【创新方案】高考数学(理)一轮突破热点题型：第3章第7节解3角形应用举例

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【创新方案】高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)解三角形应用举例理北师大版

第七节解三角形应用举例【考纲下载】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角相对于某一正方向的水平角(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．1．“仰角、俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的”．这种说法正确吗？提示：正确．2．“方位角和方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系”，这种说法是否正确？提示：正确．1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为( ) A．α>βB．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°解析：选B 根据仰角和俯角的定义可知α＝β.2．(教材习题改编)如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km解析：选B 在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝a 2＋a 2－2a 2cos 120°＝3a 2，故|AB |＝3a .3．在上题的条件下，灯塔A 在灯塔B 的方向为( ) A ．北偏西5° B ．北偏西10° C ．北偏西15° D ．北偏西20°解析：选B 由题意可知∠A ＝∠B ＝30°，又CB 与正南方向线的夹角为40°，故所求角为40°－30°＝10°，即灯塔A 在灯塔B 的方向为北偏西10°.4．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°，距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为________海里/小时．解析：由题意知，在△PMN 中，PM ＝68海里，∠MPN ＝75°＋45°＝120°，∠MNP ＝45°.由正弦定理，得MN sin 120°＝68sin 45°，解得MN ＝346海里，故这只船航行的速度为3464海里＝1762海里/小时．答案：17625．某运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 米(如图所示)，则旗杆的高度为________米．解析：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝105°，所以∠ACB ＝30°.由正弦定理得106sin 30°＝BCsin 45°，所以BC ＝206×22＝20 3 m ，在Rt △CBD 中，CD ＝BC sin 60°＝203×32＝30 m. 答案：301．测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题．2．高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度： (1)测量问题； (2)行程问题．[例1] (1)(2011·上海高考)在相距2千米的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是________千米．(2)(2013·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A＝1213，cos C ＝35.①求索道AB 的长；②问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？③为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？[自主解答] (1)如图，∠C ＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理AC sin B ＝AB sin C ，得AC ＝AB ·sin Bsin C ＝2×3222＝ 6 千米．(2)①在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040 m.所以索道AB 的长为1 040 m.②假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t ) m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短．③由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500 m.乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550 m ，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在1 25043，62514(单位：m/min)范围内．[答案](1) 6测量距离问题的常见类型及解题策略(1)测量问题．首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)行程问题．首先根据题意画出图形，建立三角函数模型，然后运用正、余弦定理求解．1．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则这条河的宽度为________．解析：∵∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，∴∠ACB ＝75°，∴AB ＝AC ，∴河宽为12AC ＝60 m.答案：60 m2．如图，某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向，从城A 出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C 处观测到距离C 处31 km 的公路上的B 处有一辆汽车正沿公路向A 城驶去，行驶了20 km 后到达D 处，测得C ，D 两处的距离为21 km ，这时此车距离A 城多少千米？解：在△BCD 中，BC ＝31 km ，BD ＝20 km ，CD ＝21 km ，由余弦定理得cos ∠BDC ＝BD 2＋CD 2－BC 22BD ·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，所以cos ∠ADC ＝17，sin ∠ADC ＝437，在△ACD 中，由条件知CD ＝21 km ，A ＝60°，所以sin ∠ACD ＝sin(60°＋∠ADC )＝32×17＋12×437＝5314.由正弦定理ADsin ∠ACD＝CDsin A，所以AD ＝2132×5314＝15 km ，故这时此车距离A 城15千米．[例2] 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m 后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．[自主解答] 如图所示，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40 m ，此时∠DBF ＝45°.过点B 作BE ⊥CD 于E ，则∠AEB ＝30°.在△BCD 中，CD ＝40 m ，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°，由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BD sin ∠BCD ，则BD ＝40sin 30°sin 135°＝20 2.∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°.在Rt △BED 中，BE ＝BD sin 15°＝202×6－24＝10(3－1) m.在Rt △ABE 中，∠AEB ＝30°，则AB ＝BE tan 30°＝103(3－3) m.故塔高为103(3－3)米．【互动探究】在本例条件下，若该人行走的速度为6 km/h ，则该人到达测得仰角最大的地方时，走了几分钟？解：设该人走了x m 时到达测得仰角最大的地方，则x tan 30°＝(40－x )tan 15°，即x 40－x ＝tan 15°tan 30°＝3tan 15°＝3tan(45°－30°)＝23－3. 解得x ＝10(3－3)．又v ＝6 km/h ＝100 m/min ，故所用时间t ＝－3100＝3－310min.即该人到达测得仰角最大的地方时，走了3－310分钟．【方法规律】解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，要理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合．如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α＝60°，在塔底C 处测得A 处的俯角为β＝45°，已知铁塔BC 部分的高为24 3 m ，则山高CD ＝________m.