高三数学第二轮专题讲座复习：求解函数解析式的几种常用方法
高中求函数解析式方法
高中求函数解析式方法
高中求函数解析式的方法有以下几种：
1. 列方程法：根据已知条件设置等式，然后解方程得到函数解析式。
这种方法适用于一些简单的函数问题，如线性函数、二次函数等。
2. 求导法：如果已知函数的导函数和一个点上的函数值，可以通过求导得到函数解析式。
这种方法适用于一些需要通过求导来确定函数解析式的问题，如最小值、最大值等。
3. 已知特殊点法：如果已知函数经过某个特殊点，可以通过该特殊点的信息来确定函数解析式。
例如，如果已知函数经过原点，则可以确定函数的截距。
4. 已知导函数法：如果已知函数的导函数，可以通过积分来确定函数解析式。
这种方法适用于一些需要通过积分来确定函数解析式的问题，如定积分、不定积分等。
总之，求函数解析式的方法取决于已知条件和问题的性质，需要根据具体情况选择合适的方法。
函数的解析式求解及常用方法
函数的解析式求解及常用方法一般来说，对于给定的函数，常用的方法有以下几种：1.找出函数的特点和性质：首先要了解函数的定义域、值域、奇偶性、周期性以及对称性等特点。
通过观察函数的图像、分析函数的性质，可以得到一些重要的信息。
2.利用已知的函数关系式：对于已知的函数关系式，可以通过代入变量的方法来求解函数的解析式。
例如，如果已知函数的导数关系式，可以通过积分来求解原函数。
3.利用函数的基本性质和运算法则：函数具有一些基本的运算法则，例如加法、减法、乘法和除法规则等。
利用这些运算法则，可以将复杂函数拆分为简单函数的组合，进而求解函数的解析式。
4.利用已知函数的特殊点和性质：对于一些特殊函数，例如指数函数、对数函数、三角函数和双曲函数等，它们具有一些特殊的性质和公式。
通过利用这些特殊点和性质，可以方便地求解函数的解析式。
5.利用数学工具和方法：求解函数的解析式通常需要运用数学知识和方法，例如代数、几何、微积分和方程求解等。
通过将问题转化为数学模型，利用数学工具和方法，可以求解函数的解析式。
在实际的应用中，求解函数的解析式常常是一个复杂的过程。
需要运用多种方法和技巧，灵活地运用各种数学知识和技术，通过推导和分析来求解函数的解析式。
举一个例子来说明求解函数解析式的常用方法。
假设我们要求解函数f(x)的解析式，已知函数满足以下条件：1.函数f(x)在区间[a,b]上连续；2.函数f(x)在点x=c处可导，且导数f'(c)存在；3.函数f(x)在点x=d处不可导。
我们可以按照以下步骤来求解函数f(x)的解析式：步骤1：首先根据已知条件，可以推断出函数f(x)在区间[a,b]上是连续的。
步骤2：根据已知条件，可以得到函数f(x)在点x=c处可导，且导数f'(c)存在。
可以利用函数的导数性质和求导公式，求解导函数f'(x)的解析式。
步骤3：根据已知条件，可以得到函数f(x)在点x=d处不可导。
函数解析式的常用求解方法函数解析式的求解九种方式函数解析式有几种形式
一、函数解析式的常用求解方法（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。
待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g （x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f （x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
二、函数解析式的求解九种方式：1.代入法：已知f(x)的解析式,求f[g(x)] 的解析式.[例1] 若f(x)=2x＋1,g(x)=x－1, 求f[g(x)],g[f(x)].2. 换元法已知f[g(x)]=h(x), 求f(x)的解析式.令g(x)=tx=(t),则f(t)=h[(t)],再将t换成x即可.但要注意换元前后变量的等价性。
[例2] 已知f( +1)= x+2 ,求f(x),f(x+1).3.配凑法已知f[g(x)]=h(x), 求f(x)的解析式。
若能将h(x)用g(x)表示, 然后用x去代换g(x),则就可以得到f(x)的解析式。
[例3] 已知f(x+ )= x3 + , 求f(x)，f(x+1).4.待定系数法根据已知函数的类型或者特征,求函数解析式。
高三数学第二轮专题讲座复习 求解函数解析式的几种常用方法 试题
卜人入州八九几市潮王学校望城区白箬高三数学第二轮专题讲座复习：求解函数解析式的几种常用方法高考要求求解函数解析式是高考重点考察内容之一，需引起重视本节主要帮助考生在深入理解函数定义的根底上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成才能，并培养考生的创新才能和解决实际问题的才能重难点归纳求解函数解析式的几种常用方法主要有1待定系数法，假设函数解析式的构造时，用待定系数法；2换元法或者配凑法，复合函数f ［g (x )］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3消参法，假设抽象的函数表达式，那么用解方程组消参的方法求解f (x );另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法典型题例示范讲解例1(1)函数f (x )满足f (log a x )=)1(12x x a a --(其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式(2)二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求f (x )的表达式此题主要考察函数概念中的三要素定义域、值域和对应法那么，以及计算才能和综合运用知识的才能知识依托利用函数根底知识，特别是对“f 〞的理解，用好等价转化，注意定义域错解分析此题对思维才能要求较高，对定义域的考察、等价转化易出错技巧与方法(1)用换元法；(2)用待定系数法解(1)令t=log a x (a >1,t >0;0<a <1,t <0),那么x =a t因此f (t )=12-a a (a t －a －t) ∴f (x )=12-a a (a x －a －x)(a >1,x >0;0<a <1,x <0)(2)由f (1)=a +b +c ,f (－1)=a －b +c ,f (0)=c得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=)0()]1()1([21)0()]1()1([21f c f f b f f f a 并且f (1)、f (－1)、f (0)不能同时等于1或者－1，所以所求函数为f (x )=2x 2－1或者f (x )=－2x 2+1或者f (x )=－x 2－x +1或者f (x )=x 2－x －1或者f (x )=－x 2+x +1或者f (x )=x 2+x －1例2设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≤－1时，y =f (x )的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y =f (x )的图象中有一局部是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f (x )的表达式，并在图中作出其图象此题主要考察函数根本知识、抛物线、射线的根本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维才能因此，分段函数是今后高考的热点题型知识依托函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线错解分析此题对思维才能要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱技巧与方法合理进展分类，并运用待定系数法求函数表达式解(1)当x ≤－1时，设f (x )=x +b∵射线过点(－2，0)∴0=－2+b 即b =2，∴f (x )=x +2(2)当－1<x <1时，设f (x )=ax 2+2∵抛物线过点(－1，1)，∴1=a ·(－1)2+2,即a =－1∴f (x )=－x 2+2(3)当x ≥1时，f (x )=－x +2综上可知f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<---≤+1,211,21,12x x x x x x 作图由读者来完成例3f (2－cos x )=cos2x +cos x ,求f (x －1)解法一(换元法〕∵f (2－cos x )=cos2x －cos x =2cos 2x －cos x －1令u =2－cos x (1≤u ≤3),那么cos x =2－u∴f (2－cos x )=f (u )=2(2－u )2－(2－u )－1=2u 2－7u +5(1≤u ≤3)∴f (x －1)=2(x －1)2－7(x －1)+5=2x 2－11x +4(2≤x ≤4)解法二(配凑法〕f (2－cos x )=2cos 2x －cos x －1=2(2－cos x )2－7(2－cos x 〕+5∴f (x )=2x 2－7x －5(1≤x ≤3),即f (x －1)=2(x －1)2－7(x －1)+5=2x 2－11x +14(2≤x ≤4)学生稳固练习1假设函数f (x )=34 x mx (x ≠43)在定义域内恒有f ［f (x )］=x ,那么m 等于() A 3B 23C －23 D －32设函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称，在x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1,那么x >1时f (x )等于()A f (x )=(x +3)2－1B f (x )=(x －3)2－1C f (x )=(x －3)2+1D f (x )=(x －1)2－13f (x )+2f (x1)=3x ,求f (x )的解析式为_________ 4f (x )=ax 2+bx +c ,假设f (0)=0且f (x +1)=f (x )+x +1,那么f (x )=_________5设二次函数f (x )满足f (x －2)=f (－x －2),且其图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为2，求f (x )的解析式6设f (x )是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f (x )是偶函数，在区间［2，3］上时，f (x )=－2(x－3)2+4，求当x ∈［1,2］时f (x )的解析式假设矩形ABCD 的两个顶点A 、B 在x 轴上，C 、D 在y =f (x )(0≤x ≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值7动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示P 点的行程，f (x )表示PA 的长，g (x )表示△ABP 的面积，求f (x )和g (x ),并作出g (x )的简图8函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y =f (x )在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x =2时，函数获得最小值，最小值为－5(1)证明f (1)+f (4)=0;(2)试求y =f (x ),x ∈［1,4］的解析式； (3)试求y =f (x )在［4，9］上的解析式参考答案1解析∵f (x )=34-x mx ∴f ［f (x )］=334434--⋅-⋅x mx x mxm =x ,整理比较系数得m =3答案A 2解析利用数形结合，x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1的对称轴为x =－1,最小值为－1，又y =f (x )关于x =1对称，故在x >1上，f (x )的对称轴为x =3且最小值为－1答案B3解析由f (x )+2f (x 1)=3x 知f (x 1)+2f (x )=3x1 由上面两式联立消去f (x 1)可得f (x )=x 2－x 答案f (x )=x2－x4解析∵f (x )=ax 2+bx +c ,f (0)=0,可知c =0又f (x +1)=f (x )+x +1,∴a (x +1)2+b (x +1)+0=ax 2+bx +x +1,即(2a +b 〕x +a +b =bx +x +1故2a +b =b +1且a +b =1,解得a =21,b =21,∴f (x )=21x 2+21x 答案21x 2+21x 5解f (x )=ax 2+bx +c ,然后找关于a 、b 、c 的方程组求解，f (x )=178722++x x 6解设x ∈［1,2］,那么4－x ∈［2,3］,∵f (x )是偶函数，∴f (x )=f (－x ),又因为4是f (x )的周期，∴f (x )=f (－x )=f (4－x )=－2(x －1)2+4(2)设x ∈［0，1］，那么2≤x +2≤3,f (x )=f (x +2)=－2(x －1)2+4,又由(1〕可知x ∈［0,2］时，f (x )=－2(x －1)2+4,设A 、B 坐标分别为(1－t ,0〕,(1+t ,0)(0＜t ≤1),那么|AB |=2t ,|AD |=－2t 2+4,S 矩形=2t (－2t 2+4)=4t (2－t 2),令S 矩=S ，∴82S =2t 2(2－t 2)·(2－t 2)≤(3222222t t t -+-+)3=2764, 当且仅当2t 2=2－t 2,即t =36时取等号∴S 2≤27864⨯即S ≤9616,∴S max =96167解(1)如原题图，当P 在AB 上运动时，PA =x ;当P 点在BC 上运动时，由Rt △ABD可得PA =2)1(1-+x ;当P 点在CD 上运动时，由Rt △ADP 易得PA =2)3(1x -+;当P 点在DA 上运动时，PA =4－x ,故f (x )的表达式为f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤<+-≤≤)43( 4)32( 106)21( 22)10( 22x x x x x x x x x x(2)由于P 点在折线ABCD 上不同位置时，△ABP 的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P 点的位置进展分类求解如原题图，当P 在线段AB 上时，△ABP 的面积S =0； 当P 在BC 上时，即1＜x ≤2时，S △ABP =21AB ·BP =21(x －1〕； 当P 在CD 上时，即2＜x ≤3时，S △ABP =21·1·1=21；当P 在DA 上时，即3＜x ≤4时，S △ABP =21(4－x )故g (x )=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<≤<-≤≤)43( )4(21)32( 21)21( )1(21)10( 0x x x x x x8(1)证明∵y =f (x )是以5为周期的周期函数，1124321oyxDPCDPCA∴f (4)=f (4－5)=f (－1),又y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)=－f (－1)=－f (4),∴f (1)+f (4)=0(2)解当x ∈［1,4］时，由题意，可设f (x )=a (x －2)2－5(a ≠0),由f (1)+f (4)=0得a (1－2)2－5+a (4－2)2－5=0，解得a =2,∴f (x )=2(x －2)2－5(1≤x ≤4)(3)解∵y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)=－f (－0),∴f (0)=0, 又y =f (x )(0≤x ≤1)是一次函数， ∴可设f (x )=kx (0≤x ≤1),∵f (1)=2(1－2)2－5=－3,f (1)=k ·1=k ,∴k =－3∴当0≤x ≤1时，f (x )=－3x ,当－1≤x ＜0时，f (x )=－3x ,当4≤x ≤6时，－1≤x －5≤1,∴f (x )=f (x －5)=－3(x －5)=－3x +15, 当6＜x ≤9时，1＜x －5≤4,f (x )=f (x －5)=2［(x －5)－2］2－5=2(x －7)2－5∴f (x )=⎩⎨⎧≤<--≤≤+-)96( 5)7(2)64( 1532x x x x。
