小学三年级奥数 19整除二

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小学奥数数的整除性知识点+例题+练习 (分类全面)

拓展、一位采购员买了72个微波炉，在记账本上记下这笔账。

由于他不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。

账本是这样写的：72个微波炉，共用去□679□元（□为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。

应是__________元。

（注：微波炉单价为整数元）。

36792
例4、五位数能被12整除，这个五位数是____________。

42972
拓展、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。

713625
拓展、一个五位数98
3ab能被11和9整除，这个五位数是。

39798
例5、五位数
能同时被2,3,5整除，则A=______，B=______。

48
A1
B
5/2/8 0
拓展、要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？0 1 5
拓展、已知7位自然数427
62xy是99的倍数，则x= ,y=
2 4
2、若9位数2008□2008能够被3整除，则□里的数是
3、173□是个四位数。

数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的 3个四位数，依次可以被9，11，6整除。

”问：数学老师先后填入的3个数字之和是多少？
4、判断306371能否被7整除？能否被13整除？
5、判断能否被3，7，11，13整除．
6、试说明形式的6位数一定能被11整除．。

小学奥数关于数的整除规律

数的整除规律1、一个数的个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。

2、一个数的数字之和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。

3、这一个数的末两位如果能被4或者25整除，这个数就能被4或者25整除。

4、个位上是0或5的数都能被5整除。

5.这个数的末位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7,11或13整除，则原数能被7,11或13整除。

6.这个数的末三位如果能被8或者125整除，这个数就一定能被8或者125整除。

7.若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。

性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被5整除的数，个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除能被6整除的数，各数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

能被8整除的数，一个整数的末3位若能被8整除，则该数一定能被8整除。

小学奥数—数的整除之四大判断法综合运用

小学奥数—数的整除之四大判断法综合运用小学奥数是培养学生数学思维能力、观察能力和逻辑推理能力的重要方式之一、在小学奥数中，数的整除是一个重要的概念和技巧。

数的整除是指一个数能够整除另一个数，即一个数可以被另一个数整除，这在小学中学习，通常会讲解四大判断法，即整除的特征判断法、整除的除数判断法、整除的因子判断法和整除的位数判断法。

本文将综合运用这四大判断法，解决一些与数的整除相关的问题。

首先，整除的特征判断法是指整数n能够被整数m整除的充要条件是n的特征之积能够被m的特征之积整除。

这个特征指的是数的各位数字之和。

例如，对于一个数234，它的特征就是2+3+4=9、如果一个数的特征之积能够被另一个数的特征之积整除，那么这个数就能被另一个数整除。

例如，对于一个数36，它的特征之积是3×6=18，而另一个数9的特征之积是9，18能够被9整除，所以36能够被9整除。

其次，整除的除数判断法是指一个整数n是否能够被一个整数m整除的充要条件是n能够被m的约数整除。

这个方法利用了约数的概念。

约数是指一个数能够整除另一个数的整数。

例如，对于一个数15，它的约数有1、3、5、15，这些数都能够整除15，所以15能够被1、3、5、15整除。

如果一个数能够被另一个数的约数整除，那么这个数就能被另一个数整除。

再次，整除的因子判断法是指整数n是否能够被一个整数m整除的充要条件是m是n的因子。

这个方法利用了因子的概念。

因子是指一个数能够整除另一个数的整数。

例如，对于一个数21，它的因子有1、3、7、21，这些数都能够整除21，所以21能够被1、3、7、21整除。

如果一个数是另一个数的因子，那么这个数就能被另一个数整除。

最后，整除的位数判断法是指一个整数n是否能够被一个整数m整除的充要条件是n的位数能够被m的位数整除。

这个方法利用了位数的概念。

位数是指一个数的十进制表示中，不含小数点的位数。

例如，对于一个数5678，它的位数是4，而另一个数28的位数是2，4能够被2整除，所以5678能够被28整除。

小学生奥数数的整除问题知识点及练习题

小学生奥数数的整除问题知识点及练习题1.小学生奥数数的整除问题知识点数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。

“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）。

下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数。

又因为4｜64，所以1864能被4整除。

但因为2564，所以1864不能被25整除。

⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数。

又因为125｜375，所以29375能被125整除。

但因为8375，所以829375。

⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

例如：判断123456789这九位数能否被11整除？解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20。

