性的影响，结果如图所示。
下列叙述正确的是A．化合物X降低了淀粉水解反应的活化能B．曲线II为对照组，曲线I为实验组C．淀粉酶降低了淀粉水解所需的活性能D．化合物X改变了淀粉酶催化的最适温度4．在植物体内色氨酸经过一系列反应可转变成生长素。
2020年重庆市高三学业检测(第二次)-理科数学(含答案、评分细则)
所以 CM / /DN ,又 DN 平面 AB1N ， CM 平面 AB1N ，
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分.
·5·
22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
2
2t 2
（ t 为参数），以坐标原点 O
y
2t 2
为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin2 8cos ．
值为 π ,若将 y f (x) 的图象沿 x 轴向左平移 ( 0) 个单位，所得图象关于原点对称， 2
则实数 的最小值为
·1·
A. 12
B.
6
C.
3
7
D.
12
8.2020 年 2 月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有 4 名员工报名参加
该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名员工均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情
所以 D 为 AB1 的中点．又因为 M 为 AB 的中点，
所以 DM
/
/BB1 ，且 DM
1 2
BB1 .
……………………………………………2 分
因为
N
为 CC1
的中点，所以 CN
1 2
CC1
，
所以 DM CN ，且 DM / /CN ，
所以四边形 CMDN 是平行四边形，………………………………………………4 分
223
n 1 n
n
18.解：（Ⅰ） K 2 200 (85 5 9515)2 50 5.556 6.635 100100 20180 9