函数解析式常见的求解方法
函数解析式常见的求解方法函数的解析式是指用数学表达式来表示函数的关系式，它是研究函数性质和求解函数值的基本工具。
常见的求解函数解析式的方法有以下几种：1.数学归纳法：对于一些特定的函数关系，在给定一些初始条件的情况下，通过递推关系式或递推公式，可以用数学归纳法来求解函数的解析式。
举个例子，求解斐波那契数列的解析式，我们知道当n=1时，F(1)=1；n=2时，F(2)=1；而当n>2时，斐波那契数列的数值等于它前两项的值之和，即F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
根据这个递推关系式，可以通过数学归纳法求解得到斐波那契数列的解析式。
2.函数关系的图像法：通过观察函数关系图像的特点，可以得到函数的解析式。
举个例子，我们知道一次函数的图像是一条直线，它的解析式通常表示为y=ax+b，其中a和b是常数，a表示斜率，b表示截距。
因此，通过观察一次函数的图像的斜率和截距，可以得到函数的解析式。
3.函数关系的特殊情况法：对于一些特殊的函数关系，可以通过特定的方法求解函数的解析式。
举个例子，对于二次函数y=ax^2+bx+c，如果已知函数的图像经过三个点(x1, y1)、(x2, y2)和(x3, y3)，可以通过代数的方法求解得到函数的解析式。
4.函数关系的逆运算法：对于一些函数关系，如果已知逆运算的解析式，可以通过求解逆运算的解析式来得到函数的解析式。
举个例子，对于指数函数y=a^x，如果已知函数的解析式为y=a^x，可以通过求解对数函数y=log_a(y)，其中log_a表示以a为底的对数，来得到函数的解析式。
5.差值法和插值法：对于一些离散函数关系，可以通过差值和插值的方法来求解函数的解析式。
差值法是指通过已知的离散数据点，通过构造等差差分的方式，来求解函数的解析式。
插值法是指通过已知的离散数据点，通过构造合适的插值函数，并通过插值误差的原则，来求解函数的解析式。
综上所述，函数解析式的求解方法有数学归纳法、函数关系的图像法、函数关系的特殊情况法、函数关系的逆运算法、差值法和插值法等多种方法。
求函数解析式的四种常用方法
求函数解析式的四种常用方法
(3)换元法： 已知复合函数 f(g(x))的解析式，
可用换元法， 此时要注意新元的取值范围；
求函数解析式的四种常用方法
(4)解方程组法： 已知关于 f(x)与
1 fx或
f(－
x)的表达式，可根据已知条件再构造出另 外一个等式组成方程组，通过解方程求出 f(x)．
答案：x －4x＋3
2
3．设 y＝f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0 有两个相等实根， 且 f′(x)＝2x＋2，求 f(x)的解析式．
解：设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则 f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2， ∴a＝1，b＝2，f(x)＝x ＋2x＋c. 又∵方程 f(x)＝0 有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故 f(x)＝x2＋2x＋1.
(4)定义在(－1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)， 求函数 f(x)的解析式．
方程组法
[练一练]
1．设 g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则 f(x)等于( A，－2x＋1 B，2x－1 C，2x－3 D，2x＋7 答案：D
2
2．若 f(x)＝x ＋bx＋c，且 f(1)＝0，f(3)＝0， f(x)＝________.
求函数解析式的四种常用方法
求函数解析式的四种常用方法
(1) 配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)， 可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式， 然后以 x 替代 g(x)， 便得 f(x)的表达式；Βιβλιοθήκη 变式 题换元法拼凑法
求函数解析式的四种常用方法
(2)待定系数法：若已知函数的类型 (如一次函数、 二次函数)可用待定系数法；
求函数解析式的几种方法
求函数解析式的几种方法函数解析式是表示一个函数关系的代数表达式，可以用来描述函数的定义域、值域、图像等特征。
在数学领域，有多种方法来推导函数的解析式，下面将介绍几种常见的方法。
一、直接法直接法是最常见和最基础的方法，可以根据函数的定义以及给定的条件，通过逐步推导得到函数的解析式。
例如，要求解函数y=f(x)的解析式，可以根据问题给出的条件进行如下推导：1.将函数的定义形式转化为解析式的形式。
例如，如果函数给出了一些点的坐标，可以通过观察得到点的横坐标和纵坐标之间的关系，从而得到函数的解析式。
2.确定函数的定义域和值域。
函数的定义域是自变量x可以取的值的集合，值域是函数所有可能的输出值的集合。
根据问题给出的条件，可以确定函数的定义域和值域。
3.根据函数的定义和给定的条件，逐步推导出函数的解析式。
例如，可以根据函数的一些性质或特点，通过观察和分析来确定函数的解析式。
二、利用已知函数逐步构建利用已知函数逐步构建函数的方法是一种常见的推导函数解析式的方法。
如果在问题中给出了一些已知的函数，可以利用这些函数作为基础来构建新的函数。
根据函数的性质和基本运算，通过运用函数的组合、反函数、平移、缩放等操作，逐步构建出所需的函数解析式。
例如，已知两个函数f(x)和g(x)的解析式，要求构建新函数h(x)的解析式，可以通过以下步骤进行：1.利用已知函数f(x)和g(x)进行基本运算，如加、减、乘、除等，得到中间函数u(x)。
2.对中间函数u(x)进行平移、缩放等操作，得到最终要求的函数h(x)。
三、利用函数的性质和特点函数具有一些普遍的性质和特点，如奇偶性、周期性、对称性等，可以根据这些性质和特点来推导函数的解析式。
例如，已知函数f(x)是偶函数，可以根据偶函数的性质得到f(-x)=f(x)，然后通过观察和分析，逐步推导出函数的解析式。
四、利用已知点的坐标如果在问题中给出了函数的一些点的坐标，可以通过观察这些坐标点之间的关系，从而推导出函数的解析式。
求函数解析式的六种常用方法精编版
求函数解析式的六种常用方法精编版函数解析式是描述函数数学规律的公式或表达式。
在数学中，常用的方法有很多，但以下列举的六种方法是最常见且常用的。
一、直接给出公式或表达式最简单直接的方法是通过给出函数解析式来描述函数的规律。
