浙江省名校新高考研究联盟2019届第一次联考数学试题卷
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14.在 中，角 所对的边分别为 ， ，且 外接圆半径为 ，则
，若 ，则 的面积为.
15.沿着一条笔直的公路有9根电线杆，现要移除2根，且被移除的电线杆之间至少还有2根电线杆被保留，则不同的移除方法有种.
16.已知向量 满足 ，则 的取值范围为.
17.设函数 ，当 时，记 的最大值为 ，则 的最小值为.
综上： ……………..7分
（Ⅱ）由（Ⅰ），原问题等价于证明 有唯一零点.
设存在 ，使得
即 ……………..9分
则 ，且有 ，………….…11分
令 则
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
，则存在 ………………13分
此时 存在，且
此时 ，由（Ⅰ）可知，当 时, ;
当 时, ;
故存在实数 使得 有唯一零点 .……………..15分
因为 是 的垂心，所以
即
同理
得 …………………13分
所以 ，解得
又因为
所以 …………………15分
22.解法一：（Ⅰ）令
则原问题转化为 在 恒成立
，………………2分
当 时， 在 恒成立，
即 在 上单调递增， ；…………………4分
当 时，则 恒成立，则 ；
当 时，令 的两根为 ，此时 ， ，当 时， ，则 .
要使得 成等比数列，则 ，…………7分
此时 ，且需满足当 时， ，即 ，…………9分
此时： ， .…………11分
.…………15分
21.（Ⅰ） ，
解得：
所以 …………………5分
（Ⅱ）由 ，设
因为 是 的垂心，所以 ，有 ，
故 …………………7分
所以设
与 联立得
令 ，有
由韦达定理 ， …………………10分
的距离 成单调递增的等差数列. 记 与
所成的角分别为 ，则下列正确的是
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11.已知随机变量 的分布列如下表所示，则 ， .
12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为.
13.若 的展开式中， 的系数为6，则 ，常数项的值为.
4.已知 是空间中两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
5.已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
6.已知双曲线 ，则“ ”是“双曲线 的焦点在 轴上”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
数学参考答案
一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
D
B
A
A
B
B
D
二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
11. ， 12. ， 13. ， 14. ，
15. 16. 17.
三、解答题
18.（1） ………………3分
则 ，………………5分
（I）当 时，求数列 的前 项和为 ；
（II）若 是等比数列，证明：
21.已知抛物线 的焦点为 ，点 ，且
（I）求抛物线方程；
（II）设 是抛物线上的两点，当 为 的垂心时，求直线 的方程.
22.设 ，已知函数
（I）若 恒成立，求 的范围；
（II）证明：存在实数 使得 有唯一零点.
浙江省名校新高考研究联盟2019届第一次联考
所以 在 ， 上递减，在 上递增
所以 存在唯一零点 ，综上，存在 符合题意…………………15分
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.已知函数
（I）求 的最小正周期及单调递增区间；
（II）求 在区间 上的最大值.
19.如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， 为棱 上的一点，且
（I）证明：平面 平面 ；
（II）求直线 与平面 所成角的正弦值.
20.已知数列 的前 项和为 ，且满足 .
设
因为
即
代入有 .…………9分
解得 ，..…………11分
又因为 , .…………13分
所以 …………15分
解法二：（Ⅰ）以 为原点，分别以射线 为 轴的正半轴，过A作AB的垂线，垂线所在射线为y轴建立空间直角坐标系
由题意知各点坐标如下：
, , , , ,
因此 , …………3分
设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 则
浙江省名校新高考研究联盟2019届第一次联考
数学试题卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则
A． B．
C． D．
2.设复数 满足 （ 为虚数单位），则
A． B． C． D．
3.设函数 ，则 的值为
A． B． C． D．
解法二：（1） …………………2分
因为 ， 恒成立
所以 所以 …………………4分
又当 时,
所以 递增，有
综上 …………………7分
（2）设 的零点为
有 …………………9分
则
令
则 ，
所以 在 上存在零点，设为 …………………11分
取 ，则
所以
…………………13分
设 的零点为 则 在 上递增， 上递减
所以 存在两个零点 ，
，取
同理可取 ……………5分
所以
所以平面 平面 ……………… 7分
（Ⅱ）设 与平面 所成角为 .
， ， .………………9分
设平面 的一个法向量为 ，则
，取 ………………12分
所以
所以 与平面 所成角的正弦值为 …………………15分
20.（Ⅰ）当 时，
……………2分
……………5分
（Ⅱ）当 时， ，
当 时， ，
7.函数 的图像可能是
A.B.C. D.
8.已知 是椭圆 的左、右焦点，过左焦点 的直线与椭圆交于 两点，且满足 ，则该椭圆的离心率是
A． B． C． D．
9.已知正实数 满足 ，则 的最小值是
A． B． C． D．
10.已知三棱锥 的所有棱长为1, 是底面 内 部
一个动点（包括边界），且 到三个侧面
令
得wk.baidu.com
所以 的单调递增区间为 . …………………7分
（2） 时 …………………9分
…………………12分
所以 最大值为3…………………14分
19.解法一：（Ⅰ）连接 交于点 ,则由 ,得 ,
由于 ,则有 ，由 ，
有 .……………4分
又 ,所以平面 平面 ….…………7分
（Ⅱ）过 作平面 的垂线，垂足为
则 即为所求的线面角
，若 ，则 的面积为.
