(完整版)两角和与差的三角函数与二倍角公式习题课
(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
成功是必须的:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )=T( a + 3 ): tan( a + 3 )=2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2h例 2 设 cos a —21 9’T 2 : tan2 . asin 2 — 23,其中n 2,n0, 2，求 cos( a+ 3).sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a =— — ,3、 在准确熟练地记住公式的基础上 ，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。
如T( a± 3可变形为：tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知03.ncos(— 4 435，sin( 4)—,求 sin( a + 3 )的值. 13则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围;值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。
1 1例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值.(2)求角的某一个三角函数n a — 6 +A —症A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 43」 B辺B.5 4 q 5cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C.65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( )C . 0 或 3 4D ・516 65 0或土 3A . 0B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin55、二角式 A 辽 2 题型训练 题型1给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5B.o■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值• 11变式3:已知tan a =, tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值.7 3题型4辅助角公式的应用J 22asinx bcosx a b sin x (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由btan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。
两角和与差及二倍角公式定理讲义,例题含规范标准答案
3.3 两角和与差及二倍角公式（答案）3.3 两角和与差及二倍角公式一．【复习要求】1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.二、【知识回顾】1．两角和与差的三角函数sin()αβ+= ；sin()αβ-= ； cos()αβ+= ；cos()αβ-= ； tan()αβ+= ；tan()αβ-= ；2．二倍角公式：在sin(),cos(),tan()αβαβαβ+++中令αβ=，可得相应的二倍角公式。
sin2α= ；cos2α= = =tan 2α= 。
3．降幂公式2sin α= ； 2cos α= .注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用4．辅助角公式证明：)sin cos x x y x x +=+=sin sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+其中，cos ϕ=sin ϕ=，tan baϕ=且角ϕ终边过点(,)a b 在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想如：sin cos αα+= ；sin cos αα-= 。
5.公式的使用技巧（1）连续应用：sin()sin[()]sin()cos cos()sin αβγαβγαβγαβγ++=++=+++ （2）“1”的代换：22sin cos 1αα+=，sin 1,tan124ππ==（3）收缩代换：sin cos y x x =+=)x ϕ+，（其中,a b 不能同时为0） （4）公式的变形：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ+=+++tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ-=---如：tan 95tan 3595tan 35-=oooo。
高考数学总复习 第三章 第三节两角和与差及二倍角三角函数公式课时精练试题 文(含解析)
第三节 两角和与差及二倍角三角函数公式题号 1 2 3 4 5 6 7答案1.计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32解析：原式＝cos 45°＝22.故选B.答案：B2．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值是( ) A.318 B.322 C.1318 D ．－1322解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝322. 答案：B3．求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案：D4．(2012·江西卷)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.12解析：由tan θ＋1tan θ＝4得，sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，即112sin 2θ＝4，∴sin 2θ＝12.故选D.答案：D5．(2012·重庆卷)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32解析：sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°＋30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°＝12.故选C.答案：C6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α等于( ) A ．－79 B ．－13 C.13 D.79答案：C 7．(2012·山西省考前适应性训练)已知α，β都是锐角，cos 2α＝－725，cos (α＋β)＝513，则sin β＝( )A.1665B.1365C.5665D.3365解析：∵cos 2α＝2cos 2α－1，cos 2α＝－725，又α为锐角，∴cos α＝35， sin α＝45.∵cos (α＋β)＝513，∴(α＋β)为锐角，sin (α＋β)＝1213.∴si n β＝sin []α＋β－α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α ＝1213×35－513×45＝1665.故选A. 答案：A8．(2013·上海卷)若cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，则cos(2x －2y )＝________.解析： cos x cos y ＋sin x sin y ＝cos(x －y )＝13，所以cos 2(x －y )＝2cos 2(x －y )－1＝－79.答案：－799．sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β＝________________.解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，cos β＝35，∴cos α＝45，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0.∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0＜α＋β＜π，故α＋β＝π2.答案：π210．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α＝________.解析：2sin 2α＋1sin 2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝3×22＋12×2＝134.答案：13411．(2013·广州二模)已知α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，则sin α＝__________.解析：因为α为锐角，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，则sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝45×22－35×22＝210. 答案：21012．(2013·江门一模)已知函数f (x )＝2sin x ·cos x ＋2cos 2x －1，x ∈R . (1)求f (x )的最大值；(2)若点P (－3,4)在角α的终边上，求f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π8的值．解析：(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 所以f (x )的最大值为 2.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π8＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2cos 2α， P (－3,4)在角α的终边上，cos α＝－35.所以f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π8＝22cos 2α－2＝－7225.13．(2013·梅州二模)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，若f (C )＝2,2 sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )，求tan A 的值．解析：(1)函数f (x )＝2cos 2＋23sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，∴函数的最小正周期为2π2＝π.(2)∵f (C )＝2，∴2 sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 C ＋π6＋1＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 C ＋π6＝12， ∵0＜C ＜π，∴π6<2C ＋π6<2π＋π6，∴2C ＋π6＝5π6，C ＝π3；∵2 sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2 sin A sin C ， ∴sin(A ＋C )＝sin A sin C ，即：sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A sin C ，即：tan A ＝sin C sin C －cos C ＝sinπ3sin π3－cos π3＝3232－12＝3＋32.。
高考数学一轮复习第三章第三讲两角和与差及二倍角的三角函数公式课件
3sin 17°＝12.
②解：因为 tan 60°＝tan(25°＋35°)＝1t－ant2an5°2＋5°ttaann3355°°＝ 3，
则原式＝ 3(1－tan 25°tan 35°)＋ 3tan 25°·tan 35°＝ 3.
