第8章信号奇异性检测和图象边缘提取
图像边缘的检测与提取
3.4 基于数学形态学的图像边缘提取研究。
数学形态学是数字图像处理领域中的一门新兴学科，它在形状识别、边缘检测、纹理分析、图像恢复和增强等领域得到了广泛应用。
形态学图像处理是以几何学为基础的，它着重研究图像的集合结构。
它的基本思想是利用一个结构元素去探测一个图像，看是否能够将这个结构元素很好地填放在图像的内部，同时验证填放结构元素的方法是否有效[1]。
运用数学形态学检测图像边缘信息，取决于结构元素的选取和算法的构造。
在不同的应用场合，结构元素的选择及其相应的处理算法是不一样的，对不同的目标图像应该设计不同的结构元素和不同的处理算法。
但是对于复杂的图像，其边缘特征信息很难通过一个结构元素来提取，这也是形态学图像处理中的一个难点。
目前比较行之有效的方法就是将形态学运算与集合运算结合起来，采用多个结构元素分别对图像进行变换，然后将变换后的图像合并起来，即多结构元素形态学变换。
本文运用数学形态学的理论和方法，从多结构元素形态学变换的角度出发，提出了一种多结构元素的选取方案，并采取适当的处理算法进行图像边缘检测。
3.4.1 数学形态学的运算数学形态的基本运算是腐蚀运算和膨胀运算。
下面首先介绍一下腐蚀运算和膨胀运算的定义。
设A 是原始图像，B 是“结构元素”。
腐蚀运算定义为：E(A)= AΘB={(x, y) |Bxy ⊆ A} （1）也就是说，由B 对 A 腐蚀所产生的二值图像E(A)是这样的点(x，y)的集合：如果Ｂ的原点移到(x，y)点，那么B 将完全包含于A 中。
膨胀运算定义为：D(A) =A⊕B={(x, y) |Bxy A≠Φ} （2）也就是说，B 对A 膨胀产生的二值图像Ｄ(A)是由这样的点(x，y)组合的集合，如图B 的原点位移到(x，y)，那么它与A 的交集非空。
在此还要介绍一下数学形态学中的2 种基本操作：补操作和并操作，其代数表达式如下所述。
目标图像--A的补操作定义为：--A={(x, y) | (x, y)∈W ∧ (x, y)∉ A} （3）其中，符号∧表示与逻辑，A 的补图像--A实际上描述的是图像A 的背景。
图像处理中的边缘检测与特征提取研究
图像处理中的边缘检测与特征提取研究在现代的数字图像处理中，边缘检测和特征提取是两个非常重要的任务。
边缘是图像中连续亮度变化的区域，而特征则是描述图像中不同部分的量化属性。
这些任务在计算机视觉、模式识别和人工智能中发挥了关键作用。
边缘检测是图像处理中最基本的任务之一，用于识别图像中不同物体之间的边界。
边缘检测的主要方法包括梯度法、Laplacian法和Canny边缘检测等。
其中，梯度法是最常用的方法之一。
它基于图像的亮度变化来找到边缘，因此对噪声比较敏感。
为了提高结果的准确性，通常需要进行图像平滑处理。
Laplacian法是一种基于二阶导数的边缘检测方法。
它对灰度变化的方向不敏感，因此在不同方向的边缘检测中表现稳定。
然而，Laplacian法也对噪声比较敏感，因此需要进行去噪处理。
Canny边缘检测是一种基于多阶段的方法，可以在较大程度上减少噪声，得到更加准确的边缘结果。
它的基本思路是：先进行高斯平滑处理，然后计算梯度和方向，在进行非极大值抑制和双阈值检测后，最终得到边缘图像。
对于特征提取，图像处理中有很多的方法和技术。
其中，常用的特征提取方法包括颜色直方图、形态学、小波变换、SIFT和HOG等。
颜色直方图是一种将像素在颜色空间中的分布视为特征的方法。
它可以通过计算颜色直方图来提取图像特征。
形态学是一种形态学变换，可以处理二值图像，通过不同的膨胀、腐蚀操作来提取形状特征。
小波变换是一种多尺度分析方法，可以将图像拆分为多个不同的尺度和方向的频率分量。
SIFT是一种用于提取图像特征的算法，能够在不受光照、旋转和尺度变化影响的情况下提取图像的局部特征。
HOG是一种用于目标检测的技术，能够从图像中定位和检测出目标，广泛应用于行人检测和动作识别等领域。
边缘检测和特征提取可以相互结合，形成更加复杂的图像处理算法。
例如，在计算机视觉中，常用于目标检测和目标跟踪等任务。
其基本思路是：先利用边缘检测方法找到图像中的轮廓和边缘，然后利用特征提取方法对目标进行描述和识别。
数字图像处理中的边缘检测与提取技术
数字图像处理中的边缘检测与提取技术数字图像处理是一门极为重要的技术，在现代化的科技时代中，其广泛性和应用性已经远远超越人们的想象。
因此，数字图像处理技术也得到了越来越多的研究和应用。
在这些技术中，边缘检测与提取技术无疑占据了很大的比重。
本文就来深入探讨数字图像处理中的边缘检测与提取技术。
一、数字图像的边缘概述在数字图像中，边缘指的是图像由一个物体和另一个物体之间的边界。
在物理世界中，边界就是物体的边界。
在数字图像中，边界则是不同区域之间颜色或亮度发生变化的地方。
在实际应用中，数字图像的边缘检测非常重要。
例如，在计算机视觉中，它是对象检测和跟踪的关键。
二、数字图像的边缘提取方法数字图像的边缘检测与提取一直是数字图像处理中的研究热点之一。
为了准确地检测和提取图像的边缘特征，现有许多不同的边缘检测和提取方法。
其主要的方法有：1. 基于梯度的边缘检测方法基于梯度的边缘检测方法通常使用Sobel、Prewitt或Roberts等算子来计算梯度。
这些算子可以对图像中每个像素的灰度值进行微分，以寻找灰度变化的最大值，以确定边界的位置。
虽然这种方法在大多数情况下能够有效地检测出边缘，但它对边缘噪声非常敏感。
因此，需要结合其他滤波器，如高斯滤波器或中值滤波器，对原始图像进行滤波。
2. 基于模板的边缘检测方法基于模板的边缘检测方法，也称为基于Laplace算子的边缘检测方法，通常使用Laplace算子将图像的高斯平滑滤波结果与模板相乘，以检测图像中的边界。
此外，也可以采用另一种常用的算子Canny算子。
3. 基于阈值的边缘检测方法基于阈值的边缘检测方法是最常见的边缘检测方法之一。
为了提取图像中的边缘，该方法使用预先定义的阈值将灰度值低于阈值的像素识别为背景像素，将灰度值高于阈值的像素视为边缘像素。
但是，这种方法通常对于灰度不稳定的图像效果不好，需要将阈值与其他滤波器结合使用，如先进行对比度增强。
三、数字图像的边缘检测算法的评价边缘检测算法被广泛用于许多领域的数字图像处理中。
图像边缘提取
