正交投影
向量的投影与正交
向量的投影与正交在线性代数中，向量的投影和正交是非常重要的概念。
它们不仅可以帮助我们理解向量的性质，还可以应用于实际问题的求解。
本文将详细介绍向量的投影和正交的概念、性质以及应用。
一、向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度。
对于两个向量A和A，如果我们希望计算向量A在向量A上的投影长度，可以通过以下方法进行计算：1. 计算向量的点积：将向量A和向量A的点积除以向量A的模长的平方。
2. 将结果乘以向量A：将步骤1中得到的结果乘以向量A，即可得到向量A在向量A上的投影向量。
向量的投影可以帮助我们理解两个向量之间的关系。
如果两个向量的投影为零，则它们是正交的；如果两个向量的投影长度相等，则它们是平行的。
二、向量的正交向量的正交是指两个向量之间的夹角为90度。
如果两个向量的点积等于零，则它们是正交的。
点积是通过将两个向量的对应分量相乘，并将相乘的结果相加而得到的。
正交向量具有许多重要的性质。
例如，如果两个向量是正交的，则它们的张成空间也是正交的。
这可以用来解决一些实际问题，比如线性回归中的多重共线性问题。
三、向量投影与正交的应用向量的投影和正交在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 图像处理：在图像处理中，向量的投影可以用来进行图像压缩和降噪处理。
通过计算图像中像素点的投影长度，可以提取出图像中的主要特征，并减少噪声的影响。
2. 三维图形学：在三维图形学中，向量的投影和正交被广泛应用于图形的旋转、变换和投影等计算中。
通过计算物体在不同坐标轴上的投影长度，可以实现物体在三维空间中的变换和投影效果。
3. 机器学习：在机器学习中，向量的正交可以用于特征选择和降维。
通过找到数据集中相互正交的特征向量，可以提取出最具有代表性的特征，从而提高机器学习算法的准确性和效率。
综上所述，向量的投影和正交是线性代数中重要的概念。
通过理解和应用向量的投影和正交，我们可以更好地理解向量的性质，并将其应用于实际问题的求解中。
内积空间中正交和投影
则有 x x0 M
定理 2.3.8 设 M 是希尔伯特空间 X 的线性闭子空间， 则 X 中的元素 x 在 M 中存在唯一的正交投影 x0 ，即有
x x0 y ， x0 M ， y M
定义232正交补中所有与m正交的矢量组成之集合定理233勾股定理若为内积空间232正交投影定义234正交投影设上的正交投影上式也称作x的正交分解
⑶ 若对 x M 和 y N 都有 x, y 0 ，则称 M 与 N 正交，记作 M N ；
⑷ 设 X 为线性空间， M , N 是 X 的两个子空间， 且 M N 。若对于某个 x X 可唯一地表示成
x yz， yM ， zN
则称 X 为 M , N 的正交和，并表示成 X M N 。
定 义 2.3.2 （ 正 交 补 ） 设 X 为 内 积 空 间 ， M X ，称 X 中所有与 M 正交的矢量组成之集合 为 M 的正交补，记作 M ，即
M x x X, x M
定理 2.3.3（勾股定理）若 x1, x2 ,L , xn 为内积
空间 X 中彼此正交的矢量组，则有
n
2
n
xk
xk 2
k 1
k 1
2.3.2 正交投影 定义 2.3.4（正交投影）设 M 为内积空间 X 的线
性子空间， x X ，如果 x0 M ， y M ，使得
x x0 y
则称 x0 是 x 在 M 上的正交投影，上式也称作 x 的正交
分解。
定理 2.3.5（正交投影的唯一性）设 M 为内积空间 X 的线性 子空间， x X ，若 x 在 M 上有正交投影，则该投影是唯一的。
引理 2.3.6 若 M 是希尔伯特空间 X 的一个线性闭子空间， x X ，定义 x 到 M 的距离为
三视与正交投影的基本概念
三视与正交投影的基本概念在绘画、设计和工程领域，我们经常会遇到需要将三维物体转化为二维图形的情况。
为了准确地表达物体的形状和尺寸，我们使用三视图和正交投影这两种基本概念。
三视图是指从不同的方向观察物体，并将其投射到垂直于观察方向的平面上得到的投影图。
通常，我们使用正前、左侧和顶部的视图来描述一个物体。
这三个视图分别展示了物体的正面、侧面和俯视图。
通过组合这三个视图，我们可以获得一个较为完整的物体描述，了解它的外观和形状。
正交投影是指将物体的三维空间投影到一个平面上，以实现将三维物体转化为二维图形的目的。
在正交投影中，投影线是垂直于观察平面的，因此，在投影图中，物体上的平行线仍然保持平行。
正交投影具有保持真实比例的优点，因此非常适合用于制图和工程设计。
为了更好地描述和表达三维物体的大小和形状，我们通常使用标注来标示物体的尺寸和距离。
在三视图中，标注通常位于视图的外部，以避免遮挡视图中的重要信息。
标注包括长度、宽度、高度、半径等尺寸参数，以及与其他物体或参考点的相对位置。
在进行三视图和正交投影绘制时，需要注意一些基本规则和技巧。
首先，应选择适当的观察方向来展示物体的主要特征，以确保视图清晰明了。
其次，在绘制正交投影图时，应确保投影线垂直于投影平面，以保持正交性。