例如，对于一元二次方程 y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，就是一种直接给出函数解析式的方法。
这种方法适用于已知函数规律的情况，可以方便地求函数的值和图像。
二、通过函数图像导出函数解析式对于一些函数，可以通过观察函数的图像来导出其解析式。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，如果已知函数的图像，并能确定顶点坐标和开口方向，那么就可以根据函数图像反推函数解析式。
这种方法适用于已知函数图像的情况，可以通过观察图像特点来确定函数解析式。
三、通过给定函数值求解析式有时候，我们已知函数在一些特定点的函数值，可以通过这些函数值来求解析式。
例如，已知一元一次函数的两个点的函数值，可以通过求解线性方程组来确定函数解析式。
这种方法适用于已知一些特定点的函数值，可以通过点与点之间的关系来求解析式。
四、通过已知函数性质求解析式有时候，我们已知函数满足一些特定的性质，可以通过这些性质来求解析式。
例如，对于一元一次函数y = kx + b，如果已知函数过点(1, 2)和(3, 4)，可以利用点斜式或两点式来求解析式。
这种方法适用于已知函数的性质和特点，可以通过这些性质和特点来求解析式。
五、通过已知导数求解析式对于函数的解析式，如果已知其导数的解析式，可以通过积分来求解析式。
例如，对于函数y=2x^2+3x+1，如果已知其导数为y'=4x+3，可以通过积分来求得原始函数的解析式。
这种方法适用于已知函数的导数解析式，可以通过反向求导来求解析式。
六、通过泰勒级数展开求解析式对于一些特殊的函数，如三角函数、指数函数和对数函数等，可以通过泰勒级数展开来求解析式。
泰勒级数展开是利用函数的导数来逼近函数的方法，通过取泰勒级数展开的前几项，就可以得到函数的近似解析式。
求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的六种常用方法函数解析式指的是用代数式或公式来表示函数的方式。
以下是六种常用方法：一、明确函数定义域和值域在确定函数解析式之前，首先需要明确函数的定义域和值域。
函数的定义域是指函数可以取值的自变量的范围，而值域则是函数的函数值可以取的范围。
明确函数的定义域和值域可以帮助我们确定函数解析式的形式和特点。
二、利用已知条件和性质确定函数解析式在求函数解析式时，可以利用已知条件和性质来确定函数解析式的形式。
例如，已知函数的导函数，可以通过求导的逆运算确定原函数的解析式。
又如，已知函数的周期性质，可以利用周期性质来确定函数解析式的形式。
三、从实际问题中建立函数关系函数解析式可以从实际问题中建立起来。
在解决实际问题时，可以首先建立自变量和函数值之间的关系，然后根据问题中给出的条件来确定函数解析式。
例如，求解经济学中的需求函数、生长模型等。
四、利用已知函数的性质和运算建立函数解析式在求函数解析式时，可以利用已知函数的性质和运算来建立函数解析式。
例如，可以利用已知函数的线性性质、对称性质、指数性质等来建立函数解析式。
又如，可以利用已知函数的运算性质，如加减乘除、复合等来建立函数解析式。
五、利用恒等式和方程组建立函数解析式在求解一些复杂的函数问题时，可以利用恒等式和方程组来建立函数解析式。
通过列方程并求解，可以得到函数解析式中的一些未知系数。
例如，可以通过建立差分方程求解离散函数的解析式。
六、利用已知函数的级数展开建立函数解析式在求解一些函数的解析式时，可以利用已知函数的级数展开式来建立函数解析式。
通过逐项求和，可以得到函数解析式的形式。
例如，可以利用幂级数展开来确定一些特殊函数的解析式。
求函数解析式的四种常用方法
求函数解析式的四种常用方法函数是数学中的重要概念，它描述了变量之间的关系。
函数解析式是用代数表达式来表示函数的定义域、值域和具体的变化规律。
常用的四种方法来得到函数的解析式是：通过公式、通过图像、通过数据和通过给定条件。
一、通过公式：一些函数的解析式可以通过简单的数学公式来得到。
例如，直线函数y = kx + b、二次函数y = ax^2 + bx + c以及指数函数y = a^x等。
这些函数可以根据已知的系数和常数来确定解析式。
例如，对于直线函数y = 2x + 3，我们可以知道它的斜率是2，截距是3，因此解析式为y = 2x + 3二、通过图像：函数的解析式可以通过观察图像来确定。
例如，可以根据函数的特点，如对称性、切线的斜率等，来确定解析式。
对于一元函数来说，可以通过绘制函数的图像来判断函数的特点，从而得到函数的解析式。
例如，对于一次函数来说，可以通过观察图像的直线特点来确定解析式；对于二次函数来说，可以根据开口方向、抛物线的顶点位置等来确定解析式。
三、通过数据：有时候可以通过给定的数值表格或函数的值来确定函数的解析式。
通过列举一组合适的输入和输出值，然后观察数值的规律，可以找到函数的解析式。
例如，已知函数的自变量为x，函数的值为y，通过给定一些具体的x和对应的y值，可以通过观察它们之间的关系来确定函数的解析式。
四、通过给定条件：在一些具体的问题中，函数的解析式可以通过给定的条件来确定。
例如，在几何问题中，根据给定的几何条件和函数的特性，可以建立函数的解析式。
例如，根据直线过点的条件和斜率的特性，可以确定直线的解析式。
综上所述，函数解析式的四种常用方法是通过公式、通过图像、通过数据和通过给定条件。
通过这些方法，可以确定函数的解析式，进而研究函数的性质和变化规律，以及解决一些实际问题。
求函数解析式的几种常用方法
求函数解析式的几种常用方法作者：史延芹来源：《学周刊·A》2011年第06期摘要：求函数解析式是函数部分的常见题型，本文就此问题归纳总结出几种常用的方法：待定系数法、配凑法、换元法、特殊值法、利用函数的性质、解方程组法。
通过以上方法的介绍，可以让学生比较完整地掌握不同题型求函数解析式的方法，收到事半功倍的效果。
关键词：函数解析式方法求函数解析式是函数部分的常见题型，对职高学生来说是不太好掌握的一部分内容。
下面我就几种常用方法做一下归纳总结，以便学生更系统地学习这部分内容。
一、待定系数法如果已知函数的类型，往往设出这个函数的一般形式，根据已知条件列方程（或方程组），求出相关字母的值，即可求出函数解析式。
例1：某二次函数f(x),当x=2时，f(x)取得最大值16，且它的图像在x轴上截得的线段长等于8，求f(x)的解析式。
解：由题意，设解析式为y=a（x-2）2+16，因为图像在x轴上截得的线段长等于8且对称轴为x=2,所以图像过（6，0）点，代入得0=a（6-2）2+16,解得a=-1,故所求解析式f(x)=-（x-2）2+16。
二、配凑法如果已知f[g(x)]=h(x)，求f(x)的解析式，若能将h(x)用g(x)表出，然后用x代替g(x)即可得f(x)解析式。
例2：若f（x+■）=x2+■，求f(x)。
解：f（x+■）=x2+■=（x+■）2-2，∴f(x)=x2-2。
三、换元法如果已知f[g(x)]=h(x)，令g(x)=t，把g(x)=t看成方程，解出x，再把h(x)中的x用t的代数式来表示，就得到f(x)=φ(t)，然后再把t换成x即可。
例3：已知f(2x+1)=3x+4，求f(x)。
解：令2x+1=t，解得x=■，代入已知，得f(x)=3×■+4=■t+■，所以f(x)=■x+■。
四、特殊值法对于某些抽象函数，可以在已知条件中将某些字母取特殊值，从而求得函数解析式。
求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的六种常用方法函数解析式是用数学语言描述数学函数的一种方法。
它可以方便地表示函数的定义域、值域、性质等，并且能够通过函数图像和方程表达式等形式直观地展现函数的特征。
下面将介绍六种常用的方法来求函数的解析式。
1.常函数法：常函数法是求解常函数的一种简单方法。
常函数表示所有的输入值都对应着相同的输出值。
常函数的解析式通常形如"f(x)=c"，其中c是常数。
