北京市西城区高一数学上学期期末考试试题
西城区2019-2020学年度第一学期期末高一数学试题及答案(WORD版)
北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷 高一数学 第1页（共11页）北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷高一数学 2020.1本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题 共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|33}B x x =-<<，那么A B =I （ ） （A ）{1,1}- （B ）{2,0}- （C ）{2,0,2}-（D ）{2,1,0,1}--（2）方程组220,2x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（ ）（A ）{(1,1),(1,1)}-- （B ）{(1,1),(1,1)}-- （C ）{(2,2),(2,2)}-- （D ）{(2,2),(2,2)}-- （3）函数11y x =+-的定义域是（ ） （A ）[0,1) （B ）(1,)+∞ （C ）(0,1)(1,)+∞U（D ）[0,1)(1,)+∞U（4）下列四个函数中，在(0,)+∞上单调递减的是（ ） （A ）1y x =+（B ）21y x =-（C ）2x y =（D ）12log y x =（5）设2log 0.4a =，20.4b =，0.42c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）a c b <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<（6）若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ） （A ）ac bd < （B ）ac bd >（C ）ad bc <（D ）ad bc >北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷 高一数学 第2页（共11页）（7）设,a b ∈∈R R ．则“a b >”是“||||a b >”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了 2000mg 该药物，那么x 小时后病人血液中这种药物的含量为（ ） （A ）2000(10.2)mg x - （B ）2000(10.2)mg x - （C ）2000(10.2)mg x - （D ）20000.2mg x ⋅（9）如图，向量a b -等于（ ）（A ）123e e - （B ）123e e - （C ）123e e -+ （D ）123e e -+（10）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为 x ，其函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图像．给出下列四种说法：① 图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ② 图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③ 图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④ 图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本． 其中，正确的说法是（ ） （A ）①③ （B ）①④（C ）②③（D ）②④北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷 高一数学 第3页（共11页）第二部分（非选择题 共100分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
北京市西城区(普通校)高一数学上学期期末考试试题
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学试卷满分：150分 考试时间：120分钟 A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知(0,2π)α∈，且sin 0<α，cos 0>α，则角α的取值范围是（ ） （A ）π(0,)2（B ）π(,π)2（C ）3π(π,)2（D ）3π(,2π)22．已知向量(2,8)=a ，(4,2)=-b ．若2=-c a b ，则向量=c （ ） （A ）(0,18)（B ）(8,14)（C ）(12,12)（D ）(4,20)-3．已知角α的终边经过点(3,4)P -，那么sin =α（ ） （A ）35（B ）45-（C ）34（D ）34-4．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD =u u u r（ ）（A ）1()2AB AC +u u ur u u u r（B ）1()2AB AC -u u ur u u u r（C ）1()2AB BC +u u ur u u u r（D ）1()2AB BC -u u ur u u u r5．函数2(sin cos )y x x =-的最小正周期为（ ） （A ）2π（B ）3π2（C ）π （D ）π26．如果函数cos()y x =+ϕ的一个零点是3π，那么ϕ可以是（ ） （A ）6π （B ）6π-（C ）3π（D ）3π-7．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =， E 是CD的中点，那么AE DC ⋅=u u u r u u u r（ ）（A ）4（B ）2（C ）3（D ）18．当[0,π]x ∈时，函数()cos 3sin f x x x =-的值域是（ ） （A ）[2,1]-（B ）[1,2]-（C ）[1,1]-（D ）[2,3]-9．为得到函数πcos()6y x =+的图象，只需将函数sin y x =的图象（ ）（A ）向左平移π3个单位 （B ）向右平移π3个单位 （C ）向左平移2π3个单位（D ）向右平移2π3个单位10．已知a ，b 为单位向量，且m ⋅=a b ，则||t +a b ()t ∈R 的最小值为（ ） （A ）21m +（B ）1（C ）||m（D ）21m -二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11．若向量(1,2)=a 与向量(,1)=-λb 共线，则实数=λ_____． 12．已知α是第二象限的角，且5sin 13α=，则cos =α_____． 13．若(,)22ππ∈-θ，且tan 1>θ，则θ的取值范围是_____． 14．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(1,1)=c ．若(,)=∈R c a +b λμλμ，则=λμ_____． 15．函数2()sin sin cos f x x x x =+⋅的最大值是_____． 16．关于函数()sin(2)()6f x x x π=-∈R ，给出下列三个结论：① 对于任意的x ∈R ，都有2()cos(2)3f x x π=-； ② 对于任意的x ∈R ，都有()()22f x f x ππ+=-；③ 对于任意的x ∈R ，都有()()33f x f x ππ-=+．其中，全部正确结论的序号是_____．三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知tan 2=-α，其中(,)2π∈πα． （Ⅰ）求πtan()4-α的值； （Ⅱ）求sin 2α的值．18．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )=ααa ，1(,22=-b ，其中α是锐角． （Ⅰ）当30︒=α时，求||+a b ； （Ⅱ）证明：向量+a b 与-a b 垂直； （Ⅲ）若向量a 与b 夹角为60︒，求角α．19．（本小题满分10分）已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中a ∈Z ，b ∈Z ．设集合{|()0}A x f x ==，{|(())0}B x f f x ==，且A B =．（Ⅰ）证明：0b =； （Ⅱ）求a 的最大值．B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．已知集合{,}A a b =，则满足{,,}A B a b c =U 的不同集合B 的个数是_____．2．若幂函数y x =α的图象过点(4,2)，则=α_____．3．函数2lg ,0,()4,0,x x f x x x >⎧=⎨-<⎩的零点是_____．4．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是减函数．若()(2)f m f >，则 实数m 的取值范围是_____．5．已知函数()f x 的定义域为D ．若对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得M =成立，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为M ．已知函数()31([0,1])g x x x =+∈，则()g x 在区间[0,1]上的几何平均数为_____．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数()(2)()f x x x a =-+，其中a ∈R ． （Ⅰ）若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值． 7．（本小题满分10分）已知函数()23xxf x a b =⋅+⋅，其中,a b 为常数． （Ⅰ）若0ab >，判断()f x 的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若0ab <，解不等式：(1)()f x f x +>．8．（本小题满分10分）定义在R 上的函数()f x 同时满足下列两个条件：① 对任意x ∈R ，有(2)()2f x f x +≥+；② 对任意x ∈R ，有(3)()3f x f x +≤+． 设()()g x f x x =-．（Ⅰ）证明：(3)()(2)g x g x g x +≤≤+； （Ⅱ）若(4)5f =，求(2014)f 的值．北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2015.1 A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.D ；2.B ；3.B ；4.A ；5.C ；6.A ；7.B ；8.A ；9.C ； 10.D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.12-； 12.1213-； 13. (,)42ππ；14.32； 15.12+； 16. ① ② ③.注：16题，少解不给分.三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.（本小题满分12分） （Ⅰ）解：因为 tan 2=-α，所以 πtan tanπ4tan()π41tan tan 4--=+⋅ααα 【 3分】 3=. 【 6分】（Ⅱ）解：由π(,π)2∈α，tan 2α=-， 得sin α=， 【 8分】cos α=. 【10分】 所以 4sin 22sin cos 5==-ααα. 【12分】18.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：当30︒=α时，1)2=a ， 【 1分】 所以+a b =， 【 2分】 所以||+=a b = 【 4分】 （Ⅱ）证明：由向量(cos sin )αα=，a，1(,22=-b ， 得1(cos ,sin 22+=-+ααa b，1(cos ,sin 22-=+-ααa b ， 由 π(0,)2∈α，得向量+a b ，-a b 均为非零向量. 【 5分】 因为 222213()()||||(sincos )()044+⋅-=-=+-+=ααa b a b a b ， 【 7分】所以向量+a b 与-a b 垂直. 【 8分】 （Ⅲ）解：因为||||1==a b ，且向量a 与b 夹角为60︒， 所以 1||||cos 602︒⋅=⋅=a b a b . 【10分】所以 11cos 222-+=αα， 即 π1sin()62-=α. 【12分】 因为 π02<<α， 所以 πππ663-<-<α， 【13分】 所以 ππ66-=α， 即3π=α. 【14分】19.（本小题满分10分） （Ⅰ）证明：显然集合A ≠∅．设 0x A ∈，则0()0f x =． 【 1分】 因为 A B =，所以 0x B ∈， 即 0(())0f f x =，所以 (0)0f =， 【 3分】 所以 0b =． 【 4分】 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sin f x a x =，a ∈Z ．① 当0a =时，显然满足A B =． 【 5分】 ② 当0a ≠时，此时{|sin 0}A x a x ==；{|sin(sin )0}B x a a x ==， 即{|sin ,}B x a x k k ==π∈Z ． 【 6分】因为 A B =，所以对于任意x ∈R ，必有sin a x k ≠π (k ∈Z ，且0)k ≠成立． 【 7分】所以对于任意x ∈R ，sin k x aπ≠，所以 1k a π>， 【 8分】 即 ||||a k <⋅π，其中k ∈Z ，且0k ≠．所以 ||a <π， 【 9分】 所以整数a 的最大值是3． 【10分】B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. 4；2.12； 3. 2-，1； 4. (2,2)-； 5. 2. 注：3题，少解得2分，有错解不给分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分）（Ⅰ）解法一：因为2()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=+--， 所以，()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. 【 2分】 由212a-=，得0a =. 【 4分】 解法二：因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以必有(0)(2)f f =成立， 【 2分】 所以 20a -=， 得0a =. 【 4分】 （Ⅱ）解：函数()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. ① 当202a-≤，即 2a ≥时， 因为()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(0)2f a =-. 【 6分】② 当2012a-<<，即 02a <<时， 因为()f x 在区间2(0,)2a -上单调递减，在区间2(,1)2a-上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为222()()22a a f -+=-. 【 8分】 ③ 当212a-≥，即 0a ≤时， 因为()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(1)(1)f a =-+. 【10分】7.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数；当0,0a b <<时，()f x 在R 上是减函数； 【 1分】 证明如下：当0,0a b >>时，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则210x x x ∆=->， 则 212121()()(22)(33)xxxxy f x f x a b ∆=-=-+-.因为 122122,0(22)0xxxxa a <>⇒->；又122133,0(33)0xxxxb b <>⇒->， 所以 21()()0y f x f x ∆=->，所以，当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数.当0,0a b <<时，同理可得，()f x 在R 上是减函数. 【 5分】 （Ⅱ）解：由(1)()2230xxf x f x a b +-=⋅+⋅>，得 32()2xb a >-. （*） 【 6分】 ① 当0,0a b <>时，（*）式化为3()22xa b->， 解得32log ()2ax b>-. 【 8分】 ② 当0,0a b ><时，（*）式化为3()22xa b-<， 解得32log ()2ax b<-. 【10分】 8.（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：因为()()g x f x x =-，所以(2)(2)2g x f x x +=+--，(3)(3)3g x f x x +=+--．由条件①，②可得(2)(2)2()22()()g x f x x f x x f x x g x +=+--≥+--=-=； ③ 【 2分】 (3)(3)3()33()()g x f x x f x x f x x g x +=+--≤+--=-=． ④ 【 4分】所以(3)()(2)g x g x g x +≤≤+． （Ⅱ）解：由③得 (2)()g x g x +≥，所以(6)(4)(2)()g x g x g x g x +≥+≥+≥． 【 6分】由④得 (3)()g x g x +≤，所以(6)(3)()g x g x g x +≤+≤． 【 7分】 所以必有(6)()g x g x +=，即()g x 是以6为周期的周期函数． 【 8分】 所以(2014)(33564)(4)(4)41g g g f =⨯+==-=． 【 9分】 所以(2014)(2014)20142015f g =+=． 【10分】。
2022-2023学年北京市西城区第十四中高一上数学期末统考试题含解析
【解析】①由两直线的位置关系判断；②由直线与平面的位置关系判断；③由空间角定理判断；④由直线与平面平行的定义判断.
【详解】①两条直线 ， 没有公共点，那么 ， 平行或异面直线，故错误；
②若直线 上有无数个点不在平面 内，则 或相交，故错误；
③由空间角定理知，正确；
④由直线与平面平行的定义知，正确；
【详解】当 时， ，
即“ ”是 的充分条件；
当 时， ，
则 或 ，
则 或 ,即 成立，推不出 一定成立，
故“ ”不是 的必要条件，
故选：A.
2、D
【解析】借助正方体模型还原几何体，进而求解表面积即可.
【详解】解：如图，在边长为 的正方体模型中，将三视图还原成直观图为三棱锥 ，
其中， 均为直角三角形， 为等边三角形，
【详解】由已知可得函数 在R上为单调递增函数，
则需满足 ，解得 ，
所以实数a的取值范围为 ，
故答案为：
15、 (答案不唯一)
【解析】利用函数的单调性及奇偶性即得.
【详解】∵函数在 上单调递增且图象关于y轴对称，
∴函数可为 .
故答案为： .
16、
【解析】作出函数 的图象，如图所示，
当 时， 单调递减，且 ，当 时， 单调递增，且 ，所以函数 的图象与直线 有两个交点时，有
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）
（2）当 时，y有最小值为3.
【解析】（1）根据y为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后每年向自来水公司缴水费之和即可建立函数模型；
（2）利用均值不等式即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，y关于x的函数表达式为 ；
【小问2详解】
北京市西城区高一数学上学期期末考试试题(含解析)
北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷 [必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.【知识点】三角函数应用【试题解析】因为，是第二或三象限角，或终边在x轴负半轴，又，是第一或三象限角，所以，是第三象限的角，故答案为：C【答案】C【知识点】线性运算【试题解析】因为，故答案为：B【答案】B【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】因为向量共线，所以，得，故答案为：B【答案】B【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为在是减函数，在先增后减，在是减函数，在是增函数，故答案为：C【答案】C【知识点】倍角公式【试题解析】因为所以，是最小正周期为的奇函数故答案为：D【答案】D【知识点】三角函数图像变换【试题解析】因为所以，可以将函数的图象向右平移个单位长度故答案为：D 【答案】D 7. 若直线x a =是函数sin()6y x π=+图象的一条对称轴，则a 的值可以是（ ）（A ）3π （B ）2π （C ）6π-（D ）3π-【试题解析】因为直线是函数图象的一条对称轴，所以，，由选项可知a只能是。
故答案为：A【答案】A【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为非零向量，夹角为，且，，所以，，，因为为非零向量，解得=故答案为：A【答案】A9. 函数2sin(2)y x =π的图象与直线y x =的交点个数为（ ） （A ）3（B ）4（C ）7（D ）8【知识点】数量积的定义【试题解析】因为由图像可知共7个交点 故答案为：C【答案】C10. 关于函数()sin cos f x x x =+，给出下列三个结论：①函数()f x 的最小值是1； ②函数()f x 的最大值是2； ③函数()f x 在区间(0,)4π上单调递增.其中全部正确结论的序号是（ ） （A ）②（B ）②③（C ）①③（D ）①②③【试题解析】因为当时，，当时单增所以，①②③均正确 故答案为：D 【答案】D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin45π= _____. 【知识点】诱导公式【试题解析】因为ABCD故答案为：【答案】12. 如图所示，D 为ABC △中BC 边的中点，设AB =u u u r a ，AC =u u u rb ，则BD u u u r_____.（用a ，b 表示）【知识点】平面向量基本定理【试题解析】因为故答案为：【答案】13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan2α=_____.【知识点】倍角公式【试题解析】因为角终边上一点的坐标为，所以，故答案为：【答案】14. 设向量(0,2),a b ==，则,a b 的夹角等于_____. 【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】因为所以，的夹角等于。
北京市西城区高一数学上学期期末考试试题
10. 关于函数 f ( x) sin x cosx ，给出下列三个结论： ①函数 f ( x) 的最小值是 1； ②函数 f ( x) 的最大值是 2 ；
③函数 f ( x) 在区间 (0, ) 上单调递增 . 4
其中全部正确结论的序号是（
（ A）②
（ B）②③
） （C）①③
（ D）①②③
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 . 把答案填在题中横线上 .
北京市西城区 2015 — 2016 学年度第一学期期末 150 分 考试时间： 120 分钟 A 卷 [ 必修 模块 4] 本卷满分： 100 分
三
题号
一
二
本卷总分
17
18
19
分数
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合要求的 .
4
设 a 为实数，函数 f ( x) x2 2ax． （Ⅰ）当 a 1时，求 f ( x) 在区间 [0, 2] 上的值域； （Ⅱ）设函数 g( x) f ( x) ， t(a) 为 g (x) 在区间 [0, 2] 上的最大值，求 t (a) 的最小值 .
8．（本小题满分 10 分）
设函数 f ( x) 定义域为 [0,1] ，若 f (x) 在 [0, x* ] 上单调递增，在 [ x* ,1]上单调递减，则称 x* 为函
小时．
二、解答题：本大题共 3 小题，共 30 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .
6．（本小题满分 10 分）
已知函数 f ( x)
6x
x2
.