考向 2 公式的变形
[例
3](1)存在角
θ，已知
(1＋sin θ∈(0，π)，则
答案：12
【题后反思】公式的一些常用变形
①1±sin α＝sin
α 2±cos
α22；
②sin 2α＝s2ins2inα＋αccoossα2α＝ta2nt2aαn＋α 1；
③cos2α＝ccooss22αα＋－ssiinn22αα＝11＋－ttaann22αα；
④tanα±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β). ⑤sin αcos β＝21[sin (α＋β)＋sin (α－β)]； sin αsin β＝12[cos (α－β)－cos (α＋β)]； cos αcos β＝12[cos (α－β)＋cos (α＋β)]；
【变式训练】
1.(2022 年全国Ⅱ卷)若 sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2 2cos α＋π4sin β，
Байду номын сангаас则( )
A.tan(α－β)＝1
B.tan(α＋β)＝1
C.tan(α－β)＝－1
D.tan(α＋β)＝－1
解析：由题意可得，sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β
答案：B
(2)(2023 年宿迁市校级月考)计算下列各式的值：
①2sin
47°－ 2cos
3sin 17°
两角和与差的三角函数、二倍角公式
tan β＝－17＞－1，所以 0＜α＜π4，34π＜β＜π，则 0＜2α＜π2，－π＜－β＜－34π，－π＜
2α－β＜－π4，所以 2α－β＝－34π.
总结 提炼
1．解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1) 当“已知角”有
两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2) 当“已知角”有一个 时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把 “所求角”变成“已知角”．
A．－2245
B．2245
C．274
D．－274
【解析】因为－π3＜θ＜π6，所以 0＜θ＋π3＜π2，所以 cos θ＋π3＝35，故 tan θ＋π3＝43，
tan
2θ＋π6 ＝ tan
2θ＋3π－π2 ＝
sin cos
2θ＋π3－π2 2θ＋π3－π2
＝
－
cos sin
2θ＋π3 2θ＋π3
＝
2 2
C．tan 15°＝2－ 3
D．12sin 40°＋ 23cos 40°＝sin 70°
【解析】sin 2＋π2＝cos 2，故 A 正确； cos 73°·cos 28°＋sin 73°sin 28°＝cos (73°－28°)＝cos
45°＝
22，故
B
正确；
tan 15°＝tan (60°－45°)＝1＋3－13＝2－ 3，故 C 正确；
2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋2 β－α－2 β，α＝α＋2 β
＋α－2 β，α－2 β＝α＋β2－α2＋β等．
研题型 能力养成 举题说法
1．(2023·梅州一模)已知 sin α＋π6＝13，则 cos 23π－2α＝
高考数学一轮复习第三章第三节两角和与差及二倍角三角函数公式课时作业文(含解析)
第三节两角和与差及二倍角三角函数公式1 A.— B. 21 3 C.2 D .兀 答案:4,「. si n 2 0 = ?故选 D.1.计算 1-2sin 222.5 22.故选B.答案：B22.设 tan ( a + 3 )=5，tan 3 —A 3r 3A.—B.— 18 221313C^T D .- _ — 18 22解析： tann a + — 4 =tan ( a + 答案： B1 4，则 tan 7tna + —的值是（322.n cos^2— sin 12 n cos^2 + sin 12 =(4.右 tan=4，贝U sin 2 0 =(tan 0A.1B.1 C.3 D. 解析: 由tan0+tan 01= 4 得, sin 0 2 2sin 0 + cos 0cos cos 0 sin 0 sin 0 cos 04,即12sin 2解析: 原式=cos 45 O7t4卩）7t 7t3.求值:答案：Dsin 47 —sin 17 cos 30cos 17 °A.sin 47 ° —sin 17 ° cos 30cos 17 °sin (17°+ 30°)—sin 17 ° cos 30 cos 17 °sin 17° cos 30 ° + cos 17 ° sin 30 ° —sin 17 ° cos 30C.* 1 *D. _32解析:6.已知a,316 13A. —B. —65 6556 33C. lD. —65 65解析：••■ cos2cos 2 a725 cos(5 小a + 3) = 13，则sin 3=()• •• cos a = 5,sin a =厂・5■/ cos( a+ 3 ) 5 12=13 ,•( a + 3 )为锐角，Si n( a +3 )= 13.• sin 3 = sin [(a + 3 )—a ] = sin( a + 3)COS a —COS(a + 3 )sin12 3 5 4 16丄，丄—x x _ .故选A.13 5 13 5 65答案：A7. (2013 •上海卷)若cos xcos y + sin xsin y解析：cos x cos y+ sin x sin y = cos( x —y)=1 小=贝U cos(2x —2y) = ____________13，所以cos 2( x—y) = 2cos (x—y)—8. sin a-,cos 3 = 5，其中2a = 2cos a25'3 4又a为锐角,解析：0, n33a ,3€2 ， sina= 5,cos3= 5,44• •• cos asin53 =5.