(A卷)2015级场论与无穷级数(信)考试试卷

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2015年普通高等学校招生全国统一考试(正文)

2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设复数z满足1+z1-z=i,则|z|=( )A.1B.2C.3D.22.sin20°cos10°-cos160°sin10°=()A.-32B.32C.-12D.123.设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为( )A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n4.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )A.0.648B.0.432C.0.36D.0.3125.已知M(x0,y0)是双曲线C:x 22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是( )A.-33,33B.-36,36C.-223,223D.-233,2336.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛7.设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则( )A.AD=-13AB+43AC B.AD=13AB-43ACC.AD=43AB+13AC D.AD=43AB-13AC8.函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )A. kπ-14,kπ+34,k∈Z B.2kπ-14,2kπ+34,k∈ZC. k-14,k+34,k∈Z D.2k-14,2k+34,k∈Z9.执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=( )A.5B.6C.7D.810.(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )A.10B.20C.30D.6011.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )A.1B.2C.4D.812.设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x 0使得f(x 0)<0,则a 的取值范围是( ) A. -32e ,1B. -32e ,34C. 32e ,34D. 32e ,1第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.若函数f(x)=xln(x+ a +x 2)为偶函数,则a= .14.一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 .15.若x,y 满足约束条件 x -1≥0,x -y ≤0,x +y -4≤0,则y x的最大值为 . 16.在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是 .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n +3.(Ⅰ)求{a n }的通项公式; (Ⅱ)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和.18.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC;(Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.19.(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.表中w i = x i ,w =8∑i =18w i. (Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx 与y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(Ⅲ)已知这种产品的年利润z 与x,y 的关系为z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i =1n(u i -u )(v i -v )∑i =1n(u i -u )2,α^=v -β^u .20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中,曲线C:y=x 24与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N 两点. (Ⅰ)当k=0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(Ⅱ)y 轴上是否存在点P,使得当k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x 3+ax+14,g(x)=-lnx.(Ⅰ)当a 为何值时,x 轴为曲线y=f(x)的切线?(Ⅱ)用min{m,n}表示m,n 中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,BC交☉O于点E.(Ⅰ)若D为AC的中点,证明:DE是☉O的切线;(Ⅱ)若OA=求∠ACB的大小.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积. (Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=π424.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.。

第十二章无穷级数A同步测试卷(最新整理)

n1
1 1 1 1
2
23
『方法技巧』本题考查等比（几何）级数求和及级数的性质.
『特别提醒』等比级数的和为 a1 ( q 1) ，一定记住分子为第一项. 1 q
7. 解
lim un1 u n
n
lim n
2n1
n 1 (3)n1
x 2 n 1
2n
n (3)n
x 2 n 1
lim n
2n (3)n 2n1 (3)n1
x2
1 lim
( 2)n 1 3
x2 x2
3 n ( 2)n1 1
3
3
5
由比值审敛法知：当 x2 1，即 x 3 时，级数收敛；当 x2 1 ，即 x 3 时，
3
3
级数发散，因此级数的收敛半径为 R 3 .
『方法技巧』本题考查正项级数的比值审敛法及其特殊性.由比值审敛法
判断级数 un 收敛时，原级数 un 绝对收敛；而级数 un 发散时，原级数
2 a2
n an )
S(1) a
a (1 1 )2
a (a 1)2
a
『方法技巧』本题考查利用级数的和求其部分和的极限.关键是找到一个
利用分式的性质，将
f
(x)
12 5x 6 5x x2
化为标准形式 1 1 (
x)
1 1 x
.
6
15. 解
所求极限实际上是级数
n1
n an
的和，所以考虑幂级数
nx n
n1
.
令
S(x)
x
n1
nxn1
x[
n1
xn ]
x( x 1
) x
x (1 x)2

吉林大学2015级高等数学AIII期末试题(含答案)

1-5 1-5（30 分） 1. 幂级数 ∑ ( ) 的收敛半径 R =
n n =0 ∞
x 3
3
= y 3 x − 3 x 由 A ( 0， 1 2. L 为 0 ) 到 B (1, 0 ) 对应的一段曲线，则 xdy − ydx =
2
∫
L
2 = 3．若 x
∑ an cos nx ( −π ≤ x < π ) ，则 x 2 的 Fourier 系数 a2 =
= a 2. L 为平面曲线 x + y
2 2
2
2 ( a > 0 ) ,计算曲线积分 ∫ L ( x + y )ds
解：
∫
L
2 ( x + y 2 )ds = ∫ y ds = ∫ L
1 2 ( x + y 2 )ds =πa 3 L 2
3．解微分方程 xy′+y = 1 .
y C 解： =
∫∫ ( x
Σ
2
y + 2 x − z ) cos α + ( y +z 2 ) cos β − 2 xyz cos γ dS =
∞ n ∞ n n
2π
1 幂级数 ∑ an ( x − 1) 在 x = 4 条件收敛，则 ∑ ( −1) (1 + 2 ) an
n =1 n =1
(
)A
（A）绝对收敛 2 以下正确的是 (
1 +1 x
4 1 1 1 4 ．将函数 f ( x) = 2 展为 x 的幂级数 . 解： f ( x) = = − − x + 2x − 3 1− x 3 1+ x 3

2015年全国联考综合能力真题

2015年全国联考综合能力真题说明：由于2015年试题为一题多卷，因此现场试卷中的选择题顺序及每道题的选项顺序，不同考生有所不同。

请在核对答案时注意题目和选项的具体内容。

一、问题求解：第1-15小题，每小题3分，共45分，下列每题给出的五个选项中，A 、B 、C 、D 、E 只有一个项符合试题要求。

请在答题卡上将所选项字母涂黑。

1．若实数,,a b c 满足::1:2:5a b c =，且24a b c ++=，则222a b c ++=（）（A ）30 （B ）90 （C ）120 （D ）240 （E ）2702．某公司共有甲、乙两个部门，如果从甲部门调10人到乙部门，那么乙部门人数是甲部门人数的2倍，如果把乙部门员工的15调到甲部门，那么两个部门的人数相等，该公司的总人数为（）（A ）150 （B ）180 （C ）200 （D ）240 （E ）2503．设,m n 是小于20的质数，满足条件2m n -=的{},m n 共有（）（A ）2组（B ）3组（C ）4组（D ）5组（E ）6组4．如图1，BC 是半圆的直径，且4BC =，30ABC ∠=，则图中阴影部分的面积为（A ）43π （B ）43π- （C ）23π（D ）23π+ （E ）2π-5．某人驾车从A 地赶往B 地，前一半路程比计划多用时45分钟，平均速度只有计划的80%，若后一半路程的平均速度为120千米/小时，此人还能按原定时间到达B 地。