1
（Ⅰ）判断函数 f ( x) 的奇偶性，并证明你的结论；
2020北京西城高一(上)期末试卷数学含答案
2019-2020学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．（5分）已知集合{|2A x x k ==，}k Z ∈，{|33}B x x =-<<，那么(A B = )A ．{1-，1}B ．{2-，0}C ．{2-，0，2}D ．{2-，1-，0，1}2．（5分）方程组220,2x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是( ) A ．{(1,1)-，(1,1)}- B ．{(1,1)，(1,1)}-- C ．{(2,2)-，(2,2)}- D ．{(2,2)，(2,2)}--3．（5分）函数11y x -的定义域是( ) A ．[0，1)B ．(1,)+∞C ．(0，1)(1⋃，)+∞D ．[0，1)(1⋃，)+∞4．（5分）下列四个函数中，在(0,)+∞上单调递减的是( ) A ．1y x =+B ．21y x =-C ．2x y =D ．12log y x =5．（5分）设2log 0.4a =，20.4b =，0.42c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<6．（5分）若0a b >>，0c d <<，则一定有( ) A ．ac bd >B ．ac bd <C ．ad bc <D ．ad bc >7．（5分）设a R ∈，b R ∈．则“a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（5分）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了2000mg 该药物，那么x 小时后病人血液中这种药物的含量为( )A ．2000(10.2)x mg -B ．2000(10.2)x mg -C ．2000(10.2)x mg -D ．20000.2x mg9．（5分）如图，向量a b -等于( )A ．123e e -B ．123e e -C ．123e e -+D ．123e e -+10．（5分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本． 其中，正确的说法是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x += ． 12．（4分）已知向量(1,2)a =-，(3,)b m =-，其中m R ∈．若a ，b 共线，则||b = ．13．（4分）已知函数3()log f x x =．若正数a ，b 满足19a b =，则f （a ）f -（b ）= ． 14．（4分）函数22,0,()3,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩的零点个数是 ；满足0()1f x >的0x 的取值范围是 ．15．（4分）已知集合2{|60}A x x x =--，{|}B x x c =>，其中c R ∈．①集合RA = ；②若x R ∀∈，都有x A ∈或x B ∈，则c 的取值范围是 ．16．（4分）给定函数()y f x =，设集合{|()}A x y f x ==，{|()}B y y f x ==．若对于x A ∀∈，y B ∃∈，使得0x y +=成立，则称函数()f x 具有性质P ．给出下列三个函数： ①1y x =； ②1()2x y =； ③y lgx =． 其中，具有性质P 的函数的序号是 ．三、解答题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈． （Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随机抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．18．（12分）在直角坐标系xOy 中，记函数3()log (82)x f x =-的图象为曲线1C ，函数()g x =2C ．（Ⅰ）比较f （2）和1的大小，并说明理由；（Ⅱ）当曲线1C 在直线1y =的下方时，求x 的取值范围；（Ⅲ）证明：曲线1C 和2C 没有交点．19．（13分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立． （Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率； （Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明） 20．（13分）已知函数2||1()1x f x x +=-． （Ⅰ）证明：()f x 为偶函数；（Ⅱ）用定义证明：()f x 是(1,)+∞上的减函数； （Ⅲ）当[4x ∈-，2]-时，求()f x 的值域．21．（13分）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是3C x =+；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是1835,06,814, 6.x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪⎩ （Ⅰ）把商品的利润表示为生产量x 的函数；（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？22．（13分）设函数,,(),,x x Pf xx x M∈⎧=⎨-∈⎩其中P，M是非空数集．记(){|()f P y y f x==，}x P∈，(){|()f M y y f x==，}x M∈．（Ⅰ）若[0P=，3]，(,1)M=-∞-，求()()f P f M；（Ⅱ）若P M=∅，且()f x是定义在R上的增函数，求集合P，M；（Ⅲ）判断命题“若P M R≠，则()()f P f M R≠”的真假，并加以证明．2019-2020学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．（5分）已知集合{|2A x x k ==，}k Z ∈，{|33}B x x =-<<，那么(A B = )A ．{1-，1}B ．{2-，0}C ．{2-，0，2}D ．{2-，1-，0，1}【解答】解：集合{|2A x x k ==，}k Z ∈，{|33}B x x =-<<， {2AB =-，0，2}．故选：C ．2．（5分）方程组220,2x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是( ) A ．{(1,1)-，(1,1)}- B ．{(1,1)，(1,1)}-- C ．{(2,2)-，(2,2)}-D ．{(2,2)，(2,2)}--【解答】解：记220,2,x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，由①得：x y =-③，将③代入②得222y =，解得1y =±， 当1y =时，1x =-，当1y =-时，1x =， 故原方程组的解集为{(1,1)-，(1,1)}-， 故选：A ．3．（5分）函数11y x -的定义域是( ) A ．[0，1)B ．(1,)+∞C ．(0，1)(1⋃，)+∞D ．[0，1)(1⋃，)+∞【解答】解：依题意，010x x ⎧⎨-≠⎩，解得0x 且1x ≠，即函数的定义域为[0，1)(1⋃，)+∞，故选：D ．4．（5分）下列四个函数中，在(0,)+∞上单调递减的是( ) A ．1y x =+B ．21y x =-C ．2x y =D ．12log y x =【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，1y x =+，为一次函数，在(0,)+∞上单调递增，不符合题意； 对于B ，21y x =-，为二次函数，在(0,)+∞上单调递增，不符合题意；对于C ，2x y =，为指数函数，在(0,)+∞上单调递增，不符合题意； 对于D ，12y log x =，为对数函数，在(0,)+∞上单调递减，符合题意；故选：D ．5．（5分）设2log 0.4a =，20.4b =，0.42c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【解答】解：22log 0.4log 10<=，0a ∴<， 20.40.16=，0.16b ∴=，0.40221>=，1c ∴>，a b c ∴<<，故选：A ．6．（5分）若0a b >>，0c d <<，则一定有( ) A ．ac bd >B ．ac bd <C ．ad bc <D ．ad bc >【解答】解：若0a b >>，0c d <<，则：ac bc bd <<，故ac bd <，故A 错误，B 正确； ad 与bc 的大小无法确定，故C ，D 错误； 故选：B ．7．（5分）设a R ∈，b R ∈．则“a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：若a b >，取1a =，2b =-，则||||a b <，则“a b >”是“||||a b >”不充分条件； 若||||a b >，取2a =-，1b =，则a b <，则“||||a b >”是‘a b >”不必要条件； 则a R ∈，b R ∈．“a b >”是“||||a b >”的既不充分也不必要条件， 故选：D ．8．（5分）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了2000mg 该药物，那么x 小时后病人血液中这种药物的含量为( )A ．2000(10.2)x mg -B ．2000(10.2)x mg -C ．2000(10.2)x mg -D ．20000.2x mg【解答】解：由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例递减，给某病人注射了该药物2500mg ，经过x 个小时后，药物在病人血液中的量为2000(120%)20000.8()x x y mg =⨯-=⨯，即y 与x 的关系式为20000.8x y =⨯． 故选：B ．9．（5分）如图，向量a b -等于( )A ．123e e -B ．123e e -C ．123e e -+D ．123e e -+【解答】解：如图，设123a b AB e e -==-，∴123a b e e -=-．故选：B ．10．（5分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本． 其中，正确的说法是( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【解答】解：由图可知，点A 纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对； 故选：C ．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x += 14 ． 【解答】解：方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，124x x +=，121x x =，222121212()216214x x x x x x +=+-=-=，故答案为：14．12．（4分）已知向量(1,2)a =-，(3,)b m =-，其中m R ∈．若a ，b 共线，则||b =【解答】解：,a b 共线，60m ∴-=，6m ∴=，(3,6)b =-，∴||35b =．故答案为：13．（4分）已知函数3()log f x x =．若正数a ，b 满足19a b =，则f （a ）f -（b ）= 2- ． 【解答】解：正数a ，b 满足19a b =，3()log f x x =， 则f （a ）f -（b ）3331log log log 29a xb ====-． 故答案为：2-．14．（4分）函数22,0,()3,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩的零点个数是 2 ；满足0()1f x >的0x 的取值范围是 ．【解答】解：函数22,0,()3,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩可得0x <时，20x +=，解得2x =-；0x >时，230x -=，解得x =函数的零点有2个．满足0()1f x >，可得0021x x <⎧⎨+>⎩，解得0(1,0)x ∈-．0231x x >⎧⎨->⎩，解得0(2,)x ∈+∞． 故答案为：2；(1-，0)(2⋃，)+∞．15．（4分）已知集合2{|60}A x x x =--，{|}B x x c =>，其中c R ∈．①集合RA = {|23}x x -<< ；②若x R ∀∈，都有x A ∈或x B ∈，则c 的取值范围是 ． 【解答】解：①集合2{|60}{|2A x x x x x =--=-或3}x ，{|23}R A x x ∴=-<<；②对x R ∀∈，都有x A ∈或x B ∈，A B R ∴=，集合{|2A x x =-或3}x ，{|}B x x c =>，2c ∴-，c ∴的取值范围是：(-∞，2]-，故答案为：{|23}x x -<<，(-∞，2]-．16．（4分）给定函数()y f x =，设集合{|()}A x y f x ==，{|()}B y y f x ==．若对于x A ∀∈，y B ∃∈，使得0x y +=成立，则称函数()f x 具有性质P ．给出下列三个函数： ①1y x =； ②1()2x y =； ③y lgx =． 其中，具有性质P 的函数的序号是 ①③ ．【解答】解：对①，(A =-∞，0)(0⋃，)+∞，(B =-∞，0)(0⋃，)+∞，显然对于x A ∀∈，y B ∃∈，使得0x y +=成立，即具有性质P ；对②，A R =，(0,)B =+∞，当0x >时，不存在y B ∈，使得0x y +=成立，即不具有性质P ； 对③，(0,)A =+∞，B R =，显然对于x A ∀∈，y B ∃∈，使得0x y +=成立，即具有性质P ； 故答案为：①③．三、解答题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈． （Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随机抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率． 【解答】解：（Ⅰ）这5人中男生人数为19253320⨯=，女生人数为12852320⨯=．（Ⅱ）记这5人中的3名男生为1B ，2B ，3B ，2名女生为1G ，2G ， 则样本空间为：1{(B Ω=，2)B ，1(B ，3)B ，1(B ，1)G ，1(B ，2)G ，2(B ，3)B ，2(B ，1)G ，2(B ，2)G ，3(B ，1)G ，3(B ，2)G ，1(G ，2)}G ，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A 为“抽取的2人中恰有1名女生”，则1{(A B =，1)G ，1(B ，2)G ，2(B ，1)G ，2(B ，2)G ，3(B ，1)G ，3(B ，2)}G ，事件A 共包含6个样本点．从而63()105P A ==． 所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．18．（12分）在直角坐标系xOy 中，记函数3()log (82)x f x =-的图象为曲线1C ，函数()g x =2C ． （Ⅰ）比较f （2）和1的大小，并说明理由；（Ⅱ）当曲线1C 在直线1y =的下方时，求x 的取值范围；（Ⅲ）证明：曲线1C 和2C 没有交点．【解答】解：（Ⅰ）因为233(2)log (82)log 4f =-=，又函数3log y x =是(0,)+∞上的增函数，所以f （2）33log 4log 31=>=．（Ⅱ）因为“曲线C 在直线1y =的下方”等价于“()1f x <”， 所以3log (82)1x -<．因为 函数3log y x =是(0,)+∞上的增函数， 所以0823x <-<， 即528x <<，所以x 的取值范围是2(log 5，3)．（Ⅲ）因为()f x 有意义当且仅当820x ->， 解得3x <．所以()f x 的定义域为1(,3)D =-∞． ()g x 有意义当且仅当30x -，解得3x ．所以()g x 的定义域为2[3D =，)+∞．因为12D D =∅，所以曲线1C 和2C 没有交点．19．（13分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立． （Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率； （Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明） 【解答】解：（Ⅰ）由图可得0.010.190.290.451a ++++=， 所以0.06a =．（Ⅱ）设事件A 为“队员甲进行1次射击，中靶环数大于7”． 则事件A 包含三个两两互斥的事件：中靶环数为8，9，10， 所以P （A ）0.450.290.010.75=++=．设事件i A 为“队员甲第i 次射击，中靶环数大于7”，其中1i =，2，则12()()0.75P A P A ==．设事件B 为“队员甲进行2次射击，恰有1次中靶环数大于7”．则1212B A A A A =+，1A ，2A 独立．所以121231133()()()44448P B P A A P A A =+=⨯+⨯=．所以，甲恰有1次中靶环数大于7的概率为38．（Ⅲ）队员甲的射击成绩更稳定． 20．（13分）已知函数2||1()1x f x x +=-． （Ⅰ）证明：()f x 为偶函数；（Ⅱ）用定义证明：()f x 是(1,)+∞上的减函数； （Ⅲ）当[4x ∈-，2]-时，求()f x 的值域．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意，2||1()1x f x x +=-，则()f x 的定义域为{|D x x R =∈，且1}x ≠±；对于任意x D ∈，因为22||1||1()()()11x x f x f x x x -++-===---，所以()f x 为偶函数．（Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，211()11x f x x x +==--， 任取1x ，2(1,)x ∈+∞，且12x x <，那么2112121211()()11(1)(1)x x f x f x x x x x --=-=----； 因为121x x <<，所以210x x ->，12(1)(1)0x x -->，从而12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >． 所以()f x 是(1,)+∞上的减函数；（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）得，()f x 在[4-，2]-上单调递增， 又由1(4)3f -=，(2)1f -=，则有1()13f x ； 所以当[4x ∈-，2]-时，()f x 的值域是1[,1]3．21．（13分）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是3C x =+；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是1835,06,814, 6.x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪⎩ （Ⅰ）把商品的利润表示为生产量x 的函数； （Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？ 【解答】解：（Ⅰ）设商品的利润为Y （万元）， 依题意得1822,06,811, 6.x x Y S C x x x ⎧++<<⎪=-=-⎨⎪-⎩．（Ⅱ）当06x <<时，18228Y x x =++-． 所以182(8)188Y x x =-++- 92[(8)]188x x=--++- 94(8)1868x x--+=-． 当且仅当988x x-=-，即5x =时取等号， 所以，当06x <<时，Y 有最大值6（万元）． 当6x 时，115Y x =-．综上，当5x =时，Y 取得最大值6（万元）．因此，当生产量确定为5千件时，商品的利润取得最大值6万元．22．（13分）设函数,,(),,x x P f x x x M ∈⎧=⎨-∈⎩其中P ，M 是非空数集．记(){|()f P y y f x ==，}x P ∈，(){|()f M y y f x ==，}x M ∈．（Ⅰ）若[0P =，3]，(,1)M =-∞-，求()()f P f M ；（Ⅱ）若P M =∅，且()f x 是定义在R 上的增函数，求集合P ，M ；（Ⅲ）判断命题“若P M R ≠，则()()f P f M R ≠”的真假，并加以证明．【解答】解：（Ⅰ）因为[0P =，3]，(,1)M =-∞-， 所以()[0f P =，3]，()(1f M =，)+∞， 所以()()[0f P f M =，)+∞．（Ⅱ）因为()f x 是定义在R 上的增函数，且(0)0f =，所以当0x <时，()0f x <，所以(,0)P -∞⊆． 同理可证(0,)P +∞⊆． 因为PM =∅，所以(P =-∞，0)(0⋃，)+∞，{0}M =． （Ⅲ）该命题为真命题．证明如下： 假设存在非空数集P ，M ，且PM R ≠，但()()f P f M R =．首先证明0P M ∈．否则，若0P M ∉，则0P ∉，且0M ∉，则0()f P ∉，且0()f M ∉， 即0()()f P f M ∉，这与()()f P f M R =矛盾．若0x P M ∃∉，且00x ≠，则0x P ∉，且0x M ∉，所以0()x f P ∉，且0()x f M -∉．因为()()f P f M R =，所以0()x f P -∈，且0()x f M ∈．所以0x P -∈，且0x M -∈．所以00()f x x -=-，且000()()f x x x -=--=，根据函数的定义，必有00x x -=，即00x =，这与00x ≠矛盾． 综上，该命题为真命题．纯公益资料，欢迎用于学术研讨，禁止用于任何的商业模式。
北京市西城区2022-2023学年高一上册期末考试数学试卷(含答案)
