向量的数量乘积

平面向量基本定理及坐标表示

【知识要点】

1.平面向量数量积的概念；

2.两向量夹角的概念及其取值范围

3.平面向量数量积的运算律

4.平面向量数量积的坐标表示

5.向量垂直的坐标表示的充要条件

【典型例题】

1.已知||3a =,||4b =,且()(3)33a b a b +⋅+=,则,a b 的夹角为____________

2. 已知(3,0)a =,(,5)b k =且a 与b 的夹角为34

π,则k 的值为________________ 3.已知向量 (6,2)a =,(3,)b k =-的夹角是钝角,则k 的取值范围是_______________

4.有四个向量满足a y x =-,2b x y =-且a b ⊥,||||1a b ==,则,x y 的夹角余弦值为

5.已知||3a =,||2b =,,a b 的夹角为60,则|2|a b -=______________

6.已知两向量,a b ,||2a =,||2b =,,a b 的夹角为45,要使b a λ-与a 垂直,则λ=_________

7.已知1)a =-,(1,b =,则a 在b 方向上的投影等于 ( )

A B 1 C 2 D 4

8.给定两个向量(3,4)a =,(2,1)b =-且()(),a xb a b +⊥-则x = ( )

A 23

B 232

C 233

D 234

9.P 是ABC ∆所在平面上一点,若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,则P 是ABC ∆的 ( ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心

10.已知(1,2)a =,(3,2)b =-,当k 为何值时,

(1) ka b +与3a b -平行 (2) ka b +与3a b -垂直

11.向量12,e e 是夹角为60的两个单位向量,求向量12122,32a e e b e e =+=-+的夹角.

12.非零向量,a b ,若()(2)a b a b +⊥-, (2)(2)a b a b -⊥+,试求,a b 的夹角的余弦值.

13.平面内有向量(1,7)OA =, (5,1)OB =, (2,1)OP =,点Q 为直线OP 上的一个动点(点O 为坐标原点).

(1) 当QA QB ⋅取最小值时,求OQ 的坐标.

(2) 当点Q 满足(1)的条件和结论时,求cos AQB ∠的值.

Q P A C B 14.已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径，

（Ⅰ）判断BP CQ AP CB ⋅-⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由；

（Ⅱ）求BP CQ ⋅的最大值

【课堂训练及作业】

1.与向量71(,)22a =，17(,)22b =-的夹角相等，且模为1的向量是（ ）

A 4

3(,)55- B 43(,)55-或43(,)55

-

C 1)3-

D 1)3-或 1()3

2.已知(2,3)a =,(4,7)b =-,则a 在b 方向的投影为( )

A B C D 3.设平面上有四个互异的点,,,A B C D .已知(2)()0DB DC DA AB AC +-⋅-=,则ABC ∆的形状是

( )

A 直角三角形

B 等腰三角形

C 等腰直角三角形

D 等边三角形

4.与向量(1,2),a =(2,1)b =夹角相等的单位向量c 的坐标为 _

5.已知向量(2,2)OA =,(4,1)OB =,在x 轴上一点P ,则AP BP ⋅的最小值是_______________

6.已知平面上三个向量,,a b c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120，若||1ka b c ++>，()k R ∈，求k 的取值范围。

7.已知,m n 是夹角为60的单位向量,求2a m n =+,32b m n =-+的夹角