2017年《高等几何》教学课件
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高等几何5.1节
a11 a21 a12 a22
0.
注：上面的推导即求解教材习题5.1.
12
云南师范大学
5.1 一维射影坐标系
三、射影坐标的特例
1.仿射坐标
取A1为直线上的无穷远点P，取A2为原点O，则
( A1 A2 , EP) ( P A2 , EP)
( PE , A2 P ) ( PEA2 ) A2 P OP A2 E OE
kx kx2 x x1
k 1
kx2 x
0
8
云南师范大学
5.1 一维射影坐标系
二、笛氏坐标与射影坐标的转换
kx kx2 由 ， x x1
k 1 kx2 x 0
知，同一点的笛氏坐标x和射影坐标λ 之间有一个 行列式不为0的双一次关系式,因此，它们之间的 关系是射影对应（见3.4节）即有： x . 于是由定理3.1知，四点的交比既等于它们笛氏坐 标的交比，也等于它们射影坐标的交比。
a2
p
a1 e
6
云南师范大学
5.1 一维射影坐标系
一、一维射影坐标系
2.线束的射影坐标系
说明: (1)设 0，则[u1 , u2 ]与[u1 , u2 ]代表同一线.
2 (0, 0)不代表任何线, u2 0与 相对应.
x1 sin(a1, e) sin(a2 , p) (3) (a1a2 , ep ) x2 sin(a1, p)sin(a2 , e)
4
云南师范大学
5.1 一维射影坐标系
一、一维射影坐标系 1.点列的射影坐标系 说明：
（1）对于任意的数 0，坐标( x1, x2 )和( x1, x2 )代表同一点;
0.
注：上面的推导即求解教材习题5.1.
12
云南师范大学
5.1 一维射影坐标系
三、射影坐标的特例
1.仿射坐标
取A1为直线上的无穷远点P，取A2为原点O，则
( A1 A2 , EP) ( P A2 , EP)
( PE , A2 P ) ( PEA2 ) A2 P OP A2 E OE
kx kx2 x x1
k 1
kx2 x
0
8
云南师范大学
5.1 一维射影坐标系
二、笛氏坐标与射影坐标的转换
kx kx2 由 ， x x1
k 1 kx2 x 0
知，同一点的笛氏坐标x和射影坐标λ 之间有一个 行列式不为0的双一次关系式,因此，它们之间的 关系是射影对应（见3.4节）即有： x . 于是由定理3.1知，四点的交比既等于它们笛氏坐 标的交比，也等于它们射影坐标的交比。
a2
p
a1 e
6
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5.1 一维射影坐标系
一、一维射影坐标系
2.线束的射影坐标系
说明: (1)设 0，则[u1 , u2 ]与[u1 , u2 ]代表同一线.
2 (0, 0)不代表任何线, u2 0与 相对应.
x1 sin(a1, e) sin(a2 , p) (3) (a1a2 , ep ) x2 sin(a1, p)sin(a2 , e)
4
云南师范大学
5.1 一维射影坐标系
一、一维射影坐标系 1.点列的射影坐标系 说明：
（1）对于任意的数 0，坐标( x1, x2 )和( x1, x2 )代表同一点;
大学高等几何课件
空间几何体的分类
多面体、旋转体、组合体等。
空间几何体的性质
体积、表面积、重心等。
平面几何与立体几何的关系
平面几何是立体几何的基础
01
立体几何中的许多概念和性质都可以从平面几何中推广而来。
空间几何体的投影
02
通过投影将三维空间中的几何体投影到二维平面上，从而将三
维问题转化为平面问题。
空间几何体的展开
数形结合的思想方法
数形结合
在高等几何中，数和形是密不可分的，通过数形结合可以将几何问 题转化为代数问题，或者将代数问题转化为几何问题。
代数方法
利用代数方法研究几何问题，如线性代数中的矩阵和向量等，可以 更深入地研究几何图形的性质和关系。
几何直观
通过几何直观来理解代数概念和性质，使得代数问题更加直观易懂。
05
CATALOGUE
高等几何中的数学思想与方法
抽象思维与具体表达的结合
1 2
抽象思维
高等几何中，点、线、面等基本元素不再是具体 的实物，而是通过抽象思维来定义和理解。
具体表达
高等几何中，通过几何图形、图像等方式将抽象 的数学概念具体化，便于理解和应用。
3
结合应用