北京市西城区2022-2023学年高一上册期末考试数学试卷（含答案）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|51}A x x =-<≤<，2{|9}B x x =≤9，则A B =（A ）[5,3]-（B ）(3,1]-（C ）[3,1)-（D ）[3,3]-（2）已知命题:p 1x ∃<，21x ≤，则p⌝为（A ）1x ∀≥,21x >（B ）1x ∃<,21x >（C ）1x ∀<,21x >（D ）1x ∃≥,21x >（3）如图，在平行四边形ABCD 中，AC AB -=（A ）CB（B ）AD（C ）BD （D ）CD （4）若a b >，则下列不等式一定成立的是（A ）11a b<（B ）22a b >（C ）e e a b--<（D ）ln ln a b>（5）不等式2112x x +-≤的解集为（A ）[3,2]-（B ）(,3]-∞-（C ）[3,2)-（D ）(,3](2,)-∞-+∞ （6）正方形ABCD 的边长为1，则|2|AB AD +=uu u r uuu r（A ）1（B ）3（C （D （7）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用C （单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位：km ）之间满足的关系为80022000C s s=++，则当C 最小时，的值为（A ）20（B ）（C ）40（D ）400（8）设2log 3a =，则122a +=（A ）8（B ）11（C ）12（D ）18（9）已知为单位向量，则“||||1+-=a b b ”是“存在0λ>，使得λb =a ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）近年来，踩踏事件时有发生，给人们的生命财产安全造成了巨大损失.在人员密集区域，人员疏散是控制事故的关键，而能见度（单位：米）是影响疏散的重要因素.在特定条件下，疏散的影响程度与能见度满足函数关系：0.20.1,1.4,0.110,110,b x k ax x x ⎧<⎪⎪=+⎨⎪⎪>⎩≤≤，，（,a b 是常数）.如图记录了两次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，的值是（参考数据：lg30.48≈）（A ）0.24-（B ）0.48-（C ）0.24（D ）0.48第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市西城区2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷一、选择题1.已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，那么A∩B＝（）A. {﹣1，1}【答案】CB. {﹣2，0}C. {﹣2，0，2}D. {﹣2，﹣1，0，1}【解析】【分析】利用交集直接求解．【详解】∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，A∩B＝{﹣2，0，2}．故选：C．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．x y 02.方程组的解集是（）y 2x22A.{(1，﹣1),(﹣1，1)} C.{(2，﹣2),（﹣2，2)}B.{(1，1),(﹣1，﹣1)} D.{(2，2),(﹣2，﹣2)}【答案】A【解析】【分析】求出方程组的解，注意方程组的解是一对有序实数．x y 0x 1x 1【详解】方程组的解为或，y 2y 1y 1x22其解集为{(1,1),(1,1)}．故选：A．【点睛】本题考查集合的表示，二元二次方程组的解是一对有序实数，表示时用小括号括起来，表示有序，即代表元可表示为(x,y)，一个解可表示为(1,1)．13.函数y＝x的定义域是（）x 1A. [0，1)B. (1，+∞)C. (0，1)∪(1,+∞)D. [0，1)∪(1,+∞)【答案】D 【解析】 【分析】x 0由偶次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，可得到不等式组 x 1 0，解出即可求得定义域．x 0【详解】依题意， x 1 0，解得x ≥0 且x ≠1，即函数的定义域为[0，1)∪(1，+∞)，故选：D ．【点睛】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题． 4.下列四个函数中，在(0，+∞)上单调递减的是（ ） y l og xA. y ＝x +1 【答案】DB. y ＝x ﹣1 C. y ＝2xD.2 12【解析】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝x +1，为一次函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意；对于B ，y ＝x ﹣1，为二次函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意； 2 对于C ，y ＝2 ，为指数函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意；x y l og x对于D ，，为对数函数，在 (0，+∞)上单调递减，符合题意；1 2故选：D ．【点睛】本题考查函数的单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题． 5.设a ＝log 2 A. a ＜b ＜c 【答案】A0.4，b ＝0.4 ，c ＝2 ，则a ，b ，c 的大小关系为（）20.4B. a ＜c ＜bC. b ＜a ＜cD. b ＜c ＜a【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解，要借助于中间值0 和 1 比较．【详解】∵log 0.4＜log 1＝0，∴a＜0，22∵0.4 ＝0.16，∴b＝0.16，2∵2 ＞2 ＝1，∴c＞1，0.40∴a＜b＜c，故选：A．【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．b0c d06.若a，，则一定有（）A.ac b d ac bdB.C.ad bcD.ad bc【答案】B【解析】d0c d0，由于a b0试题分析：根据c，有bd,ac bd，故选B.，两式相乘有ac考点：不等式的性质.a,b R ，则a b a b7.设“”的（）”是“A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】b试题分析：因为a成立，a,b的符号是不确定的，所以不能推出a b成立，反之也不行，所以是既不充分也不必要条件，故选D．考点：充分必要条件的判断．8.某种药物的含量在病人血液中以每小时 20%的比例递减．现医生为某病人注射了 2000mg 该药物，那么 x 小时后病人血液中这种药物的含量为（ ）A. 2000(1﹣0.2x )mgB. 2000(1﹣0.2)x mgD. 2000•0.2x mgC. 2000(1﹣0.2 )mgx 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数模型求得函数 y 与 x 的关系式．【详解】由题意知，该种药物在血液中以每小时 20%的比例递减，给某病人注射了该药物 2000mg ，经过 x 个小时后，药物在病人血液中的量为 y ＝2000× (1﹣20%) ＝2000×0.8 (mg )， x x 即 y 与 x 的关系式为 y ＝2000×0.8． x 故选：B ．【点睛】本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题． r r9.如图，向量a b 等于（）u r u u r A. 3 ﹣ u r u u r e 3eu r u u r 3e eu r u u r e 3eD.e eB. C.12121212【答案】B 【解析】 【分析】r r根据向量减法法则，表示出a b，然后根据加法法则与数乘运算得出结论． u r u u rr r a b e 3e，【详解】 ＝ 12故选：B ．【点睛】本题考查向量的线性运算，掌握线性运算法则是解题基础．本题属于基础题．10.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1） 所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调 整后y 与x 的函数图象，给出下列四种说法，①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2） 对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图 （3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C 【解析】 【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．【详解】由图可知，点A 纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图 (2)降低了成本，但票价保持不变，即②对；图(3)成本保持不变，但提高了票价，即③对； 故选：C ．【点睛】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．二、填空题11.已知方程x ﹣4x+1＝0 的两根为x 和 x ，则x +x ＝_____． 222 1 2 1 2【答案】14 【解析】 分析】利用韦达定理代入即可．【详解】方程x ﹣4x+1＝0 的两根为x 和x ， 2 1 2x +x ＝4，x x ＝1， 1 2 1 2x +x ＝ (x +x ) ﹣2x x ＝16﹣2＝14， 2 2 2 1 2 1 2 1 2故答案为：14．【点睛】考查韦达定理的应用，基础题．r r r r r12.已知向量a ＝(1,﹣2)，b ＝(﹣3,m )，其中 m ∈R ．若a ，b 共线，则|b |＝_____．【答案】3 5 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示求出 m ，再由模的坐标运算计算出模．r r【详解】∵ ， 共线，∴m －6＝0，m ＝6，a br∴ b (3) 6 3 5 ． 22 故答案为：3 5 ．【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，考查向量的模，属于基础题． a 1b 913.已知函数 f (x )＝log 3x ．若正数 a ，b 满足，则 f (a )﹣f (b )＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】直接代入函数式计算．a 1f (b) l og a l og b l og l og 2 【详解】 f (a) ． b 93 3 3 3 故答案为： ．2 【点睛】本题考查对数的运算，掌握对数运算法则是解题基础．本题属于基础题．x 2,x 0f x 14.函数 的零点个数是_____；满足 f (x 0 )＞1 的 x 的取值范围是_____． x 2 3,x 0【答案】 (1). 2 (2). （﹣1，0）∪（2，+∞）【解析】 【分析】(x) 0 直接解方程 f 求出零点即可知零点个数，注意分段函数分段求解．解不等式 f (x )＞1 也同样由函数 0 解析式去求解．0 f (x) x3 0 0 ， 3 ，当 x 时， f(x) x 2 0, x 2 ，共 2 个零点，即 【详解】 x 时， 2 x 零点个数为 2；0 f (x) x3 1 x 0 ( ) 2 1, 1 时， f x x ，即 1 0 ，x当 x ∴ f 时， ， 2 ，当 x 2 x (x ) 1 (1,0) U (2, ) 的 的取值范围是 x． 0 0故答案为：2；(1,0)U (2, )．【点睛】本题考查分段函数，已知分段函数值求自变量的值，解不等式都要分段求解，注意各段的取值范 围即可．15.已知集合 A ＝{x |x ﹣x ﹣6≥0}，B ＝{x |x ＞c }，其中 c ∈R ．①集合∁ A ＝_____；②若∀x ∈R ，都有 x ∈A 或 2 Rx ∈B ，则 c 的取值范围是_____． 【答案】 (1). {x |﹣2＜x ＜3}(2). （﹣∞，﹣2]【解析】 【分析】①先求出集合 A ，再利用补集的定义求出∁ A ；R ②由对∀x ∈R ，都有 x ∈A 或 x ∈B ，所以 A ∪B ＝R ，从而求出 c 的取值范围． 【详解】①∵集合 A ＝{x |x ﹣x ﹣6≥0}＝{x |x ≤﹣2 或 x ≥3}， 2 ∴∁ A ＝{x |﹣2＜x ＜3}； R②∵对∀x ∈R ，都有 x ∈A 或 x ∈B ，∴A ∪B ＝R ， ∵集合 A ＝{x |x ≤﹣2 或 x ≥3}，B ＝{x |x ＞c }， ∴c ≤﹣2，∴c 的取值范围是： (﹣∞，﹣2]， 故答案为：{x |﹣2＜x ＜3}； (﹣∞，﹣2]．【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属 于基础题．16.给定函数 y ＝f (x )，设集合 A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得 x +y ＝0 成立，1x1则称函数f(x)具有性质P．给出下列三个函数：①；②y ；③y＝lgx．其中，具有性质的函Pyx2数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0 成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝(0，+∞)，当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝(0，+∞)，B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0 成立，即具有性质P；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题17.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5 人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5 人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．3【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）5【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5 人中男生人数和女生人数．(Ⅰ)记这5人中3名男生为B，B，B，2 名女生为G，G，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1 名女1 2 3 1 2生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19232012832053，女生人数为52．(Ⅰ)记这5人中的3名男生为B，B，B，2 名女生为G，G，1 2 3 1 2则样本空间为：Ω＝{(B，B)，(B，B)，(B，G)，(B，G)，(B，B)，(B，G)，(B，G)，(B，G)，(B，G)，1 2 1 3 1 1 1 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 2(G ，G )}，1 2 样本空间中，共包含 10 个样本点． 设事件 A 为“抽取的 2 人中恰有 1 名女生”，则 A ＝{ (B ，G )， (B ，G )， (B ，G )， (B ，G )， (B ，G )， (B ，G )}， 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 63P A事件 A 共包含 6 个样本点． 从而 10 5 3所以抽取的 2 人中恰有 1 名女生的概率为 ．5【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．x 3f x l og8 2 的图象为曲线 C ，函 数 g x 18.在直角坐标系 xOy 中，记函数 的图象为曲线x13C ． 2（Ⅰ）比较 f （2）和 1 的大小，并说明理由；（Ⅱ）当曲线 C 在直线 y ＝1 的下方时，求 x 的取值范围； 1 （Ⅲ）证明：曲线 C 和 C 没有交点．1 2 【答案】（Ⅰ）f (2)＞1，理由见解析；（Ⅱ）(log 5,3)；（Ⅲ）证明见解析 2 【解析】 【分析】 (Ⅰ)因为 f2l og 8 2 l og 4 ，求出 f (2)的值，结合函数的单调性判断 f (2)和 1 的大小．2332 1 (Ⅰ)因为“曲线 C 在直线 y ＝1 的下方”等价于“f (x )＜1”，推出log 8 ．求解即可．x3(Ⅰ)求出两个函数的定义域，然后判断曲线C 和 C 没有交点．1 2 f 2 l og 8 2 l og 4 【详解】解： (Ⅰ)因为，2 33又函数 y ＝log x 是 (0，+∞)上的增函数， 3 所以 f (2)＝log 4＞log 3＝1．3 3 (Ⅰ)因为“曲线 C 在直线 y ＝1 的下方”等价于“f (x )＜1”，log 8 2 1 所以．x 3因为 函数 y ＝log x 是 (0，+∞)上的增函数，3 所以 0＜8﹣2 ＜3， x 即 5＜2＜8， x 所以 x 的取值范围是 (log 5，3)．2(Ⅰ)因为f(x)有意义当且仅当8﹣2 ＞0，x解得x＜3．所以f(x)的定义域为D＝(﹣∞，3)．1g(x)有意义当且仅当x﹣3≥0，解得x≥3．所以g(x)的定义域为D＝[3，+∞)．2因为D∩D＝，1 2所以曲线C和C没有交点．1 2【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1 次中靶环数大于7的概率；（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）3【答案】（Ⅰ）0.06；（Ⅱ）；（Ⅲ）甲8【解析】【分析】(I)由频率分布图中频率之和为1，可计算出a；(I I)事件“甲恰有1次中靶环数大于7”表示第一次中靶环数大于7，第二次中靶环数不大于7，和第一次中靶环数不大于7，第二次中靶环数大于1，由相互独立事件的概率公式可计算概率；(I I I)估计两人中靶环数的均值差不多都是8，甲5 个数据分布均值两侧，而乙6个数据偏差较大，甲较稳定．a1(0.190.450.290.01)0.06【详解】(I)由题意；(II)记事件 A 甲中射击一次中靶环数大于 7，则 P (A) 0.45 0.29 0.01 0.75，甲射击 2 次，恰有 1 次中靶数大于 7 的概率为：3P P(AA) P(AA) P(A)P(A) P(A)P(A)0.750.25 0.250.75； 8(III)甲稳定．【点睛】本题考查频率分布图，考查相互独立事件同时发生的概率，考查用样本数据特征估计总体的样本 数据特征，属于基础题．x 1, 20.已知函数． f x x21 （Ⅰ）证明：f (x )为偶函数；（Ⅱ）用定义证明：f (x )是(1，+∞)上的减函数； （Ⅲ）当 x ∈[﹣4，﹣2]时，求 f (x )的值域．1,1 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）3【解析】 【分析】(I)用偶函数定义证明； (II)用减函数定义证明；(III)根据偶函数性质得函数在[4,2] 上的单调性，可得最大值和最小值，得值域． 【详解】(I)函数定义域是{x |x 1},x 1 x 1 f (x )f (x) , (x ) 1 x 12 2 (x) ∴ f 是偶函数；1 x 1 1 x 11 x x (II)当 x 时， f x，设， 1 x 1 x 1 1 2 x2 2 11xx(x ) f (x )则 f ， 2 1 1 2x11 x21 (x 1)(x 1)121 x x x 1 0, x1 0, x x 0，∵，∴ 121221f (x ) f (x ) 0 f (x ) f (x ) ，∴ ，即 1 2 1 2在(1,)上是减函数；(x) ∴ f(III)由 (I) (II)知函数 f(x) [4,2] 在 上是增函数， 4 1 1 2 1 (x)f (4)f (x) f (2) ， 1， ∴ f (43 (2) 1min2 max 2 1[ ,1] ∴所求值域为 ． 3【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性的定义是解题基础．21.设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C （单位：万元）与生产量 x （单位：千件）183x 5,0 x 6 8 间的函数关系是C ＝3+x ；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是Sx . 14, x 6（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量 x 的函数； （Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？182x 2,0 x 6 y x 8 11 x , x 6【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）确定 5 千件时，利润最大． 【解析】 【分析】(I)用销售收入减去生产成本即得利润； (II)分段求出利润函数的最大值可得生产产量．183x5 (3 x),0 x6 S C 8 y (万元)，则 y【详解】(I)设利润是 x ， 14 (3 x), x 6 182x 2,0 x 6 y x 8 11 x , x 6∴ ； 18 9 0 x 6时， 2 2 2[(8 x) ]18 y x (II)， x 8 8 x9 由“对勾函数”知，当8 x，即 x 6 5时， 6 ， y 8 xm ax 6 11 5 当 x ∴ x时， y x 是减函数， x 时， y， m ax5时， 6 ，ym ax∴生产量为 5 千件时，利润最大．【点睛】本题考查分段函数模型的应用，解题关键是列出函数解析式．属于基础题．x , x P f x 22.设函数 其中 P ，M 是非空数集．记 f (P ）＝{y |y ＝f (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝f (x )，x ∈M }． x , x M（Ⅰ）若 P ＝[0，3]，M ＝(﹣∞，﹣1)，求 f (P )∪f (M )；（Ⅱ）若 P ∩M ＝∅，且 f (x )是定义在 R 上 增函数，求集合 P ，M ； （Ⅲ）判断命题“若 P ∪M ≠R ，则 f (P )∪f (M )≠R ”的真假，并加以证明．的【答案】（Ⅰ）[0，+∞）；（Ⅱ）P ＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M ＝{0}；（Ⅲ）真命题，证明见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)求出 f (P )＝[0，3]，f (M )＝ (1，+∞)，由此能过求出 f (P )∪f (M )．(Ⅰ)由 f (x )是定义在 R 上的增函数，且 f (0)＝0，得到当 x ＜0 时，f (x )＜0， (﹣∞，0)⊆P ． 同理可证 (0， +∞)⊆P ． 由此能求出 P ，M ．(Ⅰ)假设存在非空数集 P ，M ，且 P ∪M ≠R ，但 f (P )∪f (M )＝R ．证明 0∈P ∪M ．推导出 f (﹣x )＝﹣x ，且 0 0 f (﹣x )＝﹣ (﹣x )＝x ，由此能证明命题“若 P ∪M ≠R ，则 f (P )∪f (M )≠R ”是真命题． 0 0 0 【详解】(Ⅰ)因为 P ＝[0，3]，M ＝(﹣∞，﹣1)， 所以 f (P )＝[0，3]，f (M )＝(1，+∞)， 所以 f (P )∪f (M )＝[0，+∞)．(Ⅰ)因为 f (x )是定义在 R 上的增函数，且 f (0)＝0， 所以当 x ＜0 时，f (x )＜0，所以(﹣∞，0)⊆P ． 同理可证(0，+∞)⊆P ． 因为 P ∩M ＝∅，所以 P ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，M ＝{0}． (Ⅰ)该命题为真命题．证明如下：假设存在非空数集 P ，M ，且 P ∪M ≠R ，但 f (P )∪f (M )＝R ． 首先证明 0∈P ∪M ．否则，若 0∉P ∪M ，则 0∉P ，且 0∉M ， 则 0∉f (P )，且 0∉f (M )，即 0∉f (P )∪f (M )，这与 f (P )∪f (M )＝R 矛盾． 若∃x ∉P ∪M ，且 x ≠0，则 x ∉P ，且 x ∉M ， 00 0 0所以 x ∉f (P)，且﹣x ∉f (M)． 0 0 因为 f (P)∪f (M)＝R ， 所以﹣x ∈f (P)，且 x ∈f (M)． 0 0 所以﹣x ∈P ，且﹣x ∈M ． 0 0所以 f ( x )＝﹣x ，且 f ( x )＝﹣(﹣x )＝x ， - - 0 0 0 0 0根据函数的定义，必有﹣x ＝x ，即 x ＝0，这与 x ≠0 矛盾． 0 0 0 0 综上，该命题为真命题．【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等 基础知识，考查运算求解能力，是中档题．所以 x ∉f (P)，且﹣x ∉f (M)． 0 0 因为 f (P)∪f (M)＝R ， 所以﹣x ∈f (P)，且 x ∈f (M)． 0 0 所以﹣x ∈P ，且﹣x ∈M ． 0 0所以 f ( x )＝﹣x ，且 f ( x )＝﹣(﹣x )＝x ， - - 0 0 0 0 0根据函数的定义，必有﹣x ＝x ，即 x ＝0，这与 x ≠0 矛盾． 0 0 0 0 综上，该命题为真命题．【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等 基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
2023届北京市西城区高一上数学期末监测试题含解析
由零点存在性定理知 ，即 ，解得
所以实数 的取值范围是
故选：B
6、A
【解析】由题意利用函数 的图象变换法则，即可得出结论
【详解】将函数 的图象向右平移 个的单位长度，可得 的图象，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为 ，故选
当 时， ，符合要求；
当 时， ，符合要求，
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断：
（1）若 是 的必要不充分条件，则 对应集合是 对应集合的真子集；
（2）若 是 的充分不必要条件，则 对应集合是 对应集合的真子集；
（3）若 是 的充分必要条件，则 对应集合与 对应集合相等；
（4）若 是 的既不充分又不必要条件，则 对应的集合与 对应集合互不包含
21、（1）
（2）
【解析】（1）函数 的图象关于原点对称，所以 为奇函数，有 ，代入即可得出 的值；
（2） 时， 恒成立转化为即 ，令 ，求 在 的最大值即可.