解：由已知条件可得tan ∠BAD ＝BD AD ，tan ∠CAD ＝CD AD，则tan ∠BAC ＝tan(60°－45°)＝BD AD －CD AD 1＋BD AD ×CD AD＝BC ·AD AD 2＋BD ·CD ＝243·CDCD 2＋3＋CD CD＝123123＋CD＝2－3，解得CD ＝(36＋123) m.答案：36＋12 3[例3] 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．[自主解答] (1)法一：设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则S ＝900t 2＋400－2·30t －＝900t 2－600t ＋400＝ 900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300，故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3 海里/小时，即小艇以30 3 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C 处相遇，如图所示．在Rt △OAC 中，OC ＝20cos 30°＝103，AC ＝20sin 30°＝10，又AC ＝30 t ，OC ＝vt ，故t ＝1030＝13，v ＝10313＝30 3 海里/小时．即小艇以30 3 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B 处相遇，如图所示则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，即v 2＝900－600t ＋400t2.∵0＜v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30.故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．【方法规律】解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．解：如题中图所示，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ⇒sin ∠ACB ＝AB BC ·sin∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin30°＝2114.—————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————个步骤——解三角形应用题的一般步骤种情形——解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．个注意点——解三角形应用题应注意的问题(1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程．(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．数学思想(六)数形结合思想在解三角形中的应用三角函数在实际生活中有着相当广泛的应用，三角函数的应用题是以解三角形、正(余)弦定理、正(余)弦函数等知识为核心，以测量、航海、筑路、天文等为代表的实际应用题是高考应用题的热点题型．求解此类问题时，应仔细审题，提炼题目信息，画出示意图，利用数形结合的思想并借助正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角函数、不等式等知识求解．[典例] (2014·广州模拟)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内的海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 的北偏东45°且与点A 相距40 2 海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 的北偏东(45°＋θ)其中sin θ＝2626，0°＜θ＜90°且与点A 相距1013 海里的位置C .(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由． [解题指导] 根据题意画出示意图，然后利用正、余弦定理求解． [解](1)如图所示，AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626.因为0＜θ＜90°，所以cos θ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫26262＝52626，BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ＝10 5.所以该船的行驶速度为10523＝15 5 海里/小时．(2)法一：如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B ，C 的坐标分别是B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，BC 与x 轴的交点为D .由题设，得x 1＝y 1＝22AB ＝40，x 2＝AC cos ∠CAD ＝1013·cos(45°－θ)＝30， y 2＝AC sin ∠CAD ＝1013·sin(45°－θ)＝20.所以过点B ，C 的直线l 的斜率k ＝2010＝2，直线l 的方程为y ＝2x －40.又点E (0，－55)到直线l 的距离d ＝|0＋55－40|1＋4＝35＜7，所以船会进入警戒水域．法二：如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q .在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝402×2＋102×5－102×132×402×105＝31010.所以sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝1－910＝1010. 在△ABQ 中，由正弦定理，得AQ ＝AB ·sin∠ABC－∠ABC ＝402×101022×21010＝40.由于AE ＝55＞40＝AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE ＝AE －AQ ＝15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．在Rt △QPE 中，PE ＝QE ·si n ∠PQE ＝QE ·sin∠AQC ＝QE ·sin(45°－∠ABC )＝15×55＝35＜7.所以船会进入警戒水域．[题后悟道] 1.对于问题(1)，知道两边夹一角，由余弦定理求得BC的长，除以行驶时间即可求得速度；对于问题(2)，延长BC 交直线AE 于点Q ，然后在△ABQ 中，由正弦定理求得AQ 的长、判断点Q 的位置，最后在△QPE 中结合已知条件即可作出判断．2．解此类问题，根据题意合理画出示意图是解题关键；将条件归纳到某一三角形中是基本的策略；合理运用正、余弦定理并注意与平面几何相关知识结合有助于问题的解决．某海域内一观测站A ，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东50°且与A 相距80海里的位置B ，经过1小时又测得该船已行驶到点A 北偏东50°＋θ其中sin θ＝158，0°＜θ＜90°且与A 相距60海里的位置C .(1)求该船的行驶速度；(2)若该船不改变航行方向继续向前行驶，求船在行驶过程中离观测站A 的最近距离．解：(1)如图，AB ＝80，AC ＝60，∠BAC ＝θ，sin θ＝158. 由于0°＜θ＜90°，所以cos θ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. 由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos θ＝40海里/小时，所以该船的行驶速度为40海里/小时．(2)在△ABC 中，由正弦定理得BC sin θ＝AC sin B ，则sin B ＝AC ·sin θBC ＝60×15840＝31516，过A 作BC 的垂线，交BC 的延长线于D ，则AD 的长是船离观测站的最近距离．在Rt △ABD 中，AD ＝AB ·sin B ＝80×31516＝1515 海里，故船在行驶过程中离观测站A 的最近距离为1515 海里．[全盘巩固]1. 两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D 由条件及图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是3 km ，那么x 的值为( )A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．3 解析：选C如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°，整理得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3.3．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝ ( )A.32B ．2－ 3 C.3－1 D.22 解析：选C 在△ABC 中，由正弦定理可知，BC ＝AB ·sin∠BAC sin ∠ACB ＝100sin 15°－＝50(6－2)，在△BCD 中，sin ∠BDC ＝BC ·sin∠CBDCD ＝6－250＝3－1.由题图，知cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1. 4．