曲线方程及圆锥曲线的综合问题

普通高中课程标准实验教科书一数学［人教版］

高三新数学第一轮复习教案(讲座35)—曲线方程及圆锥曲线的综

合问题

一.课标要求：

1 •由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；

2•通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；

3.了解圆锥曲线的简单应用。

二.命题走向

近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考

察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线

在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2007年高考对本讲的考察，仍将以以下

三类题型为主。

1.求曲线(或轨迹)的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；

2•与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。

预测07年高考：

1.出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题；

2•可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问。

.要点精讲

1.曲线方程

(1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下:

这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”

(2)求曲线方程的常见方法：

直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。

转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动

点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。

几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。

参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y 联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。

2 •圆锥曲线综合问题

(1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题

通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的

最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等

式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。

圆锥曲线的弦长求法：

设圆锥曲线C： f(x, y)=0与直线I ：y=kx+b相交于A(x1, y1)、B(x2, y2)两点，则弦

长| AB|为：

(1) 1 AB|= Jl + k" ■ |至］一葢jL + k? * J(签i+窿］)】_4耳］嘉

或|AB|二J1 +存I珀-讣J1 +占》丁⑦+力尸-细诙.

若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|.

在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出

相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x, y)的取值范围。

(2)对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题

它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。

(3)实际应用题

数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆

锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。

涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转

化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：

建立坐标系

(4)知识交汇题

圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强

区分度的综合题。

四.典例解析

题型1 :求轨迹方程

例1. (1) 一动圆与圆x2 y2 6x 5 0外切，同时与圆x2 y2 6x 91 0内切,求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

9

X 2

2

(2)双曲线

y 1有动点P , F I ,F 2是曲线的两个焦点，求 PF 1F 2的重心M 的

9

轨迹方程。

设动圆圆心为 M(x, y)，半径为R ，设已知圆的圆心分别为 01、02，

将圆方程分别配方得：(x 3)2 y 2 4，(x 3)2 y 2 100， 当e M 与e 01相切时，有| 0川| R 2 ① 当e M 与eO 2相切时，有|02M| 10 R ②

将①②两式的两边分别相加，得 |01M | ©IM |

12，

即 (x 3)2 y 2 (x 3)2 y 2 12 ③ 移项再两边分别平方得：

2 (x 3)2 y 2

12 x

④

两边再平方得：3x 2 4y 2 108 0, 2 2

整理得—1，

36 27

M (x,y)到点0, 3,0)和02(3,0)的距离和是常数12，所以

点M 的轨迹是焦点为 01( 3,0)、02(3,0)，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标 原点，焦点在x 轴上，

••• 2c 6, 2a 12，二 c 3, a 6,

二 b 2 36 9

27 ,

即所求重心 M 的轨迹方程为：x 2 9y 2 1(y 0)。

所以，动圆圆心的轨迹方程是 36 27

1，轨迹是椭圆。

(法二)由解法一可得方程

,(x 3)2 y 2 (x 3)2 y 2 12，

解析：(1)(法一)

由以上方程知，动圆圆心

•••圆心轨迹方程为

36 27

(2)如图,设P,M 点坐标各为P(x 1, y 1), M (x, y)，•在已知双曲线方程中 • c .厂 10

a 3,b

1 ,

•已知双曲线两焦点为 F 1(..祜,0), F 2c ，i0,o ),

PF | F 2 存在，• y 0

x

由三角形重心坐标公式有

y •••力 0 ,••• y 0。

& (五)

3

，即

% 0 0 3

x 1 3x y 1 3y

已知点P 在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有

(3x)2

(3y)2

1(y 0)