【小问1详解】
函数 的图象关于原点对称，则函数 为奇函数，有 ，
即 ，解得 ，当 时，不满足题意，所以 ；
A. B.
C. D.
6．将函数 的图象向右平移 个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为
A. B.
C. D.
7．将函数 的图象向左平移 个单位后得到的图象关于 轴对称，则正数 的最小值是（）
A. B.
C. D.
8．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足 （ 表示碳14原有的质量）.经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的 至 ，据此推测良渚古城存在的时期距今约（）年到5730年之间？（参考数据： ， ）
北京市西城区高一数学上学期期末考试试题(含解析)
北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷 [必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.【知识点】三角函数应用【试题解析】因为，是第二或三象限角，或终边在x轴负半轴，又，是第一或三象限角，所以，是第三象限的角，故答案为：C【答案】C【知识点】线性运算【试题解析】因为，故答案为：B【答案】B【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】因为向量共线，所以，得，故答案为：B【答案】B【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为在是减函数，在先增后减，在是减函数，在是增函数，故答案为：C【答案】C【知识点】倍角公式【试题解析】因为所以，是最小正周期为的奇函数故答案为：D【答案】D【知识点】三角函数图像变换【试题解析】因为所以，可以将函数的图象向右平移个单位长度故答案为：D【答案】D的值可以是（【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为直线是函数图象的一条对称轴，所以，，由选项可知a只能是。
故答案为：A【答案】A【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为非零向量，夹角为，且，，所以，，，因为为非零向量，解得=故答案为：A【答案】A交点个数为（【试题解析】因为由图像可知共7个交点故答案为：C【答案】C【知识点】三角函数的图像与性质 【试题解析】因为当时，，当时单增所以，①②③均正确 故答案为：D 【答案】D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin45π= _____. 【知识点】诱导公式 【试题解析】因为故答案为：【答案】12. 如图所示，D 为ABC △中BC 边的中点，设AB =a ，AC =b ， 则BD =_____.（用a ，b 表示）ABC【知识点】平面向量基本定理 【试题解析】因为故答案为：【答案】13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2α=_____. 【知识点】倍角公式 【试题解析】因为角终边上一点的坐标为，所以， 故答案为：【答案】14. 设向量(0,2),)a b ==，则,a b 的夹角等于_____. 【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】因为所以，的夹角等于。
北京市西城区高一数学上学期期末考试试卷.doc
[
,
]，都有
4
2
B卷[学期综合]本卷满分：50分
题号一二本卷总分
- 3 -
678
分数
一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.
1
的定义域是_____．
1．函数y
lg x
2．若幂函数y
x
的图象过点(4, 2)，则_____．
3．2log62 log69
_____．
5π
11π
Z )．
【6
分】
, kπ
](k
12
12
（Ⅱ）解： 因为
x
π π
所以
π
π2π
[ ,
]，
2x
3
3
，
4
2
6
由（Ⅰ）得
2
1
2sin(2 x
π
3，
)
3
所以
f ( x)的值域是[2，3]．
【8
分】
f (x)
m
2
f ( x) 2
m
f ( x) 2，x
π π
【10
分】
[
, ]．
4
2
所以m
f (x)max
2，且m
已知向量a
(cos ,sin
)，b (
1,
3)，其中
是锐角．
2
2
（Ⅰ）证明：向量
a
b与a
b垂直；
（Ⅱ）当| 2a b |
| a
2b |时，求角
．
19．（本小题满分12分）
已知函数f (x)
sin 2x
3 cos2x
北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷高一数学(含解析)
北京市西城区2019-2020学年高一（上）期末考试数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，1}B．{﹣2，0}C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，﹣1，0，1}2．（5分）方程组的解集是（）A．{（1，﹣1），（﹣1，1）}B．{（1，1），（﹣1，﹣1）}C．{（2，﹣2），（﹣2，2）}D．{（2，2），（﹣2，﹣2）}3．（5分）函数y ＝的定义域是（）A．[0，1）B．（1，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）4．（5分）下列四个函数中，在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝x+1B．y＝x2﹣1C．y＝2x D ．5．（5分）设a＝log20.4，b＝0.42，c＝20.4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a6．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．ac＞bd B．ac＜bd C．ad＜bc D．ad＞bc17．（5分）设a∈R，b∈R．则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了2000mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为（）A．2000（1﹣0.2x）mg B．2000（1﹣0.2）x mgC．2000（1﹣0.2x）mg D．2000•0.2x mg9．（5分）如图，向量﹣等于（）A．3﹣B ．﹣3C．﹣3+D ．﹣+310．（5分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；2②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）已知方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1和x2，则x12+x22＝．12．（4分）已知向量＝（1，﹣2），＝（﹣3，m），其中m∈R．若，共线，则||＝．13．（4分）已知函数f（x）＝log3x．若正数a，b满足，则f（a）﹣f（b）＝．14．（4分）函数的零点个数是；满足f（x0）＞1的x0的取值范围是．15．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x＞c}，其中c∈R．①集合∁R A＝；②若∀x∈R，都有x∈A或x∈B，则c的取值范围是．16．（4分）给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是．三、解答题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．317．（12分）某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．18．（12分）在直角坐标系xOy 中，记函数的图象为曲线C1，函数的图象为曲线C2．（Ⅰ）比较f（2）和1的大小，并说明理由；（Ⅱ）当曲线C1在直线y＝1的下方时，求x的取值范围；（Ⅲ）证明：曲线C1和C2没有交点．19．（13分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率；（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）20．（13分）已知函数．4（Ⅰ）证明：f（x）为偶函数；（Ⅱ）用定义证明：f（x）是（1，+∞）上的减函数；（Ⅲ）当x∈[﹣4，﹣2]时，求f（x）的值域．21．（13分）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：千件）间的函数关系是C＝3+x；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量x的函数；（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？22．（13分）设函数其中P，M是非空数集．记f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝（﹣∞，﹣1），求f（P）∪f（M）；（Ⅱ）若P∩M＝∅，且f（x）是定义在R上的增函数，求集合P，M；（Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R”的真假，并加以证明．2019-2020学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，1}B．{﹣2，0}C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，﹣1，0，1}5【分析】利用交集直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，A∩B＝{﹣2，0，2}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）方程组的解集是（）A．{（1，﹣1），（﹣1，1）}B．{（1，1），（﹣1，﹣1）}C．{（2，﹣2），（﹣2，2）}D．{（2，2），（﹣2，﹣2）}【分析】运用代入消元法解方程组即可．【解答】解：记，由①得：x＝﹣y③，将③代入②得2y2＝2，解得y ＝±1，当y＝1时，x＝﹣1，当y＝﹣1时，x＝1，故原方程组的解集为{（1，﹣1），（﹣1，1）}，故选：A．【点评】本题考查解方程组，运用代入法进行消元是关键，属于基础题．3．（5分）函数y ＝的定义域是（）A．[0，1）B．（1，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）6【分析】由偶次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，可得到不等式组，解出即可求得定义域．【解答】解：依题意，，解得x≥0且x≠1，即函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞），故选：D．【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题．4．（5分）下列四个函数中，在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝x+1B．y＝x2﹣1C．y＝2x D ．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x+1，为一次函数，在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；对于B，y＝x2﹣1，为二次函数，在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；对于C，y＝2x，为指数函数，在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；对于D，y ＝，为对数函数，在（0，+∞）上单调递减，符合题意；故选：D．【点评】本题考查函数的单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．5．（5分）设a＝log20.4，b＝0.42，c＝20.4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵log20.4＜log21＝0，∴a＜0，7∵0.42＝0.16，∴b＝0.16，∵20.4＞20＝1，∴c＞1，∴a＜b＜c，故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．ac＞bd B．ac＜bd C．ad＜bc D．ad＞bc【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析各个答案中不等式的正误，可得答案．【解答】解：若a＞b＞0，c＜d＜0，则：ac＜bc＜bd，故ac＜bd，故A错误，B正确；ad与bc的大小无法确定，故C，D错误；故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体考查了不等式与不等关系，难度不大，属于基础题．7．（5分）设a∈R，b∈R．则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】可以带入特殊值讨论充要性．8【解答】解：若a＞b，取a＝1，b＝﹣2，则|a|＜|b|，则“a＞b”是“|a|＞|b|”不充分条件；若|a|＞|b|，取a＝﹣2，b＝1，则a＜b，则“|a|＞|b|”是‘a＞b”不必要条件；则a∈R，b∈R．“a＞b”是“|a|＞|b|”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题考查充要性，以及解不等式，属于基础题．8．（5分）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了2000mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为（）A．2000（1﹣0.2x）mg B．2000（1﹣0.2）x mgC．2000（1﹣0.2x）mg D．2000•0.2x mg【分析】利用指数函数模型求得函数y与x的关系式；【解答】解：由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例递减，给某病人注射了该药物2500mg，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y＝2000×（1﹣20%）x＝2000×0.8x（mg），即y与x的关系式为y＝2000×0.8x．故选：B．【点评】本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题．9．（5分）如图，向量﹣等于（）9A．3﹣B ．﹣3C．﹣3+D ．﹣+3【分析】可设向量的终点为A ，向量的终点为B ，从而可得出，这样根据图形即可用表示出，从而得出正确选项．【解答】解：如图，设＝，∴．故选：B．【点评】本题考查了向量减法、加法和数乘的几何意义，考查了计算能力，属于基础题．10．（5分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；10④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．【解答】解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对；故选：C．【点评】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）已知方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1和x2，则x12+x22＝14．【分析】利用韦达定理代入即可．【解答】解：方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1和x2，x1+x2＝4，x1x2＝1，x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝16﹣2＝14，故答案为：14．【点评】考查韦达定理的应用，基础题．12．（4分）已知向量＝（1，﹣2），＝（﹣3，m），其中m∈R．若，共线，则||＝．【分析】根据共线即可得出m＝6，从而可得出向量的坐标，进而可得出的11值．【解答】解：∵共线，∴m﹣6＝0，∴m＝6，，∴．故答案为：．【点评】本题考查了向量共线的定义，以及共线向量的坐标关系，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．13．（4分）已知函数f（x）＝log3x．若正数a，b 满足，则f（a）﹣f（b ）＝﹣2．【分析】结合已知函数解析式及对数的运算性质即可求解．【解答】解：∵正数a，b满足，f（x）＝log3x，则f（a）﹣f（b）＝log3＝log3x＝＝﹣2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了利用对数的运算性质求解函数值，属于基础试题．14．（4分）函数的零点个数是2；满足f（x0）＞1的x0的取值范围是（﹣1，0）∪（2，+∞）．【分析】利用分段函数求解函数的零点，列出不等式去即可．【解答】解：函数12可得x＜0时，x+2＝0，解得x＝﹣2；x＞0时，x2﹣3＝0，解得x ＝，函数的零点有2个．满足f（x0）＞1，可得，解得x0∈（﹣1，0）．，解得x0∈（2，+∞）．故答案为：2；（﹣1，0）∪（2，+∞）．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x＞c}，其中c∈R．①集合∁R A＝{x|﹣2＜x＜3}；②若∀x∈R，都有x∈A或x∈B，则c的取值范围是（﹣∞，﹣2]．【分析】①先求出集合A，再利用补集的定义求出∁R A；②由对∀x∈R，都有x∈A或x∈B，所以A∪B＝R，从而求出c的取值范围．【解答】解：①∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥3}，∴∁R A＝{x|﹣2＜x＜3}；②∵对∀x∈R，都有x∈A或x∈B，∴A∪B＝R，∵集合A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|x＞c}，∴c≤﹣2，∴c的取值范围是：（﹣∞，﹣2]，13故答案为：{x|﹣2＜x＜3}，（﹣∞，﹣2]．【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于基础题．16．（4分）给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是①③．【分析】A即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【解答】解：对①，A＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），B＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝（0，+∞），当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝（0，+∞），B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；故答案为：①③．【点评】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．【分析】（Ⅰ）利用分层抽样能求出这5人中男生人数和女生人数．14（Ⅱ）记这5人中的3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．【解答】解：（Ⅰ）这5人中男生人数为，女生人数为．（Ⅱ）记这5人中的3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2，则样本空间为：Ω＝{（B1，B2），（B1，B3），（B1，G1），（B1，G2），（B2，B3），（B2，G1），（B2，G2），（B3，G1），（B3，G2），（G1，G2）}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A＝{（B1，G1），（B1，G2），（B2，G1），（B2，G2），（B3，G1），（B3，G2）}，事件A共包含6个样本点．从而．所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为．【点评】本题考查抽取的5人中男生人数和女生人数的求法，考查概率的求法，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（12分）在直角坐标系xOy 中，记函数的图象为曲线C1，函数的图象为曲线C2．（Ⅰ）比较f（2）和1的大小，并说明理由；（Ⅱ）当曲线C1在直线y＝1的下方时，求x的取值范围；（Ⅲ）证明：曲线C1和C2没有交点．【分析】（Ⅰ）因为，求出f（2）的值，结合函数的单调性15判断f（2）和1的大小．（Ⅱ）因为“曲线C在直线y＝1的下方”等价于“f（x）＜1”，推出．求解即可．（Ⅲ）求出两个函数的定义域，然后判断曲线C1和C2没有交点．【解答】解：（Ⅰ）因为，又函数y＝log3x是（0，+∞）上的增函数，所以f（2）＝log34＞log33＝1．（Ⅱ）因为“曲线C在直线y＝1的下方”等价于“f（x）＜1”，所以．因为函数y＝log3x是（0，+∞）上的增函数，所以0＜8﹣2x＜3，即5＜2x＜8，所以x的取值范围是（log25，3）．（Ⅲ）因为f（x）有意义当且仅当8﹣2x＞0，解得x＜3．所以f（x）的定义域为D1＝（﹣∞，3）．g（x）有意义当且仅当x﹣3≥0，解得x≥3．所以g（x）的定义域为D2＝[3，+∞）．因为D1∩D2＝∅，16所以曲线C1和C2没有交点．【点评】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．（13分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率；（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）【分析】（Ⅰ）根据所有频率和为1建立等式，可求出a的值；（Ⅱ）甲队员进行一次射击，欲求命中环数大于7环的概率只需将大于7环的频率进行求和即可；（Ⅲ）在甲、乙两名队员中，通过频率分布情况看队员的射击成绩哪个相对集中，那就更稳定．【解答】解：（Ⅰ）由图可得0.01+a+0.19+0.29+0.45＝1，所以a＝0.06．（Ⅱ）设事件A为“队员甲进行1次射击，中靶环数大于7”．则事件A包含三个两两互斥的事件：中靶环数为8，9，10，17所以P（A）＝0.45+0.29+0.01＝0.75．设事件A i为“队员甲第i次射击，中靶环数大于7”，其中i＝1，2，则P（A1）＝P（A2）＝0.75．设事件B为“队员甲进行2次射击，恰有1次中靶环数大于7”．则，A1，A2独立．所以＝＝．所以，甲恰有1次中靶环数大于7的概率为．（Ⅲ）队员甲的射击成绩更稳定．【点评】本题主要考查了频率分布情况，以及概率的运算，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．20．（13分）已知函数．（Ⅰ）证明：f（x）为偶函数；（Ⅱ）用定义证明：f（x）是（1，+∞）上的减函数；（Ⅲ）当x∈[﹣4，﹣2]时，求f（x）的值域．【分析】（Ⅰ）根据题意，先分析函数的定义域，进而分析f（﹣x）与f（x）的关系，结合函数奇偶性的定义即可得答案；（Ⅱ）根据题意，任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，由作差法分析可得结论；（Ⅲ）根据题意，分析可得f（x）在[﹣4，﹣2]上单调递增，结合函数的解析式分析可得答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意，，则f（x）的定义域为D＝{x|x∈R，18且x≠±1}；对于任意x∈D ，因为，所以f（x）为偶函数．