因为25—20＝5，又因为115，所以11123456789。

再例如：判断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0。

因为0是任何整数的倍数，所以11｜0。

因此13574是11的倍数。

⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

例如：判断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分为1059和282两个数。

因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282。

小学奥数教程之数的整除

学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。

2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。

要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。

3、锻炼学生优良的意志品质。

可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。

可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。

数的整除学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。

本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。

另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对与学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。

知识梳理1.常见数字的整除判定方法（1）. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；（2）. 一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；（3）. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.（4）. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）注：在给学生讲解常见数字的判定性质时，要分系列来讲，例如有2系列，5系列，3系列和7,11,13系列，便于记忆。

对于11的单独判定特性需要重点讲解。

2.整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．注：在理解这个性质时，我们要注意，反过来是不成立的，即两数的和(a+b)或差(a-b)能被c整除，这两个数不一定能被c整除．如5 ︱(26+24)，但526，524．可以引入下面的问题2∣12，12∣36．2能否整除36？显然，回答是肯定的．这是因为36是12的倍数，12又是2的倍数，那么36一定是2的倍数．由此我们又可以得出：性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am （m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除．如果b｜a ，且d｜c ，那么ac｜bd；3．重点难点解析（1）.常见数字的整除判定性质（2）．将不具有整除判定性质的数字进行分解判定其整除性（3）．代数式之间整除性的判断，代数思想的应用（4）．试除法的理解和应用4.竞赛考点挖掘（1）.与数字谜或算式迷结合的整除判断特性题目（2）.代数式之间的整除性问题例题精讲【试题来源】【题目】已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？【解析】本题为基础题型，利用13的整除判定特征即可知道方格中填1。

小学数学奥数基础教程(三年级)目30讲全

小学奥数基础教程（三年级）- 1 -小学奥数基础教程（三年级）第1讲加减法的巧算第2讲横式数字谜(一)第3讲竖式数字谜(一)第4讲竖式数字谜(二)第5讲找规律(一)第6讲找规律(二)第7讲加减法应用题第8讲乘除法应用题第9讲平均数第10讲植树问题第11讲巧数图形第12讲巧求周长第13讲火柴棍游戏(一)第14讲火柴棍游戏(二)第15讲趣题巧解第16讲数阵图(一)第17讲数阵图(二)第18讲能被2，5整除的数的特征第19讲能被3整除的数的特征第20讲乘、除法的运算律和性质第21讲乘法中的巧算第22讲横式数字谜(二)第23讲竖式数字谜(三)第24讲和倍应用题第25讲差倍应用题第26讲和差应用题第27讲巧用矩形面积公式第28讲一笔画(一)第29讲一笔画(二)第30讲包含与排除一、两、三位数乘一位数（一）二、两、三位数乘一位数（二）三、乘法分配律数学智慧园（一）四、等量替换五、两、三位数除以一位数（一）六、两、三位数除以一位数（二）七、和差问题数学智慧园（二）八、图形空格填数九、归一问题十、和倍问题十一、差倍问题数学智慧园（三）十二、两积之和第2讲横式数字谜(一)在一个数学式子(横式或竖式)中擦去部分数字，或用字母、文字来代替部分数字的不完整的算式或竖式，叫做数字谜题目。

