第5章 异方差性

5、计算统计量：
RSS2
F
nc ( k 1) nc nc 2 ~ F( k 1, k 1) RSS1 2 2 nc ( k 1) 2
6、在给定的显著性水平下比较判断。
注意： （1） 当模型含有多个解释变量时，应以每一个解释变 量为基准检验异方差。 （2）对于截面样本，计算F统计量之前，必须先把数据 按解释变量的值从小到大排序。 （3）G—Q检验仅适用于检验递增或递减型异方差。 （4）检验结果与数据剔除个数c的选取有关。 （5） G—Q检验无法判定异方差的具体形式。
以两个变量为例，同方差假定如图 5.1 和 5.2 所示。对于每一个 xt 值，相应 ut 的分布方差都是相同的。
6 Y
4
2
0 0 10 20
X 30
图 5.1
同方差情形
图 5.2
同方差情形
异方差通常有三种表现形式： （1）递增型 （2）递减型 （3）复杂型
递增型
300 Y
200
递增型
100
0 0 5000 10000 15000
5.1异方差性的含义及产生原因
5.1.1异方差性的定义
对于不同的样本点，随机误差项的方差不 再是常数，而互不相同，则认为出现了异方差 性(Heteroskedasticity)。
var(ut ) t2 常数（t 1, 2,, n) 11 0 .. 0 2 I. Var(U) = 2 = 2 0 ... 0 22 . . ... . 0 0 ... nn
c= n/ 4
n2 = (n-c) / 2
G—Q检验步骤：
1、把样本按解释变量X t 观测值大小顺序排列。
2、略去居中的c个样本，把样本分为两头的两个子样本。 3、提出检验假设。H 0：u t为同方差; H1：u t为异方差 4、分别对两个子样本进行OLS回归，并分别计算出RSS：
2 2 RSS1 u1t , RSS1 u2t
注意： （1）时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差，其 中截面样本中更为常见。 (2) 经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。金融时 间序列中的异方差常表现为自回归条件异方差。
考虑一下下述回归模型中随机误差项的方差可能为 那种类型：
1、我国各省份的教育支出与GDP之间关系的回归模型。
2、打字出错个数与打字练习时间关系的回归模型。 3、我校工商管理专业77名本科毕业生毕业后的年薪和年 限关系的回归模型。
* 模型可变为: Yt* b0 X 0t b1 X t* ut*，此时
t
b0
b1
Xt

ut
,
Var(u ) E[(
* t
t
ut
) ]
2
1
t
t2 1 2
新模型满足CLRM的同方差性假定。
新模型的估计步骤为：
要使新模型的残差平方和最小，即：
min (et* ) 2 min ˆ * ˆ * (Yt * b0 X 0t b1 X 1t ) 2
5.2.3对模型参数估计值显著性检验的影响
ee ˆ 并非随机误差项 在异方差情况下， n k 1 方差的无偏估计量。
2
ˆ 导致在此基础上估计的 s ( b j ) 也出现偏误。
ˆ bj 而变量的显著性检验中，构造了t统计量 t ˆ s(b j )
变量的显著性检验失去意义。
Байду номын сангаас
5.3异方差性的检验
2、以残差平方作为因变量，以原方程中所有解释变 量以及解释变量的平方项和交叉积项做辅助回归：
2 et2 a0 a1 x1t a2 x2t a3 x1t x2t a4 x12t a5 x2t vt
(*)
3、用卡方检验来检验该方程的总体显著性。
可以证明，在同方差假设下LM 统计量 R2为(*)的可决系数，h为(*)式解释变量的个数，本例为5 表示渐近服从某分布。
5.3.4怀特（ H.White test）检验法
怀特检验的前提条件：适用于大样本。
怀特检验的思想：通过建立辅助回归模型的方式来 判断异方差。 即检验残差平方与解释变量可能的组合的显著性。 怀特检验步骤（以二元线性回归模型为例）：
yt b0 b1 x1t b2 x2t ut
1、用普通最小二乘法估计模型，求出残差平方序 2 列：et
X 20000
250 Y 200
150
递减型
100
50 X 0 10 20 30
0
6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 200 400 600 800 1000 1200 1400 DJPY
复杂型
5.1.2产生异方差的原因
1、解释变量的遗漏。 2、来自不同抽样单元的因变量观察值的差异。 3、异常观测值的出现。 4、时间序列数据中，观测技术的改进引起的观测值的变化。
ARCH检验的步骤： (1)运用OLS对模型进行估计。
(2)计算残差序列e t , 得到e 2 , e21 , , e2 。 t t t-p
2 以e 2 , e 21 , , e 2 作为 t2 , t21 , , t-p的近似估计。 t t t-p
此时，e 2 的样本观测值个数为（n p）个。 t-p
X
（2）用X-Y的散点图进行判断 看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋势 （即不在一个固定的带型域中）
300 Y
200
100
0 0 5000 10000 15000
X 20000
（3）用残差图进行初步判断
80 60 40 20 0 -20 -40 RES -60 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
假定相异的方差已知，以一元线性回归模型为例，对于
Yt b0 b1 X t ut , E (u t2 ) t 可以进行变量代换，构造满足CLRM假定的回归方程。
2
在
Yt b0 b1 X t ut
t
Yt
两边同除以 t :
t t Yt Xt ut 1 * * * * 令Yt ，X 0t ，X t ，ut t t t t
经典线性回归模型的基本假定 ut为正态分布
