2021高考数学一轮复习课时作业53曲线与方程理(含答案及解析)
2021年高考数学第一轮复习 课后练习册子及其答案和详细解析
强化练习题
目录
第 1 讲 集合与简易逻辑...........................................................................................................................- 1 第 2 讲 函数及其性质经典精讲 ...............................................................................................................- 2 第 3 讲 函数及其性质 2019 高考真题赏析 .............................................................................................- 3 第 4 讲 函数及其性质 2018 高考真题赏析 .............................................................................................- 4 第 5 讲 平面向量.......................................................................................................................................- 5 第 6 讲 三角函数与三角恒等变换经典精讲 ............................................................
高三数学第一轮复习课时作业(53)曲线与方程
课时作业(五十三) 第53讲 曲线与方程时间：45分钟 分值：100分基础热身1．与两圆x 2＋y 2＝1及x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( ) A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C ．一条抛物线上 D ．一个圆上2．2011·湖南师大附中月考 已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足·＝x22，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．拋物线3．已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是( )A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝04．已知A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1) B ．y 2－x248＝1C ．y 2－x248＝－1 D ．x 2－y248＝1 能力提升5．2011·江门质检 设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若＝2，且·＝1，则P 点的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) B.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)6．已知||＝3，A 、B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，＝13＋23，则动点P 的轨迹方程是( )A.x24＋y 2＝1 B ．x 2＋y24＝1 C ．.x29＋y 2＝1 D ．.x 2＋y29＝1 7．已知二面角α－l －β的平面角为θ，点P 在二面角内，PA ⊥α，PB ⊥β，A ，B 为垂足，且PA ＝4，PB ＝5，设A ，B 到棱l 的距离分别为x ，y ，当θ变化时，点(x ，y )的轨迹方程是( )A ．x 2－y 2＝9(x ≥0)B ．x 2－y 2＝9(x ≥0，y ≥0)C ．y 2－x 2＝9(y ≥0)D ．y 2－x 2＝9(x ≥0，y ≥0)8．2011·南平测试 已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y28＝1(x <－1) B ．x 2－y28＝1(x >1)C ．x 2＋y28＝1(x >0) D ．x 2－y210＝1(x >1)9．2011·哈尔滨第三中学三模 已知动点P 在直线x ＋2y －2＝0上，动点Q 在直线x ＋2y ＋4＝0上，线段PQ 中点M (x 0，y 0)满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y 0≤x 03＋2，y 0≤－x 0＋2，则x 20＋y 20的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，34 B.⎣⎡⎦⎤15，34C.⎣⎡⎦⎤15，10 D ．10,34 10．已知直线l ：2x ＋4y ＋3＝0，P 为l 上的动点，O 为坐标原点．若2＝，则点Q 的轨迹方程是________________．11．已知F 1、F 2为椭圆x24＋y23＝1的左、右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________．12．设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且AB 中点为M ，则点M 的轨迹方程是________．13．2011·北京卷 曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________．14．(10分)2011·课标全国卷 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足∥，·＝·，M 点的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．15．(13分)2011·银川一中一模 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆短半轴长为1，动点M (2，t )(t >0)在直线x ＝a2c(a 为长半轴长，c 为半焦距)上．(1)求椭圆的标准方程；(2)求以OM 为直径且被直线3x －4y －5＝0截得的弦长为2的圆的方程；(3)设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．难点突破16．(12分)2011·东北三省四市测试 已知A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB的长为23，D是AB的中点．(1)求动点D的轨迹C的方程；(2)过点N(1,0)作与x轴不垂直的直线l，交曲线C于P、Q两点，若在线段ON上存在点M(m,0)，使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，试求m的取值范围．课时作业(五十三)【基础热身】1．B 解析圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为(4,0)，半径为2，动圆的圆心到(4,0)的距离减去到(0,0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．2．B 解析设点P(x，y)，则＝(1－x,1－y)，＝(－1－x，－1－y)，所以·＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－2.由已知x2＋y2－2＝x22，即x24＋y22＝1，所以点P的轨迹为椭圆．3．A 解析设P点的坐标为(x，y)，则(x－1)2＋(y＋2)2＝3x2＋y2，整理，得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.4．A 解析由题意|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支．又c＝7，a＝1，b2＝48，所以轨迹方程为y2－x248＝1(y≤－1)．【能力提升】5．A 解析设A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由＝2得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝32x>0，b＝3y>0.由题知点Q(－x，y)，故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a，b代入上式得，所求的轨迹方程为32x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．6．A 解析设A(0，a)，B(b,0)，则由||＝3得a2＋b2＝9.设P(x，y)，由＝13＋23得(x，y)＝13(0，a)＋23(b,0)，由此得b＝32x，a＝3y，代入a2＋b2＝9得9y2＋94x2＝9⇒x24＋y2＝1.7．B 解析实际上就是求x，y所满足的一个等式，设平面PAB与二面角的棱的交点是C，则AC＝x，BC ＝y，在两个直角三角形Rt△PAC，Rt△PBC中其斜边相等，根据勾股定理即可得到x，y所满足的关系式．如图，x2＋42＝y2＋52，即x2－y2＝9(x≥0，y≥0)．8．B 解析设直线PM、PN与圆C|AM|＝|MB|，|PD|＝|PA|，|DN|＝|NB|，所以|PM|－|PN|＝|PA|＋|AM|－|PD|－|DN|＝|MB|－|NB|＝2<|MN|，由双曲线的定义知点P的轨迹是以M、N为焦点、实轴长为2的双曲线的右支(除去点B)．9．B 解析 ＝0，点M (x 0，y 0)就是直线x ＋2y ＋1＝0位于区域⎩⎪⎨⎪⎧y 0≤x 03＋2，y 0≤－x 0＋2内的线段上，如图．根据几何意义，坐标原点到直线x ＋2y ＋1＝0的距离是15，故最小值是15，根据图形在点A 处取得最大值，点A 的坐标是(5，－3)，故最大值是34.10．2x ＋4y ＋1＝0 解析 设点Q 11)．根据2＝得2(x ，y )＝(x 1－x ，y 1－y )，即⎩⎨⎧x 1＝3x ，y 1＝3y .∵点P 在直线l 上，∴2x 1＋4y 1＋3＝0，把x 1＝3x ，y 1＝3y 代入上式并化简，得2x ＋4y ＋1＝0，为所求轨迹方程．11．x 2＋y 2＝4 解析 延长F 1D 与F 2A 交于B ，连接DO ，可知|DO |＝12|F 2B |＝2，∴动点D 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.12．y 2＝2(x －1) 解析 F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，后两式相减并将前两式代入得(y 1－y 2)y ＝2(x 1－x 2)，当x 1≠x 2时，y 1－y 2x 1－x 2×y ＝2.又A 、B 、M 、F 四点共线，y 1－y 2x 1－x 2＝y x －1，代入得y 2＝2(x －1)，当x 1＝x 2时，M (1,0)也适合这个方程，即y2＝2(x －1)是所求的轨迹方程．13．②③ 解析 ①曲线C 经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a ＝1，与条件不符；②曲线C 关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF 1||PF 2|＝a 2，关于原点的对称点处也一定符合|PF 1||PF 2|＝a 2；③三角形的面积S △F 1F 2P 2≤a 22，很显然S △F 1F 2P ＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝a 22.所以②③正确．14．解答 (1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)，A (0，－1)． 所以＝(－x ，－1－y )，＝(0，－3－y )，＝(x ，－2)． 再由题意可知(＋)·＝0，即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0，所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点，因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为12x 0.因此直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.则O 点到l 的距离d ＝||2y 0－x 20x 20＋4，又y 0＝14x 20－2，所以d ＝12x 20＋4x 20＋4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20＋4＋4x 20＋4≥2， 当x 0＝0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2. 15．解答 (1)由点M 在直线x ＝a 2c 上，得a2c＝2，又b ＝1，故1＋c2c＝2，∴c ＝1，从而a ＝ 2.∴椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)以OM 为直径的圆的方程为x (x －2)＋y (y －t )＝0，即(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －t 22＝t24＋1，其圆心为⎝⎛⎭⎫1，t 2，半径r ＝t 24＋1.因为以OM 为直径的圆被直线3x －4y －5＝0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x －4y －5＝0的距离d ＝r 2－1＝t 2，所以|3－2t －5|5＝t 2，解得t ＝4，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5. (3)证法一：设OM ，FN 交于点K .由平面几何的性质知|ON |2＝|OK ||OM |，直线OM ：y ＝t 2x ，直线FN ：y ＝－2t (x －1)．由⎩⎨⎧y ＝t 2，y ＝－2t(x －1)，得x K ＝4t 2＋4. ∴|ON |2＝⎝⎛⎭⎫1＋t 24x K ·⎝⎛⎭⎫1＋t 24x M ＝⎝⎛⎭⎫1＋t 24·4t 2＋4·2＝2，所以线段ON 的长为定值 2.证法二：设N (x 0，y 0)，则＝(x 0－1，y 0)，＝(2，t )， ＝(x 0－2，y 0－t )，＝(x 0，y 0)，∵⊥，∴2(x 0－1)＋ty 0＝0，∴2x 0＋ty 0＝2， 又∵⊥，∴x 0(x 0－2)＋y 0(y 0－t )＝0，∴x 20＋y 20＝2x 0＋ty 0＝2，所以，||＝x 20＋y 20＝2为定值． 【难点突破】16．解答 (1)设D (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，33x 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，－33x 2. 因为D 是线段AB 的中点， 所以x ＝x 1＋x 22，y ＝33·x 1－x 22. 因为|AB |＝23，所以(x 1－x 2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33x 1＋33x 22＝12，所以(23y )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33×2x 2＝12， 即x29＋y 2＝1.故点D 的轨迹C 的方程为x29＋y 2＝1.(2)设l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入椭圆方程x29＋y 2＝1，得(1＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－9＝0，所以x 1＋x 2＝18k21＋9k，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋9k 2. 所以PQ 中点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫9k 21＋9k 2，－k 1＋9k 2. 因为以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形， 所以k MH ·k ＝－1.所以－k1＋9k 29k 21＋9k2－m ·k ＝－1，即m ＝8k 21＋9k2.因为k ≠0，所以0<m <89.又点M (m,0)在线段ON 上，所以0<m <1.综上，0<m <89.。
全国通用近年高考数学一轮复习第八章解析几何课时作业五十三8.5曲线与方程理(2021年整理)
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课时分层作业五十三曲线与方程一、选择题（每小题5分,共35分）1。
到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是（）A。
y=x B。
y=｜x｜C.x2+y2=0D.y2=x2【解析】选D。
设动点的坐标为(x，y)。
因为动点到两坐标轴的距离相等，所以|x｜=｜y｜即y2=x2,动点的轨迹方程是y2=x2。
2。
(2018·南昌模拟)已知点F,直线l:x=-，点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( )A。
双曲线B。
椭圆C。
圆 D.抛物线【解析】选D。
由已知得｜MF|=｜MB|。
由抛物线定义知,点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线.3。
（2018·张家口模拟）设线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,且｜AB|=5，=+,则点M的轨迹方程为（）A.+=1 B。
+=1C.+=1 D。
+=1【解析】选A。
设M（x，y),A(x0，0),B(0,y0）,由=+,得（x，y)=(x0，0）+（0，y0),则解得由｜AB|=5，得+=25,化简得+=1.【变式备选】(2018·福州模拟）已知F1, F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,点P为椭圆C上的动点,则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( ）A。
最新-2021版高考数学全国、理科一轮复习课件：第53讲 曲线与方程 精品
x＝1， y＝1
或xy＝＝－－11，，表示
两个点(1，1)，(－1，－1)．
课前双基巩固
2．[教材改编] 已知△ABC 的两个顶点 A，B 的坐标 分别是(－5，0)，(5，0)，且 AC，BC 所在直线的斜 率之积等于－1，则顶点 C 的轨迹方程为________．
[答案] x2＋y2＝25(y≠0)
知识聚焦
1．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨 迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是__这___个__方__程__的___解___． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲___线__上__的__点_．那么这个方程叫作曲线的方程，这条 曲线叫作_方__程___的__曲__线__．
[答案] x－322＋y2＝9453<x≤3
[解析] 易知圆心 C1(3，0)，且直线 l 存在斜率．设 线段 AB 的中点为 M(x0，y0)，直线 l 的方程为 y ＝mx，则 kC1M·m＝－1，y0＝mx0，所以x0y－0 3·xy00 ＝－1，所以 x20－3x0＋y20＝0，即x0－322＋y20＝94. 因为动直线 l 与圆 C1 相交，所以 m|32m＋| 1<2，所
[答案] y2－x2＝1
[解析] 设 P(x，y)，圆 P 的半径 为 r，则由题意知 y2＋2＝r2，x2 ＋3＝r2，从而 y2＋2＝x2＋3，故 点 P 的轨迹方程为 y2－x2＝1.