常函数的定义域和值域都是全体实数值。
例如，函数f(x)=3就是一个常函数，它的输出始终为32.幂函数法：幂函数是一种具有形如y=x^a的解析式的函数。
幂函数法是通过给定了函数的一些特定点来推导出整个函数的解析式。
常见的幂函数包括正幂函数、负幂函数和倒数函数。
例如，给定函数f(x)通过点（1,2）和（2,4），我们可以通过观察得出f(x)=2^x。
3.分段函数法：分段函数是一种具有不同解析式在不同区间上的函数。
分段函数法是通过将函数的定义域按照不同的区间划分，然后在每个区间上分别确定函数的解析式来得到函数的解析式。
例如，函数f(x)=，x，在x<0时取值为-x，在x≥0时取值为x，这就是一个分段函数。
4.复合函数法：复合函数是通过使用一个函数的输出结果作为另一个函数的输入来得到的函数。
复合函数法是通过将两个或多个函数的定义域和值域相互组合，然后确定新函数的解析式来求解函数的解析式。
例如，给定函数f(x)=x+1和g(x)=2x，我们可以求得f(g(x))=2x+15.反函数法：反函数是指一个函数的自变量和因变量对换后得到的新函数。
反函数法是通过将一个函数的自变量和因变量交换位置，然后求解得到函数的解析式。
例如，给定函数f(x)=2x，我们通过交换x和y的位置，可以求得反函数f^(-1)(x)=x/26.曲线拟合法：曲线拟合法是通过已知函数的一些点来找到一个与这些点最接近的函数的解析式。
它可以应用于实验数据分析和模型建立等领域。
高中数学《求函数解析式常用的方法》
求函数解析式常用的方法求函数解析式常用的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。
以下主要从-----待定系数法和换元法进行分析一、待定系数法待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。
其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。
例1：已知()f x 是二次函数，若(0)0,f =且(1)()1f x f x x +=++试求()f x 的表达式。
小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。
类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)= k x(k≠0)；f(x)为二次函数时，根据条件可设①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) ③两根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)二、换元法换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。
它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。
例2：已知1)1,f x =+求()f x 的解析式。
小结：①已知f[g(x)]是关于x 的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t ，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x 替换t ，便得f(x)的解析式。
注意：换元后要确定新元t 的取值范围。
1．已知二次函数)(x f 满足(1)1f =，(1)5f -=，图像过原点，求()f x 的解析式2．若x x x f 2)1(+=+，求()f x 的解析式3．若2(1)2f x x x +=+，求()f x 的解析式4．设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f5. 已知()21252f x x x +=++，求()f x 的解析式6. 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立， 求)(x f 的解析式7. 已知(0)1,()()(21),f f a b f a b a b =-=--+ 求)(x f 的解析式8.设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图像在y轴上的截距为1，2求f(x)的解析式被x轴截得的线段长为29.已知函数f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中x∈R,a,b为常数，求f(ax+b)的解析式10.已知a、b为常数，函数22（）=求的值+++=++-x f ax b x x a bf x4x3,()1024,5。
求函数解析式常用的方法
求函数解析式常用的方法函数的解析式是指能够描述函数关系的数学表达式。
常见的函数解析式有多种求法，下面介绍几种常用的方法。
一、通过已知的函数图像求函数的解析式：1.方程法：已知函数的图像，可以通过观察图像上的点与坐标轴的交点，列方程来求解。
例如，已知函数图像上点(1,3)和(2,5)，可以列出方程f(1)=3和f(2)=5，然后通过解方程组的方法求得函数解析式。
2.函数平移法：已知函数图像上的一些平移属性，可以通过对已知函数进行平移操作得到所求函数的解析式。
例如，已知函数f(x)在原坐标系上的图像向左平移2个单位，可以得到函数f(x+2)。
3.倒推法：已知函数的图像为已知函数的变换之一，可以从已知函数推导出所求函数的解析式。
例如，已知函数f(x)的图像是函数g(x)的图像上关于y轴对称得到的，可以通过对函数f(x)进行关于y轴对称操作得到函数g(x)的解析式。
二、通过已知函数求函数的解析式：1.基本函数的组合：常见的基本函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
可以通过将基本函数进行合理的组合和变换，来构建所求函数的解析式。
2.反函数法：已知函数的反函数，可以通过对已知函数的自变量和因变量进行互换得到所求函数的解析式。
例如，已知函数f(x)的反函数是g(x)，则所求函数的解析式为f(y)=x。
3.极限法：当函数的极限存在时，可以通过极限的概念推导所求函数的解析式。
例如，已知函数的极限为一些常数，可以通过求出极限值来得到所求函数的解析式。
三、通过函数的性质求函数的解析式：1.函数的奇偶性：如果一个函数是奇函数，那么它的解析式中不含有$x^2$的项；如果一个函数是偶函数，那么它的解析式中不含有$x$的项。
2.函数的周期性：如果一个函数是周期函数，那么它的解析式中必定含有正弦或余弦等与周期函数相关的函数。
3.函数的导数与微分：通过求函数的导数和微分，可以得到函数所满足的微分方程，然后进一步求解微分方程从而得到函数的解析式。
高中数学：求函数解析式的10种常见方法
高中数学：求函数解析式的10种常见方法一、配凑法：给定$f(x+1)=x-3x+2$，求$f(x)$。
练1：设函数$f(x)=2x+3$，$g(x+2)=f(x)$，求$g(x)$。
练2：设$f(f(x))=x^2+2$，求$f(x)$。
练3：设$f(x+2)+f(x)=x^3+x$，求$f(x)$。
二、待定系数法：例1：如果反比例函数的图像经过点$(1,-2)$，那么这个反比例函数的解析式为$\frac{-2}{x-1}$，求$f(x)$。
练1：在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像上有一点P，它的横坐标$m$与纵坐标$n$是方程$t^2-4t-2=0$的两个根，求$k$。
练2：已知二次函数$f(x)$满足$f(x+1)=f(x)+2x+8$，求$f(x)$的解析式。
练3：已知$f(x-2)=2x-9x+13$，求$f(x)$。