A 、B 两地的距离为（）（A ）450千米（B ）480千米（C ）520千米（D ）540千米（E ）600千米6．在某次考试中，甲、乙、丙三个班的平均成绩分别为8081、和81.5，三个班的学生得分之和为6952，三个班共有学生（）（A ） 85名（B ）86名（C ）87名（D ）88名（E ）90名7．有一根圆柱形铁管，管壁厚度为0.1米，内径为1.8米，长度为2米，若将该铁管熔化后浇铸成长方体，则该长方体体积为（单位：3m ； 3.14π≈）（）（A ）0.38 （B ）0.59 （C ）1.19 （D ）5.09 （E ）6.288．如图2，梯形ABCD 的上底与下底分别为5,7，E 为AC 与BD 的交点，MN 过点E 且平行于AD ,则MN =（）（A ） 265 （B ） 112 （C ） 356 （D ） 367 （E ） 4079．已知1x ，2x 是方程210x ax --=的两个实根，则2212x x +=（）（A ）22a + （B ）21a + （C ）21a - （D ） 22a - （E ）2a +10．一件工作，甲、乙合作需要2天，人工费2900元，乙、丙两人合作需要4天，人工费2600元，甲、丙两人合作2天完成全部工作量的56，人工费2400元，则甲单独完成这件工作需要的时间与人工费为（）（A ）3天，3000元（B ）3天，2580元（C ）4天，3000元（D ）4天，3000元（E ）4天，2900元11．若直线y ax =与圆22()1x a y -+=相切，则2a =（）（A ）（B ） 1+ （C （D ） 1+ （E ） 12．设点(0,2)A 和(1,0)B ，在线段AB 上取一点(,)(01)M x y x <<，则以,x y 为两边长的矩形面积的最大值为（）（A ） 58 （B ） 12 （C ） 38 （D ） 14 （E ） 1813．某新兴产业在2005年末至2009年末产值的年平均增长率为q ，在2009年末至2013年末产值的年平均增长率比前四年下降了40%，2013年末产值约为2005年产值的14.46（41.95≈）倍，则q 为（）（A ）30% （B ）35% （C ）40% （D ）45% （E ）50%14．某次网球比赛的四强对阵为甲对乙，丙对丁，两场比赛的胜者将争夺冠军选手之间相互获胜的概率如下：甲获得冠军的概率为（）（A ）0.165 （B ）0.245 （C ）0.275 （D ）0.315 （E ）0.33015．平面上有5条平行直线与另一组n 条平行直线垂直，若两组平行直线共构成280个矩形，则=n （）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 （E ）9二、条件充分性判断：第16-25小题，每小题3分，共30分。

2013,2015-2017 级数学专业数学分析A(Ⅰ)期终考试试题(A 卷)

0, ∞ 上不一致连续。
9.（10 分）
（1）设数列 �� 满足∑ |��
�� | ��, �� 1,2, … ，其中��为正
的常数，证明： �� 收敛。
（2）若 �� 收敛， �� 是否满足（1）中条件？即是否存在正常数��，
满
足
方
程
x =
ty
2
1 −
பைடு நூலகம்+ 2
t y
+ +
arctan t
，
sin t = 4
求
f ′(x) =
dy dx
及
y
=
f
(x) 在
（1,-2）处的切线方程；
∫ （4）求不定积分
e
x
2
1 +
+ ex ex
dx
；
∫ （5）求不定积分 x arctan x2 −1dx 。
( ) 二、（10 分）已知 f ( x)= ln x + x2 + 2 − ln x + 4 x2 + 2 ，验证 f 在 x = 1 处取得最小 2
使得 f ′(ξ ) ⋅ f ′(η ) = 1。
课程编号：H0171001 北京理工大学 2016-2017 学年第一学期
2017.1.17
2016 级数学专业数学分析Ⅰ期末试卷（B 卷）
一、计算题（每小题 5 分）
1.求函数极限
lim
x→0

1 x
+
ln
1
(1 −
x)

；
2.求函数极限

2015级《高等数学》(Ⅰ)B类(A)卷(1)

2015 级《高等数学》(Ⅰ) B 类（A）卷
一、单项选择题（每小题 2 分，共 1 0 分） 1．当 x 0 时， 2 1 cos x A． 1 B． 2

2
与 x
a
是等价无穷小，则 a （ D． 4
）
C． 3
2．设函数 f x A． 1
k 1, x 0; 在点 x 0 处连续，则 k （ xe cos x, x 0.
R x 63 10 x （万元/百台）.
试求：（1）总利润函数；（2）当产量为多少时总利润最大，并求出此时的总利润. 六、证明题（ 5 分）证明：当 x 0 时，有： e tan x 1 ln x 1
x
2
3
0.5 x
dx 2 xd e0.5 x
5

2
5．函数 f x x 5 x 在 0,1 上的最大值是（ A． 5 B． 0 C． 10
） D． 6
二、填空题（每小题 3 分，共 1 5 分）
x 1 1．设 lim x x
（
）
5．
1 x
1
2015
dx 1 .
（
）
四、计算题（每小题 6 分，共 3 6 分） 1．求极限： lim
e x cos x x 1 x 0 x3
2．求极限： lim 3．设 y 1 x
y
1 2x x 1 2 2 x 0 x x
2

e

x
，求y
2
.
4．求由方程 e y tan x ln 3 所确定的隐函数 y y x 的导数

概率论2015春A卷答案

(B) 1 2
(C) 1 2
(D) 1 2
X 9 相互独立， EX i 1, DX i 1
i 1,2,
9
9 ,则对任意给定的 0 ，
9 (A)P X i 1 1 2 i 1 9 (C)P X i 9 1 2 i 1
1 (B)P 9
X
i 1
i
1 1 2
9 (D)P X i 9 1 9 2 i 1
三、(10 分）甲、乙两人轮流投篮，甲先投。一般来说，甲、乙两人独立投篮的命中率分别为 0.7 和 0.6。但由于心理因素的影响，如果对方在前一次投篮中投中，紧跟在后面投篮的这一方的命中率就会有所下降，甲、乙的命中率分别变为 0.4 和 0.5。求：（1）乙在第一次投篮中投中的概率；（2）甲在第二次投篮中投中的概率。解：令
Y
2 2 X 12 X 2 X 10 服从 F (10,5) 2 2 2 2( X 11 X 12 X 15 )
分布.
《概率论与数理统计》试卷第 1 页共 8 页
5、设随机变量 X 的概率密度为 f ( x)
2x 0 x 1 其它
0
，以 Y 表示对 X 的三次独立重复观
座位号
题号得分
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
专业
注意： (1.65) 0.95 (1.96) 0.975 (1.45) 0.926
1.40 0.92
_____________ ________ 学院
t0.99 (7) 2.998 , t0.95 (7) 1.895 , t0.99 (6) 3.143, t0.95 (6) 1.943