课前双基巩固
7．[2014·湖北卷改编] 在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F(1，0)的距离比它到 y 轴的距离多 1，点 M 的轨迹方程为 ________．
2021高考理科数学(人教A版)一轮复习课时规范练53用样本估计总体 Word版含解析
姓名，年级：时间：课时规范练53用样本估计总体基础巩固组1。
（2019湖南娄底一模,5)学校医务室对本校高一1 000名新生的视力情况进行跟踪调查，随机抽取了100名学生的体检表，得到的频率分布直方图如下，若直方图的后四组的频率成等差数列，则估计高一新生中视力在4.8以下的人数为（）A。
600 B。
390 C。
610 D.5102。
(2019江苏徐州模拟，6)甲、乙两人在相同条件下，射击5次,命中环数如下:根据以上数据估计(）A.甲比乙的射击技术稳定B.乙比甲的射击技术稳定C.两人没有区别D.两人区别不大3.(2019四川德阳高三一诊，7)将甲、乙两个篮球队10场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图,由图可知(）A。
甲队得分的众数是3B.甲、乙两队得分在［30,39）分数段频率相等C.甲、乙两队得分的极差相等D。
乙队得分的中位数是38。
54.当5个正整数从小到大排列时,其中位数为4，若这5个数的唯一众数为6，则这5个数的均值不可能为（)A.3.6B.3.8C.4D.4。
25.如图为某班35名学生的投篮成绩(每人投一次)的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全.已知该班学生投篮成绩的中位数是5,则根据统计图,无法确定下列哪一选项中的数值（）A.3球以下（含3球）的人数B.4球以下（含4球)的人数C。
5球以下(含5球)的人数D。
6球以下(含6球)的人数6.（2019吉林长春质检,4)某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位:℃）数据,绘制如下折线图:那么,下列叙述错误的是()A。
各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B。
全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C.全年中各月最低气温平均值不高于10 ℃的月份有5个D.从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势7.已知数据x1,x2，…,x10，2的平均值为2，方差为1,则数据x1，x2,…,x10相对于原数据（)A。
2021年高考数学大一轮复习 8.8曲线与方程课时作业 理
2021年高考数学大一轮复习 8.8曲线与方程课时作业 理一、选择题1．方程(x 2－y 2－1)x －y －1＝0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)( )解析：原方程等价于⎩⎨⎧x 2－y 2－1＝0，x －y －1≥0或x －y －1＝0，前者表示等轴双曲线x 2－y 2＝1位于直线x －y －1＝0下方的部分，后者为直线x －y －1＝0，这两部分合起来即为所求．答案：B2．动点P (x ，y )满足5x －12＋y －22＝|3x ＋4y －11|，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线解析：设定点F (1,2)，定直线l ：3x ＋4y －11＝0，则|PF |＝x －12＋y －22，点P 到直线l 的距离d ＝|3x ＋4y －11|5.由已知得|PF |d ＝1，但注意到点F (1,2)恰在直线l 上，所以点P 的轨迹是直线．选D.答案：D3．已知点A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( )A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0解析：∵AB 的方程为4x －3y ＋4＝0，又|AB |＝5，设点C (x ，y )由题意可知12×5×|4x －3y ＋4|5＝10，∴4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.答案：B4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y225＝1 B.4x 221＋4y225＝1 C.4x 225－4y221＝1 D.4x 225＋4y221＝1 解析：M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆，∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a2－c 2＝214， ∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y221＝1.答案：D5．动点P (x ，y )到定点A (3,4)的距离比P 到x 轴的距离多一个单位长度，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－6x －10y ＋24＝0 B ．x 2－6x －6y ＋24＝0C ．x 2－6x －10y ＋24＝0或x 2－6x －6y ＝0 D ．x 2－8x －8y ＋24＝0解析：本题满足条件|PA |＝|y |＋1，即x －32＋y －42＝|y |＋1，当y >0时，整理得x 2－6x －10y ＋24＝0；当y ≤0时，整理得x 2－6x －6y ＋24＝0，变为(x －3)2＋15＝6y ，此方程无轨迹．答案：A6．设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，若PM →＝λMQ →(其中λ为正常数)，则点M 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则Q (x 0,0)，由PM →＝λMQ →得⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝λx 0－xy －y 0＝λ－y(λ>0)∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x y 0＝λ＋1y，由x 20＋y 20＝1，∴x 2＋(λ＋1)2y 2＝1(λ>0)，∴点M 的轨迹为椭圆． 答案：B 二、填空题7．设P 是圆x 2＋y 2＝100上的动点，点A (8,0)，线段AP 的垂直平分线交半径OP 于M 点，则点M 的轨迹为________．解析：如图，设M (x ，y )，由于l 是AP 的垂直平分线，于是|AM |＝|PM |，又由于10＝|OP |＝|OM |＋|PM |＝|OM |＋|AM |，即|OM |＋|AM |＝10，也就是说，动点M 到O (0,0)及A (8,0)的距离之和是10，故动点M 的轨迹是以O (0,0)，A (8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是5的椭圆．答案：椭圆8．直线x a ＋y2－a ＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是________．解析：设直线x a ＋y2－a＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)、B (0,2－a )，A 、B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)9．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．解析：由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x2，－y 2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y2，又P 在椭圆上， 则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.答案：x 24a 2＋y 24b2＝1三、解答题10．已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)，经过点M (33，0)的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，且MB →＝－2MA →.若点B 的坐标为(0,2)，求曲线E 的方程．解：设A (x 0，y 0)，∵B (0,2)，M (33，0)， 故MB →＝(－33，2)，MA →＝(x 0－33，y 0)．由于MB →＝－2MA →，∴(－33，2)＝－2(x 0－33，y 0)．∴x 0＝32，y 0＝－1，即A (32，－1)． ∵A ，B 都在曲线E 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·02＋b ·22＝1a ·322＋b ·－12＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝14.∴曲线E 的方程为x 2＋y 24＝1.11．如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．解：(1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝54y ，∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25，即轨迹C 的方程为x 225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0.∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412. ∴线段AB 的长度为|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k2x 1－x 22＝4125×41＝415.1．在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，PQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程C ；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离． 点Q 在线段FP 的垂直平分线上， ∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线， 其方程为y 2＝2x (x >0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上一点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝x 0－12＋y 20，则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1， 因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．2．如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )． 解：(1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12，所以点A 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，① y 0＝－1－222p＝－3－222p.② 由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，x 1≠x 2，由N 为线段AB 的中点，知x ＝x 1＋x 22，③y ＝x 21＋x 228.④故切线MA ，MB 的方程为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214.⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0， 所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此线段AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y . p 35886 8C2E 谮23469 5BAD 宭21768 5508 唈gAG39820 9B8C 鮌21321 5349 卉40798 9F5E 齞31421 7ABD 窽。
2021版高考数学一轮复习第八章解析几何第53讲曲线与方程学案202105072100
2021版高考数学一轮复习第八章解析几何第53讲曲线与方程学案202105072100考纲要求考情分析命题趋势了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2021·全国卷Ⅱ，202021·全国卷Ⅰ，20(1)2021·全国卷Ⅲ，20(2)求满足条件的动点轨迹及轨迹方程，用直截了当法和定义法较为普遍.分值：3～5分1．曲线与方程一样地，在直角坐标系中，假如某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标差不多上__那个方程__的解；(2)以那个方程的解为坐标的点差不多上__曲线上__的点．那么，那个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．曲线能够看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．2．求曲线方程的差不多步骤1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．( √)(2)方程x2＋xy＝x表示的曲线是一个点和一条直线．(×)(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.( ×)(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．(×)解析(1)正确．由f(x0，y0)＝0可知点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲线f (x ，y )＝0上时，有f (x 0，y 0)＝0.因此f (x 0，y 0)＝0是P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．(2)错误．方程变为x (x ＋y －1)＝0，因此x ＝0或x ＋y －1＝0，故方程表示直线x ＝0或直线x ＋y －1＝0.(3)错误．当以两条互相垂直的直线为x 轴，y 轴时，是x 2＝y 2，否则不正确． (4)错误．因为方程y ＝x 表示的曲线只是方程x ＝y 2表示曲线的一部分，故其不正确． 2．和点O (0,0)，A (c,0)距离的平方和为常数c (c ≠0)的点的轨迹方程为__2x 2＋2y 2－2cx ＋c 2－c ＝0__.解析 设点的坐标为(x ，y )，由题意知((x －0)2＋(y －0)2)2＋((x －c )2＋(y －0)2)2＝c ， 即x 2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＝c ，即2x 2＋2y 2－2cx ＋c 2－c ＝0.3．MA 和MB 分别是动点M (x ，y )与两定点A (－1,0)和B (1,0)的连线，则使∠AMB 为直角的动点M 的轨迹方程是__x 2＋y 2＝1(x ≠±1)__.解析 点M 在以A ，B 为直径的圆上，但不能是A ，B 两点．4．平面内有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__y 2＝8x (x ≠0)__．解析 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，由AB →⊥BC →，得AB →·BC →＝0.即2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·y2＝0.∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x (x ≠0)．5．圆的方程为x 2＋y 2＝4，抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是__x 24＋y 23＝1(y ≠0) __.解析 设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则||AA 1＋||BB 1＝2||OO 1＝4，由抛物线定义得||AA 1＋||BB 1＝||FA ＋||FB ，∴||FA ＋||FB ＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．一 定义法求轨迹方程应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判定是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．【例1】 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切同时与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程．解析 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切同时与圆N 内切，因此||PM ＋||PN ＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4＞2＝||MN .由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．二 直截了当法求轨迹方程直截了当法求轨迹方程的常见类型及解题策略(1)题中给出等量关系，求轨迹方程．