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．2 2 kmB ．3 2 kmC ．3 3 kmD ．2 3 km 解析：选B如图，由条件知AB ＝24×1560＝6.在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°，所以BS ＝ABsin 45°sin 30°＝3 2 km.5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在点B 测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析：选A 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理，得(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，整理得h 2＋50h－5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，故h ＝50 m ，故水柱的高度是50 米．6. 如图，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )A ．2.7 mB ．17.3 mC ．37.3 mD ．373 m解析：选C ∵在△ACE 中，tan 30°＝CE AE ＝CM －10AE .∴AE ＝CM －10tan 30°m. ∵在△AED 中，tan 45°＝DE AE ＝CM ＋10AE ，∴AE ＝CM ＋10tan 45° m ，∴CM －10tan 30°＝CM ＋10tan 45°， ∴CM ＝3＋3－1＝10(2＋3)≈37.3 m.7．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是________m.解析：如图，依题意甲楼高度AB ＝20tan 60°＝203，又CM ＝DB ＝20 m ，∠CAM ＝60°，所以AM ＝CM ·1tan 60°＝2033 m ，所以乙楼的高CD ＝203－2033＝4033m. 答案：40338．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________km.解析：如图，由已知得∠ACB ＝120°，AC ＝2，AB ＝3.设BC ＝x ，则由余弦定理得AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC cos 120°，即32＝22＋x 2－2×2x cos 120°即x 2＋2x －5＝0，解得x ＝6－1.答案：6－19．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝________.解析：设AB ＝h ，在△ABC 中，tan 60°＝h BC ，则BC ＝33h ，在△BCD 中，∠DBC ＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理得CD sin ∠DBC ＝BC sin ∠BDC，即30sin 135°＝33h sin 30°，解得h ＝15 6. 答案：15 610．隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边选取相距 3 km 的C 、D 两点，同时，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A 、B 、C 、D 在同一平面内)，求两目标A 、B 之间的距离．解：如图，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，所以AC ＝CD ＝ 3.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°，由正弦定理知BC ＝ 3 sin 75°sin 60°＝6＋22. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，所以AB ＝ 5 km ，所以两目标A ，B 之间的距离为 5 千米． 11．为扑灭某着火点，现场安排了两支水枪，如图，D 是着火点，A 、B 分别是水枪位置，已知AB ＝15 2 m ，在A 处看到着火点的仰角为60°，∠ABC ＝30°，∠BAC ＝105°，求两支水枪的喷射距离至少是多少？解：在△ABC 中，可知∠ACB ＝45°，由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC ，解得AC ＝15 m.又∵∠CAD ＝60°，∴AD ＝30，CD ＝153，sin 105°＝sin(45°＋60°)＝6＋24.由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ，解得BC ＝6＋22m. 由勾股定理可得BD ＝BC 2＋CD 2＝155＋ 3 m ，综上可知，两支水枪的喷射距离至少分别为30 m ，155＋ 3 m.12．如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以10 3 海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解：设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里，在△ABC 中，由余弦定理，有 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6，解得BC ＝6.又∵BC sin A ＝ACsin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22， ∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD ，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12.∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6.∴t ＝610小时≈15分钟．∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．[冲击名校]如图，摄影爱好者在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为30°，已知摄影爱好者的身高约为 3 米(将眼睛S 距地面的距离SA 按 3 米处理)．(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离AB 和立柱的高度OB ；(2)立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN ，且MN 绕其中点O 在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN 的视角∠MSN (设为θ)是否存在最大值？若存在，请求出∠MSN 取最大值时cos θ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)如图，作SC ⊥OB 于C ，依题意∠CSB ＝30°，∠ASB ＝60°.又SA ＝3，故在Rt △SAB 中，可求得AB ＝SAtan 30°＝3 m ，即摄影爱好者到立柱的水平距离AB 为3米．在Rt △SCO 中，SC ＝3，∠CSO ＝30°，OC ＝SC ·tan 30°＝3，又BC ＝SA ＝3，故OB ＝2 3 m ，即立柱的高度OB 为2 3 米．(2)存在．∵cos ∠MOS ＝－cos ∠NOS ，∴MO 2＋SO 2－SM 22MO ·SO ＝－NO 2＋SO 2－SN 22NO ·SO于是得SM 2＋SN 2＝26从而cos θ＝SM 2＋SN 2－MN 22SM ·SN ≥SM 2＋SN 2－MN 2SM 2＋SN 2＝1113. 又∠MSN 为锐角，故当视角∠MSN 取最大值时，cos θ＝1113. [高频滚动]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725C ．±725 D.2425解析：选A 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，将8b ＝5c 及C ＝2B 代入得b sin B ＝85b sin 2B，化简得1sin B ＝852sin B cos B ，则cos B ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725. 2．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2 6 ，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值；(2)求c 的值．解：(1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A. 所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63. (2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝ 1－cos 2 A ＝33.又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2 B ＝223. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin C sin A＝5.。