15.沿着一条笔直的公路有9根电线杆，现要移除2根，且被移除的电线杆之间至少还有2根电线杆被保留，则不同的移除方法有种.
16.已知向量 满足 ，则 的取值范围为.
17.设函数 ，当 时，记 的最大值为 ，则 的最小值为.
综上： ……………..7分
（Ⅱ）由（Ⅰ），原问题等价于证明 有唯一零点.
设存在 ，使得
即 ……………..9分
则 ，且有 ，………….…11分
令 则
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
，则存在 ………………13分
此时 存在，且
此时 ，由（Ⅰ）可知，当 时, ;
当 时, ;
故存在实数 使得 有唯一零点 .……………..15分
因为 是 的垂心，所以
即
同理
得 …………………13分
所以 ，解得
又因为
所以 …………………15分
22.解法一：（Ⅰ）令
则原问题转化为 在 恒成立
，………………2分
当 时， 在 恒成立，
即 在 上单调递增， ；…………………4分
当 时，则 恒成立，则 ；
当 时，令 的两根为 ，此时 ， ，当 时， ，则 .
要使得 成等比数列，则 ，…………7分
此时 ，且需满足当 时， ，即 ，…………9分
此时： ， .…………11分
.…………15分
21.（Ⅰ） ，
解得：
所以 …………………5分
（Ⅱ）由 ，设
因为 是 的垂心，所以 ，有 ，
故 …………………7分
所以设
与 联立得
令 ，有
由韦达定理 ， …………………10分
的距离 成单调递增的等差数列. 记 与
所成的角分别为 ，则下列正确的是
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11.已知随机变量 的分布列如下表所示，则 ， .
12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为.
13.若 的展开式中， 的系数为6，则 ，常数项的值为.
4.已知 是空间中两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
5.已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
6.已知双曲线 ，则“ ”是“双曲线 的焦点在 轴上”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
数学参考答案
一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
D
B
A
A
B
B
D
二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
11. ， 12. ， 13. ， 14. ，
15. 16. 17.
三、解答题
18.（1） ………………3分
则 ，………………5分
（I）当 时，求数列 的前 项和为 ；
（II）若 是等比数列，证明：
21.已知抛物线 的焦点为 ，点 ，且
（I）求抛物线方程；
（II）设 是抛物线上的两点，当 为 的垂心时，求直线 的方程.
22.设 ，已知函数
（I）若 恒成立，求 的范围；
（II）证明：存在实数 使得 有唯一零点.
浙江省名校新高考研究联盟2019届第一次联考
所以 在 ， 上递减，在 上递增
所以 存在唯一零点 ，综上，存在 符合题意…………………15分
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.已知函数
（I）求 的最小正周期及单调递增区间；
（II）求 在区间 上的最大值.
19.如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， 为棱 上的一点，且
（I）证明：平面 平面 ；
（II）求直线 与平面 所成角的正弦值.
20.已知数列 的前 项和为 ，且满足 .
设
因为
即
代入有 .…………9分
解得 ，..…………11分
又因为 , .…………13分
所以 …………15分
解法二：（Ⅰ）以 为原点，分别以射线 为 轴的正半轴，过A作AB的垂线，垂线所在射线为y轴建立空间直角坐标系
由题意知各点坐标如下：
, , , , ,
因此 , …………3分
设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 则
浙江省名校新高考研究联盟2019届第一次联考
数学试题卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则
A． B．
C． D．
2.设复数 满足 （ 为虚数单位），则
A． B． C． D．
3.设函数 ，则 的值为
A． B． C． D．
解法二：（1） …………………2分
因为 ， 恒成立
所以 所以 …………………4分
又当 时,
所以 递增，有
综上 …………………7分
（2）设 的零点为
有 …………………9分
则
令
则 ，
所以 在 上存在零点，设为 …………………11分
取 ，则
所以
…………………13分
设 的零点为 则 在 上递增， 上递减
所以 存在两个零点 ，
，取
同理可取 ……………5分
所以
所以平面 平面 ……………… 7分
（Ⅱ）设 与平面 所成角为 .
， ， .………………9分
设平面 的一个法向量为 ，则
，取 ………………12分
所以
所以 与平面 所成角的正弦值为 …………………15分
20.（Ⅰ）当 时，
……………2分
……………5分
（Ⅱ）当 时， ，
当 时， ，
7.函数 的图像可能是
A.B.C. D.
8.已知 是椭圆 的左、右焦点，过左焦点 的直线与椭圆交于 两点，且满足 ，则该椭圆的离心率是
A． B． C． D．
9.已知正实数 满足 ，则 的最小值是
A． B． C． D．
10.已知三棱锥 的所有棱长为1, 是底面 内 部
一个动点（包括边界），且 到三个侧面
令
得wk.baidu.com
所以 的单调递增区间为 . …………………7分
（2） 时 …………………9分
…………………12分
所以 最大值为3…………………14分
19.解法一：（Ⅰ）连接 交于点 ,则由 ,得 ,
由于 ,则有 ，由 ，
有 .……………4分
又 ,所以平面 平面 ….…………7分
（Ⅱ）过 作平面 的垂线，垂足为
则 即为所求的线面角