三、换元（或代换）法：例1：已知函数$f(\frac{1-x}{1+x})=\frac{1+x}{1-x}$，求：（1）$f(2)$的值；（2）$f(x)$的表达式。
练1：已知$f(x+1)=x+2x$，求$f(x)$及$f(x^2)$；练2：已知$f(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{x}$，求$f(x+1)$．四、消去法：例1：设函数$f(x)$满足$f(x)+2f(\frac{1}{x})=x$，求$f(x)$．练1：已知$f(x)-2f(-x)=3x+2$，求$f(x)$．练2：已知定义在R上的函数$f(x)$满足$f(-x)+2f(x)=x+1$，求$f(x)$．练3：已知$f(x)+3f(-x)=2x+1$，求$f(x)$.练4：设函数$f(x)$满足$af(x)+bf(\frac{1}{x})=cx$（其中$a,b,c$均不为$0$，且$a\neq\pm b$），求$f(x)$．五、反函数法：例1：已知$f(a^2-x^2)=x$，求$f(x)$。
高中数学-求函数解析式的六种常用方法
高中数学-求函数解析式的六种常用方法求函数解析式是高中数学中的重要内容之一，常用的方法有六种。
下面分别介绍这六种方法。
一、换元法如果已知复合函数$f[g(x)]$的解析式，要求原函数$f(x)$的解析式，可以令$g(x)=t$，求$f(t)$的解析式，再把$t$换为$x$即可。
例如，已知$f(x)=\frac{x^2+11x+1}{x(x+1)}$，要求$f(x)$的解析式。
设$g(x)=\frac{1}{x}$，则$x=\frac{1}{g(x)}$，代入$f(x)$得$f(g(x))=\frac{g(x)^2+11g(x)+1}{g(x)+1}$，再令$t=g(x)$，则$f(t)=\frac{t^2+11t+1}{t+1}$，最后把$t$换为$x$，得到$f(x)=\frac{x^2+11x+1}{x(x+1)}$。
二、配凑法如果已知$f(x+1)=x+2x^2$，要求$f(x)$的解析式，可以使用配凑法。
首先，把$x+1$视为自变量$x$，则有$f(x)=x^2-1$，但要注意函数的定义域的变化，即$x+1\geq 1$，即$x\geq 0$。
三、待定系数法如果已知函数类型，可以使用待定系数法求函数的解析式。
例如，已知二次函数$f(x)$满足$f(0)=0$，$f(x+1)=f(x)+2x+8$，要求$f(x)$的解析式。
设$f(x)=ax^2+bx+c$，代入已知条件得到$c=0$，$a+b=8$，$2a+b=0$，解得$a=1$，$b=7$，$c=0$，所以$f(x)=x^2+7x$。
四、消去法如果已知$f(x)+2f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x-1}$，要求$f(x)$的解析式，可以使用消去法。
把已知中的$f(\frac{1}{x})$用$f(x)$表示出来，得到$2f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x-1}$，再把$x$换成$\frac{1}{x}$，得到$2f(\frac{1}{x})+f(x)=\frac{1}{x-1}$，解得$f(x)=-\frac{x}{3(x-1)}$。
高中函数解析式的七种求法
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+xx 2)(2-=∴x x f )2(≥x三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t xx x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点 则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上x x y '+'='∴2把⎩⎨⎧-='--='yy x x 64代入得： )4()4(62--+--=-x x y整理得672---=x x y ∴67)(2---=x x x g五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
求函数解析式的六种常用方法精编版
求函数解析式的六种常用方法精编版一、直接构造法直接构造法适用于已知函数的性质和条件的情况下，可通过组合各种基本函数形式来构造出所需的函数形式。
例如，已知函数在区间[0，1]上的表达式为f(x)=x^2，并且我们想要构造一个在同一区间上的连续函数，且在x=0和x=1处与f(x)相等。
我们可以构造出一个函数解析式为：g(x)=(1-x)f(x)+x(x-1)f(1)这里，g(x)在[0,1]上连续，并且在x=0和x=1处分别等于f(x)。
二、数列法数列法适用于问题可以抽象为数列的情况下，可通过观察数列特点找到函数的解析式。
例如，已知数列{an}的前n项和为Sn = n(n + 1)，我们希望求解出数列{an}的通项公式。
我们可以观察得到，Sn - Sn-1 = n，即{an}是一个等差数列，公差为1、因此，{an}的通项公式为an = an-1 + 1三、变量代换法变量代换法适用于已知函数的变量可以通过代换转化为已知函数形式的情况下，可通过变量代换求解出函数的解析式。
例如，已知函数的解析式为f(t) = sin(t)，现在我们想要求解出函数的解析式f(x)。
我们可以通过将变量t用x表示，并使用三角函数的关系sin(t) = sin(x)来代换，得到f(x) = sin(x)。
四、变量插值法变量插值法适用于已知函数在离散点上的取值情况下，可通过连接各个离散点并找到插值函数的形式来求解函数的解析式。
例如，已知函数在离散点(0,1)，(1,2)，(2,3)上的取值，我们可以通过连接这三个点得到插值函数，形式为f(x)=x+1五、递推法递推法适用于问题可以通过递推关系来求解的情况下，可通过观察得到递推关系，从而求解出函数的解析式。
例如，已知递推关系为an = an-1 + n，其中a0 = 1、我们可以通过观察到an - an-1 = n，得到an = 1 + 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2六、级数展开法级数展开法适用于问题可以通过级数展开来求解的情况下，可通过展开级数并进行合并化简，从而求解出函数的解析式。
求函数解析式的常用方法
求函数解析式的常用方法在数学中，函数是一种数学对象，它将一个或多个输入值映射到一个输出值上。
函数解析式是用代数方式表示函数的方式，它可以描述函数的特征、性质和行为。
在数学领域，有很多方法可以得到函数的解析式。
下面将介绍一些常用的方法。
1.反复求导或积分：通过对函数进行反复求导或积分，可以得到函数的解析式。
这种方法适用于已知函数的导函数或原函数的情况。
例如，已知函数的导函数为2x，则原函数可以表示为x^2+C，其中C是任意常数。
2.利用已知条件：有时候，我们可以利用已知条件来构造函数解析式。
例如，如果我们已知函数通过点(1, 2)和(3, 4)，可以写出函数的解析式为y = ax + b，并通过代入已知点的坐标来求解a和b的值。
3.应用已知函数的性质：已知函数的性质可以直接帮助我们找到函数的解析式。
例如，已知函数为指数函数且经过点(0,1)，我们可以得到解析式为y=a^x，其中a是一个正实数。
4.利用函数对称性：有时候，函数的对称性可以帮助我们推导出函数的解析式。
例如，如果函数是偶函数，则函数的解析式中只含有偶次幂的项。
5.积化和差化和差公式：通过运用积化和差化和差公式，可以将复杂的函数转化为较简单的形式。
例如，通过将sin(x+y)转化为sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，我们可以得到复杂函数的解析式。
6.利用复合函数和反函数：通过利用复合函数和反函数的性质，可以求得函数的解析式。