近年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.7解三角形应用举例学案理(2021年整理)

2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.7 解三角形应用举例学案理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.7 解三角形应用举例学案理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.7 解三角形应用举例［知识梳理］实际问题中的常用术语[诊断自测]1．概念思辨（1）方位角α的大小范围是0°≤α〈360°，方向角β的大小范围一般是0°≤β<90°(）(2）如图1，为了测量隧道口AB的长度,测量时应当测量数据a,b，γ。

（）(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α＋β＝180°。

（)(4)如图2，DC＝a，从C,D两点测得点A的仰角分别为β和α，则能求出AB的长．( ）答案（1)√（2)√（3）×（4）√2．教材衍化（必修A5P20T6)若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°, (1）且AC＝BC，则点A在点B的( ）A．北偏东15° B．北偏西15°C．北偏东10° D．北偏西10°答案B解析如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°,而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°。

∴点A在点B的北偏西15°.故选B。

高考数学复习考点知识讲解课件25 解三角形应用举例

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测量距离问题的求解策略 (1)确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另外三角形中求解． (2)确定选用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
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即 DE＝si1n0705s°itna4n51°5°＝sin17050°×sincs4oi5ns°1155°°＝sin17050°s×inss4ii5nn°1755°°＝10s0insi1n54°5°.
又 sin15°＝sin(45°－30°)＝
6－ 4
2，所以 DE＝10s0insi1n54°5°＝100(
图形表示
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术语名称
术语意义
图形表示例：(1)北偏东 α：
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的__锐__角__，通
常表达为北(南)偏东(西)α
(2)南偏西 α：
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术语名称
术语意义
图形表示
术语名称
术语意义
在目标视线与水平视线(两者在
同一铅垂平面内)所成的角中，仰角与俯角目标视线在水平视线__上__方__的
叫做仰角，目标视线在水平视线 _下__方__的叫做俯角
图形表示
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术语名称
方位角
术语意义
从某点的指北方向线起按 _顺__时__针__方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角 θ 的范围是0_°_≤__θ_<_3_6_0_°

