第三章多项式插值方法习题

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讲解多项式插值(包含例题)

第三章多项式插值方法教学目的及要求：要求掌握基本的定理及各种插值方法。

插值方法是数学分析中很古老的一个分支.它有悠久的历史.等距结点内插公式是由我国隋朝数学家刘焯(公元544—610年)首先提出的;而不等距结点内插公式是由唐朝数学家张遂(公元683—727年) 提出的.这比西欧学者相应结果早一千年.插值方法在数值分析的许多分支(例如, 数值积分, 数值微分, 微分方程数值解,曲线曲面拟合,函数值近似计算,等等)均有应用.下面仅以近似计算函数值为例来说明设已知某个函数关系()x f y =的列表函数值nn y y y yx x x x110而()n i x x i ,1,0=≠问应该如何估值().x f y =对于函数关系()x f y =,我们所知道仅仅上述的表列值,它们常常是间接求得的.例如是由实验(观测)得来的,或者是从级数或微分方程求得的.我们可以使用插值方法估计y. 插值方法的目的是寻求简单的连续函数()x ϕ,使它在n+1个点n x x x ,,,10 处取给定值()()),,1,0(n i x f y x i i i ===ϕ,而在别处希望它也能近似地代表函数()x f .因为()x ϕ已是有解析表达式的简单函数,所以它在x x =处的值可以按表达式精确地计算出来.这样我们就可以将()x ϕ看成().x f y =的近似值了给定点n x x x ,,,10 为插值结点.称函数()x ϕ为函数()x f 的关于n x x x ,,,10 的插值函数.称()x f y =为被插函数.严格的说,插值方法一词只用于x 落在给定点n x x x ,,,10 之间的情形,所以也称它为内插法.如果x 落在给定点n x x x ,,,10 之外,并且仍以插值函数()x ϕ在x 处近似地代替().x f ,则一般称这种近似计算函数的方法为外插法.本章我只研究多项式插值，亦即()x ϕ是x 的多项式的情形.这不仅仅因为多项式是最简单的函数，而且因为在许多场合，函数()x f 容易用多项式近似地表示出来.此外,用多项式作插值函数可满意地解决一系列有应用价值的重要问题.特别是数值积分与数值微分的问题.本章讲不涉及三角插值法.其实,只要理解了代数多项式插值方法的实质读者就不难自行导出关于三角多项式插值方法的一系列相应与代数多项式插值方法的理论结果§1. Lagrange 插值公式设()x f y =是实变量x 得单值函数，且已知()x f 在给定的n+1个互异点n x x x ,,,10 处的值n y y y ,,,10 ,即().,,0,n i x f y i i ==插值的基本问题是,寻求多项式()x p ,使得 ()()1.1.,0,n i y x p i i ==设()x p 是一个m 次多项式()0,2210≠++++=m m m a x a x a x a a x p则插值问题是，如何确定()x p 中的系数m a a a ,,,10 ,使得(1.1)式得以满足.所以该问题等价于求解下述的线性方程组:()2.1,,,22101121211000202010⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n m n m n n mm mm y x a x a x a a y x a x a x a a y x a x a x a a上述的线性方程组的系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m n m m nnx x x x x x x x x A102211200111 它是一个(n+1)×（m+1）矩阵.当m>n 时，A 的列数大于行数.不难证明矩阵A 的秩数为n+1.因为A 的前n+1列所组成的行列式为(称为Vandermonde 行列式)()mnmm n n n n x x x x x x x x x d e f x x x W10221120010111,.,-我们有()()()3.1,.,10∏>--=ij i j n n x x x x x W为证(1.3),考虑n 次多项式()nnnn n n n n n xx xx x x x x x x x x x x x W2121112110200101111,.,----= 显然110,,,-n x x x 均为它的零点,且它的n x 系数恰为()10.,-n x x W 即 ()()()()101010.,,.,-----=n n n x x x x x x W x x x W 从而有下述递推关系式()()()()101010.,,.,-----=n n n n n n x x W x x x x x x x W运用它即可证明(1.3)式根据(1.3),并注意到诸n x x x ,,,10 互异，从而线性方程组(1.2)的系数矩阵的秩数为n+1 .它表明(1.2)的解是不唯一的，即插值问题(1.1)的解不唯一。