例如，如果我们已知函数f(x)=x^2，我们可以得到f(f(x))=(x^2)^2=x^4，这样就得到了复合函数的解析式。
7.利用泰勒展开式：泰勒展开式是将一个函数表示为其在其中一点的无穷阶导数的多项式。
通过使用泰勒展开式，我们可以将复杂的函数近似为多项式，从而得到函数的解析式。
8.利用已知函数的特殊形式：有些函数具有特殊的形式，可以利用这些特殊形式推导函数的解析式。
例如，指数函数、对数函数和三角函数等都具有特殊的形式，可以根据这些形式推导函数的解析式。
求函数解析式常用的方法
求函数解析式常用的方法函数解析式是指用数学表达式来表示一个函数的关系式。
常用的方法有以下几种：一、常数法：当函数表达式中只包含常数时，可以直接表示为一个确定的常数。
例如，函数f(x)=5表示f(x)始终等于5，不管x的取值如何。
二、线性函数法：线性函数是指函数的表达式中只包含一次项（通常是x）和常数项的函数。
常用的线性函数有一次函数、斜率截距式和两点式。
一次函数的函数表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
通过给定的一对坐标点，可以利用斜率公式或两点式公式求解得到函数解析式。
三、二次函数法：二次函数是指函数的表达式中包含二次项（x的平方）的函数。
函数解析式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。
常用的求解方法有配方法和因式分解法。
配方法是通过将二次项与其他项配对，使得被配对的两项的和或差为一个完全平方。
通过这种方法可以将二次函数转化为完全平方的形式从而求解。
因式分解法是将二次函数进行因式分解，通过找出两个一次函数的乘积形式来求解。
通过因式分解可以得到二次函数的解析式。
四、指数函数法：指数函数是指函数的表达式中包含指数项的函数。
函数解析式为f(x)=a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数的图像表现为指数的增长或衰减。
五、对数函数法：对数函数是指函数的表达式中包含对数项的函数。
函数解析式为f(x) = loga(x)，其中a为底数，x为真数。
对数函数的性质使得复杂的乘除运算可以转化为简单的加减运算。
六、三角函数法：三角函数是指函数的表达式中包含三角函数项的函数。
常用的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
函数解析式可以表示为一个周期性的曲线。
通过这些常用的方法，我们可以求解各种函数的解析式，根据函数的特点和已知条件选择适当的方法进行求解。
需要注意的是，在求解函数解析式时，需要满足函数的定义域和值域的限制，以确保函数的合法性和准确性。
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高三数学第二轮专题讲座复习：求解函数解析式的几种常用方法 高考要求 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视 本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力 重难点归纳 求解函数解析式的几种常用方法主要有 1 待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法； 2 换元法或配凑法，已知复合函数f ［g (x )］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法； 3 消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f (x ); 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法 典型题例示范讲解例1 (1)已知函数f (x )满足f (log a x )=)1(12x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式 (2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求 f (x ) 的表达式 命题意图 本题主要考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力 知识依托 利用函数基础知识，特别是对“f ”的理解，用好等价转化，注意定义域 错解分析 本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错 技巧与方法 (1)用换元法；(2)用待定系数法 解 (1)令t=log a x (a >1,t >0;0<a <1,t <0),则x =a t 因此f (t )=12-a a (a t －a －t ) ∴f (x )=12-a a (a x －a －x )(a >1,x >0;0<a <1,x <0) (2)由f (1)=a +b +c ,f (－1)=a －b +c ,f (0)=c 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=)0()]1()1([21)0()]1()1([21f c f f b f f f a 并且f (1)、f (－1)、f (0)不能同时等于1或－1， 所以所求函数为 f (x )=2x 2－1 或f (x )=－2x 2+1 或f (x )=－x 2－x +1或f (x )=x 2－x －1 或f (x )=－x 2+x +1 或f (x )=x 2+x －1例2设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≤－1时，y =f (x )的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y =f (x )的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f (x )的表达式，并在图中作出其图象 命题意图 本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力 因此，分段函数是今后高考的热点题型 知识依托 函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线 错解分析 本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱 技巧与方法 合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式解 (1)当x ≤－1时，设f (x )=x +b∵射线过点(－2，0) ∴0=－2+b 即b =2，∴f (x )=x +2(2)当－1<x <1时，设f (x )=ax 2+2 ∵抛物线过点(－1，1)，∴1=a ·(－1)2+2,即a =－1 ∴f (x )=－x 2+2(3)当x ≥1时，f (x )=－x +2 综上可知 f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<---≤+1,211,21,12x x x x x x 作图由读者来完成例3已知f (2－cos x )=cos2x +cos x ,求f (x －1) 解法一 (换元法）∵f (2－cos x )=cos2x －cos x =2cos 2x －cos x －1令u =2－cos x (1≤u ≤3),则cos x =2－u∴f (2－cos x )=f (u )=2(2－u )2－(2－u )－1=2u 2－7u +5(1≤u ≤3)∴f (x －1)=2(x －1)2－7(x －1)+5=2x 2－11x +4(2≤x ≤4) 解法二 (配凑法）f (2－cos