（Ⅱ）当x∈（1，+∞）时，，任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，那么＝；因为1＜x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，从而f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．所以f（x）是（1，+∞）上的减函数；（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）得，f（x）在[﹣4，﹣2]上单调递增，又由f（﹣4）＝，f（﹣2）＝1，则有≤f（x）≤1；所以当x∈[﹣4，﹣2]时，f（x ）的值域是．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及应用，涉及函数值域的计算，属于基础题．21．（13分）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：千件）间的函数关系是C＝3+x；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是19（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量x的函数；（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？【分析】（Ⅰ）设商品的利润为Y（万元），利用已知条件列出函数的解析式即可．（Ⅱ）利用分段函数结合基本不等式求解函数的最值，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设商品的利润为Y（万元），依题意得．（Ⅱ）当0＜x＜6时，．所以＝＝6．当且仅当，即x＝5时取等号，所以，当0＜x＜6时，Y有最大值6（万元）．当x≥6时，Y＝11﹣x≤5．综上，当x＝5时，Y取得最大值6（万元）．因此，当生产量确定为5千件时，商品的利润取得最大值6万元．【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，基本不等式的应用，是基本知识的考查．22．（13分）设函数其中P，M是非空数集．记f（P）＝{y|y＝f（x），20x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝（﹣∞，﹣1），求f（P）∪f（M）；（Ⅱ）若P∩M＝∅，且f（x）是定义在R上的增函数，求集合P，M；（Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R”的真假，并加以证明．【分析】（Ⅰ）求出f（P）＝[0，3]，f（M）＝（1，+∞），由此能过求出f（P）∪f（M）．（Ⅱ）由f（x）是定义在R上的增函数，且f（0）＝0，得到当x＜0时，f（x）＜0，（﹣∞，0）⊆P．同理可证（0，+∞）⊆P．由此能求出P，M．（Ⅲ）假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f（P）∪f（M）＝R．证明0∈P∪M．推导出f（﹣x0）＝﹣x0，且f（﹣x0）＝﹣（﹣x0）＝x0，由此能证明命题“若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R”是真命题．【解答】解：（Ⅰ）因为P＝[0，3]，M＝（﹣∞，﹣1），所以f（P）＝[0，3]，f（M）＝（1，+∞），所以f（P）∪f（M）＝[0，+∞）．（Ⅱ）因为f（x）是定义在R上的增函数，且f（0）＝0，所以当x＜0时，f（x）＜0，所以（﹣∞，0）⊆P．同理可证（0，+∞）⊆P．因为P∩M＝∅，所以P＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M＝{0}．（Ⅲ）该命题为真命题．证明如下：假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f（P）∪f（M）＝R．首先证明0∈P∪M．否则，若0∉P∪M，则0∉P，且0∉M，21则0∉f（P），且0∉f（M），即0∉f（P）∪f（M），这与f（P）∪f（M）＝R矛盾．若∃x0∉P∪M，且x0≠0，则x0∉P，且x0∉M，所以x0∉f（P），且﹣x0∉f（M）．因为f（P）∪f（M）＝R，所以﹣x0∈f（P），且x0∈f（M）．所以﹣x0∈P，且﹣x0∈M．所以f（﹣x0）＝﹣x0，且f（﹣x0）＝﹣（﹣x0）＝x0，根据函数的定义，必有﹣x0＝x0，即x0＝0，这与x0≠0矛盾．综上，该命题为真命题．【点评】本题考查并集的求法，考查集合的求法，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22。
2020-2021学年北京市西城区高一上学期期末考试数学试卷及答案
绝密★启用前2020-2021学年北京市西城区高一上学期期末考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}1,0,2,3A =-，{21,}B xx k k ==-∈N ∣，那么A B =（）A ．{}1,0-B ．{}1,2-C ．{}0,3D ．{}1,3-答案：D【分析】根据交集的定义可求AB .解：因为{21,}B xx k k ==-∈N ∣，故B 中的元素为大于或等于1-的奇数， 故{}1,3A B =-， 故选：D. 2．方程组22x y x x +=⎧⎨+=⎩的解集是（） A ．()(){}1,1,?1,1- B ．()(){}1,1,2,2- C ．()(){}1,1,2,2-- D ．()(){}2,2,2,2--答案：C【分析】解出方程组202x y x x +=⎧⎨+=⎩得解，再表示成集合的形式即可.解：由方程组202x y x x +=⎧⎨+=⎩可得22x y =-⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=-⎩ 所以方程组202x y x x +=⎧⎨+=⎩的解集是()(){}1,1,2,2--故选：C3．函数11lg x x y =+-的定义域是（） A ．(0,)+∞ B ．(1,)+∞C ．()0,11(),⋃+∞D ．[)0,11(),⋃+∞答案：C【分析】根据对数式的真数大于零、分式的分母不为零，求解出x 的取值范围即为定义域. 解：因为010x x >⎧⎨-≠⎩，所以01x <<或1x >，所以函数的定义域为：()()0,11,+∞，故选：C.点评：结论点睛：常见函数的定义域分析： （1）偶次根式下被开方数大于等于零； （2）分式分母不为零； （3）对数式的真数大于零； （4）0y x =中{}0x x ≠.4．为了解学生在“弘扬传统文化，品读经典文学”月的阅读情况，现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间（阅读时间[]0,50t ∈），分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图.则图中a 的值为（）A ．0.028B ．0.030C ．0.280D ．0.300答案：A【分析】根据五个矩形的面积和为1列式可得结果.解：由(0.0060.0400.0200.006)101a ++++⨯=得0.028a =. 故选：A5．若a b >，则一定有（） A ．11a b< B ．|a |>|b|C 22a bD ．33a b >答案：D【分析】利用不等式的性质或反例逐项检验后可得正确的选项.解：取1,1a b ==-，则11a b>，||||a b =，22a b =，故A 、B 、C 均错误， 由不等式的性质可得33a b >，故D 正确. 故选：D.6．在平行四边形ABCD 中，设对角线AC 与BD 相交于点O ，则AB CB +=（） A ．2BO B ．2DOC ．BDD ．AC答案：B【分析】根据向量的线性运算可得正确的选项.解：因为四边形ABCD 为平行四边形，故0AO CO +=， 故22AB CB AO OB CO OB OB DO +=+++==， 故选：B.7．设23m n =，则m ，n 的大小关系一定是（） A ．m n > B ．m n <C ．m n ≥D ．以上答案都不对答案：D【分析】根据23m n =可分三种情况讨论：,,m n m n m n >=<，根据指数函数的单调性分析出每一种情况下,,0m n 的大小关系，由此得到,m n 的大小关系.解：当m n >时，因为2xy =为()0,∞+上增函数，所以232m n n =>，所以312n⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以0n >，所以0m n >>；当m n =时，312n⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以0n =，所以0m n ==； 当m n <时，因为2xy =为()0,∞+上增函数，所以232m n n =<，所以312n⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以0n <，所以0m n <<， 故选：D.点评：方法点睛：已知(,1m na ba b =>或)0,1a b <<，比较,m n 大小的常用方法：（1）分类讨论法：,,m n m n m n <=>，根据指数函数的单调性分析出,m n 的大小关系；（2）数形结合法：在同一平面直角坐标系作出,x x y a y b ==的图象，作直线y t =与两图象相交，根据交点横坐标的大小关系判断出,m n 的大小关系.8．从2015年到2020年，某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗，到了2020年该企业单位生产总值能耗降低了20%.如果这五年平均每年降低的百分率为x ，那么x 满足的方程是（） A ．50.2x = B ．()510.8x -=C ．50.2x =D ．5(1)0.8x -=答案：D【分析】根据题设逐年列出生产总值能耗后可得正确的选择.解：设2015年该企业单位生产总值能耗为a ，则2016年该企业单位生产总值能耗()1a x -，2017年该企业单位生产总值能耗()21a x -，2018年该企业单位生产总值能耗()31a x -，2019年该企业单位生产总值能耗()41a x -，2020年该企业单位生产总值能耗()51a x -，由题设可得()510.8a x a -=即()510.8x -=， 故选：D.9．设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得a b =λ”是“a b a b +=+”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B【分析】由题意结合向量共线的性质分类讨论充分性和必要性是否成立即可. 解：存在实数λ，使得λab ，说明向量,a b 共线，当,a b 同向时，a b a b +=+成立， 当,a b 反向时，a b a b +=+不成立，所以，充分性不成立.当a b a b +=+成立时，有,a b 同向，存在实数λ，使得λa b 成立，必要性成立，即“存在实数λ，使得λa b ”是“a b a b +=+”的必要而不充分条件.故选B.点评：本题主要考查向量共线的充分条件与必要条件，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．设()f x 为定义在R 上的函数，函数()1f x +是奇函数.对于下列四个结论：①()10f =；②()()11f x f x -=-+；③函数()f x 的图象关于原点对称； ④函数()f x 的图象关于点()1,0对称； 其中，正确结论的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：C【分析】令()()1g x f x =+，①：根据()00g =求解出()1f 的值并判断；②：根据()g x 为奇函数可知()()g x g x -=-，化简此式并进行判断；根据()1y f x =+与()y f x =的图象关系确定出()f x 关于点对称的情况，由此判断出③④是否正确. 解：令()()1g x f x =+，①因为()g x 为R 上的奇函数，所以()()0010g f =+=，所以()10f =，故正确； ②因为()g x 为R 上的奇函数，所以()()g x g x -=-，所以()()11f x f x -+=-+，即()()11f x f x -=-+，故正确；因为()1y f x =+的图象由()y f x =的图象向左平移一个单位得到的，又()1y f x =+的图象关于原点对称，所以()y f x =的图象关于点()1,0对称，故③错误④正确，所以正确的有：①②④， 故选：C.点评：结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：（1）若()f x a +为偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称； （2）若()f x a +为奇函数，则函数()y f x =的图象关于点(),0a 成中心对称. 二、填空题11．已知向量()1,2a =-，()3,1b =-，那么a b -=__________. 答案： 5【分析】求出a b -的坐标后可得a b -.解：因为()1,2a =-，()3,1b =-，故()4,3a b -=-，故5a b -=， 故答案为：512．若方程220x x a -+=有两个不相等的正实数根，则实数a 的取值范围是__________. 答案：01a <<【分析】根据条件可得1212000x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，列出不等式求解即可.解：由方程220x x a -+=有两个不相等的正实数根，设为12,x x则1212000x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，即1212440200a x x x x a ∆=->⎧⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得01a << 故答案为：01a <<13．设定义在R 上的奇函数()f x 在()0+∞，上为增函数，且()20f =，则不等式()0f x <的解集为__________.答案：(,2)(0,2)-∞-⋃解：定义在R 上的奇函数()f x 在()0+∞，上为增函数， 则(0)0f =，且()f x 在(,0)-∞为增函数， 由于(2)0f =，则(2)0f -=，函数图象关于原点对称，画出函数的模拟图象可知， 不等式()0f x <的解集为(,2)(0,2)-∞.故答案为：(,2)(0,2)-∞.14．某厂商为推销自己品牌的可乐，承诺在促销期内，可以用3个该品牌的可乐空罐换1罐可乐.对于此促销活动，有以下三个说法：①如果购买10罐可乐，那么实际最多可以饮13罐可乐; ②欲饮用100罐可乐，至少需要购买67罐可乐：③如果购买*()n n ∈N 罐可乐，那么实际最多可饮用可乐的罐数1()2n f n n -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦.（其中[]x 表示不大于x 的最大整数） 则所有正确说法的序号是__________. 答案：②③.【分析】①10罐可乐有10个可乐空罐，第一次可换3罐可乐还剩1个空罐，第二次可换1罐可乐还剩2个空罐，由此算出最多可饮用的可乐罐数；②：先分析购买66罐可乐的情况，再分析购买67罐可乐的情况，由此确定出至少需要购买的可乐罐数；③：先分析购买1到9罐可乐分别可饮用多少罐可乐以及剩余空罐数，然后得到规律，再分奇偶罐数对所得到的规律进行整理，由此计算出()f n 的结果.解：①：购买10罐可乐时，第一次可换3罐还剩1个空罐，第二次可换1罐还剩2个空罐，所以最多可饮用103114++=罐可乐，故错误；②：购买66罐时，第一次可换22罐可乐，第二次可换7罐可乐还剩1个空罐， 第三次可换2罐可乐还剩2个空罐，第四次可换1罐可乐还剩2个空罐，所以一共可饮用662272198++++=罐；购买67罐时，第一次可换22罐可乐还剩1个空罐，第二次可换7瓶可乐还剩2个空罐， 第三次可换3罐可乐，第四次可换1罐可乐还剩1个空罐，所以一共可饮用6722731100++++=罐；所以至少需要购买67罐可乐，故正确；③：购买1到9罐可乐分别可饮用可乐罐数以及剩余空罐数如下表所示：由表可知如下规律：（1）当购买的可乐罐数为奇数时，此时剩余空罐数为1，当购买的可乐罐数为偶数时，此时剩余的空罐数为2； （2）实际饮用数不是3的倍数；（3）每多买2罐可乐，可多饮用3罐可乐，（4）实际饮用的可乐罐数要比购买的可乐罐数的1.5倍少0.5或1； 设购买了n 罐可乐，实际可饮用的可乐罐数为()f n ，所以()()()**3221,312,m n m m N f n m n m m N ⎧-=-∈⎪=⎨-=∈⎪⎩，即()()()**3121,2322,2n n m m N f n n n m m N -⎧=-∈⎪⎪=⎨-⎪=∈⎪⎩，即()()()**121,222,2n n n m m N f n n n n m m N -⎧+=-∈⎪⎪=⎨-⎪+=∈⎪⎩，又因为12,22n n --可看作12n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即不大于12n -的最大整数，所以1()2n f n n -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦成立，故正确；故答案为：②③.点评：关键点点睛：解答本题时，一方面需要通过具体购买的可乐罐数去分析实际饮用的可乐罐数，另一方面需要对实际的购买情况进行归纳，由此得到购买的可乐罐数与实际饮用的可乐罐数的关系，从而解决问题. 三、双空题15．已知函数0.52log ,0()2,0x x f x x x x >⎧=⎨+≤⎩，那么()2f =_________;当函数()y f x a =-有且仅有三个零点时，实数a 的取值范围是__________. 答案：1-10a -<<【分析】由()0.52log 2f =可得结果，函数()y f x a =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =的图象与y a =的图象仅有三个交点，作出函数()y f x =的图象，根据图象可得答案.解：()0.52log 21f ==-函数()y f x a =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =的图象与y a =的图象仅有三个交点.作出函数()y f x =的图象,如图.由图可知，当10a -<<时，函数()y f x =的图象与y a =的图象有三个交点. 所以函数()y f x a =-有且仅有三个零点时，实数a 的取值范围是10a -<< 故答案为：1-；10a -<< 四、解答题16．某校高一年级1000名学生全部参加了体育达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理并按分数段[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如下（I ）估计该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数；（II ）现从体育成绩在[)60,70和[)80,90的样本学生中随机抽取2人，求其中恰有1人体育成绩在[)60,70的概率. 答案：（I ）750；（II ）35【分析】（I ）根据折线图可以得到体育成绩大于或等于70分的学生人数，从而可以估计出该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生频率，进而得到学生人数. （II ）利用列举法可得基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可求概率. 解：（I ）根据折线图可以得到体育成绩大于或等于70分的学生人数为1431330++=，所以该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数估计为：30100075040⨯=. （II ）体育成绩在[)60,70和[)80,90的人数分别为2、3，分别记为,,,,a b A B C 若随机抽取2人，则所有的基本事件为：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a A a B a C b A b B b C A B A C B C ，故基本事件的总数为10.其中恰有1人体育成绩在[)60,70的基本事件的个数有6个， 设A 为：“恰有1人体育成绩在[)60,70”，则()63105P A ==. 点评：思路点睛：古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）. 17．设函数4()3f x x x=++（1）求函数()f x 的图像与直线2y x =交点的坐标：（2）当(0,)x ∈+∞时，求函数()f x 的最小值（3）用单调性定义证明：函数()f x 在()2,+∞上单调递增.答案：(1)()4,8或()12--，(2)7(3)证明见解析. 【分析】（1）由432x x x++=解出方程可得答案. （2）利用均值不等式433x x ++≥可得答案. (3)由定义法证明函数单调性的步骤即可证明.解：（1）由432x x x++=，即2340x x --=，解得4x =或1x =- 所以函数()f x 的图像与直线2y x =交点的坐标为()4,8或()12--， （2）当0x >时，4()337f x x x =++≥= 当且仅当4x x=,即2x =时，取得等号. 所以当(0,)x ∈+∞时，函数()f x 的最小值为7.(3)任取12,2x x >，且12x x <则()()2121224433f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2111211222444x x x x x x x x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭-=-+-+ ()()2112112122441x x x x x x x x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=--- 由12,2x x >，且12x x <，则124x x >，210x x ->所以1240x x ->，则()12122140x x x x x x ->- 所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >所以函数()f x 在()2,+∞上单调递增点评：思路点睛：本题考查利用函数的奇偶性求参数，证明函数的单调性和利用单调性解不等式.证明函数的单调性的基本步骤为：(1)在给定的区间内任取变量12,x x ，且设12x x <.(2)作差()()12f x f x -变形，注意变形要彻底，变形的手段通常有通分、因式分解、配方、有理化等.(3)判断符号，得出()()12f x f x ，的大小.(4)得出结论.18．以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩.乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示.（I ）若甲、乙两组的数学平均成绩相同，求a 的值;（II ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率;（III ）当3a =时，试比较甲、乙两组同学数学成绩的方差的大小.（结论不要求证明） 答案：（I ）1a =；（II ）45；（III ）甲组同学数学成绩的方差大于乙组同学数学成绩的方差.【分析】（I ）先求解出甲、乙两组的数学平均成绩，根据平均成绩相同求解出a 的值； （II ）先确定出a 的所有可取值，再求解出满足条件的a 的取值，根据满足条件a 的取值个数与总的可取值个数的比值求解出对应概率；（III ）根据数据的分布情况直接判断出甲、乙两组同学数学成绩的方差大小. 