弹性力学论文：关于圣维南原理的数值计算

关于圣维南原理的数值计算——基于艾里应力函数的平面应力问题的差分解法

摘要

本文通过应力函数的方法，结合数值方法，求解受端部集中力作用下的平板拉伸问题，评估基于圣维南原理的解与数值解相比带来的误差及其分布，并将此与J.N. Goodier的理论分析对比。

关键词

弹性力学，圣维南原理，平面应力问题，有限差分法

0引言

圣维南原理（局部性原理）是弹性力学的一般原理之一，常用于在边界力系无法精确描述时的等效替代，其一种表述[1]为：“若把作用在物体局部边界上的面力，用另一组与它静力等效（即有相同的主矢量和主矩）的力系来替代，则在力系作用区域的附近应力分布将有明显的改变，但在远处所受的影响可以不计”。

作为一条经验定理[5]，这一原理的提出为材料力学和弹性力学问题的求解提供了大量的便利，但是对于这一原理的精确度，直到1937年，J.N. Goodier才从理论的角度给出评估，他指出圣维南原理的影响范围和外力作用的区域大致相近。

本文将以平面应力问题为例，借助数值计算的方法对比圣维南原理简化前与简化后的计算结果，验证Goodier对于圣维南原理影响范围的理论值，并给出在不同精度要求下的影响范围的精确结果。

1问题的描述

考虑长方形平板的拉伸问题。如下图所示，长度为a，宽度为b，在两边中点施加大小为F的集中点力。

2方程的建立

2.1解法的选择

应力解法和位移解法是弹性力学中的两种基本方法。在平面问题中，应力解法可以通过应力函数的引入，将问题归结为关于应力函数的双调和方程的边值问题，与位移解法的偏微分方程组相比，更加适用于解析求解。但是对于多连体问题，位移解法涉及到衔接条件的引入，会使问题更加复杂[3]。

但是本题只涉及到简单的单连通体，所以选择应力函数的求解方式。若将应力函数记为

，那么双调和方程可以写成。

2.2有限差分法

在双调和方程中，应力函数是一个平面标量场，通过将的平板划分成的

网格，连续函数离散为一个矩阵，矩阵中的元素记为。利用中心差分公式化简偏导数项，结果如下。

双调和方程离散为如下线性方程组。

2.3边界条件与艾里应力函数边值的确定

要求解上述方程，还需要一系列边界条件，由于双调和方程中涉及到的导数阶数高达四阶，如果能够得到边界上的函数值以及一阶导数值，那么方程组才能够有唯一解。接下来通过应力边界条件和应力函数与应力之间的关系确定边界处的函数值和导数值。很多教科书在介绍艾里应力函数物理意义的内容中对此都有非常一般性的推导，但是过程繁琐，由于本题只涉及基矢量方向的边界，因此可以利用最简单的方式进行推导。

我们已知艾里应力函数与应力的关系如下。

考察下图所示水平边界。

很容易有，由于是单连通区域上的平面标量场，所

以的值与A-B选取的积分路径无关，为计算方便起见，选取从A

点到B点的直线进行积分，并令

，

由此可以通过以上两个公式，以某一点为起点，计算出整个矩形边界上的完整的边界条件。

3计算结果

取a=100,b=33,f=33,计算结果如下。

（sigma_x分布）

（sigma_y分布）

（对称轴处sigma_x的分布）

如果根据圣维南原理进行简化，将边上的集中力简化为分布在一整条边上的均布力系，那么计算结果为如下均匀分布。

按照J.N. Goodier的分析，圣维南原理的影响范围和力系作用范围相近，本题中力系化简后作用范围为矩形的整条短边。根据计算结果，对于平板中间1/3处，与圣维南原理中的

相比误差在2.3%以内，。在平板边界10%处，即力系作用范围的1/3

处，的误差在150%以上，在边界20%处，即力系作用范围的2/3处，的误差为31%，

在边界25%处，即力系作用范围的75%处，的误差为14%。

4分析与讨论

修改参数，分别计算在a=200,b=67,f=65以及a=60,b=21,f=19两组参数下的结果，对比在平板中间1/3的单位内（即Goodier所认为误差很小的范围），最大误差都在2%左右。但是网格最密的一组即a=200时，最大误差为2.8%，而网格最疏的一组即a=60时，最大误差为1.8%，计算误差有逐渐增大的趋势。

这一趋势可能是由于边界值的计算导致的。计算边界上的函数值时，力F的作用范围并不是真正的一个点，而是一个网格的距离，因此当网格更加密时，越接近于集中力的假设。反过来讨论，对于力从一个网格的长度替换为整个边长时，相较于细网格，粗网格下替换的变化更加小，所以后者的误差更小。

5结论

对比简化成均布力系的近似解以及采用数值方法的精确解，正如J. N. Goodier所证明的，影响的区域和力系作用区域相近，本文从数值计算的角度再次验证了圣维南原理的可行性，采用的数值计算的方法也为本领域的相关计算提供了一定思路。

参考文献

[1] 吴家龙.弹性力学（第2版）.北京：高等教育出版社,2011年8月.

[2] 刘鸿文.材料力学I（第五版）.北京：高等教育出版社,2011年1月.

[3] 徐芝纶.弹性力学中的差分方法.北京：高等教育出版社,1989年3月.

[4] 朱建新,李有法.数值计算方法（第3版）.北京：高等教育出版社,2012年7月.

[5] J.N. Goodier. A general proof of Saint-Venant’s principle. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, (1937)23:155, 607-609.