抽象思维与具体表达的结合，使得高等几何能够 更深入地探索和研究几何学中的本质和规律。
差异性
然而，射影几何和仿射几何也存在差异性。例如，在射影空 间中，无穷远点是重要的元素，而在仿射空间中则不重要。 此外，射影变换通常会改变图形的形状和大小，而仿射变换 则不会。
04
CATALOGUE
欧式几何与非欧式几何
欧式几何的基本概念
欧式几何
基于平面的二维空间，研究点 、线、面及其性质和关系。
不同空间结构
多面体、旋转体、组合体等。
空间几何体的性质
体积、表面积、重心等。
平面几何与立体几何的关系
平面几何是立体几何的基础
01
立体几何中的许多概念和性质都可以从平面几何中推广而来。
空间几何体的投影
02
通过投影将三维空间中的几何体投影到二维平面上，从而将三
维问题转化为平面问题。
空间几何体的展开
数形结合的思想方法
数形结合
在高等几何中，数和形是密不可分的，通过数形结合可以将几何问 题转化为代数问题，或者将代数问题转化为几何问题。
代数方法
利用代数方法研究几何问题，如线性代数中的矩阵和向量等，可以 更深入地研究几何图形的性质和关系。
几何直观
通过几何直观来理解代数概念和性质，使得代数问题更加直观易懂。
05
CATALOGUE
高等几何中的数学思想与方法
抽象思维与具体表达的结合
1 2
抽象思维
高等几何中，点、线、面等基本元素不再是具体 的实物，而是通过抽象思维来定义和理解。
具体表达
高等几何中，通过几何图形、图像等方式将抽象 的数学概念具体化，便于理解和应用。
3
结合应用
抽象思维与具体表达的结合，使得高等几何能够 更深入地探索和研究几何学中的本质和规律。
差异性
然而，射影几何和仿射几何也存在差异性。例如，在射影空 间中，无穷远点是重要的元素，而在仿射空间中则不重要。 此外，射影变换通常会改变图形的形状和大小，而仿射变换 则不会。
04
CATALOGUE
欧式几何与非欧式几何
欧式几何的基本概念
欧式几何
基于平面的二维空间，研究点 、线、面及其性质和关系。
不同空间结构
高等几何
第五章高等几何第一节课程概论1、本课程的起源与发展早自欧洲文艺复兴时期，由于绘图和建筑等的需要，透视画的理论逐步形成，以后便建立了画法几何。
法国数学家蒙日(GaspardMonge，1746-1818)在1768到1799年之间和1809年分别出版了画法几何和微分几何两部经典著作，由于画法几何理论的发展，他的学生彭色列（JeanPoncelet，1788-1867)继承了这两部著作中的综合思想，于1822年写了一本书，它是射影几何方面最早的专者。
继彭色列之后，法国人沙尔(Michel Chasles，1793-1880) 等对射影几何的研究都做出了重要贡献。
出生于德国数学家史坦纳(Jacob Steiner，1796-1863)改进了射影几何的研究工具，并且把它们应用到各种几何领域，因而得到了丰硕结果。
到了19世纪上半叶，几何学的发展经历了它的黄金时代。
在这期间，古典的欧几里得几何学不再是几何学的唯一对象，射影几何学正式成为一门新学科。
英国人凯莱（Cayley，1821-1895）和德国人克莱因（Christian Felix Klein，1849-1925）等人用变换群的方法研究了这个分支，射影几何便成为完整独立的学科。
射影几何的诞生诱发于透视理论，一个射影平面就是由欧几里得平面添加所谓无穷远直线而得到的。
克莱因对于几何学理论的统一性有着执著的追求，他在成功地把几种度量几何统一于射影几何之后，就立即在更深层次上寻求统一各种几何学理论的基础。
在19世纪，人们开始把几何中图形的一些性质看作是一种“变换”运动的结果。
如正方形的“中心对称性”，就是将正方形绕其两条对角线的交点O“旋转”180°后仍重合的结果。
正方形的“轴对称性”，就是将正方形绕过O点的水平轴“反射”（即翻转）180°后仍重合的结果。
这里的“旋转”、“反射”就可以分别被看作是一种“变换”。
更为重要的是，数学家们进一步发现，这个正方形上的所有旋转、反射、平移等变换所构成的集合，满足群的条件，因而构成一个“变换群”。
大学高等几何课件第五讲
： ∆ 切 切 边 点 证 例题 设 ABC内 圆 三 BC, CA, AB于 D, E, F, 求 : D(CA, EF) = −1. 其 D(CA, EF)表 以 为 束 心 四 直 DC, DA, DE, 中 示 D 线 中 的 条 线 DF的 比 交 .