解数字谜题就是求出这些被擦去的数或用字母、文字代替的数的数值。

例如，求算式324+□=528中□所代表的数。

根据“加数=和-另一个加数”知，□=582-324＝258。

又如，求右竖式中字母A，B所代表的数字。

显然个位数相减时必须借位，所以，由12-B＝5知，B＝12-5＝7；由A-1＝3知，A＝3＋1＝4。

解数字谜问题既能增强数字运用能力，又能加深对运算的理解，还是培养和提高分析问题能力的有效方法。

这一讲介绍简单的算式(横式)数字谜的解法。

解横式数字谜，首先要熟知下面的运算规则：(1)一个加数+另一个加数=和；(2)被减数-减数=差；(3)被乘数×乘数=积；(4)被除数÷除数=商。

小学数学奥数测试题整除_人教版-精选学习文档

2019年小学奥数数论专题——整除1．整除1．173□是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内中先后填入3个数字，所得到的3个四位数：依次可被9，1l，6整除．”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少?2．如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少?3．某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?4．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7，13整除，这个数最大是多少?5．修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数．问修改后的这个数是多少?6．在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?7．已知四十一位数55…5□99…9(其中5和9各有20个)能被7整除，那么中间方格内的数字是多少?8．用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除．这个六位数是多少? 9．将自然数1，2，3，…依次写下去组成一个数：12345678910111213…．如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是多少？10．1～9九个数字按下图所示的次序排成一个圆圈，请在某两个数之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么应在何处剪开？11．1至9这9个数字，按图所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如，在l和7之间剪开，得到两个数是193426857和758624391)．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?12．有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对．问：(1)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数．13．有20位同学，每位同学都有编号，他们是1号到20号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对．问：(1)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你，1号写的数是七位数，请求出这个数．14．找出4个不同的自然数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除．如果要求这4个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这4个数里中间两个数的和是多少?15．试求6个不同的正整数，使得它们中任意两数之积可被这两个数之和整除．16．把若干个自然数l，2，3，…乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少?17．975×935×972×□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？18．如图，依次排列的5个数是13，12，15，25，20．它们每相邻的两个数相乘得4个数．这4个数每相邻的两个数相乘得3个数．这3个数每相邻的两个数相乘得2个数．这2个数相乘得1个数．请问：最后这个数从个位起向左数，可以连续地数出几个零?第 1 页19．已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？20．六位数2008能被99整除，是多少？21．六位数20□□08能被49整除，□□中的数是多少？22．在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数. ⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确；⑵一共有多少种满足条件的填法？23．已知九位数2007122□□既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？24．一位后勤人员买了72本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去两个数字.帐本是这样的：72本笔记本，共□67.9□元(□为被烧掉的数字)，请把□处数字补上，并求笔记本的单价.25．由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？26．各位数码是0、1或2，且能被225 整除的最小自然数是多少？27．张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树312棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？28．某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多，共种了1073棵，那么平均每人种了棵树？29．在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。

(小学奥数)数的整除之四大判断法综合运用(二)

5-2-2.數的整除之四大判斷法綜合運用（二）教學目標1.瞭解整除的性質；2.運用整除的性質解題；3.整除性質的綜合運用.知識點撥一、常見數字的整除判定方法1. 一個數的末位能被2或5整除，這個數就能被2或5整除；一個數的末兩位能被4或25整除，這個數就能被4或25整除；一個數的末三位能被8或125整除，這個數就能被8或125整除；2. 一個位數數字和能被3整除，這個數就能被3整除；一個數各位數數字和能被9整除，這個數就能被9整除；3. 如果一個整數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差能被11整除，那麼這個數能被11整除.4. 如果一個整數的末三位與末三位以前的數字組成的數之差能被7、11或13整除，那麼這個數能被7、11或13整除.5.如果一個數能被99整除，這個數從後兩位開始兩位一截所得的所有數（如果有偶數位則拆出的數都有兩個數字，如果是奇數位則拆出的數中若干個有兩個數字還有一個是一位數）的和是99的倍數，這個數一定是99的倍數。