直截了当代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件查找等量关系，得出方程． 【例2】 (2021·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解析 由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2. 因此AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)， 则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，解得x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，因此y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，故所求轨迹方程为y 2＝x －1.三 相关点法求轨迹方程相关点法求轨迹方程的差不多步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)，(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )，(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程． 【例3】 (2020·安徽合肥高三调研)已知M 为椭圆C ：x 225＋y 29＝1上的动点，过点M 作x 轴的垂线，垂足为D ，点P 满足PD →＝53MD →.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)若A ，B 两点分别为椭圆C 的左、右顶点，F 为椭圆C 的左焦点，直线PB 与椭圆C 交于点Q ，直线QF ，PA 的斜率分别为k QF ，k PA ，求k QFk PA的取值范畴． 解析 (1)设P (x ，y )，M (m ，n )，依题意知D (m,0)，且y ≠0. 由PD →＝53M D →，得(m －x ，－y )＝53(0，－n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －x ＝0，－y ＝－53n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝x ，n ＝35y .又M (m ，n )为椭圆C ：x 225＋y 29＝1上的点， ∴x225＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35y 29＝1，即x 2＋y 2＝25， 故动点P 的轨迹E 的方程为x 2＋y 2＝25(y ≠0)．(2)依题意知A (－5,0)，B (5,0)，F (－4,0)，设Q (x 0，y 0)，∵线段AB 为圆E 的直径，∴AP ⊥BP ，设直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝－1k PB，k QFk PA＝k QF－1k PB＝－k QF k PB＝－k QF k QB＝－yx0＋4·y0x0－5＝－y20(x0＋4)(x0－5)＝－9⎝⎛⎭⎪⎫1－x2025(x0＋4)(x0－5)＝925(x20－25)(x0＋4)(x0－5)＝925(x0＋5)x0＋4＝925⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x0＋4，∵点P不同于A，B两点且直线QF的斜率存在，∴－5<x0<5且x0≠－4，又y＝1x＋4在(－5，－4)和(－4,5)上差不多上减函数，∴925⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x0＋4∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫25，＋∞，故k QFk PA的取值范畴是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫25，＋∞.1．已知点A(－4,4)，B(4,4)，直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与BM的斜率之差为－2，点M的轨迹为曲线C，则曲线C的轨迹方程为__x2＝4y(x≠±4)__．解析设M(x，y)，由已知得k AM－k BM＝y－4x＋4－y－4x－4＝－2，化简得x2＝4y(x≠±4)．2．已知圆C的方程为(x－3)2＋y2＝100，点A的坐标为(－3,0)，M为圆C上任一点，线段AM的垂直平分线交CM于点P，则点P的轨迹方程为x225＋y216＝1 .解析由题可知C(3,0)，r＝10，由中垂线性质知||PA＝||PM，故||PA＋||PC＝||PM ＋||PC＝||CM＝10，即P点的轨迹为以原点为中心，点A，C为焦点的椭圆，2a＝10，c＝3，b＝4，故点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.3．已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且||O1O2＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．解析如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由||O1O2＝4，得O1(－2,0)，O2(2,0)．设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有||MO1＝r－1，由动圆M与圆O2外切，有||MO2＝r＋2，∴||MO2－||MO1＝3，∴点M 的轨迹是以O 1，O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支， ∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74，∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1⎝⎛⎭⎪⎫x ≤－32. 4．如图所示，A (m ，3m )和B (n ，－3n )两点分别在射线OS ，OT (点S ，T 分别在第一、四象限)上移动，且OA →·OB →＝－12，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝OA →＋OB →.(1)求mn 的值；(2)求动点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？解析 (1)∵OA →·OB →＝(m ，3m )·(n ，－3n )＝－2mn ＝－12，∴mn ＝14.(2)设P (x ，y )(x ＞0)，由OP →＝OA →＋OB →，得(x ，y )＝(m ，3m )＋(n ，－3n )＝(m ＋n ，3m －3n )．∴⎩⎨⎧x ＝m ＋n ，y ＝3m －3n ，整理得x 2－y 23＝4mn ，又mn ＝14，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x ＞0)．它表示以原点为中心，焦点在x 轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x 2－y 23＝1的右支．易错点 轨迹方程与实际的轨迹不对应错因分析：①要注意参数的取值阻碍x ，y 的取值范畴；②曲线的方程与方程的曲线要对应．【例1】 如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)，分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9，连接OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *，1≤i ≤9)．求证：点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，并求P 的轨迹方程．解析 依题意，过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，因此直线OB i 的方程为y ＝i10x .设P i 的坐标为(x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i10x ，得y ＝110x 2，即x 2＝10y .因此点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y . 由于i ∈[1,9]，因此x ∈[0,10]，y ∈[0,10]，从而点P 的轨迹方程为x 2＝10y (x ∈[0,10])．【跟踪训练1】 方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是( C )解析 由题意得x ＋y ＋1＝0或x 2＋y 2＝4(x ＋y ＋1≥0)表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2＝4在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．课时达标 第53讲[解密考纲]求曲线的轨迹方程，经常通过定义法或直截了当法，在解答题的第(1)问中显现．一、选择题1．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，假如动点P 满足|PA |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( B )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析 设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＝0， 又D 2＋E 2－4F ＝16>0，因此动点P 的轨迹是圆．2．(2021·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( B )A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析 依照双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52， ①又椭圆x 212＋y23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，因此a 2＋b 2＝9， ②依照①②可知a 2＝4，b 2＝5，故选B ．3．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( D )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0解析 设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得Q 点的轨迹方程为2x －y ＋5＝0.4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( D )A ．4x 221－4y225＝1B ．4x 221＋4y225＝1C ．4x 225－4y221＝1D ．4x 225＋4y221＝1解析 ∵M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5， 故M 的轨迹是以定点C ，A 为焦点的椭圆， ∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y221＝1.5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( A )A ．32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) B ．32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)解析 设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0.由BP →＝2PA →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x >0，b ＝3y >0，点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ，b 代入ax ＋by ＝1得所求的轨迹方程为32x2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．6．已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( B )A ．4B ．3C ．2D ．1解析 ∵e 是方程2x 2－5x ＋2＝0的根，∴e ＝2或e ＝12，mx 2＋4y 2＝4m 可化为x 24＋y 2m ＝1，当它表示焦点在x 轴上的椭圆时，有4－m 2＝12，∴m ＝3；当它表示焦点在y 轴上的椭圆时，有m －4m＝12，∴m ＝163；当它表示焦点在x 轴上的双曲线时，可化为x 24－y 2－m ＝1，有4－m2＝2，∴m ＝－12，∴满足条件的圆锥曲线有3个，故选B ．二、填空题7．已知△ABC 的顶点 A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是__x 29－y 216＝1(x >3)__.解析 如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，因此|CA |－|CB |＝8－2＝6.依照双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)． 8．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足O C →＝O A →＋t (O B→－O A →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是__2x －y －2＝0__.解析 设 C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，因此⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.9．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点Q 满足O Q →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是 x 24a 2＋y 24b2＝1 .解析 作P 关于O 的对称点M ，连接F 1M ，F 2M ， 则四边形F 1PF 2M 为平行四边形， 因此PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →. 又OQ →＝PF 1→＋PF 2→，因此OP →＝－12OQ →，设Q (x ，y )，则OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x2，－y 2，即点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y2，又P 在椭圆上， 则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.三、解答题10．已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1：x －y －22＝0相切． (1)求圆的标准方程；(2)设点A 为圆上一动点，AN ⊥x 轴于点N ，若动点Q 满足OQ →＝mOA →＋(1－m )ON →(其中m 为非零常数)，试求动点Q 的轨迹方程C 2.解析 (1)依题意圆的半径为圆心(0,0)到直线l 1的距离|－22|12＋12＝2，故圆C 1的方程为x 2＋y 2＝4.(2)设动点Q (x ，y )，A (x 0，y 0)． ∵AN ⊥x 轴交于点N ，∴N (x 0,0)，由题意，得(x ，y )＝m (x 0，y 0)＋(1－m )·(x 0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0，y ＝my 0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝1m y ，将A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，1m y ，代入x 2＋y 2＝4， 得x 24＋y 24m 2＝1.即动点Q 的轨迹方程为x 24＋y 24m 2＝1. 11．(2020·河北唐山统考)已知动点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到圆C ：x 2＋y 2－4x ＋1＝0的切线长(P 到切点的距离)．记动点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)过圆心C 作直线AB ：x ＝my ＋2交曲线E 于A ，B 两点，设线段AB 的中点为D ，过圆心C 作直线CQ 垂直于直线AB 交直线l 于点Q ，求|QD ||AB |的取值范畴． 解析 (1)由已知得圆的方程为(x －2)2＋y 2＝3，则圆心为C (2,0)，半径r ＝ 3.设P (x ，y )，依题意可得|x ＋1|＝(x －2)2＋y 2－3，整理得y 2＝6x .故曲线E 的方程为y 2＝6x .(2)又直线AB 的方程为my ＝x －2，则直线CQ 的方程为y ＝－m (x －2)，可得Q (－1,3m )．将my ＝x －2代入y 2＝6x 并整理可得y 2－6my －12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6m ，y 1y 2＝－12， AB 的中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， 即D (3m 2＋2,3m )，|QD |＝3m 2＋3. |AB |＝1＋m 2·(y 1－y 2)2＝23(1＋m )2(3m 2＋4)， 因此⎝ ⎛⎭⎪⎫|QD ||AB |2＝3m 2＋34(3m 2＋4)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13m 2＋4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫316，14， 故|QD ||AB |的取值范畴是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，12. 12．(2021·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝ 2 NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解析 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)．由NP →＝ 2 NM →得x 0＝x ，y 0＝22y . 因为M (x 0，y 0)在椭圆C 上，因此x 22＋y 22＝1. 因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ， OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.因此OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点F 存在唯独直线垂直于OQ ，因此过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .。