违背
不服从正态分布
零均值假定
同方差假定 无自相关假定 解释变量是确定性变量，或 者xt是随机的，但与ut不相关。 解释变量间无多重共线性
均值不为零
异方差性 序列相关性
第五章 第六章
随机解释变量
多重共线性
第八章
第七章
第5章 异方差性
本章教学要求： （1）掌握异方差的含义及产生原因。 （2）理解异方差性存在的后果。 （3）掌握检验异方差的方法。 （4）掌握处理和消除异方差的方法。
4、比较判断
怀特检验的判别规则： 若样本计算的nR2值大于给定显著性水平下的临界值 （p值较小），则拒绝同方差假设； 若样本计算的nR2小于等于给定显著性水平下的临界值 （ p值较大），则接受同方差假设。 注意： （1）White检验不需要对观测值排序。 （2） White检验不需要假定异方差的具体形式。 （3）在多元回归中，由于辅助回归方程中可能有太多 解释变量，从而使自由度减少，有时可去掉交叉项。
5.4异方差性的解决办法
5.4.1 存在异方差性的OLS估计 ——广义最小二乘法（GLS) 估计
GLS是对满足普通最小二乘假定的转换变量的OLS， 即先将原始变量转换成满足经典模型假定的转换变量， 然后对其使用OLS程序的估计方法。相应估计量称为 GLS估计量，这些估计量是BLUE。 在异方差条件下，GLS实际上是一种加权最小二乘法： 加权最小二乘法（Weighted Least Squares, WLS）是 对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型， 然后采用OLS估计其参数。
5.3.3戈里瑟（Glejser）检验 和帕克（Park）检验
基本思想：假设方差与解释变量之间存在着某种幂关 系。由普通最小二乘法得到残差后，取其绝对值或平 方项与某个解释变量回归，根据回归模型的显著性和 拟合优度判断是否存在异方差。
戈里瑟检验步骤：
假定 t2与某一解释变量X tk 有关。可以对以下函数形势作回归： : | et | a0 a1 X tk vt
2 | et | a0 a1 X tk vt
| et | a0 a1 X tk vt | et | a0 a1 | et | a0 a1 进行回归，对a和回归方程作显著性检验。若显著，则存在异方差。 1 vt X tk 1 vt X tk
如果回归结果表明异方差与多个变量有关，可以引入多个变量 进行回归，并进行检验。
划分方法是： 把成对（组）的观测值按解释变量的大小顺序排列， 略去c个处于中心位置的观测值 （通常n 30时，取c n/ 4）， 余下的n- c个观测值自然分成容量相等，(n- c) / 2的两 个子样本。
{x1, x2, …, xt-1, xt, xt+1, …, x n-1, xn}
n1 = (n-c) / 2
5.3.5 自回归条件异方差（ARCH）检验
ARCH检验的思想：
ARCH 检验不是把原回归模型的随机误差项t 2 看作是xt 的函 数，而是把t 2 看作误差滞后项ut-12 , u t -22 , … 的函数。将同方差的 原假设转化为假设该自回归过程的总体显著性为零。在此基础上构 造辅助回归式，并进行相应的检验。
5.3.2戈德菲尔德——匡特检验法
G-Q检验的前提条件： G-Q检验适用于大样本。要求观测值的数目至少 是参数的两倍；随机项没有自相关且服从正态分布。 G-Q检验的思想： 先将样本一分为二，对子样①和子样②分别作回归， 然后利用两个子样的残差平方和之比构造统计量进行异 方差检验。 由于该统计量服从F分布，因此假如存在递增的异方 差，则F远大于1；反之就会等于1（同方差）、或小于1 （递减方差）。
可见OLS估计量仍具无偏性。
5.2.2对模型参数估计值最佳性的影响
ˆ 仍以 b1
为例，
kt2 var( yt ) kt2 var(ut ) kt2 t2 2 kt2
ˆ var(b1 ) var( kt yt ) var(kt yt )
但OLS估计量不具有最佳性。
ˆ et yt yt var(ut ) E (ut ) et
2 2 2
即可以用et 来近似代表随机误差项 的方差。
5.3.1图示检验法
（1）用X（或Y的估计值）与残差平方的散点图进 行初步判断
~ ei 2 ~ ei 2
X 同方差 递增异方差
X
~ ei 2
~ ei 2
X 递减异方差 复杂型异方差
检验思路：
由于异方差性就是相对于不同的解释变量观测值， 随机误差项具有不同的方差。那么：
检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与 解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。
问题在于用什么来表示随机误差项的方差？ 一般的处理方法：
首先用普通最小二乘法估计模型，用残差项作为 随机误差项的近似估计量。于是：
5.2异方差性的后果
5.2.1对模型参数估计值无偏性的影响
以简单线性回归模型为例，对模型 yt = b0 + b1 xt + ut ˆ 当Var(ut) = t 2，为异方差时，以 b1 为例：
ˆ b1
k
t
yt b1 kt ut
ˆ E (b1 ) E (b1 kt ut ) b1
ˆt ˆ ˆ t ˆ t （3）对e 2 a 0 a1e 21 a p e 2 p作辅助回归。
（4）由辅助回归函数的R 2，计算(n p)R 2。 在H 0成立的条件下， p)R ~ (p)。 (n
2 2 2 （5）比较(n p)R 2与给定 下的临界值 (p), 2 若(n p)R 2 (p)，则拒绝H 0。
帕克检验形式：
帕克提出的假定函数形式为： e 2 a 0 x a1 e v t t t
即
ln e2 ln a 0 a1 ln x t v t t
Glejser和park检验的特点是： ① 既可检验递增型异方差，也可检验递减型异方差。 ② 一旦发现异方差，同时也就发现了异方差的具体表现 形式。 ③ 需检验多种回归方程形式，计算量相对较大。 ④ 当原模型含有多个解释变量值时，可以拟合成多变量 回归形式。