(完整版)无穷级数习题及答案.doc

第十一章无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1；．1；3． 11 。

2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。

n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn；．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。

28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。

xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。

30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n．； 5．；6．，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。

无穷级数必考经典习题(附答案).pdf

无穷级数同步测试一、单项选择题1．下列结论中，错误的是（）()A 若lim 0→∞≠n n u ，则级数21∞=∑n n u 发散.()B 若级数1∞=∑n n u 绝对收敛，则21∞=∑n n u 收敛.()C 若级数1∞=∑n n u 收敛，则21∞=∑n n u 收敛.()D 若级数21∞=∑n n u 收敛，则lim 0→∞=n n u 收敛.2．已知幂级数1(1)∞=−∑nn n a x 在0=x 处收敛，在2=x 处发散，则该级数的收敛域（）()[0,2)()(0,2]()(0,2)()[0,2]A B C D3．已知幂级数1∞=∑nn n a x 的收敛半径1=R ，则幂级数0!∞=∑n n n a x n 的收敛域为（）()(1,1)()[1,1)()(1,1]()(,)−−−−∞+∞A B C D4. 设常数0>x ，则级数11(1)sin ∞−=−∑n n x n （）. ()A 发散 ()B 条件收敛 ()C 绝对收敛 ()D 收敛性与x 有关二、填空题5. 级数11()2∞=∑nn n 的和为 .6．2!lim(!)→∞=n n n .7．已知级数22116π∞==∑n n ，则级数211(1)∞=−=∑n n n .8．幂级数2101!∞+=∑n n x n 的和函数()=S x . 三、解答题9.判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在，并给出正确解法.级数∞=n n .又由于0=n，但=n u 不是单调递减的，由此得出该级数不满足莱布尼茨定理的第二个条件，故级数发散.10.讨论级数21(0)(1)(1)(1)∞=≥+++∑nn n x x x x x 的敛散性.11.求级数11(21)2∞=+∑nn n n 的和. 12.将2()ln(3)=−f x x x 展开为1−x 的幂级数. 13.求极限2313521lim()2222→∞−++++nn n . 14.验证函数3693()1()3!6!9!(3)!=++++++−∞<<+∞n x x x x y x x n 满足微分方程()()()'''++=xy x y x y x e ，并求幂级数30(3)!∞=∑nn x n 的和函数.第九章多元函数微分法及其应用同步测试B 答案及解析一、单项选择题答案详细解析1. 解利用级数的性质.若lim 0→∞≠n n u ，则2lim 0→∞≠nn u ，因此级数21∞=∑n n u 发散， ()A 正确；若1∞=∑n n u 绝对收敛，即1∞=∑n n u 收敛，则lim 0→∞=n n u ，2lim lim 01→∞→∞==<nn n n nu u u根据正项级数的比较审敛法知21∞=∑n n u 收敛，()B 正确；若级数21∞=∑n n u 收敛，则2lim 0lim 0→∞→∞=⇒=nn n n u u ，()D 正确；故选()C .事实上，令(1)=−nn u ，则1∞=∑n n u 收敛，但2111∞∞===∑∑n n n u n发散. 『方法技巧』本题考查级数收敛的必要条件及正项级数的比较审敛法. 『特别提醒』比较审敛法只限于正项级数使用.2.解由于幂级数1(1)∞=−∑n n n a x 在0=x 处收敛，则该级数在以1为中心，以0和1之间的距离1为半径的开区间11−<x ，即02<<x 内，级数绝对收敛.又级数在2=x 处发散，则在以1为中心，以1和2之间的距离1为半径的区间外11−>x ，即0<x 或2>x 内，级数发散.因此级数的收敛区间（不含端点）为(0,2)，则收敛域为[0,2)，故选()A .『方法技巧』本题考查幂级数的阿贝尔定理.『特别提醒』阿贝尔定理经常出现在各类考试的选择题或填空题中，要求大家熟练掌握它.3. 解由于1∞=∑n n n a x 的收敛半径1=R ，则有1lim1→∞+=nn n a a . 幂级数0!∞=∑nn n a x n 的收敛半径为 11!lim lim (1)(1)!→∞→∞++'==+=+∞+nn n n n n a an R n a a n ，因此收敛域为(,)−∞+∞，故选()D .『方法技巧』本题考查幂级数的收敛半径和收敛域. 由于级数是标准的幂级数，直接代入公式即可求出收敛半径=+∞R .4. 解由于存在充分大的n ，有,sin 02π<>x xn n，所以从某时刻开始，级数1(1)sin ∞−=−∑k k nxk 是交错级数，且满足 sin sin ,limsin 01→∞≤=+k x x x k k k ，即满足莱布尼茨定理的条件，所以此交错级数收敛，而前有限项（1−n 项）不影响级数的敛散性，因此原级数11(1)sin ∞−=−∑n n xn 收敛.又由于sinlim 01→∞=>n xn x n，因此级数111(1)sin sin ∞∞−==−=∑∑n n n x x n n 发散，所以原级数11(1)sin ∞−=−∑n n xn 条件收敛，故选()B .『方法技巧』本题考查正项项级数的比较审敛法及绝对收敛、条件收敛的概念和级数的性质.『特别提醒』解题中需要说明，此级数可能不是从第一项就是交错级数，从某项以后为交错级数，而前有限项不影响级数的敛散性. 二、填空题 5. 2 6. 0 7. 212π− 8. 2x xe答案详细解析5. 解考查幂级数1∞=∑n n nx ，其收敛域为(1,1)−.由111∞∞−===∑∑nn n n nx x nx，令11()∞−==∑n n f x nx ，则111()1∞∞−=====−∑∑⎰⎰xxn n n n x f x dx nx dx x x因此21()()1(1)'==−−x f x x x ，故21()(1)∞===−∑nn x nx xf x x ，所以 2111112()()21222(1)2∞====−∑n n n f 『方法技巧』本题考查幂级数的收敛域及和函数.求常数项级数的和经常转化为讨论幂级数的和函数在确定点的值.『特别提醒』在幂级数求和时，经常使用逐项积分和逐项求导的方法，将其转化为熟悉的幂级数（如等比级数），注意级数的第一项（0=n 或1=n ）.6. 解考虑级数21!(!)∞=∑n n n ，由比值审敛法 212(1)!(!)1lim lim lim 01![(1)!]1+→∞→∞→∞+===<++n n n n nu n n u n n n 因此级数21!(!)∞=∑n n n 收敛，由收敛级数的必要条件得2!lim 0(!)→∞=n n n . 『方法技巧』本题考查利用收敛级数的必要条件求极限.这是求数列极限的一种方法，有些数列变形十分复杂，可考虑将其作为级数的一般项讨论.7. 解由题设 222211111236π∞==+++=∑n n，则2222222111111111(2)42464624ππ∞∞====++=⨯=∑∑n n n n 22222222111111111(21)35(2)6248πππ∞∞∞====+++=−=−=−∑∑∑n n n n n n 故 222222222111111111(1)122234(21)6812πππ∞∞∞===−=−+−+−=−=−⨯=−−∑∑∑nn n n n n n 『方法技巧』本题考查收敛级数的性质——收敛级数的代数和仍收敛（此性质只适用于收敛级数）.『特别提醒』一些同学不熟悉符号∑，可以将其写成普通和的形式，看起来会方便一些.8. 