甘肃省高三上学期数学9月月考试卷
甘肃省张掖市临泽县第一中学2022高一数学上学期9月月考试题(含解析)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数单调性直接可得结果
【详解】因 函数 在 和 上单调递增，所以对应区间范围为 和 ，因此值域为 ，选B.
【点睛】本题考查反比例函数单调性以及值域，考查基本分析求解能力，属基础题。
9.若 ，则下列结论正确的是( )
A. B.
则f（x）=
(2) 函数y=f（x）为减函数且f(3x-1)
,解得
即x的取值范围为
【点睛】该题是一道对数函数的题目，掌握对数函数图象性质和单调性是解题的关键，属于中档题目.
21.已知函数 ， .
⑴当 时，若 的最大值为2，求 的值；
⑵求使 的 取值范围.
【答案】⑴ ⑵当 ，解集为 ；当 ，解集为
【解析】
【答案】D
【解析】
A,B,C不可作为函数图像；因为在图像对应的自变量x的取值范围内存在自变量 ，有两个y值与之对应，不符合函数的概念；D符合函数概念；故选D
4.函数 的值域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求对应二次函数的值域，再根据指数函数单调性求结果
【详解】因为 ，选B.
【点睛】本题考查指数型复合函数值域，考查基本分析求解能力，属基础题。
【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 或 求解，偶函数一般由 求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
15.已知函数 ， ，则 _______．
（2）
【点睛】本题考查指数运算以及对数运算，考查基本分析求解能力，属基础题。
三明一中2022-2023学年上学期月考二高三数学科试卷含答案
三明一中2022-2023学年上学期月考二高三数学科试卷（考试时间：120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{}{}22,3,4,230A B x x x ==∈+-<N ，则A B 中元素的个数是A.2B.3C.4D.52.复平面内表示复数622iz i+=-，则z =A. B. C.4 D.3.若非零实数,a b 满足a b >，则A.22ac bc> B.2b a a b+> C.e1a b-> D.ln ln a b>4.函数()cos f x x x =的图像大致是A ．B ．C ．D ．5.如图，在矩形ABCD 中，2AD =，点M ，N 在线段AB 上，且1AM MN NB ===，则MD 与NC所成角的余弦值为A ．13B ．45C ．23D ．356.足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.已知某“鞠”的表面上有四个点,,,P A B C ，满足1,PA PA =⊥面ABC ，AC BC ⊥，若23P ABC V -=，则该“鞠”的体积的最小值为A.256π B.9π C.92π D.98π7.如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n 项和为n S ，则22S =A.361B.374C.385D.3958.在ABC 中，角A、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin c A =，b a λ=，则实数λ的最大值是A.B．32+C．D．2二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分。
《高考真题》专题06 函数的奇偶性的应用-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)
专题06 函数的奇偶性的应用【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x ---D ．e 1x --+【答案】D【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当0x <时，0x ->，则()e x f x --=-1()f x =-，得()e 1x f x -=-+．故选D ．【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1),(3)(1)(1),4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=， 因此[](1)(2)(3)(50)12(1)()(2)(3)4(1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1),(4)(2)f f f f =-=-，所以(1)(2)0())(34f f f f +++=， 因为(2)(0)0f f ==，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==．故选C ．【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果．函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =______________．【答案】12【解析】(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+=．【名师点睛】（1）已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式；（2）已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．【命题意图】1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．以抽象函数的奇偶性、对称性、周期性为载体考查分析问题、解决问题的能力和抽象转化的数学思想． 【命题规律】高考对该部分内容考查一般以选择题或填空题形式出现，难度中等或中等上，热点是奇偶性、对称性、周期性之间的内在联系，这种联系成为命题者的钟爱，一般情况下可“知二断一”． 【答题模板】1．判断函数奇偶性的常用方法及思路 （1）定义法（2）图象法（3）性质法利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断． 注意：①性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．②性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程． 2．与函数奇偶性有关的问题及解决方法 （1）已知函数的奇偶性，求函数的值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． （2）已知函数的奇偶性求解析式已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可． （3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数在定义域关于原点对称的前提下，利用()f x 为奇函数⇔()()f x f x -=-，()f x 为偶函数⇔()f x -()f x =，列式求解，也可以利用特殊值法求解．对于在0x =处有定义的奇函数()f x ，可考虑列式(0)0f =求解．（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式．利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性． 【方法总结】1．函数奇偶性的定义及图象特点（1）偶函数：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称；（2）奇函数：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．2．判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果(()0)f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 3．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：（3）若奇函数的定义域包括0，则(0)0f =．（4）若函数()f x 是偶函数，则()()(||)f x f x f x -==．（5）定义在(,)-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．（7）一些重要类型的奇偶函数 ①函数()xxf x a a-=+为偶函数，函数()x xf x a a-=-为奇函数．②函数221()1x x x x xxa a a f x a a a ----==++（0a >且1a ≠）为奇函数． ③函数1()log 1axf x x-=+（0a >且1a ≠）为奇函数．④函数()log (a f x x =（0a >且1a ≠）为奇函数． 4．若()()f a x f a x +=-，则函数()f x 的图象关于x a =对称． 5．若()()f a x f a x +=--，则函数()f x 的图象关于(,0)a 对称．6．若函数()f x 关于直线x a =和()x b b a =>对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 7．若函数()f x 关于直线x a =和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为4()b a -． 8．若函数()f x 关于点(,0)a 和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 9．若函数()f x 是奇函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 10．若函数()f x 是偶函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 11．若函数()f x 是奇函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 12．若函数()f x 是偶函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 13．若函数()()f x x R ∈满足()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=均可以推出函数()f x 的周期为2a ．1．【重庆市第一中学2019届高三上学期期中考试】下列函数为奇函数的是 A ． B ． C ．D ．【答案】D【分析】根据奇函数的定义逐项检验即可．【解析】A 选项中 ，故不是奇函数，B 选项中 ，故不是奇函数，C 选项中，故不是奇函数，D 选项中，是奇函数，故选D ．2．【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】若函数2()22x a xx f x -=-是奇函数，则(1)f a -= A ．1- B ．23- C ．23D ．1【答案】B【分析】首先根据奇函数的定义，求得参数0a =，从而得到2(1)(1)3f a f -=-=-，求得结果． 【解析】由()()f x f x -=-可得22(2)22a x x x x--+=+，∴0a =，∴2(1)(1)3f a f -=-=-， 故选B ．【名师点睛】该题考查函数的奇偶性及函数求值等基础知识，属于基础题目，考查考生的运算求解能力． 3．【甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第一次模拟】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当 时3()x m f x =+(m 为常数)，则3(log 5)f -的值为A ．4B ．4-C ．6D ．6-【答案】B【分析】根据奇函数的性质 求出 ，再根据奇函数的定义求出3(log 5)f -．【解析】当 时3()x m f x =+(m 为常数)，则03(0)0m f =+=，则 ， ， 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴335log 35((log 5)()log )314f f -=-=--=-．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，解题的突破口是利用奇函数性质：如果函数是奇函数，且0在其定义域内，一定有 ．4．【甘青宁2019届高三3月联考】若函数3()1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +=A ．2B ．4C ．2-D ．4-【答案】A【分析】3()1f x x =+，可得()()2f x f x -+=，结合1lglg22=-，从而求得结果． 【解析】∵3()1f x x =+，∴()()2f x f x -+=，∵1lglg22=-，∴1(lg 2)(lg )22f f +=， 故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有奇函数的性质，属于简单题目，注意整体思维的运用．5．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】已知函数2()e e 21xxxxf x -=-++，若(lg )3f m =，则1(lg )f m = A ．4- B ．3- C ．2-D ．1-【答案】C【分析】先由2()e e 21xxxx f x -=-++得到()()1f x f x -+=，进而可求出结果．【解析】因为2()e e 21x xxx f x -=-++，所以21()e e e e 2121x x xx x x xf x -----=-+=-+++， 因此()()1f x f x -+=； 又(lg )3f m =，所以(lg )1(lg 1(lg )132)f mf m f m =-=-=-=-． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质，熟记函数奇偶性即可，属于常考题型． 6．【山东省济宁市2019届高三二模】已知 是定义在 上的周期为4的奇函数，当 时， ，则 A ． B ．0 C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意可得： ． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．7．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研】下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是 A ．3x y =B ．1ln||y x = C ．||2x y =D ．cos y x =【答案】B 【解析】易知1ln||y x =，||2x y =，cos y x =为偶函数， 在区间(0,)+∞上，1ln ||y x =单调递减，||2x y =单调递增，cos y x =有增有减． 故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试】若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =，当0x <时，2()log ()f x x m =-+，则实数m = A ．1- B ．0 C ．1D ．2【答案】C【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =， 且0x <时，2()log ()f x x m =-+， ∴211()log 2144f m m -=+=-+=-， ∴1m =． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及已知函数值求参数的方法，熟记函数奇偶性的定义即可，属于常考题型．9．【宁夏银川市2019年高三下学期质量检测】已知()f x 是定义在R 上奇函数，当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则3()f -=C ．2D ．1【答案】A【分析】利用函数()f x 是奇函数，得到(3)(3)f f -=-，再根据对数的运算性质，即可求解． 【解析】由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则22(3)(3)log (31)log 42f f -=-=-+=-=-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及对数的运算的性质的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，以及熟练应用对数的性质运算是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题．10．【甘肃省甘谷县第一中学2019届高三上学期第一次检测】已知定义在 上的函数 ，若 是奇函数，是偶函数，当 时， ，则 A ． B ． C ．0D ．【答案】A【分析】根据题意和函数的奇偶性的性质通过化简、变形，求出函数的周期，利用函数的周期性和已知的解析式求出 的值．【解析】因为 是奇函数， 是偶函数，所以 ，则 ，即 ， 所以 ， 则奇函数 是以4为周期的周期函数， 又当 时， ，所以 ， 故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有函数的周期性，函数的奇偶性的定义，正确转化题的条件是解题的关键．11．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期中考试】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-，当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则(2017)f +(2019)f =C ．1-D ．2-【答案】A【分析】根据题意，对33())22(f x f x +=-变形可得()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，据此可得(2017)(1)f f =，(2019)(0)f f =，结合函数的解析式以及奇偶性求出(0)f 与(1)f 的值，相加即可得答案．【解析】根据题意，函数()f x 满足任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-， 则()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，所以(2017)(16723)(1)f f f =+⨯=，(2019)(6733)(0)f f f =⨯=， 又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =， 当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则12(1)log [1(1)]1f -=--=-，则(1)(1)1f f =--=，故(2017)(2019)(0)(1)1f f f f +=+=， 故选A ．12．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三9月月考】奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为 A ．2B ．1C ．－1D ．－2【答案】A【分析】根据函数的奇偶性的特征，首先得到 ，进而根据奇函数可得 ，根据 可得 ，即可得到结论．【解析】∵ 为偶函数， 是奇函数，∴设 ， 则 ，即 ，∵ 是奇函数，∴ ，即 ， ， 则 ， ，∴ ， 故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴以及周期性是解决本题的关键，属于中档题．13．【陕西省彬州市2019届高三上学期第一次教学质量监测】已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<的解集是A ．(,1)(2,3)-∞-B ．(1,0)(2,3)-C ．(2,3)D ．(,3)(0,1)-∞-【答案】A【分析】根题设条件，分别求得，当0x >和0x <时，()0f x <的解集，由此可求解不等式(1)0f x -<的解集，得到答案．【解析】由题意，当0x >时，令()0f x >，即2log (1)0x -<，解得12x <<， 又由函数()y f x =是奇函数，函数()f x 的图象关于原点对称， 则当0x <时，令()0f x >，可得2x <-，又由不等式(1)0f x -<，可得112x <-<或12x -<-，解得23x <<或1x <-， 即不等式(1)0f x -<的解集为(,1)(2,3)-∞-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及数列应用函数的奇偶性的转化是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．14．【陕西省榆林市2019届高三第四次普通高等学校招生模拟考试】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =A ．3B ．3-C ．2D ．2-【答案】C【分析】根据(5)(3)f x f x +=-，可得(8)()f x f x +=，即()f x 的周期为8，再根据[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+及()f x 为R 上的偶函数即可求出(766)(2)2f f ==．【解析】由(5)(3)f x f x +=-，可得(8)()f x f x +=，所以()f x 是周期为8的周期函数，当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，所以(96(7682)6)(2)2f f f ⨯-===， 又()f x 是定义在R 上的偶函数，所以2(2)(2)log 42f f -===． 故选C ．15．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试】已知定义域为R 的奇函数 ，当时， ，当 时， ，则 A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由当 时， ，可得，根据奇偶性求出 即可． 【解析】定义域为R 的奇函数 ，当 时， ，则， 则 ．．．， 又当 时， ， — ， 故． 故选B ．16．【重庆市2018-2019学年3月联考】定义在[7,7]-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26x f x x =+-，则不等式()0f x >的解集为 A ．(2,7]B ．(2,0)(2,7]-C ．(2,0)(2,)-+∞D ．[7,2)(2,7]--【答案】B【分析】当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(2,7]，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-．【解析】当07x <≤时，()26xf x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <≤，因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤<时，()f x 在[7,0)-上单调递增，且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<， 所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．17．【宁夏平罗中学2019届高三上学期期中考试】已知定义在 上的函数 是奇函数，且当 时，，则 ______________． 【答案】18-【分析】先求(4)f ，再利用函数的奇偶性求4()f -．【解析】由题得22(4)log 4418f =+=，所以(4)(4)18f f -=-=-．18．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测】已知偶函数()f x 的图象关于直线2x =对称，(3)f =则(1)f =______________．【分析】由对称性及奇偶性求得函数的周期求解即可【解析】由题()()(4)f x f x f x =-=-，则函数的周期4T =，则()1f =(1)(1)(3)f f f =-==19．【辽宁省抚顺市2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是奇函数，且当0x <时1()()2xf x =，则(3)f 的值是______________． 【答案】8-【分析】先求(3)f -，再根据奇函数性质得(3)f ． 【解析】因为31(3)()82f --==，函数()f x 是奇函数，所以(3)(3)8f f =--=-．20．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，若当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，则( 2.5)f -=______________． 【答案】0.25-【分析】根据函数的奇偶性和周期性，求出( 2.5)(0.5)f f -=-，求出函数值即可．【解析】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，∴( 2.5)( 2.52)(0.5)(0.5)f f f f -=-+=-=-，∵当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，∴(0.5)0.5(10.5)0.25f =⨯-=，∴( 2.5)0.25f -=-． 21．【陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三】已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，且(3)3f =，则(1)f -=______________．【答案】3【分析】先由函数关于(2，0)对称，求出(1)f ，然后由奇函数可求出(1)f -． 【解析】函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，所以(1)(3)3f f =-=-， 又函数()f x 为奇函数，所以(1)(1)3f f =-=-．22．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模】若函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则1()2f -=______________．【答案】3-【分析】利用解析式求出1()2f ，根据奇函数定义可求得结果．【解析】由题意知1212()23f === ()f x为奇函数，11()()22f f ∴-=-=．23．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()lg f x x =，则1(())100f f 的值为______________． 【答案】2lg - 【分析】先求出1()100f 的值，设为a ，判断a 是否大于零，如果大于零，直接求出()f a 的值，如果不大于零，那么根据奇函数的性质()()f a f a =--，进行求解．【解析】10,100>∴1()100f =21lg()lg102100-==-， 20-<∵，函数()f x 是奇函数，(2)(2)lg 2f f ∴-=-=-，所以1(())100f f 的值为lg2-．24．【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月）】若函数 为偶函数，则______________．【答案】2-【解析】函数 为偶函数，则 ， 即 恒成立， ．则．【名师点睛】本题主要考查偶函数的性质与应用，对数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．25．【甘肃省张掖市2019届高三上学期第一次联考】已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，2()()22xf xg x x x b -=+++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-=______________． 【答案】4-【分析】根据函数的奇偶性，先求b 的值，再代入1x =，求得(1)(1)4f g -=，进而求解(1)(1)f g -+-的值．【解析】由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，因为(0)0g =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，解得1b =-，所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1[(1)(1)](4)1)f g f g f g =-+=---+=--．【名师点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，涉及了函数求值的知识；注意解析式所对应的自变量区间．