第4章第7节解三角形应用举例-2022届高三数学一轮复习讲义(新高考)

第七节解三角形应用举例一、教材概念·结论·性质重现1．仰角和俯角意义图示在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角.2.方位角意义图示从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α.3.方向角意义图示相对于某一正方向的水平角(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向；(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似.4.坡角与坡度意义图示(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角θ为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)．坡度又称为坡比.解三角形应用问题的步骤1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β．(√) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(×) (3)若点P 在点Q 的北偏东44°，则点Q 在点P 的东偏北46°． (×) (4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2．(×)2．如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°D 解析：由条件及图可知，∠A ＝∠CBA ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 的南偏西80°. 3．如图，为测量一棵树OP 的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为________m.30＋303解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°·sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4.由正弦定理得PBsin 30°＝ABsin 15°，所以PB＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度OP＝PB sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m)．4．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D．若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________ km.64解析：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°，所以AC＝CD＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝CDsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.所以AB＝64km.所以A，B两点间的距离为64km.5．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为________．40 m解析：设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.考点1解三角形的实际应用——应用性考向1测量距离问题如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．(即从B点出发到达C点)解：在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1.因为∠ABD＝120°，由正弦定理ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，解得AD＝3(km)．在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，得9＝3＋CD2＋23×32×CD．即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝33－32(km)，BC＝BD＋CD＝33－12(km)．两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500(m)，即2.5km ，而33－12<36－12＝52＝2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰．1．若将本例条件“BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“BD ＝200 m ，CD ＝300 m ”，其他条件不变，求这条索道AC 的长．解：在△ABD 中，BD ＝200，∠ABD ＝120°. 因为∠ADB ＝30°，所以∠DAB ＝30°. 由正弦定理，得BD sin ∠DAB ＝ADsin ∠ABD ，所以200sin 30°＝ADsin 120°. 所以AD ＝200×sin 120°sin 30°＝200 3 (m)．在△ABC 中，DC ＝300 m ，∠ADC ＝150°，所以AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos ∠ADC ＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°＝390 000，所以AC ＝10039 m.故这条索道AC 长为10039 m.2．若将本例条件“∠ABC ＝120°，∠ADC ＝150°，BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“∠ADC ＝135°，∠CAD ＝15°，AD ＝100 m ，作CO ⊥AB ，垂足为O ，延长AD 交CO 于点E ，且CE ＝50 m ，如图”，求角θ的余弦值．解：在△ACD 中，∠ADC ＝135°， ∠CAD ＝15°，所以∠ACD ＝30°. 由正弦定理可得AC ＝100×sin 135°sin 30°＝100 2.在△ACE 中，由正弦定理可得sin ∠CEA ＝AC ·sin ∠CAE CE＝3－1，所以cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠CEA －π2＝sin ∠CEA ＝3－1.距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．提醒：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当．考向2 测量高度问题如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.22．6 解析：因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°. 设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v . 在Rt △ABD 中，AB ＝AD cos ∠BAD ＝100cos 60°＝200. 在Rt △ACD 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos 45°＝100 2. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ，所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，理解仰角、俯角是关键．(2)高度问题一般是把它转化成解三角形问题，要注意三角形中的边角关系的应用．若是空间的问题要注意空间图形向平面图形的转化．1．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表” )和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭” )．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即BD的长)为a，则表高(即AC的长)为()A．a sin 53°2sin 47°B．2sin 47°a sin 53°C．a tan 26.5°tan 73.5°tan 47°D．a sin 26.5°sin 73.5°sin 47°D解析：由题意得，∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°.在△ABD中，由正弦定理可得，BDsin∠BAD＝ADsin∠ABD，即asin 47°＝ADsin 26.5°，则AD＝a sin 26.5°sin 47°.在△ACD中，ACAD＝sin∠ADC＝sin 73.5°，所以AC＝a sin 26.5°·sin 73.5°sin 47°.故选D．2．如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P 离地面的高度OP (点O 在柱楼底部)．在地面上的A ，B 两点测得点P 的仰角分别为30°，45°，且∠ABO ＝60°，AB ＝50米，则OP 为( )A ．15米B ．25米C ．35米D ．45米B 解析：如图所示：由于∠OAP ＝30°，∠PBO ＝45°，∠ABO ＝60°，AB ＝50米，OP ⊥AO ，OP ⊥OB ．设OP ＝x ，则OA ＝3x ，OB ＝x ，在△OAB 中，由余弦定理得OA 2＝OB 2＋AB 2－2OB ·AB ·cos ∠ABO ，即(3x )2＝502＋x 2－2×50x ×12，所以x 2＋25x －1 250＝0，解得x ＝25或x ＝－50(舍)．3．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝80米，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则A ，B 两点间的距离为________米．805 解析：如图，在△ACD 中，∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°，所以∠DAC ＝15°.由正弦定理，得AC＝80sin 150°sin 15°＝406－24＝40(6＋2)(米)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠CBD＝30°.由正弦定理，得CDsin∠CBD＝BCsin∠BDC，所以BC＝CD·sin∠BDCsin∠CBD＝80×sin 15°sin 30°＝40(6－2)(米)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1 600(8＋43)＋1 600(8－43)＋2×1 600(6＋2)×(6－2)×12＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20，解得AB＝805(米)，则A，B两点间的距离为805米．考点2正余弦定理在平面几何中的应用(2020·青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD ＝3，BC＝ 2.(1)若CD＝1＋3，求四边形ABCD的面积；(2)若sin∠BCD＝325，∠ADC∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin∠ADC．解：(1)如图，连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，所以BD＝2.在△BCD 中，由余弦定理可得，cos C ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD ＝2＋(1＋3)2－222×2×(1＋3)＝22. 因为C 为三角形的内角，故C ＝π4，所以S △ABD ＝12AB ·AD ＝12×1×3＝32， S △BCD ＝12BC ·CD sin C ＝12×2×(1＋3)×22＝1＋32，故四边形ABCD 的面积S ＝1＋232.(2)在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝BDsin ∠BCD ，所以sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠BCD BD＝35. 因为∠ADC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以∠BDC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos ∠BDC ＝45，在Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝33，故∠ADB ＝π6，所以sin ∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠BDC ＋π6＝35×32＋45×12＝4＋3310.正余弦定理解平面几何问题的注意点(1)图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点，或是问题求解的转折点． (2)根据条件或图形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等变换公式，运用正弦定理，余弦定理解题．(3)养成应用方程思想解题的意识．1．如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)，AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，AD ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为( )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 kmA 解析：在△ACD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝34－AC 230. 在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝89－AC 280. 因为∠B ＋∠D ＝180°，所以cos B ＋cos D ＝0，即34－AC 230＋89－AC 280＝0，解得AC 2＝49.所以AC ＝7.2．(2020·山师附中高三模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝26，AD ＝3，∠ADB ＝2∠ABD ，∠BCD ＝π3.(1)求BD ；(2)求△BCD 周长的最大值．解：在△ABD 中，设BD ＝x ，∠ABD ＝α，则∠ADB ＝2α，因为AB sin 2α＝AD sin α，所以cos α＝63.由余弦定理得cos α＝x 2＋24－946x ＝63. 整理得x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝5或x ＝3. 当x ＝3时，得∠ADB ＝2α＝π2，与AD 2＋BD 2≠AB 2矛盾，故舍去，所以BD ＝5.(2)在△BCD 中，设∠CBD ＝β，所以BD sin π3＝BC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β＝CD sin β，所以BC ＝1033sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β，CD ＝1033sin β，所以BC ＋CD ＝1033·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin β＋32cos β＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6≤10. 所以△BCD 周长的最大值为15.考点3 解三角形与三角函数的综合问题(2020·合肥模拟)已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解：(1)f (x )＝1＋cos 2x 2－3sin x cos x －12＝12cos 2x －32sin 2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. (2)因为△ABC 为锐角三角形，所以0<A <π2，所以－π6<2A －π6<5π6. 又f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1，所以2A －π6＝π2，即A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立．又a ＝2，所以bc ≤4，所以S △ABC ＝12bc sin A ≤ 3. 即△ABC 的面积的最大值为 3.解三角形与三角函数综合问题的一般步骤已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12(x ∈R )，设△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0.(1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求△ABC 的周长．解：(1)f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. 因为f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6－1＝0且C 为三角形内角，所以C ＝π3. (2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，则sin B －2sin A ＝0. 由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得cos π3＝a2＋4a2－3 2·a·2a＝12，解得a＝1，b＝2，故△ABC的周长为3＋ 3.。