此外，标注的位置和方式应标准化，便于阅读和理解。
总结起来，三视图和正交投影是表达三维物体形状和尺寸的基本概念。
通过使用这些技巧，我们可以准确地绘制出物体的平面投影，便于设计和工程领域中的沟通和交流。
在实际应用中，我们还可以根据需要，结合其他技术手段来提高图形表达的效果，如阴影、渐变和透视等。
掌握这些基本概念和技巧，对于提高我们的绘画和设计能力，以及促进工程交流和沟通具有重要的意义。
立体形的投影与视角
立体形的投影与视角投影是指将一个三维物体在二维平面上的表现。
而视角则是指观察者所处的位置和角度对物体产生的视觉效果。
立体形的投影与视角息息相关，不同的投影方式和视角会呈现出不同的效果。
本文将以立体形的投影与视角为主题，探讨不同投影方式和视角对立体形的影响。
一、正交投影与透视投影正交投影和透视投影是常用的两种投影方式。
正交投影是指投影线与投影平面垂直，可将物体的各个面在平面上等比例地展开。
透视投影则是按照视线的远近和角度对物体进行裁剪，使物体的远处变小、近处变大的效果显现。
在正交投影中，所有直线在投影平面上都呈现为平行线，没有透视效果。
投影产生的图形上下左右各个方向的尺寸相等，因此没有深度感。
适用于工程绘图、建筑设计等需要准确尺寸的领域。
而透视投影则能够更真实地还原物体的外观。
物体的远近和角度对透视投影的效果产生重要影响，远处的物体会显得较小，近处的物体则较大。
这种投影方式常用于绘画、艺术创作以及计算机图形学等领域。
二、观察点与视角观察点的选择与视角密切相关，不同的观察点会使得投影产生的效果完全不同。
观察点的位置高低决定了视角的视野范围，位置左右决定了视角的横向宽度，而位置前后决定了视角的纵向深度。
当观察点位于物体的正上方时，得到的视角称为鸟瞰视角。
这种视角可以展示出物体的整体轮廓和布局，对于了解物体的结构和几何形状非常有帮助。
鸟瞰视角常用于城市规划、地图制作等领域。
当观察点位于物体的正前方时，得到的视角称为正视角或者正面视角。
这种视角可以展示出物体的正面详细信息，对于了解物体的细节和纹理非常有帮助。
正视角常用于产品设计、插图绘制等领域。
当观察点位于物体侧面时，得到的视角称为侧视角。
这种视角可以展示出物体的侧面形状和厚度，对于了解物体的体积和比例非常有帮助。
侧视角常用于建筑设计、雕塑制作等领域。
三、投影类型与效果除了正交投影和透视投影，还存在其他形式的投影类型，它们也会对立体形的表现产生不同的效果。
丘维声高等代数第十章2
(k) = k
因此，是 V 上的线性变换。▌ 性质 实内积空间 V 上的正交变换是 V 到自身 的同构映射。 证明 只需证明正交变换是单射：设是 V 上 的正交变换，任取 , V ，若 =，则
| |2 ( , ) ( ( ), ( )) | ( ) |2 | |2 | |2 0
所以
2 , U
从而 2 U ，由此得 1 2 U U ，即
V U U
所以 ( , ) 0 设 U U ， 则 U 且 U ， 从而 ，即U U { } 。 综上所述，V U U 。 ▌
T 1
4.326 A 1.739
T
由 X 是 () 的最小二乘解，可得
k 1.739kg / cm
于是，此弹簧的受力方程为
12
y 4.326 1.739 x
▌
推论 设 AX 是不相容线性方程组，这里
A R mn , R m 。若 rank( A ) = n，则此方程组有
AX AX ( AX , AX ) 0 ( AX )T AX 0 ( AX )T A 0 AT ( AX ) 0
AT AX AT
故 X 应为线性方程组
AT AX AT
③
的解。 可以证明 对任意 A R mn , R m ，线性方
1
( 2 , j ) ( 1 , j ) ( , j ) (1 , j ) ( , j ) ( , 1 )( 1 , j ) ( , m )( m , j ) ( , j ) ( , j )( j , j ) ( , j ) ( , j ) 0
内积空间中的正交与投影
5.2 内积空间中的正交与投影5.2.1 正交和投影定义5.2.1 设X 是内积空间，,X ∈x y ，若[,]0=x y ，则称x 与y 正交，记作⊥x y .设Y X ⊂，当x 与Y 中所有向量都直交时，称x 与Y 正交，记作Y ⊥x . 设,Y Z X ⊂，若对,Y Z ∀∈∀∈y z ，都有⊥y z ，则称Y 与Z 正交，记作Y Z ⊥. 设Y X ⊂，记{,}Y x x Y x X ⊥=⊥∈，并称之为Y 的正交补（集）。
注 C Y Y ⊥≠. 正交性质：(1) 若⊥x y ，则⊥y x ； (2) 若X ∈x ，则 X⊥⇔=0x x ;(3) 若Y Z ⊂，则Z Y ⊥⊥⊂； (4) 对Y X ∀⊂，恒有{}Y Y ⊥=0；注 {}YY ⊥=0不意味着Y Y X ⊥=.(5) 勾股弦定理：当⊥x y 时，222+=+x y x y .引理5.2.1 设X 是内积空间，Y X ⊂，则Y ⊥是X 的闭线性子空间。