解由于函数xe 的幂级数展开式为 01()!∞==−∞<<+∞∑xnn e x x n ，而 2122000111()!!!∞∞∞+=====∑∑∑n n n n n n x x x x x n n n 因此 22120011()()!!∞∞+=====∑∑n n x n n S x x x x xe n n .『方法技巧』本题考查指数函数()=x f x e 的幂级数展开式01()!∞==−∞<<+∞∑xnn e x x n 一般而言，若幂级数的系数为1!n 时，求和时可能与指数函数x e 有关；若幂级数的系数为1(21)!−n 或1(2)!n 时，求和时可能与三角函数sin x 或cos x 有关.三、解答题9. 解判断条件收敛的运算过程是错误的.由于lim11→∞→∞===n n n n u ，因此由比较审敛法知，级数∞=n2∞=n n 不是绝对收敛的.错误在于：莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的一个充分条件，不是必要的，因此并不能说明不满足莱布尼茨定理的第二个条件，级数就一定不收敛.本题的正确解法要用级数收敛的充分必要条件，即研究lim →∞n n S 是否存在.正确解法：212⎛=+++ ⎝n S n由于每个括号均为负数，因此2n S 单调递减，且有212⎛=+++⎝n S n12⎛>+++⎝n=> 因此2lim →∞n n S 存在，不妨设2lim →∞=n n S S ，而21221221lim lim()lim lim 0+++→∞→∞→∞→∞=+=+=+=+=n n n n n n n n n n S S u S u S S S从而得到lim →∞=n n S S ，即级数∞=n n .『方法技巧』本题考查绝对收敛和条件收敛的概念、莱布尼茨定理的应用及级数收敛的充分必要条件.1∞=∑nn u收敛⇔部分和n S 的极限存在，即lim →∞=n n S S『特别提醒』莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的充分非必要条件，即使不满足莱布尼茨定理，级数也可能收敛.10. 解由于级数的一般项中含有连乘的形式，所以用比值审敛法1111lim 0 111limlim0111 12→∞+++→∞→∞⎧⎪=>⎪⎪+⎪⎪==≤<⎨+⎪⎪=⎪⎪⎪⎩n n n n n n n nx x x u xx x u x x 故对任意的0≥x ，原级数均收敛.『方法技巧』本题考查正项级数的比值审敛法.若正项级数的一般项中含有连乘（包括阶乘!n ）时，一般考虑用比值审敛法判断级数的敛散性.『特别提醒』由于x 的范围不同，1lim+→∞n n nu u 不同，故需要分别进行讨论，但不论什么情况，极限值均小于1，因此级数收敛.11. 解考虑幂级数21(21)∞=+∑nn x n n由于2211(1)(23)limlim 1(21)+→∞→∞++==+n n n nu n n x x u n n ，故其收敛半径为1=R ，而当1=±x 时，级数11(21)∞=+∑n n n 均收敛，因此幂级数的收敛域为[1,1]−.令 22111()(1)(21)(21)+∞∞====<++∑∑n n n n x x S x x x n n n n则 2212112(),()21∞∞−=='''===−∑∑n n n n x xS x S x x n x 因此 22002()(0)()ln(1)1''''−===−−−⎰⎰xxxS x S S x dx dx x x又 (0)0'=S ，则 2()ln(1)'=−−S x x ，同理2201()(0)()ln(1)ln(1)2ln1+'−==−−=−−+−−⎰⎰xxxS x S S x dx x dx x x x x而 (0)0=S ，则 21()ln(1)2ln1+=−−+−−xS x x x x x，故1111)](21)22∞====+−+∑nn n n2ln 21)=++『方法技巧』本题考查利用幂级数求常数项级数的和，这是一种常用方法，关键要做出合适的幂级数.本题由于级数一般项的分母中含有因式21+n ，故所做级数为21(21)∞=+∑n n x n n，此时只要令=x ，即为所求的常数项级数.『特别提醒』在求幂级数的和时，不要忽略了收敛域的讨论，要保证常数项级数是幂级数取收敛域内的点.12. 解 2()ln(3)ln ln(3)=−=+−f x x x x x1ln[1(1)]ln[2(1)]ln[1(1)]ln 2ln[1()]2−=+−++−=+−+++xx x x 由于 234111ln(1)(1)(1)(11)234∞−−=+=−+−++−+=−−<≤∑nnn n n x x x x x x x x nn则 11111()(1)2()ln 2(1)(1)∞∞−−==−−=+−+−∑∑n nn n n n x x f x n n12111(1)(1)ln 2(1)(1)2∞∞−−==−−=+−+−∑∑n nn n nn n x x n n 111(1)ln 2[(1)]2∞−=−=+−−∑nn n n x n且满足1111112−<−≤⎧⎪⎨−−<≤⎪⎩x x，即 02<≤x . 『方法技巧』本题考查形如()ln(1)=+f x x 的函数展开式及收敛域11−<≤x .首先将2()ln(3)=−f x x x 化为1()ln[1(1)]ln 2ln[1()]2−=+−+++xf x x ，将第一项中的1−x 看成标准形中的x ，第二项中的12−x看成标准形中的x ，再展开. 『特别提醒』 ()ln(1)=+f x x 的展开式可以用如下方法记忆：由于 231111111(1)(1)1∞−−−−==−+−++−+=−+∑n n n n n x x x xx x两边积分得11234011111(1)(1)ln(1)1234−−∞=−−+==−+−+++=+∑⎰n n xnnn x dx x x x x x x x n n13. 解所求极限实际上是级数1212∞=−∑nn n 的和，因此可考虑幂级数 221(21)∞−=−∑n n n x令 22221222111()(21)()()1(1)∞∞−−==+''=−===−−∑∑n n n n x x S x n xxx x故2321113521112lim()31222222(1)2→∞+−++++===−n n n S 『方法技巧』本题考查利用级数的和求其部分和的极限.关键是找到一个适当的幂级数，利用它求出常数项级数的和，再利用级数收敛的充要条件求极限.『特别提醒』 1212∞=−∑nn n 不刚好等于S ，而是相差12倍. 14. 解当(,)∈−∞+∞x 时，3693()13!6!9!(3)!=++++++n x x x x y x n ，(0)1=y则 25831()2!5!8!(31)!−'=+++++−n x x x x y x n ，(0)0'=y4732()4!7!(32)!−''=+++++−n x x x y x x n ，故4732258314!7!(32)!2!5!8!(31)!−−'''++=+++++++++++−−n n x x x x x x x y y y x n n369313!6!9!(3)!+++++++n x x x x n2345612!3!4!5!6!!=++++++++++=n x x x x x x x x e n所以()y x 满足方程'''++=x y y y e .由于幂级数30(3)!∞=∑nn x n 的和函数为()y x ，因此所要求的是二阶常系数非齐次线性微分方程 '''++=x y y y e 的满足条件(0)1,(0)0'==y y 的特解()y x .其特征方程为210++=r r ，特征根为1,2122=−±r i ，对应的齐次方程的通解为212(cossin )22−=+x Y e C x C x ，又因1λ=不是特征根，则其特解形式为*=x y Ae ，代入原方程，解得13=A ，故微分方程的通解为11 2121(cos sin )223−=++x x y e C x C x e ，将(0)1,(0)0'==y y 代入得122,03==C C ，所求微分方程的特解为221cos 323−=+x x y e x e 因此32021cos (3)!323∞−==+∑x n x n x e x e n 『方法技巧』本题考查幂级数逐项求导及二阶常系数非齐次线性微分方程的求通解和特解.。