26．【陕西省安康市安康中学2019届高三第三次月考】若函数2()e 1xf x a =--是奇函数，则常数 等于______________． 【答案】【分析】由奇函数满足，代入函数求值即可．【解析】对一切且恒成立．恒成立，恒成立．，．27．【吉林省长春市实验中学2019届高三期末考试】已知函数是定义在上的周期为的奇函数，当时，，则______________．【答案】【分析】根据是周期为4的奇函数即可得到＝f(﹣8)＝f()＝﹣f()，利用当0＜x＜2时，＝4x，求出，再求出，即可求得答案．【解析】∵是定义在R上周期为4的奇函数，∴＝f(﹣8)＝f()＝﹣f()，∵当x∈（0，2）时，，∴＝﹣2，∵是定义在R上周期为4的奇函数，∴＝＝，同时＝﹣，∴＝0，∴﹣2．【名师点睛】考查周期函数的定义，奇函数的定义，关键是将自变量的值转化到函数解析式所在区间上，属于中档题．28．【新疆昌吉市教育共同体2019届高三上学期第二次月考】下列函数：①；②，，；③；④．其中是偶函数的有______________．（填序号）【答案】①【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称可知②，，为非奇非偶函数；再利用偶函数的定义，分别检验①③④是否符合，从而得到结果．【解析】①，为偶函数；②定义域，关于原点不对称，为非奇非偶函数；③，为奇函数；④ ，为非奇非偶函数； 故答案为①．【名师点睛】该题考查的是有关偶函数的选择问题，涉及到的知识点有函数奇偶性的定义，注意判断函数奇偶性的步骤，首先确定函数的定义域是否关于原点对称，再者就是判断 与 的关系． 29．【吉林省长春市吉林省实验中学2019届高三上学期第三次月考】已知 ， ．若偶函数 满足 （其中 ， 为常数），且最小值为1，则 ______________． 【答案】【分析】利用函数是偶函数，确定 ，利用基本不等式求最值，确定 的值，即可得到结论． 【解析】由题意， ， ， 为偶函数， ， ， ， ， ， ，．30．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，当[0,1]x ∈时，3()1f x x =-，则29()2f =______________． 【答案】78-【分析】先由题意，()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，利用函数的奇偶性推出()f x 的周期4T =，可得291()()22f f =-，然后带入求得结果． 【解析】因为(1)f x -为奇函数，所以(1)(1),(2)()f x f x f x f x --=--∴--=-， 又()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，所以()()f x f x -=，即(2)(),(2)()f x f x f x f x --=--∴-=-，所以()f x 的周期4T =，因为295551()(12)()(2)()22222f f f f f =+==--=-，2117()1()228f =-=， 所以297()28f =-．31．【辽宁省大连市2019届高三第二次模拟】已知函数 是定义域为 的偶函数，且 在 ， 上单调递增，则不等式 的解集为______________．【答案】 ， ，【分析】利用偶函数关于 轴对称， 在 ， 上单调递增，将不等式 转化为 ，即可解得 的解集． 【解析】 函数 是定义域为 的偶函数，可转化为 ， 又 在 ， 上单调递增，，两边平方解得 ， ， ， 故 的解集为 ， ， ．32．【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次双基测试】已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数，则20191()i f i ==∑______________．【答案】0【分析】根据函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数可得()(2)f x f x -=+和()(4)f x f x --=+，可得(4)()f x f x +=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，结合函数的对称性可得(1)(3)0f f +=且(2)(0)(4)0f f f ===，从而可得结果．【解析】根据题意，(1)f x +为偶函数，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称， 则有()(2)f x f x -=+，若函数(2)f x +为奇函数，则函数()f x 的图象关于点(2,0)对称， 则有()(4)f x f x --=+，则有(4)(2)f x f x +=-+， 设2t x =+，则(2)()f t f t +=-， 变形可得(4)(2)()f t f t f t +=-+=， 则函数()f x 是周期为4的周期函数， 又由函数()f x 的图象关于点(2,0)对称， 则(1)(3)0f f +=且(2)0f =， 则有(2)(0)0f f =-=，可得(4)0f=，则20191(1)(2)(019) )(2if i f f f ==+++∑[12(3)4][(2013)(2014()()(2015)(2016]))()f f f f f f f f=+++++++++[(2017)(2018)(201()9)]12((0)3)f f f f f f++=++=，故答案为0．33．【内蒙古呼和浩特市2019届高三上学期期中调研】已知函数与都是定义在上的奇函数，当时，，则的值为______________．【答案】2【分析】根据题意，由是定义在R上的奇函数可得，结合函数为奇函数，分析可得，则函数是周期为2的周期函数，据此可得，结合函数的解析式可得的值，结合函数的奇偶性与周期性可得的值，相加即可得答案．【解析】根据题意是定义在R上的奇函数，则的图象关于点（﹣1，0）对称，则有，又由是R上的奇函数，则，且，则有，即，则函数是周期为2的周期函数，则，又由＝log2＝﹣2，则＝2，，故＝2+0＝2．。
云南2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题含答案
数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合{13},{(2)(4)0}A xx B x x x =≤≤=--<∣∣，则A B = （）A.(2,3] B.[1,2)C.(,4)-∞ D.[1,4)【答案】A 【解析】【分析】解出集合B ，再利用交集含义即可得到答案.【详解】{(2)(4)0}{24}B xx x x x =--<=<<∣∣，而{|13}A x x =≤≤，则(2,3]A B ⋂=.故选：A.2.已知命题2:,10p z z ∃∈+<C ，则p 的否定是（）A.2,10z z ∀∈+<CB.2,10z z ∀∈+≥C C.2,10z z ∃∈+<C D.2,10z z ∃∈+≥C 【答案】B 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定形式可得.【详解】由存在量词命题的否定形式可知：2:,10p z z ∃∈+<C 的否定为2,10z z ∀∈+≥C .故选：B3.正项等差数列{}n a 的公差为d ，已知14a =，且135,2,a a a -三项成等比数列，则d =（）A.7B.5C.3D.1【答案】C【解析】【分析】由等比中项的性质再结合等差数列性质列方程计算即可；【详解】由题意可得()23152a a a -=，又正项等差数列{}n a 的公差为d ，已知14a =，所以()()2111224a d a a d +-=+，即()()222444d d +=+，解得3d =或1-（舍去），故选：C.4.若sin160m ︒=，则︒=sin 40（）A.2m -B.2-C.2-D.2【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式求出sin 20︒，然后结合平方公式和二倍角公式可得.【详解】因为()sin160sin 18020sin 20m ︒=︒-︒=︒=，所以cos 20︒==，所以sin 402sin 20cos 202︒=︒︒=故选：D5.已知向量(1,2),||a a b =+= ，若(2)b b a ⊥- ，则cos ,a b 〈〉=（）A.5-B.10-C.10D.5【答案】C 【解析】【分析】联立||a b += 和(2)0b b a ⋅-=求出,b a b ⋅ 即可得解.【详解】因为(1,2)a = ，所以a =，所以222||27a b a b a b +=++⋅=，整理得222b a b +⋅=①，又(2)b b a ⊥- ，所以2(2)20b b a b a b ⋅-=-⋅=②，联立①②求解得11,2b a b =⋅= ，所以12cos ,10a b a b a b⋅〈〉=== .故选：C 6.函数)()ln f x kx =是奇函数且在R 上单调递增，则k 的取值集合为（）A.{}1-B.{0}C.{1}D.{1,1}-【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数的定义得()))()222()ln lnln 10f x f x kx kx x k x -+=-+=+-=得1k =±，即可验证单调性求解.【详解】)()lnf x kx =+是奇函数，故()))()222()ln ln ln 10f x f x kx kx x k x -+=-+=+-=，则22211x k x +-=，210k -=，解得1k =±，当1k =-时，)()lnf x x ==，由于y x =在0,+∞为单调递增函数，故()lnf x =0,+∞单调递减，不符合题意，当1k =时，)()lnf x x =+，由于y x =在0,+∞为单调递增函数且()00f =，故)()ln f x x =为0,+∞单调递增，根据奇函数的性质可得)()ln f x x =+在上单调递增，符合题意，故1k =，故选：C7.函数π()3sin ,06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()(2π)f x f ≤对x ∈R 恒成立，且()f x 在π13π,66⎡⎤⎢⎣⎦上有3条对称轴，则ω=（）A.16 B.76C.136D.16或76【答案】B【解析】【分析】根据()2π3,2π2f T T =≤<求解即可.【详解】由题知，当2πx =时()f x 取得最大值，即π(2π)3sin 2π36f ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π2π,Z 62k k ω+=+∈，即1,Z 6k k ω=+∈，又()f x 在π13π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3条对称轴，所以13ππ2π266T T ≤-=<，所以2π12T ω≤=<，所以76ω=.故选：B8.设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，过坐标原点O 的直线与E 交于A ，B 两点，点C 满足23AF FC = ，若0,0AB OC AC BF ⋅=⋅=，则E 的离心率为（）A.9B.7C.5D.3【答案】D 【解析】【分析】设(),A m n ，表示出,,,OA OC AF BF，根据0,0AB OC AC BF ⋅=⋅= 列方程，用c 表示出,m n ，然后代入椭圆方程构造齐次式求解可得.【详解】设(),A m n ，则()(),,,0B m n F c --，则()()(),,,,,OA m n AF c m n BF c m n ==--=+，因为23AF FC = ，所以()555,222n AC AF c m ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，所以()()55533,,,22222n c n OC OA AC m n c m m ⎛⎫⎛⎫=+=+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为0,0AB OC AC BF ⋅=⋅=，所以222253302220c OA OC m m n AF BF c m n ⎧⎛⎫⋅=--=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=--=⎩ ，得34,55m c n c ==，又(),A m n 在椭圆上，所以222291625251c ca b+=，即()()222222229162525c a c a c a a c -+=-，整理得4224255090a a c c -+=，即42950250e e -+=，解得259e =或25e =（舍去），所以3e =.故选：D【点睛】关键点睛：根据在于利用向量关系找到点A 坐标与c 的关系，然后代入椭圆方程构造齐次式求解.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知22()n S kn n k =-∈R ，则下列结论正确的是（）A.{}n a 为等差数列B.{}n a 不可能为常数列C.若{}n a 为递增数列，则0k >D.若{}n S 为递增数列，则1k >【答案】AC 【解析】【分析】根据,n n a S 的关系求出通项n a ，然后根据公差即可判断ABC ；利用数列的函数性，分析对应二次函数的开口方向和对称轴位置即可判断D .【详解】当1n =时，112a S k ==-，当2n ≥时，()()()221212122n n n a S S kn n k n n kn k -⎡⎤=-=-----=-+⎣⎦，显然1n =时，上式也成立，所以()22n a kn k =-+.对A ，因为()()()1222122n n a a kn k k n k k -⎡⎤-=-+---+=⎣⎦，所以是以2k 为公差的等差数列，A 正确；对B ，由上可知，当0k =时，为常数列，B 错误；对C ，若为递增数列，则公差20k >，即0k >，C 正确；对D ，若{}n S 为递增数列，由函数性质可知02322k k >⎧⎪⎨<⎪⎩，解得23k >，D 错误.故选：AC10.甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试（满分100分），考后分别以110.820y x =+、220.7525y x =+的方式赋分，其中12,x x 分别表示甲、乙两班原始考分，12,y y 分别表示甲、乙两班考后赋分．已知赋分后两班的平均分均为60分，标准差分别为16分和15分，则（）A.甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高B.甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高C.甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数D.若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学的原始分数高【答案】ACD 【解析】【分析】根据期望和标准差的性质求出赋分前的期望和标准差即可判断AB ；作差比较，结合自变量范围即可判断C ；作出函数0.820,0.7525y x y x =+=+的图象，结合图象可判断D .【详解】对AB ，由题知()()1215E y E y ====，因为110.820y x =+，220.7525y x =+，所以()()120.82060,0.752515E x E x +=+===，解得()()1250,20E x E x =≈==，所以()()12E x E x >=，故A 正确，B 错误；对C ，因为111200.2y x x -=-，[]10,100x ∈，所以10200.220x ≤-≤，即110y x -≥，所以C 正确；对D ，作出函数0.820,0.7525y x y x =+=+的图象，如图所示：由图可知，当12100y y =<时，有21x x <，又因为0.820y x =+单调递增，所以当12y y >时必有12x x >，D 正确.故选：ACD11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域为R ，若(1)f x +与()f x '均为偶函数，且(1)(1)2f f -+=，则下列结论正确的是（）A.(1)0f '=B.4是()f x '的一个周期C.(2024)0f =D.()f x 的图象关于点(2,1)对称【答案】ABD 【解析】【分析】注意到()f x '为偶函数则()()2f x f x -+=，由()(1)1f x f x -+=+两边求导，令0x =可判断A ；()()11f x f x --='+'结合导函数的奇偶性可判断B ；利用()f x 的周期性和奇偶性可判断C ；根据()()2f x f x -+=和()(1)1f x f x -+=+可判断D .【详解】因为()f x '为偶函数，所以()()f x f x -'='，即()()f x f x c --=+，而(1)(1)2f f -+=，故2c =-，故()()2f x f x +-=，又(1)f x +为偶函数，所以()(1)1f x f x -+=+，即()()2f x f x =-，所以()2()2f x f x -+-=，故()(2)2f x f x ++=即()2(4)2f x f x +++=，()()4f x f x =+，所以4是()f x 的周期，故B 正确.对A ，由()(1)1f x f x -+=+两边求导得()()11f x f x --='+'，令0x =得()()11f f -'='，解得()10f '=，A 正确；对C ，由上知()()2f x f x +-=，所以()01f =，所以()()(2024)450601f f f =⨯==，C 错误；对D ，因为()()2f x f x +-=，()()2f x f x =-，故()2(2)2f x f x -++=，故()f x 的图象关于2,1对称，故选：ABD【点睛】关键点睛：本题解答关键在于原函数与导数数的奇偶性关系，以及对()(1)1f x f x -+=+两边求导，通过代换求导函数的周期.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线()e xf x x =-在0x =处的切线方程为______．【答案】1y =##10y -=【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程.【详解】因为()e xf x x =-，则()01f =，又()e 1xf x '=-，所以()00f '=，所以曲线()e xf x x =-在0x =处的切线方程为1y =．故答案为：1y =13.若复数cos 21sin isin (0π)2z θλθθθ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于直线y x =上，则λ的最大值为__________．【答案】1-##1-+【解析】【分析】根据复数对应的点cos 21sin ,sin 2θλθθ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在y x =得212sin 1sin sin 2θλθθ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即可利用二倍角公式以及基本不等式求解.【详解】cos 21sin isin (0π)2z θλθθθ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭对应的点为cos 21sin ,sin 2θλθθ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故cos 21sin sin 2θλθθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，故212sin 1sin sin 2θλθθ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，由于()0,πθ∈，故sin 0θ>，则2sin 1111sin sin sin 122sin θλθθθθ==≤++++，当且仅当1sin 2sin θθ=，即2sin 2θ=，解得π3π,44θθ==时等号成立，114.过抛物线2:3C y x =的焦点作直线l 交C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于M ，N 两点，若||12AB =，则||MN =__________．【答案】【解析】【分析】联立直线与抛物线方程，得韦达定理，根据焦点弦的公式可得223332122k AB k +=+=，解得213k =，即可求解()111:AM y x x y k=--+得11M x ky x =+，即可代入求解.【详解】2:3C y x =0，根据题意可知直线l 有斜率，且斜率不为0，根据对称性不设直线方程为34y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，联立直线34y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与23y x =可得22223930216k x k x k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，故2121223392,16k x x x x k ++==，故21223332122k AB x x p k +=++=+=，解得213k =，直线()111:AM y x x y k=--+，令0y =，则11M x ky x =+，同理可得22N x ky x =+，如下图，故()()()211221212121M N MN x x ky x ky x k y y x x k x x =-=+--=-+-=+-，()()22221212233192141483316k MN k x x x x k ⎛⎫+ ⎪⎛⎫=++-=+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故答案为：83四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos 0a b c A -+=．（1）求角C ；（2）若AB 边上的高为1，ABC V 的面积为33，求ABC V 的周长．【答案】（1）π3C =；（2）23.【解析】【分析】（1）利用余弦定理角化边，整理后代入余弦定理即可得解；（2）利用面积公式求出c ，然后由面积公式结合余弦定理联立求解可得a b +，可得周长.【小问1详解】由余弦定理角化边得，2222202b c a a b c bc +--+⨯=，整理得222a b c ab +-=，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以π3C =.【小问2详解】由题知，13123c ⨯=，即233c =，由三角形面积公式得1πsin 233ab =，所以43ab =，由余弦定理得()222π42cos 333a b ab a b ab +-=+-=，所以()2416433a b +=+=，所以3a b +=，所以ABC V 的周长为33a b c ++=+=16.如图，PC 是圆台12O O 的一条母线，ABC V 是圆2O 的内接三角形，AB 为圆2O 的直径，4,AB AC ==．（1）证明：AB PC ⊥；（2）若圆台12O O 的高为3，体积为7π，求直线AB 与平面PBC 夹角的正弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）19.【解析】【分析】（1）转化为证明AB ⊥平面12O O CP ，利用圆台性质即可证明；（2）先利用圆台体积求出上底面的半径，建立空间坐标系，利用空间向量求线面角即可.【小问1详解】由题知，因为AB 为圆2O 的直径，所以AC BC ⊥，又4,AB AC ==AB ==，因为2O 为AB 的中点，所以2O C AB ⊥，由圆台性质可知，12O O ⊥平面ABC ，且12,,,O O P C 四点共面，因为AB ⊂平面ABC ，所以12O O AB ⊥，因为122,O O O C 是平面12O O CP 内的两条相交直线，所以AB ⊥平面12O O CP ，因为PC ⊂平面12O O CP ，所以AB PC ⊥.【小问2详解】圆台12O O的体积(2211ππ237π3V r =⋅+⋅⨯=，其中11r PO =，解得11r =或13r =-(舍去).由（1）知122,,O O AB O C 两两垂直，分别以2221,,O B O C O O 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(2,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,1,3)A B C P -，所以(4,0,0),(2,1,3),(2,2,0)AB BP BC ==-=-.设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则230,220,n BP x y z n BC x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩解得,3,x y x z =⎧⎨=⎩于是可取(3,3,1)n =.设直线AB 与平面PBC 的夹角为θ，则sin cos ,19AB n θ===，故所求正弦值为19.17.已知函数()ln f x x ax =+．（1）若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围；（2）若()1,()e()xa g x f f x ==-，证明：()g x 存在唯一极小值点01,12x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()02g x >．【答案】（1）1,e⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）参变分离，构造函数()ln xh x x=-，利用导数求最值即可；（2121内，利用零点方程代入()0g x ，使用放缩法即可得证.【小问1详解】()0f x ≤在(0,)x ∈+∞恒成立，等价于ln xa x≤-在(0,)+∞上恒成立，记()ln x h x x =-，则()2ln 1x h x x='-，当0e x <<时，ℎ′<0，当e x >时，ℎ′>0，所以ℎ在()0,e 上单调递减，在()e,∞+上单调递增，所以当e x =时，ℎ取得最小值()ln e 1e e eh =-=-，所以1a e≤-，即a 的取值范围1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【小问2详解】当1a =时，()()e()eln ,0xxg x f f x x x =-=->，则1()e x g x x'=-，因为1e ,xy y x==-在(0,)+∞上均为增函数，所以()g x '在(0,)+∞单调递增，又()121e 20,1e 102g g ⎛⎫=-''=- ⎪⎝⎭，1存在0x ，使得当∈0,0时，()0g x '<，当∈0,+∞时，()0g x '>，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，所以()g x 存在唯一极小值点01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭.因为01e 0x x -=，即00ln x x =-，所以00000()e ln =e x x g x x x =-+，因为01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且=e x y x+1上单调递增，所以012001()=e e 2x g x x +>+，又9e 4>，所以123e 2>，所以00031()=e 222xg x x +>+=.18.动点(,)M xy 到直线1:l y=与直线2:l y =的距离之积等于34，且|||y x <．记点M 的轨迹方程为Γ．（1）求Γ的方程；（2）过Γ上的点P 作圆22:(4)1Q x y +-=的切线PT ，T 为切点，求||PT 的最小值；（3）已知点40,3G ⎛⎫⎪⎝⎭，直线:2(0)l y kx k =+>交Γ于点A ，B ，Γ上是否存在点C 满足0GA GB GC ++= ？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2213y x -=（2）2（3）3,44C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据点到直线距离公式，即可代入化简求解，（2）由相切，利用勾股定理，结合点到点的距离公式可得PT =，即可由二次函数的性质求解，（3）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，进而根据向量的坐标关系可得()02201224,3443k x k k y y y k ⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=-+=⎪-⎩，将其代入双曲线方程即可求解.【小问1详解】根据(,)M xy 到直线1:l y=与直线2:l y =的距离之积等于3434=，化简得2233x y -=，由于|||y x <，故2233x y -=，即2213y x -=.