【備註】（以上規律僅在十進位數中成立.）二、整除性質性質1 如果數a和數b都能被數c整除，那麼它們的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那麼c︱(a±b)．性質2 如果數a能被數b整除，b又能被數c整除，那麼a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那麼c∣a．用同樣的方法，我們還可以得出：性質3如果數a能被數b與數c的積整除，那麼a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那麼b∣a，c∣a．性質4如果數a能被數b整除，也能被數c整除，且數b和數c互質，那麼a 一定能被b與c的乘積整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那麼bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那麼(3×4) ∣12．性質5 如果數a能被數b整除，那麼am也能被bm整除．如果b｜a，那麼bm｜am（m為非0整數）；性質6如果數a能被數b整除，且數c能被數d整除，那麼ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那麼bd｜ac；例題精講模組一、11系列【例 1】以多位數142857為例，說明被11整除的另一規律就是看奇數位數字之和與偶數位數字之和的差能否被11整除.【考點】整除之11系列【難度】2星【題型】解答【解析】略【答案】142857110000041000021000810051071=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯110000114199992100118199511171()()()()()=⨯-+⨯++⨯-+⨯++⨯-+⨯()()11000014999921001899511418275=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-+-+-因為根據整除性質1和鋪墊知，等式右邊第一個括弧內的數能被11整除，再根據整除性質1，要判斷142857能否被11整除，只需判斷()()能否被11整除，因此結論得到說明.418275487125-+-+-=++-++【例 2】試說明一個4位數，原序數與反序數的和一定是11的倍數(如：1236為原序數，那麼它對應的反序數為6321，它們的和7557是11的倍數．【考點】整除之11系列【難度】2星【題型】解答【解析】略【答案】設原序數為abcd，則反序數為dcba，則abcd＋dcba100010010100010010()()=+++++++a b c d d c b a=+++10011101101001a b c d=+++()，因為等式的右邊能被11整除，所以abcd+dcba能被11a b c d1191101091整除【例 3】一個4位數，把它的千位數字移到右端構成一個新的4位數.已知這兩個4位數的和是以下5個數的一個：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.這兩個4位數的和到底是多少?【考點】整除之11系列【難度】2星【題型】解答【解析】設這個4位數是abcd，則新的4位數是bcda.兩個數的和為+=+++,是11的倍數.在所給的5個數中只有9867 abcd bcda a b c d1001110011011是11的倍數，故正確的答案為9867．【答案】9867模組二、7、11、13系列【例 4】以多位數142857314275為例，說明被7、11、13整除的規律.【考點】整除之7、11、13系列【難度】3星【題型】解答【解析】略【答案】142857314275142100000000085710000003141000275=⨯+⨯+⨯+142(10000000011)857(9999991)314(10011)275=⨯-+⨯++⨯-+14210000000011428579999998573141001314275=⨯-+⨯++⨯-+ (14210000000018579999993141001)(857142275314)=⨯+⨯+⨯+-+-因為根據整除性質1和鋪墊知，等式右邊第一個括弧內的數能被7、11、13整除，再根據整除性質1，要判斷142857314275能否被7、11、13整除，只需判斷857142275314-+-能否被7、11、13整除，因此結論得到說明.【例 5】已知道六位數20279□是13的倍數，求□中的數字是幾？【考點】整除之7、11、13系列【難度】2星【題型】填空【解析】根據一個整數的末三位與末三位以前的數字組成的數之差能被7、11或13整除，那麼這個數能被7、11或13整除的特點知道：27920=7-□□，7□是13的倍數，□是8的時候是13倍數，所以知道方格中填1。

小学奥数整除问题

小学数学整除问题一、相关概念对于整数a和不为零的整数b，如果a除以b的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，b能整除a。

a就是b的倍数，b是a 的约数。

0是任何自然数的倍数，1是任何整数的约数二、一些数的整除特征①被2整除的特征：数的个位上是0、2、4、6、8（即是偶数）②被3、9整除的特征：数的各数位上的数字和是3或9的倍数③被5整除的特征：数的个位上是0、5④被4、25整除的特征：数的末两位是4或25的倍数⑤被8、125整除的特征：数的末三位是8或125的倍数⑥被11整除的特征：数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和，两者的差是11的倍数⑦被7、11、13整除的特征：数的末三位与末三位以前的数字所组成的数，两者的差是7、11、13的倍数⑧一个整数既能被2整除又能被3整除，那这个数就能被6整除一个整数既能被2整除又能被5整除，那这个数就能被10整除一个整数既能被3整除又能被5整除，那这个数就能被15整除三、整除的应用(一)简单应用题型例1．期末考试六年级某班数学平均分是90分，总分是□95□，这个班有多少名学生？解析：总分=平均分×人数，即□95□是90的倍数，而90=2×5×9，□95□也应为2、5、9的倍数，根据相关数的整除特征，□95□的个位数一定是0，而□+9+5+0的和也一定是9的倍数，所以千位上的□一定是4，总分一定是4950，学生人数=4950÷90=55（人）例2．一位马虎的采购员买了36套桌椅，，洗衣服时将购货发票洗烂了，只能依稀看到：36套桌椅，单价：□3.□□元，总价：1□24.5□元。