数值分析-计算方法-插值a

500 5
18
解： n = 1 分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算
x0
x1
x2
利用

x0 6 , x1 4
L 1 (x ) x /6 /4 /4 1 2 x /4 /6 /6 1 2
sin
而
50 0

Lf1内要( (5端1x 8插计)点 ) 通算s，0 常的i.x 7插n 7 优x6值12 2 所于4效,在外果R 1 的推(x 较) 区。f 好(f x 间选)2 ( 。 ! 的择x s )(x ix ,n 6 f)x (( x 4 )) 4 s 2 |( ix x n , 6 )x x ( ( 4 6 )|, 4)
Ln ( xi ) yi , i 0, ... , n
条件：无重合节点，即 i j xi xj
n=1
线性插值
已称知为x拉0 氏, x基1 ;函y0数, y1/*，La求graL n1 g(exB)asa is0 */，a1x 使得
L满1( 足x0 )条件y0 l,i(Lx1j)(=x1 )ij/*yK1 ronecker Delta */
f(x)L (x) n
f ( ) (n1)
ni
i
项式是唯一存在的。
证明：由插值条件可知，插值多项式Ln(x)的系数ai满足线性
方程组
1
x 0

xn 0

a0

y 0

1
x 1

xn 1

a1

y 1

1
x n

计算方法第三章(插值法)解答

Aitken（埃特肯）算法 N 0,1,,k , p ( x) L( x) N 0,1,,k ( x)
N 0,1,,k 1, p ( x) N 0,1,,k ( x) x p xk
Neville（列维尔）算法
( x xk )
Ni ,i 1,,k ( x) L( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) Ni 1,i 2,k ( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) xk xi ( x xi )
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 )
容易求出，该函数为：
x x0 x x1 y y0 y1 x0 x1 x1 x0
一般插值问题：求过n+1个点
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ),,( xn , yn )
的不超过n次多项式 Ln ( x )。
Ln ( x) yi li ( x )
例子：求方程 x3-2x-5=0 在(2 , 3)内的根思路: 设 y = f(x) =x3-2x-5 ，其反函数为 x=f -1(y)，则根为x* =f -1(0) 。先用3= f -1(16)， 2= f -1(-1)插值，得 N0,1 (y) ≈f -1(y), 计算N0,1 (0)= 2.058823, f(2.058823) = -0.39 ，以-0.39为新的节点，继续……
第三章插值法
第一节插值多项式的基本概念
假设已经获得n+1点上的函数值
f xi yi , i 0,1,, n,
即提供了一张数据表
x
y f x
x0
y0
x1
y1
x2

xn
y2

[整理]多项式多点求值快速插值

[整理]多项式多点求值快速插值0.多点求值描述：给定n阶多项式f(x)，求其m个点值f(a_1),\dots,f(a_m)。

乍⼀看这个东西似乎是不太可做的，我们先考虑如何缩⼩问题规模也就是多项式阶数。

根据因式定理我们知道⼀个被(x-a)整除的多项式在a处的点值为0，考虑通过这种⽅式转化问题。

接下来就⽐较妙，我们将点值分成左右两半，然后设g_0(x)=\prod\limits_{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor}(x-a_i)，右半边同理设为g_1(x)。