证 （自证！）注 因为Y 未必是X 的闭线性子空间，所以一般地，()Y Y ⊥⊥≠，但有()Y Y ⊥⊥⊂. 若Y 是X 的闭线性子空间，则()Y Y ⊥⊥=.推论 设Y X ⊂，若span{}Z xx Y =∈是Y 张成的闭线性子空间，则Z Y ⊥⊥=.证 因为Y Z ⊂，所以Y Z ⊥⊥⊃.反过来，若Y ⊥∈x ，即Y ⊥x ，这时{}(){}YY Y ⊥⊥⊥⊥⊂⇒⊂⊂x x .由引理5.2.1知：{}⊥x 是X 的闭子空间, 而Z 是包含Y 的最小的闭集，所以{}Z Z Z ⊥⊥⊂⇒⊥⇒∈x x x或{}{}({})Z Z Z ⊥⊥⊥⊥⊥⊂⇒⊂⊂⇒∈x x x x得：Y Z ⊥⊥⊂. 综上所述，有Z Y ⊥⊥=. 证毕！定义5.2.2 设X 是内积空间，12,Y Y 是X 的两个线性子空间，若12Y Y ⊥，则称121122{,}Y Y Y =+∈∈x x x x为1Y 与2Y 的正交和，记作12Y Y ⊕.命题5.2.1 设内积空间X 能分解为1Y 与2Y 的线性和12121122{,}X Y Y Y Y =+=+∈∈x x x x则它为正交和 ⇔ 1221,Y Y Y Y ⊥⊥==.In fact , “⇒”设12X Y Y =⊕，则由定义5.2.3知：12Y Y ⊥. 于是111212Y Y Y ⊥∀∈⇔⊥⇔∈x x x ，故 12Y Y ⊥=. 同理可证21Y Y ⊥=.“⇐”设1221,Y Y Y Y ⊥⊥==，往证12X Y Y =⊕. 因为X 已经分解为1Y 与2Y 的线性和：12121122{,}X Y Y Y Y =+=+∈∈x x x x ，所以，要证明12X Y Y =⊕，只需证明12Y Y ⊥.因为 1221,Y Y Y Y ⊥⊥==，所以显然有 12Y Y ⊥. 证毕！定义5.2.3 设Y 是内积空间X 的线性子空间，X ∈x . 若存在01,Y Y ⊥∈∈x x ，使得01=+x x x (5.2.1)则称0x 是x 在Y 上的（正交）投影，或x 在Y 上的投影分量。
正交投影与透视投影的性质分析
正交投影与透视投影的性质分析正交投影与透视投影是我们在日常生活中常常接触到的两种投影方式。
它们在绘画、建筑设计、计算机图形学等领域中起着重要的作用。
本文将分析正交投影与透视投影的性质，探讨它们在不同领域中的应用。
首先，我们来了解一下正交投影。
正交投影是一种保持物体形状和大小不变的投影方式。
在正交投影中，光线垂直于投影平面，物体与投影平面之间的夹角为90度。
由于光线的直线传播特性，物体在投影平面上呈现出等比例缩小的效果。
正交投影常用于工程制图、平面设计等领域。
正交投影具有以下几个性质。
首先，正交投影保持了物体的形状和大小，因此可以准确地表达物体的尺寸和比例关系。
这使得正交投影在建筑设计、机械制图等领域中得到广泛应用。
其次，正交投影的投影线是平行的，这使得投影结果更加清晰和易于理解。
此外，正交投影还具有投影线长度相等的特点，这有助于准确测量和计算。
接下来，我们来探讨透视投影。
透视投影是一种模拟人眼视觉效果的投影方式。
在透视投影中，光线从物体上的某一点射向观察者的眼睛。
由于光线的折射和散射，物体在投影平面上呈现出大小和形状的变化。
透视投影常用于绘画、摄影等艺术领域。
透视投影具有以下几个性质。
首先，透视投影能够真实地模拟物体在空间中的位置和距离关系。
这使得透视投影在绘画中能够呈现出立体感和逼真的效果。
其次，透视投影的投影结果呈现出近大远小的效果，这与人眼的视觉感知相符合。
此外，透视投影还能够通过调整视点的位置和角度来改变投影效果，增加艺术创造性。
正交投影和透视投影在不同领域中有着各自的应用。
在建筑设计中，正交投影常用于制作平面图和立面图，以准确表达建筑物的尺寸和比例关系。
而透视投影则常用于制作透视图，以展示建筑物的立体感和空间布局。
在绘画领域，正交投影和透视投影也各有用武之地。
正交投影常用于绘制技术图，以准确表达物体的形状和结构。
而透视投影则常用于绘制逼真的景物和人物，以营造出立体感和深度感。
在计算机图形学中，正交投影和透视投影被广泛应用于三维建模和渲染。
正交投影矩阵的特征值_解释说明以及概述
正交投影矩阵的特征值解释说明以及概述1. 引言1.1 概述正交投影矩阵是在三维几何中广泛应用的重要概念。
它通过将三维空间中的点映射到二维平面上，实现了几何对象在屏幕上的显示和处理。
正交投影矩阵的特征值是对该矩阵进行分析和解释时的关键指标。
本文将深入探讨正交投影矩阵的特征值，旨在帮助读者全面理解和应用正交投影矩阵。
1.2 文章结构本文将按以下结构展开讨论：- 引言：概述文章主题和结构；- 正交投影矩阵的特征值：定义、概念和性质；- 正交投影矩阵的特征值解释说明：详细解释特征值在几何学中的意义；- 正交投影矩阵的特征值计算方法：介绍常用计算方法、数值计算注意事项及优化方法；- 正交投影矩阵的特征值应用案例研究：背景介绍、目标与方法论概述、实验结果及数据分析讨论；- 结论与展望：对本文主要内容进行总结，并展望未来研究方向。
1.3 目的本文的目的在于：- 对正交投影矩阵的特征值进行详细解释和说明，使读者能够全面理解特征值在几何学中的应用；- 提供常用的正交投影矩阵特征值计算方法并介绍数值计算注意事项及优化方法，帮助读者在实际应用中更准确地计算特征值；- 运用实际案例展示正交投影矩阵特征值的应用场景和深入分析实验结果，为读者提供实操经验；- 总结全文，并对未来进一步研究方向进行展望，为相关领域的学者提供参考。