： 点 BC 平 线 交 G DF H 证明 过 A作 的 行 ， DE于 , 交 于 , 则 ∠ = ∠2 = ∠3 = ∠4. 1 故 = AE,同 , 有 AG 理 AH = AF. 由 AE = AF, 故 = AH,即 是 段 的 点 P 表 于 以 AG A 线 GH 中 . ∞ BC HG 交 ， 直 GH 线 ， 示 与 的 点 用 线 截 束 得 D(CA, EF) = (P A, GH), ∞ HA 但 P A, GH) = (HG, AP ) = (HGA) = ( ∞ = −1 , ∞ GA 故 (CA, EF) = −1. D
二、线束的交比 设 a,b,c,d为 一线 中 束 的四 直 ， a和 作 条 线 取 b 为基 ， 它们 线 把 的 齐 坐 依 次 标 次表 a, b, c = a + λ1b, d = a + λ2b(a, b既 表 线 又 为 代 直 ， 代 表 线 坐 直 的 标向 ). 量 设 直 s截 一 线 此四 于 A, B, C, D,则 线 点 这四 的 点 坐标 次 顺 为 a× s, b× s, c× s = a× s + λ1(b× s), ( AB, CD) = d × s = a× s + λ2 (b× s). 故四 的 比为 点 交
一维射影几何学 : 和线束 一维基本图形 点列 : 射影变换的不变量交比 一、点列的交比 设射影 平面上 A的 点 齐次坐 标为a = (a1, a2 , a3 ),点B的齐次 坐标 为b = (b1, b2 , b3 ), 则 X在 连 点 AB 线上⇔∃λ, µ ∈R, 使点 的齐 X 次坐 标 x = (x1, x2 , x3 )可 表为x = λa + µb. 对 偶地 设 , 直线l的坐标 a = (a1, a2 , a3 ), 直线 的线坐 为 m 标为b = (b1, b2 , b3 ), 则 直线l与m重 ⇔矢量 与b线性相 . 直线 与 相 合 a 关 l m 异 ⇔矢量 与 线 a b 性无 . 关
高等几何讲义(第3章)
a12 a22
12，det(aij)
0．
反之，也可证明(3.1)必为射影对应．
在 (3.1) 中令 1/2，/ /1//2，a a21，b
a11，c a22，d a12，则可得
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
δ/ d/
§1 一维射影变换
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1 一维射影变换
例4 已知两射影点列的三对对应点
{a, b, c} /{a/, b/, c/}， 求作 上任意点 d 在 /上的对应点．
作法见下图：
a
bc
dδ
a/
b/
c/
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
的线性变换：
T:
//12 aa1211
a12 a22
12，det(aij)
0．
(3.1)
证明：不妨设两个一维基本形 I 与 II 均为点列．
在 I 上取定三点 u、v、t，使其在 II 上的对应点依
次为 II 的坐标系 / [u/, v/; t/] 中的基点和单位点．
21．
解法三：(交比法) 设 上任意点 x( )对应于 / 上
的点 x/(/ )，则
(0,1; 2, ) (1,0; 2, / )，即
(02)(1)/(0)(12) (12)(0/)/(1 /)(02)，
故所求射影对应为 3/ 4 4/ 4 0．
由以上三式联立求解，得
a: b: c: d 3 : 4 : 4: 4，
故所求射影对应为 3/ 4 4/ 4 0．
大学高等几何课件第二讲
平面到自身的有限回透视仿射链组成平面内的仿射或仿射变换
定理1.7 给定平面内的两个三角形，至多利用三回透视仿射可 使一个三角形变为另一个三角形。
经过仿射变换可以相互转换的图形称为是仿射等价的。 所以任意两个三角形是仿射等价的。直线、四边形也是仿 射等价的。
平面仿射几何基本定理：设P1,
P 2
,
P 是平面内不共线的 3
中心投影：设 f : 是平面到平面 的一一点对应, 且满足对应点的连线通过一个定点,则称 f 是从平面 到 平面 的中心投影.
问题：中心投影是不是数学意义下的一一对应？ 分析：当照射光线OP0与l平行时, P0在l上的投影不存在,而引 起P0的投影不存在的原因是平行没有交点这一约定. 解决办法: 取消平行线没有交点的限制,在直线上引进"新点".
(1) 空间中任何一组平行直线有且仅有一个公共的点 无穷远点.
(2) 一直线与它的平行平面交于一个无穷远点. (3) 一组平行平面相交于一条无穷远直线.
仿射直线与射影直线 仿射直线(平面):引入了无穷远点的欧氏直线(平面)称为
仿射直线(平面). 射影直线(平面): 将仿射直线(平面)上的无穷远点与通常的
无穷远元素 规定1: 在平面内对任何一组平行线引进唯一一点叫做无穷远 点(记作P )与之对应,此点在组中的每一直线上,而不在组外的 任何直线上. 规定2: 平面内无穷远点的集合是一条无穷远直线,记作l. 规 定 3 : 空间中所有无穷远点的集合是一个平面,叫做无穷远平
面, 记做 .
在这些规定下, 可以证明 :
a
2经过伸缩变换
y
b a
(a y,
0, b
定理1.7 给定平面内的两个三角形，至多利用三回透视仿射可 使一个三角形变为另一个三角形。
经过仿射变换可以相互转换的图形称为是仿射等价的。 所以任意两个三角形是仿射等价的。直线、四边形也是仿 射等价的。
平面仿射几何基本定理：设P1,
P 2
,
P 是平面内不共线的 3
中心投影：设 f : 是平面到平面 的一一点对应, 且满足对应点的连线通过一个定点,则称 f 是从平面 到 平面 的中心投影.
问题：中心投影是不是数学意义下的一一对应？ 分析：当照射光线OP0与l平行时, P0在l上的投影不存在,而引 起P0的投影不存在的原因是平行没有交点这一约定. 解决办法: 取消平行线没有交点的限制,在直线上引进"新点".
(1) 空间中任何一组平行直线有且仅有一个公共的点 无穷远点.
(2) 一直线与它的平行平面交于一个无穷远点. (3) 一组平行平面相交于一条无穷远直线.