高考数学总复习课时作业(五十三)第53讲曲线与方程理(2021年整理)
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课时作业（五十三）第53讲曲线与方程基础热身1。
在平面直角坐标系中，已知定点A(0，—)，B（0，),直线PA与直线PB的斜率之积为-2,则动点P的轨迹方程为()A。
+x2=1B.+x2=1（x≠0）C。
-x2=1D.+y2=1(x≠0)2.过点F(0，3）且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为（) A。
x2=12yB。
y2=—12xC.y2=12xD。
x2=-12y3.设P为双曲线-y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点，则点M 的轨迹方程是()A.x2—4y2=1B.4y2-x2=1C.x2—=1D。
—y2=14.[2017·沈阳模拟］平面直角坐标系中，已知O为坐标原点,点A,B的坐标分别为(1,1),(—3，3）.若动点P满足=λ+μ，其中λ,μ∈R，且λ+μ=1，则点P的轨迹方程为（）A。
x-y=0B。
x+y=0C。
x+2y-3=0D.+=55。
[2017·北京海淀区期中］已知F1（—2，0），F2(2,0),满足｜｜PF1|-|PF2｜|=2的动点P的轨迹方程为。
能力提升6.[2017·上海普陀区二模]动点P在抛物线y=2x2+1上移动,若P与点Q(0,—1)连线的中点为M，则动点M的轨迹方程为(）A。
山东专用2021新高考数学一轮复习第八章平面解析几何课时作业53双曲线含解析
课时作业53 双曲线一、选择题1．已知双曲线x 29－y 24＝1，则其焦距为( D )A. 5 B ．2 5 C.13D ．213解析：由双曲线方程知c 2＝9＋4＝13，∴c ＝13，∴焦距为213，故选D. 2．(2019·北京卷)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率是5，则a ＝( D )A. 6 B ．4 C ．2D.12 解析：解法1：由双曲线方程可知b 2＝1，所以c ＝a 2＋b 2＝a 2＋1，所以e ＝ca＝a 2＋1a＝5，解得a ＝12，故选D.解法2：由e ＝5，e 2＝1＋b 2a 2，b 2＝1，得5＝1＋1a 2，得a ＝12，故选D. 3．已知双曲线x 2m －y 2m ＋6＝1(m >0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为( D )A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 28＝1 C ．x 2－y 28＝1 D.x 22－y 28＝1 解析：由题意，得2m ＝m ＋6，解得m ＝2，∴双曲线的标准方程为x 22－y 28＝1，故选D.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，且经过点P (6，4)，则双曲线的方程是( C )A.x 24－y 232＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 22－y 28＝1 D ．x 2－y 24＝1 解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，所以ba＝2 ①.又双曲线过点P (6，4)，所以6a 2－16b 2＝1 ②.①②联立，解得a ＝2，b ＝22，所以双曲线的方程为x 22－y 28＝1，故选C.5．已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( D )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：因为N 为线段F 1M 的中点，O 为线段F 1F 2的中点，所以|F 2M |＝2|ON |＝2.因为P 在线段F 1M 的中垂线上，所以|PF 1|＝|PM |，所以||PF 1|－|PF 2||＝|F 2M |＝2|ON |＝2<|F 1F 2|，所以点P 的轨迹是双曲线，故选D.6．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( A )A.324B.322 C ．2 2D ．3 2解析：不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ 6.又tan ∠POF ＝b a ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324. 7．经过点(2,1)，且渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切的双曲线的标准方程为( A ) A.x 2113－y 211＝1 B.x 22－y 2＝1 C.y 2113－x 211＝1 D.y 211－x 2113＝1 解析：设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切可得圆心(0,2)到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得|k ×0－2|k 2＋1＝1，解得k ＝±3.因为双曲线经过点(2,1)，所以双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，将点(2,1)代入可得4a 2－1b 2＝1，由⎩⎨⎧4a 2－1b 2＝1，ba ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝113，b 2＝11，故所求双曲线的方程为x 2113－y 211＝1.故选A.8．已知双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF周长l 的最小值为( B )A ．4＋ 2B ．4(1＋2) C ．2(2＋6) D.6＋3 2解析：设双曲线的左焦点为F ′.双曲线的右焦点为F (6，0)，△APF 的周长l ＝|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2a ＋|PF ′|，要使△APF 周长最小，只需|AP |＋|PF ′|最小，如图，当A ，P ，F ′三点共线时|AP |＋|PF ′|取得最小值，此时l ＝2|AF |＋2a ＝4(1＋2)，故选B.9．(多选题)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若∠MAN ＝60°，则有( AC )A ．渐近线方程为y ＝±33xB ．e ＝322C ．e ＝233D ．渐近线方程为y ＝±3x解析：双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A (a,0)，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN ＝60°，可得A 到渐近线bx ＋ay ＝0的距离为：b cos30°＝32b ，可得：|ab |a 2＋b2＝32b ，即a c ＝32，故e ＝233.且ba ＝e 2－1＝33，故渐近线方程为y ＝±33x .故选AC. 10．(多选题)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1，椭圆C 1的上顶点为M ，且MF 1→·MF 2→＝0，双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点，且双曲线C 2的离心率为e 2，P 为曲线C 1与C 2的一个公共点，若∠F 1PF 2＝π3，则正确的是( BD )A.e 2e 1＝2 B ．e 1·e 2＝32C ．e 21＋e 22＝52D ．e 22－e 21＝1解析：因为MF 1→·MF 2→＝0且|MF 1→|＝|MF 2→|，故三角形MF 1F 2为等腰直角三角形，设椭圆的半焦距为c ，则c ＝b ＝22a ，所以e 1＝22.在焦点三角形PF 1F 2中，设∠F 1PF 2＝π3，|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，双曲线C 2的实半轴长为a ′，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－xy ＝4c 2x ＋y ＝22c|x －y |＝2a ′，故xy ＝43c 2，从而(x －y )2＝x 2＋y 2－xy －xy ＝8c 23，所以(a ′)2＝2c 23即e 2＝62，故e 2e 1＝3，e 2e 1＝32，e 21＋e 22＝2，e 22－e 21＝1，故选BD.二、填空题11．(多填题)已知双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，它的焦点是椭圆x 225＋y 210＝1的长轴端点，则此双曲线方程为x 29－y 216＝1，离心率为53.解析：由x 225＋y 210＝1可得其长轴端点为(5,0)，(－5,0)，由双曲线的渐近线为：4x ±3y ＝0，所以可设双曲线的方程为：x 29λ－y 216λ＝1(λ>0)，根据题意可得：9λ＋16λ＝25，即λ＝1，所以双曲线的标准方程为：x 29－y 216＝1，其离心率为e ＝53.12．已知双曲线C ：x 2－4y 2＝1，过点P (2,0)的直线l 与C 有唯一公共点，则直线l 的方程为y ＝±12(x －2)．解析：∵双曲线C 的方程为x 2－4y 2＝1，∴a ＝1，b ＝12，∴渐近线方程为y ＝±12x .∵P (2,0)在双曲线内部且直线l 与双曲线有唯一公共点，∴直线l 与双曲线的渐近线平行，∴直线l 的斜率为±12，∴直线l 的方程为y ＝±12(x －2)．13．已知点P (1，3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线上，F 为C 的右焦点，O 为原点，若∠FPO ＝90°，则C 的方程为x 24－y 212＝1.解析：设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，由渐近线过点P (1，3)，得ba＝3，且|OP |＝2.焦点到渐近线的距离是b ，即|PF |＝b ，在Rt △OPF 中，|OF |2＝|OP |2＋|PF |2，即c 2＝22＋b 2.又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝2，b ＝23，所以双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.14．(多填题)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程是22x －y ＝0，则双曲线E 的离心率e ＝3；若双曲线E 的实轴长为2，过双曲线E 的右焦点F 可作两条直线与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋m ＝0相切，则实数m 的取值范围是(－3,5)．解析：因为双曲线E 的一条渐近线的方程是22x －y ＝0，所以b a ＝22，所以e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝1＋(22)2＝3.因为双曲线E 的实轴长为2，所以2a ＝2，即a ＝1，所以c ＝3，F (3,0)．由题意得右焦点F 在圆C 外，所以需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧32＋02－2×3＋4×0＋m >0，(x －1)2＋(y ＋2)2＝5－m >0，解得－3<m <5，故实数m 的取值范围是(－3,5)．15．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记截了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD )，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则双曲线Γ的离心率为( A )A.233B. 2C. 3D ．2解析：设与平面α平行的平面为β，以AC ，BD 的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x 轴，在平面β内与x 轴垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．根据题意可设双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为y ＝±33x ，即b a ＝33，所以离心率e ＝ca＝1＋(b a )2＝233.16．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线方程是y＝±255x ，点A (0，b )，且△AF 1F 2的面积为6.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点P ，Q ，若|AP |＝|AQ |，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意得b a ＝255①，S △AF 1F 2＝12×2c ·b ＝6②，a 2＋b 2＝c 2③，由①②③求得a 2＝5，b 2＝4， ∴双曲线C 的标准方程是x 25－y 24＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点为D (x 0，y 0)．将y ＝kx ＋m 与x 25－y 24＝1联立，消去y ，整理得(4－5k 2)x 2－10kmx －5m 2－20＝0，由4－5k 2≠0及Δ>0，得⎩⎪⎨⎪⎧4－5k 2≠0，m 2－5k 2＋4>0，④∴x 1＋x 2＝10km4－5k 2，x 1·x 2＝－5m 2＋204－5k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝5km4－5k 2，y 0＝kx 0＋m ＝4m4－5k 2.由|AP |＝|AQ |知，AD ⊥PQ ，∴k AD ＝y 0－2x 0＝4m4－5k 2－25km 4－5k 2＝－1k，化简得10k 2＝8－9m ，⑤ 将⑤代入④，得m <－92或m >0.由10k 2＝8－9m >0，得m <89.综上，实数m 的取值范围是m <－92或0<m <89.。
《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版 课时作业53 Word版含解析