2. 正交投影矩阵的特征值2.1 正交投影矩阵的定义正交投影矩阵是指一个方阵，其满足以下两个条件：首先，它是一个正交矩阵，也就是说该矩阵的转置乘以它自身等于单位矩阵；其次，它是一个投影矩阵，即该矩阵平方等于它自身。
2.2 特征值的概念和性质在线性代数中，对于一个n×n的方阵A, 如果存在一个非零向量v使得Av=λv，其中λ为实数，则称λ为A的特征值，v称为对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量揭示了方阵变换行为中的重要信息。
一些常见的特征值性质包括：每个方阵都有特征值；方阵乘积的特征值与因子方阵的特征值相关；主对角线元素之和等于矩阵所有特征值之和。
卡尔曼滤波正交投影算法
卡尔曼滤波正交投影算法
卡尔曼滤波正交投影算法是一种用于估计状态变量的递归算法，它基于状态方程和测量方程，通过预测和更新两个步骤来估计状态变量的最优值。
正交投影是卡尔曼滤波算法中的关键步骤，它通过将预测值与测量值进行比较，计算出状态变量的最优估计值。
在正交投影算法中，首先需要定义状态变量和测量变量，以及它们之间的状态方程和测量方程。
然后，根据状态方程和测量方程，通过递归的方式计算出状态变量的最优估计值。
具体来说，算法包括以下几个步骤：
1. 初始化：设定初始状态变量的估计值和协方差矩阵；
2. 预测：根据状态方程和上一时刻的状态变量的估计值，预测下一时刻的状态变量的估计值和协方差矩阵；
3. 更新：将测量值带入到预测值中，计算出残差；
4. 正交投影：根据残差和协方差矩阵，计算出最优估计值；
5. 更新协方差矩阵：根据最优估计值和测量值，更新协方差矩阵。
正交投影算法是卡尔曼滤波算法的核心，它通过将预测值与测量值进行比较，计算出最优估计值。
在计算最优估计值时，需要考虑预测值的无偏性和协方
差矩阵的最小化。
此外，正交投影算法还可以用于解决其他估计问题，如线性最小方差估计、二次型优化问题等。
向量空间中的正交投影和最小二乘逼近
向量空间中的正交投影和最小二乘逼近在数学中，向量空间是一个很重要的概念。
在向量空间中，有一个很常用的操作，就是正交投影。
正交投影是将一个向量投影到另一个向量上，使得投影后的向量与另一个向量垂直。
另外，利用正交投影，我们还可以进行最小二乘逼近，这是一种优化模型，在经济学、统计学、物理学等领域中都有广泛应用。
一、正交投影在向量空间中，我们可以将任意向量分解为两个部分，一个部分是与另一个向量垂直的部分，另一个部分是与另一个向量共线的部分。
这两部分向量可以分别用正交投影和投影得到。
举个例子，假设有一个向量b和另一个向量a，现在需要将向量b投影到向量a上，并求得它在向量a上的正交部分。
根据正交投影的公式，在向量a上的投影为：proj_a b = (b·a/||a||^2)·a其中，b·a表示b与a的点积（内积）；||a||表示a的模（长度）。
而在向量a上的正交部分为：b - proj_a b它们满足投影后的向量跟向量a垂直，而正交部分与向量a平行。
这种投影的应用非常广泛，如在物理学中的离散化方法中，可以用来对特定函数进行拟合，从而更好地研究物理现象。
二、最小二乘逼近利用正交投影，我们可以得到最小二乘逼近的优化模型，进一步拓展了正交投影在实际应用中的价值。
最小二乘逼近是指，给定一组数据，我们需要找到一条曲线（或超平面），以最小的误差拟合这些数据点。
误差可以用欧几里得距离（二范数）表示。
而在向量空间中，误差最小的“曲线”就是投影。
举个例子，假设有一组数据点{(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)}，需要找到一个一次函数y=a+bx，来拟合这组数据。
首先，我们将数据转化成向量形式：{(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)} --> {(1,x1),(1,x2), …, (1,xn)}。
将这些向量放在坐标系中，我们会发现，这些点大致分布在一条直线上。
内积空间中的正交和投影
投影的性质
投影是非扩张的，即 $|mathbf{P}_{U}(mathbf{a})| leq
|mathbf{a}|$。
正交在解析几何、线性代数和物理等领域中都有广泛的应用，例如在解决物理问题、 图像处理和机器学习等领域中经常需要用到向量的正交。
02
内积空间中的投影
投影的定义
投影是将一个向量从内积空间投影到另一个子空间的过程。具体来说，给定向量$mathbf{a}$和子空间 $U$，投影$mathbf{P}_{U}(mathbf{a})$是满足$mathbf{P}_{U}(mathbf{a}) in U$且使 $mathbf{P}_{U}(mathbf{a}) perp mathbf{u}$的向量，其中$mathbf{u} in U$。
当子空间是超平面时，投影表示将向量投射到超平面 的法线方向上，使向量与超平面的距离最近。
投影在优化和机器学习中有广泛应用，例如在求解约 束优化问题时，可以将目标函数在约束条件下的解看
作是原问题解在约束子空间上的投影。
03
投影和正交的应用
在线性代数中的应用
线性子空间
