(A卷)2015级场论与无穷级数(信)考试试卷

南开大学2015级“场论与无穷级数（信）”结课统考试卷 （A 卷） 2016年6月13日 草稿区

（说明：答案务必写在装订线右侧，写在装订线左侧无效。影响成绩后果自负。）

一、判定下列级数的敛散性(2054=⨯分): (1) ∑∞

=+-1

2

21

n n n ;

(2) ∑∞

=12

3

n n n ;

(3) )0(,)1

(

1

>+∑∞

=a n an n n

;

(4) ∑∞

=-+-1

11ln )1(n n n n

.

二、求幂级数

∑∞

=+0

)12(n n

x

n 的收敛域，并求其和函数。（本题10分）.

三、求函数2

31

)(2++=

x x x f 在4-=x 处的泰勒展开.（本题10分） 草稿

四、求下列微分方程的通解或初值问题的解（每小题5分）： （1）034'

''=++y y y ；

（2）122'

+=+x y y

（3）x

e y y y 2'

'

'56=++；

（4）4

y x y dx dy +=;

（5）1)0(,0)1(2==++y dy x dx y ;

五、计算下列广义积分（每小题5分）： 草稿区

（1） ⎰

-1

2

31dx x

x ；

（2）

⎰

+1

32

3

)

1(x x dx

六、（本题9分）将函数)0(,1)(π≤≤+=x x x f 展开为正弦级数. .

场论与无穷级数（信）A4-3

七、（本题8分）讨论积分dx x x x F ⎰+∞

-+=

)

1()(αα的敛散性, 其中0>α. 草稿区

八、（8分）计算积分⎰-=2

/0

22)sin ln()(πdx x a a I ，其中1||>a .

场论与无穷级数（信）A4-4