• •• cos(a + 3) = c os a cos 3--sin as in 3 = 0.n故nT a , 3 € 0, p,• • 0va + 3 Vn,a + 3= 2答案：n22sin a+ 1 sin 2 a13答案：兀 x 匹谑2 10.y 2 答案：冇n（1）求f 6的值;2(2) f (x ) = cos x + sin x cos x 1 + cos 2 x 1= 2+ 小sin 2 x 21 1=一+一 (sin 2 2 2x + cos 2 x ) 1 + 2 =2 + 2sinn 2x + 4 ,9.已知tan a=2,则2” _ 2sin a +1 3sin 解析：. sin 2 a 2si n a 2 2 2 2a + cos a 3tan a + 13X2+ 1 132X2 = 4.cos a 2tan a 10.已知a 为锐角，且 cosa + — = 5，贝U sin 4 57t解析：因为 a 为锐角，所以因为cos n 3+ —= 4 5,所以sin n a ------4贝U sin a = sinn n+4 — 4 =sin acos n一—cos4na+ 4 sin22- 311.已知函数f （x ） =cos 2x + sin xcos xR.⑵若sin a35, n且a€7t7tn解析：（1） f 6= cos 2p+ sin6n6 cos 67t1 — cos 2a n 1 2 .f 2 +24 = 2 +2 sinn n +12+4=+ 22sinsin1-2 + cos因为sin 35,n ，所以cos a一一7t所以f 2+24= 2+3 1—X———X5 2 52012.已知函数f(x) = sin > 0）的最小正周期为n(1)求3的值;na€ 0，g，3€1 5nf 23 + P1213，求sin ( a+ 3 )的值.解析: (1) V 函数f(x) = sin 3Xn+E的最小正周期为2n3 =n，(2)由(1)得f(x) = sinn 2x + —x +6 ，1 n• f -2a +6 = sin2 - ；a +=sin na = cosno, 2,• sin a =叮1 —cos45.=sinn . 1212 + 6 =sin( n+ 3 )= —sin 3=—13,• sin12 3 13•/ 3€7t…cos —\/1 —sin23 = 13'• sin( oc+3 ) = sin a cos 3 + cos a sin 34 =-X 53 12+5 X13= 65'1613cos 17 °1=sin 30 ° =故选 C.答案：C13。
2025优化设计一轮课时规范练33 两角和与差的三角函数、二倍角公式
+
17
D.
24
20
π
3
1+cos 2-
2
cos
π
π
2
(x- )+cos (x+ )的值为
6
6
2
2
2
3
sin2
2
+
π
3
1+cos 2+
1
=1+ cos
2
2
1
2x=1+
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 5
×(- )= .
3 6
8.(多选题)(2024·海南高三学业水平诊断)已知
4
2
2
1
其中 sin θ=
= ,cos θ=
= .
2 5
5
2 5
5
因为当 x=φ 时,f(x)取得最大值,
π
π
即 φ+θ= +2kπ,k∈Z,所以 φ= -θ+2kπ,k∈Z,
2
所以 cos
π
φ=cos(2 -θ+2kπ)=sin
2
2
θ= 5
=
2 5
.
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2025
高考总复习优化设计
GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
课时规范练33
两角和与差的三角函数、二倍角公式
基础巩固练
1.(2024·陕西商洛模拟)已知
3
A.5
解析 由
3
B.
高考数学复习：两角和与差的三角函数、二倍角公式 课件
分类解析
目标 1 和、差、倍角公式的直接应用
(1) (2020·全国Ⅲ卷)已知 2tan θ－tan θ＋π4＝7，那么 tan θ 等于( D )
A. －2
B. －1
C. 1
D. 2
【解析】 2tan θ－tan θ＋π4＝2tan θ－11＋－ttaann θθ＝7，化简得 tan2 θ－4tan θ＋4＝0， 解得 tan θ＝2.
tan2α＝1－2tatannα2α.
3. 常用变形结论 (1) tanα±tanβ＝_______t_a_n_(α_±_β_)_(_1_∓_ta_n_α_t_a_n_β)________；
(2) 降幂公式：cos2α＝1＋c2os2α，sin2α＝1－c2os2α；
(3) 1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝
(2) 若 sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则 sin 2α 的值为( A )
A. －492
B.
－2
2 9
22 C. 9
42 D. 9
【解析】 因为 sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－232，
所以
sin
2α＝2sin
αcos
α＝2×13×－2
2. 1－2tatann1251°5°等于( A ) A. 3 C. 1
3 B. 3 D. －1
【解析】 因为1－2tatann1251°5°＝tan30°＝ 33，所以原式＝ 3.
3. sin1π2－cos1π2·sin1π2＋cos1π2等于( B )
A. －12
B.