投影可以将一个向量投射到指定的线性子空间上，通过计算向量的投影，可以得 到向量在子空间上的分量。
内积空间中的正交和投影的重要性
• 正交和投影是内积空间中的重要概念，它们在数学、物理和工程等领域中有着广泛的应用。正交表示两个向量相互垂直， 而投影则表示一个向量在另一个向量上的分量。这些概念在解决实际问题时非常有用，例如在信号处理、图像处理、量子 力学等领域中都有广泛的应用。
正交投影法的定义与性质
卡尔曼滤波算法推导⏹正交投影的定义与性质⏹算法的推导⏹算法总结假定x 为M ⨯1的随机矢量，z 为N ⨯1的随机矢量，它们都具有二阶矩，如果存在一个与x 同维的矢量，满足下列三个条件：ˆx（a ）线性性，即可用z 线性表示，ˆxˆ=+x Az b （b ）无偏性ˆ()()E E =xx （c ）正交性ˆ[()]TE -=x x z 0则称为x 在z 上的正交投影，记为ˆx ˆˆ(|)E =xx z 1. 正交投影的定义与性质正交投影的定义：很显然，x 的线性最小均方估计符合以上三个条件，所以，正交投影是存在的。
反过来也可以证明，如果满足正交投影的三条性质，那么它作为x 的估计，其估计的均方误差是最小的。
因此，正交投影也是唯一的。
ˆx xzˆ(|)E x z ˆ(|)Ex x z 正交投影的几何解释:1ˆ(|)()[()]xz z E E E -=+-x z x P P z z {}[()][()]T xz E E E =--P x x z z {}[()][()]T z E E E =--P z z z z （1）其中：（2）ˆˆ(|)(|)E E =Ax z A x z 1212ˆˆˆ[()|](|)(|)E E E +=+x x z x z x z 也即，如果把正交投影看作为一个算子，那这是一个线性算子。
正交投影的性质：（3）设1[]k k k -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦z z z 111ˆˆˆ(|)(|)(|[])ˆ(|)([]){([][])}[]k k k T T E E Ek E E k E k k k ---=+=+x z x z x z x z xz z z z 1ˆ[][]([]|)k k k E k -=-z z z z 1ˆ(|)k E -=-x x x z 其中证明留着习题。
z k-11ˆ[|]k E-x z z [k]x1ˆ[()|]k E k -z z 1ˆ[][]([]|)k k k E k -=-z z z z ˆ(|[])E k x z ˆ[|]k E x z ˆ[|()]E k x z 1ˆ[|]k E -=-x x x z 第三条性质的几何解释。
正交投影
投影的严格定义是：一个从向量空间V射到它自身的线性变换P是投影，当且仅当P2= P。
另外一个定义则较为直观：P是投影，当且仅当存在V的一个子空间W，使得P将所有V中的元素都映射到W中，而且P在W上是恒等变换。
用数学的语言描述，就是：，使得，并且在现实生活中，阳光在地面上留下各种影子。
这就是投影变换最直白的例子。
可以理想化地假设阳光都是沿着同一个方向（比如说垂直于地面的角度）照射而来，大地是严格的平面，那么，对于任意一个物体（比如说一只正在飞行的鸟），它的位置可以用向量(x, y, z) 来表示，而这只鸟在阳光下对应着一个影子，也就是 (x, y, 0)。
这样的一个变换就是一个投影变换。
它将三维空间中的向量 (x, y, z) 到映射到向量 (x, y, 0) 。
这是在x-y平面上的投影。
这个变换可以用矩阵表示为因为对任意一个向量 (x, y, z) ，这个矩阵的作用是：注意到如果一个向量原来就是表示地面上的一点的话（也就是说它的z分量等于0），那么经过变换P后不会有改变。
也就是说这个变换在子空间x-y平面上是恒等变换，这证明了P的确是一个投影。
另外，所以P = P2，这也证明P的确是投影。
基本性质变换T是沿着k方向到直线m上的投影。
T的像空间是m而零空间是k。
这里假定投影所在的向量空间V是有限维的（因此不需要考虑如投影的连续性之类的问题）。
假设子空间U与W分别为P的像空间与零空间（也叫做核）。
那么按照定义，有如下的基本性质:1.P在像空间U上是恒等变换：2.整个向量空间可以分解成子空间U与W的直和：。
也就是说，空间里的每一个向量v，都可以以唯一的方式写成两个向量u与w的和：v= u+ w，并且满足、。
事实上，每一个向量v都可以写成。
P(v)显然在像空间中，而另一方面，所以v−P(v)在零空间中。
用抽象代数的术语来说，投影P是幂等的线性变换（P2= P）。
因此它的极小多项式是如果向量空间被赋予了内积，那么就可以定义正交和其它相关的概念(比如线性算子的自伴随性)了。
正交投影定理
正交投影定理
正交投影定理是指在平面几何中，将一条线段在平面上正交投影后，所得到的投影线段的长度等于原线段在该平面内的投影长度。
具体来说，如果在平面内有一条线段
AB，那么将这条线段在平面上正交投影后，所得到的投影线段 AC 的长度等于线段 AB 在平面内的投影长度。
正交投影定理的证明可以用向量的性质来证明。
根据向量的定义，在平面内的向量可以看作是一个有向线段，并且向量的长度就是线段的长度。