仿射直线与射影直线 仿射直线(平面):引入了无穷远点的欧氏直线(平面)称为
仿射直线(平面). 射影直线(平面): 将仿射直线(平面)上的无穷远点与通常的
无穷远元素 规定1: 在平面内对任何一组平行线引进唯一一点叫做无穷远 点(记作P )与之对应,此点在组中的每一直线上,而不在组外的 任何直线上. 规定2: 平面内无穷远点的集合是一条无穷远直线,记作l. 规 定 3 : 空间中所有无穷远点的集合是一个平面,叫做无穷远平
面, 记做 .
在这些规定下, 可以证明 :
a
2经过伸缩变换
y
b a
(a y,
0, b
2017年高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.4投影与直观图课件新人教B版必修2
1
2
3
(2)斜二测画法中的建系原则: 在已知图形中建立直角坐标系,理论上在任何位置建立坐标系都 行,但实际作图时,一般建立特殊的直角坐标系,尽量运用原有直线 或图形的对称直线为坐标轴,图形的对称点为原点或利用原有互相 垂直的直线为坐标轴等.
1
2
3
【做一做2-1】 下列关于“斜二测画法”的说法不正确的是( ) A.原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于x'轴,长度不变 B.原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于y'轴,长度变 1 为原来的 2 C.画与直角坐标系xOy对应的坐标系x'O'y'时,∠x'O'y'必须是45° D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同 解析:画与直角坐标系xOy对应的坐标系x'O'y'时,∠x'O'y'也可以是 135°,所以C项不正确. 答案:C
1
2
3
名师点拨 1.斜二测画法的作图规则可简述为:竖直或水平方向 放置的线段画出时的方向、长度都不变,前后方向放置的线段画出 时的方向与水平方向成45°或135°角,长度画成原长度的一半(仍表 示原长度). 2.直观图是一个平面图形,只是用它来表示空间图形,画图时,被 面挡住的部分要画成虚线. 3.可从以下两个方面理解斜二测画法: (1)“斜”与“二测”的含义: “斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段,在直观图中 均与x'轴成45°,可认为是倾斜的;“二测”是指两种度量形式,即在直 观图中,平行于x'轴和z'轴的线段长度保持不变;平行于y'轴的线段 长度变为原来的一半.
1
2
3
2017年《高等几何》教学课件
主要困难
必须注意
来自传统笛氏坐标的干扰
齐次坐标与笛氏坐标的根本区别在于齐次性， 因此，学习诀窍是在齐次性的前提下灵活运用 线性代数知识。 尽管针对拓广平面, 但是今后通用
齐次性问题
几乎无处不在的非零比例常数和比例关系
§1.2 拓广平面上的齐次坐标
一、n 维实向量类
n 维实向量的集合 定义等价关系 ~ n 维实向量类的集合 (用圆括号记向量)
§1.1 拓广平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行. 2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线： 平 行 无穷远点 两直线 不平行 交于惟一 有穷远点 平面上任二直线总相交
( RP ) ( R \ {0}) / ~
n
n1 *
(n 2)
事实上, 关于齐次坐标的运算就是上述两个集合中向量类的运算 本课程仅涉及n=2, n=3.
§1.2 拓广平面上的齐次坐标
二、齐次点坐标
1. 一维齐次点坐标 定义1.4 非齐次 关系 齐次坐标
有穷远点
无穷远点 注
x
x= x1 / x2
Rn {x ( x1, x2 ,, xn ) | xi R} (Rn )* {x [ x1, x2 ,, xn ]| xi R}
x ~ y 0 R, 使得x y.
RP
n1
( R \ {0}) / ~
n
(n 2)
n维实向量空间的商空间 n 维实向量类的集合 [用方括号记向量]
大学高等几何课件第二讲
x2 y2 例 . 求 圆 2 + 2 =1的 积 题 椭 面 。 a b
′ b x = x 2 2 ： 取 射 换 椭 变 圆 2 解 选 仿 变 a 将 圆 成 x′ + y′ = b . y′ = y S椭圆 S∆OAB 因 面 之 是 射 变 ， 为 积 比 仿 不 量 故 = , S圆 S∆OA′B ab 所 S椭圆 = 2 ⋅πb2 = π ab. 以 b
推论1 仿 变 下 何 对 应 边 面 之 等 推论1 在 射 换 , 任 一 对 多 形 积 比 于 数换 话 , 任 两 多 形 积 比 仿 不 常 . 句 说 意 个 边 面 之 是 射 变 量 . 推论2 仿 变 下 意 条 闭 曲 所 成 面 推论2 在 射 换 , 任 两 封 凸 线 围 的 积 比 仿 不 量 之 是 射 变 .
α1 β1
α2 a1 − a0 = b − b0 β2 1
a2 − a0 b2 − b0
≠ 0.