图像边缘提取图像的边界信息⼀般通过灰度值突变来体现，所以图像边缘提取⼀般通过捕捉灰度突变的⽅法来实现，捕捉灰度突变可以通过求微分来实现导数越⼤说明变化越⼤，边缘信号越强1.Sobel算⼦也叫离散微分算⼦，⼀阶微分算⼦，求导算⼦，先做⾼斯平滑在做微分求导可以在各个⽅向上求图像的梯度如⽔平⽅向 Gx=[-1,0,1,-2,0,2,-1,0,1]，垂直⽅向Gy=[-1,-2,-1,0,0,0,1,2,1]最终G=sqrt(Gx^2+Gy^2),或者G=|Gx|+|Gy|第⼆种的运算速度要快于第⼀种，所以⼀般采⽤第⼆种⽅法Sobel算⼦的改进版叫Scharr算⼦[-3，0，3，-10，0，10，-3，0，3]#include<iostream>#include<opencv2/opencv.hpp>using namespace std;using namespace cv;int main(int argc, char **argv){Mat src, dst;src = imread("b.png");if (src.empty()){cout << "load img failed" << endl;return -1;}imshow("input img", src);Mat gaussian,gray_src;GaussianBlur(src, gaussian, Size(3, 3), 0, 0);cvtColor(gaussian, gray_src, CV_BGR2GRAY);imshow("blur gray", gray_src);Mat xgrad, ygrad;Sobel(gray_src, xgrad, CV_16S, 1, 0, 3);Sobel(gray_src, ygrad, CV_16S, 0, 1, 3);convertScaleAbs(xgrad, xgrad);convertScaleAbs(ygrad, ygrad);imshow("x grade", xgrad);imshow("y grade", ygrad);addWeighted(xgrad, 0.5, ygrad, 0.5, 0, dst);imshow("output img", dst);/*dst = Mat(xgrad.size(), xgrad.type());int width = dst.cols;int height = dst.rows;for(int i=0;i<height;++i)for (int j = 0; j < width; ++j){int xg = xgrad.at<char>(i, j);int yg = ygrad.at<char>(i, j);int xy = xg + yg;dst.at<char>(i, j) = saturate_cast<uchar>(xy);}imshow("output img", dst);*/waitKey(0);return0;}plance算⼦求⼆阶导数，在⼆阶导数的时候，最⼤变化处的值为0，即边缘的⼆阶导数是0流程：⾼斯模糊去噪GaussianBlur()转为灰度值cvtColor()Laplance⼆阶导数计算Laplancian()取绝对值convertScaleAbs()显⽰结果#include<iostream>#include<opencv2/opencv.hpp>using namespace std;using namespace cv;int main(int argc, char **argv){Mat src, dst;src = imread("b.png");if (src.empty()){cout << "load img failed" << endl;return -1;}imshow("input img", src);Mat gaussian,gray_src;GaussianBlur(src, gaussian, Size(3, 3), 0, 0);cvtColor(gaussian, gray_src, CV_BGR2GRAY);imshow("blur gray", gray_src);Laplacian(gray_src, dst, CV_16S,3);convertScaleAbs(dst, dst);imshow("Laplacian", dst);threshold(dst, dst, 0, 255, THRESH_OTSU | THRESH_BINARY);imshow("output img", dst);/*dst = Mat(xgrad.size(), xgrad.type());int width = dst.cols;int height = dst.rows;for(int i=0;i<height;++i)for (int j = 0; j < width; ++j){int xg = xgrad.at<char>(i, j);int yg = ygrad.at<char>(i, j);int xy = xg + yg;dst.at<char>(i, j) = saturate_cast<uchar>(xy);}imshow("output img", dst);*/waitKey(0);return0;}3.Canny边缘检测步骤：⾼斯模糊 GaussianBlur灰度转换cvtColor计算梯度Sobel/Scharr⾮最⼤信号抑制⾼低阈值输出⼆值图像⾮最⼤信号抑制需要计算梯度⽅向T1为低阈值，T2为⾼阈值，凡是⾼于T2的都保留，凡是低于T1的都丢弃，从⾼于T2的像素出发，凡是⼤于T1且相互连接的都保留，最终得到⼀个输出⼆值图像推荐的⾼低阈值⽐为3：1或2：1Canny(src,dst,threshold_low,threshold_high,Sobel_size,Lwgradient)最后⼀个如果是true就⽤L2归⼀化（开根），如果不是就L1归⼀化（绝对值），⼀般⽤L1 #include<iostream>#include<opencv2/opencv.hpp>using namespace std;using namespace cv;Mat src, dst, gray_src, gaussian;int t1_value = 50;int max_value = 255;const char* OUTPUT_TITLE = "Canny Result";void Canny_Demo(int,void*);int main(int argc, char **argv){//Mat src, dst;src = imread("b.png");if (src.empty()){cout << "load img failed" << endl;return -1;}imshow("input img", src);//Mat gaussian,gray_src;//GaussianBlur(src, gaussian, Size(3, 3), 0, 0);namedWindow(OUTPUT_TITLE, CV_WINDOW_AUTOSIZE);cvtColor(src, gray_src, CV_BGR2GRAY);createTrackbar("Threshold Value :", OUTPUT_TITLE, &t1_value, max_value, Canny_Demo);Canny_Demo(0, 0);waitKey(0);return0;}void Canny_Demo(int, void*){Mat edge_output;blur(gray_src, gray_src, Size(3, 3), Point(-1, -1), BORDER_DEFAULT);Canny(gray_src, edge_output, t1_value, t1_value * 2, 3, false);//dst.create(src.size(), src.type());//src.copyTo(dst, edge_output);imshow(OUTPUT_TITLE, ~edge_output);}去掉注释会变成彩⾊图，注意修改imshow中的输出变量。
图像处理中的边缘检测和特征提取方法
图像处理中的边缘检测和特征提取方法图像处理是计算机视觉领域中的关键技术之一，而边缘检测和特征提取是图像处理中重要的基础操作。
边缘检测可以帮助我们分析图像中的轮廓和结构，而特征提取则有助于识别和分类图像。
本文将介绍边缘检测和特征提取的常见方法。
1. 边缘检测方法边缘检测是指在图像中找到不同区域之间的边缘或过渡的技术。
常用的边缘检测方法包括Sobel算子、Prewitt算子和Canny算子。
Sobel算子是一种基于梯度的边缘检测算法，通过对图像进行卷积操作，可以获取图像在水平和垂直方向上的梯度值，并计算获得边缘的强度和方向。
Prewitt算子也是一种基于梯度的边缘检测算法，类似于Sobel算子，但其卷积核的权重设置略有不同。
Prewitt算子同样可以提取图像的边缘信息。
Canny算子是一种常用且经典的边缘检测算法。
它结合了梯度信息和非极大值抑制算法，可以有效地检测到图像中的边缘，并且在边缘检测的同时还能削弱图像中的噪声信号。
这些边缘检测算法在实际应用中常常结合使用，选择合适的算法取决于具体的任务需求和图像特点。
2. 特征提取方法特征提取是指从原始图像中提取出具有代表性的特征，以便进行后续的图像分析、识别或分类等任务。
常用的特征提取方法包括纹理特征、形状特征和颜色特征。
纹理特征描述了图像中的纹理信息，常用的纹理特征包括灰度共生矩阵（GLCM）、局部二值模式（LBP）和方向梯度直方图（HOG）。
GLCM通过统计图像中像素之间的灰度变化分布来描述纹理特征，LBP通过比较像素与其邻域像素的灰度值来提取纹理特征，HOG则是通过计算图像中梯度的方向和强度来提取纹理特征。
这些纹理特征可以用于图像分类、目标检测等任务。
形状特征描述了图像中物体的形状信息，常用的形状特征包括边界描述子（BDS）、尺度不变特征变换（SIFT）和速度不变特征变换（SURF）。
BDS通过提取物体边界的特征点来描述形状特征，SIFT和SURF则是通过提取图像中的关键点和描述子来描述形状特征。
数字图像处理实验报告-图像边缘检测和特征提取
华南师范大学实验报告一、实验目的1、.掌握边缘检测的Matlab实现方法2、了解Matlab区域操作函数的使用方法3、了解图像分析和理解的基本方法4、了解纹理特征提取的matlab实现方法二、实验平台计算机和Matlab软件环境三、实验内容1、图像边缘检测2、图像纹理特征提取四、实验原理1、图像边缘检测图像理解是图像处理的一个重要分支，它研究的是为完成某一任务需要从图像中提取哪些有用的信息，以及如何利用这些信息解释图像。
边缘检测技术对于处理数字图像非常重要，因为边缘是所要提取目标和背景的分界线，提取出边缘才能将目标和背景区分开来。
在图像中，边界表明一个特征区域的终结和另一个特征区域的开始，边界所分开区域的内部特征或属性是一致的，而不同的区域内部的特征或属性是不同的，边缘检测正是利用物体和背景在某种图像特性上的差异来实现的，这些差异包括灰度，颜色或者纹理特征。
边缘检测实际上就是检测图像特征发生变化的位置。
由于噪声和模糊的存在，检测到的边界可能会变宽或在某些点处发生间断，因此，边界检测包括两个基本内容：首先抽取出反映灰度变化的边缘点，然后剔除某些边界点或填补边界间断点，并将这些边缘连接成完整的线。
边缘检测的方法大多数是基于方向导数掩模求卷积的方法。
导数算子具有突出灰度变化的作用，对图像运用导数算子，灰度变化较大的点处算得的值比较高，因此可将这些导数值作为相应点的边界强度，通过设置门限的方法，提取边界点集。
一阶导数fx∂∂与fy∂∂是最简单的导数算子，它们分别求出了灰度在x和y方向上的变化率，而方向α上的灰度变化率可以用下面式子计算：cos sin (cos sin )f f f G i j x yααααα∂∂∂=+=+∂∂∂ 对于数字图像，应该采用差分运算代替求导，相对应的一阶差分为：(,)(,)(1,)(,)(,)(,1)x y f i j f i j f i j f i j f i j f i j ∆=--∆=--方向差分为： (,)(,)cos (,)sin x y f i j f i j f i j ααα∆=∆+∆函数f 在某点的方向导数取得最大值的方向是1tan /f f y x α-⎡⎤∂∂=⎢⎥∂∂⎣⎦，方向导数的最大值是1222f f G x y ⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫=+⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦称为梯度模。
