第四章第2课时知能演练轻松闯关

第四章第2课时知能演练轻松闯关
1．已知向量a ＝(1，－m )，b ＝(m 2，m )，则向量a ＋b 所在的直线可能为( )
A ．x 轴
B ．第一、三象限的角平分线
C ．y 轴
D ．第二、四象限的角平分线
解析：选A.a ＋b ＝(1，－m )＋(m 2，m )＝(m 2＋1,0)，其横坐标恒大于零，纵坐标等于零，故
向量a ＋b 所在的直线可能为x 轴，选A.
2．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4
，设OC →＝λOA →＋OB →(λ∈R)，则λ的值为( )
A ．1 B.13
C.12
D.23
解析：选D.过C 作CE ⊥x 轴于点E (图略)．
由∠AOC ＝π4
，知|OE |＝|CE |＝2， 所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →，
即OE →＝λOA →，
所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23
. 3．(2011·高考北京卷)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________.
解析：a －2b ＝(3，1)－2(0，－1)＝(3，3)，又∵a －2b 与c 共线，∴a －2b ∥c ，∴3×3－3×k ＝0，解得k ＝1.
答案：1
4．(2012·宜昌调研)已知边长为1的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB ，AD 分
别落在x 轴，y 轴的正方向上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →的坐标为________．
解析：由已知得A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，
则AB →＝(1,0)，BC →＝(0,1)，AC →＝(1,1)，
∴2AB →＋3BC →＋AC →
＝2(1,0)＋3(0,1)＋(1,1)＝(3,4)．
答案：(3,4)
一、选择题
1．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ＋b ＝( )
A ．(3,0)
B ．(3,1)
C ．(3,2)
D ．(3,3)
解析：选D.a ＋b ＝(1，k )＋(2,2)＝(3，k ＋2)．
∵a ＋b 与a 共线，∴k ＋2－3k ＝0，解得k ＝1.
∴a ＋b ＝(3,3)．
2．(2012·绵阳质检)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( )
A.23b ＋13c
B.53－23
b
C.23b －13c
D.13＋23
c 解析：选A.由BD →＝2 DC →得AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，3AD →＝AB →＋2AC →＝c ＋2b ，AD →＝13c ＋23
b . 3．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，
c ＝(－1,2)，则c 等于( )
A ．－12a ＋32b B.12－32
b C ．－32a －12b D ．－32a ＋12
b 解析：选B.设
c ＝λa ＋μb ，
∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝λ＋μ2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝12μ＝－32，∴c ＝12a －32
b . 4．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点
共线的充要条件为( )
A ．λ＋μ＝2
B ．λ－μ＝1
C ．λμ＝－1
D ．λμ＝1
解析：选D.∵A 、B 、C 三点共线，
∴存在实数t ，满足AB →＝tAC →，
即λa ＋b ＝ta ＋μtb ，又a ，b 是不共线的向量，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝t 1＝μt ，∴λμ＝1.
5．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，
则BC →＝( )
A ．(－6,21)
B ．(－2,7)
C ．(6，－21)
D ．(2，－7)
解析：选A.如图，QC →＝AQ →＝PQ →－PA →＝(1,5)－(4,3)＝(－3，2)，PC →＝PQ →＋
QC →＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)，
BC →＝3PC →＝(－6,21)．
二、填空题
6．设向量a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，则λ＝________. 解析：由题意，设a ＋λb ＝－μ(b －2a )＝－μb ＋2μa ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2μ＝1λ＝－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ μ＝12λ＝－12.
答案：－12
7．已知向量OA →＝(0,1)，OB →＝(1,3)，OC →＝(m ，m )，若AB →∥AC →，则实数m ＝________.
解析：AB →＝(1,2)，AC →＝(m ，m －1)．∵AB →∥AC →，
∴1×(m －1)－2m ＝0，得m ＝－
1.
答案：－1
8．(2012·合肥调研)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足OC →＝23OA →＋13
→，则|AC →||AB →|
＝________ . 解析：∵OC →＝23OA →＋13
OB →， ∴OC →－OA →＝－13OA →＋13OB →＝13
OB →－OA →)， ∴AC →＝13AB →，∴|AC →||AB →|
＝13. 答案：13
三、解答题
9．已知A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)和D (－2,3)，试以AB →、AC →为一组基底来表示AD →＋BD →＋CD →.
解：由已知得：AB →＝(1,3)，AC →＝(2,4)，
AD →＝(－3,5)，BD →＝(－4,2)，CD →＝(－5,1)，
∴AD →＋BD →＋CD →＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)
＝(－12,8)．
设AD →＋BD →＋CD →＝λ1AB →＋λ2AC →，
则(－12,8)＝λ1(1,3)＋λ2(2,4)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝－12，3λ1＋4λ2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ1＝32，λ2＝－22. ∴AD →＋BD →＋CD →＝32AB →－22AC →.
10．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问：
(1)t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第三象限？
(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．
解：(1)∵OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)，
∴OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．
若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，
解得t ＝－23
若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，
解得t ＝－13
若点P 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧
1＋3t <0，2＋3t <0. 解得t <－23
. (2)若四边形OABP 为平行四边形，
则OP →＝AB →，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋3t ＝3，2＋3t ＝3. ∵该方程组无解，∴四边形OABP 不能成为平行四边形．
11.在△AOB 中，OC →＝14→，OD →＝12
OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，以a ，b 为基底表示OM →.
解：设OM →＝ma ＋nb (m 、n ∈R)，
则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋nb ，
AD →＝OD →－OA →＝12
b －a ，∵A 、M 、D 三点共线， ∴m －1－1＝n 12
，即m ＋2n ＝1. 而CM →＝OM →－OC →＝(m －14
)a ＋nb ， CB →＝OB →－OC →＝b －14
a ， 又C 、M 、B 三点共线，∴m －14－14
＝n 1，即4m ＋n ＝1. 联立⎩⎪⎨⎪
⎧ m ＋2n ＝14m ＋n ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝17n ＝37，所以OM →＝17a ＋37
b .。