无穷级数题(含答案)

⎛ ⎜⎝
∞ n=0
xn
⎞′′ ⎟⎠
=
1 2
(1 +
∞
x)n=2n(n− 1) x n −2
∑ ∑ = 1 ∞ n(n −1)xn−2 + 1 ∞ n(n −1)xn−1
2 n=2
2 n=2
∑ ∑ ∑ = 1
∞ (n + 2)(n +1)xn + 1
∞
(n +1)nxn =
∞
(n +1)2 xn ,
x <1
n=1
(2n)!n
∑ 27, 令 S(x) = ∞ 2n + 3 x2n , x ∈ (−∞, +∞).，则 n=0 n!
∑ ∑ ∑ S(x) =
∞
2nx2n + 3 ∞
(x2 )n
∞
=2
x2n + 3ex2
n=0 n!
n=0 n!
n=1 (n −1)!
∑∞
=2
x2 (x2 )n + 3ex2 = 2x2ex2 + 3ex2 = (2x2 + 3)ex2 .
=1 e
≠ 0 ，级数发散。
n
（6） lim un+1 = 0 ，级数收敛。 u n→∞
n
（7）因为 lim n→∞
un 1
∑ = lim n +1 = 1 ，原级数与级数 ∞
1
敛散
n→∞ n
n=1 (n +1) ln(n +1)
(n +1) ln(n +1)
性相同，故原级数发散。 18，（1）条件收敛（用莱布尼兹判别法即可）；（2）条件收敛；

高等数学2(理)15级试卷A

《高等数学2（理）》课程试题参考答案及评分标准
( A卷)
适用专业年级：2015理工科类专业考试时间:120 分钟
命题人：唐亮
一、填空题（每题4分，共20分）
1、；2、； 3、； 4、； 5、
二、选择题（每题4分，共20分）
1、B 2、D 3、C 4、A 5、C
三、计算题（每题7分，共42分）
求得驻点，（8分）
由问题的实际意义知资金投入存在最佳分配方案，故资金投入最佳分配方案为500劳动力和50单位资金。（9分）
2、解平面与曲面交线在平面上投影为
（3分）
所以立体在平面上投影区域为，
所求体积为（5分）
设，（7分）
所以 .（9分）
即（7分）
注也可以用曲线积分计算
5、由题意知，
在平面上投影区域，（3分）则
，（7分）
6、由比值判别法得，当时，级数发散，所以收敛域为 (3分）
设和函数为，（5分）
所以（7分）
四、应用题（每题9分，共18分）
1、解由题意得所求问题为
max ,s,t, （2分）
令（4分）
由拉格朗日乘数法得
1、解原方程两边对求偏导得； (1)
原方程两边对求偏导得 , (2) （4分）
(1)+(2) 得 .
所以（7分）
2、曲线的参数方程为（3分）
.（7分）注：也可用格林公式
3、解由对称性得（3分）
. (7分)
4、解由全微分的性质得，（2分）
两边对积分得，（4分）
再由可得，因为，所以

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(新课标Ⅱ卷,含解析)

【解析】由已知得
B
x
2
x
1 ，故
A
B
1,0 ，故选
A
（2）若 a 为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则 a=（）
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2
【答案】B
（3）根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 2007 年我国治理二氧化硫排放显现 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】D 【解析】由柱形图得，从 2006 年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份
负相关．
（4）等比数列｛an｝满足 a1=3， a1 a3 a5 =21，则 a3 a5 a7 (
)
（A）21 【答案】B
（B）42
（C）63 （D）84
（5）设函数
f
(x)
1 log 2x1, x
2(2 1,
x),
x
1,
,
f
(2)
f
(log 2 12)
(
)
（A）3 （B）6 【答案】C
（A）
（B）
（C）【答案】A 【解析】
（D）
g(x)
记函数
f (x)
g'(x)
x ，则
xf ' (x) x2
f (x) ，因为当 x 0 时， xf ' (x) f (x) 0 ，故当
x 0 时， g ' (x) 0 ，所以 g(x) 在 (0, ) 单调递减；又因为函数 f (x)(x R) 是奇函数，故