－
3 2
两角和与差及二倍角公式
计算cos(π/3 - α)的值。
例题2
计算sin2α的值。
解
利用两角和与差公式，cos(π/3 - α) = cosπ/3cosα + sinπ/3sinα = 1/2cosα + √3/2sinα。
解
利用二倍角公式，sin2α = 2sinαcosα。
THANKS
谢谢
二倍角公式的应用
计算三角函数值
利用二倍角公式，可以计算一些三角函数值，例如计算sin2α、 cos2α等。
证明三角恒等式
通过二倍角公式，可以证明一些三角恒等式，例如 sin2α=2sinαcosα等。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如角度的调整、测量等，可以利用二倍角 公式进行计算。
例题解析与解答
公式应用与例题解析
两角和与差公式的应用
计算角度的和与差
利用两角和与差公式，可以方便 地计算两个角的和或差，例如计 算两个角的和或差的角度。
简化三角函数式
通过两角和与差公式，可以将复 杂的三角函数式进行简化，从而 便于计算或化简。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如角度 的调整、测量等，可以利用两角 和与差公式进行计算。
04
角的乘法性质是三角函数中一个重要的性质，它可以用于推导其他的 三角函数公式和定理。
03
CHAPTER
公式推导与证明
两角和与差公式的推导
两角和公式推导
利用三角函数的加法公式，将两角视 为不同象限的角，通过三角函数的性 质推导出两角和的三角函数公式。
两角差公式推导
利用三角函数的减法公式，将两角视 为同象限的角，通过三角函数的性质 推导出两角差的三角函数公式。
两角和与差及二倍角公式
两角和与差的三角函数、二倍角公式
第20讲 两角和与差的三角函数、二倍角公式考试要求 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导及联系(C 级要求)；二倍角的正弦、余弦、正切公式(B 级要求)；2.运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换(C 级要求).诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋k π，k ∈Z . 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√2.(2017·山东卷改编)已知cos x ＝34，则cos 2x ＝________. 解析 由cos x ＝34得cos 2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18.答案 183.(2017·江苏卷)若tan(α－π4)＝16，则tan α＝________. 解析 tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案7 54.(2018·苏、锡、常、镇调研)已知α是第二象限角，且sin α＝310，tan(α＋β)＝－2，则tan β＝________.解析由α是第二象限角，且sin α＝310，得cos α＝－110，tan α＝－3，所以tan β＝tan(α＋β－α)＝tan（α＋β）－tan α1＋tan（α＋β）tan α＝－2＋31＋6＝17.答案1 75.(必修4P109习题4改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________. 解析sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22.答案22知识梳理1.两角和与差的三角函数公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β. cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角公式sin 2α＝2sin__αcos__α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan α.注意：①在二倍角的正切公式中，角α是有限制条件的，即α≠k π＋π2，且α≠k π2＋π4(k ∈Z ).②“倍角”的意义是相对的，如4α是2α的二倍角，α是α2的二倍角. 3.有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan__αtan__β). (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.4.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .考点一 公式的正向、逆向使用【例1】 (1)(一题多解)(2015·江苏卷)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________.(2)(2016·四川卷)cos 2π8－sin 2π8＝________. 解析 (1)法一 ∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋tan β1＋2tan β＝17，解得tan β＝3.法二 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝17－（－2）1＋17×（－2）＝1＋147－2＝3.(2)由二倍角公式得cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22.答案 (1)3 (2)22规律方法 两角和与差的三角函数公式、二倍角公式的正向使用(从左往右使用)、逆向使用(从右往左使用)是本节的基础，要从角度联系、结构特征发现问题中隐含的公式特征，选择使用公式解决问题；特别要注意“尽量用已知角表示未知角”的思想方法的应用.【训练1】 (1)(2017·课标全国Ⅰ卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.(2)(2015·全国Ⅰ卷改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________. 解析 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝sin αcos α＝2，所以sin α＝2cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝255，cos α＝55，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝55×22＋255×22＝31010. (2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝ sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12. 答案 (1)31010 (2)12考点二 公式的变形、灵活使用【例2】 (1)(2017·广州调研)已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________.(2)(2017·江苏四校联考)已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则sin 2αcos 2β的值为________.(3)(2017·如东中学调研)已知α为锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.解析 (1)由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718. (2)sin 2αcos 2β＝sin[（α＋β）＋（α－β）]cos[（α＋β）－（α－β）]＝sin （α＋β）cos （α－β）＋cos （α＋β）sin （α－β）cos （α＋β）cos （α－β）＋sin （α＋β）sin （α－β） ＝tan （α＋β）＋tan （α－β）1＋tan （α＋β）tan （α－β）.将tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3代入，得原式＝2＋31＋2×3＝57.(3)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝±45，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45时，cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝3－4310<0，与α是锐角矛盾，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，从而cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2×35×45＝2425.答案 (1)1718 (2)57 (3)2425规律方法 两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：(1)不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；(2)善于拆角、拼角，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＋β＝(α＋β)＋α等；(3)注意倍角的相对性，如α＝2×α2等； (4)要时时注意角的范围；(5)熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等. 【训练2】 (1)(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是________.(2)(2018·四川泸州四诊)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________.解析 (1)原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28° ＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28° ＝1＋1＝2.(2)由题意：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝－78.答案 (1)2 (2)－78考点三 三角函数式的化简与求值(多维探究) 命题角度1 三角函数式的化简【例3－1】 化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)＝________.解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α24cos 2α2＝cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.因为0<α<π，所以0<α2<π2，所以cos α2>0，所以原式＝cos α. 答案 cos α 命题角度2 给值求值【例3－2】 (一题多解)(2017·苏州一模)若2tan α＝3tan π8，则 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π8＝________.解析 法一 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π8＝tan α－tan π81＋tan αtan π8＝12tan π81＋32tan 2π8＝sin π8cos π82cos 2π8＋3sin 2π8＝12sin π41＋cos π4＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos π4＝1＋5249.法二 由tan π4＝1，解得tan π8＝2－1，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π8＝12tan π81＋32tan 2π8＝12×（2－1）1＋32×（3－22）＝1＋5249.答案1＋5249 命题角度3 给角求值【例3－3】 [2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280＝________. 解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°· 2sin 80°＝(2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°)·2cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] ＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝ 6.答案6命题角度4 给值求角【例3－4】 (2018·常州一模)满足等式cos 2x －1＝3cos x (x ∈[0，π])的x 的值为________.解析 将方程化为2cos 2x －3cos x －2＝0，解得cos x ＝－12或cos x ＝2(舍去).因为x ∈[0，π]，所以x ＝2π3. 答案 2π3规律方法 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等. 2.三角函数求值有三种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般有如下两种思路；①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角.【训练3】 (1)化简：2cos 4α－2cos 2α＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.