x )=2cos 2x －cos x －1=2(2－cos x )2－7(2－cos x ）+5 ∴f (x )=2x 2－7x －5(1≤x ≤3),即f (x －1)=2(x －1)2－7(x －1)+5=2x 2－11x +14(2≤x ≤4) 学生巩固练习 1 若函数f (x )=34-x mx (x ≠43)在定义域内恒有f ［f (x )］=x ,则m 等于( ) A 3 B 23 C －23 D －3 2 设函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称，在x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1,则x >1时f (x )等于( ) A f (x )=(x +3)2－1 B f (x )=(x －3)2－1 C f (x )=(x －3)2+1 D f (x )=(x －1)2－1 3 已知f (x )+2f (x1)=3x ,求f (x )的解析式为_________ 4 已知f (x )=ax 2+bx +c ,若f (0)=0且f (x +1)=f (x )+x +1,则f (x )=_________ 5 设二次函数f (x )满足f (x －2)=f (－x －2),且其图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为2，求f (x )的解析式 6 设f (x )是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f (x )是偶函数，在区间［2，3］上时，f (x )=－2(x －3)2+4，求当x ∈［1,2］时f (x )的解析式 若矩形ABCD 的两个顶点A 、B 在x 轴上，C 、D 在y =f (x )(0≤x ≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值 7 动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示P 点的行程，f (x )表示P A 的长，g (x )表示△ABP 的面积，求f (x )和g (x ),并作出g (x )的简图 8 已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y =f (x )在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x =2时，函数取得最小值，最小值为－5(1)证明 f (1)+f (4)=0;(2)试求y =f (x ),x ∈［1,4］的解析式；(3)试求y =f (x )在［4，9］上的解析式参考答案 1 解析 ∵f (x 34-x mx ∴f ［f (x )］=334434--⋅-⋅x mx x mxm =x ,整理比较系数得m =3 答案 A 2 解析 利用数形结合，x ≤1时， f (x )=(x +1)2－1的对称轴为x =－1,最小值为－1， 又y =f (x )关于x =1对称，故在x >1上，f (x )的对称轴为x =3且最小值为－1 答案 B 3 解析 由f (x )+2f (x 1)=3x 知f (x 1)+2f (x x1 由上面两式联立消去f (x 1)可得f (x )=x 2－x 答案 f (x )= x2－x 4 解析 ∵f (x )=ax 2+bx +c ,f (0)=0,可知c =0 又f (x +1)=f (x )+x +1,∴a (x +1)2+b (x +1)+0=ax 2+bx +x +1,即(2a +b ）x +a +b =bx +x +1故2a +b =b +1且a +b =1,解得a =21,b =21,∴f (x )=21x 2+21x 答案 21x 2+21x 5 解利用待定系数法，设f (x )=ax 2+bx +c ,然后找关于a 、b 、c 的方程组求解，f (x )=178722++x x 6 解 (1)设x ∈［1,2］,则4－x ∈［2,3］,∵f (x )是偶函数，∴f (x )=f (－x ),又因为4是f (x )的周期，∴f (x )=f (－x )=f (4－x )=－2(x －1)2+4(2)设x ∈［0，1］，则2≤x +2≤3,f (x )=f (x +2)=－2(x －1)2+4,又由(1）可知x ∈［0,2］时，f (x )=－2(x －1)2+4,设A 、B 坐标分别为(1－t ,0）,(1+t ,0)(0＜t ≤1), 则|AB |=2t ,|AD |=－2t 2+4,S 矩形=2t (－2t 2+4)=4t (2－t 2),令S 矩=S ， ∴82S =2t 2(2－t 2)·(2－t 2)≤(3222222t t t -+-+)3=2764, 当且仅当2t 2=2－t 2,即t =36时取等号 ∴S 2≤27864⨯即S ≤9616,∴S max7 解 (1)如原题图，当P 在AB 上运动时，P A =x ;当P 点在BC 上运动时，由Rt △ABD 可得P A =2)1(1-+x ;当P 点在CD 上运动时，由Rt △ADP 易得P A =2)3(1x -+;当P 点在DA 上运动时，P A =4－x ,故f (x )的表达式为 f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤<+-≤≤)43( 4)32( 106)21( 22)10( 22x x x x x x x x x x (2)由于P 点在折线ABCD 上不同位置时，△ABP 的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P 点的位置进行分类求解如原题图，当P 在线段AB 上时，△ABP 的面积S =0；当P 在BC 上时，即1＜x ≤2时，S △ABP =21AB ·BP =21(x －1）； 当P 在CD 上时，即2＜x ≤3时，S △ABP =21·1·1=21；当P 在DA 上时， 即3＜x ≤4时，S △ABP =21(4－x ) 故g (x )=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<≤<-≤≤)43( )4(21)32( 21)21( )1(21)10( 0x x x x x x 8 (1)证明 ∵y =f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)=f (4－5)=f (－1),又y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)=－f (－1)=－f (4),∴f (1)+f (4)=0(2)解 当x ∈［1,4］时，由题意，可设f (x )=a (x －2)2－5(a ≠0),由f (1)+f (4)=0得a (1－2)2－5+a (4－2)2－5=0，解得a =2,∴f (x )=2(x －2)2－5(1≤x ≤4)(3)解 ∵y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)=－f (－0),∴f (0)=0,又y =f (x ) (0≤x ≤1)是一次函数，∴可设f (x )=kx (0≤x ≤1),∵f (1)=2(1－2)2－5=－3, f (1)=k ·1=k ,∴k =－3∴当0≤x ≤1时，f (x ) =－3x ,当－1≤x ＜0时，f (x )=－3x ,当4≤x ≤6时，－1≤x －5≤1,∴f (x )=f (x －5)=－3(x －5)=－3x +15, 当6＜x ≤9时，1＜x －5≤4,f (x )=f (x －5)=2［(x －5)－2］2－5=2(x －7)2－5∴f (x )=⎩⎨⎧≤<--≤≤+-)96( 5)7(2)64( 1532x x x x。