最 一 等 不 于 是 为 共 的 点 后 个 式 等 零 因 不 线 三 ′ 不 线 O, E , E2的 O′, E′, E2也 共 。 像 1 1
射 换 特 仿 变 的 例 x′ = ax, 1. 位 变 (a ≠ 0) 似 换 y′ = ay x′ = x, 2. x轴 的 匀 缩 换 (a > 0). 上 均 伸 变 y′ = ay 当 =1 为 等 换 a 时 恒 变 . x′ = x, 过 缩 换 例 ， x2 + y2 = a2经 伸 变 如 圆 b (a > 0, b > 0)后 y′ = a y, x′2 y′2 变 椭 为 圆 2 + 2 =1. a b 3. 运 变 （ 移 旋 或 移 旋 的 统 为 动 动 换 平 ， 转 平 与 转 积 称 运 ） x′ = x cosθ − y sinθ +α0 y′ = x sinθ + y cosθ + β0 x′ = x 4. 关 x轴 反 于 的 射 y′ = −y
高等几何----_第一章仿射坐标与仿射变换(PPT)
p' ' x x
E
e2 e1
O'
O
Px
26
因为保单比，所以P’在新坐标系下坐标为（x,y),即
ye2 OP xe1
ye2 ) OP OO OP (a13 e1 a23 e2 ) ( xe1 (a13 e1 a23 e2 ) x(a11e1 a21e2 ) y(a12 e1 a22 e2 ) (a11x a12 y a13 )e1 (a21x a22 y a23 )e2 xe1 ye2
课 程 概 论
射影几何学的起源是由于绘图和建筑上的需要。 当一个画家要把一个实像描绘在一块布幕上时， 他用他的眼睛当做是投影中心，把实像投影到布 幕上去。他的眼睛好比灯光，把实像的影子映射 到布幕上去，然后再描绘出来。在建筑上我们需 要把设计的实物画在一个面上，平面上的图像就 是实物的平面投影。 （透视图） 这种投影技术在纯理论方面的发展，就成为射影 几何学。 在实用方面的发展就成为工科院校的一门基础课 --画法几何学。
即点对应点，直线对应为直线.
2.保持点与直线的结合性 A l A l 3.保持单比不变 （ABC)=(A’B’C’) 4.保持平行 a‖b 则a’‖b’
但不保距离，不保角度！
18
• 例1 下列图形在仿射变换下的对应图形是什么？ 平行四边形；梯形；等腰三角形；菱形；三角形的内心； 三角形的垂心；角平分线；（二全等的矩形）
3
课 程 概 论
一、高等几何的内容 欧氏几何
仿射几何
射影几何
十九世纪名言
一切几何学都是射影几何
4
欧氏几何(初等几何)
研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数 量 (统称不变性，如距离、角度、面积、体积等)
高等几何课件
总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为双射.
§ 1.1 拓广平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.
2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：
平行
无穷远点
两直线 不平行 交于惟一 有穷远点
平面上任二直线总相交
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.
2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点.
给平行线添加交点！
§ 1.1 射影平面
一、中心射影 二、无穷远元素
目标： 改造空间，使得中心射影成为双射 途径： 给平行直线添加交点 要求： 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点)
} 点与直线的关联关系
两个相异点确定惟一一条直线(连线)
§ 1.1 拓广平面
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞
•训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养。
•新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何，提高 观点，加深理解，举一反三。
课程概论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的 四、计划及注意点
§ 1.1 拓广平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.
2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：
平行
无穷远点
两直线 不平行 交于惟一 有穷远点
平面上任二直线总相交
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.
2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点.
给平行线添加交点！
§ 1.1 射影平面
一、中心射影 二、无穷远元素
目标： 改造空间，使得中心射影成为双射 途径： 给平行直线添加交点 要求： 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点)
} 点与直线的关联关系
两个相异点确定惟一一条直线(连线)
§ 1.1 拓广平面
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞
•训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养。
•新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何，提高 观点，加深理解，举一反三。
课程概论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的 四、计划及注意点
高等几何5.6-5.7节
a12 a13 方程组（2） a11 a21 a22 a23 | A E | 0. 有非零解，μ a31 a32 a33 满足方程.
(2)
(3)
18
云南师范大学
二、二重元素的求法
1.固定点
5.7 射影变换的二重元素
• 总之，要求射影变换（1）的二重点。第一步求变 换矩阵的特征方程（3）的根.第二步将所求每一特 征根代入（2）解出相应的二重点.
1 交比为 ，后者也如此，即四点的交比在二维 2 射影变换下不变.
同理，若由线坐标变换公式出发，可以在二 维射影变换下，平面内的一个线束和对应线束成 射影对应。
16
云南师范大学
5.7 射影变换的二重元素
一、二重元素的概念 不为射影变换所变更的元素（点和直线）， 称为射影变换的二重元素（或固定元素）。
4
云南师范大学
5.6二维射影几何基本定理
一、引理
引理证明分析： 要证明这种变换的存在，要能找到9个系数
aij , 使 aij 0. 将四个基点和P的坐标分别代入5.5节（1）式 i 并注意比例因子 对于不同的点各有其值，可得 如下的方程组：
5
云南师范大学
5.6二维射影几何基本定理
一、引理
11 a11 , 2 1 a12 , 3 1 a13 , a a a , 11 12 13 4 1 1 2 a21 , 2 2 a22 , 3 2 a23 , (1) 4 2 a21 a22 a23 , a , a , a , 31 2 3 32 3 3 33 1 3 4 3 a31 a32 a33 , 1 2 3 4 0 由此可知，如果决定了1、 2、3、 4，那么 aij 也就决定了。将（1）中各aij消去便得出
(2)
(3)
18
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二、二重元素的求法
1.固定点
5.7 射影变换的二重元素
• 总之，要求射影变换（1）的二重点。第一步求变 换矩阵的特征方程（3）的根.第二步将所求每一特 征根代入（2）解出相应的二重点.