【小问2详解】设(,)P x y，PT ====故当3y =时，PT 最小值为2【小问3详解】联立:2(0)l y kx k =+>与2233x y -=可得()223470k x kx ---=，设()()()112200,,,,,A x y B x y C x y ，则12122247,33k x x x x k k-+==--，故()212122444,3k y y k x x k+=++=+-设存在点C 满足0GA GB GC ++= ，则1201200433x x x y y y ++=⎧⎪⎨++=⨯⎪⎩，故()02201224,3443k x k k y y y k ⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=-+=⎪-⎩，由于()00,C x y 在2233x y -=，故22222443333k k k k ⎛⎫-⎛⎫--= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，化简得421966270k k -+=，即()()2231990k k --=，解得2919k =或23k =（舍去），由于()22Δ162830k k =+->，解得27k<且23k ≠，故2919k =符合题意，由于0k >，故31919k =，故022024,344334k x k k y k ⎧=-=-⎪⎪-⎨-⎪==-⎪-⎩,故3,44C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故存在3,44C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，使得0GA GB GC ++= 19.设n ∈N ，数对(),n n a b 按如下方式生成：()00,(0,0)a b =，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若n n a b >，则()()11,1,1n n n n a b a b ++=++，否则()()11,1,n n n n a b a b ++=+；当硬币的反面朝上时，若n n b a >，则()()11,1,1n n n n a b a b ++=++，否则()()11,,1n n n n a b a b ++=+．抛掷n 次硬币后，记n n a b =的概率为n P ．（1）写出()22,a b 的所有可能情况，并求12,P P ；（2）证明：13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求n P ；（3）设抛掷n 次硬币后n a 的期望为n E ，求n E ．【答案】（1）答案见详解；（2）证明见详解，1111332n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭；（3）21113929nn E n ⎛⎫=+--⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）列出所有()11,a b 和()22,a b 的情况，再利用古典概型公式计算即可；（2）构造得1111323n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，再利用等比数列公式即可；（3）由（2）得()11111232nn n Q P ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，再分n n a b >，n n a b =和n n a b <讨论即可.【小问1详解】当抛掷一次硬币结果为正时，()()11,1,0a b =；当抛掷一次硬币结果为反时，()()11,0,1a b =.当抛掷两次硬币结果为（正，正）时，()()22,2,1a b =；当抛掷两次硬币结果为（正，反）时，()()22,1,1a b =；当抛掷两次硬币结果为（反，正）时，()()22,1,1a b =；当抛掷两次硬币结果为（反，反）时，()()22,1,2a b =.所以，12210,42P P ===.【小问2详解】由题知，1n n a b -≤，当n n a b >，且掷出反面时，有()()11,,1n n n n a b a b ++=+，此时11n n a b ++=，当n n a b <，且掷出正面时，有()()11,1,n n n n a b a b ++=+，此时11n n a b ++=，所以()()()()()1111112222n n n n n n n n n n P P a b P a b P a b P a b P +⎡⎤=>+<=>+<=-⎣⎦，所以1111323n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以11133P -=-为首项，12-为公比的等比数列，所以1111332n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，所以1111332n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭.【小问3详解】设n n a b >与n n a b <的概率均为n Q ，由(2)知，()11111232nn n Q P ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦显然，111110222E =⨯+⨯=.若n n a b >，则1n n a b =+，当下次投掷硬币为正面朝上时，11n n a a +=+，当下次投掷硬币为反面朝上时，1n n a a +=;若n n a b =，则当下次投掷硬币为正面朝上时，11n n a a +=+，当下次投掷硬币为反面朝上时，1n n a a +=;若n n a b <，则1n n b a =+，当下次投掷硬币为正面朝上时，11n n a a +=+，当下次投掷硬币为反面朝上时，11n n a a +=+.所以1n n a a +=时，期望不变，概率为111122262nn n Q P ⎡⎤⎛⎫+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦;11n n a a +=+时，期望加1，概率为1111111124226262n nn n Q P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+-=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.所以()11111112144626262nn nn nn n E E E E +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-++⨯--=+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故12112111111444626262n n n n n n E E E -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+--+--⎢⎥⎢⎥⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=1111111446262n E -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--++--⎢⎥⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦011111111444626262n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--++--⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 111241612n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦21113929nn ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.经检验，当1n =时也成立.21113929nn E n ⎛⎫∴=+-- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是分1n n a a +=和11n n a a +=+时讨论，最后再化简n E 的表达式即可.。
甘肃省民勤县第一中学2019届高三上学期第一次月考数学(文)试卷(含答案)
民勤一中2018-2019学年度第一学期第一次月考试卷高三数学（文） 命题人：黄发龙第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案涂在机读卡上）.1.已知集合{|22},{1,0,1}A x x B =-<<=-,则A B ⋂=( ) A. {}1,0,1-B. {}0,1C. {}2,1,0,1,2--D. {}1,0-2.已知()1cos 3πα+=-,且α为第四象限角,则()sin 2πα-= ( ) A. 223-B. 13-C.13D.2233.已知函数()12log ,03,0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩ ,则()()4f f 的值为( )A. 19-B. 9-C.19D. 94.要得到函数sin 34x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,只需将sin 3x y =的图象( )A.向左平移4π个单位 B.向右平移4π个单位 C.向左平移34π个单位 D.向右平移34π个单位5.函数2()sin f x x x x =-在区间[,]ππ-上的图象大致为( )A.B. C. D.6.如果0.31.22122log 32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,那么( )A. c b a >>B. c a b >>C. a b c >>D. a c b >>7.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则ABC ∆的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定8.已知f ()x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =,则(1)(2)(3)(2018)f f f f ++++=…( )A.-2018B.0C.2D.509.已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,则ω的取值范围为( ) A. 80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 10,2⎛⎤⎥⎝⎦C. 18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.设函数() f x 是定义在R 上的偶函数, ()'f x 为其导函数,当0x >时, ()()0xf x f x +>',且()10f =,则不等式()0f x >的解集为( )A. ()(),11,-∞-⋃+∞B. ()(),10,1-∞-⋃C. ()()1,00,1-⋃D. ()()1,01,-⋃+∞11.函数2sin sin 1y x x =+-的值域为( ) A. []1,1-B. 5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C. 5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12.设动直线x m =与函数3()f x x =,()ln g x x =的图象分别交于点M ,N .则MN 的最小值为( ) A.1ln 33-B.ln 33C.1ln 33+D. ln31-第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.） 13.函数()f x =的定义域为__________ 14.若命题“x R ∃∈,使得22390x ax -+<成立”为假命题,则实数a 的取值范围是 _________15.已知() f x 是定义在实数集R 上的偶函数,且在区间(],0-∞上是单调递增函数,若()()11f x f -≥,则实数x 的取值范围是__________.16.给出下列命题: ①函数5sin 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是偶函数; ②方程8x π=是函数524y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程; ③在锐角ABC ∆中, sin sin cos cos A B A B >; ④若,αβ是第一象限角,且αβ>,则sin sin αβ>;⑤设21x x 、是关于 x 的方程log a x k =(0,1,0)a a k >≠>的两根,则121x x =;其中正确命题的序号是__________.三、解答题:(本大题共6小题，共计70分。
甘肃省张掖市甘州区甘州区大成学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题
甘肃省张掖市甘州区甘州区大成学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题一、单选题1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．214x -=B ．3xy x +=C ．15x x -=D ．2210x x -+=2．下列命题是假命题的是（ ）A ．有一组邻边相等的矩形是正方形B ．有一组邻边相等的四边形是平行四边形C ．有三个角是直角的四边形是矩形D ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形3．关于x 的一元二次方程()223530m x x m m -++-=的常数项为0，则m 的值为（ ）A ．3B ．0C ．3或0D ．24．在一个纸箱中，装有红色、黄色、白色的塑料球共200个这些小球除颜色外其他都完全相同，将球充分摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回箱中，不断重复这一过程，小明发现其中摸到白色球、黄色球的频率分别稳定在15%和45%，则这个纸箱中红色球的个数可能有（ ）A ．30个B ．80个C ．90个D ．120个 5．已知关于x 的方程2210x x m -+-=，若方程的一个根为1，则m 的值是（ ） A ．2- B ．2 C ．0 D ．16．如图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是（）A ．∠ABC ＝90°B ．AC ＝BD C ．AD =AB D ．∠BAD ＝∠ADC 7．如图，电路图上有4个开关A ，B ，C ，D 和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ）A ．12B ．14 C ．13 D ．238．某农机厂4月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个，设该厂5，6月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A ．()2501182x -=B ．()()250501501182x x ++++= C ．()5012182x += D ．()()505015012182x x ++++= 9．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，连接OE ．若3OE =，则菱形ABCD 的周长是（ ）A ．6B ．12C ．18D ．2410．如图，在矩形ABCD 中，AD AB >，连接AC ，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于点M ，N ，直线MN 分别交BC AD ，于点E ，F ．下列结论： ①四边形AECF 是菱形；②2CFD ACF ∠=∠；③AC EF CE AB ⋅=⋅；④若AE 平分BAC ∠，则2CE BE =．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题11．关于x 的方程ax 2-3x -6=0是一元二次方程，则a 满足的条件是．12．依次连接菱形各边中点所得到的四边形是 ．13．小亮与小明一起玩“石头、剪刀、布”的游戏，两同学同时出“剪刀”的概率是． 14．在实数范围内规定一种运算“#”，其规则为22#a b a b =-，根据这个规则，方程()3#50x -=的解为．15．在某次试验数据整理过程中，某个事件发生的频率情况如表所示．估计这个事件发生的概率是（精确到0.01）．16．已知m 是方程240x x --=的一个根，则222m m -的值为．17．如图，四边形ABCD 是菱形，8AC =，6DB =，DH AB ⊥于点H ，则DH =．18．正方形111A B C O ，2221A B C C ，3332A B C C ，…，按如图所示放置，点1A ，2A ，3A ，…，在直线2y x =+上，点1C ，2C ，3C ，…在x 轴上，则2023B 的坐标是．三、解答题19．用适当的方法解下列一元二次方程．(1)23x x =(2)2410x x -=+(3)2324x x -=(4)()22239x x -=-20．某商店进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，求该商品平均每月的价格增长率．21．已知关于x 的一元二次方程22(2)0x x m -+-=有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)若m 为正整数，请你写出一个满足条件的m 值，并求出此时方程的根．22．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，过A 作AE BD P ，过D 作∥DE AC ，AE 与DE 相交于点E ． 求证：四边形AODE 为矩形．23．从2-，1，3这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标．(1)写出该点所有可能的坐标____________；(2)求该点在第一象限的概率_____________．24．如图所示．在宽为20m ，长为32m 的矩形草坪上，修筑同样宽的三条路（互相垂直），把草坪分成大小不等的六块区域，要使草坪的面积为2570m ，道路的宽为多少m ？25．如图，已知ABC V 中，D 是AC 的中点，过点D 作DE AC ⊥交BC 于点E ，过点A 作//AF BC 交DE 于点F ，连接AE 、CF ．（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）若2,30,45CF FAC B =∠=︒∠=︒，求AB 的长．26．有四张背面相同的纸牌A ，B ，C ，D ，其正面分别画有四个不同的几何图形（如图）．小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张．（1）用树状图（或列表法）表示两次模牌所有可能出现的结果（纸牌可用A 、B 、C 、D 表示）；（2）求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率．27．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？28．如图，在菱形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为()60，， 60COA ∠=︒．动点P 从点A 出发，沿着射线AO 以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 出发，沿着射线CB 以每秒1个单位长度的速度运动．点 P ，Q 同时出发，设运动时间为()0t t >秒．(1)求点C 的坐标．(2)当1t =时，求POQ △的面积．(3)试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得以C，O，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出此时t的值与点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
甘肃省白银十中2016—2017学年第一学期高三年级第一次月考数学试题Word版含答案.doc
白银十中2016—2017学年第一学期高三年级第一次月考数学(理科)试题出题人：田学礼 审题人：王开泰第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{2,3,4}，集合B ＝{2,4,5}，则下图中的阴影部分表示( )A ．{5}B ．{1,3}C ．{2,4}D ．{2,3,4,5} 2．下列函数中，与函数y ＝x 相同的是( ) A ．y ＝x 2xB ．y ＝(x)2C ．y ＝lg 10xD ． 2log 2x y =3. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为 ( )A ．2y x -=B ．1y x -=C ．2y x =D ．13y x =4. 给出以下四个判断，其中正确的判断是 ( )A ．函数f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的充分不必要条件B ．命题“若x≥4且y≥2，则x ＋y≥6”的逆否命题为“若x ＋y ＜6，则x ＜4且y ＜2”C ．若p ：∂0x ≥ ，x 2－x ＋1>0，则¬p ：∀x<0，x 2－x ＋1≤0D ．己知n ∈N ，则幂函数y ＝x 3n－7为偶函数，且在x ∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为n ＝15．已知函数220()log 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩ ，则方程1()2f x =的解集为（ ） A． B． C．{ D． 6. 如图给出了函数y ＝a x ，y ＝log a x ，y ＝log (a ＋1)x ，y ＝(a －1)x 2的图象，则与函数y ＝a x ，y ＝log a x ，y ＝log (a ＋1)x ，y ＝(a －1)x 2依次对应的图象是 ( )A ．①②③④B ．①③②④C ．②③①④D ．①④③②7. 已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x>0，都有1(2)()f x f x +=-，且当x ∈[0,2)时f(x)＝log 2(x ＋1)，则f(2 015)＋f(2 016)的值为( )A ．－1B ．－2C ．2D ．18. 定义在区间[0,1]上的函数f(x)的图象如下图所示，以A(0，f(0))、B(1，f(1))、C(x ，f(x))为顶点的△ABC 的面积记为函数S(x)，则函数S(x)的导函数S′(x)的大致图象为()9．函数2()(1)1f x x f x '=--+在x=1处的切线方程为（ ）A. 4y x =-+B. 3y x =C. 33y x =-D. 39y x =-10.已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表，f(x)的导函数()y f x '＝的图象如图所示．下列关于f(x)的命题：①函数f(x) 在x=0，4处取到极大值；②函数f(x)在区间[0，2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当1＜a ＜2时，函数y ＝f(x)－a 不可能有3个零点．其中所有真命题的序号是（ ）A.①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④11.函数f(x)在定义域R 内可导，f(x)＝f(2－x)，当(1,)x ∈+∞时，()()10x f x '<－，设352a=f(),b=f 22(),c=f(5)log log log ，则( )A ．c<a<bB ．c<b<aC ．a<b<cD ．b<a<c12. 设函数2sin 20()20a x x f x x a x +≥⎧=⎨+<⎩（其中a ∈R ）的值域为S ，若[1，+∞）⊆S ，则a 的取值范围是( )A ．（﹣∞，）B ．[1，]∪（，2]C ．（﹣∞，）∪[1，2]D ．（，+∞）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．函数f(x)＝ 1－2log 6x 的定义域为________． 14．已知函数()()21()0,1m f x log x m m =-+>≠且的图象恒过点P,且点P 在直线1,,ax by a b R +=∈上,那么ab 的最大值为____________________.15. 已知a≥0，函数f(x)＝(x 2－2ax)e x ，若f(x)在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是________.16. 设函数f(x)＝e 2x 2＋1x ，g(x)＝e 2x e x ，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g(x 1)k ≤f(x 2)k ＋1恒成立，则正数k 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）已知()f x xlnx ＝.(1)求曲线f(x)在x e =处的切线方程.(2)求函数f(x)的单调区间.18. （本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax 3＋cx ＋d(a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f(x)取得极值－2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间和极大值；19.（本小题满分12分）设函数f(x)＝a x －(k －1)a －x (a>0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)求k 值；(2)若f(1)<0，试判断函数单调性并求使不等式f(x 2＋tx)＋f(4－x)<0恒成立的t 的取值范围．20.（本小题满分12分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象(二次函数图象的一部分),如图所示,请根据图象:(1)画出函数()f x 在y 轴右边的图像并写出函数()()f x x R ∈的解析式.(2)若函数()()[]2()2,1,2g x f x ax x =-+∈（a R ∈为常数），求函数()g x 的最小值及最大值.21.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c e x(a ＞0)的导函数y ＝f ′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若方程()0f x m -=有三个不同的的解，求m 的取值范围（用a 表示）。
甘肃省兰州市第一中学高三月月考数学文试题含答案