边缘特征提取
边缘特征提取边缘检测（Edge Detection）是指图像处理和计算机视觉领域的重要基础技术，是从原始图像中提取更容易自然区分的边缘特征的过程。
通常，它可以在灰度图像中应用，也可以将其用于彩色图像的处理，它的目的是形成一张有明显边缘的图像，一般来说，用于检测边缘的函数只有两步：空间强度求差和非极大值抑制。
以下是边缘检测的主要方法：1. Sobel边缘检测：Sobel算子是一种基于空间滤波和梯度计算的边缘检测算法，其结构简单，但同时它也是最为高效的边缘检测技术。
其核心思想就是通过用权重数值滤波矩阵对图像进行处理，其矩阵滤波效果主要是一个水平方向和垂直方向，每一个矩阵滤波都是相对应图像的差分，在这样的情况下，在一幅图中，边缘的轮廓就能够更容易地突出边缘区域，从而进行边缘检测。
2. Canny边缘检测：Canny算子也是一种基于梯度计算的边缘检测算法，Canny算子中所用的是一个多阶梯度，Canny算子能更好的保留边缘的直线性，即使在边缘很模糊的情况下依然能够有很好的效果。
其处理图像的流程主要分为五步：去噪，求梯度，非极大值抑制，双阈值，滤波处理。
3. 综合滤波边缘检测：综合滤波是将多个滤波器联合起来，运用空间频率分别和方向滤波器，以及锐化和平滑，消除搞错等能够得到更加清晰的边缘，并且基本不会出现假脉冲。
此外，针对强度差异比较大时，综合滤波也能够很好的保留局部的边缘特征，避免掉了噪声的干扰。
4. LoG边缘检测：Laplacian of Gaussian（LoG）是由图像处理历史上著名的Gaussian平滑处理后的求Laplac的技术，它的目的在于得到更优秀的边缘检测效果。
LoG算子先会进行高斯变换，然后在原图上进行求Laplac求差操作，最后再进行非极大值抑制，其结果是一副有明显边缘的图像，尤其能更受更噪声较大的环境。
以上就是图像处理领域的边缘检测的几种主要的技术，它们中的每一种都有自己的应用场景，比如Sobel可以用于低频环境，Canny可以用于色彩边缘，综合滤波能用于强度差异比较大的图像，LoG则更适用于噪声比较严重的图像等等。
边缘提取
二阶微分锐化
2 f
2 f x2
2 f y 2
—— 算法推导
2 f x2 [ f x (i, j) f x (i 1, j)]
[ f (i, j) f (i 1, j)] [ f (i 1, j) f (i, j)]
2 f y 2
[ f y (i, j) f y (i, j 1)]
三、线的检测
通过比较典型模板的计算值，确定一个点是 否在某个方向的线上。
-1 -1 -1 222 -1 -1 -1
R1
-1 -1 2 -1 2 -1 2 -1 -1
R2
-1 2 -1 -1 2 -1 -1 2 -1
R3
2 -1 -1 -1 2 -1 -1 -1 2
R4
111111111
555555555
00 0 0 0 0 -3 -13 -20 0
30876
0 -6 -13 -13 0
12786 23269
0 1 12 00 0
50 00
问题：计算结果中出现了小于零的像素值
垂直方向的一阶锐化
—— 基本方法
垂直锐化算法的设计思想与水平锐化算法相 同，通过一个可以检测出垂直方向上的像素 值的变化模板来实现。
1 0 1 H 2 0 2
1 0 1
垂直方向的一阶锐化
—— 例题
1 0 1 H 2 0 2
1 0 1
1*1+2*2+1*3-1*3-2*2-1*8=-7
12321 21262 30876 12786 23269
00 0 00
0 -7 -17 4 0
0 -16 -25 5 0
0 -17 -22 -3 0
• Roberts算法的模板为2*2，提取出的信息较弱。 • 单方向锐化经过后处理之后，也可以对边界进行
小波模极大值原理在图像边缘提取和信号奇异点检测中的应用
小波模极大值原理在图像边缘提取和信号奇异点检测中的应用不做小波很久，陆续接到网友的很多询问，不少信件关于这个话题。
本不想花功夫写程序，因为毕竟研究方向是计算电磁学，然对小波的好奇仍是一种抗拒不了的力量。
再加上网友的一遍遍不厌其烦的请教，我也就利用半天时间，将这一话题做了一个程序，拿出来分享。
1。
什么是模极大值？一般信号的主要信息，由拐点（二阶导数为零的点）确定，而由于噪声的影响，直接求拐点显然困难。
于是，我们求一阶导数的模的极大值。
2。
什么是小波模极大值？就是先将小波函数和原信号卷积（连续小波变换），然后对结果取模，最后找到极大值。
上述步骤，也就等价于：先把某一光滑函数求导（求导后满足积分为零的条件成为小波函数），然后卷积源信号，接着取模，最后发现极大值。
3。
图像处理的操作。
a、给定某一尺度，求出二维高斯函数沿x和沿y方向的导数Phi_x,Phi_y。
这两个函数就等价于小波函数。
b、用Phi_x,Phi_y分别与图像卷积得到Gx，Gy。
c、求出每一个像素点的梯度大小G=(Gx*Gx+Gy*Gy).^(1/2)，用反正切求梯度方向或者称幅角atan(Gy/Gx)。
这里，注意的是反正切只能求出一、四象限的角度，其它象限要分别处理。
且Gx为一个很小的数值时，也要处理。
d、把求得幅角，分成四种方向。
第一种0或180方向（水平），第二种90或270方向（垂直），第三种45或225方向（正对角线），第四种135或315方向（负对角线）。
也就是说，看看你求出幅角的大小与上面的哪个方向最接近。
e、依次检测每一个像素点，看看在它对应“幅角最接近的方向上”是否是极大值。
如果是，纪录该梯度值。
若不是，把梯度值置零。
f、找到记录梯度值中的最大值，然后以该值做归一化。
比较每一个像素归一化的梯度值，当该梯度值大于某个阈值的时候，就是真正边缘，否则认为是伪边缘。
4。
实际上这个算法和canny算子本质上等价的。
让我们再来回顾canny本人经典的原话，来体会边缘提取的目标到底是什么。
第8章信号奇异性检测和图象边缘提取
t 1 t
n
n
且
t dt 0
构成平滑函数?Mallat原著中是否指平滑函数? 如果小波还是对称小波,能否保证 构成平滑函数?