你能帮忙算出单价和总价吗？解析：先不考虑小数点.总价=单价×数量，即1□245□应是36的倍数，而36=4×9，1□245□也应为4、9的倍数，根据相关数的整除特征，5□应为4的倍数,即个位上的□只能是2或6,同时,1+□+2+4+5+□应是9的倍数.如果个位上取2,那么百位上的□应是4,1424.52÷36=39.57,与题不符所以个位上只能取6,那么百位上的□应是0或9,如果是0,1024.56÷36=28.46,与题不符.所以总价应为1924.56元,单价=1924.56÷36=53.46元例3.水果店运来苹果和桔子共六筐,分别重15,16,18,19,20,31千克,两天已卖出其中五筐.卖出的五筐中苹果是桔子重量的2倍.剩下一筐是哪筐?解析:因为五筐中苹果是桔子重量的2倍,说明这五筐的总重量应是3的倍数.六筐的总重量是15+16+18+19+20+31=119千克,119÷3=39…2,由于其中5筐总重量是3的倍数,除以3没有余数,也就是说剩下的那筐重量除以3后,余数是2.在六筐中,20除以3的余数是2,所以,剩下那筐重20千克.例4.希望小学有11个兴趣小组,各小组人数如下表:一天下午,学校同时举办写作、数学两个讲座，已知有10个小组去听讲座，其中叫写作讲座的人数是听数学讲座人数的6倍，还剩下一个小组在讨论问题，这一组是哪个小组？解析：由“其中叫写作讲座的人数是听数学讲座人数的6倍”可知：听讲座的人数一定是7的倍数，除以7肯定没有余数，而总人数除以7必得一余数，再看表中哪组人数除以7得到的余数，与上面那个余数相同，该组就是去参加讨论的那组例5．小兵和小亮两人做一种轮流报数的游戏。

小学小升初奥数知识集锦：数的整除

小学小升初奥数知识：数的整除小学小升初奥数知识集锦：数的整除导语：下面是小编为您收集整理的数的整除相关知识，欢迎阅读!1.整除的概念在小学书中所学的自然数和零，都是整数。

同学们都知道，如果一个整数a除以一个自然数b，商是整数而且没有余数(或者说余数为零)，就叫做a能被b整除，或者b整除a，记作a│b。

这时a叫做b 的倍数，b叫做a的约数。

例如，3│15表示15能被3整除，或者3整除15;也可以说15是3的倍数，3是15的约数。

由整数概念可知，整除必须同时满足三个条件：(1)被除数是整数，除数是自然数;(2)商是整数;(3)没有余数。

这三个条件只要有一个不满足，就不能叫整除。

例如，16÷5=3.2，商不是整数，所以不能说5整除16。

又如，10÷2.5=4，除数不是自然数，所以不能说10能被2.5整除。

2.整除的性质(1)如果两个整数都被同一个自然数整除，那么它们的和、差(大减小)也都能被这个自然数整除。

换句话说，同一个自然数的两个倍数之和、差(大减小)仍是这个自然数的倍数。

例如，18与42都能被6整除，那么18与42的和60、差24也都能被6整除;即从6│18及6│42可知6│(18+42)、6│(42-18)。

(2)如果甲数整除乙数，乙数整除丙数，那么甲数整除丙数。

即如果丙数是乙数的倍数，乙又是甲数的倍数，那么丙数是甲数的倍数。

例如，7│28，28│84，那么就有7│84。

(3)如果甲数整除乙数，那么甲数就整除乙数与任一整数的乘积。

也就是说如果乙数是甲数的倍数，那么乙数的任一倍数也是甲数的倍数。

例如，13│39，39×4=156，因此13│156。

(4)如果甲数能被丙数整除，而乙数不能被丙数整除，那么甲数与乙数的和、差都不能被丙数整除。

即如果甲数是丙数的倍数，乙数不是丙数的倍数，那么甲数与乙数的和、差(大减小)都不是丙数的倍数。

例如，6整除48，6不整除35，所以6不整除83(48+35=83)，也不整除13(48-35=13)。

【小学数学】小学三年级奥数题及答案

小学三年级奥数题及答案：还原问题1.工程问题绿化队4天种树200棵;还要种400棵;照这样的工作效率;完成任务共需多少天？解答：200÷4=50 （棵）（200+400）÷50=12（天）【小结】归一思想．先求出一天种多少棵树;再求共需几天完成任务．单一数：200÷4=50 （棵）;总共的天数是：（200+400）÷50=12 （天）．2.还原问题3个笼子里共养了78只鹦鹉;如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里;再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里;那么3个笼子里的鹦鹉一样多．求3个笼子里原来各养了多少只鹦鹉?解答： 78÷3=26（只）第1个笼子：26+8=34（只）第2个笼子：26-8+6=24（只）第3个笼子：26-6=20（只）最新【小学数学】小学三年级奥数题及答案：楼梯问题1上楼梯问题某人要到一座高层楼的第8层办事;不巧停电;电梯停开;如从1层走到4层需要48秒;请问以同样的速度走到八层;还需要多少秒？解答：上一层楼梯需要：48÷（4-1）=16（秒）从4楼走到8楼共走：8-4=4（层）楼梯还需要的时间：16×4=64（秒）答：还需要64秒才能到达8层。