兰州一中2020届高三9月月考试题数 学（文）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1.已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围为( ) A .(0，1] B .[1，＋∞) C .(0，1) D .(1，＋∞) 2.若复数z 满足()3443i z i -=+,则z 的虚部为( )A . 45i - B . 45-C . 45D . 45i 3.若||1a =r ，||2b =r ()a a b ⊥-r r r，则向量,a b r r 的夹角为( )A .45oB .60oC .120oD . 135o4.已知直线:10(R)l x ay a +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则AB =( ) A .2B .42C .6D .2105.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( )A .直线AC 上B .直线AB 上C .直线BC 上D .△ABC 内部6.已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角 形，则实数m 的取值集合为( )A .⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B .⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 C .⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23 D .⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，237.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2 ,…, 960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9,抽到的32人中,编号落入区间[]1,450的人做问卷A ,编号落入区间[]451,750的人做问卷B ,其余的人做问卷C ,则抽到的人中,做问卷C 的人数为( )A .7B .9C .10D .158.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为,x y ,则2log 1x y =的概率为( )A .16 B . 536 C . 112 D .129.若实数x ，y 满足条件4022000x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,则12x y -⎛⎫⎪⎝⎭ 的最大值为( )A .116B . 12C . 1D .210.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n >1的n 的最小值为( ) A .4B .5C .6D .711.函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2,对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A .(－1，1) B .(－1，＋∞) C .(－∞，－1)D .(－∞，＋∞)12.已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ,若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点,且1222F F PF =,设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ,则21e e -的取值范围是( )A . 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B . 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C . 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D . 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共20分）13. 函数22()log (2)f x x x =--的单调递减区间是________.14.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________. 15.ABC ∆的内角,,ABC 的对边分别为,,a b c ，若a b c bc a b c -+=+-，则sin sin B C +的取值范围是 .16.已知实数e ,0()=lg(),0x x f x x x ⎧≥⎨-<⎩，若关于x 的方程()2()0f x f x t ++=有三个不同的实根，则t 的取值范围为____________．三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17.（12分）已知向量()()2cos ,1,cos 2,a x b x x =r r=函数().f x a b =⋅r r(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 值域．18.（12分）在锐角ABC △中，,,a b c 为内角,,A B C 的对边，且满足(2)cos cos 0c a B b A --=． (1)求角B 的大小；(2)已知2c =，AC 边上的高BD =，求ABC △的面积S 的值．19.（11分）在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为2,{2x t y =--= (t 为参数),直线l 与曲线()22:21C y x --=交于,A B 两点．(1)求AB 的长；(2)在以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P的极坐标为34π⎛⎫⎪⎝⎭,求点P 到线段AB 中点M 的距离．20.（11分）已知()()20f x ax ax a a =-+->． (1)当1a =时,求()f x x ≥的解集；(2)若不存在实数x ,使()3f x <成立,求a 的取值范围．21.（12分）设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x (常数a >0)． (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围．22.（12分）已知函数()(2)ln(1)()f x x x ax a R =++-∈． (1)若1a =,求曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程； (2)若()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立,求实数a 的取值范围．兰州一中2020届9月月考试题参考答案数学（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题：（每小题5分，共20分） 13. (,1)-∞- 14.655－1 15. 16. (,2]-∞- 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(12分）已知向量()()2cos ,1,cos 2,a x b x x =r r=函数().f x a b =⋅r r(1)求函数()f x 的单调增区间;(2)当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 值域.解：（1）()22cos 2f x a b x x =⋅=+r r2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，由()222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,得(),.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈（2）由（1）知()f x 在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴当6x π=时, ()max 3f x =;当0x =时, ()min 2f x =18.（12分）在锐角ABC △中，,,a b c 为内角,,A B C 的对边，且满足(2)cos cos 0c a B b A --=． （1）求角B 的大小．（2）已知2c =，AC 边上的高BD =，求ABC △的面积S 的值． 解（1）∵(2)cos cos 0c a B b A --=，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0C A B B A --=， ∴2sin cos sin cos sin cos C B A B B A =+， 即2sin cos sin C B C =。
湖北省荆州市沙市中学2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学(含解析)
2024—2025学年度上学期2022级9月月考数学试卷考试时间：2024年9月25日一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．集合，若，则集合可以为（）A. B. C. D.2．若复数，则（ ）AB.C. 1D. 23．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）A ．B ．C ．D ．4．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert 常数约为（参考数据：，）（ ）A ．1.12B ．1.13C．1.14D ．1.155．已知，且，，则（ ） A ． B ． C ． D ．6．已知函数恒成立，则实数的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数与函数的图象交点个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98．斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设为斐波拉契数列，，其通项公式为.{}215=∈<N M x x {}05⋃=≤<M N x x N {}4{}45≤<x x {}05<<x x {}5<x x 232022202320241i i i i +i i z =-+-++- z =2b a = a b 60︒2a b - b 12br 12b- 32b- 32b C t I C I t λ=λ7.5A 60h 25A 15h λlg 20.301≈lg 30.477≈,(0,π)αβ∈cos α=sin()αβ+=αβ-=4π34π4π-34π-2()()ln 0f x x ax b x =++≥a 2-1-12()ln 1f x x =-()πsin 2g x x ={}n a ()*12121,1,3,N n n n a a a a a n n --===+≥∈，设是的正整数解，则的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．给出下列命题，其中正确命题为（ ）A ．已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据的方差为168B ．随机变量服从正态分布，若，则C ．一组数据的线性回归方程为，若，则D ．对于独立性检验，随机变量的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小10．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A ．动点B ．与不可能垂直C ．三棱锥体积的最小值为D ．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为11．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A 在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ）A ．B ．是锐角三角形C ．四边形D ．三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12．若“使”为假命题，则实数的取值范围为___________.13．在中，，∠，D 为线段AB 靠近点的三等分点，E 为线段CD 的中点，若，则的最大值为________.14．将这七个数随机地排成一个数列，记第i 项为，若，n nn a ⎤⎥=-⎥⎦n 2log 1(14(x x x ⎡⎤⎣⎦-<+n 12310x x x x 、、、、()12210i i x x i --=≤≤110x x 、X ()21,,( 1.5)0.34N P x σ>=()0.34P x a <=0.5a =()(),1,2,3,4,5,6i i x y i = 23y x =+6130i i x ==∑6163i i y ==∑2χ1111ABCD A B C D -E 1DD F 11C CDD 1//B F 1A BE F 1B F 1A B 11B D EF -1311B D DF -25π22:2(0)C y px p =>F x D l F C ,A B AF M y N MN NF =l ABD △MNDF 22||BF FA FD ⋅>[]01,4x ∃∈20040x ax -+>a ABC ∆BC =3A π=A 14BF BC =AE AF ⋅ 1,2,3,4,5,6,7()1,2,,7i a i = 47a =，则这样的数列共有个．四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知的内角，，的对边分别为，，，若.（1）求的值；（2）若，求周长的取值范围.16．已知正项数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列满足，且数列的前n 项和为，若恒成立，求的取值范围．17．如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，.(1)求证：；(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到直线距离的最大值.123567a a a a a a ++<++ABC △A B C a b c ()4sin sin sin -=-A b B c A B a ABC△ABC △{}n a n n S 222n n n a a n S +-={}n a 21na nb =-{}nc 11n n n n b c b b ++=⋅{}n c n T ()12n T n λ-+≤λ1OO A BCDE -F BC ,B C FG A 122,OB OO AB AC ====CG BF ⊥//DF ABE FOD GOD G OD18．已知双曲线的中心为坐标原点，渐近线方程为，点在双曲线上. 互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点.(1)求的方程；(2)若直线交轴于点，设.①求；②记，，求.19．如果函数 F (x )的导数为，可记为 ，若 ，则表示曲线 y =f (x )，直线 以及轴围成的“曲边梯形”的面积. 如：，其中 为常数； ，则表及轴围成图形面积为4.(1)若 ，求 的表达式；(2)求曲线 与直线 所围成图形的面积；(3)若 ，其中 ，对 ，若，都满足，求 的取值范围.E y =(2,1)-E 12,l l ()(,0n n P p p )*n ∈N 1l E ,A B 2l E ,C D ,M N AB CD E MN x ()()*,0n Q t n ∈N 2nn p =n t n a PQ =()*21n b n n =-∈N 211(1)nkk k k k b b a +=⎡⎤--⎣⎦∑()()F x f x '=()()d f x x F x ⎰=()0f x ≥()()()baf x dx F b F a =-⎰x a x b ==，x 22d x x x C ⎰=+C ()()222204xdx C C =+-+=⎰0,1,2x x y x ===x ()()()e 1d 02xf x x f =⎰+=，()f x 2y x =6y x =-+()[)e 120,xf x mx x ∞=--∈+，R m ∈[)0,a b ∞∀∈+，a b >()()0d d a bf x x f x x >⎰⎰m()()32024+1232022022022024241i 1i ()1+1i 1i 1i 11i i iiiii z i =-+----⨯-+====--+-+++()0f x ≥2()g x x ax b =++1x >()0g x ≥01x <<()0g x <(1)0(0)0g g =⎧⎨≤1010a b a b b ++=⇒=--⎧⎨≤1a ≥-1．C2．C 【详解】6．B 【详解】∵恒成立，设，则当时，时，∴，即，∴4x ≥()()ln 1ln 31f x x g x =-≥>≥24x <<()ln 1ln10f x x g =-≥=>2x =()ln 1ln10sin πf x x =-===①当时，点，②当时，③当时，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭x 11,,0,242x y p M N ⎛⎫⎛+ ⎪ ⎝⎭⎝MNF V MN l 11．ABD 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为则可知为等边三角形，即且∥x 轴，可知直线[5,)+∞00040x ax -+>[]1,4x ∀∈240x ax -+≤4≥+a x x[]1,4()4f x x x=+[]1,2[]2,4()()145f f ==()max 5f x =5a ≥a [5,)+∞11812345621+++++=310S ≤333310360A A ⨯⨯=4=at ()0>t ABC △2sin =⋅a R A 2sinB =⋅b R 2sin =⋅c R C ()22sin sin sin sin -=-t A B C A B ABC △()sin sin =+C A B ()()22sin sin sin sin -=+-t A B A B A B ()()()221sin sin cos2cos2sin sin 2+-=--=-A B A B A B A B 2222sin sin sin sin -=-t A B A B 1=t 4=a 12． 【详解】因为“使”为假命题，所以“，”为真命题，其等价于在上恒成立，又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，而，所以，所以，即实数的取值范围为.13．14．360【解析】∵，∴，列举可知：①（1，2，3）……（1，2，6）有4个；②（1，3，4），……，（1，3，6）有3个；③（1，4，5）有1个；④（2，3，4），（2，3，5） 有2个；故共有10个组合，∴共计有个这样的数列。
甘肃省高台县第一中学2015届高三9月月考数学(理)试题
注意事项：1．答题前填涂（写）好自己的姓名、班级、考号等信息；2．请将选择题答案填涂在答题卡上，填空题和解答题答在指定的位置，第二卷一并交回。
第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1，则AB =（ ）A. (3,2]-B.(3,)-+∞C.[2,)+∞D.[3,)-+∞ 2．复数满足(1)2z i i +=，则复数Z 的实部与虚部之差为（ ） A ．2- B ．2 C ．1 D ．03．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么|3|a b -等于（ ）A B ．44．设)(x g 是将函数x x f 2cos )(=向左平移 ） A.1 B. C.0 D.1- 5．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x(0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )6．等差数列{}n a 中，如果14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项的和为（ ）A ．297 B ．144 C ．99 D ．66 7.在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中,M,N 分别为棱AA 1和B 1B 的中点,若θ为直线CM 与1D N 所成的角,则sin θ=（ ） A ．B C ． D ．8.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.48B.72C.12D.24 9．如图给出的是计算1序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句分别是( )A ．n ＝n ＋2，i ＝15?B ．n ＝n ＋2，i>15?C ．n ＝n ＋1，i ＝15?D ．n ＝n ＋1，i>15?10．实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+0,002204y x y x y x ,则y x -2的最小值为 ( )A.16 B ．4 C.1 D11是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ） A．（0，3） D ．（2，3） 12与抛物线=>22(0)y px p 有一个共同的焦点F, 点M是双曲线与抛物线的一个交点,则此双曲线的离心率等于( )A ．2B ．3 CD第II 卷（非选择题）本卷包括必考题和选考题两部分。
甘肃省靖远县2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学含答案
高考模拟金典卷·数学（答案在最后）（120分钟150分）考生须知：1.本卷侧重：高考评价体系之基础性.2.本卷怎么考：①考查数学基础知识（题1、2）；②考查数学基本技能（题4、5）；③考查数学基本思想（题8）.3.本卷典型情境题：题6、17.4.本卷测试范围：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若3z z ⋅=，则z =（）A. B.3C.D.322.已知命题:p x ∀∈N N ；命题:q x ∃∈Z ，3x x <，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.在等差数列{}n a 中，388a a +=，则其前10项和10S =（）A.72B.80C.36D.404.已知向量a ，b 满足||2a = ，||1b = ，若a在b 上的投影向量为，则,a b = （）A.5π6B.3π4C.2π3D.7π125.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，能使m n ⊥成立的一组条件是（）A.,,m n αβαβ⊥⊥∥B.,,m n αβαβ⊂⊥∥C.,,m n αβαβ⊥⊥∥ D.,,m n αβαβ⊥⊂∥6.某人工智能研发公司从5名程序员与3名数据科学家中选择3人组建一个项目小组，该小组负责开发一个用于图象识别的深度学习算法.已知选取的3人中至少有1名负责算法的实现与优化的程序员和1名负责数据的准备与分析的数据科学家，且选定后3名成员还需有序安排，则不同的安排方法的种数为（）A.240B.270C.300D.3307.已知1sin 22cos 2αα+=，则tan 2α=（）A.3- B.43-C.13D.348.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是双曲线C 右支上一点，若222F B F A =uuu r uuu r ，120F B F B ⋅=，且2F B a =，则双曲线C 的离心率为（）A.2B.3C.12 D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组数据1x ，2x ，L ，10x 是公差为2的等差数列，若去掉首末两项，则（）A.平均数变大B.中位数没变C.方差变小D.极差变小10.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π||2ϕ<）的部分图象如图所示，则（）A.(0)1f =B.()f x 在区间4π11π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.()f x 在区间π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上有3个极值点D.将()f x 的图象向左平移5π12个单位长度，所得函数图象关于原点O 对称11.已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)1f =，()()()()()f x y f x f y f x f y +=++，当0x >时，()0f x >，则（）A.(0)0f = B.3(2)4f -=-C.()f x 在(0,)+∞上单调递增D.101()2024i f i ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆()2211x my m +=>的离心率为2，则m =_______.13.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则圆台的体积为______，若该圆台的上、下底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为______.14.记min{,,}a b c 为a ，b ，c 中最小的数.设0x >，0y >，则11min 2,,x y y x ⎧⎫+⎨⎩⎭中的最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a =，sin 2cos 3B B =.（1）求A .（2）若5b c a +=，求ABC V 的面积.16.已知函数()2()e xf x x ax b =++的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为21x y +-0=.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间与极值.17.激光的单光子通信过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息.某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2等可能地出现，原始信息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系.原始信息的单光子的偏振状态012解密信息的单光子的偏振状态0，1，20，1，31，2，3已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现.（1）已知发送者连续两次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1.求原始信息的单光子有两种偏振状态的概率.（2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ==122BC BB ==，P ，Q 分别为11B C ，1A B 的中点.（1）证明：1A B CP ⊥.（2）求直线1A B 与平面CPQ 所成角的正弦值.（3）设点1C 到直线CQ 的距离为1d ，点1C 到平面CPQ 的距离为2d ，求12d d 的值.19.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点(0,1)的距离，记动点P 的轨迹为E .（1）求E 的方程.（2）设*n ∈N ，(),n n n A x y ，(),n n n B u v 是E 上不同的两点，且1n n x u ⋅=-，记n C 为曲线E 上分别以n A ，n B 为切点的两条切线的交点.（i ）证明：存在定点F ，使得n n n A B FC ⊥.（ii ）取2nn x =，记n n n n C A B α=∠，n n n n C B A β=∠，求111tan tan ni n n αβ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑.高考模拟金典卷·数学（120分钟150分）考生须知：1.本卷侧重：高考评价体系之基础性.2.本卷怎么考：①考查数学基础知识（题1、2）；②考查数学基本技能（题4、5）；③考查数学基本思想（题8）.3.本卷典型情境题：题6、17.4.本卷测试范围：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】4【13题答案】【答案】①.31π②.125π【14题答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）3π；（2）20.【16题答案】【答案】（1）3a =-，1b =（2）增区间为(,1)∞--和(2,)+∞，减区间为(1,2)-，极大值为5e，极小值为2e -【17题答案】【答案】（1）23（2）分布列见解析，()1E X =【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）3（3）14【19题答案】【答案】（1）2122x y =+（2）（i ）证明见解析；（ii ）1221n n +---。
长郡中学2025届高三上学期月考(二)数学试卷(解析版)