连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测
基本原理: Mallat等进一步分析发现，Wf s, u 的衰减性可以由其局部极大值控制。 定理 8.1（HWANG,MALLAT） 设n>0， t 平滑函数
且两式中不能同时取等号。
则称在m点取得模极大值。
连续小波变换的模极大值与信号多尺度边界检测
确定边界点的算法过程
已知输入信号
d0 , d1,dn
Wf (s,0),Wf (s,1),,Wf (s, n)
步骤1，计算连续小波变换
步骤2，确定阈值 T 0 ，对 m 0,1,, n ，如果以下条件满足：
则v是检测出的信号的阶梯型边界点。
j, l 1, 2,, J
请大家构造一个具有若干不连续点的边界点，验证上述算法的有效性 (习题8.1 )。也可结合习题8.2进行实验。
从二进小波模极大重构信号
问题的提出与研究现状：
问题：二进小波变换模极大究竟携带了信号的多少信息？它能否给 出信号的一个完备而稳定的表示？也即，能否由所有模极大 Wf 2 j , u
0
的点属于一种特殊的奇异点，这种点对应信号
的不连续点或称为阶梯型边界，是一类重要的边界点。记
Ws f u f s u
Wf s, u s1/ 2Ws f u
对应式（8.4），有
Ws f u As
这表明，对于阶梯型边界v，沿着收敛于v点的极大曲线上的点u,其模 极大值都小于A。从而
图像处理中的边缘检测与提取技术研究
图像处理中的边缘检测与提取技术研究摘要：图像处理的边缘检测与提取技术是计算机视觉和图像处理领域的重要研究内容之一。
边缘提取技术可以帮助我们更好地理解图像中的结构和特征，从而实现更多应用，如目标检测、边缘增强和图像分割。
本文将对边缘检测与提取技术的研究进行探讨，包括边缘的定义、常见的边缘检测算法以及其应用。
一、引言随着数字图像处理技术的不断进步，边缘检测与提取技术在计算机视觉和图像处理领域扮演着重要的角色。
边缘是图像中灰度、色彩或纹理等变化比较明显的地方，通过检测和提取边缘可以更好地描述图像的结构和特征。
二、边缘的定义边缘是图像中亮度或颜色变化的区域，通常由灰度值或颜色的不连续度引起。
边缘可以是物体的边界，也可以是物体内部的纹理边界。
边缘通常包括强边缘和弱边缘两种类型。
强边缘是指灰度或颜色变化较为明显的区域，而弱边缘则是指灰度或颜色变化较为平缓的区域。
三、常见的边缘检测算法1. Roberts 算子Roberts 算子是最早使用的边缘检测算法之一，它通过对图像进行平方和开方运算来检测边缘。
Roberts 算子的主要优点是计算简单，但它对噪声比较敏感。
2. Sobel 算子Sobel 算子是一种基于图像梯度的边缘检测算法，它利用图像的一阶偏导数来检测边缘。
Sobel 算子的优点是对噪声具有较好的鲁棒性，并且可以同时检测水平和垂直方向的边缘。
3. Prewitt 算子Prewitt 算子是一种类似于 Sobel 算子的边缘检测算法，它也是基于图像的一阶偏导数。
Prewitt 算子的优点是计算简单，但它对噪声也比较敏感。
4. Canny 边缘检测算法Canny 边缘检测算法是一种经典的边缘检测算法，它综合考虑了图像的灰度值变化、强度和连续性等因素。
Canny 算法通过多步骤的操作来检测边缘，包括高斯滤波、计算梯度、非极大值抑制和双阈值检测等。
四、边缘检测算法的应用1. 目标检测边缘检测算法可以帮助我们检测图像中的物体边界，从而实现目标检测。
图像处理实验报告实验目的：图像边缘检测和提取：分别用4和8连通的
图像处理实验报告实验目的：图像边缘检测和提取：分别用4和8连通的方法提取图像的边缘，将提取的边缘坐标保存入文本文件，并能通过读取文本文件恢复边缘图像。
实验原理：有两种方法可以提取边缘点：一．轮廓跟踪按照从左到右，从上到下的顺序搜索，找到的第一个黑点一定是最左下的边界点，记为A。
由于边界是连续的，所以每一个边界点都可以用这个边界点对前一个边界点所张的角度来表示。
因此可用下面跟踪准则：从第一个边界点开始，定义初始的搜索方向为沿左上方；如果左上方的点是黑点，则为边界点，否则搜索方向顺时针旋转45度（8连通方法为90度）。
这样一直到找到第一个黑点为止。
然后把这个黑点作为新的边界点，在当前搜索方向的基础上逆时针旋转90度，继续用同样的方法搜索下一个黑点，直到返回最初的边界点为止。
二．轮廓提取二值图图像轮廓提取，掏空内部，如果原图中有一点为黑色，且它的相邻点为黑色（此时是内部点），则将该点删除。
取4个相邻点则为4连通，8个相邻点则为8连通。
根据本实验中图像，为简单的二值图，且有3个黑块，用第一种方法不易跟踪，所以选用第二种方法较简单。
实现方法：所用4连通与8连通方法区别仅是选取的相邻点个数不同，实现方法基本一致，所以不分开论述。
步骤：1．遍历原图像每个像素，如果此像素及周围的点（4个或8个）都为黑点，则该像素认为是内部点，将其删除。
遍历一边，等于掏空图像内部点，仅剩边缘点。
2．用一个结构数组存储图像边缘点的坐标。
在一个新建的文本文件中依次写入图像高度和宽度，边缘像素点总个数，每个边缘点的坐标。
此步骤完成边缘的提取。
3．打开一个新pic图像，读取指定文本文件中的数据，即步骤2中存储内容。
然后在新打开的图像中改变图像高度和宽度，依读入的坐标点将相应点变为黑色，恢复边缘。
此步骤完成边缘的恢复。
4连通和8连通算法的比较：1．4连通算法中检测四个方向的像素点，会将图像内部更多的黑色点腐蚀，所留下的边界是8连通的。
8连通算法相反，所留下的边界是4连通的。
计算机视觉08 4.2边缘以及边特征提取
Gx Gy
1 1 1 1 11 1 1
Roberts梯度算子
g
Gr
g(x,
y)
u g
gu gv
v
1
G r(x,y)(gu 2gv 2)2
-1 1
1
G i,jg i,jg i 1 ,j2 (g i,jg i,j 1)22
-1 1
Sobel算子
考察它上下、左右邻点灰度的加权差。与 之接近的邻点的权大：
Roberts
Laplacian of Gaussian
Canny
原始图像
Sobel
Prewitt
Roberts
Laplacian of Gaussian
Canny
边缘提取只能在灰度空间下吗?
三. 基于边缘检测的边界提取方法
利用LOG算子,Canny边缘检测器等完成边缘 检测.
如果图像中存在噪声时，用算子得到的边缘 常常是孤立的或者非连续的.