近年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时达标23解三角形应用举例(2021年整理)

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第23讲解三角形应用举例［解密考纲］本考点考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形,解决实际应用问题.题型一般为填空题或解答题，题目难度中等偏难.一、选择题1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的（B）A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°解析依题意作出图形可知，A在B北偏西10°的地方。

2．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则斜坡长为（C)A．1千米B．2sin 10° 千米C．2cos 10° 千米D．cos 20° 千米解析由题意知DC＝BC＝1,∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos 160°＝1＋1－2×1×1×cos（180°－20°）＝2＋2cos 20°＝4cos210°，∴BD＝2cos 10°。

2022届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.7解三角形应用举例学案理含解析北师大版20210

第七节解三角形应用举例命题分析预测学科核心素养从近五年的高考来看，本节内容直接命题较少，主要涉及高度、距离、角度等实际应用问题．本节主要考查考生的数学建模、数学运算核心素养．授课提示：对应学生用书第84页知识点测量中的有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的X围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）α例：（1）北偏东α：（2）南偏西α：易混淆方位角与方向角的概念1．方位角是指北方向线按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．2．“方位角”与“方向角”的X围：方位角大小的X围是[0°，360°），方向角大小的X围是[)0°，90°．1．（易错题）若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的（）A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°解析：如图所示，∠ACB ＝90°，又AC ＝BC ，∴∠CBA ＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°． ∴点A 在点B 的北偏西15°．答案：B2．如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，则可以计算出A ，B 两点的距离为 m ．解析：由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC sin B ，又因为∠B ＝30°，所以AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝502（m ）．答案：50 23．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a 米到B ，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝米．解析：由题图可得∠P AQ＝α＝30°，∠BAQ＝β＝15°，在△P AB中，∠P AB＝α－β＝15°，又∠PBC＝γ＝60°，所以∠BP A＝（90°－α）－（90°－γ）＝γ－α＝30°，所以asin 30°＝PBsin 15°，所以PB＝6－22a，所以PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋a sin β＝6－22a×sin 60°＋a sin 15°＝22a．答案：2 2a授课提示：对应学生用书第84页题型一距离问题[例]（2021·某某质检）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径（即A，B两点间的距离），现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA ＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为_________．[解析]由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得AC ＝80sin 150°sin 15°＝406－24＝40（6＋2）．在△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°，所以∠DBC ＝30°，由正弦定理CD sin ∠CBD ＝BC sin ∠BDC，得BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD＝80×sin 15°12＝160sin 15°＝40（6－2）．在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝1 600×（8＋43）＋1 600×（8－43）＋2×1 600×（6＋2）×（6－2）×12＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝ 32 000，解得AB ＝805．故图中海洋蓝洞的口径为805． [答案] 80 5求距离问题的两个注意事项（1）选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．[对点训练]如图，为了测量两山顶D ，C 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，在A 位置时，观察D 点的俯角为75°，观察C 点的俯角为30°；在B 位置时，观察D 点的俯角为45°，观察C 点的俯角为60°，且AB ＝ 3 km ，则C ，D 之间的距离为 km ．解析：在△ABD中，因为∠BAD＝75°，∠ABD＝45°，所以∠ADB＝60°，由正弦定理可得ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，即3sin 60°＝ADsin 45°，所以AD＝3sin 45°sin 60°＝2（km）．由题意得∠ABC＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，所以BC＝AB＝ 3 km．所以AC＝3 km．在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD cos∠DAC＝5，即CD＝ 5 km．答案： 5题型二高度问题[例]如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝m．[解析]由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°．又AB＝600 m，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC＝300 2 m．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝3002×33＝1006（m）．[答案]100 6利用正、余弦定理求解高度问题应注意的三个问题（1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角（它是在铅垂面上所成的角）、方向（位）角（它是在水平面上所成的角）是关键．（2）在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出错．（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．[对点训练]为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B的同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝40 m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE＝1 m，则发射塔高AB＝m．解析：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，则EF＝BC，BF＝CE＝1 m，∠AEF＝30°．在△BCD 中，由正弦定理得 BC ＝CD ·sin ∠BDC sin ∠CBD＝40·sin 60°sin 45°＝206（m ）．所以EF ＝20 6 m ．在Rt △AFE 中，AF ＝EF ·tan ∠AEF ＝206×33＝202（m ），所以AB ＝AF ＋BF ＝202＋1（m ）．答案：202＋1题型三角度问题[例] 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．[解析] 如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°．根据余弦定理得（14x ）2＝122＋（10x ）2－240x cos 120°，解得x ＝2（负值舍去）．故AC ＝28，BC ＝20．根据正弦定理得BC sin α＝AC sin 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314．所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314．测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． [提醒]方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．[对点训练]如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．解析：在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，所以BC ＝207．由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ，即sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217．由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277．由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝ cos （∠ACB ＋30°）＝cos ∠ACB ·cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114．解三角形应用问题中的核心素养数学建模——三斜求积公式的应用我国南宋著名数学家秦九韶（约1202－1261）的著作《数书九章》卷五“田域类”中有一题：“问有沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何．”该题就是已知三角形的三边长，求三角形的面积．《数书九章》给出的解法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”写成公式形式就是△ABC 的面积S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222，其中△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a >b >c ．这个公式中的三斜具有“对称性”，a ，b ，c 只要分别表示三角形的三边即可，不一定专指大斜、中斜与小斜．秦九韶给出的“三斜求积”公式与海伦公式（△ABC 的面积S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ），其中△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，p ＝a ＋b ＋c 2，海伦公式的特点是形式漂亮，便于记忆）形异而质相同，填补了我国传统数学的一个空白，代表了我国古代已具有很高的数学水平，是我国数学史上的一颗明珠．[例] 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就提出了已知三角形的三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”（即△ABC 的面积S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222，其中△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a >b >c ）并举例“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何？”则该三角形沙田的面积为（） A ．82平方里 B ．83平方里 C ．84平方里D ．85平方里[解析] 由题意知三角形沙田的三边长分别为13里、14里、15里，代入三角形的面积公式可得三角形沙田的面积S ＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤132×152－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋152－14222＝84（平方里）． [答案] C[对点训练]《海岛算经》是中国学者X 徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆BC 和DE ，两标杆之间的距离BD ＝1 000步，两标杆的底端与海岛的底端H 在同一直线上，从前面的标杆B 处后退123步，人眼贴地面，从地上F 处仰望岛峰，A ，C ，F 三点共线，从后面的标杆D 处后退127步，人眼贴地面，从地上G 处仰望岛峰，A ，E ，G 三点也共线，则海岛的高为（注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步）（）A ．1 255步B ．1 250步C ．1 230步D ．1 200步解析：因为AH ∥BC ，所以△BCF ∽△HAF ，所以BF HF ＝BC AH ．因为AH ∥DE ，所以△DEG ∽△HAG ，所以DG HG ＝DE AH ．又BC ＝DE ，所以BF HF ＝DG HG ，即123123＋HB ＝127127＋1 000＋HB ，所以HB ＝30 750步，又BF HF ＝BCAH ，所以AH ＝5×（30 750＋123）123＝1 255（步）．答案：A。

高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形热点探究课2 三角函数与解三角形中的高考热点问题教师用