(2)(2016·课标Ⅲ卷改编)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝________.(3)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314(0<β<α<π2)，则tan 2α＝________，β＝________.解析 (1)原式＝12（4cos 4α－4cos 2α＋1）2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝（2cos 2α－1）24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α=cos 22α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 22α2cos 2α＝12cos 2α.(2)由tan α＝34，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝－45，所以cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos α＝1625＋4×1225＝6425. (3)∵cos α＝17，0<α<π2， ∴sin α＝437，tan α＝43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－48＝－8347. ∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， ∴sin(α－β)＝3314，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12， ∴β＝π3.答案 (1)12cos 2α (2)6425 (3)－8347 π3一、必做题1.(2018·苏州暑假测试)已知α∈(0，π)，cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.解析 由α∈(0，π)，cos α＝－45，得tan α＝－34， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11＋34＝17. 答案 172.(2017·扬州一模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，那么sin(π＋α)＝________.解析 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝13，0<α<π2，知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝223，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－π3＝－223×12＋13×32＝－22＋36.答案－22＋363.(2018·苏州调研)已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α＝________. 解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－13，所以sin α＝1010，cos α＝－31010，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－35.答案 －354.(2018·苏、锡、常、镇四市调研)若tan α＝12，tan(α－β)＝－13，则tan(β－2α)＝________.解析 tan(β－α)＝－tan(α－β)＝13，所以tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan （β－α）－tan α1＋tan （β－α）tan α＝13－121＋16＝－17.答案 －175.(2018·淮阴中学期中)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝________. 解析 由tan(22°＋23°)＝tan 22°＋tan 23°1－tan 22°tan 23°＝1，得tan 22°＋tan 23°＋tan 22°tan 23°＝1，所以(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝1＋tan 22°＋tan 23°＋ tan 22°tan 23°＝1＋1＝2. 答案 26.(2017·南京、盐城第二次模拟考试)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α的值为________.解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，又sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝45，所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310 答案43－3107.(2018·盐城中学月考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，则cos(α＋β)＝________. 解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝1213，又∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则π4＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝513，∴cos(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35×513－45×1213＝－3365.答案 －33658.(2017·泰州调研)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则sin(2α－π6)的值是________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋π2＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π3－1＝2×19－1＝－79.答案 －799.(2017·扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市二模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.求：(1)(一题多解)cos α的值； (2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4的值.解 (1)法一 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2102＝－7210. 所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－7210×22＋210×22 ＝－35.法二 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210得sin αcos π4＋cos αsin π4＝210，即sin α＋cos α＝15，结合sin 2α＋cos 2α＝1， 得cos α＝－35或cos α＝45. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－35.(2)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－35，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4＝sin 2αcos π4－cos 2αsin π4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫－725×22＝－17250. 10.(2018·常州一中期中)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且sin(α＋2β)＝13.(1)若α＋β＝2π3，求sin β的值； (2)若sin β＝45，求cos α的值.解 (1)因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，α＋β＝2π3，sin(α＋2β)＝13，所以α＋2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，所以cos(α＋2β)＝－223，所以sin β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋2β）－2π3＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×32＝26－16. (2)因为sin β＝45且β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos β＝35，所以sin 2β＝2sin βcos β＝2425，cos 2β＝2cos 2β－1＝－725， 所以2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.又因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin(α＋2β)＝13，所以α＋2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos(α＋2β)＝－223.所以cos α＝cos(α＋2β－2β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×⎝ ⎛⎭⎪⎫－725＋13×2425＝24＋14275.二、选做题11.(2017·仪征中学检测)已知3tan α2＋tan 2α2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)＝________.解析 由3tan α2＋tan 2α2＝1，可得tan α＝2tan α21－tan 2α2＝23，由sin β＝3sin(2α＋β)得sin[(α＋β)－α]＝3sin[α＋(α＋β)]，展开得sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝3sin αcos(α＋β)＋3cos αsin(α＋β)， 合并得2sin(α＋β)cos α＝－4sin αcos(α＋β)， 所以tan(α＋β)＝－2tan α， 故tan(α＋β)＝－2×23＝－43. 答案 －4312.(2018·苏、锡、常、镇四市调研)已知sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝________.解析 ∵sin α＝3sin(α＋π6)，∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12－π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos π12－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos π12＋3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π12，∴－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos π12＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π12，∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12≠0，cos π12≠0，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2tan π12＝－2tan 15°＝－2tan(45°－30°)＝－2×tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝－2×1－331＋33＝－2×1－23 3＋131－13＝－2(2－3)＝23－4.答案 23－4。
两角和与差三角函数与二倍角公式习题课.ppt
22
sin sin(2g) 2sin cos
2
22
2sin cos
sin 2
2
2 cos2
2
2
2tan
1
tan
2 2
2
万能公式
2 1 2
4.
1 (1)2 5
2
2020年5月8日星期五
王山喜--和差倍角三角函数习题课
27
(2) Q 0 ,sin 4 ,cos 3.
2
5
5
又 Q 0 ,0 .
2
由 cos 可 知2
10
0 . 2
sin 98 7 2 ，
10 10
sin sin［ ］ sin cos cos sin
7 23 24 10 5 10 5
25 2 2 . 50 2
由 得 2
(或求 cos
得2 ,
24
4
由 2k 3x 5 2k (k Z)
2
4
2
解得 2 k x 2 k 7 k Z.
34
3 12
故g(x)的单调增区间为
［2 k , 2 k 7］k Z.
3 4 3 12
2020年5月8日星期五
王山喜--和差倍角三角函数习题课
35
【规律方法】高考对两角和与差的正弦、余弦、 正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三 角函数性质中.需要利用这些公式，先把函数解 析式化为y=Asin(ωx+ )的形式，再进一步讨 论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周 期性、对称性等性质.