长郡中学2025届高三月考试卷（二）数学得分__________．本试卷共8页．时量120分钟．满分150分．一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}(){}2,128tAxx B t t ==∈Z ∣∣ ，则A B = （ ）A. []1,3−B. {}0,1C. []0,2D. {}0,1,2【答案】D 【解析】【分析】解绝对值不等式与指数不等式可化简集合,A B ，再利用交集的定义求解即可.【详解】{}{}|2=22A x x xx =≤−≤≤∣， 由指数函数的性质可得(){}{}1280,1,2,3tB t t =≤≤∈=Z ∣，所以{}{}{}220,1,2,30,1,2A B xx ∩−≤≤∩∣. 故选：D.2. 已知复数z 满足i 1z −=，则z 的取值范围是（ ） A. []0,1 B. [)0,1C. [)0,2D. []0,2【答案】D 【解析】【分析】利用i 1z −=表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆，z 表示圆上的点到原点的距离可得答案. 【详解】因为在复平面内，i 1z −=表示到点(0,1)距离为1的所有复数对应的点， 即i 1z −=表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆， z 表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为0，最长距离为112+=，则z 的取值范围是[0,2]. 故选：D3. 已知()2:ln (11)1p f x a x x=+−<< −是奇函数，:1q a =−，则p 是q 成立的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】当p 成立，判断q 是否成立，再由q 成立时，判断p 是否成立，即可知p 是q 成立何种条件.【详解】由()f x 奇函数，则()00f =，即()ln 20a +=，解得1a =−， 所以p q ⇒，当1a =−时，()21ln 1ln 11x f x x x +=−=−−，11x −<<， ()()1111ln ln ln 111x x x f x f x x x x −−++∴−===−=− +−−，所以()f x 是奇函数， 所以p q ⇐， 所以p 是q 的充要条件. 故选：A.4. 若锐角α满足sin cos αα−sin 22πα+=（ ） A.35B. 35C. 35 或35D. 45−或45【答案】B 【解析】【分析】先利用辅助角公式求出πsin 4α−，再利用角的变换ππsin 2sin 2π24αα+=−+，结合诱导公式和二倍角公式求解即可.【详解】由题意可得πsin cos 4ααα−=−=πsin 4α−.是因为α是锐角，所以πππ,444α −∈−，πcos 4α −所以πππππsin 2sin 2πsin 22sin cos 24444ααααα+=−+=−−=−−−325=−=−. 故选：B.5. 某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（ ）A. 理科男生多于文科女生B. 文科女生多于文科男生C. 理科女生多于文科男生D. 理科女生多于理科男生【答案】C 【解析】【分析】将问题转化不等式问题，利用不等式性质求解. 【详解】根据已知条件设理科女生有1x 人，理科男生有2x 人， 文科女生有1y 人，文科男生有2y 人；根据题意可知1212x x y y +>+，2211x y x y +<+，根据异向不等式可减的性质有()()()()12221211x x x y y y x y +−+>+−+， 即有12x y >，所以理科女生多于文科男生，C 正确.其他选项没有足够证据论证. 故选：C.6. 如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm ，上底面的直径为8cm ，高为4cm ，已知点P 是上底面圆周上不与直径AB 端点重合的一点，且,AP BP O =为上底面圆的圆心，则OP 与平面ABC所成的角的正切值为（ ）为A. 2B.12C.D.【答案】A 【解析】【分析】作出直线OP 与平面ABC 所成的角，通过解直角三角形来求得直线OP 与平面ABC 所成的角的正切值.【详解】设O ′为下底面圆的圆心，连接,OO CO ′′和CO ， 因为AP BP =，所以AB OP ⊥，又因为,,AB OO OP OO O OP OO ′′⊥=⊂′ 、平面OO P ′，所以AB ⊥平面OO P ′， 因为PC 是该圆台的一条母线，所以,,,O O C P ′四点共面，且//O C OP ′， 又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面POC ，又因为平面ABC 平面POC OC =，所以点P 在平面ABC 的射影在直线OC 上， 则OP 与平面ABC 所成的角即为POC OCO ∠=∠′，过点C 作CD OP ⊥于点D ，因为4cm,2cm OP O C ′==， 所以tan tan 2OO POC OCO O C∠=′′∠==′. 故选：A7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:2l y kx =+与圆22:1C x y +=交于,A B 两点，则AOB 的面积的最大值为（ ）A. 1B.12C.D.【答案】D 【解析】【分析】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出AOB 的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论.【详解】根据题意可得直线1:2l y kx =+恒过点10,2E，该点在已知园内， 圆22:1C x y +=的圆心为()0,0C ，半径1r =，作CD l ⊥于点D ，如下图所示：易知圆心C 到直线l 的距离为12CD CE ≤=，所以1cos 2CD DCB CB ∠=≤， 又π0,2DCB∠∈，可得ππ,32DCB∠∈； 因此可得2π2,π3ACB DCB∠=∠∈，所以AOB 的面积为112πsin 11sin 223AOB S CA CB ACB =∠≤×××= 故选：D 8. 设函数()()2ln f x xax b x =++，若()0f x ≥，则a 的最小值为（ ）A. 2−B. 1−C. 2D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数性质判断ln x 在不同区间的符号，在结合二次函数性质得1x =为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值.【详解】函数()f x 定义域为(0,)+∞，而01ln 0x x <<⇒<，1ln 0x x =⇒=，1ln 0x x >⇒>， 要使()0f x ≥，则二次函数2y x ax b =++，在01x <<上0y <，在1x >上0y >， 所以1x =为该二次函数的一个零点，易得1b a =−−， 则2(1)(1)[(1)]y x ax a x x a =+−+=−++，且开口向上， 所以，只需(1)0101a a a −+≤⇒+≥⇒≥−，故a 的最小值为1−.故选：B二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 已知2n >，且*n ∈N ，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（ ） A. 若1(,)3X B n ，则()22113E X n ++ B. 若1(,)3X B n ，则()4219D X n += C. 若1(,)3X B n ，则()()11P X P X n ===−D. 当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布 【答案】BC 【解析】【分析】利用二项分布的期望、方差公式及期望、方差的性质计算判断AB ；利用二项分布的概率公式计算判断C ；利用二项分布与超几何分布的关系判断D.【详解】对于A ，由1(,)3X B n ，得()13E X n =，则()22113E X n ++，A 正确； 对于B ，由1(,)3X B n ，得()122339D X n n =×=，则()()82149D X D X n +==，B 错误； 对于C ，由1(,)3X B n ，得11111221(1)C (),(1)C ()3333n n n n n P X P X n −−−==××=−=××，故(1)(1)P X P X n =≠=−，C 错误；对于D ，当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，D 正确. 故选：BC10. 已知函数()sin cos (,0)f x x a x x ωωω=+∈>R 的最大值为2，其部分图象如图所示，则（ ）A. 0a >B. 函数π6f x−为偶函数 C. 满足条件的正实数ω存在且唯一 D. ()f x 是周期函数，且最小正周期为π 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，求得函数π()2sin(2)3f x x =+，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由函数()sin cos )f x x a x x ωωωϕ=++，且tan a ϕ=，因为函数()f x 的最大值为22=，解得a =，又因为(0)0f a =>，所以a =A 正确； ()πsin 2sin 3f x x x x ωωω ==+因为πππ2sin 1443f ω=+= ，且函数()f x 在π4的附近单调递减，所以ππ5π2π,Z 436k k ω++∈，所以28,Z k k ω=+∈，又因为π24T >，可得π2T >π2>，解得04ω<<，所以2ω=， 此时π()2sin(2)3f x x =+，其最小正周期为πT =，所以C 、D 正确； 设()πππ2sin 22sin 2663F x f x x x=−=−+=，()()2sin[2()]2sin 2F x x x F x −=−=−=−，所以FF (xx )为奇函数，即函数π()6f x −为奇函数，所以B 不正确. 故选：ACD.11. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线交x 轴于点D ，直线l 经过F 且与C 交于,A B 两点，其中点A 在第一象限，线段AF 的中点M 在y 轴上的射影为点N .若MN NF =，则（ ）A. lB. ABD △是锐角三角形C. 四边形MNDF2 D. 2||BF FA FD ⋅> 【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意分析可知MNF 为等边三角形，即可得直线l 的倾斜角和斜率，进而判断A ；可知直线l 的方程，联立方程求点,A B 的坐标，求相应长度，结合长度判断BD ；根据面积关系判断C.【详解】由题意可知：抛物线的焦点为,02p F，准线为2px =−，即,02p D −，设()()112212,,,,0,0A x y B x y y y ><， 则111,,0,2422x y y p M N+，可得， 因为MN NF =，即MN NF MF ==，可知MNF 为等边三角形，即60NMF ∠=°，且MN ∥x 轴，可知直线l 的倾斜角为60°，斜率为tan 60k =°=，故A 正确；则直线:2p l y x =− ，联立方程222p yx y px=− =，解得32p x y ==或6p x y p= =，即32p A，,6p B p，则,M p p N p，可得28,,,2,,33DFp AD p BDp FA p FB p AB p ======，在ABD △中，BD AD AB <<，且2220BD AD AB +−<， 可知ADB ∠为最大角，且为锐角，所以ABD △是锐角三角形，故B 正确；四边形MNDF 的面积为21122MNDF BDF MNF S S S p p p p p =+=×+×=△△，故C 错误； 因为224,3FB FA p FD p ⋅==，所以2||BF FA FD ⋅>，故D 正确； 故选：ABD.【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解； （2）面积问题常采用12S =× 底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在ABC 中，AD 是边BC 上的高，若()()1,3,6,3AB BC==，则AD =______．【解析】【分析】设()6,3BD mBC m m == ，表达出()61,33AD m m =++ ，根据垂直关系得到方程，求出13m =−，进而得到答案.【详解】设()6,3BD mBC m m == ，则()()()1,36,361,33AD AB BD m m m m =+=+=++，由0AD BC = 得6(61)3(33)366990AD BC m m m m =+++=+++=，解得13m =−，故()()12,311,2AD =−−=− ，所以||AD ..13. 已知定义在RR 上的函数()f x 满足()()23e xf x f x =−+，则曲线yy =ff (xx )在点()()0,0f 处的切线方程为_____________. 【答案】3y x =+ 【解析】【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程. 【详解】因为()()23e xf x f x =−+，所以()()23e x f x f x −−=+，联立可解得()=e 2e xx f x −+，所以()03f =，所以()()e2e ,01xx f x f −=′−+=′. 所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为3y x −=， 故所求的切线方程为3y x . 故答案为：3y x .14. 小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子,A B 中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于3她就将B 中的1颗糖放入A 中，否则将A 中的1颗糖放入B 中，直到无法继续游戏．那么游戏结束时B 中没有糖的概率是__________． 【答案】117【解析】【分析】设最初在A 中有k 颗糖，B 中有6k −颗糖时，游戏结束时B 中没有糖的概率为()0,1,,6k a k = ，归纳找出递推关系，利用方程得出0a ，再由递推关系求3a .【详解】设A 中有k 颗糖，B 中有6k −颗糖，游戏结束时B 中没有糖的概率为()0,1,,6k a k = . 显然0113a a =，()65112112,153333k k k a a a a a k +−=+=+≤≤，可得()112k k k k a a a a +−−=−，则()566510022a a a a a −=−=，()65626765040010002222221a a a a a a a a a a ∴=+=++=+++=− ，同理()256510002221a a a a a =+++=− ，()()760021212133a a ∴−=−+，解得011385255a ==× ()430112115.25517a a ∴=−=×=故答案为：117【点睛】关键点点睛：本题的关键在于建立统一的一个6颗糖果放入2个盒子不同情况的模型，找到统一的递推关系，利用递推关系建立方程求出0a ，即可得出这一统一模型的答案.四､解答题（本大题共5小题，共77分，解签应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列{}n a 中，11a =，且0,n n a S ≠为数列{}n a 的前nn a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1(1)n n n n n c a a +−=，求数列{}n c 的前n 项和． 【答案】（1）21na n =− （2）421,42n n n n T n n n − += + − + ，为偶数为奇数 【解析】【分析】(1)1={aa nn }的通项公式； (2) 求出(1)1142121n n c n n − =+ −+，再讨论n 为奇、偶数，利用裂项相消法即可求数列{}n c 的前n 项和. 【小问1详解】 根据题意知1,2n n n a S S n −=−≥0n a +≠=②，1,2n =≥，所以可得1=为首项，1为公差的等差数列，11n n =+−=，所以2n S n =，121,2n n n a n S S n −−==−≥，当1n =时11a =也满足该式，所以21na n =−. 【小问2详解】由(1)结论可知21n a n =−，所以()()1(1)(1)(1)11212142121n n n n n n n n c a a n n n n +−−− ===+ −+−+， 设{}n c 的前n 项和为n T ，则当n 为偶数时，111111111111433557212142142n n T n n n n =−+++−++++=−+=− −+++则当n 为奇数时，1111111111111433557212142142n n T n n n n + =−+++−++−+=−−=− −+++所以421,42n n n n T n n n − += + − + ，为偶数为奇数.16. 如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形CDEF 均为等腰梯形，AB∥,CD EF ∥,224CD CD AB EF ===，AD DE AE ===.（1）证明：平面ABCD ⊥平面CDEF ；（2）若M 为线段CD 1=，求二面角A EM B −−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）通过勾股定理及全等得出线线垂直，应用线面垂直判定定理得出OE ⊥平面ABCD ，由OE ⊂平面CDEF 进而得出面面垂直；（2）由面面垂直建立空间直角坐标系，分别求出法向量再应用向量夹角公式计算二面角余弦值.【小问1详解】证明：在平面CDEF 内，过E 做EO 垂直于CD 交CD 于点O ，由CDEF 为等腰梯形，且24CD EF ==，则1,DO =又OE =，所以2OE ，连接AO ，由ADO EDO ≅ ，可知AO CD ⊥且2AO =，所以在三角形OAE 中，222AE OE OA =+，从而OE OA ⊥，又,,,OE CD OA CD O OA CD ⊥∩=⊂平面ABCD ，，所以OE ⊥平面ABCD ， 又OE ⊂平面CDEF ，所以平面ABCD ⊥平面CDEF【小问2详解】由（1）知，,,OE OC OA 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,2,2,0,0,0,2,0,0,2,2A E M B ，()()()2,0,2,2,2,0,0,0,2AE EM MB =−=−= ，设平面AEM 的一个法向量为(),,n x y z =， 则00n AE n EM ⋅= ⋅=，即220220x z x y −= −+= ， 取1z =，则()1,1,1n = ，设平面BEM 的一个法向量为()111,,m x y z =， 则00m MB m EM ⋅= ⋅=，即11120220z x y = −+= ， 取11y =，则()1,1,0m = ，所以cos,m nm nm n⋅==⋅由图可以看出二面角A EM B−−为锐角，故二面角A EM B−−.17. 已知函数2()e2,Rxf x ax a=−∈．（1）求函数()f x的单调区间；（2）若对于任意的0x>，都有()1f x≥恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）(],1−∞【解析】【分析】（1）对2()e2xf x ax=−求导，可得2()2e2xf x a′=−，再分类讨论a的取值，得出导数的正负即可得出单调区间；（2）对a进行分类讨论，根据导数正负求得()f x的最小值，判断是否满足()1f x≥，即可求解．【小问1详解】对2()e2xf x ax=−求导，可得2()2e2xf x a′=−，令()0f x′=，即22e20x a−=，即2e x a=，当0a≤时，ff′(xx)>0恒成立，()f x在R上单调递增；当0a>时，21e,2ln,ln2x a x a x a===，当1ln2x a<时，()()0,f x f x′<在1,ln2a∞−上单调递减；当1ln2x a>时，ff′(xx)>0，()f x在1ln,2a∞+上单调递增；综上，当0a≤时，()f x单调递增区间为R；当0a>时，()f x的单调递减区间为1,ln2a∞−，单调递增区间为1ln,2a∞+．【小问2详解】因为对于任意的0x>，都有()1f x≥恒成立，的的对2()e 2x f x ax =−求导，可得2()2e 2x f x a ′=−，令()0f x ′=，即22e 20x a −=，即2e x a =，①当0a ≤时，ff ′(xx )>0，则()f x 在(0,+∞)单调递增，()()01f x f >=，符合题意； ②当01a <≤时，2e x a =，则1ln 02x a ≤， 则()0f x ′>，()f x 在(0,+∞)单调递增，()()01f x f >=，符合题意； ③当1a >时，2e x a =，则1ln 02xa >， 当10,ln 2x a∈ 时，()0f x ′<，则()f x 在10,ln 2a单调递减， 当1ln ,2x a ∞ ∈+ 时，()0f x ′>，则()f x 在1ln ,2a ∞ +单调递增， 所以()ln 11ln e 2ln ln 22a f x f a a a a a a ≥=−⋅=−， 令()ln ,1g a a a a a =−>，则()ln 0g a a ′=−<， 所以()g a 在(1,+∞)上单调递减，所以()()11g a g <=，不合题意； 综上所述，(],1a ∞∈−．18. 已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b−=>>的左､右焦点分别为12,,F F E 的一条渐近线方程为y =，过1F 且与x 轴垂直的直线与E 交于P ，Q 两点，且2PQF 的周长为16.（1）求E 的方程；（2）,A B 为双曲线E 右支上两个不同的点，线段AB 的中垂线过点()0,4C ，求ACB ∠的取值范围.【答案】（1）22:13y E x −=； （2）2π0,3. 【解析】 【分析】（1）将x c =−代入曲线E 得2b y a =±，故得211b PF QF a==，从而结合双曲线定义以及题意得24416b a b a a = +=，解出,a b 即可得解. （2）设:AB y kx m =+，联立双曲线方程求得中点坐标，再结合弦长公式求得ACM ∠的正切值，进而得ACM ∠范围，从而由2ACB ACM ∠=∠即可得解.【小问1详解】将x c =−代入2222:1(0,0)x y E a b a b −=>>，得2b y a=±， 所以211b PF QF a==，所以2222b PF QF a a ==+，所以由题得24416b a b a a= +=，1a b = ⇒ = 所以双曲线E 的方程为22:13y E x −=. 【小问2详解】由题意可知直线AB斜率存在且k ≠，设:AB y kx m =+，AA (xx 1,yy 1),BB (xx 2,yy 2),设AB 的中点为M . 由2233y kx m x y =+ −=消去y 并整理得222(3)230k x kmx m −−−−=，230k −≠， 则22222(2)4(3)(3)12(3)0km k m m k ∆=+−+=+−>，即223m k >−， 12223km x x k+=−，212233m x x k +=−−，12122226()2233km m y y k x x m k m k k +=++=⋅+=−−，于是M 点为2(3km k −，23)3m k −，2223431243M C MC M m y y m k k k km x kmx k −−−+−===−. 由中垂线知1A MC B k k ⋅=−，所以231241m k km k−+=−，解得：23m k =−. 所以由,A B 在双曲线的右支上可得：22221220333033m m x x m k k k m+−<+=−=>⇒⇒=−>−， 且12222003km x x k k k+>⇒>−， 且()()()()()22222222Δ43390333403m k k k k k k =−+>⇒−+−=−−>⇒<或24k >， 综上24k >即2k >，又CM =， 所以tan AM ACM CM ∠===因为24k >，所以213m k =−<−，故2333k 0−−<<(， 所以π0,3ACM∠∈. 所以2π20,3ACB ACM∠=∠∈ . 19. 对于集合,A B ，定义运算符“Δ”:Δ{,A B x x A x B =∈∈∣两式恰有一式成立}，A 表示集合A 中元素的个数．（1）设][1,1,0,2A B =−= ，求ΔA B ；（2）对于有限集,,A B C ，证明ΔΔΔA B B C A C +≥，并求出固定,A C 后使该式取等号的B 的数量；（用含,A C 的式子表示）（3）若有限集,,A B C 满足ΔΔΔA B B C A C +=，则称有序三元组(),,A B C 为“联合对”，定义{}*1,2,,,I n n ∈N ，(){},,,,u A B C A B C I ⊆∣． ①设m I ∈，求满足ΔA C m =的“联合对”(),,A B C u ⊆的数量；（用含m 的式子表示） ②根据（2）及（3）①的结果，求u 中“联合对”的数量．【答案】（1）[1,0)(1,2]−∪（2）||2A C ∆（3）①C 2m n m n +⋅②6n【解析】【分析】（1）根据新定义，对区间逐一分析即可得解；（2）利用韦恩图及新定义，求出不等式等号成立的条件，利用集合的性质转化为求子集个数； （3）①分别求出(),A C ,B 取法的种数，再由分步乘法计数原理得解②结合（2）及（3）①的结果，利用二项式定理求解.【小问1详解】对于,,[1),0x x A x B −∈∈∉，故x A B ∈∆；对于,,[0,1]x x A x B ∈∈∈，故x A B ∉∆；对于,,(1,2]x x A x B ∉∈∈，故x A B ∈∆；对于,,[1],2x x A x B ∉−∉∉，故x A B ∉∆，即[10)(12],,A B −∆ .【小问2详解】画出Venn 图，如图，将A B C 划分成7个集合17,,S S ，则14562547||||||||||,||||||||||A B S S S S B C S S S S ∆=+++∆=+++，1267||||||||||A C S S S S ∆=+++，故45||||||2||2||0A B B C A C S S ∆+∆−∆=+≥不等式成立，当且仅当45S S ==∅时取等号， 4S =∅等价于()A C B ∩⊆，5S =∅等价于()B A C ⊆∪，故当且仅当()()A C B A C ∩⊆⊆∪取等号. 设()B A C D =∩∪，其中集合D 与A C 无交集，由于()\()A C A C A C ∆= ，故有()()\ΔD A C A C A C ∅⊆⊆∪∩=，即D 为A C ∆的某一子集，有||2A C ∆种，从而使上式取等的B 有||2A C ∆个.【小问3详解】①设X A C u =∆⊆，有||X m =，故X 有C m n 种取法，对于每一个x ，知X 中每一个元素x 有两种情形：,x A x C ∈∉或,x A x C ∉∈，且/I X 中每一个元素x 有两种情形：,x A x C ∈∉或,x A x C ∉∈，故,x I x ∀∈共有两种选择，也就是这样的(),A C 有||22I n =种，对于每一个(),A C ，由（2）知B 有||22A C m ∆=种取法.故由乘法原理，这样的“联合对(),,A B C 有C 2m n m n +⋅个.②由①知，u 中“联合对”的数量为()00C 22C 212216n n n m n m n m m n m n n nnm m +−===⋅=+=∑∑(二项式定理)， 故u 中“联合对”(),,A B C 的数量为6n .【点睛】关键点点睛：集合新定义问题的关键在于理解所给新定义，会抽象的利用集合的知识，分步乘法计数原理，二项式定理推理运算，此类问题难度大.。
2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]
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2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。
甘肃省部分学校2024-2025学年高三上学期9月月考生物试题(有答案)
高三生物学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分100分，考试时间75分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：必修1。
一、选择题：本题共16小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.铜绿假单胞菌是一种广泛分布于自然界中的细菌，能引起人类和动物多种疾病，可从草鱼及锦鲤等鱼类中分离得到。
下列关于铜绿假单胞菌的叙述正确的是A.铜绿假单胞菌属于原核生物，细胞中含有两类核酸B.铜绿假单胞菌的蛋白质是在鱼细胞的核糖体上合成C.铜绿假单胞菌可以通过有丝分裂方式进行大量增殖D.铜绿假单胞菌的有机物中都含有C、H、O、N元素2.人体免疫球蛋白由两条相同的重链和两条相同的轻链通过链间二硫键连接而成。
不同的免疫球蛋白中重链和轻链靠近N端肽链游离氨基端的氨基酸序列变化很大，称为可变区；靠近C端肽链游离羧基端的氨基酸序列稳定，称为恒定区。
下列相关叙述正确的是A.构成人体某种免疫球蛋白的氨基酸种类至少有21种B.不同免疫球蛋白功能上的差异主要由其空间结构决定C.不同免疫球蛋白能与特定抗原结合是由可变区决定的D.免疫球蛋白可清除细胞内相应抗原以维持机体的稳态3.下列有关HCl和NaOH溶液在生物学实验中应用的叙述，错误的是A.在探究pH影响酶活性实验中，HCl和NaOH溶液分别用于设定酸性和碱性条件B.检测还原糖时，先加入质量浓度为0.1g/mLNaOH溶液创造碱性环境C.用一定浓度的HCl溶液处理黑藻叶肉细胞，将不会观察到质壁分离后的复原D.探究酵母菌细胞呼吸方式时，用质量分数为10%的NaOH溶液吸收通入空气中的CO24.在细胞核中，rRNA和蛋白质分别组装成大、小亚基，大、小亚基经核孔进入细胞质基质，结合并组装成核糖体，组装过程如图。
甘肃省会宁县第一中学2021届高三上学期第三次月考数学(文)试题 Word版含答案
13. 14.0 15. 16.②③④
4、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17
18 解析：
19..
的最小正周期 ．
（2）∵ 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数， ， ，∴函数 在闭区间 上的最大值为 ，最小值为 ．
17、（本小题满分12分）．已知α，β∈(0，π)，tanα＝－ ，tan(α＋β)＝1.
(1)求tanβ及cosβ的值； (2)求的值.
18、（本小题满分12分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
19、（本小题满分12分）已知函数
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：(每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1、 ， ，则Hale Waihona Puke ( )A. B. C. D.
2、函数 的图象为( )
3、下列命题中正确的是( )
A.命题“ ， ”的否定是“ ”
B.命题“ 为真”是命题“ 为真”的必要不充分条件
C.若“ ，则 ”的否命题为真
D.若实数 ，则满足 的概率为 .