然后我们发现显然这个东西带⼊属于沓那⼀边后都会得到0，那么⼀个简单的想法就是直接把f对沓取模，我们以左边为例。

设f(x)=q(x)g_0(x)+r(x)，沓带⼊左边的点值会得到r(x)，⽽r(x)的次数⼀定⾄少减半，所以我们成功缩⼩了问题规模。

每⼀步的g_0和g_1可以预先分治处理出来。

由于⾃带⼤常数，所以为了卡过板⼦题采取了⼩范围暴⼒的⽅法，代码可能会很难看：（略去了多项式板⼦，可以去⾥看）int n,m,F[N],a[N],b[N],*G[N],siz[N];void Build(int k,int l,int r){//类似线段树建树从下往上合并if(r-l<=50){siz[k]=r-l+1,G[k]=new int[siz[k]+1],G[k][0]=1;for(int i=l;i<=r;i++){for(int j=i-l+1;~j;j--)G[k][j+1]=G[k][j];G[k][0]=0;for(int j=0;j<=i-l+1;j++){(G[k][j]+=p-(LL)G[k][j+1]*a[i]%p)%=p;}}return;}Build(ls,l,nmid),Build(rs,nmid+1,r);siz[k]=siz[ls]+siz[rs],G[k]=new int[siz[k]+1];Mul(G[ls],G[rs],G[k],siz[ls],siz[rs]);}int Q[N];void Solve(int k,int l,int r,int *f){if(r-l<=500){//卡常，经测试⼤概500左右暴⼒最快for(int i=l;i<=r;i++){int res=0;for(int j=siz[k]-1;~j;j--){res=((LL)res*a[i]%p+f[j])%p;}b[i]=res;}return;}int R[siz[k]+2<<1];Divide(f,G[ls],siz[k]-1,siz[ls],Q,R);Solve(ls,l,nmid,R);Divide(f,G[rs],siz[k]-1,siz[rs],Q,R);Solve(rs,nmid+1,r,R);}void Print(int x){if(x>9)Print(x/10);putchar(x%10+48);}int main(){Read(n),Read(m);for(int i=0;i<=n;i++)Read(F[i]);for(int i=1;i<=m;i++)Read(a[i]);Build(1,1,m);if(n>=m)Divide(F,G[1],n,m,Q,F);int st=clock();Solve(1,1,m,F);for(int i=1;i<=m;i++)Print(b[i]),putchar('\n');cerr<<(dv)(clock()-st)/CLOCKS_PER_SEC<<endl;KafuuChino HotoKokoa}转置原理的做法会在之后的某个时间补上1.快速插值描述：给定n个点值(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)，插值出n-1次多项式f(x)。

第三章参数多项式的插值与逼近

第三章参数多项式的插值与逼近2009年8月29日10时35分 1本章内容•几何不变性与参数变换•参数多项式插值与逼近的基本概念•参数多项式插值曲线与逼近曲线•张量积曲面•参数双三次曲面片2009年8月29日10时35分 22009年8月29日10时35分 3第一节几何不变性和参数变换 • 一、几何不变性：1、定义：指曲线曲面不依赖于坐标系的选择，或者说在旋转与平移变化下不变的性质。

2、曲线曲面的基表示： 0 n i i i P a j = = å r r 其中：为矢量系数，修改它可以改变曲线曲面的形状i a r i j 为单参数（表示曲线时）或双参数（表示曲面时）的基函数，决定曲线曲面的几何性质2009年8月29日10时35分 43、基表示的分类：（1）规范基表示：即满足Cauchy 条件也称权性。

这种表示下，曲线（面）上的点是矢量系数的一个重心组合，重心坐标是基函数。

其中一、几何不变性：0 1n i i j = º å 我们常见的线性插值就是一种规范基表示。

（2）部分规范基表示：即满足 0 1,0 ki i k n j = º£< å 如： 01 () p u a a u =+ r r r 0 1j =一、几何不变性：（3）非规范基表示：除规范基表示和部分规范基表示以外的其它基表示。