2.楼梯问题晶晶上楼;从1楼走到3楼需要走36级台阶;如果各层楼之间的台阶数相同;那么晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶？解：每一层楼梯有：36÷（3-1）＝18（级台阶）晶晶从1层走到6层需要走：18×（6-1）=90（级）台阶。

答：晶晶从第1层走到第6层需要走90级台阶。

最新【小学数学】小学三年级奥数题及答案：页码问题1.黑白棋子有黑白两种棋子共300枚;按每堆3枚分成100堆。

其中只有1枚白子的共27堆;有2枚或3枚黑子的共42堆;有3枚白子的与有3枚黑子的堆数相等。

那么在全部棋子中;白子共有多少枚？解答：只有1枚白子的共27堆;说明了在分成3枚一份中一白二黑的有27堆;有2枚或3枚黑子的共42堆;就是说有三枚黑子的有42-27=15堆;所以三枚白子的是15堆：还剩一黑二白的是 100-27-15-15=43堆：白子共有：43×2+15×3=158（枚）。

小学奥数中的数论问题

小学奥数中的数论问题在奥数竞赛中有一类题目叫做数论题，这一部分的题目具有抽象，思维难度大，综合运用知识点多的特点，基本上出现数论题目的时候大部分同学做得都不好。

一、小学数论究包括的主要内容我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类：整除问题：（1）整除的性质；（2）数的整除特征（小升初常考内容）余数问题：（1）带余除式的运用被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小）（2）同余的性质和运用奇偶问题：（1）奇偶与加减运算；（2）奇偶与乘除运算质数合数：重点是质因数的分解（也称唯一分解定理）约数倍数：（1）最大公约最小公倍数两大定理一、两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

二、两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

（2）约数个数决定法则（小升初常考内容）整数及分数的分解与分拆：这一部分在难度较高竞赛中常出现，属于较难的题型。

二、数论部分在考试题型中的地位在整个数学领域，数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。

翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著的位置。

在小学各类数学竞赛和小升初考试中，系统研究发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右，而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中，这一分值比例还将更高。

出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定你是否可以在选拔考试中拿到满意的分数。

三、孩子在学习数论部分常常会遇到的问题数学课本上的数论简单，竞赛和小升初考试的数论不简单。

有些孩子错误地认为数论的题目很简单，因为他们习惯了数学课本上的简单数论题，比如：例1：求36有多少个约数？这道题就经常在孩子们平时的作业里和单元测试里出现。

可是小升初考题里则是：例2：求3600有多少个约数？很多孩子就懵了，因为“平时考试里没有出过这么大的数！”（孩子语）于是乎也硬着头皮用课堂上求约数的方法去求，白白浪费了大把的时间，即使最后求出结果也并不划算。