2015第七届全国大学生数学竞赛年试卷和答案

2015 年第七届预赛（非数学类）参考答案
一、每小题 6 分，共计 30 分。 π 2 ⎛ ⎞ ⎜ sin n sin n π sin π ⎟ + 2 +L+ 2 (1) 极限 lim n ⎜ 2 ⎟= n →∞ n +n⎟ ⎜ n +1 n + 2 ⎝ ⎠
2
π
。
i π n sin i 1 n 1 n i n π ≤ sin 解：由于 ≤ ∑ sin π , 而 ∑ ∑ i n + 1 i =1 n n i =1 n i =1 n+ n
同样，方程对 y 求导，得到 y
于是 x
∂z ∂z z ( xFu + yFv ) − xy ( xFu + yFv ) +y = = z − xy ∂x ∂y xFu + yFv
（3）曲面 z = x + y + 1 在点 M(1,‐1,3)的切平面与曲面 z = x + y 所围区域的体积为
2 2 2 2
2
1 (e x−1 − 1)，x ≠ 1 x −1 x =1
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐14 分
五、（16 分）设函数 f 在[0,1]上连续，且（1） ∃x0 ∈ [0,1] 使 f ( x0 ) > 4 （2） ∃x1 ∈ [0,1] 使 f ( x1 ) = 4
∫
1
0
f ( x)dx = 0,∫ xf ( x)dx = 1 。试证：
∞
S 2 ( x) = e x −1
( x − 1) S 3 ( x) = ∑
得到，当 x ≠ 1 时 S 3 ( x ) =
∞ 1 1 ( x − 1) n +1 = ∑ ( x − 1) n = e x −1 − 1 n = 0 ( n + 1)! n =1 n!

上海交通大学2015-2末高数试卷(A类)

2015级高等数学第二学期期末试卷(A 类)一、单项选择题 (每小题3分，共15分)1. 设232ln(3)z x x y =-，则(1,0)x z = ( )(A) 4; (B) 3; (C) 2; (D) 1.2. 设L 为曲线22290x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩，则222(3)d L x y z s --=⎰ ( )(A) 27π； (B) 18π； (C) 12π； (D) 6π。

3. 设∑是正圆锥面1)z z =≤≤,则曲面积分d z S ∑=⎰⎰ ( )(A)3；(B)3；； (D)π。

4. 下列命题中，正确命题的个数为 ( )① 若0n n x ∞=∑收敛，且lim 1n n y →∞=，则0n n n x y ∞=∑收敛；② 如果()f x 在[1,1]-上有各阶导数，则()0(0)(), [1,1].!k k k f f x x x k ∞==∈-∑③ 若级数1n n a ∞=∑,1n n b ∞=∑都收敛，且(1,2,)n n n a c b n ≤≤=⋅⋅⋅，则1n n c ∞=∑也收敛。

(A)0； (B)3； (C)2； (D)1。

5. 已知级数和16212n n =∞∑=π，则级数和12121()n n -=∞∑是： ( ) (A)π216； (B)π212； (C)π28； (D)24π.二、填空题 (每小题3分，共15分)6. 函数22(,)f x y x xy y =+-在点(1,1)-处的最大变化率为：___________.7. 设区域D 由曲线2241x y +=围成，则(4)d d Dxy x y +=⎰⎰__________.8. 设三角形ABC 的三个顶点为(2,0),(1,1),(0,0)A B C ，L 为三角形ABC 区域的正向边界，则曲线积分22()d (22)d Lx y x x xy y -+-=⎰____________.9. 微分方程(2)d (2)d 0x y x x y ++-=的通解为: _________________________.。

2015GCT逻辑真题和答案---有一定的参考意义,如果时间允许可以看看 (1)

第三部分逻辑推理能力测试（50小题，每小题2分，满分100分）1．评论者：许多历史学家断言，他们本人在论述历史问题的时候，像任何自然科学家一样，是客观的，很少受到伦理道德的或者美学的先入之见的影响。