课时作业53 曲线与方程一、选择题(每小题5分，共40分)1．动点P (x ，y )满足5(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －11|，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．直线解析：设定点F (1,2)，定直线l ：3x ＋4y －11＝0，则|PF |＝(x －1)2＋(y －2)2，点P 到直线l 的距离d ＝|3x ＋4y －11|5.由已知得|PF |d ＝1，但留意到点F (1,2)恰在直线l 上，所以点P 的轨迹是直线．选D.答案：D2．(2022·榆林模拟)若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：依题意，点P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹是抛物线．答案：D3．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内确定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y 225＝1 C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y 221＝1解析：M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆，∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 221＝1.答案：D4．(2022·烟台月考)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0解析：由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.答案：D5．(2022·合肥模拟，6)如图所示，A是圆O内确定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB 交于E，则点E的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r为圆的半径)且r>|OA|，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆，故选B.答案：B6．(2022·上海徐汇模拟，16)假如命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是()A．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线B．方程f(x，y)＝0的每一组解对应的点都在曲线C上C．不满足方程f(x，y)＝0的点(x，y)不在曲线C上D．方程f(x，y)＝0是曲线C的方程解析：由曲线与方程的对应关系可知，由于不能推断以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线C上，故方程f(x，y)＝0的曲线不愿定是C，所以曲线C 是方程f(x，y)＝0的曲线不正确；方程f(x，y)＝0的每一组解对应的点都在曲线C 上也不正确；不能推出曲线C是方程f(x，y)＝0的轨迹．举特例，曲线C为y＝x，而方程x2－y2＝0，即y＝±x，则只有C正确．答案：C7．方程x2－y2＝0对应的图像是()解析：由x2－y2＝0得y＝x或y＝－x.答案：C8．有一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0)且与y轴相交于点A、B，若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为()A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线解析：设P(x，y)，动圆P的半径为R，由于△ABP为正三角形，∴P到y轴的距离d＝32R，即|x|＝32R.。
2021高考数学一轮复习课后限时集训53抛物线
课后限时集训53抛物线 建议用时：45分钟一、选择题1．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8D [抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0， 椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的焦点坐标为(±2p ，0)．由题意得p2＝2p ，∴p ＝0(舍去)或p ＝8.故选D.]2．(2019·厦门模拟)已知抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( ) A.92 B.32 C.118D.16D [由抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，可得p ＝3，则抛物线的标准方程为x 2＝13y ，则抛物线的焦点到准线的距离等于16.故选D.]3．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4yC [设所求抛物线方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，又点(－4,4)在抛物线上，则有－4k ＝16或4m ＝16，解得k ＝－4或m ＝4，所求抛物线方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .故选C.]4．已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．3 B ．4 C ．6D ．8C [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝16，又p ＝4，所以x 1＋x 2＝12，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝6.]5．(2019·龙岩模拟)若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．5A [由|AB |＝42及AB ⊥x 轴，不妨设点A 的纵坐标为22，代入y 2＝4x 得点A 的横坐标为2，从而直线AB 的方程为x ＝2.又y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB 的距离为2－1＝1，故选A.]二、填空题6．若抛物线x 2＝4y 上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到x 轴的距离是________．9 [根据题意，抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，点A 到准线的距离为10，故点A 到x 轴的距离是9.] 7．已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则△AOB 的边长是________． 63 [如图，设△AOB 的边长为a ，则A ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，∵点A 在抛物线y 2＝3x 上，∴14a 2＝3×32a ，∴a ＝6 3.] 8．直线y ＝k (x －1)与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，若|AB |＝163，则k ＝________. ±3 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线AB 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163，所以x 1＋x 2＝103.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x －1得到k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝103，所以k ＝±3.] 三、解答题9．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A (2，y 0)，且点A 到其准线的距离为4. (1)求抛物线的方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线交于两个不同的点P ，Q ，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值． [解](1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A (2，y 0)，且点A 到准线的距离为4， ∴2＋p2＝4，∴p ＝4，∴抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x 得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝8，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝8m . ∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0， ∴m ＝0或m ＝－8.经检验，当m ＝0时，直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合，不符合题意． 当m ＝－8时，Δ＝(－24)2－4×64＞0，符合题意． 综上，实数m 的值为－8.10．如图，已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为∠AGB 的平分线． [解](1)由抛物线定义可得|AF |＝2＋p2＝3，解得p ＝2.∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：∵点A (2，m )在抛物线E 上，∴m 2＝4×2，解得m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)，由A (2,22)，F (1,0)， ∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝22x －1，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或12，∴B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，∴k GA ＝223，k GB ＝－223，∴k GA ＋k GB ＝0，∴∠AGF ＝∠BGF . ∴GF 为∠AGB 的平分线．1．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线方程为x ＝－2，过点F 的直线与抛物线C 交于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，若|MN |＝8，则y 21＋y 22＝( ) A ．16 B ．32 C ．24D ．48B [由准线方程为x ＝－2，可知p ＝4，则抛物线C 的方程为y 2＝8x .由抛物线的定义可知，|MN |＝|MF |＋|NF |＝x 1＋x 2＋4＝8，则x 1＋x 2＝4，即y 218＋y 228＝4，故y 21＋y 22＝32.故选B.] 2．(2019·大庆模拟)已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点R (2,1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点．若|F A |＋|FB |＝5，则直线l 的斜率为( )A ．3B ．1C ．2D.12B [由于R (2,1)为AB 中点，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．根据抛物线的定义|F A |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ＝2×2＋p ＝5，解得p ＝1，抛物线方程为y 2＝2x .y 2A ＝2x A ，y 2B ＝2x B，两式相减并化简得y B－y A x B －x A ＝2y A ＋y B ＝22×1＝1，即直线l 的斜率为1.故选B.]3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为________．－22 [∵双曲线x 23－y 2＝1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为y 2＝8x .∵|AF |＝3，∴x A ＋2＝3，得x A ＝1，代入抛物线方程可得y A ＝±2 2.∵点A 在第一象限，∴A (1,22)，∴直线AF 的斜率为221－2＝－2 2.]4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．[解](1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x . (2)∵点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又∵F (1,0)，∴k F A ＝43，∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34.∴F A 的方程为y ＝43(x －1)，① MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，∴点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.1．已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223D [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＞0，解得－1＜k ＜1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．x 1＋x 2＝8k 2－4.① x 1x 2＝4.② 根据抛物线的定义及|F A |＝2|FB |，得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2x 2＋2，③且x 1＞0，x 2＞0，由②③解得x 1＝4，x 2＝1，代入①得k 2＝89，k ＞0，∴k ＝223.故选D.]2．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程； (2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N . 证明：直线AN 与抛物线相切． [解](1)∵AB ∥l ，∴|FD |＝p ，|AB |＝2p . ∴S △ABD ＝p 2，∴p ＝1， 故抛物线C 的方程为x 2＝2y . (2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py 得x 2－2kpx －p 2＝0. ∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. 其中A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p . ∴M ⎝⎛⎭⎫kp ，k 2p ＋p 2，N ⎝⎛⎭⎫kp ，－p 2. ∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p .又x 2＝2py ，∴y ′＝xp.∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p .∴直线AN 与抛物线相切．。
2021年高考数学一轮复习 8.8 曲线与方程课时作业 理(含解析)新人教A版
2021年高考数学一轮复习 8.8 曲线与方程课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．设动点P 在直线x －1＝0上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，则动点Q 的轨迹是( )A ．椭圆B ．两条平行直线C ．抛物线D ．双曲线解析：设Q (x ，y )，P (1，a )，a ∈R ，则有OP →·OQ →＝0，且|OP →|＝|OQ →|，∴⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1＋a 2，x ＋ay ＝0，消去a ，得x 2＋y 2＝1＋x 2y 2＝x 2＋y 2y2.∵x 2＋y 2≠0，∴y ＝±1.即动点Q 的轨迹为两条平行直线y ＝±1. 答案：B2．如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：由条件知|PM |＝|PF |.∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O 、F 为焦点的椭圆． 答案：A3．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是( )解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0，或x ＋y ＋1＝0.它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．答案：C4．(xx·东北三校高三第二次联合模拟考试)已知圆M 过定点(2,0)且圆心M 在抛物线y 2＝4x 上运动，若y 轴截圆M 所得弦为AB ，则弦长|AB |等于( )A ．4B ．3C ．2D ．与点M 位置有关的值解析：设M坐标为(x0，y0)，圆的半径r2＝(x0－2)2＋y20＝x20－4x0＋4＋4x0＝x20＋4，圆心到y 轴的距离为x0(如图)，|AB|＝2r2－x20＝24＝4，选A.答案：A5．(xx·江西省高三联考)如图，单位圆O上有一动直径AB，其中点A以速度π沿圆周逆时针运动，同时动直径AB上有一动点P以速度2从A出发沿AB往返运动．则点P的轨迹是( )解析：当运动12秒时，如图(1) 当运动1秒时，如图(2)所以点P 的轨迹是答案：A 二、填空题6．直线x a ＋y2－a ＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程________．解析：设直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点为A (a,0)，B (0,2－a )，A ，B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)7．平面上有三点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________．解析：AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2.∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，得2·x －y 2·y2＝0.得y 2＝8x . 答案：y 2＝8x8．已知真命题：若A为⊙O内一定点，B为⊙O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点P，则点P的轨迹是以O，A为焦点，OB长为长轴长的椭圆．