4、若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( )
A．5 B．2 C．3 D．4
5．设A，B是△ABC的内角，且cosA＝ ，sinB＝ ，则sin(A＋B)的值为()
甘肃省武威二中2017届高三上学期第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析
2016-2017学年甘肃省武威二中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|0＜x＜4}，B={x|x2+x﹣12≤0}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x≤3} B．{x|3≤x＜4} C．{x|0＜x＜4} D．{x|﹣4≤x＜4}2． sinxdx的值为（）A．B．πC．1 D．23．曲线y=x+e x在点（0，1）处的切线方程为（）A．2x+y﹣1=0 B．x+2y﹣1=0 C．2x﹣y+1=0 D．x﹣2y+1=04．命题“若整数a、b中至少有一个是偶数，则ab是偶数”的逆否命题为（）A．若整数a，b中至多有一个偶数，则ab是偶数B．若整数a，b都不是偶数，则ab不是偶数C．若ab不是偶数，则整数a，b都不是偶数D．若ab不是偶数，则整数a，b不都是偶数5．函数f（x）=2﹣在[0，1]上的最小值为（）A．0 B．C．1 D．8，n=3.2﹣3，p=3.20.3，则实数m，n，p的大小关系为（）6．已知m=log0.5A．m＜p＜n B．m＜n＜p C．n＜m＜p D．n＜p＜m7．“a=1”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣1]上单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知函数y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，且满足f（x）﹣f（﹣x）=0，当x＞0时，f（x）=lnx﹣x+1，则函数y=f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．9．下列函数中，既是偶函数，又在（2，4）上单调递增的函数为（）A．f（x）=2x+x B．C．f（x）=﹣x|x| D．10．已知使关于x 的不等式+1≥﹣对任意的x ∈（0，+∞）恒成立的实数m 的取值集合为A ，函数f （x ）=的值域为B ，则有（ ） A ．B ⊆∁R A B ．A ⊆∁R B C ．B ⊆A D ．A ⊆B11．已知函数f （x ）=（2k ﹣1）lnx++2x ，有以下命题：①当k=﹣时，函数f （x ）在（0，）上单调递增；②当k ≥0时，函数f （x ）在（0，+∞）上有极大值；③当﹣＜k ＜0时，函数f （x ）在（，+∞）上单调递减；④当k ＜﹣时，函数f （x ）在（0，+∞）上有极大值f （），有极小值f （﹣k ）． 其中不正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④12．已知f （x ）=，若方程f （x ）﹣4ax=a （a ≠0）有唯一解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13．命题“∂x 0∈R ，sinx 0+2x 02＞cosx 0”的否定为 ．14．若函数f （x ）=a x （a ＞0且a ≠1）在[﹣2，1]上的最大值为4，最小值为b ，且函数g （x ）=（2﹣7b ）x 是减函数，则a+b= ．15．满足的所有点M （x ，y ）构成的图形的面积为 ．16．已知奇函数f （x ）的定义域为R ，且f （1﹣x ）=f （1+x ），当﹣2＜x ≤﹣1时，f （x ）=﹣log （2+x ），则函数y=2f （x ）﹣1在（0，8）内的所有零点之和为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知集合A={x|1＜x ≤5}，集合B={x|≥0}．（1）求A∩B；（2）若集合C={x|a ≤x ≤4a ﹣3}，且C∪A=A，求实数a 的取值范围．18．已知函数f （x ）=ax 3﹣x 2（a ＞0），x ∈[0，+∞）．（1）若a=1，求函数f （x ）在[0，1]上的最值；（2）若函数y=f'（x ）的递减区间为A ，试探究函数y=f （x ）在区间A 上的单调性．19．已知定义在[﹣1，1]上的函数f （x ）的图象关于原点对称，且函数f （x ）在[﹣1，1]上为减函数．（1）证明：当x 1+x 2≠0时，＜0；（2）若f （m 2﹣1）+f （m ﹣1）＞0，求实数m 的取值范围．20．已知p ：∂x ∈（0，+∞），x 2﹣2elnx ≤m ；q ：函数y=（）在[2，+∞）上单调递减．（1）若p ∨q 为假命题，求实数m 的取值范围；（2）若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围．21．已知函数f （x ）=x 3+x 2﹣ax+1，且f'（1）=4．（1）求函数f （x ）的极值；（2）当0≤x ≤a+1时，证明：＞x ． 22．某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为K （K 为正整数）．（1）设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间；（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数K 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．2016-2017学年甘肃省武威二中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|0＜x＜4}，B={x|x2+x﹣12≤0}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x≤3} B．{x|3≤x＜4} C．{x|0＜x＜4} D．{x|﹣4≤x＜4}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣3）（x+4）≤0，解得：﹣4≤x≤3，即B={x|﹣4≤x≤3}，∵A={x|0＜x＜4}，∴A∩B={x|0＜x≤3}，故选：A．2． sinxdx的值为（）A．B．πC．1 D．2【考点】定积分．【分析】直接利用定积分公式求解即可．【解答】解： sinxdx=（﹣cosx）=﹣cosπ+cos0=2．故选：D．3．曲线y=x+e x在点（0，1）处的切线方程为（）A．2x+y﹣1=0 B．x+2y﹣1=0 C．2x﹣y+1=0 D．x﹣2y+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求切线方程．【解答】解：∵y=f（x）=x+e x，∴f'（x）=1+e x，∴在点（0，1）处切线斜率k=f'（0）=1+1=2，∴在点（0，1）处切线方程为y﹣1=2（x﹣0）=2x，即2x﹣y+1=0，故选：C．4．命题“若整数a、b中至少有一个是偶数，则ab是偶数”的逆否命题为（）A．若整数a，b中至多有一个偶数，则ab是偶数B．若整数a，b都不是偶数，则ab不是偶数C．若ab不是偶数，则整数a，b都不是偶数D．若ab不是偶数，则整数a，b不都是偶数【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】先否定原命题的题设做结论，再否定原命题的结论做题设，即得到原命题的逆否命题．【解答】解：命题“若整数a、b中至少有一个是偶数，则ab是偶数”的逆否命题“若ab不是偶数，则整数a，b都不是偶数“，故选：C5．函数f（x）=2﹣在[0，1]上的最小值为（）A．0 B．C．1 D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导数，根据x的范围，判断函数的单调性，从而求出函数的最小值即可．【解答】解：f′（x）=﹣x=，∵x∈[0，1]，∴1﹣x≥0，∴f′（x）≥0，∴f（x）在[0，1]递增，=f（0）=0，∴f（x）min故选：A．6．已知m=log8，n=3.2﹣3，p=3.20.3，则实数m，n，p的大小关系为（）0.5A．m＜p＜n B．m＜n＜p C．n＜m＜p D．n＜p＜m【考点】对数值大小的比较．【分析】根据对数以及指数函数的性质判断大小即可．【解答】解：∵m=log8＜0，0＜n=3.2﹣3＜1，p=3.20.3＞1，0.5∴m＜n＜p，故选：B．7．“a=1”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣1]上单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用二次函数的单调性可得a的取值范围，再利用简易逻辑的判定方法即可得出．【解答】解：函数f（x）=x2+2ax﹣2=（x+a）2﹣a2﹣2在区间（﹣∞，﹣1]内单调递减，∴a≥﹣1．∴“a=1”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣1]上单调递减的充分不必要条件．故选：A．8．已知函数y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，且满足f（x）﹣f（﹣x）=0，当x＞0时，f（x）=lnx﹣x+1，则函数y=f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断点的坐标即可得到结果．【解答】解：函数y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，且满足f（x）﹣f（﹣x）=0，可知函数是偶函数，选项A、B错误，当x＞0时，f（x）=lnx﹣x+1，当x=2时，f（2）=ln2﹣2+1＜0，所以C错误，D正确．故选：D．9．下列函数中，既是偶函数，又在（2，4）上单调递增的函数为（）A．f（x）=2x+x B．C．f（x）=﹣x|x| D．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】利用偶函数的定义与函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：利用偶函数的定义：在定义域内，满足f（﹣x）=f（x），即为偶函数，只有B，D满足，又在（2，4）上单调递增的函数为D．故选：D．10．已知使关于x的不等式+1≥﹣对任意的x∈（0，+∞）恒成立的实数m的取值集合为A，函数f（x）=的值域为B，则有（）A．B⊆∁R A B．A⊆∁RB C．B⊆A D．A⊆B【考点】函数恒成立问题．【分析】集合A，分离参数求最值；集合B利用被开方数大于等于0求得，即可得出结论．【解答】解：由题意，m≤2lnx+x+．令y=2lnx+x+，则y′=，∴0＜x＜1时，y′＜0，x＞1时，y′＞0，∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴x=1时，ymin=4，∴A=（﹣∞，4]；∵函数f（x）=的值域为B=[﹣4，4]，∴B⊆A．故选C．11．已知函数f（x）=（2k﹣1）lnx++2x，有以下命题：①当k=﹣时，函数f（x）在（0，）上单调递增；②当k≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上有极大值；③当﹣＜k＜0时，函数f（x）在（，+∞）上单调递减；④当k＜﹣时，函数f（x）在（0，+∞）上有极大值f（），有极小值f（﹣k）．其中不正确命题的序号是（）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】求函数的导数，分别利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=﹣+2===，①当k=﹣时，f′（x）=≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，则在（0，）上单调递增，故①正确；②当k≥0时，由f′（x）＞0得x＞，此时函数为增函数，由f′（x）＜0，得0＜x＜，此时函数为减函数，即当x=时，函数f（x）存在极小值，即可函数f（x）在（0，+∞）上有极大值错误，故②错误；③当﹣＜k＜0时，则0＜﹣k＜，由f′（x）＜0得﹣k＜x＜，由f′（x）＞0得0＜x＜﹣k或x＞，即函数f（x）在（，+∞）上单调递增；故③错误，④当k＜﹣时，﹣k＞，由f′（x）＞0得0＜x＜或x＞﹣k，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得＜x＜﹣k，即函数为减函数，即函数f（x）在（0，+∞）上有极大值f（），有极小值f（﹣k）．故④正确，故不正确命题的序号②③，故选：B12．已知f（x）=，若方程f（x）﹣4ax=a（a≠0）有唯一解，则实数a的取值范围是（）A．B．C． D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出f（x）的表达式，画出函数图象，结合图象求出a的范围即可，【解答】解：令﹣1＜x＜0，则0＜x+1＜1，则f（x+1）=x+1，故f（x）=，如图示：由f（x）﹣4ax=a（a≠0），得：f（x）=a（4x+1），函数y=a（4x+1）恒过（﹣，0），==，故KAB若方程f（x）﹣4ax=a（a≠0）有唯一解，则4a≥，解得：a≥，当4ax+a=﹣1即图象相切时，根据△=0，解得：a=﹣1，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13．命题“∂x 0∈R ，sinx 0+2x 02＞cosx 0”的否定为 ∀x ∈R ，sinx+2x 2≤cosx ．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∂x 0∈R ，sinx 0+2x 02＞cosx 0”的否定为：∀x ∈R ，sinx+2x 2≤cosx ．故答案为：∀x ∈R ，sinx+2x 2≤cosx ．14．若函数f （x ）=a x （a ＞0且a ≠1）在[﹣2，1]上的最大值为4，最小值为b ，且函数g （x ）=（2﹣7b ）x 是减函数，则a+b= 1 ．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】根据指数函数的图象及性质求其在[﹣2，1]的最值关系，再由g （x ）=（2﹣7b ）x 是减函数，2﹣7b ＜0，求出a 、b 的值即可．【解答】解：由题意，函数g （x ）=（2﹣7b ）x 是减函数；∴2﹣7b ＜0，解得b ＞；根据指数函数的图象及性质可知：当a ＞1时，函数f （x ）=a x 在[﹣2，1]上是在增函数，则有a ﹣2=b ，a=4，解得：b=，不满足题意，故a ≠4；当1＞a ＞0时，函数f （x ）=a x 在[﹣2，1]上是减函数，则有a ﹣2=4，a=b ，解得：a=，b=，满足题意，故a+b=1．故答案为：1．15．满足的所有点M （x ，y ）构成的图形的面积为 ．【考点】简单线性规划的应用．【分析】画出可行域，求出A ，B 坐标，利用定积分求解区域的面积即可．【解答】解：满足的所有点M （x ，y ）构成的图形如图：，可得A （2，3），B （，0）．所求区域的面积为：===．故答案为：．16．已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（1﹣x）=f（1+x），当﹣2＜x≤﹣1时，f（x）=﹣log（2+x），则函数y=2f（x）﹣1在（0，8）内的所有零点之和为12 ．【考点】抽象函数及其应用．【分析】求出f（x）的对称轴和周期，做出f（x）的函数图象，根据函数的对称性得出答案．【解答】解：∵f（x）是奇函数，f（1﹣x）=f（1+x），∴f（x+1）=f（1﹣x）=﹣f（x﹣1），f（x+3）=f（﹣1﹣x）=﹣f（x+1），∴f（x﹣1）=f（x+3），∴f（x）的周期为4，又f（1﹣x）=f（1+x），f（x）是奇函数，∴f（x）关于直线x=1对称，f（x）根与原点对称，做出f（x）的函数图象如图所示：令y=2f（x）﹣1=0得f（x）=，由图象可知f（x）=共有4个解，分别关于x=1和x=5对称，设4个解分别为x1，x2，x3，x4，则x1+x2=2，x3+x4=10，∴x1+x2+x3+x4=12．故答案为12．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知集合A={x|1＜x≤5}，集合B={x|≥0}．（1）求A∩B；（2）若集合C={x|a≤x≤4a﹣3}，且C∪A=A，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】（1）求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可；（2）由C与A的并集为A，得到C为A的子集，分C为空集与不为空集两种情况求出a的范围即可．【解答】解：（1）由B中不等式变形得：（2x﹣5）（x﹣6）≥0，解得：x≤或x＞6，即B={x|x≤或x＞6}，∵A={x|1＜x≤5}，∴A∩B={x|1＜x≤}；（2）∵C∪A=A，∴C⊆A，①当4a﹣3＜a，即a＜1时，C=∅，满足题意；②当4a﹣3≥a，即a≥1时，要使C⊆A，则有，解得：1＜a≤2，综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，1）∪（1，2]．18．已知函数f（x）=ax3﹣x2（a＞0），x∈[0，+∞）．（1）若a=1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；（2）若函数y=f'（x）的递减区间为A，试探究函数y=f（x）在区间A上的单调性．【考点】变化的快慢与变化率；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）根据导数和函数的最值的关系即可求出，（2）根据导数和函数的单调性即可求求出．【解答】解：（1）依题意，f'（x）=3x2﹣x=x（3x﹣1），当时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，所以当时，函数f （x ）有最小值，又，故函数f （x ）在[0，1]上的最大值为，最小值为，（2）依题意，f'（x ）=3ax 2﹣x ，因为（3ax 2﹣x ）′=6ax﹣1＜0，所以f'（x ）的递减区间为．当时，f'（x ）=3ax 2﹣x=x （3ax ﹣1）＜0，所以f （x ）在f'（x ）的递减区间上也递减．19．已知定义在[﹣1，1]上的函数f （x ）的图象关于原点对称，且函数f （x ）在[﹣1，1]上为减函数．（1）证明：当x 1+x 2≠0时，＜0；（2）若f （m 2﹣1）+f （m ﹣1）＞0，求实数m 的取值范围．【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质． 【分析】（1）结合已知中函数的单调性，分x 1+x 2＞0时和x 1+x 2＜0时两种情况讨论，可证得当x 1+x 2≠0时，＜0；（2）若f （m 2﹣1）+f （m ﹣1）＞0，则f （m 2﹣1）＞f （1﹣m ），则﹣1≤m 2﹣1＜1﹣m ≤1，解得答案．【解答】证明：（1）∵定义在[﹣1，1]上的函数f （x ）的图象关于原点对称，且函数f （x ）在[﹣1，1]上为减函数．当x 1+x 2＞0时，x 1＞﹣x 2，f （x 1）＜f （﹣x 2）=﹣f （x 2），即f （x 1）+f （x 2）＜0，此时＜0；当x 1+x 2＜0时，x 1＜﹣x 2，f （x 1）＞f （﹣x 2）=﹣f （x 2），即f （x 1）+f （x 2）＞0，此时＜0；综上可得：当x 1+x 2≠0时，＜0；解：（2）若f （m 2﹣1）+f （m ﹣1）＞0， 则f （m 2﹣1）＞﹣f （m ﹣1）=f （1﹣m ）， 故﹣1≤m 2﹣1＜1﹣m ≤1， 解得：m ∈（﹣2，1），∴实数m 的取值范围为 （﹣2，1）．20．已知p ：∂x ∈（0，+∞），x 2﹣2elnx ≤m ；q ：函数y=（）在[2，+∞）上单调递减．（1）若p ∨q 为假命题，求实数m 的取值范围；（2）若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性；复合命题的真假． 【分析】分别求出p ，q 为真时m 的范围，（1）根据p ，q 都为假，求出m 的范围是空集；（2）根据p ，q 一真一假，得到关于m 的不等式组，解出即可． 【解答】解：设f （x ）=x 2﹣2elnx ，（x ＞0）， 若∂x ∈（0，+∞），x 2﹣2elnx ≤m ， 则只需m ≥f （x ）min 即可，由f′（x ）=，令f′（x ）＞0，解得：x ＞，令f′（x ）＜0，解得：0＜x ＜，∴f （x ）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴f （x ）min =f （）=0，故m ≥0， 故p ：m ≥0；若函数y=（）在[2，+∞）上单调递减，则y=2x 2﹣mx+2在[2，+∞）递增，则对称轴x=﹣≤2，解得：m ≤8，故q ：m ≤8；（1）若p ∨q 为假命题，则p 假q 假，则，无解；（2）若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题， 则p ，q 一真一假，故或，解得：m ＞8或m ＜0．21．已知函数f （x ）=x 3+x 2﹣ax+1，且f'（1）=4． （1）求函数f （x ）的极值；（2）当0≤x ≤a+1时，证明：＞x ．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（1）求出函数的导数，求出a 的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）令，通过求导得到函数的单调性，通过讨论x 的范围证出结论即可． 【解答】解：（1）依题意，f'（x ）=3x 2+2x ﹣a ，f'（1）=3+2﹣a=4，a=1， 故f'（x ）=3x 2+2x ﹣1=（3x ﹣1）（x+1），令f'（x ）＞0，则x ＜﹣1或； 令f'（x ）＜0，则，故当x=﹣1时，函数f （x ）有极大值f （﹣1）=2，当时，函数f （x ）有极小值…证明：（2）由（1）知a=1，令，则，可知φ（x ）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，令g （x ）=x ． ①当x ∈[0，1]时，φ（x ）min =φ（0）=1，g （x ）max =1， 所以函数φ（x ）的图象在g （x ）图象的上方． ②当x ∈[1，2]时，函数φ（x ）单调递减，所以其最小值为最大值为2，而，所以函数φ（x ）的图象也在g （x ）图象的上方．综上可知，当0≤x ≤a+1时，…22．某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为K （K 为正整数）．（1）设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间；（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数K 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案． 【考点】函数模型的选择与应用． 【分析】（1）设完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间分别为T 1（x ），T 2（x ），T 3（x ），则可得，，；（2）完成订单任务的时间为f （x ）=max{T 1（x ），T 2（x ），T 3（x ）}，其定义域为，可得T 1（x ），T 2（x ）为减函数，T 3（x ）为增函数，T 2（x ）=T 1（x ），分类讨论：①当k=2时，T 2（x ）=T 1（x ），f （x ）=max{T 1（x ），T 3（x ）}=max{}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间；②当k ≥3时，T 2（x ）＜T 1（x ），记，为增函数，φ（x ）=max{T 1（x ），T （x ）}f（x ）=max{T 1（x ），T 3（x ）}≥max{T 1（x ），T （x ）}=max{}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间；③当k ＜2时，k=1，f （x ）=max{T 2（x ），T 3（x ）}=max{}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间，从而问题得解．【解答】解：（1）设写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间分别为T 1（x ），T 2（x ），T 3（x ）∴，，其中x ，kx ，200﹣（1+k ）x 均为1到200之间的正整数 （2）完成订单任务的时间为f （x ）=max{T 1（x ），T 2（x ），T 3（x ）}，其定义域为∴T 1（x ），T 2（x ）为减函数，T 3（x ）为增函数，T 2（x ）=T 1（x ）①当k=2时，T 2（x ）=T 1（x ），f （x ）=max{T 1（x ），T 3（x ）}=max{}∵T 1（x ），T 3（x ）为增函数，∴当时，f （x ）取得最小值，此时x=∵，，，f （44）＜f （45）∴x=44时，完成订单任务的时间最短，时间最短为②当k ≥3时，T 2（x ）＜T 1（x ），记，为增函数，φ（x ）=max{T 1（x ），T （x ）}f （x ）=max{T 1（x ），T 3（x ）}≥max{T 1（x ），T （x ）}=max{}∵T 1（x ）为减函数，T （x ）为增函数，∴当时，φ（x ）取得最小值，此时x=∵，，∴完成订单任务的时间大于③当k ＜2时，k=1，f （x ）=max{T 2（x ），T 3（x ）}=max{}∵T 2（x ）为减函数，T 3（x ）为增函数，∴当时，φ（x ）取得最小值，此时x=类似①的讨论，此时完成订单任务的时间为，大于综上所述，当k=2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A ，B ，C 三种部件的人数分别为44，88，68．。
甘肃省张掖二中2012届高三9月月考试题