我们显然不能接受这些历史学家的说法，因为很容易找到一些错误的历史论著，这些论著表现出作者在思想观念上的或其他方面的先入之见。

这位评论者的推理是有缺陷的，因为他A．错误地认为许多强调方法论的历史学家打算彻底消除先入之见。

B．理所当然地认为自然科学家所提出的客观性要求应当适用于其他领域。

C．不适当地认为一切具有意识形态的历史学著作都是错误的。

D．理所当然地认为某些带有先入之见的历史著作是那些声称自己是客观的历史学家写的。

2．最近的一项调查询问了新闻系学生喜欢阅读的报道类型，结果表明大部分人关注政治和民生类型的问题，并且难以容忍现今大众喜爱的关于时尚和明星八卦类型的报道。

所以，当今追逐时尚和八卦的报道倾向是建立在对大众兴趣错误的假设之上的。

以下哪项陈述最准确地描述了上述论证中的缺陷？A．它把对一个事物的有利条件视为促成这个事物的充分条件。

B．它所依赖的样本群体的看法几乎不能支持该论证的结论。

C．它基于一个与事实相反的假设进行推论，结论没有可信性。

D．它将一个现象可能导致的结果当成了这个现象产生的原因。

3．2015年7月14日，欧元区经过艰难的谈判，希腊债务危机暂时得到平息。

如果希腊债务危机得不到解决，将会对欧元区的经济产生负面影响。

但希腊只有进行广泛改革，才能重返经济发展的道路。

希腊或者减少福利，或者实现经济大幅发展，否则，债务危机将是难解之题。

如果以上陈述为真，则以下哪项陈述必然为真？A．如果希腊减少福利，或者实现了经济大幅发展，则可以解决债务危机。

B．如果希腊债务危机得到合理解决，就不会对欧元区的经济产生负面影响。

C．如果希腊要解决债务危机，但还无法实现经济大幅发展，就必须减少福利。

D．如果希腊不减少福利，或者不能实现经济大幅发展，将会对欧元区的经济产生负面影响。

31、高等数学(下)(2015)联考试卷

16. 设曲线积分 (6xy2 y3)dx (6x2 y 3xy2 )dy ,其中 L 为 xoy 平面上一条有向
L
曲线，（1）证明：该曲线积分在整个 xoy 平面上与路径无关，
(3, 4)
（2）计算： I (6xy2 y3)dx (6x2 y 3xy2 )dy 。 (1, 2)
0
0
0
2
2
2
（D） d d f ( cos , sin , z)dz
0
0
1 2
2
重庆市江南片区高校 2015 级《高等数学》（下）联考试卷第 1 页（共 6 页）
4.设有平面区域 D (x, y) 1 x 1, x y 1 , D1 (x, y) 0 x 1, x y 1
则 (xy cos x sin y)d =（
13.计算二重积分I (2017 4x2)dxdy ,其中D (x, y) x2 y2 1 。
D
得分评卷人六、计算题（本大题共分 10 分）：复查人
14.计算 I x dydz y dzdx z dxdy，其中是旋转抛物面 z x2 y2 介于平面
z 0 及 z 1之间的部分的下侧。
重庆市江南片区高校 2015 级《高等数学》（下）联考试卷第 4 页（共 6 页）
得分评卷人七、应用题（本大题满分 10 分）：复查人
15.
将函数
f (x)
x2
1 3x
2
展成
x
的幂级数，并指出其收敛域。
得分评卷人八、综合应用题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）复查人
y 2 )与z
2
围成，则在柱坐
（）。
学号：

2015年高考广东省理科数学A卷真题含答案解析(超完美版)