1 交比为 ，后者也如此，即四点的交比在二维 2 射影变换下不变.
同理，若由线坐标变换公式出发，可以在二 维射影变换下，平面内的一个线束和对应线束成 射影对应。
16
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5.7 射影变换的二重元素
一、二重元素的概念 不为射影变换所变更的元素（点和直线）， 称为射影变换的二重元素（或固定元素）。
4
云南师范大学
5.6二维射影几何基本定理
一、引理
引理证明分析： 要证明这种变换的存在，要能找到9个系数
aij , 使 aij 0. 将四个基点和P的坐标分别代入5.5节（1）式 i 并注意比例因子 对于不同的点各有其值，可得 如下的方程组：
5
云南师范大学
5.6二维射影几何基本定理
一、引理
11 a11 , 2 1 a12 , 3 1 a13 , a a a , 11 12 13 4 1 1 2 a21 , 2 2 a22 , 3 2 a23 , (1) 4 2 a21 a22 a23 , a , a , a , 31 2 3 32 3 3 33 1 3 4 3 a31 a32 a33 , 1 2 3 4 0 由此可知，如果决定了1、 2、3、 4，那么 aij 也就决定了。将（1）中各aij消去便得出
高等几何第一章PPT课件
教材分析
本章地位
从透视仿射（平行射影）引入仿 射不变性与仿射不变量，为拓广 欧氏平面作准备。
本章内容
定义透视仿射，学习仿射不变性与 仿射不变量，证明平面仿射几何基 本定理，引入仿射变换的代数表示。 将注意力集中在仿射变换及其特 征上，学习用综合法、代数法证 明几何命题的方法。
3
学习注意
高等几何──朱维宗
y
OPPP2 OPPP2. 1 1
P( x, y)
P2பைடு நூலகம்
B T 3 ( B) B T ( B )
19
高等几何──朱维宗
1.4平面内的一般仿射
1.本节主目的
在1.3中，我们知道一条对应轴和一对对应点完全 确定平面内的一个透视放射变换。当每一个透视 仿射确定时，就确定了由它们所组成的放射变换。 但这种确定的方法必须先知道组成放射变换的透 视仿射的个数及每一个透视仿射的自对应轴。因 而受到限制。实际上不能依靠这样的方法。怎么 去确定一个仿射变换呢？这就是本节所要解决的。
7
高等几何──朱维宗
1.2仿射不变性与不变量
2.重要结论例讲
(1)定理1.4.一直线上任两线段之比是仿射不变量(Ex1.11)
A [证]设 A、B、C、D是直线a上任意四点， 、B、C 、D 是其仿射象，则
AB AB BD AB BD CD BD CD DB CD 简比是仿射量 AB BD AB . DB C D C D
T 1 T2 Tn1
T Tn1 T2T1 , k k1k2 kn1
则SAn BnCn kSABC
或 SAn BnCn SABC k
13
高等几何──朱维宗
推论1：在仿射变换下，任意一对对应多边形面积 之比是常量。
本章地位
从透视仿射（平行射影）引入仿 射不变性与仿射不变量，为拓广 欧氏平面作准备。
本章内容
定义透视仿射，学习仿射不变性与 仿射不变量，证明平面仿射几何基 本定理，引入仿射变换的代数表示。 将注意力集中在仿射变换及其特 征上，学习用综合法、代数法证 明几何命题的方法。
3
学习注意
高等几何──朱维宗
y
OPPP2 OPPP2. 1 1
P( x, y)
P2பைடு நூலகம்
B T 3 ( B) B T ( B )
19
高等几何──朱维宗
1.4平面内的一般仿射
1.本节主目的
在1.3中，我们知道一条对应轴和一对对应点完全 确定平面内的一个透视放射变换。当每一个透视 仿射确定时，就确定了由它们所组成的放射变换。 但这种确定的方法必须先知道组成放射变换的透 视仿射的个数及每一个透视仿射的自对应轴。因 而受到限制。实际上不能依靠这样的方法。怎么 去确定一个仿射变换呢？这就是本节所要解决的。
7
高等几何──朱维宗
1.2仿射不变性与不变量
2.重要结论例讲
(1)定理1.4.一直线上任两线段之比是仿射不变量(Ex1.11)
A [证]设 A、B、C、D是直线a上任意四点， 、B、C 、D 是其仿射象，则
AB AB BD AB BD CD BD CD DB CD 简比是仿射量 AB BD AB . DB C D C D
T 1 T2 Tn1
T Tn1 T2T1 , k k1k2 kn1
则SAn BnCn kSABC
或 SAn BnCn SABC k
13
高等几何──朱维宗
推论1：在仿射变换下，任意一对对应多边形面积 之比是常量。
大学高等几何课件第四讲
由 可 , 用 量 示 则 线 ,即 ⋅ x = 0和 线 ,即 ⋅ x = 0 此 见 矢 表 , 直 a a 直 b b 的 点 标 交 坐 为 x = a×b. 以 讲 是 上 的 点坐标 面 绍 点坐标下 介 线坐标 , .
