洛必达法则解决问题

洛必达法则简介：

法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x a

g x →=； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0；

(3)()()

lim x a f x l g x →'='， 那么 ()

()lim x a f x g x →=()()

lim x a f x l g x →'='。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞= 及()lim 0x g x →∞=； (2)0A ∃，f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且g '(x)≠0；

(3)()()lim x f x l g x →∞'='， 那么 ()()lim x f x g x →∞=()()

lim x f x l g x →∞'='。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a

g x →=∞； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0；

(3)()()lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()

lim x a f x l g x →'='。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○

1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立。 ○2洛必达法则可处理00，∞∞

，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型。 ○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞

，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

○

4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 二．高考题处理

1.(2010年全国新课标理)设函数2

()1x f x e x ax =---。

（1） 若0a =，求()f x 的单调区间；

（2） 若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围

原解：（1）0a =时，()1x f x e x =--，'()1x f x e =-.

当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少，在(0,)+∞单调增加

（II ）'()12x f x e ax =--

由（I ）知1x e x ≥+，当且仅当0x =时等号成立.故

'()2(12)f x x ax a x ≥-=-，

从而当120a -≥，即12

a ≤时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =， 于是当0x ≥时，()0f x ≥.

由1(0)x e x x >+≠可得1(0)x e x x ->-≠.从而当12a >时， '()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--，

故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <.

综合得a 的取值范围为1,2⎛

⎫-∞ ⎪⎝⎭

原解在处理第（II ）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：

另解:（II ）当0x =时，()0f x =，对任意实数a,均在()0f x ≥；

当0x >时，()0f x ≥等价于21

x x a e x --≤

令()21

x x g x e x --=(x>0),则322()x

x

x x g x e e x

-++'=，令()()220x x h x x x x e e =-++>，则()1x x

h x x e e '=-+，()0x h x x e ''=>， 知()h x '在()0,+∞上为增函数，()()00h x h ''>=；知()h x 在()0,+∞上为增函数，()()00h x h >=；()0g x '∴>，g(x)在()0,+∞上为增函数。 由洛必达法则知，200011222lim lim lim x x x

x x x x x e e e x +++→→→--===， 故12

a ≤

综上，知a 的取值范围为1,2⎛

⎫-∞ ⎪⎝⎭

。 2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 （Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x

>+-，求k 的取值范围。 原解：（Ⅰ）221(

ln )'()(1)x x b x f x x x

α+-=-+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2

f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即 1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩ 解得1a =，1b =。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1f ()1x x x x

=++，所以 22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x

---+=+--。 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x

--(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=。 （i ）设0k ≤，由22

2(1)(1)'()k x x h x x

+--=知，当1x ≠时，'()0h x <，h （x ）递减。而(1)0h =故当(0,1)x ∈时， ()0h x >，可得2

1()01h x x >-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得211x

- h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x

k . （ii ）设0

244(1)0k ∆=-->，对称轴x=111k >-.

当x ∈（1，k -11）时，（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故'h （x ）>0,