2015年高考广东省理科数学A 卷真题一、选择题1.若集合()(){}410x x x M =++=，()(){}410x x x N =--=，则M N = （） A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅2.若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =（）A ．23i -B ．23i +C ．32i +D ．32i - 3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y =B ．1y x x=+C ．122xx y =+D ．x y x e =+ 4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A ．521B ．1021C ．1121D ．15.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（） A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y +=或20x y += C ．250x y -+=或250x y --=D．20x y -=或20x y -=6.若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为（）A ．4B ．235C ．6D ．3157.已知双曲线C :22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为()2F 5,0，则双曲线C 的方程为（）A ．22143x y -= B ．221916x y -= C ．221169x y -= D ．22134x y -= 8.若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（） A ．至多等于3 B ．至多等于4 C ．等于5 D ．大于5 二、填空题 9.在)41的展开式中，x 的系数为10.在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ．11.设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a =1sin 2B =，C 6π=，则b = ．12.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答） 13.已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ． 14.已知直线l的极坐标方程为2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，点A的极坐标为74π⎛⎫A ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为．15.如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，C E 是圆O 的切线，切点为C ，C 1B =．过圆心O 作C B 的平行线，分别交C E 和C A 于点D 和点P ，则D O = ．三、解答题16.在平面直角坐标系xoy 中，已知向量(,),(sin ,cos ),(0,)222m n x x x π=-=∈（1）若m n ⊥，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值.（1）用分成抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值x 和方差2s ；（3）36名工人中年龄在x s -和x s +之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？18.如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4,6,3PD PC AB BC ====，点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==. （1）证明：PE FG ⊥；（2）求二面角P AD C --的正切值；（3）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值19.设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-(1) 求()f x 的单调区间；(2) 证明()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m,n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：1m ≤-.20.已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B.(1) 求圆1C 的圆心坐标；(2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；是否存在实数k,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.21.数列{a }n 满足：*12122......3,2n n n a a na n N -+++=-∈.(1) 求3a 的值；(2) 求数列{a }n 的前 n 项和n T ；（3）令111111,(1......)(2),23n n n T b a b a n n n-==+++++≥证明：数列{}n b 的前n 项和S n 满足22ln n S n <+2015年高考广东省理科数学A 卷真题一、选择题 1.答案：D 解析过程：因为()(){}{}|4104,1M x x x =++==--，()(){}{}|4101,4N x x x =--==，所以M N =∅ ，选D 2.答案：A 解析过程：因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，选A ． 3.答案：D 解析过程：对于选项A ：定义域为R ，()()f x f x -==，所以，y =对于选项B ：定义域为{}0x x ≠，()()1f x x f x x-=+-=--，所以，1y x x=+为奇函数；对于选项C ：定义域为R ，()12()2xxf x f x ---=+=，所以，122xx y =+为偶函数；对于选项D ：定义域为R ，()x f x x e =+，则()11f e =+，()111f e --=-+ 即()()11f f -≠，()()11f f -≠-，所以x y x e =+既不是奇函数也不是偶函数，选D ． 4.答案：B 解析过程：从袋中任取2个球共有215105C =种，其中恰好1个白球1个红球共有1110550C C =种，所以恰好1个白球1个红球的概率为5010=10521，选B ． 5.答案：A 解析过程：设所求切线方程为20x y c ++=，=5c =±，所以所求切线的直线方程为250x y ++=或250x y +-=，选A 6.答案：B 解析过程：不等式所表示的可行域如下图所示，由32z x y =+得322z y x =-+，当目标函数直线l ：322z y x =-+经过41,5A ⎛⎫⎪⎝⎭时， z 取得最小值即min 42331255z =⨯+⨯=，选B 7.答案：C 解析过程：因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为54c e a ==，所以5c =，4a =，2229b c a =-=所以所求双曲线方程为221169x y -=，选C 8.答案：B解析过程：正四面体的四个顶点是两两距离相等的，即空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值至多等于4，选B 二、填空题 9.答案：6 解析过程：由题意得()()44214411r rrrr r r T C C x--+=-=-，令412r-=，解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=10.答案：10 解析过程：因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=， 345675525a a a a a a ++++==即55a =，285210a a a +== 11.答案：1 解析过程：因为1sin 2B =且()0,B π∈，所以6B π=或56B π=，又6C π=，所以6B π=，23A B C ππ=--=，又a =sin sin a bA B=sin sin36bπ=解得1b = 12.答案：1560解析过程：依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了24040391560A =⨯=条毕业留言13.答案：13解析过程：由题意得()30E X np ==且()()120D X np p =-=，解得13p = 14.解析过程：由题意得l：2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭可化为l ：10x y -+=和()2,2A -，所以点A 与直线l 的距离为d ==15.答案：8 解析过程：如下图所示，连接OC ，因为//OD BC ，又BC AC ⊥，所以OP AC ⊥，又O 为AB 线段的中点，所以1122OP BC ==，在Rt OCD ∆中，122OC AB ==，由直角三角形的射影定理可得2OC OP OD =⋅即22282OC OD OP===，三、解答题16.答案：（1）；（2）． 1512x π=解析过程：（1）因为()22m =- ，(sin ,cos )n x x = ，且m n ⊥ ，m n x x ⋅= sin()4x π=-，又(0,)2x π∈，所以，(,)444x πππ-∈-，所以04x π-=即4x π=，所以，tan tan14x π==；（2）由（1）得cos sin()34m n x m n ππ⋅==-⋅所以1sin()42x π-=，又(,)444x πππ-∈-，所以，46x ππ-=，即512x π= 17.答案：（1）44,40,36,43,36,37,44,43,37 （2），；（3），约占．解析过程：（1）由题意得，所抽样本编号是一个首项为2，公差为4的等差数列，故其所有样本编号依次为：2,6,10,14,18,22,26,30,34，对应样本的年龄数据依次为：44,40,36,43,36,37,44,43,37；（2）由（1）得其样本的均值为444036433637444337409x ++++++++==方差为2221[(4440)(4040)9s =-+-22(3640)(4340)+-+-22(3640)(3740)+-+-222(4440)(4340)(3740)]+-+-+-40x =21009s =2363.89%222221[40(4)3(4)9=++-++-2222100(3)43(3)]9+-+++-= （3）由（2）知：103s =，所以2363x s -=，1433x s += 所以，年龄在x s -与x s +之间共有23人，所占百分比为2363.89%36≈ 18.答案：（1）证明见解析；（2（3．解析过程：（1）证明：∵ 且点为的中点， ∴ ，又平面平面，且平面平面，平面， ∴ 平面，又平面， ∴ ；（2）∵ 是矩形，∴ ，又平面平面，且平面平面，平面， ∴ 平面，又、平面， ∴ ，，∴ 即为二面角的平面角，在中，，， PD PC =E CD PE DC ⊥PDC ⊥ABCD PDC ABCD CD =PE ⊂PDC PE ⊥ABCD FG ⊂ABCD PE FG ⊥ABCD AD DC ⊥PDC ⊥ABCD PDC ABCD CD =AD ⊂ABCD AD ⊥PCD CD PD ⊂PDC AD DC ⊥AD PD ⊥PDC ∠P AD C --Rt PDE ∆4PD =132DE AB ==PE PC DEFG∴ 即二面角；（3）如下图所示，连接，∵ ，即， ∴ ，∴ 为直线与直线所成角或其补角，在中，，，由余弦定理可得， ∴ 直线与直线． 19.答案：（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．解析过程：（1）依题， ∴ 在上是单调增函数；（2）因为1a >，所以()010f a =-<且()22(1)10a f a a e a a a =+->+-> 所以，()f x 在(0,)a 上有零点，又由（1）知：()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数，()f x 在(),-∞+∞上仅有一个零点；（3）由（1）知()0f x '=得1x =-，tan PE PDC DE ∠==P AD C --AC 2AF FB =2CG GB =2AF CG FB GB==//AC FG PAC ∠PA FG PAC ∆5PA ==AC =22222254cos 2PA AC PC PAC PA AC +-+-∠===⋅PA FG (),-∞+∞()()()()()222'1'1'10x x x f x x e x e x e =+++=+≥()f x (),-∞+∞P CD E F G又2(1)f a e -=-，即2(1,)P a e-- 所以2010OP a e k --=--2a e =- 又()2(1)m f m m e '=+，所以22(1)m m e a e+=- 令()1m g m e m =--，则()1mg m e '=-，所以，由()0g m '>得0m >，由()0g m '<得0m <，所以，函数()g m 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，所以，min ()(0)0g m g ==，即()0g m ≥在R 上恒成立，所以1m e m ≥+，所以2232(1)(1)(1)(1)m a m e m m m e -=+≥++=+即1m +，所以1m ≤ 20.答案：（1）()3,0；（2）492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x ；（3）存在，752752≤≤-k 或34k =±．解析过程：（1）圆1C ：22650x y x +-+=化为22(3)4x y -+= 所以，圆1C 的圆心坐标为()3,0；（2）设线段AB 的中点00(,)M x y ，由圆的性质可得1C M 垂直于直线l设直线l 的方程为y mx =（易知直线l 的斜率存在）所以11C M k m ⋅=-，00y mx =，所以000013y y x x ⋅=-- 所以2200030x x y -+=即220039()24x y -+= 因为动直线l 与圆1C2<，所以245m < 所以202022054x x m y <=，所以20200543x x x <-，解得350>x 或00<x ，又因为300≤<x ，所以3350≤<x . 所以),(00y x M 满足49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<3350x 即M 的轨迹C 的方程为492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x . （3）由题意知直线L 表示过定点T (4,0)，斜率为k 的直线. 结合图形，49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<3350x 表示的是一段关于x 轴对称，起点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-352,35按逆时针方向运动到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛352,35的圆弧. 根据对称性，只需讨论在X 轴对称下方的圆弧.设P 5(,3，则752354352=-=PT k , 而当直线L 与轨迹C 相切时，2314232=+-k k k ，解得43±=k .在这里暂取43=k ，因为43752<，所以k k PT <结合图形，可得对于X 轴对称下方的圆弧，当0752≤≤-k 或34=k 时，直线L 与X 轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知752752≤≤-k 或34±=k . 综上所述：当752752≤≤-k 或34±=k 时，直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一交点.21.答案：（1）；（2）；（3）证明见解析．解析过程：（1）由题意得： 3123123(23)(2)a a a a a a =++-+3121322234(4)224--++=---=，所以，314a =；（2）由题意得，当1n >时，12(2)n n na a a na =+++ 121[2(1)]n a a n a --++-141122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭121214(4)222n n n n n n ---++=---=，所以，11()2n n a -=，又1012412a +=-=也适合此式，所以，11()2n n a -=，所以，数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，故111()122()1212nn n T --==--；（3）由题意得12111(1)2n n n a a a b a n n-+++=++++ 所以，11b a =，1221(1)22a b a =++，123311(1)323a ab a +=+++ 所以，12n n S b b b =+++ 1211(1)()2n a a a n =++++++ 11(1)2n T n =+++ 1111(1)(2)22n n -=+++- 112(1)2n <⨯+++ 记1()ln 1(1)f x x x x =+->，则()221110x f x x x x-'=-=> 所以，()f x 在()1,+∞上是增函数，又()10f =即()0f x > 又2k ≥且*k N ∈时，11k k >-，所以，1()ln 10111k k f k k k k =+->---，即1ln 1k k k >- 所以，12ln 21<，13ln 32<，，1ln 1n n n <-，即有11123ln ln ln ln 23121n n n n +++<+++=- ，所以，1112(1)22ln 23n n ⨯++++<+ ，即22ln n S n <+。