直 线 a : a1x1 + a2 x2 + a3x3 = 0 由 的 数 a1, a2 , a3 ]决 (线 标 方 号 ]表 ), 并 [λa1, λa2 , λa3 ] 它 系 [ 定 坐 用 括 [ 示 且 (λ ≠ 0)和 a1, a2 , a3 ]代 同 直 . [ 表 一 线 我 把 全 零 三 数 们 不 为 的 个 u1, u2 , u3称 直 为 线 u ⋅ x = u1x1 + u2 x2 + u3x3 = 0 的 坐 , 矢 λu(λ ≠ 0)和 量 代 同 条 线 而 论 子 (≠ 0)为 线 标 量 矢 u 表 一 直 , 不 因 λ 何 , 线 标1 0,0],[0,1 0],[0,0,1]分 表 y轴 x轴 无 远 线 值 坐 [, , 别 示 , 和 穷 直 . 两 a(a1, a2 , a3 ), b(b , b2 , b3 )联 的 程 写 点 线 方 可 为 1 x1 x2 a1 a2 x3 a3 = 0,即 a2b3 − a3b2 )x1 + (a3b − a1b3 )x2 + (a1b2 − a2b )x3 = 0, ( 1 1
2 a11x1 + 2a12x1x2 + a22x2 + 2a13x1x3 + 2a23x2 x3 + a33x3 = 0. 2 2
它 x1, x2 , x3的 次 次 . 是 二 齐 式 斜 为 的 线 = kx + b的 次 程 x2 = kx + bx3, 和 穷 率 k 直 y 齐 方 为 无 1 远 线 3 = 0联 求 得 点 标 x1 : x2 : x3 =1: k : 0.故 直 x 立 解 交 坐 为 斜 率 k的 线 的 穷 点 (1 k,0). 为 直 上 无 远 是 ,
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影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个双射!
§1.1 拓广平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
2、平面到平面的中心射影
定义1.2
: '
}
均不是双射
中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线
存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点
如何使得中心射影成为一个双射？
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的方法 综合法
给定公理系统(一套相互独立、 无矛盾、完备的命题系统)，演 绎出全部内容 形、数结合，利用代数、分析 的方法研究问题 以解析法为主，兼用综合法
解析法 本课程
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的
• 学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换 知识，接受变换群思想 • 训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养 • 新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何和其他 学科，提高观点，加深理解，举一反三
区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P
约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体 无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞ 区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l 总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为双射.
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
O投射中心(O l l ') OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像 因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊的点： X=l×l' 自对应点(不变点) OU//l', 与l'不相交， U为l上的影消点 OV'//l, 与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射!
课 程 概 论
一、高等几何的内容
高等几何 数学与应用数学专业主干课程之一
数学分析 实变函数
前三高
高等代数
高等几何
后三高
近世代数
点集拓扑
综合大学：空间解几＋仿射几何、射影几何, 一个学期 射影几何 高等几何 几何基础 …… 本课程 主要介绍平面射 影几何知识(教材 前四章)
课 程 概 论
一、高等几何的内容
什么是射影几何？
直观描述
鸟瞰下列几何学
欧氏几何
仿射几何
射影几何
十九世纪名言
一切几何学都是射影几何
欧氏几何(初等几何)
研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数 量 (统称不变性，如距离、角度、面积、体积等)
搬动
正交变换
对图形作有限次的平移、 旋转、轴反射的结果
欧氏几何
研究图形的 正交变换不变性的科学
仿射几何
平行射影 透视仿射变换 仿射变换
有限次平行射影的结果 仿射几何
仿射不变性
研究图形的
仿射变换不变性的科学
比如——平行性、两平行 线段的比等等
射影几何
中心射影 透视变换 射影变换
有限次中心射影的结果
射影几何 射影不变性
研究图形的 射影变换不变性的科学 比如——几条直线共点、 几个点共线等等
射影变换将彻底改变我们原有的几何 空间观念！
3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线. 4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一 条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面：
§1.1 拓广平面
一、中心射影
2、平面到平面的中心射影 定义1.2
பைடு நூலகம்
: '
O投射中心(O ')
OP 投射线 P' π 上的点P 在π'上的像 P π' 上的点P'在π上的像 因此 ， 1 : ' 是π'到π的中心射影 三条特殊的直线： x ' 自对应直线(不变直线) u , U u, OU // ' ， u为由影消点构成的影消线 v' ' , V ' v' , OV ' // ， v'为由影消点构成的影消线
线性代数＋齐次性
• 必须充分预习，带着问题听课；有选择地做笔记。
第一章 射影平面
本章地位 本章内容 附带一个重要定理 学习平面射影几何的基础 定义射影平面，引入齐次 坐标，学习对偶原则 Desargues透视定理 认真思考，牢固掌握基本 概念，排除传统习惯干扰
学习注意
§1.1 拓广平面
一、中心射影
§1.1 拓广平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行. 2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线： 平 行 无穷远点 两直线 不平行 交于惟一 有穷远点 平面上任二直线总相交
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的
本课程 几何角度 代数角度
三维线性空间的商空 间上的几何学
亏格为零不可定向的 闭曲面上的几何学
其他课程无可 替代的数学思 想与方法
四、计划及注意点
• 周学时5，一个学期，第一～四章；(第五章：自学阅读材料)
• 把好入门关，牢固掌握基本概念，反复思考，认真体会。
给平行线添加交点！
§1.1 射影平面
一、中心射影 二、无穷远元素
目标： 途径： 要求： 改造空间，使得中心射影成为双射 给平行直线添加交点 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点) 两个相异点确定惟一一条直线(连线)
}
点与直线的关联关系
§1.1 拓广平面
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞ (2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上 添加的无穷远点不同.