类比此命题，写出另一个真命题：若A为⊙O外一定点，B为⊙O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB 于点P，则点P的轨迹是__________________．解析：如图，连接AP，由于P是线段AB垂直平分线上一点，故有|PA|＝|PB|，因此||PA|－|PO||＝||PB|－|PO||＝|OB|＝R＝定值，其中R为⊙O的半径 .又由于点A在圆外，故||PA|－|PO||＝|OB|＝R<|OA|，故动点P的轨迹是以O，A为焦点，OB为实轴长的双曲线．答案：以O，A为焦点，OB为实轴长的双曲线三、解答题9．已知椭圆C：x216＋y29＝1和点P(1,2)，直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程．解：设弦中点为M(x，y)，交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线．∴(y2－y1)(x－1)＝(x2－x1)(y－2)，①由x2116＋y219＝1，x2216＋y229＝1两式相减得x1－x2x1＋x216＋y1－y2y1＋y29＝0.又x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，∴2x x1－x216＝－2y y1－y29，②由①②可得：9x 2＋16y 2－9x －32y ＝0，③当点M 与点P 重合时，点M 坐标为(1,2)适合方程③， ∴弦中点的轨迹方程为：9x 2＋16y 2－9x －32y ＝0.10．(xx·襄阳调研统一测试节选)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为2 6.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左焦点为F 1，右焦点为F 2，直线l 1过点F 1且垂直于椭圆的长轴，动直线l 2垂直l 1于点P ，线段PF 2的垂直平分线交l 2于点M ，求点M 的轨迹C 2的方程．解：(1)由e ＝33，得a 2＝3c 2，又c 2＝a 2－b 2，解得a ＝62b ① 由题意可知12·2a ·2b ＝26，即ab ＝6，②由①②得：a ＝3，b ＝2， 所以椭圆C 1的方程是x 23＋y 22＝1.(2)∵点M 在线段PF 2的垂直平分线上，∴|MP |＝|MF 2|，故动点M 到定直线l 1：x ＝－1的距离等于它到定点F 2(1,0)的距离， 因此动点M 的轨迹C 2是以l 1为准线，F 2为焦点的抛物线， 所以点M 的轨迹C 2的方程为y 2＝4x .11．(xx·江西省高三联考)过动点M (x ，y )引直线l ：y ＝－1的垂线，垂足为A ，O 是原点，直线MO 与l 交于点B ，以AB 为直径的圆恒过点F (0,1)．(1)求动点M 的轨迹C 的方程．(2)一个具有标准方程的椭圆E 与(1)中的曲线C 在第一象限的交点为Q ，椭圆E 与曲线C 在点Q 处的切线互相垂直且椭圆E 在Q 处的切线被曲线C 所截得的弦的中点横坐标为－2，求椭圆E 的方程．解：(1)设M (x ，y )，则A (x ，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，－1，又F (0,1)．由FA →·FB →＝0. 得x 2＝4y (x ≠0)(2)设Q (x 0，y 0)，所求椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0，a ≠b )，则过点Q 的曲线C的切线方程为x 0x －2y －2y 0＝0，E 的切线方程为b 2x 0x ＋a 2y 0y ＝a 2b 2，由(x 0，－2)·(b 2x 0，a 2y 0)＝0，而x 20＝4y 0≠0，得a 2＝2b 2， 将b 2x 0x ＋a 2y 0y ＝a 2b 2代入x 2＝4y 得y 0x 2＋2x 0x －4b 2＝0， 得x 1＋x 2＝－2x 0y 0＝－22，得x 0＝2y 0，结合x 20＝4y 0得x 0＝22，y 0＝2，代入椭圆方程得b 2＝8，故所求椭圆方程为x 216＋y 28＝1.12．(xx·云南昆明高三检测)如图，已知抛物线P ：y 2＝x ，直线AB 与抛物线P 交于A ，B 两点，OA ⊥OB ，OA →＋OB →＝OC →，OC 与AB 交于点M .(1)求点M 的轨迹方程；(2)求四边形AOBC 的面积的最小值． 解：(1)设M (x ，y )，A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)， ∵OA →＋OB →＝OC →， ∴M 是线段AB 的中点． ∴x ＝y 21＋y 222＝y 1＋y 22－2y 1y 22，①y ＝y 1＋y 22.②∵OA ⊥OB ，∴OA →·OB →＝0.∴y 21y 22＋y 1y 2＝0. 依题意知y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－1.③把②、③代入①得：x ＝4y 2＋22，即y 2＝12(x －1)．∴点M 的轨迹方程为y 2＝12(x －1)．(2)依题意得四边形AOBC 是矩形， ∴四边形AOBC 的面积为 S ＝|OA →||OB →|＝y 212＋y 21·y 222＋y 22＝y 21＋1y 22＋1y 1y 22＝y 21y 22＋y 21＋y 22＋1 ＝2＋y 21＋y 22.∵y 21＋y 22≥2|y 1y 2|＝2，当且仅当|y 1|＝|y 2|时，等号成立， ∴S ≥2＋2＝2.∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. [热点预测]13．(xx·内江市第二次模拟)已知动圆P 过定点F (0，－2)，且与直线l 相切，椭圆N 的对称轴为坐标轴，一个焦点是F ，点A (1，2)在椭圆N 上．(1)求动圆圆心P 的轨迹M 的方程和椭圆N 的方程；(2)已知与轨迹M 在x ＝－4处的切线平行的直线与椭圆N 交于B 、C 两点，试探求使△ABC 面积等于32的直线l 是否存在？若存在，请求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知：点P 到定点F (0，－2)和直线y ＝2的距离相等，故P 的轨迹M 是以F 为焦点，y ＝2为准线的抛物线．∴p2＝2，∴p ＝2 2∴轨迹M 的方程为：x 2＝－42y又由题意：可设椭圆方程为：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)∴2a ＝1－02＋2＋22＋1－02＋2－22＝4∴a ＝2，又c ＝2，∴b ＝2，∴椭圆N 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)不存在满足条件的直线l . 理由如下：若存在这样的直线l ，∵轨迹M 为抛物线x 2＝－42y ，它在x ＝－4处的切线斜率为k ＝ 2. 故可设l 的方程为：y ＝2x ＋m ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m y 24＋x 22＝1消去y 整理得，4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0∴Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，∴m 2<8且m ≠0，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44，由两点间的距离公式可求得|BC |＝ 3 4－12m 2又点A 到l 距离d ＝|m |3，∴12· 34－12m 2·|m |3＝32∴m 4－8m 2＋18＝0，显然此方程无解，即m 不存在，故这样的直线l 不存在．39915 9BEB 鯫24987 619B 憛b23032 59F8 姸•22139 567B 噻37767 9387 鎇 _27135 69FF 槿%26242 6682 暂34195 8593 薓。
2021年高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分53双曲线
2021年高考数学理新课标A 版一轮总复习开卷速查必修部分53双曲线1．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D ．9解析：由渐近线方程3x －2y ＝0，知b a ＝32.又b 2＝9，所以a ＝2，从而|PF 2|＝7，故选C.答案：C2．与椭圆C ：y 216＋x 212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1B ．y 2－2x 2＝1C.y 22－x 22＝1 D.y 23－x 2＝1 解析：椭圆y 216＋x 212＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为y 2m －x 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧3m －1n ＝1，m ＋n ＝4，解得m ＝n ＝2，故选C.答案：C3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与圆x 2＋y 2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为( )A.x 25－y 220＝1 B ．x 225－y 220＝1 C.x 220－y 25＝1D.x 220－y 225＝1解析：由题意知圆心坐标为(5,0)，即c ＝5，又e ＝ca ＝5，∴a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：A4．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c (其中c 为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为( )A.32 B ．52 C.352D.52解析：不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0.则焦点到渐近线的距离为|bc |b 2＋a 2＝53c ，即b ＝53c ，从而b 2＝59c 2＝c 2－a 2，所以49c 2＝a 2，即e 2＝94，所以离心率e ＝32.答案：A5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ， 则由题意得ba ＞2. ∴e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＞1＋4＝ 5.答案：C6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1 B ．x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1D.x 24－y 23＝1解析：依题意可知双曲线的一条渐近线方程为y ＝43x ，c ＝5，而双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝43因此，a ＝3，b ＝4.答案：C7．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆y 2n －x 2m ＝1的焦距等于4，则n ＝__________.解析：因为双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y 轴，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1，所以椭圆方程为y 2n ＋x 2＝1，且n ＞0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．答案：58．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为__________．解析：由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5， 所以|PQ |＝4b ＝16＞2a ， 又因为A (5,0)在线段PQ 上，所以P ，Q 在双曲线的一支上，且PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知：⎩⎨⎧|PF |－|P A |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6.所以|PF |＋|QF |＝28.即△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44. 答案：449．已知点F 、A 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则双曲线的离心率为__________．解析：依题意得F (－c,0)，A (a,0)，又B (0，b )，则FB→＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．由FB →·AB →＝0，得b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，c 2－a 2ac ＝1，即e －1e ＝1，e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52.又e ＞1，所以e ＝1＋52，即双曲线的离心率等于1＋52.答案：1＋5210．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)． (1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程； (2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解析：(1)∵双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，∴a ＝b . ∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4. ∴a 2＝b 2＝2.∴双曲线方程为x 22－y 22＝1. (2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)， ∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1.∴x 0＝3y 0.①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2， 将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c .∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，12c .代入双曲线方程得34c 2a 2－14c2b 2＝1， 即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0， ∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0，∵e ＞1，∴e ＝2，∴双曲线的离心率为 2.B 级 能力提升练11．直线y ＝3x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)左右两支分别交于M 、N 两点，F 是双曲线C 的右焦点，O 是坐标原点，若|FO |＝|MO |，则双曲线的离心率等于( )A.3＋ 2 B ．3＋1 C.2＋1D ．2 2解析：由题意知|MO |＝|NO |＝|FO |，∴△MFN 为直角三角形，且∠MFN ＝90°，取左焦点为F 0，连接NF 0，MF 0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF 0为平行四边形．又∵∠MFN ＝90°，∴四边形NFMF 0为矩形，∴|MN |＝|F 0F |＝2c ，又∵直线MN 的倾斜角为60°，即∠NOF ＝60°， ∴∠NMF ＝30°，∴|NF |＝|MF 0|＝c ，|MF |＝3c ， 由双曲线定义知|MF |－|MF 0|＝3c －c ＝2a ， ∴e ＝ca ＝3＋1. 答案：B12．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，2)C ．(3，2)D ．(2,3)解析：由题意知，△ABE 为等腰三角形．若△ABE 是锐角三角形，则只需要∠AEB 为锐角．根据对称性，只要∠AEF ＜π4即可．直线AB 的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a 2，取点A ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |＜|EF |就能使∠AEF ＜π4，即b 2a ＜a ＋c ，即b 2＜a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2＜0，即e 2－e －2＜0，即－1＜e ＜2.又e ＞1，故1＜e ＜2.答案：A13．如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .(1)求双曲线的离心率e ；(2)求菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2.解析：(1)由△B 2OF 2的面积可得a b 2＋c 2＝bc ，∴a 4－3a 2c 2＋c 4＝0.∴e 4－3e 2＋1＝0，∴e 2＝3＋52.∴e ＝1＋52.(2)设∠B 2F 1O ＝θ，则sin θ＝b b 2＋c2，cos θ＝cb 2＋c2，S 1S 2＝2bc 4a 2sin θcos θ＝2bc 4a 2bc b 2＋c2＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52.14．直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B .(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解析：(1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0.①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝(2k )2－8(k 2－2)>0，－2k k 2－2>0，2k 2－2>0.解得k 的取值范围是－2<k <－ 2.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k 2－k2，x 1·x 2＝2k 2－2.②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0)．则由F A ⊥FB 得：(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0. 即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0. 整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③ 把②式及c ＝62代入③式化简得 5k 2＋26k －6＝0.解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)，可知存在k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．32163 7DA3 綣<726190 664E 晎37521 9291 銑r39669 9AF5 髵527529 6B89 殉>S23680 5C80 岀 25297 62D1 拑}。