因此，在平面内的向量与平面上的正交投影之间存在着对应关系，即向量的长度等于线段在平面内的投影长度。
正交投影定理在平面几何中有着广泛的应用，可以用来解决许多平面几何问题。
例如，可以用正交投影定理来求解线段的垂直平分线，或者求解平行四边形的对边角度等。
正交投影和透视投影区别
正交投影和透视投影区别
所谓的透视投影可以看成我们人在看一处景像时在人眼与物体之间放置一块透明板，景物映射到透视板上，这个过程就叫做透视投影。
而正交投影就是用一束平行光去照射物体所投影，这个过程就是正交投影。
举个简单的例子来说明正交投影与透视投影照相机的区别。
使用透视投影照相机获得的结果是类似人眼在真实世界中看到的有“近大远小”的效果（如下图中的(a)）；而使用正交投影照相机获得的结果就像我们在数学几何学课上老师教我们画的效果，对于在三维空间内平行的线，投影到二维空间中也一定是平行的（如下图中的(b)）。
(a)透视投影，(b)正交投影
那么，你的程序需要正交投影还是透视投影的照相机呢？
一般说来，对于制图、建模软件通常使用正交投影，这样不会因为投影而改变物体比例；而对于其他大多数应用，通常使用透视投影，因为这更接近人眼的观察效果。
当然，照相机的选择并没有对错之分，你可以更具应用的特性，选择一个效果更佳的照相机。
正交补与正交投影
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在物理和工程中的应用
运动学和动力学
在物理中的运动学和动力学中，正交 投影被用于描述物体在空间中的位置、 速度和加速度，以及力的作用方向和 大小。
控制系统
信号处理
在信号处理中，正交投影被用于信号 的滤波、降噪和特征提取等任务，以 提高信号的质量和识别准确率。
在工程中的控制系统领域，正交投影 被用于描述系统的状态变化，以及系 统输入和输出的关系。
Part
05
正交补与正交投影的实例分析
线性代数中的实例分析
线性子空间的正交补
在向量空间中，如果一个子空间A的补集与A正交，则称A的正交补为A的极小正交补。例如，在三维空间中，平 面A由向量(1,0,0)和(0,1,0)张成，则A的正交补是垂直于A的直线，即(0,0,z)。
正交投影
对于任意一个向量x，在子空间A上的正交投影记作P_A(x)，它是一个向量，满足x-P_A(x)属于A的正交补。例如， 在二维平面中，点(2,3)到直线x+y=1上的正交投影是点(1,-1)。
正交补与正交投影
• 正交补的定义与性质 • 正交投影的定义与性质 • 正交补与正交投影的应用 • 正交补与正交投影的关系 • 正交补与正交投影的实例分析
目录
Part
01
正交补的定义与性质
正交补的定义
正交补的定义
对于一个给定的向量空间V，如果一个 子空间U满足U的正交补定义为V中与 U正交的所有向量的集合，则称U为V 的一个正交补。
正交补
将一个向量或一个子空间的正交补转 化为投影，即该向量或子空间在另一 个指定子空间上的投影。
正交补与正交投影的异同点
相同点
正交补和正交投影都是基于向量的正交关系，都涉及到将一个向量或子空间转换到另一个子空间的过 程。
三视与正交投影的相关知识
三视与正交投影的相关知识在学习技术绘图和工程制图时，了解三视图和正交投影是非常重要的。
它们是描述三维物体的二维投影，以便更好地理解和绘制工程图纸。
本文将介绍三视图和正交投影的相关知识。
一、三视图三视图是将三维物体投影到三个平面上得到的正交投影。
这三个平面分别是主平面、左侧平面和顶视平面。
通过观察三个平面上的投影，可以充分了解物体的形状和尺寸。
1. 主平面主平面是一块垂直于观察者眼睛方向，面对观察者的平面。
在主平面上，我们可以看到物体的前、上、后、下四个面的轮廓。
这些轮廓线可以绘制在主平面上，形成主视图。
2. 左侧平面左侧平面是一个与主平面垂直、与观察者的左侧呈90度的平面。
在左侧平面上，我们可以看到物体的左、上、右、下四个面的轮廓。
这些轮廓线可以绘制在左侧平面上，形成左视图。
3. 顶视平面顶视平面与主平面和左侧平面相似，是一个垂直于观察者眼睛方向，面对观察者的平面。
在顶视平面上，我们可以看到物体的上、前、下、后四个面的轮廓。
这些轮廓线可以绘制在顶视平面上，形成顶视图。
通过绘制三个平面上的轮廓线，我们可以形成三个视图，即主视图、左视图和顶视图。
这三个视图可以提供完整的物体外观信息，有助于设计和制造。
二、正交投影正交投影是一种将三维物体投影到二维平面上的方法。
在正交投影中，投影线垂直于投影平面，保持物体的真实形状和尺寸。
通过正交投影，我们可以得到正面、侧面和顶面的二维视图，用来展示物体的各个面。
正交投影包括正视投影、侧视投影和顶视投影。
1. 正视投影正视投影是将物体的正面投影到垂直于观察者的平面上。
在正视投影中，投影线垂直于观察者的视线方向，因此保持了物体的真实形状和尺寸。
正视投影可以显示物体的正面轮廓。
2. 侧视投影侧视投影是将物体的侧面投影到垂直于观察者的平面上。
在侧视投影中，投影线垂直于观察者的视线方向，可以显示物体的侧面轮廓。
3. 顶视投影顶视投影是将物体的顶面投影到垂直于观察者的平面上。
在顶视投影中，投影线垂直于观察者的视线方向，可以显示物体的顶面轮廓。
