数值分析简明教程0-1 (14)

中的导数项 y ' ( xn +1) ， 再进行离散化， 再进行离散化，可导出公式： 可导出公式：
y n+1 = yn + hf ( xn+1 , y n+1)
称为隐式欧拉格式。 称为隐式欧拉格式。它也是一阶方法。 它也是一阶方法。
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三、 两步欧拉格式
为了改善精度， 为了改善精度，用中心差商 21h [ y ( x n + 1 ) − y ( x n − 1 )]
则初值问题(1)的解存在且唯一
对于问题(1),要求它的数值解
就是求未知函数y( x )在区间[ a , b ]上的一系列离散点(节点)
a = x0 < x1 < x2 < L < xn = b
上函数值y( xk )的近似值yk ( k = 1,2 ,L , n ) 而yk ( k = 1,2 ,L , n )就是问题(1)的数值解
-----------(4)
本课程主要研究问题(1)的数值解法,对(2)~(4)只作简单介绍 我们首先介绍初值问题(1)的解存在的条件
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定理1. 如果f ( x , y )满足Lipschitz条件，即
∃正数L , 使得∀x ∈ [ a , b ]，均有 | f ( x , y1 ) − f ( x , y2 )| ≤ L| y1 − y2 |
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• 对于欧拉格式， 对于欧拉格式，假设 y n = y ( xn ) ，则有： 则有：
' y n +1 = y ( x n ) + hf ( xn , y ( x n )) = y ( x n ) + h y ( xn )
• 按泰勒展开有： 按泰勒展开有：
y ( x n +1) = y ( xn ) + h y ( xn ) +
y2 = y1 + h( y2 −
2 × 0. 2 2 x2 ) = 1.1763 ) = 1.0918 + 0.1(1.1827 − 1.1827 y2
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依此类推,得
[ x, y] =
1 .8
1 .7
精 精精 前 前 E ule r公公
1 .6

y′ = f ( x , y ) y ( a ) = y0 a≤ x≤b
-----------(1) -----------(2)
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y′′ = f ( x , y , y′) a ≤ x ≤ b y( a ) = y0 , y′( a ) = α
y′′ = f ( x , y , y′) a ≤ x ≤ b y ( a ) = y0 , y ( b ) = y n
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• 为了提高精度， 为了提高精度，采用梯形法计算积分： 采用梯形法计算积分：
h x n +1 ∫xn f ( x, y ( x ))dx ≈ 2 [ f ( xn , y ( xn)) + f ( xn+1 , y ( xn+1))]
• 再代入（ 再代入（5）式有： 式有：
h y ( xn +1) ≈ y ( x n ) + [ f ( xn , y ( x n )) + f ( x n +1 , y ( xn +1))] 2
0 依此类推,有 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 [ x, y] = 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000

1.0000 1.1000 1.1918 1.2774 1.3582 1.4351 1.5090 1.5803 1.6498 1.7178 1.7848
• 离散化就可得到： 离散化就可得到：
h y n +1 = y n + [ f ( x n , y n ) + f ( x n +1 , y n +1)] 2
• 称为梯形格式。 称为梯形格式。
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五、 改进的欧拉格式 • 欧拉格式是一种显式格式 欧拉格式是一种显式格式， 格式是一种显式格式，计算量小， 计算量小，但精度很低。 但精度很低。 • 梯形格式虽然精度高， 梯形格式虽然精度高，但它是一种隐式格式， 但它是一种隐式格式，计算 复杂且计算量大。 复杂且计算量大。 综合两种方法。 综合两种方法。先用欧拉格式求一个初步的近似 值 y ，称为预报值； 称为预报值；再代入梯形格式的右端计算 出一个新值 y ，称为校正值。 称为校正值。这样就构造了一个 预报—校正系统： 校正系统：