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
§1.1 拓广平面
理解约定1.1(3)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上. 2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点.
§1.1 拓广平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
2、平面到平面的中心射影
定义1.2
: '
}
均不是双射
中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线
存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点
如何使得中心射影成为一个双射？
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的方法 综合法
给定公理系统(一套相互独立、 无矛盾、完备的命题系统)，演 绎出全部内容 形、数结合，利用代数、分析 的方法研究问题 以解析法为主，兼用综合法
解析法 本课程
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的
• 学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换 知识，接受变换群思想 • 训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养 • 新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何和其他 学科，提高观点，加深理解，举一反三
区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P
约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体 无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞ 区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l 总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为双射.
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
O投射中心(O l l ') OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像 因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊的点： X=l×l' 自对应点(不变点) OU//l', 与l'不相交， U为l上的影消点 OV'//l, 与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射!
课 程 概 论
一、高等几何的内容
高等几何 数学与应用数学专业主干课程之一
数学分析 实变函数
前三高
高等代数
高等几何
后三高
近世代数
点集拓扑
综合大学：空间解几＋仿射几何、射影几何, 一个学期 射影几何 高等几何 几何基础 …… 本课程 主要介绍平面射 影几何知识(教材 前四章)
课 程 概 论
一、高等几何的内容
什么是射影几何？
直观描述
鸟瞰下列几何学
欧氏几何
仿射几何
射影几何
十九世纪名言
一切几何学都是射影几何
欧氏几何(初等几何)
研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数 量 (统称不变性，如距离、角度、面积、体积等)
搬动
正交变换
对图形作有限次的平移、 旋转、轴反射的结果
欧氏几何
研究图形的 正交变换不变性的科学
仿射几何
平行射影 透视仿射变换 仿射变换
有限次平行射影的结果 仿射几何
仿射不变性
研究图形的
仿射变换不变性的科学
比如——平行性、两平行 线段的比等等
射影几何
中心射影 透视变换 射影变换
有限次中心射影的结果
射影几何 射影不变性
研究图形的 射影变换不变性的科学 比如——几条直线共点、 几个点共线等等
射影变换将彻底改变我们原有的几何 空间观念！
3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线. 4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一 条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面：
§1.1 拓广平面
一、中心射影
2、平面到平面的中心射影 定义1.2
பைடு நூலகம்
: '
O投射中心(O ')
OP 投射线 P' π 上的点P 在π'上的像 P π' 上的点P'在π上的像 因此 ， 1 : ' 是π'到π的中心射影 三条特殊的直线： x ' 自对应直线(不变直线) u , U u, OU // ' ， u为由影消点构成的影消线 v' ' , V ' v' , OV ' // ， v'为由影消点构成的影消线
线性代数＋齐次性
• 必须充分预习，带着问题听课；有选择地做笔记。
第一章 射影平面
本章地位 本章内容 附带一个重要定理 学习平面射影几何的基础 定义射影平面，引入齐次 坐标，学习对偶原则 Desargues透视定理 认真思考，牢固掌握基本 概念，排除传统习惯干扰
学习注意
§1.1 拓广平面
一、中心射影
§1.1 拓广平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行. 2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线： 平 行 无穷远点 两直线 不平行 交于惟一 有穷远点 平面上任二直线总相交
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的
本课程 几何角度 代数角度
三维线性空间的商空 间上的几何学
亏格为零不可定向的 闭曲面上的几何学
其他课程无可 替代的数学思 想与方法
四、计划及注意点
• 周学时5，一个学期，第一～四章；(第五章：自学阅读材料)
• 把好入门关，牢固掌握基本概念，反复思考，认真体会。
给平行线添加交点！
§1.1 射影平面
一、中心射影 二、无穷远元素
目标： 途径： 要求： 改造空间，使得中心射影成为双射 给平行直线添加交点 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点) 两个相异点确定惟一一条直线(连线)
}
点与直线的关联关系
§1.1 拓广平面
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞ (2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上 添加的无穷远点不同.
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
§1.1 拓广平面
理解约定1.1(3)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上. 2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点.