高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第53讲 曲线与方程实战演练 理(2021年最新整理)
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练理1．(2017·湖南模拟）曲线C是平面内与两个定点F1（－1,0)和F2（1,0)的距离的积等于常数a2（a〉1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于错误!a2。
其中,所有正确结论的序号是②③。
解析：设动点M(x,y）到两定点F1，F2的距离的积等于a2，得曲线C的方程为错误!·错误!＝a2.∵a＞1，故原点坐标不满足曲线C的方程，故①错误．以－x，－y分别代替曲线C的方程中的x，y，其方程不变，故曲线C关于原点对称,即②正确．S△F1PF2＝错误!|PF1|×｜PF2｜×sin ∠F1PF2＝错误!a2·sin∠F1PF2≤错误!a2，故③正确．2．(2016·全国卷Ⅲ）已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P,Q两点．（1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．解析：由题设知F错误!。
设l1：y＝a,l2：y＝b，则ab≠0,且A错误!,B错误!，P错误!，Q错误!，R错误!。
记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b）y＋ab＝0.(1）由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2，则k＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝－b＝k2.1所以AR∥FQ。
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题53 曲线与方程(解析版)
考点53 曲线与方程1．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学理）P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为（ ） A ．1325B ．35C ．1225πD ．35π【答案】B 【解析】设()00,Q x y ,中点M(x, y),则()002,2P x x y y --代入229x y +=，得()()2200229x x y y -+-=，化简得：22009224x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又220025x y +=表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以32为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有222(14)x y r r +=剟， 那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为1615325255πππ-==，故选B.2．（江西省宜春市2019届高三4月模拟考试数学理）已知点是单位正方体的对角面上的一动点，过点作垂直于平面的直线，与正方体的侧面相交于、两点，则的面积的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：由题意知，MN⊥平面BB1D1D，其轨迹经过B，D1和侧棱AA1，CC1的中点E，F，如图，设正方体中心为O1,当P点在线段BO1上运动时，MN随BP的增大而线性增大，所以△BMN的面积表达式应是开口向上的二次函数图像递增的一部分; 当P点在线段D1O1上运动时, MN随D1P的增大而线性减小，所以△BMN的面积表达式应是开口向下的二次函数图像递减的一部分.所以当MN与EF重合时，△BMN 的面积取最大值，此时，BM＝BN，MN，S△BMN．故选：A．3．（安徽省芜湖市2019届高三5月模拟考试数学理）在直角坐标平面内，已知，以及动点是的三个顶点，且，则动点的轨迹曲线的离心率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵sinAsinB-2cosC=0，∴sinAsinB=2cosC=-2cos（A+B）=-2(cosAcosB-sinAsinB)，∴sinAsinB=2cosAcosB ，即tanAtanB=2，∴，设C （x ，y ），又A （﹣2，0），B （2，0）， 所以有，整理得，∴离心率是故选A ．4．（2019届湘赣十四校高三联考第二次考试理）已知正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 为AD 的中点，P 为正方形1111D C B A 内的一个动点（含边界），且PE ≤则111P A P B P C ++的最小值为（ ）A 1B 3CD 1+【答案】B 【解析】设11A D 的中点为F ，连接EF 、PF ，则在EFP ∆中，EF FP ⊥，222EP EF FP =+，∴21FP ≤. ∴P 是以F 为圆心，以1为半径的圆面（位于正方形1111A B C D 内）.以1A 为原点建系如图所示，则()10,0A ，()12,0B ，()()12,2,F 0,1C ，设P 的坐标为(),x y ，则()()()111,,2,,2,2PA x y PB x y PC x y =--=--=--,()111 43,23y PA PB PC x ++=--.(1114PA PB PC ++==设Q 点的坐标为42,33⎛⎫⎪⎝⎭，则()111331PA PB PC PQ QF ++=≥- 3=.故选：B5．（湖南师大附中2019届高三月考试题（七)数学理）已知动圆C 经过点()A 2,0，且截y 轴所得的弦长为4，则圆心C 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线【答案】D 【解析】设圆心C （x ，y ），弦为BD ，过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为E ，则|BE |＝2，∴|CA |2＝|CB |2＝|CE |2+|BE |2，∴（x ﹣2）2+y 2＝22+x 2，化为y 2＝4x ．故选D ．6．（安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试数学理）在平面直角坐标系中，设点(),P x y ，定义[]OP x y =+，其中O 为坐标原点，对于下列结论：()1符合[]2OP =的点P 的轨迹围成的图形面积为8； ()2设点P 220y +-=上任意一点，则[]1min OP =；()3设点P 是直线：()1y kx k R =+∈上任意一点，则使得“[]OP 最小的点有无数个”的充要条件是1k =；()4设点P 是椭圆2219x y +=上任意一点，则[]max OP ．其中正确的结论序号为( ) A ．()()()123 B ．()()()134C ．()()()234D ．()()()124【答案】D 【解析】()1由[]2OP =，根据新定义得：2x y +=，由方程表示的图形关于,x y 轴对称和原点对称，且()202,02x y x y +=≤≤≤≤，画出图象如图所示：四边形ABCD 为边长是8，故()1正确；()()2,P x y 220y +-=上任一点，可得12y x =-，可得1x y x x +=+，当0x ≤时，[]111OP x ⎛=-≥ ⎝⎭；当0x <<时，[]11OP x ⎛⎛=+∈ ⎝⎝⎭；当x ≥时，可得[]11OP x ⎛=-+≥ ⎝⎭，综上可得[]OP 的最小值为1，故()2正确； ()()311x y x y k x +≥+=++，当1k =-时，11x y +≥=，满足题意；而()11x y x y k x +≥-=--，当1k =时，11x y +≥-=，满足题意，即1k =±都能 “使[]OP 最小的点P 有无数个”，()3不正确；()4点P 是椭圆2219x y +=上任意一点，因为求最大值，所以可设3cos x θ=，sin y θ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]()3cos sin OP x y θθθϕ=+=+=+，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]max OP ∴=()4正确．则正确的结论有：()1、()2、()4，故选D ．7．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P为11A D 的中点，1AD =，1AA =Q 为正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且满足QC =，则线段BQ 的长度的最大值是________. 【答案】6 【解析】在正方形ABCD 所在平面内建立平面直角坐标系，设(,)Q x y ，则有2223(1)PQ x y =++-，222(2)(2)QC x y =-+-，因为QC =，所以2222(2)(2)622(1)x y x y -+-=++-，整理得22(2)4x y ++=，所以点Q 的轨迹是以(2,0)-为圆心，以2为半径的圆， 所以线段BQ 长度的最大值为2226⨯+=. 故答案为68．（北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模)数学理）已知平面内两个定点(3,0)M 和点(3,0)N -，P 是动点，且直线PM ,PN 的斜率乘积为常数(0)a a ≠，设点P 的轨迹为C .① 存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离之和为定值； ② 存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离之和为定值； ③ 不存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离差的绝对值为定值； ④ 不存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离差的绝对值为定值. 其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号） 【答案】②④ 【解析】设点P 的坐标为：P （x ，y ）， 依题意，有：33y ya x x ⨯=+-， 整理，得：22199x y a-=，对于①，点的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，且c ＝4，a ＜0，椭圆在x 轴上两顶点的距离为：6，焦点为：2×4＝8，不符； 对于②，点的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆，且c ＝4，椭圆方程为：22199y x a +=-，则9916a --=，解得：259a =-，符合；对于③，当79a =时，22197x y -=，所以，存在满足题意的实数a ，③错误；对于④，点的轨迹为焦点在y 轴上的双曲线，即22199y x a +=-，不可能成为焦点在y 轴上的双曲线， 所以，不存在满足题意的实数a ，正确. 所以，正确命题的序号是②④.9．（河北省石家庄市2019届高三毕业班模拟考试一A 卷理）在棱长为1的透明密闭的正方形容器1111ABCD A B C D -中，装有容器总体积一半的水（不计容器壁的厚度），将该正方体容器绕1BD 旋转，并始终保持1BD 所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为__________．【来源】科数学试题【解析】如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中， 点E 在11A B 上，点F 在CD 上，满足1A E CF =， 则原问题等价于求解四边形1BFD E 的最大值.作1EG BD ⊥于点G ，当EG 最大时，四边形1BFD E 有最大值.建立如图所示的空间直角坐标系， 设()(),0,101E m m ≤≤，设(),,G x y z ， 由于()()11,0,0,0,1,1B D ，由1BG BD λ=可得：()()1,,1,1,1x y z λ-=-，则：1x y z λλλ=-+⎧⎪=⎨⎪=⎩，故()1,,G λλλ-+,故：()()11,,1,1,1,1GE m BD λλλ=+---=-，由1110GE BD m λλλ⋅=--+-+-=可得：21,133m mλλ-+=-=. 故：GE m ⎛=13= 结合二次函数的性质可知：当0m =或1m =时，GE取得最大值，此时S 取得最大值，最大值为：11max BDD B S S =.10．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第三次测评理）三角形ABC ∆中，2AB =且2AC BC =，则三角形ABC 面积的最大值为__________．【答案】43【解析】设()()()1,0,1,0,,A B C x y -，则由2AC BC==化简得2251639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 所以C 点轨迹为以5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭圆心，以43为半径的圆， 所以ABC S ∆最大值为1442233⨯⨯=， 所以三角形ABC 面积的最大值为43.11．（2019届毕业班四省联考第二次诊断性考试理）在平面上给定相异两点A,B ，设P 点在同一平面上且满足，当λ＞0且λ≠1时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗斯圆，现有椭圆,A,B 为椭圆的长轴端点，C,D 为椭圆的短轴端点，动点P 满足，△P AB 面积最大值为,△PCD 面积最小值为，则椭圆离心率为______。
2021届高考数学一轮温习 曲线与方程跟踪检测 理（含解析）新人教A版(1)