∵cosx∈［-1,1］,∴cos2x∈［0,1］，………………10分
∴当cosx=±1时,f(x)max=2. 当cosx=0时，f(x)min=-1. …………………………… 12分
高考数学两角和与差及二倍角的三角函数公式课件
－23×12＋ 35× 23＝
15－2 6.
故选 D. 答案：D
(2)4sin 80°－csoins 1100°°＝(
A. 3
B.－ 3
) C. 2
D.2 3－3
解析：因
4sin
80°－csoins
1100°°＝4sin
80°sin10 °－cos sin 10°
10°＝
2sin
20°－cos sin 10°
10°＝2sin30°－sin101°0°－cos
【规律方法】三角函数的给角求值，关键是把待求角用已 知角表示：
①已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差； ②已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系” 或“互余、互补”的关系.
考点 2 给值求值问题 例 2：(1)(2016 年新课标Ⅰ)已知 θ 是第四象限角，且 sinθ＋π4＝35，则 tanθ－π4＝________.
1.两角和与差的三角函数
三角函数
两角和
正弦
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
余弦
cos(α＋β)＝_c_o_s_α__co_s__β_－__s_in__α_si_n__β_
正切
tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ
简写形式 Sα＋β Cα＋β
Tα＋β
(续表) 三角函数 正弦 余弦
考点 3 给值求角问题
例 3：已知 A，B 均为钝角，且 sin A＝ 55，sin B＝ 1100，求 A＋B 的值.
解：∵A，B 均为钝角，且 sin A＝ 55，sin B＝ 1100，
∴cos A＝－
1－sin2A＝－
2 ＝－2 5
高三体艺生基础训练 讲两角和与差及二倍角公式
第三讲 两角和与差及二倍角公式1.两角和与差的三角函数公式：()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±、()βαβαβαsin sin cos cos cos =± ()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±、()()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±2. 倍角公式：βααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=；22cos 1cos 2αα+=；22cos 1sin 2αα-=；=-=αααsin cos 12tan；辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a （角ϕ终边过点()b a P ,）。
例一.【2012高考重庆文5】sin 47sin 17cos 30cos17-例二.【2012高考全国文4】已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=例三.【2012高考辽宁文6】已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则sin 2α=例四.【2012高考江西文4】若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α=例五. (2007海南、宁夏文、理)若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ）例六. 已知),2(,135sin ππ∈α=α，求sin2α，cos2α，tan2α的值例七. 已知tan2α=2，求：（I ）tan()4πα+的值；（2）6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值．例八．已知tan 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，1tan 2β=． (1) 求tan α值； (2) 求sin()2sin cos 2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++的值． 例九. 已知α为锐角，且3cos 5α=.(1).求22cos sin 2sin cos 2αααα++的值；(2).求5tan()4πα-的值．练习1. 已知角α、β都为第一象限角，且sin α=53，cos β=1312，求cos(α-β)的值2.（2010福建理数）cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A ．12B3C．2D23. 若sin a =45，a 是第一象限的角，则sin()4a π+= （A ）-10（B）10（C） -10（D104.（2011福建理3）若tan 3α=，则2sin 2cos aα的值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．65.（20072的是（ ）A ．2sin 15cos15B ．22cos 15sin 15-C ．22sin 151-D ．22sin 15cos 15+6．若角α满足条件sin2α<0，cos α–sin α<0，则α在（ ）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 7．（2005重庆文）=+-)12sin12)(cos12sin12(cosππππ（ ） A ．23-B ．21-C ．21 D ．238.（2006福建理、文）已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于 A.71 B.7 C.－ 71 D.－79. 已知(,)2παπ∈ ，sin α5则tan2α =___________.10. (全国Ⅱ文14)已知3(),tan 22παπα∈=，，则cos α=11.（2011江苏7）已知,2)4tan(=+πx 则x x2tan tan 的值为__________ 12.已知4cos 5θ=，(),2θππ∈，则sin2θ= .A 10.B 10-.C 10±.D 5±13.（2005北京文） 已知tan 2α=2，求：（I ）tan()4πα+的值；（2）6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值．14．（2004全国Ⅳ卷文、理）已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值.15．已知函数()12sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，x R ∈． （1）求()0f 的值； （2）设10,0,,3,2213f ππαβα⎡⎤⎛⎫∈+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()632,5f βπ+=求()sin αβ+的值． 16．若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝__________.（凑角公式）17．已知α、β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，则cos(α＋π4)＝__________. 18.3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,()3sin 5αβ+=-,12sin 413πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭19（06重庆文）若,(0,)2παβ∈，cos()22βα-=,1sin()22αβ-=-，则cos()αβ+= .。
高一数学(两角和与差的三角函数及二倍角公式)寒暑假作业
两角和与差的三角函数及二倍角公式一、单选题1．已知1cos 2α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A ．34 B ．3- C ．1 D ．3- 2．若角α的终边过点(3,4)P -，则cos2=α（ ）A ．2425-B ．725C ．2425D ．725- 3．函数()sin sin 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则f (x )的奇偶性为（ ） A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 4．在ABC 中，tan sin cos A B B <，则ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 二、多选题5．下列式子的运算结果为3的是（ ）A ．()2sin35cos25cos35sin 25︒︒-︒︒B ．()2cos35cos5sin35sin5︒︒+︒︒C ．1tan151tan15+︒-︒D ．2tan 61tan6ππ-6．下列四个等式其中正确的是（） A ．tan 25tan 35325tan 353︒︒︒︒++=B ．2tan 22.511tan 22.5︒︒=- C ．221cos sin 882ππ-= D ．134sin10︒-=三、填空题7．设α、β都是锐角，且()3cos 5ααβ=+=，则cos β=____________.8．若cos(α－β)，cos 2α＝10，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( )四、解答题9．设1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）求2βα-以及2αβ-的取值范围． （2）求cos 2αβ+的值．10．已知函数()2sin cos 2f x x x x =+（1）求函数()f x 的单调增区间； （2）若()035f x =，0ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值.。
高考总复习数学两角和与差及二倍角的三角函数公式ppt课件
2tanα
sin2α＝___2_s_in_α_c_o_s_α___；tan2α＝____1_－__t_a_n_2α__.