热点探究课(二) 三角函数与解三角形中的高考热点问题[命题解读] 从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T 17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图像与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用．热点1 三角函数的图像与性质(答题模板)要进行五点法作图、图像变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为一个角的一种三角函数，求解这类问题，要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图像向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值. 【导学号：66482187】[思路点拨] 1.先逆用倍角公式，再利用诱导公式、辅助角公式将f (x )化为正弦型函数，然后求其周期．2．先利用平移变换求出g (x )的解析式，再求其在给定区间上的最值．[规X 解答] (1)f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)3分＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，5分于是T ＝2π1＝2π. 6分 (2)由已知得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. 8分 ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，10分 ∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈[－1,2]. 11分故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1. 12分[答题模板] 解决三角函数图像与性质的综合问题的一般步骤为：第一步(化简)：将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式．第二步(用辅助角公式)：构造f (x )＝a 2＋b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·b a 2＋b 2. 第三步(求性质)：利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质．第四步(反思)：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规X ．[温馨提示] 1.在第(1)问的解法中，使用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2 sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a ，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注.2．求g (x )的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图像进行求解．[对点训练1] (2016·某某模拟)已知函数f (x )＝A sin ωx ＋B cos ωx (A ，B ，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f (x )max ＝2. (1)求f (x )的解析式； (2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．[解] (1)因为f (x )＝A 2＋B 2sin(ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π. 2分又因为当x ＝13时，f (x )max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，4分所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(k ∈Z )．故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6. 5分 (2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z ). 7分由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512，9分又k ∈Z ，知k ＝5，10分由此可知在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163. 12分热点2 解三角形从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是实施边角互化，同时结合三角恒等变换进行化简与求值．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． [解] (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ， S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD . 2分因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理，得sin B sin C ＝AC AB ＝12. 5分 (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 7分在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 9分故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6.由(1)，知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 12分[规律方法] 解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行“角化边”或“边化角”，要抓住能用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则两个定理都有可能用到．[对点训练2] (2016·某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值． [解] (1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得a sin B ＝b sin A ．2分又由a sin2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6. 5分 (2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则 sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6 ＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16. 12分热点3 三角恒等变换与解三角形的综合问题以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．(2017·东北三省四市一联)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos B －2cos A 2a －b ＝cos C c . (1)求ab 的值；(2)若角A 是钝角，且c ＝3，求b 的取值X 围．[解] (1)由题意及正弦定理得sin C cos B －2sin C cos A ＝2sin A cos C －sin B cos C ，2分 ∴sin C cos B ＋sin B cos C ＝2(sin C cos A ＋sin A cos C )．∴sin(B ＋C )＝2sin(A ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝2sin B ，∴ab＝2. 5分 (2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋9－a 22b ·3＝b 2＋9－4b 26b ＝9－3b 26b<0， ∴b > 3. ①7分∵b ＋c >a ，即b ＋3>2b ，∴b <3， ②由①②得b 的X 围是(3，3). 12分[规律方法] 1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理．2．解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化．[对点训练3] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2.(1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A 的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．【导学号：66482188】 [解] (1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13，所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A2tan A ＋1＝25. 5分(2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得sin A ＝1010，cos A ＝31010. 7分由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝3 5. 9分由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4，得sin C ＝255.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9. 12分。

高三数学一轮总复习第三章三角函数解三角形3.7解三角形应用举例课件.ppt

解析：如图所示，某人在 C 处，AB 为塔高，他沿 CD 前进，CD＝40，此时∠ DBF＝45°，过点 B 作 BE⊥CD 于 E，则∠AEB＝30°，
在△BCD 中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理，得 sin∠CDDBC＝sin∠BDBCD， ∴BD＝4s0insi1n3350°°＝20 2(米)。 ∠BDE＝180°－135°－30°＝15°。在 Rt△BED 中，
29
通关特训 3 如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里
的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救。信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°，
相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 θ 的方向即沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cosθ 等于( )
A.
21 7
解析：如图所示，
由题意知∠C＝45°，
由正弦定理得siAn6C0°＝sin245°，
∴AC＝
2× 2
23＝
6。
2
答案： 6
13
4．一船向正北航行，看见正东方向有相距 8 海里的两个灯塔恰好在一条直线上。继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东 60°，另一灯塔在船的南偏东 75°，则这艘船每小时航行__________海里。
并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求 A、B 之间的距
离。
16
解析：如图所示，在△ACD 中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，
∴AC＝CD＝ 3 km。
在△BCD 中，∠BCD＝45°，
∠BDC＝75°，∠CBD＝60°。
∴BC＝
s3isni6n07°5°＝

2015高考数学一轮复习精选课件：第3章第7节解3角形应用举例

第四页，编辑于星期五：十二点十七分。
高频考点全通关——测量距离问题
闯关二：典题针对讲解——行程问题
(2)假设乙出发 t min 后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了(100＋50t) m，乙距离 A 处 130t m，所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×12 13
的景点 A 处下山至 C 处有两种路径．一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min，山路 AC 长为
1 260 m，经测量，cos A＝1123，cos C＝35. (1)求索道 AB 的长； (2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解：(1)在△ABC 中，因为 cos A＝12，cos C＝3，所以 sin A＝ 5 ，sin C＝4.
答案：60 m
第八页，编辑于星期五：十二点十七分。
高频考点全通关——测量距离问题闯关四：及时演练，强化提升解题技能
2. 如图，某观测站 C 在城 A 的南偏西 20°的方向，
从城 A 出发有一条走向为南偏东 40°的公路，在 C 处观测到距离 C 处 31 km 的公路上的 B 处有一辆汽车正沿公路向 A 城驶去，行驶了 20 km 后到达 D 处，测得 C，D 两处的距离为 21 km，这时此车距离 A 城多少千米？

全国近年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第7讲解三角形的应用举例学案(2021年整理)

（全国版）2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第7讲解三角形的应用举例学案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国版）2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第7讲解三角形的应用举例学案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第7讲解三角形的应用举例板块一知识梳理·自主学习［必备知识］考点1 仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．考点2 方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．考点3 方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角,如北偏东α，南偏西α。

特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成45°角称为西南方向，东北方向等．（1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）；（2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3）南偏西等其他方向角类似．考点4 坡角与坡度1．坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角）．2．坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡度)．坡度又称为坡比．[必会结论]1．仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．2．“方位角"与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围是错误!。