小学三年级奥数数的整除练习题5篇

小学三年级奥数数的整除练习题5篇1.小学三年级奥数数的整除练习题18÷3= 2÷2= 10÷5= 63÷9= 54÷6=8÷1= 36÷9= 12÷2= 24÷3= 17÷8= 54÷9= 7÷7= 6÷1= 2÷9= 6÷9=3÷4= 20÷4= 2÷1= 11÷1= 20÷4=8÷8= 21÷7= 21÷7= 48÷6= 15÷5=5÷6= 5÷1= 3÷2= 15÷3= 49÷7=6÷5= 48÷8= 6÷6= 24÷6= 9÷9=54÷9= 6÷6= 7÷8= 4÷3= 4÷1=8÷7= 6÷6= 6÷3= 21÷7= 7÷6=48÷6= 24÷3= 16÷2= 2÷8= 6÷1=7÷6= 8÷1= 2÷2= 54÷6= 1÷3=12÷6= 54÷9= 15÷3= 8÷8= 9÷6=9÷2= 21÷7= 63÷9= 21÷7= 63÷9=72÷9= 72÷9= 36÷6= 18÷3= 5÷1=9÷1= 56÷8= 30÷6= 20÷4= 54÷6= 2.小学三年级奥数数的整除练习题(1）12÷2= (2）12÷2= (3）5÷5= (4）54÷9= (5）48÷6=(6）7÷7= (7）36÷9= (8）6÷1= (9）21÷3= (10）42÷6=(11）81÷9= (12）42÷6= (13）54÷6= (14）16÷8= (15）72÷9=(16）8÷2= (17）20÷4= (18）12÷6= (19）36÷6= (20）16÷4=(21）48÷8= (22）12÷6= (23）14÷7= (24）48÷6= (25）10÷5=(26）45÷5= (27）4÷4= (28）2÷1= (29）8÷2= (30）42÷7=(31）45÷5= (32）63÷7= (33）30÷5= (34）36÷9= (35）72÷8=(36）54÷9= (37）45÷9= (38）49÷7= (39）8÷2= (40）3÷1=(41）42÷6= (42）6÷6= (43）18÷2= (44）36÷6= (45）54÷6=(46）40÷5= (47）24÷3= (48）14÷2= (49）14÷7= (50）30÷6=3.小学三年级奥数数的整除练习题一、填空题1、a与b是互质数，它们的公约数是（），它们的最小公倍数是（）。

小学奥数19数的整除性

2.2数的整除性2.2.1相关概念在整数范围内，整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a。

记作b∣a。

2.2.2整除的性质①如果两个数都能被同一个自然数整除，那么它们的和（或差）也能被这个自然数整除。

即如果a|b，a|c，且b＞c，那么a|（b+c），或者a|（b-c）。

②如果若干个数都能被同一个自然数整除，那么它们的和也能被这个自然数整除。

也就是如果m|a，m|b，m|c，……，m|d，那么，m|（a+b+c+……+d）③如果整数a能被整数b整除，且整数c能被整数d整除，那么bd也能被ac整除。

也就是如果b∣a，d∣c，则ac∣bd。

④如果两个数的和及其中的一个加数能被同一个自然数整除，那么另一个加数也能被这个自然数整除。

也就是如果m∣（a+b），m∣a，则m∣b。

⑤如果第一个数能被第二个数整除，第二个数能被第三个数整除，那么第一个数也能被第三个数整除。

这也就是如果b∣a，c∣b，那么c∣a。

⑤一个数如果能被某一自然数整除，则这个数的整数倍数，也能被这个自然数整除。

这也就是如果b∣a，m为整数，那么b∣am。

⑥在若干个数的积中，如果有一个因数能被某一个自然数整除，那么，它们的积也能被这个自然数整除。

也就是在abc中，若m∣a，则m∣abc。

⑦如果整数a能被整数a、c的积整除，那么a能被b或c整除。

也就是如果bc∣a，则b∣a，c∣a。

⑧如果整数a能被整数b整除，也能被整数c整除，且b和c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除。

也就是如果b∣a，c∣a，且（a，b）=1，则bc∣a。

⑨在有余数的除法里，如果被除数和除数都能被同一个自然数整除，那么余数也能被这个自然数整除。

也就是如果a÷b＝q……r，且m∣a，m∣b，那么m∣r。

例如，在84÷49=1……35中，7∣84，7∣49，则7∣35。

⑩在有余数的除法里，如果除数和余数都能被同一个自然数整除，则被除数也能被这个自然数整除。

小学奥数数的整除数论知识讲解及习题

小学奥数数的整除数论知识讲解及习题1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;二、整除判断方法：1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5. 能被7整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6. 能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7. 能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

三、整除的性质：1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。

2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

例题：在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除?解：如果56□2能被9整除，那么5+6+□+2=13+□应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除; 如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除;如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。

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小学三年级奥数18整除二
本教程共30讲
第19讲能被3整除的数的特征
上一讲我们讲了能被2，5整除的数的特征，根据这些特征，很容易就能判别出一个数是否能被2或5整除。

同学们自然会问，有没有类似的简便方法，直接判断一个数能否被3整除？
我们先具体观察一些能被3整除的整数：
18，345，4737，25674
18能被3整除，1+8=9也能被3整除；
345能被3整除，3+4+5=9也能被3整除；
4737能被3整除，4+7+3+7=21也能被3整除；
25674能被3整除，2+5+6+7+4=24也能被3整除。