高斯一拉普拉斯算子（LOG）
G (x,y) 2[f(x,y)*g(x,y)]
G (x ,y ) [ 2 f(x ,y ) ] g (x ,y )
2f(x,y)x2y 22 2 2ex x p 2 2 4 (y2)
以LOG算子为卷积核，对原灰度函数 进行卷积运算后提取零交叉点为边缘
LoG边缘检测算法
D
t
PP0 tD
DX PD D 0Y Z
vΠP
▪ Properties
➢ P is a point at infinity, v is its projection ➢ They depend only on line direction
➢ Parallel lines P0 + tD, P1 + tD intersect at P
边缘提取以及边缘增强简介
边缘提取以及边缘增强是不少图像处理软件都具有的基本功能，它的增强效果很明显，在用于识别的应用中，图像边缘也是非常重要的特征之一。
图像边缘保留了原始图像中相当重要的部分信息,而又使得总的数据量减小了很多，这正符合特征提取的要求。
在以后要谈到的霍夫变换(检测图像中的几何形状)中，边缘提取就是前提步骤。
这里我们只考虑灰度图像，用于图像识别的边缘提取比起仅仅用于视觉效果增强的边缘提取要复杂一些。
要给图像的边缘下一个定义还挺困难的，从人的直观感受来说，边缘对应于物体的边界。
图像上灰度变化剧烈的区域比较符合这个要求，我们一般会以这个特征来提取图像的边缘。
但在遇到包含纹理的图像上，这有点问题，比如说，图像中的人穿了黑白格子的衣服，我们往往不希望提取出来的边缘包括衣服上的方格。
但这个比较困难，涉及到纹理图像的处理等方法。
好了，既然边缘提取是要保留图像的灰度变化剧烈的区域，从数学上，最直观的方法就是微分(对于数字图像来说就是差分)，在信号处理的角度来看，也可以说是用高通滤波器，即保留高频信号。
这是最关键的一步，在此之前有时需要对输入图像进行消除噪声的处理。
用于图像识别的边缘提取往往需要输出的边缘是二值图像，即只有黑白两个灰度的图像，其中一个灰度代表边缘，另一个代表背景。
此外，还需要把边缘细化成只有一个像素的宽度。
总的说来边缘提取的步骤如下：1，去噪声2，微分运算3，2值化处理4，细化第二步是关键，有不少书把第二步就直接称为边缘提取。
实现它的算法也有很多，一般的图像处理教科书上都会介绍好几种，如拉普拉兹算子，索贝尔算子，罗伯特算子等等。
这些都是模板运算，首先定义一个模板，模板的大小以3*3的较常见，也有2*2，5*5或更大尺寸的。
运算时，把模板中心对应到图像的每一个像素位置，然后按照模板对应的公式对中心像素和它周围的像素进行数学运算，算出的结果作为输出图像对应像素点的值。
需要说明的是，模板运算是图像的一种处理手段--邻域处理，有许多图像增强效果都可以采用模板运算实现，如平滑效果，中值滤波(一种消除噪声的方法)，油画效果，图像的凹凸效果等等。
图像处理中的边缘检测和特征提取算法
图像处理中的边缘检测和特征提取算法图像处理作为一种新兴的交叉学科，近年来得到了广泛的关注和应用。
图像处理的核心技术之一就是边缘检测和特征提取。
这两个技术的重要性不言而喻，无论是在计算机视觉、机器人、医学诊断等领域，都有着广泛的应用。
本文将针对这两个技术进行深入讨论。
一、图像中的边缘图像的边缘指的是图像灰度值发生剧烈变化的地方，通常表示了图像中物体的轮廓和形状信息。
对于图像处理来说，边缘的提取是非常重要的，因为它能提供很多有用的信息，如轮廓、缺陷、纹理等。
边缘检测旨在提取图像中的所有边缘，从而在分析或处理图像时，能快速得到更精准和更有效的结果。
常见的边缘检测算法主要有：1. 基于Sobel算子的边缘检测Sobel算子是一个非常常见的边缘检测算子，其原理是利用一个3x3的卷积核对原始图像进行卷积，以获得每个像素点的灰度梯度。
具体方法是将Sobel算子分别应用于x和y方向，然后将两个方向的结果相加，即可得到最终的边缘检测结果。
Sobel算子的优点是简单易用，计算量小，同时能够有效地抑制噪声干扰。
2. 基于Canny算子的边缘检测Canny算子是一种著名的边缘检测算子，其主要优点是具有很高的准确率和很低的误检率。
Canny算子的主要思想是在高斯滤波后，利用梯度的幅值和方向来检测边界，然后再用非极大值抑制和双阈值处理来细化边界。
Canny算子的缺点是计算量较大，比较耗费时间。
二、特征提取特征提取是图像处理中非常重要的一个环节，它主要是从原始图像中提取出具有代表性的特征，以便于对图像进行分类、目标跟踪、匹配等任务。
特征提取可以大大简化后续处理过程，提高处理效率和准确率。
常见的特征提取算法主要有：1. HOG特征HOG(Histogram of Oriented Gradients)特征是一种非常流行的特征提取算法，它主要通过对图像梯度方向直方图的统计来反映局部图像结构，进而得到具有代表性的特征向量。
HOG特征适用于图像的局部特征提取，如目标检测、行人识别等。
图像处理中的边缘检测与特征提取
图像处理中的边缘检测与特征提取边缘检测与特征提取在图像处理中扮演着至关重要的角色。
边缘是图像中灰度或颜色变化较为明显的区域，而特征则是对图像中的某个目标或者结构进行描述的量化指标。
本文将介绍边缘检测和特征提取的基本概念、应用场景以及常用方法。
一、边缘检测边缘检测是图像处理中一个基本的步骤，它可以帮助我们找到图像中物体边界的信息。
边缘检测的结果通常是一幅二值图像，其中边缘的位置被表示为像素值为1的点，其他区域的像素值为0。
1. Sobel算子Sobel算子是一种基于差分的边缘检测算法，它通过计算图像中每个像素点的梯度值来确定边缘的位置。
Sobel算子分别使用水平和垂直两个方向的差分模板来计算梯度值，然后将两个方向的梯度值进行综合来得到最终的边缘检测结果。
2. Canny算法Canny算法是一种广泛应用的边缘检测算法，它通过多个步骤来实现边缘检测的目标。
首先，Canny算法使用高斯滤波器对图像进行平滑处理，然后计算图像中每个像素点的梯度和方向。
接下来，通过非极大值抑制来消除梯度方向上的非极大值点，最后使用双阈值算法来进一步确定边缘的强度和连通性。
二、特征提取特征提取是对图像中感兴趣的区域或者目标进行描述和量化的过程。
通过提取图像中的各种特征，我们可以实现图像分类、目标检测、图像匹配等应用。
1. 颜色特征颜色是图像中最直观的特征之一，可以通过提取图像的颜色直方图来描述图像中不同颜色的分布情况。
另外，HSV（色调、饱和度、亮度）颜色空间也被广泛应用于颜色特征的提取。
2. 纹理特征纹理是图像中重要的一种特征，可以帮助我们区分物体的表面特征。
纹理特征可以通过统计图像中像素灰度或颜色的空间分布来描述，常用的方法包括灰度共生矩阵、小波变换等。
3. 形状特征形状是物体最基本的几何属性，可以通过提取物体轮廓的特征来描述。
常用的形状特征包括傅里叶描述子、轮廓矩等。
三、应用场景边缘检测和特征提取在图像处理中被广泛应用于各种场景。
图像边缘特征及提取算法
3.1.2图像边缘特性及提取算法研究证实，图像的边缘特性对图像质量具有掩盖性。