解：（I ）因为889292272909190271,3333a a x x ++++++====甲乙，且x x =甲乙，所以27227133a +=，所以1a =； （II ）记“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， 因为乙组平均成绩超过甲组平均成绩，所以27127233a +>，所以1a >， 所以a 的可取值有：{}2,3,4,5,6,7,8,9，共8个数，又因为{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9a ∈，集合中共有10个元素，所以()84105P A ==； （III ）甲组同学数学成绩的方差大于乙组同学数学成绩的方差. （理由如下：因为889292272909193274,3333x x ++++====甲乙，所以22222722722728892923233339s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==甲， 22222742742749091931433339s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==乙，因为321499>，所以22s s >甲乙） 19．设函数21()21x x f x +=- （I ）若()2f a =，求实数a 的值;（II ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论;（III ）若()f x m ≤对于[)1,x ∈+∞恒成立，求实数m 的最小值.答案：（I ）2log 3；（II ）奇函数，证明见解析；（III ）3.【分析】（I ）代入x a =，得到21221a a +=-，由此求解出2a 的值，即可求解出a 的值； （II ）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算()(),f x f x -的数量关系，由此完成证明；（III ）先求解出()f x 在[)1,+∞上的最大值，再根据()max m f x ⎡⎤≥⎣⎦求解出m 的最小值.解：（I ）因为()2f a =，所以21221a a +=-，所以21222a a +=⋅-且21a ≠， 所以23a =，所以2log 3a =；（II ）()f x 为奇函数，证明如下：因为210x -≠，所以定义域为{}0x x ≠关于原点对称， 又因为()()211221211221x x x x x x f x f x --+++-===-=----，所以()f x 为奇函数； （III ）因为()2121221212121x x x x x f x +-+===+---， 又因为21x y =-在[)1,+∞上递增，所以221x y =-在[)1,+∞上递减，所以()()1max 211321f x f ==+=⎡⎤⎣⎦-，又因为()f x m ≤对于[)1,x ∈+∞恒成立，所以()max m f x ⎡⎤≥⎣⎦，所以3m ≥，所以m 的最小值为3.点评：思路点睛：判断函数()f x 的奇偶性的步骤如下：（1）先分析()f x 的定义域，若()f x 定义域不关于原点对称，则()f x 为非奇非偶函数，若()f x 的定义域关于原点对称，则转至（2）；（2）若()()f x f x =-，则()f x 为偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数.20．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，未售出的产品，每1吨亏损300元.经销商为下一个销售季度购进了130吨该农产品.以x （单位：吨，100150x ≤≤）表示下一个销售季度内的市场需求量，y （单位：元）表示下一个销售季度内销售该农产品的利润.（I ）将y 表示为x 的函数：（II ）求出下一个销售季度利润y 不少于57000元时，市场需求量x 的范围.答案：（I ）80039000,10013065000,130150x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩；（II ）[]120150,. 【分析】（I ）分情况考虑：100130,130150x x ≤<≤≤，分别求解出每一种情况下y 的表示，由此可得到y 关于x 的分段函数；（II ）根据条件分段列出不等式，求解出每一个不等式的解集，由此求解出市场需求量x 的范围.解：（I ）当100130x ≤<时，此时130吨的该农产品售出x 吨，未售出()130x -吨， 所以()500300130y x x =--，即80039000y x =-；当130150x ≤≤时，此时130吨的该农产品全部售出，所以500130y =⨯，即65000y =，综上可知：80039000,10013065000,130150x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩； （II ）当100130x ≤<时，令8003900057000x -≥，解得120130x ≤<， 当130150x ≤≤，此时6500057000>符合，所以市场需求量x 的范围是[]120150,. 21．设函数()f x 的定义域为R ．若存在常数(0)m m ≠，对于任意x ∈R ，()()f x m mf x +=成立，则称函数()f x 具有性质Γ.记P 为满足性质Γ的所有函数的集合.（I ）判断函数y x =和2y =是否属于集合P ？（结论不要求证明）（II ）若函数()x g x =，证明：()g x P ∈;（III ）记二次函数的全体为集合Q ，证明：P Q =∅.答案：（I ）y x =不属于集合P ，2y =属于集合P ；（II ）证明见解析；（III ）证明见解析.【分析】（I ）根据性质Γ的定义判断y x =与2y =是否具有性质Γ，由此判断出函数y x =和2y =是否属于集合P ；（II ）先根据定义证明函数()xg x =具有性质Γ，然后即可证明()g x P ∈； （III ）将问题转化为证明二次函数不具备性质Γ，先假设二次函数具备性质Γ，然后通过已知条件推出与条件矛盾的结果，由此完成证明.解：（I ）y x =不属于集合P ，2y =属于集合P ；（理由如下：设()f x x =，若()()f x m mf x +=，则有x m mx +=，解得0m =，不符题意，所以y x =不具有性质Γ，所以y x =不属于集合P ；设()2f x =，若()()f x m mf x +=，则有22m =，所以1m =，所以2y =具有性质Γ，所以2y =属于集合P ）（II ）证明如下：因为()x g x =，不妨令()()g x m mg x +=，所以x m x m +=，所以m m =，显然关于m 的方程有解：2m =，所以()xg x =具有性质Γ， 所以()g x P ∈；（III ）根据题意可知：P Q =∅⇔二次函数不具备性质Γ，假设存在二次函数()()20f x ax bx c a =++≠具备性质Γ，所以存在常数()0m m ≠对于任意x ∈R 都有()()f x m mf x +=成立，所以存在常数()0m m ≠使()()22a x m b x m c amx bmx cm ++++=++成立，所以存在常数()0m m ≠使()2222ax am b x am bm c amx bmx cm +++++=++成立，所以22a am am b bm am bm c cm =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，解得0,0,1a b m ===，这与假设中0a ≠矛盾，所以假设不成立，所以二次函数都不具备性质Γ，所以P Q =∅.点评：关键点点睛：解答本题第三问的关键是将待证明的问题转化为分析二次函数是否具备性质Γ，再通过“反证”的思想完成证明.。
2020北京西城高一(上)期末试卷数学含答案
2019-2020学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．（5分）已知集合{|2A x x k ==，}k Z ∈，{|33}B x x =-<<，那么(A B = )A ．{1-，1}B ．{2-，0}C ．{2-，0，2}D ．{2-，1-，0，1}2．（5分）方程组220,2x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是( ) A ．{(1,1)-，(1,1)}- B ．{(1,1)，(1,1)}-- C ．{(2,2)-，(2,2)}- D ．{(2,2)，(2,2)}--3．（5分）函数11y x -的定义域是( ) A ．[0，1)B ．(1,)+∞C ．(0，1)(1⋃，)+∞D ．[0，1)(1⋃，)+∞4．（5分）下列四个函数中，在(0,)+∞上单调递减的是( ) A ．1y x =+B ．21y x =-C ．2x y =D ．12log y x =5．（5分）设2log 0.4a =，20.4b =，0.42c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<6．（5分）若0a b >>，0c d <<，则一定有( ) A ．ac bd >B ．ac bd <C ．ad bc <D ．ad bc >7．（5分）设a R ∈，b R ∈．则“a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（5分）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了2000mg 该药物，那么x 小时后病人血液中这种药物的含量为( ) A ．2000(10.2)x mg - B ．2000(10.2)x mg - C ．2000(10.2)x mg -D ．20000.2x mg9．（5分）如图，向量a b -等于( )A ．123e e -B ．123e e -C ．123e e -+D ．123e e -+10．（5分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本． 其中，正确的说法是( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x += ． 12．（4分）已知向量(1,2)a =-，(3,)b m =-，其中m R ∈．若a ，b 共线，则||b = ． 13．（4分）已知函数3()log f x x =．若正数a ，b 满足19a b =，则f （a ）f -（b ）= ． 14．（4分）函数22,0,()3,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩的零点个数是 ；满足0()1f x >的0x 的取值范围是 ．15．（4分）已知集合2{|60}A x x x =--，{|}B x x c =>，其中c R ∈． ①集合RA = ；②若x R ∀∈，都有x A ∈或x B ∈，则c 的取值范围是 ．16．（4分）给定函数()y f x =，设集合{|()}A x y f x ==，{|()}B y y f x ==．若对于x A ∀∈，y B ∃∈，使得0x y +=成立，则称函数()f x 具有性质P ．给出下列三个函数： ①1y x =； ②1()2x y =； ③y lgx =． 其中，具有性质P 的函数的序号是 ．三、解答题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈． （Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随机抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．18．（12分）在直角坐标系xOy 中，记函数3()log (82)x f x =-的图象为曲线1C ，函数()g x =2C ． （Ⅰ）比较f （2）和1的大小，并说明理由；（Ⅱ）当曲线1C 在直线1y =的下方时，求x 的取值范围； （Ⅲ）证明：曲线1C 和2C 没有交点．19．（13分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立． （Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率； （Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明） 20．（13分）已知函数2||1()1x f x x +=-． （Ⅰ）证明：()f x 为偶函数；（Ⅱ）用定义证明：()f x 是(1,)+∞上的减函数；（Ⅲ）当[4x∈-，2]-时，求()f x的值域．21．（13分）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：千件）间的函数关系是3C x=+；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是1835,06,814, 6.x xS xx⎧++<<⎪=-⎨⎪⎩（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量x的函数；（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？22．（13分）设函数,,(),,x x Pf xx x M∈⎧=⎨-∈⎩其中P，M是非空数集．记(){|()f P y y f x==，}x P∈，(){|()f M y y f x==，}x M∈．（Ⅰ）若[0P=，3]，(,1)M=-∞-，求()()f P f M；（Ⅱ）若P M=∅，且()f x是定义在R上的增函数，求集合P，M；（Ⅲ）判断命题“若P M R≠，则()()f P f M R≠”的真假，并加以证明．2019-2020学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．（5分）已知集合{|2A x x k ==，}k Z ∈，{|33}B x x =-<<，那么(A B = )A ．{1-，1}B ．{2-，0}C ．{2-，0，2}D ．{2-，1-，0，1}【解答】解：集合{|2A x x k ==，}k Z ∈，{|33}B x x =-<<， {2AB =-，0，2}．故选：C ．2．（5分）方程组220,2x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是( ) A ．{(1,1)-，(1,1)}- B ．{(1,1)，(1,1)}-- C ．{(2,2)-，(2,2)}-D ．{(2,2)，(2,2)}--【解答】解：记220,2,x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，由①得：x y =-③，将③代入②得222y =，解得1y =±， 当1y =时，1x =-，当1y =-时，1x =， 故原方程组的解集为{(1,1)-，(1,1)}-， 故选：A ．3．（5分）函数11y x -的定义域是( ) A ．[0，1)B ．(1,)+∞C ．(0，1)(1⋃，)+∞D ．[0，1)(1⋃，)+∞【解答】解：依题意，010x x ⎧⎨-≠⎩，解得0x 且1x ≠，即函数的定义域为[0，1)(1⋃，)+∞，故选：D ．4．（5分）下列四个函数中，在(0,)+∞上单调递减的是( ) A ．1y x =+B ．21y x =-C ．2x y =D ．12log y x =【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，1y x =+，为一次函数，在(0,)+∞上单调递增，不符合题意； 对于B ，21y x =-，为二次函数，在(0,)+∞上单调递增，不符合题意；对于C ，2x y =，为指数函数，在(0,)+∞上单调递增，不符合题意； 对于D ，12y log x =，为对数函数，在(0,)+∞上单调递减，符合题意；故选：D ．5．（5分）设2log 0.4a =，20.4b =，0.42c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【解答】解：22log 0.4log 10<=，0a ∴<， 20.40.16=，0.16b ∴=，0.40221>=，1c ∴>，a b c ∴<<，故选：A ．6．（5分）若0a b >>，0c d <<，则一定有( ) A ．ac bd >B ．ac bd <C ．ad bc <D ．ad bc >【解答】解：若0a b >>，0c d <<，则： ac bc bd <<，故ac bd <，故A 错误，B 正确； ad 与bc 的大小无法确定，故C ，D 错误； 故选：B ．7．（5分）设a R ∈，b R ∈．则“a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：若a b >，取1a =，2b =-，则||||a b <，则“a b >”是“||||a b >”不充分条件； 若||||a b >，取2a =-，1b =，则a b <，则“||||a b >”是‘a b >”不必要条件； 则a R ∈，b R ∈．“a b >”是“||||a b >”的既不充分也不必要条件， 故选：D ．8．（5分）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了2000mg 该药物，那么x 小时后病人血液中这种药物的含量为( ) A ．2000(10.2)x mg -B ．2000(10.2)x mg -C ．2000(10.2)x mg -D ．20000.2x mg【解答】解：由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例递减，给某病人注射了该药物2500mg ，经过x 个小时后，药物在病人血液中的量为2000(120%)20000.8()x x y mg =⨯-=⨯， 即y 与x 的关系式为20000.8x y =⨯． 故选：B ．9．（5分）如图，向量a b -等于( )A ．123e e -B ．123e e -C ．123e e -+D ．123e e -+【解答】解：如图，设123a b AB e e -==-，∴123a b e e -=-．故选：B ．10．（5分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本． 其中，正确的说法是( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【解答】解：由图可知，点A 纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对； 故选：C ．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x += 14 ． 【解答】解：方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ， 124x x +=，121x x =，222121212()216214x x x x x x +=+-=-=，故答案为：14．12．（4分）已知向量(1,2)a =-，(3,)b m =-，其中m R ∈．若a ，b 共线，则||b = 【解答】解：,a b 共线，60m ∴-=，6m ∴=，(3,6)b =-，∴||35b =．故答案为：13．（4分）已知函数3()log f x x =．若正数a ，b 满足19a b =，则f （a ）f -（b ）= 2- ． 【解答】解：正数a ，b 满足19a b =，3()log f x x =， 则f （a ）f -（b ）3331log log log 29a xb ====-． 故答案为：2-．14．（4分）函数22,0,()3,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩的零点个数是 2 ；满足0()1f x >的0x 的取值范围是 ．【解答】解：函数22,0,()3,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩可得0x <时，20x +=，解得2x =-； 0x >时，230x -=，解得x =函数的零点有2个．满足0()1f x >，可得00021x x <⎧⎨+>⎩，解得0(1,0)x ∈-．0231x x >⎧⎨->⎩，解得0(2,)x ∈+∞． 故答案为：2；(1-，0)(2⋃，)+∞．15．（4分）已知集合2{|60}A x x x =--，{|}B x x c =>，其中c R ∈． ①集合RA = {|23}x x -<< ；②若x R ∀∈，都有x A ∈或x B ∈，则c 的取值范围是 ． 【解答】解：①集合2{|60}{|2A x x x x x =--=-或3}x ， {|23}R A x x ∴=-<<；②对x R ∀∈，都有x A ∈或x B ∈，A B R ∴=，集合{|2A x x =-或3}x ，{|}B x x c =>，2c ∴-，c ∴的取值范围是：(-∞，2]-，故答案为：{|23}x x -<<，(-∞，2]-．16．（4分）给定函数()y f x =，设集合{|()}A x y f x ==，{|()}B y y f x ==．若对于x A ∀∈，y B ∃∈，使得0x y +=成立，则称函数()f x 具有性质P ．给出下列三个函数： ①1y x =； ②1()2x y =； ③y lgx =． 其中，具有性质P 的函数的序号是 ①③ ．【解答】解：对①，(A =-∞，0)(0⋃，)+∞，(B =-∞，0)(0⋃，)+∞，显然对于x A ∀∈，y B ∃∈，使得0x y +=成立，即具有性质P ；对②，A R =，(0,)B =+∞，当0x >时，不存在y B ∈，使得0x y +=成立，即不具有性质P ； 对③，(0,)A =+∞，B R =，显然对于x A ∀∈，y B ∃∈，使得0x y +=成立，即具有性质P ； 故答案为：①③．三、解答题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈． （Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随机抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率． 【解答】解：（Ⅰ）这5人中男生人数为19253320⨯=，女生人数为12852320⨯=． （Ⅱ）记这5人中的3名男生为1B ，2B ，3B ，2名女生为1G ，2G ， 则样本空间为：1{(B Ω=，2)B ，1(B ，3)B ，1(B ，1)G ，1(B ，2)G ，2(B ，3)B ，2(B ，1)G ，2(B ，2)G ，3(B ，1)G ，3(B ，2)G ，1(G ，2)}G ，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A 为“抽取的2人中恰有1名女生”，则1{(A B =，1)G ，1(B ，2)G ，2(B ，1)G ，2(B ，2)G ，3(B ，1)G ，3(B ，2)}G ， 事件A 共包含6个样本点．从而63()105P A ==． 所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．18．（12分）在直角坐标系xOy 中，记函数3()log (82)x f x =-的图象为曲线1C ，函数()g x =2C ． （Ⅰ）比较f （2）和1的大小，并说明理由；（Ⅱ）当曲线1C 在直线1y =的下方时，求x 的取值范围； （Ⅲ）证明：曲线1C 和2C 没有交点．【解答】解：（Ⅰ）因为233(2)log (82)log 4f =-=， 又函数3log y x =是(0,)+∞上的增函数，所以f （2）33log 4log 31=>=．（Ⅱ）因为“曲线C 在直线1y =的下方”等价于“()1f x <”，所以3log (82)1x -<．因为 函数3log y x =是(0,)+∞上的增函数，所以0823x <-<，即528x <<，所以x 的取值范围是2(log 5，3)．（Ⅲ）因为()f x 有意义当且仅当820x ->，解得3x <．所以()f x 的定义域为1(,3)D =-∞．()g x 有意义当且仅当30x -，解得3x ．所以()g x 的定义域为2[3D =，)+∞．因为12D D =∅，所以曲线1C 和2C 没有交点．19．（13分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立．