［考点自测］1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”）（1）方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( ）（2）从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()（3）若点P在Q的北偏东44°,则Q在P的东偏北46°。

高考数学一轮知识点各个击破第三章三角函数、解三角形课件文新人教A版

(2)设集合
k M＝xx＝2 ×180° ＋45° ，k∈Z，
k xx＝ N＝ 4
×180° ＋45° ，k∈Z，判断两集合的关系．
[自主解答] (1)所有与角 α 有相同终边的角可表示为： β＝45° ＋k×360° (k∈Z)，则令－720° ＋k×360° ， ≤45° <0° 765 45 得－765° ≤k×360° <－45° ，解得－ ≤k<－， 360 360 从而 k＝－2 或 k＝－1，代入得 β＝－675° β＝－315° 或 .
11 A．－ 4 C．－4
11 B. 4 D．4
3 解析：(1)由|OP| ＝x ＋＝1， 4
2 2
1 得 x＝± ，tan α＝± 3. 2
m 4 (2)由题意可知，cos α＝＝－， 2 5 m ＋9 又 m<0，解得 m＝－4.
答案：（1）B（2）C
[例3] 圆心角．
(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的
⑤弧长公式： l＝|α|r ，扇形面积公式：
1 2 1 |α|r lr 2 . S 扇形＝ 2 ＝
2．任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数定义：设 α 是一个任意角， α 的终边与单位圆交于点 P(x，角 y)，那么角 α 的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝ y ，cos
y α＝ x ，tan α＝ x ，它们都是以角为自变量，以单位圆
式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、
π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置．
1．(1)给出下列四个命题： 3π 4π ①－是第二象限角；② 是第三象限角；③－400° 4 3 是第四角限角；④－315° 是第一象限角．其中正确的命题有 ( )

2018版高考数学一轮总复习第3章三角函数解三角形3.7解三角形的应用举例课件理2017052202

两点不相通的距离
例1
[2017· 昆明模拟]如图所示，要测量一水塘两侧 A，
B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置 C，用经纬仪测出角 α，再分别测出 AC，BC 的长 b，a，则可求出 A，B 两点间的距离．即 AB＝算 AB 的长． a2＋b2－2abcosα. 若测得 CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60° ，试计
在 △ ABC 中，由余弦定理，得 AB2 ＝ AC2 ＋ BC2 － 3 3 3 6 2 3 2AC· BCcos45° ＝＋－ 2× × × ＝ . 4 8 2 4 2 8 6 6 ∴ AB＝ (km)．∴ A， B 两点间的距离为 km. 4 4
[双基夯实] 一、疑难辨析判断下列结论的正误． ( 正确的打“√”，错误的打 “×”) 1．有一个斜坡，高为 2，坡度为 30° ，则坡长为 4.( × ) 2．如图①，为了测量隧道口 AB 的长度，测量时应当测量数据 a，b，γ.( √ ) 3．从 A 处望 B 处的仰角为 α，从 B 处望 A 处的俯角为 β，则 α＋β＝180° .( × )
(1)北偏东 α，即由指北方向顺时针旋转 α 到达目标方向 (如图③ )； (2)北偏西 α，即由指北方向逆时针旋转 α 到达目标方向； (3)南偏西等其他方向角类似．
4．坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角 θ 为坡角 )； (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比 ( 如图④， i 为坡度)．坡度又称为坡比．
50 度是________m.
解析设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在△ABC 中，A＝60° ，AC＝h，AB＝100，BC＝ 3h，根据余弦定理得( 3h)2＝h2＋1002－2· h· 100· cos60° ，即 h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即 h＝50，故水柱的高度是 50 m.

2021届山东高考数学一轮创新：第3章第7讲解三角形应用举例

在北偏东 60°方向，行驶 4 h 后，船到达 B 处，看到这个灯塔在北偏东 15°
方向，这时船与灯塔的距离为( )
A.15 2 km
B．30 2 km
C．45 2 km
D．60 2 km
答案
解析作出示意图如图所示，依题意有 AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°， ∠CBM＝15°，
∴∠MAB＝30°，∠AMB＝45°. 在△AMB 中，由正弦定理，得sin6405°＝siBn3M0°，解得 BM＝30 2.
4.坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角 θ 为坡角)． (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比．
1.概念辨析
(1)东北方向就是北偏东 45°的方向．( )
(2)从 A 处望 B 处的仰角为 α，从 B 处望 A 处的俯角为 β，则 α，β 的关
解析在△ABC 中，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝180° －45°－105°＝30°，又因为 AC＝50 m，所以由正弦定理得 AB＝ACsisni∠n∠ABACCB
50× ＝1
2 2 ＝50
2(m).
2
解析
(4)如图，从无人机 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67°，30°，此时无人机的高度是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于___6_0____ m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92， cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， 3≈1.73)
1
PART ONE
基础知识过关
1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 01 ______的角叫仰角，在水平线 02 _下__方___的角叫俯角(如图①)．

创新方案高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第七节解三角形应用举例课件理

第三十页，共31页。
[易错防范] 1．解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来．而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错． 2．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.
α，β 的关系为 α＋β＝180°.( )
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(4)若点 P 在 Q 的北偏东 44°，则 Q 在 P 的东偏北 46°.( ) (5)如果在测量中，某渠道斜坡坡比为34，设 α 为坡角，那么 cos α＝34.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×
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第一页，共31页。
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考纲要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α(如图②)．
2.如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )
A．a km B. 3a km C. 2a km
D．2a km
解析：选 B 在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2 －2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a2，故|AB|＝ 3a.
所以 AB＝asin 60°＝
3a 2.
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