高三月考数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}04|{2=+=x x x A ，+++=x a x x B )1(2|{2}012=-a ，若B B A = ，则a 的值为A ．2B ．1C ．2-D ．1-2．定义运算bc ad dc b a -=，则符合条件02111=+-+ii iz 的复数z 是A ．i 5452- B ．i 5452-- C ．i 5452+- D ．i 5452+ 3. “p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4. 定义某种运算b a S ⊗=，运算原理如图所示，则式子1)31()35cos 4(25sin )45tan2(-⊗+⊗πππ的值为A ．13B ．11C ．8D ．45. 已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为6．已知圆C 的方程为012222=+-++y x y x ，当圆心C 到直线04=++y kx 的距离最大时，k 的值为A ．51-B ．51C ．5-D ．5 7. 如果函数)0)(6sin()(>+=ωπωx x f 的两个相邻零点之间的距离为12π，则ω的值为A ．3B ．6C ．12D ．248．已知向量),1(m a =，),2(n b =，),3(t c =，且b a //，c b ⊥，则22||||c a +的最小值为A ．4B ．10C ．16D ．209．设b a <，函数)()(2b x a x y --=的图象可能是10．已知斜率为2的直线过抛物线ax y =2的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为A ．x y 42= B ．x y 82=C ．x y 42=或x y 42-= D ．x y 82=或x y 82-=11. 在△ABC 中，已知4=-b a ，b c a 2=+，且最大角为︒120，则这个三角形的最大边等于A ．4B ．14C ．4或14D ．2412．定义在R 上的偶函数)(x f ，对任意))(,0[,2121x x x x =/+∞∈，有0)()(1212<--x x x f x f ，则A ．)1()2()3(f f f <-<B ．)3()2()1(f f f <-<C ．)3()1()2(f f f <<-D ．)2()1()3(-<<f f f第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置．13．如图，在一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，以此实验数据为依据，可以估计出该不规则图形的面积为________平方米．14．已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≤+-042042k y x y y x ，且目标函数y x z +=3的最小值为1-，则常数=k _______．15. 已知四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥1AA 底面ABCD ，且21=AA，底面ABCD 的边长均大于2，且︒=∠45DAB ，点P 在底面ABCD 内运动，且在AB ，AD 上的射影分别为M ，N ，若|PA|=2，则三棱锥MN D P 1-体积的最大值为______．16．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：3122+= 53132++= 753142+++= … 5323+= 119733++= 1917151343+++= …根据上述分解规律，若115312++++= m ，3p 的分解中最小的正整数是21，则=+p m ________．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置．17．（本小题满分12分）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为c b a 、、，且21)cos(=+C A ，A c a sin 2=．(1)求cosC 的值； (2)当]2,0[π∈x 时，求函数x A x x f 2cos cos 42sin )(+=的最大值．18. (本小题满分12分)已知数列}{n a 满足：11=a ，11=-+n n a a ，*N n ∈．数列}{n b 的前n 项和为n S ，且2=+n n b S ，*N n ∈．(1)求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；(2)令数列}{n c 满足n n n b a c ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n T ． 19．(本小题满分12分)为了了解某年级1 000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，被抽取学生的成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组)14,13[；第二组)15,14[：…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8．(1)将频率当作概率，请估计该年级学生中百米成绩在)17,16[内的人数；(2)求调查中随机抽取了多少名学生的百米成绩；(3)若从第一、五组中随机取出两名学生的成绩，求这两名学生的成绩的差的绝对值大于1的概率．20．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB=4，CD=2，侧面PAD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．(1)求证：DE ∥平面PBC ； (2)求三棱锥A-PBC 的体积． 21. （本小题满分13分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率22=e ，左、右焦点分别为21F F 、，抛物线x y 242=的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程； (2)已知圆M ：3222=+y x 的切线与椭圆相交于A 、B 两点，那么以AB 为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由，22. （本小题满分13分）已知)(,2121x x x x =/是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点． (1)若11-=x ，22=x ，求函数)(x f 的解析式； (2)若22||||21=+x x ，求实数b 的最大值；(3)设函数)()()(1x x a x f x g --'=，若21x x <，且a x =2，求函数)(x g 在),(21x x 内的最小值．(用a 表示)山东省2013届高三高考模拟卷（四）数学（文科）参考答案一、1．B 【解析】因为B B A = ，所以B A ⊆．又因为}4,0{-=A ，而B 中最多有两个元素，所以}4,0{-==A B ，所以1=a ．选B ．2.A 【解析】设bi a z +=．根据定义运算得++1)((bi a 0)1)(1()2=-+-i i i ，即2)2()2(=++-i b a b a ，根据复数相等的定义得⎩⎨⎧=+=-,02,22b a b a 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==,54,52b a 所以i z 5452-=． 3.C 【解析】若命题“p 或q ”为真命题，则q p ,中至少有一个为真命题；若命题“p 且q ”为真命题，则q p ,都为真命题．因此“p 或q 为真命题是“p 且q ”为真命题的必要不充分条件．故选C ．4．A 【解析】原式+⨯++⨯=⊗+⊗=2(3)11(232121) =13．5．C 【解析】由于空间几何体的正视图和侧视图“高平齐”，故正视图的高一定是2，由于正视图和俯视图“长对正”，故正视图的底面边长为2，又根据侧视图可知这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综上可知，这个空间几何体的正视图可能是C ．6．A 【解析】圆C 的方程可化为1)1()1(22=-++y x ，所以圆心C 的坐标为)1,1(-，又直线04=++y kx 恒过点)4,0(-A ，所以当圆心C 到直线04=++y kx 的距离最大时，直线CA 应垂直于直线04=++y kx ，因为直线CA 的斜率为5-，所以51=-k ，51-=k ． 7．C 【解析】由正弦函数的性质可知，两个相邻零点之间的距离为周期的一半，即该函数的周期6122ππ=⨯=T ，故62πωπ==T ，解得12=ω．故选C ．8．C 【解析】由b a //，c b ⊥，得c a ⊥，则031=+⨯mt ，即3-=mt ，故222291||||t m c a +++=+16||2101022=+≥++=mt t m ，当且仅当3||||==t m 时等号成立．9．C 【解析】由解析式可知，当b x >时，0>y ，由此可以排除A 、B 选项．又当bx ≤时，0≤y ，从而可以排除D ．故选C ．10．D 【解析】抛物线的焦点坐标是)0,4(a ，直线的方程是-=x y (2)4a，令0=x ，得2a y -=，故)2,0(a A -，所以△OAF 的面积为⨯2116|2||4|2a a a=-⨯，由题意，得4162=a ，解得8±=a ．故抛物线方程是x y 82=或x y 82-=．故选D ．11．B 【解析】因为4=-b a ，所以4-=a b ，所以b a >，又b c a 2=+，所以8-=a c ，所以a 大于c b 、，则︒=120A ，由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=⋅---+-=)4(2)8()4(22a a a )21()8(-⋅-a ，所以056182=+-a a ，所以14=a 或4=a （舍去）．12．A 【解析】由已知条件可知，函数)(x f 在),0[+∞上单调递减，因此)3()2()1(f f f >>，又)(x f 为偶函数，则)2()2(-=f f ，从而)3()2()1(f f f >->．二、13．38【解析】设该不规则图形的面积为x 平方米，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，所以根据几何概型的概率计算公式可知x 11000375=，解得38=x ．14．9【解析】先根据约束条件画出变量y x ,满足的可行域如图中阴影部分所示．易知直线04=+-k y x 与2=y 的交点为)2,8(k A -，观察图形可知目标函数y x z +=3在点)2,8(k -处取得最小值1-，即12)8(3-=+-⨯k ，解得9=k ．15．312-【解析】由条件可得，A 、M 、P 、N 四点在以PA 为直径的圆上，所以由正弦定理得245sin =︒MN，所以2=MN 、在△PMN 中，由余弦定理可得≥︒⋅-+=135cos 2222PN PM PN PM MN PN PM ⋅+)22(，当且仅当PM= PN 时取等号，所以⋅PM 22222-=+≤PN ，所以底面△PMN的面积⋅PM 2121222)2(21135sin -=⨯-⨯≤︒k PN ，当且仅当PM= PN 时取最大值，故三棱锥MN D P 1-的体积≤⋅∆131AA S PMN 312221231-=⨯-⨯． 16．11【解析】由3122+=，53132++=，753142+++=，…，可知)12(5312-++++=n n ．由115312++++= m ，可知6=m ，易知292725232153++++=，则21是53的分解中最小的正整数，可得5=p ．故11=+p m ． 三、17．【解析】(1)在△ABC 中，因为21)cos(=+C A ，所以3π=+C A ．（2分） 又A c a sin 2=，c C cA a 2sin sin ==， 所以21sin =C ，6π=C 或π65（舍），（4分）所以23cos =C ．（6分） (2)由(1)知23cos =A ，（7分） 所以32cos 32sin cos 322sin )(2++=+=x x x x x f++=)32sin(2πx 3，（10分）又]2,0[π∈x ，所以32)(max +=x f ．（12分）18．【解析】(1)由已知可知数列}{n a 为等差数列，且首项为1，公差为1． ∴数列}{n a 的通项公式为n a n =．（2分）∵2=+n n b S ，∴211=+++n n b S ，∴211=+n n b b ，∴数列}{n b 为等比数列，（4分） 又211=+b S ，∴11=b ，∴数列}{n b 的通项公式为121-=n n b ．（6分） (2)由已知得：121-⋅=n n n c ． ∴12223221-++++=n n nT ，∴n n n nn T 22123222121132--++++=- ，（8分） ∴两式相减得n n n nT 221212121121132-+++++=-n n n 2211211---=n n n 2)211(2--=．（10分） ∴数列}{n c 的前n 项和112242)211(4--+-=--=n n n n nn T ．（12分）19．【解析】(1)百米成绩在)17,16[内的频率为32.0132.0=⨯，320100032.0=⨯． 所以估计该年级学生中百米成绩在)17,16[内的人数为320．（ 4分） (2)设图中从左到右的前3个组的频率分别为x x x 19,8,3．依题意，得1108.0132.01983=⨯+⨯+++x x x ，解得02.0=x ．（6分） 设调查中随机抽取了n 名学生的百米成绩，则n802.08=⨯，解得50=n ， 故调查中随机抽取了50名学生的百米成绩．（8分）(3)百米成绩在第一组的学生人数为35002.03=⨯⨯，记他们的成绩为c b a ,,， 百米成绩在第五组的学生人数为450108.0=⨯⨯，记他们的成绩为q p n m ,,,， 则从第一、五组中随机取出两名学生的成绩包含的基本事件有：},{b a ，},{c a ，},{m a ，},{n a ，},{p a ，},{q a ，},{c b ，},{m b ，},{n b ，},{p b ，},{q b ，},{m c ，},{n c ，},{p c ，},{q c ，},{n m ，},{p m ，},{q m ，},{p n ，},{q n ，},{q p ，共21个，（10分）其中满足成绩的差的绝对值大于1的基本事件有：},{m a ，,{a }n ，},{p a ，},{q a ，},{m b ，},{n b ，},{p b ，},{q b ，},{m c ，},{n c ，},{p c ，},{q c ，共12个，所以所求概率742112==P ．（12分） 20．【解析】(1)如图，取AB 的中点F ，连接DF ，EF ．在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB=4，CD=2，所以CD BF //， 所以四边形BCDF 为平行四边形，所以DF ∥BC ．（2分） 在△PAB 中，PA=EA ，AF=FB ，所以EF//PB ． 又因为DF EF=F ，PB BC=B ，所以平面DEF ∥平面PBC. （4分） 因为DE ⊂平面DEF ，所以DE ∥平面PBC ．（6分） (2)取AD 的中点O ，连接PO ．在△PAD 中，PA=PD=AD=2，所以PO ⊥AD ，3=PO ．（8分） 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD=AD ，所以PO ⊥平面ABCD ．直角梯形ABCD 中，CD//AB ，且AB=4，AD=2，AB ⊥AD ， 所以4242121=⨯⨯=⨯⨯=∆AD AB S ABC ，（10分） 故三棱锥A-PBC 的体积⨯⨯==∆--ABC ABC P PBC A s V V 313343431=⨯⨯=PO ．（12分）21．【解析】(1)因为椭圆C 的离心率22=e ，所以22=a c ，即c a 2=．（4分） 因为抛物线x y 242=的焦点)0,2(F 恰好是该椭圆的一个顶点，所以2=a ，所以1=c ，1=b ．所以椭圆C 的方程为1222=+y x ．（6分）(2)(i)当直线的斜率不存在时．因为直线与圆M 相切，故其中的一条切线方程为36=x ． 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=,12,3622y x x 不妨设)36,36(A ，)36,36(-B ， 则以AB 为直径的圆的方程为32)36(22=+-y x ．（6分） (ii)当直线的斜率为零时．因为直线与圆M 相切，所以其中的一条切线方程为36-=y ． 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=,12,3622y x y 不妨设)36,36(-A ，)36,36(--B ， 则以AB 为直径的圆的方程为32)36(22=++y x ． 显然以上两圆都经过点O(0，0)．（8分）(iii)当直线的斜率存在且不为零时． 设直线的方程为m kx y +=．由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,12,22y x m kx y 消去y ，得0224)12(222=-+++m kmx x k ，所以设),(11y x A ，),(22y x B ，则124221+-=+k kmx x ，12222221+-=k m x x ． 所以))((2121m kx m kx y y ++=122)(222221212+-=+++=k k m m x x km x x k ．所以2121y y x x +=⋅12223222+--=k k m ．①（11分）因为直线和圆M 相切，所以圆心到直线的距离361||2=+=k m d ， 整理，得)1(3222k m +=， ②将②代入①，得0=⋅，显然以AB 为直径的圆经过定点O(0，0) 综上可知，以AB 为直径的圆过定点(0，0)．（13分） 22．【解析】)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ． (1)因为11-=x ，22=x 是函数)(x f 的两个极值点， 所以0)1(=-'f ，0)2(='f ．（2分）所以0232=--a b a ， 04122=-+a b a ，解得6=a ，9-=b ． 所以x x x x f 3696)(23--=．（4分）(2)因为)(,2121x x x x =/是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点， 所以0)()(21='='x f x f ，所以21,x x 是方程)0(02322>=-+a a bx ax 的两根，因为32124a b +=∆，所以0>∆对一切0>a ，R b ∈恒成立， 而a b x x 3221-=+，321ax x -=，又0>a ，所以021<x x ， 所以||||||2121x x x x -=+=-+=212214)(x x x x a a b a a b 3494)3(4)32(222+=---，由22||||21=+x x ，得22349422=+a a b ，所以-=6(322a b )a ． 因为02≥b ，所以0)6(32≥-a a ，即60≤<a ．（6分）令)6(3)(2a a a h -=，则a a a h 369)(2+-='．当40<<a 时，0)(>'a h ，所以)(a h 在(0，4)上是增函数；当64<<a 时，0)(<'a h ，所以)(a h 在(4，6)上是减函数．所以当4=a 时，)(a h 有极大值为96，所以)(a h 在]6,0(上的最大值是96， 所以b 的最大值是64．（8分）(3)因为21,x x 是方程0)(='x f 的两根，且)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ， 所以321a x x -=，又a x =2，311-=x ， 所以))((3)(21x x x x a x f --='))(31(3a x x a -+=，所以)()()(1x x a x f x g --'=+--+=x a a x x a ())(31(3)31)(31(3)31--+=a x x a ， 其对称轴为2a x =，因为0>a ，所以),31(2a a -∈，即),(221x x a ∈，（11分） 所以在),(21x x 内函数)(x g 的最小值==)2()(mina g x g )312)(312(3--+a a a a 221(32)3()=2312a a a a +=-+-．（13分）。
2025届高三上学期9月月考联合测评数学试题解析版
2025届高三上学期9月月考联合测评解析版数学试卷注意事项：1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集R U =，集合{}2230Mx xx =−−≤和{}|21,1,2,N x x k k ==−= 的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个故选：B.2．已知向量()()1,0,1,1ab = ，若()a b b λ−⊥ ，则λ=（ ） A ．2−B ．0C ．1D ．2【答案】D【详解】()()1,0,1,1a b==，()1,1a b λλ∴−−− .因为()a b b λ−⊥，所以()0a b b λ−⋅=， 则()()111120λλ−×+−×=−=，解得2λ=. 故选：D.3．已知函数()πsin 23f x x=+ ，将()f x 的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后，得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象与()f x 的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值等于（ ）A ．π12 B ．π6C ．π4D ．π3下列哪个数不是“拐角数”.（ ）A ．22B ．30C ．37D ．46【答案】B【详解】由题意得第1个“拐角数”为211=+， 第2个“拐角数”为4112=++， 第3个“拐角数”为71123=+++， 第4个“拐角数”为1111234=++++，…，5．已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是（ ） A ．86 B ．87 C ．88 D ．906．已知直线()00x y k k +−=>与圆224x y +=交于不同的两点,A B ，O 是坐标原点，且有OA OB +≥ k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．7．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2cos a B c a =−，则3c ab+的最小值为（ ） A ．2 B ．C ．4D ．8．已知()f x 的定义域为()()()(),3f x y f x y f x f y ++−=R ，且()113f =，则1()k f k ==∑（ ） A ．13−B ．23−C ．13D ．23二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位，x ∈R ）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A ．πi 3e B ．i πe 1=−C ．xi e cos sin x x =+D ．πi 2e 的共轭复数为i −10．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A −，(2,0)B ，动点P 满足5PA PB ⋅=，其轨迹为一条连续的封闭曲线C ，则下列结论正确的是（ ）A ．曲线C 与y 轴的交点为(0,1)和(0,1)−B ．曲线C 关于x 轴、y 轴对称，不关于原点O 对称C ．点P 的横坐标的范围是[3,3]−D ．OP 的取值范围为[1,2]11．如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，动点P 在对角线1BD 上，过P 作垂直于1BD 的平面α，记平面α与正方体1111ABCD A B C D −的截面多边形（含三角形）的周长为L ，面积为S ，(,BPx x =∈，下面关于函数()L x 和()S x 的描述正确的是（ ）A ．()S x ；B ．()L x 在x =C ．()L x 在 上单调递增，在上单调递减；D ．()S x 在 上单调递增，在上单调递减因为BP x =，所以6EF x =设AE t =，则AEAF CG ===所以六边形EFGHMN 的周长为：三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知随机变量()2,X N µσ∼，若(2)0.2,(3)0.5P X P X <=<=，则(4)P X <的值为 ． 【答案】0.8/45 【详解】因为()2,X N µσ∼，(3)0.5P X <=， 所以3µ=，所以()()420.2P X P X >=<=， 所以(4)0.8P X <=， 故答案为：0.8.13．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为2，过点1F 的直线l 交E 的14．已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，延长BE 交AC 于点F ，若2,4sin sin b A C B =，则AEF △的面积为 .注意到24sin sin bR B ==四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题13分）已知数列{}n a 中，11a =，()1212n n a a n −=+≥． (1)求{}n a 的通项公式； (2)求和：1211ni ii a =−+∑16.（本小题15分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D −中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD BC ∥，4BC =，12AB AD DC AA ====，Q 为AD 的中点．(1)在11A D 上是否存在点P ，使直线//CQ 平面1AC P ，若存在，请确定点P 的位置并给出证明，若不存在，请说明理由；(2)若（1）中点P 存在，求平面1AC P 与平面11ABB A 所成的锐二面角的余弦值．所以DA ，DF ，1DD 两两互相垂直，17.（本小题15分）现有n 枚质地不同的游戏币12,,,(3)n a a a n > ，向上抛出游戏币m a 后，落下时正面朝上的概率为()11,2,,2m n m= .甲、乙两人用这n 枚游戏币玩游戏. (1)甲将游戏币2a 向上抛出10次，用X 表示落下时正面朝上的次数，求X 的期望()E X ，并写出当k 为何值时，()P X k =最大（直接写出结果，不用写过程）； (2)甲将游戏币123,,a a a 向上抛出，用Y 表示落下时正面朝上游戏币的个数，求Y 的分布列；(3)将这n 枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由.18.（本小题17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()()4,0,2,3A P −−． (1)求椭圆C 的方程以及离心率；(2)设直线:2l y kx =−与椭圆C 交于,M N 两点，过点N 作直线y =−6的垂线，垂足为Q ．判断直线MQ 是否过定点，并证明你的结论．19.（本小题17分）已知函数()1ln x f x ax+=，其中e 为自然对数的底数． (1)当1a =时，求()f x 的单调区间；(2)若方程()1f x =有两个不同的根12,x x ．（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：22122x x +>．。
2021-2022年高三上学期第一次月考数学试卷 含解析
2021-2022年高三上学期第一次月考数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合A={0，2}，B={1，2，3}，则A∩B=．2．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于．3．复数z=的模是．4．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有人．5．运行如图所示的伪代码，其结果为．6．函数f（x）=lg（x﹣1）+的定义域是．7．已知{an }为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20= ．8．若tanα=，tan（α﹣β）=﹣，则tan（β﹣2α）= ．9．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是棱BB1的中点，则四棱锥P﹣AA1C1C的体积为．10．设实数x，y满足约束条件，则z=的最小值为．11．在Rt△ABC中，BC=2，∠C=90°，点D满足，则= ．12．已知正数x，y满足x+2y=2，则的最小值为．13．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．14．已知函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数f（x）=sin（2x+）﹣sin（2x﹣）（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[﹣，]时，试求f（x）的最值，并写出取得最值时自变量x的取值．16．（14分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．17．（15分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）18．（15分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．19．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣ax，（1）当a=1时，求函数f（x）在x=e处的切线方程；（2）当a=2时，求函数f（x）的极值；（3）求函数f（x）在[1，e]上的最大值．20．（16分）已知数列{a n}中，a1=2，a2=3，其前n项和S n满足S n+1+S n﹣1=2S n+1，其中n ≥2，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{a n}为等差数列，并求其通项公式；（Ⅱ）设b n=a n•2﹣n，T n为数列{b n}的前n项和．①求T n的表达式；②求使T n＞2的n的取值范围．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（xx秋•亭湖区校级月考）已知集合A={0，2}，B={1，2，3}，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；转化法；集合．【分析】根据集合交集的定义求出A、B的交集即可．【解答】解：∵A={0，2}，B={1，2，3}，∴A∩B={2}，故答案为：{2}．【点评】本题考查了集合的交集的运算，熟练掌握交集的定义是解题的关键，本题是一道基础题．2．（xx秋•山西校级期末）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】从袋中任取两球，先利用组合数公式求出基本事件总数，再利用组合数公式求出两球颜色为一白一黑包含的基本事件个数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出两球颜色为一白一黑的概率．【解答】解：袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，基本事件总数n==15，两球颜色为一白一黑包含的基本事件个数m==6，∴两球颜色为一白一黑的概率p===．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．3．（xx秋•亭湖区校级月考）复数z=的模是．【考点】复数求模．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z====﹣1+i．∴|z|=|﹣1+i|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（xx•湖北）一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有6人．【考点】分层抽样方法．【专题】计算题．【分析】设出抽到女运动员的人数，根据分层抽样的特征列出方程可求出抽到女运动员的人数．【解答】解：设抽到女运动员的人数为n则=解得n=6故答案为：6【点评】本题主要考查了分层抽样，解决分层抽样的问题，一般利用各层抽到的个体数与该层的个体数的比等于样本容量与总体容量的比，属于基础题．5．（xx•盐城一模）运行如图所示的伪代码，其结果为17．【考点】伪代码．【专题】计算题；对应思想；试验法；算法和程序框图．