（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率；（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）【解答】解：（Ⅰ）由图可得0.010.190.290.451a ++++=， 所以0.06a =．（Ⅱ）设事件A 为“队员甲进行1次射击，中靶环数大于7”． 则事件A 包含三个两两互斥的事件：中靶环数为8，9，10， 所以P （A ）0.450.290.010.75=++=．设事件i A 为“队员甲第i 次射击，中靶环数大于7”，其中1i =，2，则12()()0.75P A P A ==．设事件B 为“队员甲进行2次射击，恰有1次中靶环数大于7”． 则1212B A A A A =+，1A ，2A 独立．所以121231133()()()44448P B P A A P A A =+=⨯+⨯=． 所以，甲恰有1次中靶环数大于7的概率为38． （Ⅲ）队员甲的射击成绩更稳定．20．（13分）已知函数2||1()1x f x x +=-． （Ⅰ）证明：()f x 为偶函数；（Ⅱ）用定义证明：()f x 是(1,)+∞上的减函数；（Ⅲ）当[4x ∈-，2]-时，求()f x 的值域．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意，2||1()1x f x x +=-，则()f x 的定义域为{|D x x R =∈，且1}x ≠±； 对于任意x D ∈，因为22||1||1()()()11x x f x f x x x -++-===---， 所以()f x 为偶函数．（Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，211()11x f x x x +==--， 任取1x ，2(1,)x ∈+∞，且12x x <， 那么2112121211()()11(1)(1)x x f x f x x x x x --=-=----； 因为121x x <<，所以210x x ->，12(1)(1)0x x -->，从而12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >．所以()f x 是(1,)+∞上的减函数；（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）得，()f x 在[4-，2]-上单调递增， 又由1(4)3f -=，(2)1f -=， 则有1()13f x ； 所以当[4x ∈-，2]-时，()f x 的值域是1[,1]3． 21．（13分）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是3C x =+；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是1835,06,814, 6.x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪⎩ （Ⅰ）把商品的利润表示为生产量x 的函数；（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？【解答】解：（Ⅰ）设商品的利润为Y （万元）， 依题意得1822,06,811, 6.x x Y S C x x x ⎧++<<⎪=-=-⎨⎪-⎩． （Ⅱ）当06x <<时，18228Y x x =++-． 所以182(8)188Y x x =-++- 92[(8)]188x x =--++- 94(8)1868x x--+=-． 当且仅当988x x-=-，即5x =时取等号， 所以，当06x <<时，Y 有最大值6（万元）．当6x 时，115Y x =-．综上，当5x =时，Y 取得最大值6（万元）．因此，当生产量确定为5千件时，商品的利润取得最大值6万元．22．（13分）设函数,,(),,x x P f x x x M ∈⎧=⎨-∈⎩其中P ，M 是非空数集．记(){|()f P y y f x ==，}x P ∈，(){|()f M y y f x ==，}x M ∈．（Ⅰ）若[0P =，3]，(,1)M =-∞-，求()()f P f M ； （Ⅱ）若PM =∅，且()f x 是定义在R 上的增函数，求集合P ，M ；（Ⅲ）判断命题“若P M R ≠，则()()f P f M R ≠”的真假，并加以证明．【解答】解：（Ⅰ）因为[0P =，3]，(,1)M =-∞-， 所以()[0f P =，3]，()(1f M =，)+∞，所以()()[0f P f M =，)+∞．（Ⅱ）因为()f x 是定义在R 上的增函数，且(0)0f =， 所以当0x <时，()0f x <，所以(,0)P -∞⊆． 同理可证(0,)P +∞⊆．因为P M =∅，所以(P =-∞，0)(0⋃，)+∞，{0}M =．（Ⅲ）该命题为真命题．证明如下：假设存在非空数集P ，M ，且PM R ≠，但()()f P f M R =． 首先证明0P M ∈．否则，若0P M ∉，则0P ∉，且0M ∉， 则0()f P ∉，且0()f M ∉，即0()()f P f M ∉，这与()()f P f M R =矛盾． 若0x P M ∃∉，且00x ≠，则0x P ∉，且0x M ∉，所以0()x f P ∉，且0()x f M -∉．因为()()f P f M R =，所以0()x f P -∈，且0()x f M ∈．所以0x P -∈，且0x M -∈．所以00()f x x -=-，且000()()f x x x -=--=，根据函数的定义，必有00x x -=，即00x =，这与00x ≠矛盾． 综上，该命题为真命题．纯公益资料，欢迎用于学术研讨，禁止用于任何的商业模式。
2022-2023学年北京市西城区高一年级上册学期数学期末试题【含答案】
2022-2023学年北京市西城区高一上学期数学期末试题一、单选题1．已知集合，则（ ）{}2{|51},9A x xB x x =-≤<=≤A B ⋃=A ．B ．C ．D ．[5,3]-(3,1]-[3,1)-[3,3]-【答案】A【分析】先化简集合，再求并集即可.B 【详解】因为，{}2]|9[3,3B x x ==-≤所以.[5,3]A B ⋃=-故选：A2．已知命题p ：x <1，，则为∃21x ≤p ⌝A ．x ≥1, ＞B ．x <1, ∀2x 1∃21x >C ．x <1, D ．x ≥1, ∀21x >∃21x >【答案】C【详解】 根据全称命题与存在性命题之间的关系，可知命题的否定为，故选C ．2:1,1p x x ∃<≤21,1x x ∀<>3．如图，在平行四边形中，（ ）ABCD AC AB -=A ．B ．C ．D ．CBAD BD CD【答案】B【分析】根据向量运算得.AC AB AD -=【详解】由图知，AC AB BC AD -==故选：B.4．若，则下列不等式一定成立的是（ ）a b >A ．B ．C ．D ．11a b <22a b >ee ab--<ln ln a b>【答案】C【分析】利用特殊值判断AB ，由不等式的性质及指数函数的单调性判断C ，由特殊值及对数的意义判断D.【详解】当时，，故A 错误；1,1a b ==-11a b >当时，，故B 错误；1,1a b ==-22a b =由，因为为增函数，所以，故C 正确；a b a b >⇒-<-e xy =ee ab --<当时，无意义，故不成立，故D 错误.1,1a b ==-ln b ln ln a b >故选：C5．不等式的解集为（ ）2112x x +≤-A ．B ．C ．D ．[3,2]-(,3]-∞-[3,2)-(,3](2,)-∞-+∞ 【答案】C【分析】将不等式移项通分得到，再转化为二次不等式即可得答案.302x x +≤-【详解】，即，解得：，21310022x x x x ++-≤⇒≤--(3)(2)0(20)x x x +-≤-≠32x -≤<不等式的解集为，∴[3,2)-故选：C.6．正方形的边长为1，则（ ）ABCD |2|AB AD +=A ．1B ．3C D 【答案】D【分析】利用向量数量积的运算性质，结合正方形中垂直关系及边长即可求解.【详解】在正方形中，如图所示,ABCD，2222|2|(2)441045AB AD AB AD AB AB AD AD +=+=+⋅+=++=2AB AD ∴+=故选：D.7．某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心．已知仓储中心建造费用C （单位：万元）与仓储中心到机场的距离s （单位：）之间满足的关系为，km 80022000C s s =++则当C 最小时，s 的值为（ ）A ．20B ．C ．40D ．400【答案】A【分析】根据均值不等式求解即可.【详解】因为，8002200020002080C s s =++≥+=当且仅当，即时等号成立，8002s s =20s =所以当C 最小时，s 的值为20.故选：A 8．设，则（ ）2log 3a =122a +=A ．8B ．11C ．12D ．18【答案】D 【分析】计算，，代入计算即可.22log 9a =122222a a +=⨯【详解】，则，2log 3a =2222log 3log 9a ==，22log 912282222291a a +=⨯=⨯=⨯=故选：D.9．己知为单位向量，则“”是“存在，使得”的（ ）a||||1a b b +-= 0λ>b a λ= A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】对于前者是否能推出后者，我们举出反例即可，对于后者是否推前者，由后者可得0b =共线且同方向，则，即后者能推出前者，最后即可判断.,a b||||||1a b b a b b a +-=+-== 【详解】若，则，但此时不存在，使得，0b = ||||1a b b a +-== 0λ>b a λ= 故不存在，使得，故前者无法推出后者，0λ>b a λ=若存在，使得，则共线且同方向，0λ>b a λ=,a b 此时，故后者可以推出前者，||||||1a b b a b b a +-=+-==故“”是“存在,使得的必要不充分条件”，||||1a b b +-= 0λ>b a λ= 故选：B.10．近年来，踩踏事件时有发生，给人们的生命财产安全造成了巨大损失．在人员密集区域，人员疏散是控制事故的关键，而能见度x （单位：米）是影响疏散的重要因素．在特定条件下，疏散的影响程度k 与能见度x 满足函数关系：（是常数）．如图记录了两次0.2,0.11.4,0.1101,10bx k ax x x <⎧⎪=+≤≤⎨⎪>⎩,a b 实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，b 的值是（参考数据：）（ ）lg 30.48≈A ．B ．C ．0.24D ．0.480.24-0.48-【答案】A【分析】分别代入两点坐标得，，两式相比得结合对数运算得，0.1 1.2ba ⋅=-100.4b a ⋅=-lg 32b =-解出值即可.b 【详解】当时，①，0.1x =0.1 1.40.20.1 1.2b ba a ⋅+=⇒⋅=-当时，②，10x =10 1.41100.4b ba a ⋅+=⇒⋅=-①比②得，0.113310100bb b⎛⎫=⇒⇒ ⎪⎝⎭，()22103103bb --∴=⇒=lg 30.48lg 320.2422b b ∴=-⇒=-≈-=-故选：A.二、填空题11．函数的定义域是_____________．2()log (1)f x x =-+【答案】[0,1)【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.【详解】由题意可知：，10010x x x ->⎧⇒≤<⎨≥⎩所以该函数的定义域为，[0,1)故答案为：[0,1)12．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，[]12.5,25[)12.5,15[)15,17.5[)17.5,20[)20,22.5．根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于20小时的人数是[]22.5,25________________．【答案】60【分析】首先计算频率为，再乘以总人数即可.0.3【详解】由频率分布直方图可知每周自习时间不少于20小时的频率为,(0.080.04) 2.50.3+⨯=故200名学生中每周的自习时间不少于20小时的人数为人.2000.360⨯=故答案为：60.13．写出一个同时满足下列两个条件的函数_____________．()f x =①对，有；12,(0,)x x ∀∈+∞()()()1212f x x f x f x =+②当时，恒成立．(4,)x ∈+∞()1f x >【答案】(答案不唯一)2l og x 【分析】由满足的两个条件可以联想到对数函数，再根据对数函数的性质时行判断即可得答案.()f x【详解】解：因为由满足的两个条件可以联想到对数函数，()f x 当时，2()log f x x =对，,满足条件①；12,(0,)x x ∀∈+∞()12212212212log ()log log ()()f x x x x x x f x f x ==+=+当时，，满足条件②.(4,)x ∈+∞2()log 421f x >=>故答案为：(答案不唯一)2l og x 14．函数的定义域为，且，都有，给出给出下列四个结论：()f x R x ∀∈R 1()()f x f x -=①或；(0)1f =1-②一定不是偶函数；()f x ③若，且在上单调递增，则在上单调递增；()0f x >()f x (,0)-∞()f x (0,)+∞④若有最大值，则一定有最小值．()f x ()f x 其中，所有正确结论的序号是______________．【答案】①③【分析】根据所给性质直接计算可判断①，取特殊函数判断②，利用函数的单调性定义判断③，取特殊函数判断④.【详解】因为，都有，x ∀∈R 1()()f x f x -=所以，即或，故①正确；1(0)(0)f f =(0)1f =1-不妨取，则，即恒成立，所以是偶函数，故②错误；()1f x =1()1()f x f x -==()()f x f x -=()f x 设，且，则，所以，12,(0,)x x ∀∈+∞12x x <210x x -<-<21()()f x f x -<-即，所以，即在上单调递增，故③正确；21110()()f x f x <<12()()f x f x <()f x (0,)+∞不妨取，则满足，函数有最大值1，但是无最小值，故④错误.,0()1,01,0x x f x x x x ⎧⎪<⎪==⎨⎪⎪->⎩1()()f x f x -=故答案为：①③三、双空题15．已知函数，若，则的解集为___________；若，()2,0,0x a x f x ax x ⎧+≥=⎨<⎩4a =-()0f x >x ∀∈R ，则a 的取值范围为_____________．()0f x >【答案】或； .{|0x x <}2x >10a -<<【分析】代入，分和两种情况，分别求解，最后取并集即可得出4a =-0x ≥0x <()0f x >的解集；原题等价于“当时，恒成立”以及“当时，恒成立”同时满()0f x >0x ≥20x a +>0x <0ax >足，分别求出a 的取值范围，最后取公共部分即可得到.【详解】当时，.4a =-()24,04,0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩当时，由可得，解得；0x ≥()0f x >240x->2x >当时，由可得，解得.0x <()0f x >40x ->0x <综上所述，的解集为或.()0f x >{|0x x <}2x >“若，”等价于“当时，恒成立”以及“当时，恒成立”同时满x ∀∈R ()0f x >0x ≥20xa +>0x <0ax >足.当时，恒成立，因为当时，单调递增，所以应满足，0x ≥20x a +>0x ≥2x y a =+0210a a +=+>即；1a >-当时，恒成立，则.0x <0ax >a<0则由“当时，恒成立”以及“当时，恒成立”同时满足可得，.0x ≥20xa +>0x <0ax >10a -<<故答案为：或；.{|0x x <}2x >10a -<<四、解答题16．某射手打靶命中9环、10环的概率分别为0.25，0.2．如果他连续打靶两次，且每次打靶的命中结果互不影响．(1)求该射手两次共命中20环的概率；(2)求该射手两次共命中不少于19环的概率．【答案】(1)0.04(2)0.14【分析】（1）根据相互独立事件概率的乘法公式即可求解，（2）分类讨论，结合独立事件的概率公式即可求解.【详解】（1）两次共命中20环,意味着两次都是命中10环，根据相互独立事件的概率公式可得概率为：00202004P ...=´=（2）第一次9环第二次10环的概率为,102502005P ...=´=第一次10环第二次9环的概率为,202025005P ...=´=两次都是10环的概率为，00202004P ...=´=所以两次共命中不少于19环的概率为120005005004014P P P P ....=++=++=17．已知函数．2()1xf x x =+(1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；()f x (2)证明函数在上是减函数；()f x [1,)+∞(3)写出函数在上的单调性（结论不要求证明）．()f x (,1]-∞-【答案】(1)为奇函数，证明见解析()f x (2)证明见解析(3)函数在上的单调递减()f x (,1]-∞-【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断与证明即可；（2）根据单调性的定义，取值、作差（变形）、定号、下结论等步骤进行证明即可；（3）结合函数的奇偶性与单调性直接判断即可.【详解】（1）解：为奇函数，理由如下：()f x 函数，定义域为，所以，2()1xf x x =+R x ∈R R x -∈则，所以为奇函数.()()22()11xxf x f x x x --==-=-+-+()f x （2）证明：任取，且，则12,[1,)x x ∈+∞12x x <，()()()()()()22122112121212122222221212121()()111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x --+---=-==++++++因为，所以211x x >>21120,10x x x x ->->所以，即，12())0(f x f x ->12()()f x f x >故函数在上是减函数.()f x [1,)+∞（3）解：由（1）知函数为上的奇函数，由（2）知函数在上是单调递减()f x R ()f x [1,)+∞所以函数在上的单调递减.()f x (,1]-∞-18．甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙4.864.904.864.844.744.72(1)计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；(2)从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；(3)甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】(1)4.82(2)25(3)甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.【分析】（1）利用平均数公式计算即可；（2）列表分析，利用古典概型概率公式计算即可（3）由表中数据分析波动性即可得结论.【详解】（1）乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为：.4.86 4.90 4.86 4.84 4.74 4.724.826+++++=（2）列表：2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙4.864.904.864.844.744.72甲与乙视力值的差0.080.090.02-0.060.07由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，故所求概率为：2426C 62C 155P ===（3）从表格数据分析可得：甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.19．函数，其中．()|1lg |f x x c =--c ∈R (1)若，求的零点；0c =()f x (2)若函数有两个零点，求的取值范围．()f x ()1212,x x x x <124x x +【答案】(1)10x =(2)[)40+¥，【分析】（1）令，即可求解零点，()0f x =（2）令得，进而结合基本不等式即可求解.()|1lg |=0f x x c =--111210,10c c x x -++==【详解】（1）当时，，令，则，故，0c =()|1lg |f x x =-()0f x =lg 1x =10x =所以的零点为.()f x 10x =（2）令，则，，故，()|1lg |=0f x x c =--|1lg |x c -=()0c >1lg x c -=±由于，所以，因此，由于12x x <111210,10c c x x -++==1112441010=40101010c c c cx x -++-+=⨯+⨯+⨯，由基本不等式可得，当且仅当100,100c c ->>124=40101010c c x x -+⨯+⨯≥，即时取等号，故，4010=1010c c -⨯⨯lg 2c =12440x x +≥所以的取值范围为124x x +[)40+¥，20．某商贸公司售卖某种水果．经市场调研可知：在未来20天内，这种水果每箱的销售利润r （单位：元）与时间t （，单位：天）之间的函数关系式为，且日销售量120,t t ≤≤∈N 1104r t =+p （单位：箱）与时间t 之间的函数关系式为．1202p t =-(1)求第几天的日销售利润最大？最大值是多少？(2)在未来的这20天中，在保证每天不赔本的情况下，公司决定每销售1箱该水果就捐赠元给“精准扶贫”对象，为保证销售积极性，要求捐赠之后每天的利润随时间t 的增大而()m m *∈N 增大，求m 的取值范围．【答案】(1)第10天的销售利润最大,最大值是1250元.(2),且.510m ≤≤*N m ∈【分析】（1）通过计算得，根据二次函数最值即可得到答案；21()(10)12502f t rp t ==--+（2）计算，根据题意得到不等式， 且对于21()(102)12001202g t t m t m =-+++-10219.5m +>1104m t +≤均成立以及，最后取交集即可.120,N t t *∈≤≤N m *∈【详解】（1）设第日的销售利润为，则t ()f t .1()(10)(1202)4f t rp t t ==+-211012002t t =-++21(10)12502t =--+，120,t t ≤≤∈N 当时，.10t =max ()1250f t =所以第10天的销售利润最大，最大值是1250元.（2）设捐赠之后第日的销售利润为，则t ()g t .1()(10)(1202)4g t t m t =+--21(102)12001202t m t m =-+++-依题意，应满足以下条件：m ①；N m *∈②，即；192010219.52m ++>= 4.75m >③对于均成立，即.1104m t +≤120,N t t ∈≤≤10.25m ≤综上，且.510m ≤≤*N m ∈21．设函数的定义域为D ，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称()f x [,](,)I a b a b I D =<⊆I 为的一个“区间”．()f x Ω性质1：对任意，有；x I ∈()f x I ∈性质2：对任意，有．x I ∈()f x I ∉(1)分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）；[]1,2Ω①； ②；3y x =-3y x =(2)若是函数的“区间”，求m 的取值范围；[,]()m m >002()2f x x x =-+Ω(3)已知定义在上，且图象连续不断的函数满足：对任意，且，有R ()f x 12,x x ∈R 12x x ≠．求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”()()21211f x f x x x -<--()f x Ω0x ∈R 0x ()f x Ω．【答案】(1)①是，②不是；(2)；[1,2]m ∈(3)证明见解析.【分析】（1）根据新定义直接判断即可得出结论；（2）根据是函数的“区间”确定其满足性质1，据此分类讨论求二次[,]()m m >002()2f x x x =-+Ω函数值域，检验即可得解；（3）由所给函数性质分析出满足性质2，转化为不恒成立，存在“区间”，再构造函()f x x =()f x Ω数，证明有唯一零点，且.()()g x f x x =-0x I ∉【详解】（1）对①，当，，满足性质1，是函数的“区间”，[1,2]x ∀∈3[1,2]y x =-∈[]1,2Ω对②，当时，，当时，，故不满足性质1,2，1x =3[1,2]y =∉2x =3[1,2]2y =∈不是函数的“区间”.[]1,2Ω（2）记， ，注意到，[,]()I m m =>00{()|}S f x x I =∈(0)0[0,]f m =∈因此，若为函数的“区间”，则其不满足性质②，必满足性质①，即.I ()f x ΩS I ⊆22()2(1) 1.f x x x x =-+=--+当时，在上单调递增，且，01m <<()f x I ()(1)0f m m m m -=-->所以不包含于，不合题意；[0,()]S f m =[,]I m =0当时，，符合题意；12m ≤≤()()][[0,1]0,10,S f f m I ⎡⎤==⊆=⎣⎦当时，，所以，不合题意.m>2()(2)(0)0f m f f <==()f m I ∉综上，.[1,2]m ∈（3）对于任意区间，记，[,]()I a b a b =<{()|}S f x x I =∈依题意，在上单调递减，则.()f x I ][(),()S f b f a =因为，所以，()()1f b f a b a -<--()()f a f b b a ->-即S 的长度大于的长度，故不满足性质①.I 因此，如果为的“Q 区间”，只能满足性质②，即，I ()f x S I =∅ 即只需存在使得，或存在使得.R a ∈()f a a <R b ∈()f b b >因为不恒成立，所以上述条件满足，所以一定存在“Q 区间" .()f x x =()f x 记，先证明函数有唯一零点；()()g x f x x =-()g x 因为在上单调递减，所以在上单调递减.()f x R ()g x R 若，则为的唯一零点；(0)0f =00x =()g x 若，则，即，(0)0f t =>()(0)f t f t <=(0)0,()0g g t ><由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得；()g x 0(0,)x t ∈0()0g x =若，则，即，(0)0f t =<()(0)f t f t >=(0)0,()0g g t <>由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得；()g x 0(,0)x t ∈0()0g x =综上，函数有唯一零点，即，()g x 0x 00()f x x =已证的所有“Q 区间”都满足条件②，所以.()f x I 0x I ∉【点睛】关键点点睛：根据所给函数的新定义，理解应用新定义，是解决问题的关键，其中注意分类讨论思想、特殊化思想的应用，属于难题.。