在边缘特性较为复杂的区域，图像质量往往更差，边缘特性较为简单时，图像质量更好一些。
如图2所示。
图2空间复杂度与块效应因此本文在考虑空域块效应的同时加入了图像的边缘特性，本节将介绍图像边缘特性的相关知识及提取算法。
图像的边缘是指图像局部灰度显著变化的区域，是图像的最基本特征，包含了用于图像识别的重要信息，也是图像分割、纹理分析和图像理解所依赖的重要特征。
边缘的提取依赖于边缘检测算子检测出图像在灰度、纹理等区域不连续的地方，以确定边缘的有无、真假和实现定向定位。
如果能成功地提取出图像的边缘，就会大大简化后续图像处理的工作，图像识别和理解也变得更为容易简单。
因为图像边缘具有不变性，不会被光线的变换或其他外界因素所影响，而且人的视觉系统对图像的边缘也是最为敏感的，因此对图像边缘提取的进一步研究有宜于计算机视觉、图像处理的发展。
图像的边缘提取主要是进行图像灰度变化的度量，高频分量边缘部分的增强以及边缘的检测和定位。
综观目前提出的各种类型的边缘提取方法，大致可分为三类：一是经典的边缘提取方法，其特征是基于某种固定的局部运算方法；二是以能量最小化为准则的全局提取方法，其特征是应用严格数学理论方法对问题进行分析，以一维值代价函数作为最优提取依据，从全局最优的观点提取边缘；三是近年来发展起来的以高新技术为代表的边缘提取方法。
下面简单介绍一下几种著名的边缘提取算法。
1.微分算子法微分算子是最基本的边缘检测方法，主要是根据图像边缘处的一阶导数有极值或是二阶导数过零点的原理来检测边缘。
在求边缘导数时对每个像素位置计算，在实际应用中用模板卷积近似计算。
微分算子法主要包括一阶微分和二阶微分法。
一阶微分算子方法是基于梯度的方法，在实际应用中用两个模板组合构成梯度算子，由不同大小、不同元素值的模板，产生不同的算子，最常用的有Roberts 算子、Sobel算子、Prewitt算子、Kriseh算子等。
图像边缘检测与提取
数字信号处理图像边缘检测与提取1、图像边缘的定义所谓图像边缘（Edlge ）是指图像局部特性的不连续性，例如，灰度级的突变，颜色的突变，纹理结构的突变等。
边缘广泛存在于目标与目标、物体与背景、区域与区域（含不同色彩）之间，它是图像分割所依赖的重要特征。
本为主要讨论几种典型的图像灰度值突变的边缘检测方法，其原理也是用于其他特性突变的边缘检测。
图像的边线通常与图像灰度的一阶导数的不连续性有关。
图像灰度的不连续性可分为两类：阶跃不连续，即图像灰度再不连续出的两边的像素的灰度只有明显的差异，如图1.1所示，线条不连续，即图像灰度突然从一个值变化到另一个值，保持一个较小的行程又返回到原来的值。
在实际中，阶跃和线条边缘图像是较少见的，由于空间分辨率（尺度空间）、图像传感器等原因会使阶跃边缘变成斜坡形边缘，线条边缘变成房顶形边缘。
它们的灰度变化不是瞬间的而是跨越一定距离的。
2、经典的边缘检测算子边缘检测的实质是采用某种算法来提取出图像中对象与背景间的交界线。
我们将边缘定义为图像中灰度发生急剧变化的区域边界。
图像灰度的变化情况可以用图像灰度分布的梯度来反映，因此我们可以用局部图像微分技术来获得边缘检测算子。
经典的边缘检测方法，是对原始图像中像素的某小邻域来构造边缘检测算子。
以下是对几种经典的边缘检测算子进行理论分析，并对各自的性能特点作出了比较和评价 不妨记：▽f (x,y)=i x f ∂∂+j yf ∂∂ 为图像的梯度，▽f (x,y)包含灰度变化信息 记： e (x,y)=y x f f 22+为▽f (x,y)的梯度，e(x,y)可以用作边缘检测算子。
为了简化计算，也可以将e(x, y)定义为偏导数x f 与y f 的绝对值之和:),(y x e =|),(y x f x |+|),(y x f y |以这些理论为依据，提出了许多算法，常用的边缘检测方法有:Roberts 边缘检测算子、Sobel 边缘检测算子、Prewitt 边缘检测算子、Canny 边缘检测算子、Laplace 边缘检测算子等等。
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紧支的n次连续可微的小波函数 ， 1 n
n
1 设 f t L a, b ，如果存在 s0 0 ，使得对任意的 s s0 和
u a, b ， Wf s, u 没有局部极大值点，则对任意的
0，
f 在 a , b 上是一致Lipschitz n的。
和小波变换 Wf 2 , u j , p
j
完全重构原信号？
从二进小波模极大重构信号
一种重构信号的快速算法：
1. 问题描述
已知 Wf 2 j , u
对应的局部极大点为 u j , p
p
，小波系数为
Wf 2 j , u j , p f , j , p
设 表示
定理8.1 蕴含如下事实：仅当存在一个小波极大点序列 s p , u p 在细尺度下收敛于v,亦即
lim s p 0 且 p
p
pN
lim u p v ，则 f 在
v
点是奇异的。
连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测
u
log2 Wf (s, u)
log 2 s
u
注意： 模极大点可以在也可以不在同一条极大曲线上。 信号f的所有奇异点可以通过跟踪细尺度下小波变换模极大而检测出来。 但仅沿着尺度搜索小波模极大对于奇异性检测还是不充分的，还需要从模极大值的 衰减性计算函数在一点的Lipschitz正则性。
称为信号在尺度
s0
下的边界点：
Wf s0 , u0 T
Wf s0 , u 在 u0 点取得局部极大值。
离散小波系数序列模极大值的定义 对于离散的小波变换序列 Wf (s,0),Wf (s,1),,Wf (s, n) 如果：
Wf s, m Wf s, m 1 Wf s, m Wf s, m 1
的位置 u j , p 研究现状： 1）实验数值表明，交错投影法等算法只能以10-2的级相对均方误差近似 地重构信号。 2）目前已证明，对于一般的二进小波，从二进小波变换模极大精确 重构信号是不可能的。 3）当信号的Fourier变换是带通的，并且小波的Fourier变换具有紧 支撑时，二进小波变换模极大可以给出信号的一个完备而稳定的表 示。
平滑函数及多尺度边缘点
t
s t s s
1 1
一个函数 f 在尺度
s 下的边缘定义为 f t 的局部突变点。
s
小波变换模极大用于信号多尺度边缘检测的可行性
t d t / dt
Wf s, u s1/ 2 f s u s1/ 2
j, p t
1 2j
t u j, p 2j
的导数，则有
Wf (2 j , u j , p ) u
1）、2）、3）
2 j f , j , p 0
，它满足以下条件：
则我们的问题是：重构一个近似函数 f
从二进小波模极大重构信号
一种重构信号的快速算法：
f 在该点 是n次可微的，但其n阶导数 f n t 在点
Lipschitz指数为
v
是奇异的，它的
0 n ，我们也说 0 描述了这个奇异性。
Lipschitz指数还可以扩展到
1 0 的范围。
噪声的Lipschitz指数为负数.