4、基表示与几何不变性的关系：曲线曲面的规范基表示具有仿射不变性，其余两种只具有几何不变性。

5、几何不变性的意义：（1）方便局部坐标与整体坐标之间的转换；（2）便于平移和旋转变换；（3）节省了计算量。

2009年8月29日10时35分 5• 1、概述• 曲线的参数域总是有界的。

• 曲线的参数可能有某种几何意义，也可能没有。

• 曲线的参数化：即确定曲线上的点与参数域中的参数值之间的一种对应关系。

• 这种对应关系可以是一一对应的，也可以不是一一对应的，后者称为奇点（Singularpoint），如曲线的自交点。

第3章多项式插值方法

1.1 多项式插值问题
给定 n + 1 个互异点 x 0 , x1 , " , x n ,对任意一组数 y 0 , y1 , " , y n ，求次数不大于 n 的多项式 pn ( x ) ∈ Pn ，使其满足如下插值条件
pn ( xi ) = yi , i = 0,1," , n
(3.4)
称 x 0 , x1 , " , x n 为插值节点， pn ( x ) 为插值多项式，（3.4）称为插值条件。
n n
定理满足插值条件 pn ( x k ) = yk (k = 0,", n) 的如上式的 n次插值多项式唯一。
29
w( x ) pn ( x ) = ∑ lk ( x ) yk = ∑ yk k =0 k =0 ( x − xk ) w′ ( xk )
n n
定义 (3.7)称作为 Lagrange 插值多项式,并记为
x0
x1
16
y = p1 ( x ) 其几何意义是已知平面上两点 ( x 0 , y 0 ) , ( x1 , y1 ) 的一
条直线，由直线的两点式公式可知：
y1 − y 0 P 1( x) = y0 + ( x − x0 ) 。 x1 − x 0
x − x0 x − x1 P 1 ( x) = y0 + y1 x0 − x1 x1 − x0
析表达式的简单函数,所以它在 x
= x 处的值可以按表达式精
确地计算出来。这样我们就可以将 g ( x ) 看成 y = f ( x ) 的近似值了。
6
本章只研究多项式插值，亦即g(x)是x的多项式的情形。这不仅仅因为多项式是最简单的函数，而且因为在许多场合，函数容易用多项式近似地表示出来。此外，用多项式作插值函数可满意地解决一系列有应用价值的重要问题。特别是数值积分与数值微分的问题。

计算方法课后习题集规范标准答案

习题一3.已知函数y =4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函解：0120124, 6.25,9;2, 2.5,3y x x x y y y =======由题意（1）采用Lagrange插值多项式220()()j j j y L x l x y ==≈=∑27020112012010*********()|()()()()()()()()()()()()(7 6.25)(79)(74)(79)(74)(7 6.25)2 2.532.255 2.25 2.75 2.7552.6484848x y L x x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x ==≈------=++------------=⨯+⨯+⨯⨯-⨯⨯= 其误差为(3)25(3)25(3)2[4,9]2()(7)(74)(7 6.25)(79)3!3()83max |()|40.0117281|(7)|(4.5)(0.01172)0.008796f R f x x f x R ξ--=---==<∴<=又则（2）采用Newton插值多项式2()y N x =≈ 根据题意作差商表：224(7)2(74)()(74)(7 6.25) 2.64848489495N =+⨯-+-⨯-⨯-≈4. 设()()0,1,...,k f x x k n ==，试列出()f x 关于互异节点()0,1,...,i x i n =的Lagrange 插值多项式。

注意到：若1n +个节点()0,1,...,i x i n =互异，则对任意次数n ≤的多项式()f x ，它关于节点()0,1,...,i x i n =满足条件(),0,1,...,i i P x y i n ==的插值多项式()P x 就是它本身。

可见，当k n ≤时幂函数()(0,1,...,)kf x x k n ==关于1n +个节点()0,1,...,i x i n =的插值多项式就是它本身，故依Lagrange 公式有()00(),0,1,...,nn n k kk i j j j j j i j ii jx x x l x x x k n x x ===≠-=≡=-∑∑∏特别地，当0k =时，有()0001nn n ij j j i j ii jx x l x x x ===≠-=≡-∑∑∏而当1k =时有()000nnn ij j j j j i j ii jx x x l x x x x x ===≠⎛⎫- ⎪=≡ ⎪- ⎪⎝⎭∑∑∏ 5.依据下列函数表分别建立次数不超过3的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。

埃尔米特插值多项式练习题

埃尔米特插值多项式练习题埃尔米特插值多项式练习题埃尔米特插值多项式是一种用于逼近函数的方法，它不仅可以通过给定的函数值来逼近函数的值，还可以通过给定的导数值来逼近函数的导数值。

在数值计算和插值问题中，埃尔米特插值多项式是一种非常有用的工具。

假设我们有一个函数f(x)，我们想要通过给定的函数值和导数值来逼近这个函数。

埃尔米特插值多项式可以通过以下步骤来求解：1. 首先，我们需要确定插值点。

插值点是我们已知的函数值和导数值的点。

通常，我们选择一组等距的插值点，以便于计算。

2. 接下来，我们需要构建拉格朗日插值多项式。

拉格朗日插值多项式是通过给定的函数值来逼近函数的值的多项式。

它可以通过以下公式来计算：L(x) = Σ [ f(xi) * Li(x) ] (i=0 to n)其中，Li(x)是拉格朗日基函数，它可以通过以下公式来计算：Li(x) = Π [ (x - xj) / (xi - xj) ] (j=0 to n, j ≠ i)这样，我们就可以得到拉格朗日插值多项式L(x)。