3．降次公式
1＋cos2α
1－cos2α
cos2α＝_______2_____；sin2α＝________2____.
5
4．辅助角公式 asinx＋bcosx＝ a2＋b2sin(x＋φ)． 其中 cosφ＝ a2a＋b2，sinφ＝ a2b＋b2， tanφ＝ba，角 φ 称为辅助角．
8
考点 1 三角函数式的化简 例 1：已知函数 f(x)＝sincoxs＋2xπ4. (1)求函数 f(x)的定义域； (2)若 f(x)＝43，求 sin2x 的值．
9
解：(1)由题意，sinx＋π4≠0，∴x＋π4≠kπ(k∈Z)． 即 x≠kπ－π4 (k∈Z)．
函数 f(x)的定义域为xx≠kπ－π4，k∈Z
1－sin2B＝－
3 ＝－3 10
10 10 .
20
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB
＝－2
5
5×－3 1010－
55×
1100＝
2 2.
又∵π2<A<π，π2<B<π，
∴π<A＋B<2π，∴A＋B＝74π.
21
【方法与技巧】通过求角的某种三角函数值来求角，在选 取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是
即ffxxmmainx＝＝－2＋1＋a＋a＋1，1， ∴2a＋3＝3，即 a＝0.
14
考点 2 三角函数式的求值
例 2：化简求值：(1)tan15°； (2)1t－an4ta2n°4＋2°ttaann1188°°； (3)11－＋ttaann1155°°； (4)tan20°＋tan40°＋ 3tan20°tan40°. 解：(1)体会正用公式：tan15°＝tan(60°－45°)＝ 1t＋an6ta0n°6－0°ttaann4455°°＝1＋3－13＝2－ 3. (2)体会逆用公式：1t－an4ta2n°4＋2°ttaann1188°°＝tan(42°＋18°)＝tan60° ＝ 3.又Biblioteka α为第二象限角，∴sinα＝2
两角和差公式及二倍角公式课件-2024届高三数学一轮复习
;
cos2 2cos2α-1
;
;
cos2 1-2sin2α
;
;
tan 2
2tan 1-tan2
.
;
; 升幂公式：
cos2
1＋cos 2α
2;
sin 2
1－cos 2
2α;
; 降幂公式：
1 cos2 2cos2α ;1 cos2 2sin2α ;
; 1 sin 2 (sin α+cosα)2;1sin 2 (sin α-cosα)2 ;
4
5 4 25
4
突破4---给值求角
例4.已知，都是锐角，且 cos 1 , cos 1 ，则 ( )
10
5
A.
B. 3
C. 或 3
4
4
44
D. 或 2
33
tan1200 400
.
突破3：---给值求值
例3.(1)若 3 sin x cosx 2 ,则tan x 7
.
3
6
(2)已知
tan tan
2 3
, 则 s in
2
4
.
4
(3)若sin 1 ,则sin 2 4
.
8 3
8
突破3：---给值求值
例3(4).已知， 3 ， ，sin 3 ,sin 24 ，则cos .
高中人教A版（2019）高三一轮复习--三角函数复习专题3
两角和差公式及二倍角公式
一、知识梳理(背诵、默写、提问)
1.两角和与差的正弦余弦正切公式
cos cos αcos β-sin αsin β cos cos αcos β+ sin αsin β sin sin αcos β+cos αsin β sin sin αcos β-cos αsin β
第三章 第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式[配套课件]
![第三章 第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式[配套课件]](https://img.taocdn.com/s3/m/911eca230912a21614792992.png)
二倍角
2sin αcos α sin 2α＝______________
简写形式 S2α C2α
余弦
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝
1－2sin2α 正切
3.降次公式
2tan α tan 2α＝ 1－tan2α
T2α
1＋cos 2α 1－cos 2α 2 cos α＝ ；sin α＝ . 2 2
3 10 － ×－ 10
5 10 2 5 × 10 ＝ 2 .
7π ∴π<A＋B<2π.∴A＋B＝ 4 .
【规律方法】已知三角函数值求角时，要先确定所求角的 范围，再选择在该范围内具有单调性的某一三角函数求解，否 π π 则容易出现增根.如若 α∈(0， π)， 则选余弦函数； 若 α∈－2，2， 则选正弦函数.
tan 20° ＋tan 40° 解析：tan(20° ＋40° )＝ ，可得 3－ 1－tan 20° tan 40° 3tan 20° tan 40° ＝tan 20° ＋tan 40° ， 移项， 可得 tan 20° ＋tan 40° ＋ 3tan 20° tan 40° ＝ 3.
答案： 3
6 答案： 2
cos 10° ＋ 3sin 10° (3)计算： ＝________. 1－cos 80°
cos 10° ＋ 3sin 10° 2cos10° －60° 2cos 50° 解析： ＝ ＝ ＝ 2 2sin 40° 2sin 40° 1－cos 80° 2.
答案： 2
(4)计算：tan 20° ＋tan 40° ＋ 3tan 20° tan 40° ＝________.