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S的值．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=1+1+3+5+7的值，所以S=1+1+3+5+7=17．故答案为：17．【点评】本题主要考查了程序代码和循环结构，依次写出循环得到的S，I的值是解题的关键，是基础题目．6．（xx秋•亭湖区校级月考）函数f（x）=lg（x﹣1）+的定义域是（1，2）∪（2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞1或x≠2，故函数的定义域是（1，2）∪（2，+∞），故答案为：（1，2）∪（2，+∞）【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．7．（xx秋•宝山区期末）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=1．【考点】等差数列的性质．【专题】方程思想．【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解出a1，d，即可求得a20．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，∴a20=a1+19d=1．故答案为1．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式a n=a1+（n﹣1）d，注意方程思想的应用，熟练应用公式是解题的关键．8．（xx•江苏二模）若tanα=，tan（α﹣β）=﹣，则tan（β﹣2α）=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；转化思想；整体思想；综合法；三角函数的求值．【分析】根据题意，先有诱导公式可得tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β），进而结合正切的和角公式可得tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β）=﹣tan[（α﹣β）+α]=﹣，代入数据计算可得答案．【解答】解：根据题意，tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β）=﹣tan[（α﹣β）+α]=﹣=﹣=﹣；故答案为：﹣．【点评】本题考查正切的和差公式的运用，涉及诱导公式的运用，注意分析（β﹣2α）与α与（α﹣β）的关系．9．（xx秋•亭湖区校级月考）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是棱BB1的中点，则四棱锥P﹣AA1C1C的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】数形结合；作差法；立体几何．【分析】四棱锥P﹣AA1C1C的体积等于三棱柱的体积减去两个三棱锥的体积．=，【解答】解：V=V正方体=V=S•B1C1==，V C﹣ABP∴V==．故答案为．【点评】本题考查了正方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于基础题．10．（xx秋•连云港期末）设实数x，y满足约束条件，则z=的最小值为．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=再利用z的几何意义求最值，只需求出何时可行域内的点与点（0，0）连线的斜率的值最小，从而得到z=的最小值．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=z=，将z的值转化可行域内的点与点（0，0）连线的斜率的值，当Q点在可行域内的A（3，1）时，z=的最小值为，故答案为：．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．11．（xx春•连云港期中）在Rt△ABC中，BC=2，∠C=90°，点D满足，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】运用向量的数量积的定义可得•=||•||cosA=AC2，再由向量的加减运算和向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．【解答】解：在Rt△ABC中，BC=2，∠C=90°，•=||•||cosA=AC2，且AB2﹣AC2=BC2=4，由，可得=，则=（﹣）•（﹣）=（﹣）•（﹣）=2﹣•+2=2﹣2+2=（2﹣2）=2=×4=．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算求解能力，属于中档题．12．（xx•镇江一模）已知正数x，y满足x+2y=2，则的最小值为9．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【解答】解：∵正数x，y满足x+2y=2，∴===9，当且仅当x=4y=时取等号．∴的最小值为9．故答案为：9．【点评】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．13．（xx•大观区校级四模）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．【考点】函数的零点．【专题】数形结合法．【分析】先把原函数转化为函数f（x）=，再作出其图象，然后结合图象进行求解．【解答】解：函数f（x）==，得到图象为：又函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，知f（x）=m有三个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查函数的零点及其应用，解题时要注意数形结合思想的合理运用，14．（xx春•榆阳区校级期中）已知函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为[1，+∞）．【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】导数的综合应用．【分析】函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域（x＞0）内是增函数⇔≥0⇔对于任意x＞0．⇔．利用导数即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域（x＞0）内是增函数，∴≥0，化为．令g（x）=，=﹣，解g′（x）＞0，得0＜x＜1；解g′（x）＜0，得x＞1．因此当x=1时，g（x）取得最大值，g（1）=1．∴m≥1．故答案为[1，+∞）．【点评】正确把问题等价转化、利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（xx秋•亭湖区校级月考）已知函数f（x）=sin（2x+）﹣sin（2x﹣）（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[﹣，]时，试求f（x）的最值，并写出取得最值时自变量x的取值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】整体思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）通过凑角，把公式化简，从而求单调区间；（2）整体思想求三角函数在闭区间上的最值．【解答】解：（1）由题意知，f（x）==2sin，f（x）的最小正周期为T==π．当﹣，所以，f（x）的单增区间为[﹣，（k∈Z）．（2）∵x∈[﹣，]，所以，当2x+=，即x=﹣时，f（x）取得最大值2；当2x+=，即x=时，f（x）取得最小值﹣．【点评】本题考查了三角函数的化简及单调区间和最值的求法，运用了整体的思想，属于中档题．16．（14分）（xx•江苏）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】证明题．【分析】（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EF∥AD，EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，满足定理条件；（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD⊂面BCD，满足定理所需条件．【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD【点评】本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．17．（15分）（xx•绵阳二模）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】分类讨论．【分析】（1）由年利润W=年产量x×每千件的销售收入为R（x）﹣成本，又由，且年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．我们易得年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）由（1）的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果．【解答】解：（1）当；当x＞10时，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x．∴W=（2）①当0＜x＜10时，由W'=8.1﹣=0，得x=9，且当x∈（0，9）时，W'＞0；当x∈（9，10）时，W'＜0，∴当x=9时，W取最大值，且②当x＞10时，当且仅当，即x=时，W=38，故当x=时，W取最大值38．综合①②知当x=9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．【点评】本题考查的知识点是分段函数及函数的最值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．18．（15分）（xx•福建）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆E的方程．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（，），由得Q （4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0∴4k2﹣m2+3=0①此时x0==，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）方法二：假设平面内存在定点M满足条件，因为对于任意以PQ为直径的圆恒过定点M，所以当PQ 平行于x轴时，圆也过定点M，即此时P点坐标为（0，）或（0，﹣），由图形对称性知两个圆在x轴上过相同的交点，即点M必在x轴上．设M（x1，0），则•=0对满足①式的m，k恒成立．因为=（﹣﹣x1，），=（4﹣x1，4k+m），由•=0得﹣+﹣4x1+x12++3=0，整理得（4x1﹣4）+x12﹣4x1+3=0．②由于②式对满足①式的m，k恒成立，所以，解得x1=1．故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M．【点评】本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．19．（16分）（xx秋•亭湖区校级月考）已知函数f（x）=lnx﹣ax，（1）当a=1时，求函数f（x）在x=e处的切线方程；（2）当a=2时，求函数f（x）的极值；（3）求函数f（x）在[1，e]上的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（e），f′（e）的值，从而求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可；（3）求出导数，讨论m的范围，当m≤0时，当m＞0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，从而求出函数的最大值即可；【解答】解：（1）a=1时，f（x）=lnx﹣x，f′（x）=﹣1，f（e）=1﹣e，f′（e）=﹣1，故切线方程是：y﹣1+e=（﹣1）（x﹣e），即y=（﹣1）x；（2）a=2时，f（x）=lnx﹣2x，（x＞0），f′（x）=﹣2=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，=f（）=﹣1﹣ln2；故f（x）极大值（3）∵f′（x）=﹣a，（x＞0），当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，则单调递增区间为（0，+∞），无单调减区间；故f（x）在[1，e]上单调递增，f max（x）=f（e）=lne﹣me=1﹣ae，当a＞0时，由f′（x）＞0得0＜x＜，由f′（x）＜0，得x＞，∴f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，①若0＜≤1，即m≥1时，f max（x）=f（1）=﹣m，②若1＜＜e，即＜a＜1时，f max（x）=f（）=ln﹣1=﹣lna﹣1，③若≥e，即a≤时，f max（x）=f（e）=lne﹣ae=1﹣ae，综上：当a≤，f max（x）=1﹣ae，＜a＜1时，f max（x）=﹣lna﹣1，a≥1时，f max（x）=f（1）=﹣a．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．20．（16分）（xx春•靖江市校级期中）已知数列{a n}中，a1=2，a2=3，其前n项和S n满足S n+1+S n﹣1=2S n+1，其中n≥2，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{a n}为等差数列，并求其通项公式；（Ⅱ）设b n=a n•2﹣n，T n为数列{b n}的前n项和．①求T n的表达式；②求使T n＞2的n的取值范围．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】综合题；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）把S n+1+S n﹣1=2S n+1整理为：（s n+1﹣s n）﹣（s n﹣s n﹣1）=1，即a n+1﹣a n=1 即可说明数列{a n}为等差数列；再结合其首项和公差即可求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）因为数列{b n}的通项公式为一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列，故直接利用错位相减法求和即可【解答】解：（1）∵数列{a n}中，a1=2，a2=3，其前n项和S n满足S n+1+S n﹣1=2S n+1，其中n≥2，n∈N*，∴（S n+1﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣1）=1（n≥2，n∈N*，），∴a2﹣a1=1，∴数列{a n}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列，∴a n=n+1；（2）∵a n=n+1；∴b n=a n•2﹣n=（n+1）2﹣n，∴T n=2×+3×+...+n+（n+1） (1)=2×+3×+...+n+（n+1） (2)（1）﹣（2）得：T n=1++…+﹣（n+1），∴T n=3﹣，代入不等式得：3﹣＞2，即，设f（n）=﹣1，f（n+1）﹣f（n）=﹣＜0，∴f（n）在N+上单调递减，∵f（1）=1＞0，f（2）=＞0，f（3）=﹣＜0，∴当n=1，n=2时，f（n）＞0；当n≥3，f（n）＜0，所以n的取值范围为n≥3，且n∈N*．【点评】本题主要考查等差关系的确定以及利用错位相减法求数列的和．错位相减法适用于一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列35220 8994 覔25312 62E0 拠33796 8404 萄32094 7D5E 絞P#n 31648 7BA0 箠29415 72E7 狧520847 516F 兯29862 74A6 璦34242 85C2 藂20763 511B 儛。
甘肃省酒泉市敦煌市青海油田第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题
甘肃省酒泉市敦煌市青海油田第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B =IA ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,22．下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（ ） A．y =B ．3y x x =-C ．1y x=-D．y =3．函数1()ln(1)f x x =+A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]二、多选题4．若0a b >>，则下列结论正确的是（ ） A ．22a b > B ．22ac bc > CD ．1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、单选题 5．函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ） A ．4 B．3 C．D．36．若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．()1,+∞B ．()1,8C ．()4,8D ．[)4,87．已知偶函数()f x 满足()()22f x f x -=+且在[]0,2上的解析式为22,01()log 1,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨+<≤⎩，则()()20142015f f +=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若()12,0,x x ∀∈+∞且12x x >，都有()()1122120x f x x f x x x ->-，则不等式()()114x f x --<的解集为（ ）A ．()(),13,-∞-⋃+∞B ．(),3-∞C ．()1,3-D ．()1,-+∞四、多选题9．下列有关命题的叙述，其中正确的是（ ）A ．若不等式230ax bx ++>的解集为{13}xx -<<∣，则1a b += B ．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”成立的充分不必要条件 C ．命题():1,log 00,1a p x a a x ∀≥≥>≠，则:1,,log 0a p x x ⌝∃<< D ．命题2:,40q x x x a ∃∈++<R 是真命题，则实数4a >. 10．若正实数,a b 满足21a b +=，则下列说法正确的是（ ）A ．12a b +的最小值为8B ．ab 的最小值为18CD ．224a b +的最小值为1211．（多选）已知定义域为R 的函数()f x 在(1,0]-上单调递增，(1)(1)f x f x +=-，且图象关于点(2,0)对称，则下列结论正确的是（ ）A ．(0)(2)f f =B ．()f x 的最小正周期2T =C ．()f x 在(1,2]上单调递减D ．(2021)(2022)(2023)f f f >>五、填空题12．函数()212log 2y x x =+-的单调增区间.13．已知函数()y f x =在R 上为奇函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-，则当0x <时，()f x 的解析式是.14．已知函数()23,021,0x x x x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若关于x 的方程()()()221630f x a f x a +-⋅-=有4个不同的实根，则实数a 的取值范围.六、解答题15．在①411A xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭､②{}2230A x x x =--<∣､③{12}A x x =-<∣这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，求解下列问题：注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．设集合__________，集合()(){}()22101B xx m x m m =---<≠∣， (1)当0m =时，求A B ð；(2)若设:;:p x A q x B ∈∈，若q 是p 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围． 16．若二次函数()y f x =对任意()y f x =都满足()()11f x f x +=-，其最小值为1-，且有()00f =(1)求()f x 的解析式；(2)解关于x 的不等式()2f x a ax >-；(3)设函数()()()g 23x f x a x =--+，求()g x 在区间[]1,1-的最小值.17．第三十一届世界大学生夏季运动会于2023年8月8日晚在四川省成都市胜利闭幕．来自113个国家和地区的6500名运动员在此届运动会上展现了青春力量，绽放青春光彩，以饱满的热情和优异的状态谱写了青春、团结、友谊的新篇章．外国运动员在返家时纷纷购买纪念品，尤其对中国的唐装颇感兴趣．现随机对200名外国运动员（其中男性120名，女性80名）就是否有兴趣购买唐装进行了解，统计结果如下：(1)是否有99%的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关”；(2)按分层抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，再从中任意抽取3名运动员作进一步采访，记3名运动员中男性有X 名，求X 的分布列与数学期望． 参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 临界值表：18．已知定义域是R 的函数()()212xf x a a =-∈+R 是奇函数. (1)求a 的值(2)先判断函数()f x 单调性并证明；(3)若对于任意()1,3t ∈，不等式()()22230f t kt f t -+-<恒成立，求k 的范围.19．2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下：(1)计算x y ，的相关系数r （计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；(3)为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有5个男游客和()5k k ≥个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为p ，当k 取多少时，p 最大？参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑，$ay bx =-$，()()niix x y y r --∑1.732．。
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甘肃省高三上学期数学 9 月月考试卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)
1. （2 分） 函数
的定义域为集合 A，函数
的定义域为集合 B，则
（）
A.
B.
C.
D.
2. （2 分） (2020 高一上·马鞍山期末) 函数
的最小正周期是（ ）
A.
B.
C.π
D . 2π
3. （2 分） 有下列四种说法：
①命题“
,使得
”的否定是“
都有
”；
②“命题 为真”是“命题 为真”的必要不充分条件；
③“若
则 a<b”的逆命题为真；
④若实数
,则满足:
其中错误的个数是
A.
的概率为 .
第 1 页 共 17 页
B.1
C.2
D.3
4. （2 分） (2019 高一上·广州期末) 已知幂函数 m 的值为（ ）
A.
B.3
C.
或3
D . 1或
在
上单调递增，则实数
5. （2 分） (2019 高一下·上海期中) A.
的值等于（ ）
B. C.
D.
6. （2 分） (2016·新课标 I 卷文) △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知 a= ，c=2，cosA= ，则 b=（ ）
A.
B. C.2 D.3 7. （2 分） (2016 高三上·杭州期中) 设函数 y=xcosx﹣sinx 的图象上的点（x0 ， y0）处的切线的斜率为 k，
第 2 页 共 17 页
若 k=g（x0），则函数 k=g（x0）的图象为（ ）
A.
B. C.
D. 8. （2 分） (2015 高三下·武邑期中) 已知 a 是任意实数，则关于 x 的不等式（a2﹣a+2016）x2＜（a2﹣a+2016） 2x+3 的解集为（ ） A . （3，+∞） B . （﹣1，3） C . （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） D . 与 a 的取值有关
9.（2 分）(2019 高一上·如皋月考) 设函数
第 3 页 共 17 页
，则满足
时 a 的取值范围是（ ）
A. B.
C.
D.
10. （2 分） (2020·海南模拟) 圆周率 是无理数，小数部分无限不循环，毫无规律，但数学家们发现 可
以用一列有规律的数相加得到： 的通项公式可以是（ ）
.若将上式看作数列 的各项求和，则
A.
B. C.
D.
二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)
11. （1 分） (2019 高一下·上海月考) 若角
的终边上有一点
，则实数 的值________
12. （1 分） (2016 高一上·清河期中) 定义在[﹣2，2]上的偶函数 g（x），当 x≥0 时，g（x）单调递减，若 g（1﹣m）﹣g（m）＜0，则实数 m 的取值范围是________．
13. （1 分） (2020 高一上·宁波期末) 已知函数 是________.
14. （2 分） (2018·六安模拟) 已知集合
有两个元素，则实数
的取值范围是________．
第 4 页 共 17 页
,则
________函数定义域
，集合
，若
三、 双空题 (共 1 题；共 1 分)
15. （1 分） 若函数 f（x）=cosωx（ω＞0）在 x ________ ．
上的最大、最小值之和为 0，则 ω 的最小值为
四、 解答题 (共 6 题；共 45 分)
16. （10 分） (2020 高二下·盐城期末) 设函数
(m R).
（1） 当
时，求函数
在
处的切线方程；
（2） 当
时，求函数
的单调增区间.
17. （10 分） (2019 高一上·扬州月考) 已知集合
，
．
（1） 求
；
（2） 已知
，若
，求实数 a 的取值范围．
18. （5 分） (2018 高二上·成都月考) 在
，且
成等比数列.
中，内角
的对边分别为
，已知
（Ⅰ）求 （Ⅱ）若
的值；
求
的值.
19. （10 分） (2020·江西模拟) 在平面直角坐标系
中，直线 过原点且倾斜角为
.以
坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线 的极坐标方程为
.在平面直角坐标系
中，曲线 与曲线 关于直线
对称.
（Ⅰ）求曲线 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线 过原点且倾斜角为
，设直线 与曲线 相交于 O，A 两点，直线 与曲线 相
交于 O，B 两点，当 变化时，求
面积的最大值.
20. （5 分） (2017·昌平模拟) 设函数 f（x）=a（x﹣1）2﹣xe2﹣x ．
（Ⅰ）若曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与 x 轴平行，求 a 的值；
第 5 页 共 17 页
（Ⅱ）若
，求 f（x）的单调区间．
21. （5 分） (2020·重庆模拟) 已知函数
.
（1） 若
是
的极值点，求 a 的值及
的单调区间；
（2） 若对任意
，不等式
成立，求 a 的取值范围.
第 6 页 共 17 页
一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)
答案：1-1、 考点： 解析：
参考答案
答案：2-1、 考点：
解析： 答案：3-1、 考点： 解析：
答案：4-1、
第 7 页 共 17 页
考点：
解析： 答案：5-1、 考点： 解析：
答案：6-1、 考点： 解析：
第 8 页 共 17 页
答案：7-1、 考点：
解析： 答案：8-1、 考点： 解析：
答案：9-1、
第 9 页 共 17 页
考点： 解析：
答案：10-1、 考点： 解析：
二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)
答案：11-1、 考点：
解析： 答案：12-1、
第 10 页 共 17 页
考点：
解析：
答案：13-1、考点：
解析：
答案：14-1、考点：
解析：
三、双空题 (共1题；共1分)答案：15-1、
考点：
解析：
四、解答题 (共6题；共45分)答案：16-1、
答案：16-2、
考点：
解析：
答案：17-1、
答案：17-2、考点：
解析：
答案：18-1、考点：
解析：
答案：19-1、考点：
解析：
答案：20-1、
考点：
解析：
答案：21-1、
答案：21-2、考点：
解析：。