3. 接下来，我们需要构建埃尔米特插值多项式。

埃尔米特插值多项式是通过给定的函数值和导数值来逼近函数的多项式。

它可以通过以下公式来计算：H(x) = Σ [ f(xi) * Hi(x) + f'(xi) * Hi'(x) ] (i=0 to n)其中，Hi(x)是埃尔米特基函数，它可以通过以下公式来计算：Hi(x) = [ 1 - 2 * (x - xi) * Li'(xi) ] * (Li(x))^2Hi'(x)是埃尔米特基函数的导数，它可以通过以下公式来计算：Hi'(x) = (x - xi) * (Li(x))^2这样，我们就可以得到埃尔米特插值多项式H(x)。

通过以上步骤，我们可以得到一个逼近函数f(x)的埃尔米特插值多项式H(x)。

这个多项式可以在给定的插值点上非常精确地逼近函数的值和导数值。

多项式插值_Lagrange插值

φ(xk)=f(xk)=yk , k=0,1, … ,n
(2)
这时称 y=f(x)为被插值函数, φ(x) 称为插值函数, xk 称为插值节点,式(2)称为插值条件,寻求插值函数φ(x) 的方法称为插值方法.
二、多项式插值问题
在构造插值函数时，函数类的不同选取, 对应着各种不同的插值方法，这里主要研究函数类P是代数多项式，即所谓的多项式插值问题。
多项式插值，从几何角度看，就是寻求n次代数曲线 y=pn(x) 通过n+1个点(xk , yk) (k=0,1,…,n)作为 f(x) 的近似(如下图).
y pn( x)
y f (x)
设 pn(x)=a0+ a1x+…+an xn ，当满足如下的插值条件时，即
pn(xk) = f(xk) = yk , k = 0,1, … ,n
f(x) ≈ L1(x)=y0l0(x)+y1 l1(x)
二、抛物线插值（n=2）
已知
xi x0 x1 x2 yi y0 y1 y2
求解 L2(x)=a2x2+a1 x+a0
使得 f(x) ≈ L2(x), x ∈[x0 , x2].
关于二次多项式的构造采用如下方法：令
L2(x)=A(x-x1)(x-x2)+B(x-x0)(x-x2)+C(x-x0)(x-x1)
插值问题
§1 多项式插值问题 §2 Lagrange插值多项式
§1 多项式插值问题
一、插值问题
设函数 y=f(x)在区间[a,b]连续, 给定n+1个点
a≤ x0 < x1 < … < xn≤b
(1)
已知 f(xk)=yk (k=0,1,…,n) ,在函数类中寻找一函数φ(x) 作为 f(x) 的近似表达式,使满足

第三章(二) 埃尔米特-样条插值法

2
x x1 x x 0 h1 ( x ) 1 2 x x . x1 x 0 1 0
2
设
x x1 g 0 (x) a(x x0 ) , x 0 x1
2
∵g0(x0)=g0(x1)=0, g'0(x1)=0
据用得越多越好，解决这一矛盾的办法就是改用分段低次插值。
所谓分段低次插值就是用分段多项式来代替单个高阶多项式
作插值，即先把整个插值区间分成若干个小区间，然后在每个子区间上分别用低次插值多项式（如线性插值或抛物线插值等），然后再将每个子区间上的插值函数拼接在一起，作为整个插值区间上的插值函数。
• 分段线性插值
2
2
x x1 x x 0 h1 ( x ) 1 2 . x1 x 0 x1 x 0
2
2
x x1 x x0 g 0 (x) (x x0 ) , ( x ) ( x x1 ) g1 . x 0 x1 x1 x 0
, [ 1,1]. 0 ( x ) ? x L1
将[−1,1]10等分，步长 h = 2/10 = 0.2, 取节点 xi = −1 + 0.2i, i =
0,1,2,…,10。以 (xi, f(xi))为插值点，构造L10(x)：
Ｌ1 0 ( x )
) f ( x i ) li ( x )
先构造 h0(x), 设
由h0(x0) = 1,
x x1 h0 ( x ) (a bx ) . x 0 x1
2
∵h0(x1)=h'0(x1)=0

李庆扬-数值分析第五版第3章习题答案(20130702)