线性代数内积空间与正交投影
线性代数内积空间与正交投影线性代数中的内积空间和正交投影在数学和应用领域中具有重要的地位。
本文将从定义、性质和应用等方面来讨论线性代数内积空间与正交投影的相关知识。
一、内积空间的定义与性质内积空间是线性代数中的一种特殊向量空间，它定义了向量之间的内积运算。
具体而言，给定一个向量空间V，如果V上定义了一个二元运算<span>（</span>·,·<span>）</span>，满足以下性质：1. 非负性：对于任意向量x∈V，有<span>(</span>x,x<span>)</span>≥0，且仅当x=0时等号成立；2. 线性性：对于任意向量x、y、z∈V和任意标量α、β，有<span>(</span>αx+βy,z<span>)</span> =α<span>(</span>x,z<span>)</span> + β<span>(</span>y,z<span>)</span>；3. 共轭对称性：对于任意向量x、y∈V，有<span>(</span>x,y<span>)</span> =<span>(</span>y,x<span>)</span><span>*</span>，其中<span>*</span>表示共轭复数。
根据定义与性质，我们可以衍生出许多重要的概念与结论。
例如，内积空间中可以定义范数，即向量的长度；内积空间中可以度量向量之间的角度，通过定义夹角的余弦等等。
二、正交投影的定义与性质正交投影是内积空间中的一个重要概念，它表示一个向量在另一个向量上的投影。
2-4.酉(正交)变换、正交投影
n
ur 是 L 的标准正交基，则：
u1 , u2 ,
ur , ur + 1 ,
un 是 C n的标准正交基。
n
定理2：n 阶矩阵 P为酉空间 C 正交投影的充分必 要条件是：
P=P =P
H
2
Department of Mathematics
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n阶酉（正交）矩阵，则
T : T ( x ) = Ax , x ∈ C n ( R n ) 为C n ( R n ) 上的酉（正交）变换
Department of Mathematics
二. 正交投影 定义: 设酉（欧氏）空间 V = L ⊕ M , L ⊥ M ,
T 为 V 的线性变换，
∀x ∈ V , x = x1 + x 2 ,
矩阵论电子教程
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
Department of Mathematics
第 二 章
内积空间
Department of Mathematics
教学内容和基本要求
1.理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系. 2. 了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的判定 方法. 3. 理解酋空间的概念，会判定空间是否酋空间的方法， 4. 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质 重点: 难点: 内积空间的概念；正交基及子空间的正交关系 正交变换的判定方法
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§2.4 酉(正交)变换、正交投影 一, 酉变换与正交变换 1.酉变换的定义 定义： 设 V 是一个 n 维酉空间，T 是 V 的一个线 性变换，如果对任意的 x, y ∈ T 都有
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正交投影
田军
(吉首大学数学与计算机科学学院，湖南 吉首 416000）
摘要：为了应用定理证明的方法，首先对格拉姆—施密特方法在理论上给出证明。
其次
是利用低等数学“设而不求”的思想进行高等数学的求解。
由于高等数学引入了矩阵的概念，考虑用矩阵的方法进行求解。
关键词：正交化；单位正交基；投影；矩阵
Orthogonal projection
Tian Jun
(College of mathematics and computer science, Jishou University,Jishou Hunan 416000)
Abstract : In order to apply the theorem proving approach, first Gram -
Schmidt method of proof is given in theory. Secondly, the use of low-math
"demand-based rather than" thinking to the solution of advanced mathematics. Since the introduction of a matrix of higher mathematics concepts, consider the matrix method to solve it.
