2019届广东省六校高三第三次联考理科数学试题及解析

广东省六校2018-2019学年高三（下）第三次联考数学试卷（理科）（2

月份）

一、选择题（本大题共12小题,共60.0分）

1.设集合A={x|y=lg（1-x）},B={y|y=2x},则A∩B=（）

A. B. C. D.

2.若复数z=2i+,其中i是虚数单位,则复数z的模为（）

A. B. C. D. 2

3.等差数列{a n}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-的值是（）

A. 14

B. 15

C. 16

D. 17

4.已知函数y=sin（ωx+）向右平移个单位后,所得的图象与原函数图象关于x轴对称,则ω的最小正值

为（）

A. 1

B. 2

C.

D. 3

5.在的展开式中,x2的系数是224,则的系数是（）

A. 14

B. 28

C. 56

D. 112

6.函数f（x）=e x•ln|x|的大致图象为（）

A.

B.

C.

D.

7.已知x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则a=（）

A. 3

B. 2

C.

D.

8.如图是某几何体的三视图,其俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形,

则该几何体的外接球的表面积为（）

A.

B.

C.

D.

9.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：

设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a,b,c,d∈N*）,则是x的更为精确的不足近似值

或过剩近似值.我们知道π=3.14159…,若令＜π＜,则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的

过剩近似值,即＜π＜,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（）

A. B. C. D.

10.设F为抛物线y2=2px的焦点,斜率为k（k＞0）的直线过F交抛物线于A、B两点,若|FA|=3|FB|,则直线

AB的斜率为（）

A. B. 1 C. D.

11.已知f（x）=log a（a-x+1）+bx（a＞0,a≠1）是偶函数,则（）

A. 且

B. 且

C. 且

D. 且

12.已知函数f（x）=|xe x+1|,关于x的方程f2（x）+2sinα•f（x）+cosα=0有四个不等实根,sinα-cosα≥λ恒成

立,则实数λ的最大值为（）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题,共20.0分）

13. 已知sinθ+cosθ=

,则tan

=______.

14. 已知向量 =（1, ）, =（3,m ）,且 在 上的投影为3,则向量 与 夹角

为______.

15. 我国传统的房屋建筑中,常会出现一些形状不同的窗棂,窗棂上雕刻有各

种花纹,构成种类繁多的图案.如图所示的窗棂图案,是将半径为R 的圆六等分,分别以各等分点为圆心,以R 为半径画圆弧,在圆的内部构成的平面图形.现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是______.

16. 数列b n =a n cos

的前n 项和为S n ,已知S 2017=5710,S 2018=4030,若数列{a n }为等差数列,则S 2019=______. 三、解答题（本大题共7小题,共82.0分）

17. △ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a sin A sin B +b cos 2

A =

a .

（I ）求

；

（Ⅱ）若c 2

=a 2+

,求角C .

18. 如图,C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ,B 的点,平面PAC ⊥平面ABC ,PA =PC =AC =2,BC =4,E ,F 分别是

PC ,PB 的中点,记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l . （Ⅰ）求证：直线l ⊥平面PAC ；

（Ⅱ）直线l 上是否存在点Q ,使直线PQ 分别与平面AEF 、直线EF 所成的角互余？若存在,求出|AQ |的值；若不存在,请说明理由.

19. 某学校为鼓励家校互动,与某手机通讯商合作,为教师伴侣流量套餐,为了解该校教师手机流量使用情

况,通过抽样,得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L （单位：M ）的数据,其频率分布直方

图如下：若将每位教师的手机月平均使用流量分布视为其手机月使用流量,并将频率为概率,回答以下问题.

（1）从该校教师中随机抽取3人,求这3人中至多有1人月使用流量不超过300M 的概率； （2）现该通讯商推出三款流量套餐,详情如下：

这三款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取,手机使用一旦超出套餐流量,系统就自动帮用户充值200M 流量,资费20元；如果又超出充值流量,系统就再次自动帮用户充值200M 流量,资费20元/次,依此类推,如果当流量有剩余,系统将自动清零,无法转入次月使用.

学校欲订购其中一款流量套餐,为教师支付月套餐费,并承担系统自动充值的流量资费的75%,其余部分由教师个人承担,问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由.

20.如图,设点A,B的坐标分别为（-,0）,（,0）,直线AP,BP相交于点P,且它们的斜率之积为-.

（1）求P的轨迹方程；

（2）设点P的轨迹为C,点M、N是轨迹为C上不同于A,B的两点,且满足AP∥OM,BP∥ON,求证：△MON 的面积为定值.

21.已知函数f（x）=（1+x）e-2x,g（x）=ax++1+2x cosx,当x∈[0,1]时,

（Ⅰ）若函数g（x）在x=0处的切线与x轴平行,求实数a的值；

（Ⅱ）求证：1-x≤f（x）≤；

（Ⅲ）若f（x）≥g（x）恒成立,求实数a的取值范围.22.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为（φ为参数）,以原点O为极点,x轴的正半轴为

极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ

（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ=α,0＜α＜π,ρ∈R,点A是曲线C3与C1的交点,点B是曲线C3与C2的交点,且A,B均异于原点O,且|AB|=4,求实数α的值.

23.已知函数f（x）=2|x+a|+|x-|（a≠0）.

（1）当a=1时,解不等式f（x）＜4；

（2）求函数g（x）=f（x）+f（-x）的最小值.