和变量均需要发生变化。
2、当 f (x) x 时，求证 Bn ( f , x) x
利用多项式展开定理证明：证：
Bn (
f
,
x)
n k 0
f
(
k n
)
Pk
(
x)
n k 0
f
(
k n
)
n k
xk (1
x)nk
f (0)0
n
k
n!
n
xk (1 x)nk
(n 1)!
xxk 1(1 x)(n1)(k 1)
答：
b
|| f ||1 | f (x) |dx a
b
|| f ||2 f (x)2 dx a
||
f
||
max
a xb
|
f
(x) |
2、f , g C [a , b]，它们的内积是什么？如何判断函数族{ 0, 1, …, n}C [a , b]在[a ,b]上线性无关？
解：f , g C [a , b]，其内积为
a0 a1 x a2 x2 .... an xn 0
由于需要解出 a0 , a1, a2 ,..., an 共 n+1 个未知数，构造 n+1 个方程，取 x x0 , x1, x2 ,..., xn
n
有方程组 a j xk j 0 ，则系数行列式为 k 0 j0
1
G
1
...
x01 x11 ...
xi
] | |
min p
i0
[
f
xi
Pn xi ] |
m
| min [ f p i0
xi
Pn xi ] |2

计算方法课后习题答案

其中,
，
正规方程组化为:
得 =2.43689 =0.291211
=2.43689所以 =11.45 = =0.291211
=2.43689所以 =11.45 1= =0.291211
12.求函数在给定区间上对于的最佳平方逼近多项式：
解：设
（1）
(2)
。
。
13. 上求关于的最佳平方逼近多项式。
解：Legendre是[-1，1]上的正交多项式
解：1）用梯形公式有：
事实上，
2）Simpson公式
事实上，
3）由Cotes公式有：
事实上，
2．证明Simpson公式具有三次代数精度。
证明：
而当时
左侧：
右侧：
左侧不等于右侧。所以Simpson具有三次代数精度.
3.分别用复化梯形公式和复化公式Simpson计算下列积分.
(1) ，（3），（4）
注意到这里是三重零点，是单零点，故插值余项为
20．求作次数的多项式，使满足条件
并列出插值余项。
解法1：由于在处有直到一阶导数值的插值条件，所以它是“二重节点”；而在处有直到二阶导数值的插值条件所以是“三重节点”。因此利用重节点的差商公式：
可以作出差商表
一阶
二阶
三阶
四阶
0
0
1
1
1
－1
－1
利用的第1式，可将第2式化为
同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得
由式消去得
进一步整理
由此解出
解得：
因此所求的两点Gauss求积公式：
或依下面的思想：
解（2）：令原式对于准确成立，于是有

数字信号处理刘顺兰第三章完整版习题解答

数字信号处理刘顺兰第三章完整版习题解答一、题目解答1. 题目利用时域抽样、频域抽样、零填充、插值法等，实现信号的变换。

1.1 时域抽样时域抽样是指将一个连续时间信号在时间轴上的等间隔位置上进行采样，可以得到一个离散时间信号。

时域抽样的原理是，将时间轴上的信号按照一定的时间间隔进行采样，每个采样点的振幅值就是该点对应的连续时间信号的振幅值。

时域抽样可以通过以下步骤进行实现：1.假设连续时间信号为x(t)，采样频率为Fs（采样频率是指每秒采样的次数），采样间隔为Ts（采样间隔是指相邻两个采样点之间的时间间隔）。

2.根据采样频率和采样间隔，计算出采样点数N：N =Fs * T，其中T为采样时长。

为Ts。

4.在每段的中点位置进行采样，得到N个采样点。

5.将N个采样点按照时域顺序排列，即可得到离散时间信号。

1.2 频域抽样频域抽样是指将一个连续频谱信号在频率轴上的等间隔位置上进行采样，可以得到一个离散频谱信号。

频域抽样的原理是，将频率轴上的信号按照一定的频率间隔进行采样，每个采样频率点上的能量值就是该频率点对应的连续频谱信号的能量值。

频域抽样可以通过以下步骤进行实现：1.假设连续频谱信号为X(f)，采样频率为Fs（采样频率是指每秒采样的次数），采样间隔为Δf（采样间隔是指相邻两个采样频率点之间的频率间隔）。