Key words : orthogonal; unit orthogonal basis; projection; matrix
引言 :在解决正交投影这类问题，如果要用定理证明的方法求出线性空间的一个规范
正交基。
那么首先就应该对定理进行证明，在理论上作必要的准备！
例1.1,在标准欧几里得空间V=R 中有向量α=（1，-1，-1， 1） 2∂=（1，-1 ，
0，1）3∂=(1,-1,0,1)线性空间W=L(1∂,2,αα)求向量 =（2，4，1，2）在W 上的正交投影。
解这道题有很多方法，第一种方法就是按定理证明的方法。
该方法涉及到格拉姆——施密特正交化。
因而首先对格拉姆——施密特正交化在理论上给予证明。
先考虑在三维空间V 1中一组线性无关的向量，则令11αβ=再将2α在1β上的投影向量记为R 12取：
-=22αβR 12-=2αk 1β 则2β⊥1β（如下图所示） 有内积
得相关知识可得k 12=
)
((1,1)
1,2βββα由于3α与21,αα共面，因此3α与21,ββ也共
面。
因而3α在21ββ平面的投影向量维R 3,则：
R 21)()(333ββαα+==R 13+22311323ββk k R +=
其中()()()()2
23223211313,,,,,βββαβββα==k k 取
2231133333ββααβk k R --=-=
则3213,ββββ⊥⊥
再将321,,βββ分别单位化为,,,321r r r 即得到一组正交单位向量321,,r r r ,它与向量组321,,ααα是等价的。
即在三维空间中存在一组单位正交基与321,,ααα等价，那么对于
321,,ααα...n α，这组线性无关的向量组是否存在正交向量组
n βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅21,与它是否等价呢？
令11αβ=显然1β与1α等价，再令21222βαβk +=为保证21,ββ正交即（21,ββ）=0
则可得到：1
11212,)
,(βββα-=k 也就是说取)
,)
,(112222βββααβ-
=时。
显然有21,αα与21,ββ等价。
再令22311333ββαβk k ++= 由()()0,,1323==ββββ 可得
()
()
()
()221323111313,,,,,βββαβββα-
=-
=k k
故222231111333)
,()
,(),(),(ββββαββββααβ--
= 并且321,,βββ与321,,ααα也等价。
继续上述步骤，假定已找到两两正交的非零向量t βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅21,满足条件。
使得 s ααα⋅⋅⋅⋅⋅⋅21,与s βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅21,等价。
（其中S=1,2,3⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅t) t t t t t t k k ββαβ1,11,111+++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=,为使1+t β与t βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅21,均正交。
对格拉姆——施密特正交化从理论上证明后，用理论进行求解就不难了！ 有观察可知)1,1,1,1(1--=α 0,1,1,1(3-=α )1,0,1,1(2-=α 是线形无关的故将其正交化可得： )1,1,1,1(211--=
n )1,3,1,1(632-=n )2,0,1,1(6
6
3--=n 向量β在W 上的正交投影是：)2,1,1,1()(-=βw p
第二种方法：我们要利用正交投影的定义将β进行分解，21βββ+=其中
11w ∈β22w ∈β， 令 3322111αααβx x x ++=① 则(12-=-=ββββ332211αααx x x ++）
=（2-321x x x --，4+321x x x ++，1+31x x -，221x x --） 由于w ⊥2β故i αβ⊥2（)3,2,1=i 由此可得方程组：
⎪⎩⎪
⎨⎧=---=---=---0
3202331
34321
321321x x x x x x x x x
解之可得：364321-==-=x x x 代入①式可得：3211364)(∂-+-==ααββw p 该方法的主要特点是间接的求1β，因为1β的向量坐标已知故利用1β的坐标可将
2β的坐标表示出来。
再利用)3,2,1(2=⊥i i αβ进行求解，这种设而不求得方法在初等数学中是非常常见的。
其最基本的思想方法在高等数学中仍然实用。
在第一册教材中，我们已学过矩阵的知识。
那么这道题能不能用矩阵的知识进行求解呢？显然能够应用！
设21βββ+=其中w w ⊥∈21,ββ 因此令，3322111αααβx x x ++= ①
以321,,ααα作为列向量得到矩阵),,(321ααα=A 以①中 线性表示的系数作为列矩阵X 这样有：
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----=011101111111A ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=2142B ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=321x x x X 则有：1β=AX AX -=-=ββββ12 由于内积（),2βαi 表示的矩阵形式就是：2βαT i .故
)3,2,1(2=⊥i i αβ表示的矩阵形式就是：
)(),,(03212321232221AX -=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T T T T T T T βαααβαααβαβαβα
则有AX A B A T T = 即
X ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-321233134101
解之得：()T
--=3,6,4X 于是
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==21
113640111011111111AX β 事实上用矩阵求解只是单纯的引入了矩阵这个运算工具而已，其最根本的原理与方法二雷同，只是使计算更具可能性，目的性，比方法二的计算更加简明，在具体的计算操作性上较方法二要强。
对于正交投影这类问题计算一般都较复杂，因此在计算时，要根据基向量的个数选择恰当的方法，一般情况下选择定义法为宜。
参考文献：
［1］ 陈志杰.高等代数与解析几何［M ］北京：高等教育出版社；海德堡：施普林格出版
社，2001.2 ISBN 978-7-04-009570-8
［2］ 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.—三版.—北京：高等教育出版社，
2003.9
［3］ 高等代数.［M ］武汉大学出版社；2009。