2019-2020学年北京市西城区高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合A＝{x|x＝2k, k∈Z}，B＝{x|−3<x<3}，那么A∩B＝（）A.{−2, 0}B.{−1, 1}C.{−2, 0, 2}D.{−2, −1, 0, 1}2. 方程组{x+y=0,x2+y2=2的解集是（）A.{(1, 1), (−1, −1)}B.{(1, −1), (−1, 1)}C.{(2, −2), (−2, 2)}D.{(2, 2), (−2, −2)}3. 函数y=√x+1x−1的定义域是( )A.(1, +∞)B.[0, 1)C.(0, 1)∪(1, +∞)D.[0, 1)∪(1, +∞)4. 下列四个函数中，在(0, +∞)上单调递减的是（）A.y＝x2−1B.y＝x+1C.y＝2xD.y=log12x5. 设a＝log20.4，b＝0.42，c＝20.4，则a，b，c的大小关系为（）A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a6. 若a>b>0，c<d<0，则一定有()A.ac<bdB.ac>bdC.ad>bcD.ad<bc7. 设a∈R，b∈R．则“a>b”是“|a|>|b|”的（）A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了2000mg该药物，那么x 小时后病人血液中这种药物的含量为（）A.2000(1−0.2)x mgB.2000(1−0.2x)mgC.2000(1−0.2x)mgD.2000⋅0.2x mg 9. 如图，向量a→−b→等于（）A.e1→−3e2→B.3e1→−e2→C.−3e1→+e2→D.−e1→+3e2→10. 某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图(1)所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图(2)、图(3)中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图(2)对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图(2)对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图(3)对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图(3)对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（）A.①④B.①③C.②③D.②④二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．已知方程x2−4x+1＝0的两根为x1和x2，则x12+x22＝________．已知向量a→=(1, −2)，b→=(−3, m)，其中m∈R．若a→，b→共线，则|b→|＝________．已知函数f(x)＝log3x．若正数a，b满足ab=19，则f(a)−f(b)＝________．函数f(x)={x+2,x<0,x2−3,x>0的零点个数是________；满足f(x0)>1的x0的取值范围是________．已知集合A＝{x|x2−x−6≥0}，B＝{x|x>c}，其中c∈R．①集合∁R A＝________；②若∀x∈R，都有x∈A或x∈B，则c的取值范围是________．给定函数y＝f(x)，设集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f(x)具有性质P．给出下列三个函数：①y=1x ；②y=(12)x；③y＝lg x．其中，具有性质P的函数的序号是________．三、解答题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．(1)这5人中男生、女生各多少名？(2)从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．在直角坐标系xOy中，记函数f(x)=log3(8−2x)的图象为曲线C1，函数g(x)=√x−3的图象为曲线C2．(Ⅰ)比较f(2)和1的大小，并说明理由；(Ⅱ)当曲线C1在直线y＝1的下方时，求x的取值范围；(Ⅲ)证明：曲线C1和C2没有交点．根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立．(Ⅰ)求图中a的值；(Ⅱ)队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率；(Ⅲ)在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）已知函数f(x)=|x|+1x2−1．(Ⅰ)证明：f(x)为偶函数；(Ⅱ)用定义证明：f(x)是(1, +∞)上的减函数；(Ⅲ)当x∈[−4, −2]时，求f(x)的值域．已知生产某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．其中生产成本C（万元）与生产量x（百件）间的函数关系是C=x+3，销售收入S（万元）与生产量x（百件）间的函数关系是S={3x+18x−8+5(0<x≤6)，14(x>6).(1)将商品的利润y表示为生产量x的函数；(2)为使利润最大化，应如何确定生产量.设函数f(x)={x,x∈P,−x,x∈M,其中P，M是非空数集．记f(P)＝{y|y＝f(x), x∈P}，f(M)＝{y|y＝f(x), x∈M}．(Ⅰ)若P＝[0, 3]，M＝(−∞, −1)，求f(P)∪f(M)；(Ⅱ)若P∩M＝⌀，且f(x)是定义在R上的增函数，求集合P，M；(Ⅲ)判断命题“若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R”的真假，并加以证明．参考答案与试题解析2019-2020学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】曲常与树程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函验掌够性权性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】对数值于小的侧较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】不等式于较两姆大小【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】等比数表的弹项公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】向量三减弧合引算及码几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】函来锰略也与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．【答案】此题暂无答案【考点】函验立零点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】平面体量存横积绝标表示的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函使的以值求都北的值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数根助点与驶还根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数的较域及盛求法函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．【答案】此题暂无答案【考点】分层使求方法列举法体算土本母件数及骨件发生的概率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数与方都的综合运着【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】频率都着直方图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】奇偶性与根调性的助合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】根据体际省题完择函离类型基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】并集较其运脱交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
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北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学2016.1试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷 [必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符a若向量=的值可以是（交点个数为（二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin45π= _____. 12. 如图所示，D 为ABC △中BC 边的中点，设AB =a ，AC =b ， 则BD =_____.（用a ，b 表示）13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2α=_____. 14. 设向量(0,2),)a b ==，则,a b 的夹角等于_____. 15. 已知(0,)α∈π，且cos sin8απ=-，则α=_____. 16. 已知函数()sin f x x ω=（其中0ω>）图象过(,1)π-点，且在区间(0,)3π上单调递增，ABCD则ω的值为_______.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知2απ∈π(,)，且3sin 5α=. （Ⅰ）求tan()4απ-的值；（Ⅱ）求sin2cos 1cos 2ααα-+的值．18．（本小题满分12分）如图所示，C B ，两点是函数()sin(2)3f x A x π=+（0>A ）图象上相邻的两个最高点，D 点为函数)(x f 图象与x 轴的一个交点.（Ⅰ）若2=A ，求)(x f 在区间[0,]2π上的值域； （Ⅱ）若CD BD ⊥，求A 的值．19．（本小题满分12分）如图，在ABC △中，1AB AC ==，120BAC ∠=. （Ⅰ）求AB BC ⋅的值；（Ⅱ）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP xAB yAC =+，其中,x y ∈R . 求xy 的最大值.ABCPB 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B =ð_____．2．2log =_____，31log 23+=_____．3．已知函数()f x =1,2,1.x x xx ⎧-⎪⎨⎪<⎩≥1, 且()(2)0f a f +=，则实数a = _____． 4．已知函数)(x f 是定义在R 上的减函数，如果()(1)f a f x >+在[1,2]x ∈上恒成立，那么实数a 的取值范围是_____．5． 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y (单位：升/小时)与液体所处环境的温度x (单位：℃)近似地满足函数关系ekx by +=（e 为自然对数的底数，,k b 为常数). 若该液体在0℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为_____升/小时．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数26()1xf x x =+. （Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）求满足不等式(2)2xxf >的实数x 的取值范围．7．（本小题满分10分）设a 为实数，函数2()2f x x ax =-．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在区间[0,2]上的值域；（Ⅱ）设函数()()g x f x =，()t a 为()g x 在区间[0,2]上的最大值，求()t a 的最小值.8．（本小题满分10分）设函数()f x 定义域为[0,1]，若()f x 在*[0,]x 上单调递增，在*[,1]x 上单调递减，则称*x 为函数()f x 的峰点，()f x 为含峰函数．（特别地，若()f x 在[0,1]上单调递增或递减，则峰点为1或0）对于不易直接求出峰点*x 的含峰函数，可通过做试验的方法给出*x 的近似值. 试验原理为：“对任意的1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，若)()(21x f x f ≥，则),0(2x 为含峰区间，此时称1x 为近似峰点；若12()()f x f x <，则)1,(1x 为含峰区间，此时称2x 为近似峰点”．我们把近似峰点与*x 之间可能出现．．．．的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d ，其值为=d }}1,max{},,max{max{212121x x x x x x ---（其中},max{y x 表示y x ,中较大的数）．（Ⅰ）若411=x ，212=x ．求此试验的预计误差d ．（Ⅱ）如何选取1x 、2x ，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明1x 的取值即可）．（Ⅲ）选取1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，可以确定含峰区间为2(0,)x 或1(,1)x . 在所得的含峰区间内选取3x ，由3x 与1x 或3x 与2x 类似地可以进一步得到一个新的预计误差d '．分别求出当411=x 和125x =时预计误差d '的最小值．（本问只写结果，不必证明）北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2016.1 A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C ；2.B ；3.B ；4.C ；5.D ；6.D ；7.A ；8.A ；9.C ； 10.D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 2- 12. 1()2-b a ； 13. 43-；14.3π； 15. 85π； 16. 32. 三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为2απ∈π(,)，且3sin 5α=，所以4cos 5α==-. ………………3分 所以sin 3tan cos 4ααα==-. ………………5分 所以tan 1tan()741tan αααπ--==-+. ………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，24sin 22sin cos 25ααα==-， ………………9分2321cos 22cos 25αα+==. ………………11分所以244sin2cos 1255321cos 2825ααα-+-==-+. ………………12分 18.（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意()2sin(2)3f x x π=+，因为02x π≤≤，所以02x ≤≤π.所以42333x πππ≤+≤. ………………3分所以sin(2)123x π-≤+≤. ………………6分 所以2)(3≤≤-x f ，函数)(x f的值域为[. ………………8分 （Ⅱ）由已知(,)12B A π，13(,)12C A π，(,0)3D π, ………………11分所以(,)4DB A π=-，3(,)4DC A π=.因为CD BD ⊥，所以⊥，223016DB DC A -π⋅=+=，解得A =又0A >，所以4A =. ………………12分 19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()AB BC AB AC AB ⋅=⋅- ………………2分213122AB AC AB =⋅-=--=-. ………………4分（Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)B ，1(,)22C -. ………………5分 设(cos ,sin )P θθ，[0,]3θ2π∈， ………………6分 由AP xAB yAC =+，得1(cos ,sin )(1,0)(2x y θθ=+-. 所以cos ,sin 22y x y θθ=-=.所以cos 3x θθ=+，3y θ=， ………………8分 2211cos sin 2cos 2333xy θθθθθ+=+- 2112cos 2)323θθ=-+………………10分21sin(2)363θπ=-+. ………………11分 因为2[0,]3θπ∈，2[,]666θππ7π-∈-. 所以，当262θππ-=，即3θπ=时，xy 的最大值为1. ………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. {|01}x x <≤；2. 1,62； 3. 1-； 4. {2}a a <； 5. 0.4. 注：2题每空2分.二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分） 解:（Ⅰ）因为26()1x f x x =+，所以26()1xf x x --=+ ()f x =-. ………………4分 所以()f x 为奇函数. ………………6分（Ⅱ）由不等式(2)2xxf >，得262221xx x⋅>+. ………………8分 整理得225x<， ………………9分所以22log 5x <，即21log 52x <. ………………10分 7.（本小题满分10分）解: （Ⅰ）当1a =时，2()2f x x x =-. 二次函数图象的对称轴为1x =，开口向上.所以在区间[0,2]上，当1x =时，()f x 的最小值为1-. ………………1分 当0x =或2x =时，()f x 的最大值为0. ………………2分 所以()f x 在区间[0,2]上的值域为[1,0]-. ………………3分 （Ⅱ）注意到2()2f x x ax =-的零点是0和2a ，且抛物线开口向上.当0a ≤时，在区间[0,2]上2()()2g x f x x ax ==-，()g x 的最大值()(2)44t a g a ==-. ………………4分当01a <<时，需比较(2)g 与()g a 的大小，22()(2)(44)44g a g a a a a -=--=+-，所以，当02a <<时，()(2)0g a g -<；当21a ≤<时，()(2)0g a g ->.所以，当02a <<时，()g x 的最大值()(2)44t a g a ==-. ………5分当21a ≤<时，()g x 的最大值2()()t a g a a ==. ………………6分 当12a ≤≤时，()g x 的最大值2()()t a g a a ==. ………………7分 当2a >时，()g x 的最大值()(2)44t a g a ==-. ………………8分所以，()g x的最大值244,2,(),22,44, 2.a a t a a a a a ⎧-<⎪⎪=≤≤⎨⎪->⎪⎩………………9分所以，当2a =时，()t a的最小值为12-………………10分 8.（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）由已知114x =，212x =. 所以 121212max{max{,},max{,1}}d x x x x x x =---1111111max{max{,},max{,}}max{,}4442422===. ………………4分（Ⅱ）取113x =，23x 2=，此时试验的预计误差为31. ………………5分以下证明，这是使试验预计误差达到最小的试验设计. 证明：分两种情形讨论1x 点的位置. ① 当311<x 时，如图所示， 如果 21233x ≤<，那么 2113d x ≥->；如果2213x ≤≤，那么 2113d x x ≥->. ………………7分 ② 当311>x ，113d x ≥>.综上，当113x ≠时，13d >. ………………8分 (同理可得当223x ≠时，13d >) 即113x =，23x 2=时，试验的预计误差最小. （Ⅲ）当411=x 和125x =时预计误差d '的最小值分别为14和15. ………………10分注：用通俗语言叙述证明过程也给分.11x 2x 31。