课时跟踪检测(五十八) 曲线与方程第Ⅰ组：全员必做题1. 长为3的线段AB 的端点A ，B 别离在x 轴，y 轴上移动，AC ＝2CB ，那么点C 的轨迹是( )A ．线段B ．圆C ．椭圆D ．双曲线2. 已知定点A (2,0)，它与抛物线y 2＝x 上的动点P 连线的中点M 的轨迹方程为( )A ．y 2＝2(x －1)B ．y 2＝4(x －1)C ．y 2＝x －1D ．y 2＝12(x －1) 3．(2021·长春模拟) 设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1，0)是圆内必然点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，那么M 的轨迹方程为( )－4y 225＝1 ＋4y 225＝1 －4y 221＝1 ＋4y 221＝1 4．(2021·银川模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，那么Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝05．(2021·焦作模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，那么P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝26．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，假设抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，那么抛物线的核心轨迹方程是____________．7．△ABC 的极点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，那么极点C 的轨迹方程是________________．8．(2021·武汉调研)动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，那么动点P 的轨迹方程为________．9．(2021·大连模拟) 设A ，B 别离是直线y ＝22x 和y ＝－22x 上的动点，且|AB |＝2，设O 为坐标原点，动点P 知足OP ＝OA ＋OB .(1)求点P 的轨迹方程；(2)过点(3，0)作两条相互垂直的直线l 1，l 2，直线l 1，l 2与点P 的轨迹的相交弦别离为CD ，EF ，设CD ，EF 的弦中点别离为M ，N ，求证：直线MN 恒过一个定点．10. (2021·广州模拟)如图，已知抛物线P ：y 2＝x ，直线AB 与抛物线P 交于A ，B 两点，OA ⊥OB ，OA ＋OB ＝OC ，OC 与AB 交于点M .(1)求点M 的轨迹方程；(2)求四边形AOBC 的面积的最小值．第Ⅱ组：重点选做题1．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线2．(2021·余姚模拟)已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．假设过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，那么点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选C 设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，那么a 2＋b 2＝9①又AC ＝2CB ，因此(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3x ，b ＝32y ，②代入①式整理可得：x 2＋y 24＝1. 2．选D 设P (x 0，y 0)，M (x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋22，y ＝y 02.因此⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y .由于y 20＝x 0，因此4y 2＝2x －2.即y 2＝12(x －1)．3．选D ∵M 为AQ 垂直平分线上一点，那么|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆．∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214， ∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 221＝1. 4．选D 设Q (x ，y )，那么P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.5.选D 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，那么MA⊥PA ，且|MA |＝1，又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2，即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.6．解析：设抛物线核心为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，那么|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线概念得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |，∴|FA |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为核心，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两头点)． 答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)7．解析：如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，因此|CA |－|CB |＝8－2＝6.依照双曲线概念，所求轨迹是以A ，B 为核心，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)． 答案：x 29－y 216＝1(x ＞3) 8．解析：由抛物线概念知点P 的轨迹是以F (2,0)为核心的抛物线，设抛物线的方程为y 2＝2px ，从而可知p ＝4，因此动点P 的轨迹方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x9．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，∵OP ＝OA ＋OB ，∴x ＝x 1＋x 2，y ＝y 1＋y 2，∵y 1＝22x 1，y 2＝－22x 2，∴x ＝x 1＋x 2＝2(y 1－y 2)，y ＝y 1＋y 2＝22(x 1－x 2)． ∵|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝2，∴12x 2＋2y 2＝2， ∴点P 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，直线l 1的方程为x －3＝ky . 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝ky ，x 24＋y 2＝1得(k 2＋4)y 2＋23ky －1＝0，∴y 1＋y 2＝－23k k 2＋4，x 1＋x 2＝83k 2＋4.∴M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43k 2＋4，－3k k 2＋4， 同理可得N 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43k 24k 2＋1，3k 4k 2＋1. ∴直线MN 的斜率k MN ＝3k 4k 2＋1＋3k k 2＋443k 24k 2＋1－43k 2＋4＝5k 4k 2－1.∴直线MN 的方程为y ＋3k k 2＋4＝5k 4k 2－1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －43k 2＋4. 整理化简得4k 4y ＋(43－5x )k 3＋12k 2y －16y ＋(－20x ＋163)k ＝0， ∴x ＝435，y ＝0， ∴直线MN 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫435，0. 10．解：(1)设M (x ，y )，A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，∵OA ＋OB ＝OC ，∴M 是线段AB 的中点．∴x ＝y 21＋y 222＝y 1＋y 22－2y 1y 22，①y ＝y 1＋y 22.② ∵OA ⊥OB ，∴OA ·OB ＝0.∴y 21y 22＋y 1y 2＝0.依题意知y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－1.③把②、③代入①得：x ＝4y 2＋22， 即y 2＝12(x －1)． ∴点M 的轨迹方程为y 2＝12(x －1)． (2)依题意得四边形AOBC 是矩形，∴四边形AOBC 的面积为S ＝|OA ||OB |＝y 212＋y 21·y 222＋y 22 ＝y 21＋1y 22＋1y 1y 22＝y21y22＋y21＋y22＋1＝2＋y21＋y22.∵y 21＋y 22≥2|y 1y 2|＝2，当且仅当|y 1|＝|y 2|时，等号成立，∴S ≥2＋2＝2.∴四边形AOBC 的面积的最小值为2.第Ⅱ组：重点选做题1．选D 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．2．选D 由已知得|MF |＝|MB |.由抛物线概念知，点M 的轨迹是以F 为核心，l 为准线的抛物线，应选D.。
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高考数学一轮复习：
课时作业53 曲线与方程
[基础达标]
一、选择题
1．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )
A ．2x ＋y ＋1＝0
B ．2x －y －5＝0
C ．2x －y －1＝0
D ．2x －y ＋5＝0
解析：由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.
答案：D
2．方程|x |－1＝1－y －1
2
所表示的曲线是( )
A ．一个圆
B ．两个圆
C ．半个圆
D ．两个半圆
解析：由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
|x |－12
＋
y －1
2
＝1，
|x |－1≥0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －1
2
＋y －1
2
＝1，
x ≥1
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋12
＋y －1
2
＝1，
x ≤－1.
故原方程表示两个半圆． 答案：D
3．设点A 为圆(x －1)2
＋y 2
＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )
A ．y 2
＝2x B ．(x －1)2
＋y 2
＝4 C ．y 2
＝－2x D ．(x －1)2
＋y 2
＝2
解析：如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1. 又∵|PA |＝1，
∴|PM |＝|MA |2
＋|PA |2
＝2， 即|PM |2
＝2，∴(x －1)2
＋y 2
＝2. 答案：D
4．[2020·珠海模拟]已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →
＝AP →
，则点P 的轨迹方程为( )
A ．y ＝－2x
B ．y ＝2x
C ．y ＝2x －8
D ．y ＝2x ＋4
解析：设P (x ，y )，R (x 1
，y 1
)，由RA →＝AP →
知，点A 是线段RP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋x
1
2＝1，y ＋y
1
2＝0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＝2－x ，
y 1＝－y .
∵点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上，
∴y 1＝2x 1－4，∴－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x . 答案：B
5．[2020·福建八校联考]已知圆M ：(x ＋5)2
＋y 2
＝36，定点N (5，0)，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在线段MP 上，且满足NP →＝2NQ →，GQ →·NP →
＝0，则点G 的轨迹方程是( )
A.x 29＋y 24＝1
B.x 236＋y 231＝1
C.x 29－y 2
4＝1 D.x 2
36－y 2
31
＝1 解析：由NP →＝2NQ →，GQ →·NP →
＝0知GQ 所在直线是线段NP 的垂直平分线，连接GN ， ∴|GN |＝|GP |，∴|GM |＋|GN |＝|MP |＝6>25，∴点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其中2a ＝6,2c ＝25，∴b 2
＝4，∴点G 的轨迹方程为x 29＋y 2
4
＝1，故选A.
答案：A 二、填空题
6．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
2，0(a ＞0)，且满足条件sin
C －sin B ＝12
sin A ，则动点A 的轨迹方程是________．
解析：由正弦定理得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |
2R ，
即|AB |－|AC |＝1
2
|BC |，
故动点A 是以B ，C 为焦点，a
2为实轴长的双曲线右支．
即动点A 的轨迹方程为16x 2
a 2－16y
2
3a 2＝1(x ＞0且y ≠0)．
答案：16x 2
a 2－16y
2
3a
2＝1(x ＞0且y ≠0)
7．[2020·河南开封模拟]如图，已知圆E ：(x ＋3)2
＋y 2
＝16，点F (3，0)，P 是圆
E 上任意一点．线段P
F 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .则动点Q 的轨迹Γ的方程为
________________．
解析：连接QF ，因为Q 在线段PF 的垂直平分线上，所以|QP |＝|QF |，得|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝4.
又|EF |＝23＜4，得Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆，则方程为x 2
4＋y
2
＝1.
答案：x 2
4
＋y 2
＝1
8．[2020·江西九江联考]设F (1,0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →
，当点P 在y 轴上运动时，则点N 的轨迹方程为________．
解析：设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )，由MN →＝2MP →，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0，即⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 0＝－x ，y 0＝1
2y ，因为PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →
＝(1，－y 0)，所以(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，所以x 0＋
y 20＝0，即－x ＋1
4
y 2＝0，所以点N 的轨迹方程为y 2
＝4x .
答案：y 2
＝4x 三、解答题
9．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线
AP与BP的斜率之积等于－1
3
.求动点
P的轨迹方程．
解析：因为点B与点A(－1,1)关于原点O对称．
所以点B的坐标为(1，－1)．
设点P的坐标为(x，y)，由题设知直线AP与BP的斜率存在且均不为零，则
y－1
x＋1
·
y＋1
x－1＝－
1
3
，
化简得x2＋3y2＝4(x≠±1)．
故动点P的轨迹方程为
x2
4
＋
y2
4
3
＝1(x≠±1)．
10．如图所示，已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与点B(2,0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程．
(1)△PAB的周长为10；
(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)；
(3)圆P与圆A外切，且与直线x＝1相切(P为动圆圆心)．
解析：(1)根据题意，知|PA|＋|PB|＋|AB|＝10，即|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故P点轨迹是椭圆，且2a＝6,2c＝4，即a＝3，c＝2，b＝ 5.
因此其轨迹方程为
x2
9
＋
y2
5
＝1(y≠0)．
(2)设圆P的半径为r，则|PA|＝r＋1，|PB|＝r，
因此|PA|－|PB|＝1.
由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a＝1,2c＝4，即a＝
1
2
，c＝2，b ＝
15
2
，因此其轨迹方程为4x2－
4
15
y2＝1
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
x≥
1
2
.
(3)依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p＝4.
因此其轨迹方程为y2＝－8x.
[能力挑战]
11．已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1：x －y －22＝0相切． (1)求圆的标准方程；
(2)设点A 为圆上一动点，AN ⊥x 轴于点N ，若动点Q 满足OQ →＝mOA →＋(1－m )ON →
(其中m 为非零常数)，试求动点Q 的轨迹方程．
解析：(1)设圆的半径为r, 圆心到直线l 1的距离为d ，则d ＝|－22|
12＋12
＝2. 因为r ＝d ＝2，圆心为坐标原点O ，所以圆C 1的方程为x 2
＋y 2
＝4. (2)设动点Q (x ，y )，A (x 0，y 0)， ∵AN ⊥x 轴于点N ，∴N (x 0,0)，
由题意知，(x ，y )＝m (x 0，y 0)＋(1－m )·(x 0,0)，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0，y ＝my 0，即⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 0＝x ，y 0＝1
m y .
将点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ，1m y 代入圆C 1的方程x 2＋y 2
＝4，得动点Q 的轨迹方程为x 24＋y 2
4m 2＝1.。