解析：由题意 得
π 3 sinθ＋4＝5，
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特别地，对于余弦:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-
2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为
“降幂公式”，在考题中常有体现.
2.弦切互化公式（万能公式）
对于弦切互化
sin2
1
2tan tan2
，
cos2
1 1
tan2 tan2
有时也起到
简化解题过程的作用.
又sin2α+cos2α=1得 sin2 又4 .∵α∈(π, ), 3
5
2
sin 2 5 ,cos 5 ,
5
5
sin( ) sincos cossin
4
4
4
2 (sin cos) 2
2 ( 2 5 5 ) 3 10 .
2 55
10
(2)由（1）可得tanα=2，
式将常数化掉.
2020年4月11日星期六
王山喜--和差倍角三角函数习题课
12
【自主解答】(1)原式
(2sin cos 2cos2 )(sin cos )
22
22 2
4cos2
2
cos (sin2 cos2 ) cos gcos
2 2
2 2 .
cos
cos
2
2
因为0<θ<π，所以 0 ，
5
2.已知tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,则tan2α=（ ）
(A) 1
8
(B) 1 (C) 4
8
7
(D) 4
7
【解析】选D.tan2α=tan［(α+β)+(α-β)］
变角与凑角！
tan( ) tan( )
1 tan( )gtan
1
3
5 35
8 14
4 7
.
2020年4月11日星期六
2020年4月11日星期六
王山喜--和差倍角三角函数习题课
1
2020年4月11日星期六
王山喜--和差倍角三角函数习题课
2
2020年4月11日星期六
王山喜--和差倍角三角函数习题课
3
二倍角公式中的sin2α,cos2α能否用tanα来表示？
提示:能.
齐次型！
Q
sin2
2sincos
2sincos sin2 cos2
12
12
合一变形！
【解析】cos 3sin 2(1 cos 3 sin )
12
12 2 12 2 12
2(cos cos sin sin ) 3 12 3 12
2cos( ) 2cos 2.
3 12
4
答案: 2
2020年4月11日星期六
王山喜--和差倍角三角函数习题课
2
(1)求sin(α+ );
4
(2)求tan(α+ ).
4
【审题指导】由已知结合同角三角函数关系式可得sinα,
cosα,tanα,从而再利用两角和的公式可得（1）（2）.
2020年4月11日星期六
王山喜--和差倍角三角函数习题课
17
【自主解答】(1)由-2cosα+sinα=0即sinα=2cosα.
王山喜--和差倍角三角函数习题课
6
3.如果cos2α-cos2β=a，则sin(α+β)sin(α-β)等于
（）
（A） a
2
（B）a
2
（C）-a
【解析】选C.sin(α+β)sin(α-β)
（D）a
=(sinαcosβ+cosαsinβ)(sinαcosβ-cosαsinβ)
=sin2αcos2β-cos2αsin2β
22
所以 cos 0,
2
所以原式=-cosθ.
2020年4月11日星期六
王山喜--和差倍角三角函数习题课
13
2 2 2cos8 2 1 sin8 21 cos8 2 1 2sin4cos4 2 2cos2 4 2 sin4 cos42
=-2cos4+2(cos4-sin4)=-2sin4.
=(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)
=cos2β-cos2α=-a.
2020年4月11日星期六
王山喜--和差倍角三角函数习题课
7
4.若 tan( ) 3，则2sin2α-cos2α=_____.
42
【解析】由 tan( 得) ，3
1 tan 3 ,
42
1 tan 2
2020年4月11日星期六
王山喜--和差倍角三角函数习题课
14
【规律方法】三角函数的给角求值或化简，所给角往往是非 特殊角.解决的基本思路是：
2020年4月11日星期六
王山喜--和差倍角三角函数习题课
15
三角函数的求值
【例2】(2011·东城模拟)已知-2cosα+sinα=0，
α∈(π, 3 ).
(A) 1
2
(B) 1
2
(C) 3
2
(D) 3
2
【解析】选B.cos33°cos87°+sin33°cos177°
=cos33°sin3°-sin33°cos3° =sin(3°-33°)=-sin30°= . 1
2
变结构与凑结构，逆用 公式！
2020年4月11日星期六
王山喜--和差倍角三角函数习题课
2020年4月11日星期六
王山喜--和差倍角三角函数习题课
11
三角函数式的化简
【例1】化简 0 ；
2 2cos
2 2 2cos8 2 1 sin8.
【审题指导】对于含有根式的三角函数，化简一般采用倍角
公式转化为完全平方式后开根号，若含有常数可采用倍角公
9
1.两角和与差的三角函数公式的理解 (1)正弦公式概括为“正余，余正符号同” “符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“+”号； 前面是两角差，则后面中间为“-”号. (2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”.
2020年4月11日星期六
王山喜--和差倍角三角函数习题课
10
(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β=α可得.
2tan ， 1 tan2
cos2
cos2
sin2
cos2 cos2
sin2 sin2
1 1
tan2 tan2
,
tan
2
sin 2 cos 2
2tan 1 tan2
.
这三个公式常被称为“万能公
式” 2020年4月11日星期六
王山喜--和差倍角三角函数习题课
4
1.cos33°cos87°+sin33°cos177°的值为( )
2+2tanα=3-3tanα,
1
tan .
5
而2sin2
cos2
2sin2 cos2 sin2 cos2
2tan2 1 tan2 1
2
25 1
1 1
23 . 26
25
答案: 23
26
齐次型！
2020年4月11日星期六
王山喜--和差倍角三角函数习题课
8
5.化简：cos 3sin =______.