1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1 0
前前 Euler公 公 精精 精
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9 19
1
例2. 解:
用改进的Euler公式(预测—校正系统)求解例 求解例1.
2×0 2 x0 ) = 1.1 y1 = y0 + h( y0 − ) = 1 + 0.1(1 − 1 y0 2 × 0.1 2 x1 ) = 1.0918 y1 = y0 + h( y1 − ) = 1 + 0.1(1.1 − 1.1 y1 2 × 0.1 2 x1 ) = 1.1827 y2 = y1 + h( y1 − ) = 1.0918 + 0.1(1.0918 − 1.0918 y1
显然 f ( x , y ) = y − 2x y
x0 = a = 0, n = 10, b = 1, y0 = 1
由Euler格式
yn +1 = yn + hf ( xn , yn )
= yn + h ( yn −
2 xn ) yn
n = 1,2,L, m
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得
2×0 2 x0 y1 = y0 + h( y0 − ) = 1 + 0.1(1 − ) = 1 .1 y0 1 2 x1 2 × 0 .1 y2 = y1 + h( y1 − ) = 1.1 + 0.1(1.1 − ) = 1.1918 y1 1 .1
第三章 常微分方程的差分法
第三章 常微分方程数值解
3.1 欧拉方法 § 3.2 龙格-库塔方法 § 3.3 亚当姆斯方法 § 3.4 收敛性与稳定性 § 3.5 方程组和高阶方程 §
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本章要点： 本章要点 本章主要研究常微分方程的定解问题。 本章主要研究常微分方程的定解问题。 这类问题最简单的形式是： 这类问题最简单的形式是：
差分方法 差分方法是一类重要的数值解法 。这类方法 是寻求一系列离散节点 x1 < x2 < L < xn < L 上的近似 解 y1 , y 2 ,L, y n ,L
Байду номын сангаас
通常采用“步进式”方法。 方法。即：
y1 ⇒ y 2 ⇒ L ⇒ y n ⇒ L
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§3.1 欧拉方法
在工程和科学技术的实际问题中， 在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程. 只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解 而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解 在高等数学中我们见过以下常微分方程： 在高等数学中我们见过以下常微分方程
y' = f (x, y) y ( x 0) = y 0
这也是本章研究的重点。 这也是本章研究的重点。 主要求解方法有： 主要求解方法有 线性单步法： 线性单步法：Euler方法、 方法、Simpson方法、 方法、 Runge-Kutta方法 线性多步法： 线性多步法：Adams方法
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• 平均化形式是： 平均化形式是：
y = y + hf ( x n , y ) p n n y c = y n + hf ( x n + 1 , y p ) 1 y n +1 = 2 ( y p + y c )
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例1. 用Euler格式求解初值问题 y′ = y − 2 x 0 ≤ x ≤ 1 y 取 h = 0 .1 y( 0 ) = 1 解:
n +1
n +1
预报： yn +1 = y n + hf ( x n , y n ) h 校正： [ f ( x n , y n ) + f ( x n +1 , yn +1)] = + yn +1 y n 2
改进的欧拉格式
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• 其嵌套形式是： 嵌套形式是：
h yn +1 = y n + [ f ( x n , y n ) + f ( x n +1, y n + hf ( x n , y n ))] 2
的近似值， 的近似值，
• 就可得到 y ( xn +1) 的近似值。 的近似值。 • 例如， 例如，用矩形法： 用矩形法： x f ( x, y ( x ))dx ≈ hf ( xn , y ( xn )) ∫
n +1
xn
• 代入（ 代入（5）式有： 式有： y ( xn +1) ≈ y ( xn ) + hf ( xn , y ( xn )) • 离散化即得欧拉格式。 离散化即得欧拉格式。
' h2 2
y
''
(ξ )
x n < ξ < x n +1
• 从而有： 从而有：
y ( x n +1) − y n +1 =
h2 2
y
''
(ξ )
• 这说明欧拉格式是一阶方法。 这说明欧拉格式是一阶方法。
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二、 隐式欧拉格式
y ( x n +1 ) − y ( x n ) 若用向后差商 h
' y 代替方程 ( xn +1) = f ( xn +1 , y ( x n +1))
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四、 梯形格式 • 将方程
' y = f ( x, y ) 的两端从 x n
到 x n+1 求积分得： 求积分得：
（5）
x n +1 y ( x n +1) = y ( x n ) + ∫ f ( x, y ( x ))dx xn
• 显然， 显然，只要计算出
x n +1 ∫xn f ( x, y( x))dx
代替方程 y ' ( xn ) = f ( x n , y ( x n )) 中的导数项 y ' ( xn ) 。 再进行离散化， 再进行离散化，可导出公式： 可导出公式：
y n +1 = y n −1 + 2hf ( xn , y n )
称为欧拉两步格式。 称为欧拉两步格式。 显然， 显然，欧拉格式和隐式欧拉格式都是单步法。 欧拉格式和隐式欧拉格式都是单步法。 易证， 易证，欧拉两步格式是二阶方法。 欧拉两步格式是二阶方法。
-----------(3)
(1),(2)式称为初值问题,(3)式称为边值问题 另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组:
′ = f 1 ( x , y1 , y2 ) y1 ′ = f 2 ( x , y1 , y 2 ) y2 y1 ( x0 ) = y10 y2 ( x0 ) = y20
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从(1)的表达式
y ′ = f ( x, y ) y ( a ) = y0 a≤ x≤b
可以看出,求它的数值解的关键在于
y′( x )数值计算问题
因此， 因此，数值解法的第一步就是设法消去其导数项， 数值解法的第一步就是设法消去其导数项， 这项手续称为离散化。 这项手续称为离散化。由于差分是微分的近似运算， 由于差分是微分的近似运算， 实现离散化的基本途径是用差商近似代替导数。 实现离散化的基本途径是用差商近似代替导数。
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一、 欧拉格式
为了讨论方便,假设以下节点为等距节点
a = x0 < x1 < x2 < L < xn = b
b−a , xk = a + kh h= n
若在节点列出方程(1)： y ' ( x n ) = f ( xn , y ( x n ))
' 并用差商 y ( x n +1) − y ( x n ) 代替其中的导数项 y ( x n ) ，
h
结果为： 结果为： y ( x n +1) = y ( xn ) + hf ( x n , y ( xn ))
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• 用 y ( xn ) 的近似值 y n 代入上式右端， 代入上式右端，并记结果 为 y n +1，导出一个计算公式为： 导出一个计算公式为：
y n +1 = y n + hf ( x n , y n ) , n = 0,1,2 L
• 这就是欧拉（ 这就是欧拉（Euler）格式。 格式。 定义1：设 y n 为准确的， 为准确的，即在 y n = y ( xn ) 的前提下 估计误差 y ( xn +1) − y n +1 。这种误差称为 局部截断误差。 局部截断误差。 定义2：如果一种数值方法的局部截断误差为 o( h p +1) ，则称该方法具有 p 阶精度。 阶精度