怎么这么巧？我们再试一个：7896852能被3整除，7+8+9+6+8+5+2=45也能被3整除。

好了，不用再试了，同学们可能已经在想：“是不是所有能被3整除的数的各位数字的和都能被3整除？”结论是肯定的。

它的一般性证明这里无法介绍，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

由99和9都能被3整除，推知(7×99+4×9)能被3整除。

再由741能被3整除，推知(7+4+1)能被3整除；反之，由(7+4+1)能被3整除，推知741能被3整除。

因此，判断一个整数能否被3整除的简便方法是：
如果整数的各位数字之和能被3整除，那么此整数能被3整除。

如果整数的各位数字之和不能被3整除，那么此整数不能被3整除。

例1判断下列各数是否能被3整除：
2574，38974，587931。

解：因为2+5+7+4=18，18能被3整除，所以2574能被3整除；
因为3+8+9+7+4=31，31不能被3整除，所以38974不能被3整除；
因为5+8+7+9+3+1=33，33能被3整除，所以587931能被3整除。

为了今后使用方便，我们介绍一个表示多位数的方法。

当一个多位数中有一个或几个数字用字母来表示时，为防止理解错误，就在这个多位数
的上面划一线段来表示这个多位数。

例如，表示这个三位数的百、十、
个位依次是3，a，5；又如，表示这个四位数的千、百、十、个位依次是a，b，c，d。

例2六位数能被3整除，数字a=？
解：2+5+7+a+3+8=25+a，要使25+a能被3整除，数字a只能是2，5或8。

即符合题意的a是2，5或8。

例3由1，3，5，7这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被3整除？
解：在1，3，5，7这四个数中，任取三个，共有4组：
1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7。

其中，1+3+5和3+5+7能被3整除，所以，由1，3，5或3，5，7写成的没有重复数字的三位数能被3整除。

由1，3，5可写成135，153，315，351，513，531六个三位数；同理，由3，5，7也能写成6个三位数。

所以，符合题意的三位数有6×2=12(个)。

例4被2，3，5除余1且不等于1的最小整数是几？
解：除1以外，被2除余1的所有整数是
3，5，7，9，11，…，27，29，31，33，…
被3除余1的所有整数是
4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，…
被5除余1的所有整数是
6，11，16，21，26，31，36，…
上面三列数中，第一个同时出现的数是31，所以31是同时满足被2，3，5除均余1且不等于1的最小数。

例4中使用的方法是解这类题型的基本方法，但不够简捷。

一个较简捷的方法是：
因为5大于2和3，所以先从被5除余1的数
1，6，11，16，21，26，31，36，…
中找出第一个(1除外)同时满足被2和3除都余1的数31，就为所求。

到五年级学了更多的知识后，还可直接由2×3×5+1=31得到所求数。

例5同时能被2，3，5整除的最小三位数是几？
解：能被5整除的三位数是
100，105，110，115，120，125，…其中，第一个能同时被2，3整除的数是120(它是偶数，且1+2+0=3)，故120为所求。

练习19
1.直接判断25874和978651能否被3整除。

3.由2，3，4，5这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被3整除？
4.(1)被2，3除余1且不等于1的最小整数是几？
(2)被3，5除余2且不等于2的最小整数是几？
5.同时能被2，3，5整除的最小自然数是几？
6.同时能被2，3，5整除的最大三位数是几？
7.一根铁丝长125厘米，要把它剪成长2厘米、3厘米、5厘米的三种不同规格的小段。

最多能剪成多少段？
答案与提示练习19
1.不能；能。

2.a=0，3，6，9。

3.12个。

4.(1)7；(2)17。

5.30。

6.990。

7.60段。

提示：要使剪成尽量多的小段，2厘米长的应尽量多。

因为三种规格都要有，125为奇数，剪去若干个2厘米长的小段后，剩下的长度仍是奇数，所以3厘米、5厘米长的至少要3段，125=114＋3＋3＋5=2×57＋3×2＋5×1，所以2厘米的剪57段，3厘米的剪2段，5厘米的剪1段，此时剪成的小段最多，为
57＋2＋1=60(段)。