连续小波变换的模极大值与信号多尺度边界检测
pv
，使得
t R, f t pv t K v t v
（8.1）
称函数 f 在区间 a, b 上是一致 Lipschitz
K 0
使得（8.1）对所有的 v
a, b 成立，其中 K
0
的，如果存在常数 与
v
无关。
函数在一点的Lipschitz指数: 如果函数 f 在点 v R 连续可微,或者可微，而导数有界但不连续时 ,
且两式中不能同时取等号。
则称在m点取得模极大值。
连续小波变换的模极大值பைடு நூலகம்信号多尺度边界检测
确定边界点的算法过程
已知输入信号
d0 , d1,dn
Wf (s,0),Wf (s,1),,Wf (s, n)
步骤1，计算连续小波变换
步骤2，确定阈值 T 0 ，对 m 0,1,, n ，如果以下条件满足：
j, p
f , j , p j , p f , j , p j , p f , j , p j , p
阶梯型边界点的提取 算法： 1）即在不同的尺度
s1 , s2 ,, sJ
下，计算 Ws1 f v ,Ws 2 f v ,,WsJ f v
2）对于阈值T>0， 及r>1且非常接近1，如果
Ws j f v T ,
j 1, 2,, J
1 Ws j f v r r Wsl f v
t 1 t
n
n
且
t dt 0
构成平滑函数?Mallat原著中是否指平滑函数? 如果小波还是对称小波,能否保证 构成平滑函数?
连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测
基本原理: Mallat等进一步分析发现，Wf s, u 的衰减性可以由其局部极大值控制。 定理 8.1（HWANG,MALLAT） 设n>0， t 平滑函数
Wf (s, m) T
Wf (s, m) 在 m点取得模极大值。
则m点就是信号在尺度s下的一个边界点。
连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测
基本原理: n阶消失矩小波的小波变换的特性： 设 f t 在v点的Lipschitz 指数为 ,则在v 点的某邻域内,f 可以用 多项式
pv
也即小波变换可以刻画信号在奇异点的奇异性质. 人们已从理论上证明，小波变换模 Wf s, u 在v点的邻域中在细尺度下的 衰减性能够刻画函数f在点v的局部Lipschitz正则性 。
连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测
基本原理: n阶消失矩的小波与一个平滑函数的导数之间的关系 [教材中参考文献1] 假设
f
d f s u du
t t
f s
Wf ( s, u )
连续小波变换的模极大值与信号多尺度边界检测
小波变换模极大值、模极大点 与极大曲线 （定义8.2）
信号的边界点 假设 T 0 是一个阈值，在尺度 s0 0 下，则满足以下两个 条件的点
u0
连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测
孤立奇异点的检测： 假定 满足定理8.1的假设条件， 其 紧支集为 C, C
C 0
中
对 s s0 ，设收敛于v点的所有模极大点都包含在锥 则对小于n 的非整数 ，函数 f t 在
u v Cs
v
点为 Lipschitz
，当且仅当
简介
• • • • • • 简介 函数光滑性与奇异性的定义 奇异性点的重要性 传统检测方法的缺点 小波变换检测方法的可行性及有效性 本章的主要内容
用Lipschitz指数刻画信号的奇异性
称函数 f 在点 v R 为Lipschitz 和 m 次多项式
0
，如果存在常数 Kv 0
小波分析及其工程应用----清华大学计算机系---孙延奎---2005春
第8章 小波在信号奇异性检测及图象 边缘提取中的应用
信号/函数奇异性的定量描述 连续小波变换的模极大值与信号多尺度边界检测 连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测 从二进小波模极大重构信号
二维小波变换模极大与图象多尺度边缘提取
d0 , d1,dn ，则计算它的奇异性的主
log 2 Wf s, u 作为log s的函数沿着收敛 2
于 v的极大曲线的最大斜率，，该斜率为 1/ 2 ，从而求出 问题： 通过实验搞清楚具体的计算过程！（习题8.2）
连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测
阶梯型边界点的提取 ： 满足Lipschitz
f 在该点的Lipschitz指数为1. 在
v
点不连续但有界时,其 Lipschitz指数为0.
用Lipschitz指数刻画信号的奇异性
如果函数 f 在点 v R 的Lipschitz指数小于1,则称它在该点是奇异的. 如果函数 f 在点
v 的Lipschitz指数
0
满足 n 0 n 1 ，则
2. 求解方法——共轭梯度法
设
V
是由 j , p , , p j
生成的线性空间，则对于如下 L算子：
j, p
r V , Lr r , j , p j , p r , j , p j , p
j, p
可得，
f L1w
，其中
w Lf
0
的点属于一种特殊的奇异点，这种点对应信号
的不连续点或称为阶梯型边界，是一类重要的边界点。记
Ws f u f s u
Wf s, u s1/ 2Ws f u
对应式（8.4），有
Ws f u As
这表明，对于阶梯型边界v，沿着收敛于v点的极大曲线上的点u,其模 极大值都小于A。从而
W 下， s1 f v ,Ws 2 f v ,,WsJ f v
是一个相同的非零常数。
Ws j f v Wsl f v
1
1 Ws j f v r r Wsl f v