2.根据采样频率和采样间隔，计算出采样点数N：N =Fs / Δf，其中Δf为采样频率点之间的频率间隔。

为Δf。

4.在每段的中点位置进行采样，得到N个采样频率点。

5.将N个采样频率点按照频域顺序排列，即可得到离散频谱信号。

1.3 零填充零填充是指在信号的末尾添加一些零值样本，使得信号的长度变长。

零填充的原理是，通过增加信号的长度，可以在时域和频域上提高信号的分辨率，从而更精确地观察信号的特征。

零填充可以通过以下步骤进行实现：1.假设原始信号为x(n)，长度为N。

2.计算需要填充的长度L，L > 0。

插值法习题及解答

一、填空题：1．满足()a a f x x =，()b b f x x =，()c c f x x =的拉格朗日插值余项为。

答：()()()()()3!a b c f R x x x x x x x ξ'''=---2．已知函数()f x 的函数值()()()()()0,2,3,5,6f f f f f ，以及均差如下 ()()()()()00,0,24,0,2,35,0,2,3,51,0,2,3,5,60f f f f f ===== 那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数是答： 1二、选择题1. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（） A ．()00l x ＝0，()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()110l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x = 答：D2．. 已知等距节点的插值型求积公式()()352kkk f x dx A f x =≈∑⎰，那么3kk A==∑（）A ．1 B. 2 C. 3 D. 4 答：C3．过点(x 0,y 0), (x 1,y 1)，…，(x 5,y 5)的插值多项式P(x)是( )次的多项式。

(A). 6 (B).5 (C).4 (D).3．答：B 三、证明题1. 设 f (x) = (x-1) (x-2) .证明对任意的x 有： f [1, 2, x)]= 1证明:f [1, 2] = [f (1) – f (2)]/ (1 – 2) = [0 – 0]/ (-1) = 0, 对任意的x 有F[2, x] = [f (2) – f (x)]/ (2 – x) = [0 – (x-1) (x-2)]/ (2 – x) = (x-1),所以 f [1, 2, x] = [f (1, 2) - f (2, x)]/ (1 – x) = [0 - (x-1)]/ (1 – x) = 12.设在上具有二阶连续导数，且，求证：解：由，则在的线性插值多项式为：，于是由，可得：3．试利用差分性质证明：证明：记：可以证明：，又：故：. 四、计算题： 1.．已知数值表试用二次插值计算()0.57681f 的近似值，计算过程保留五位小数。

计算方法教程（第2版）习题答案

《计算方法教程(第二版)》习题答案第一章习题答案1、浮点数系),,,(U L t F β共有 1)1()1(21++---L U t ββ 个数。

3、a ．4097b ．62211101110.0,211101000.0⨯⨯c ．6211111101.0⨯4、设实数R x ∈，则按β进制可表达为：,1,,,3,2,011)11221(+=<≤<≤⨯++++++±=t t j jd d lt t d t t d dd x βββββββ按四舍五入的原则，当它进入浮点数系),,,(U L t F β时，若β211<+t d ，则 l tt d dd x fl ββββ⨯++±=)221()(若 β211≥+t d ，则 l tt d d d x fl ββββ⨯+++±=)1221()(对第一种情况：t l lt l t t d x fl x -++=⨯≤⨯+=-βββββ21)21(1)()(11对第二种情况：t l ltl t t d x fl x -++=⨯≤⨯--=-ββββββ21)21(1)(11 就是说总有： tl x fl x -≤-β21)( 另一方面，浮点数要求 β<≤11d ，故有l x ββ1≥，将此两者相除，便得t x x fl x -≤-121)(β 5、a ． 5960.1 b ． 5962.1 后一种准确6、最后一个计算式：00025509.0原因：避免相近数相减，避免大数相乘，减少运算次数7、a ．]!3)2(!2)2(2[2132 +++=x x x yb ．)21)(1(22x x x y ++=c ．)11(222-++=x x x yd ． +-+-=!2)2(!6)2(!4)2(!2)2(2642x x x x ye ．222qp p q y ++=8、01786.098.5521==x x9、 m )10(m f - 1 233406.0- 3 20757.0- 5 8.07 710计算宜采用：])!42151()!32141()!22131[()(2432+⨯-+⨯-+⨯--=x x x f第二章习题答案1、a ．T x )2,1,3(= b ．T x )1,2,1,2(--= c ．无法解2、a ．与 b ．同上， c ．T T x )2188.1,3125.0,2188.1,5312.0()39,10,39,17(321---≈---=7、a ．⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---14112111473123247212122123211231321213122 b ． ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----333211212110211221213231532223522121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111211212130213221219、T x )3415.46,3659.85,1220.95,1220.95,3659.85,3415.46(1= T x )8293.26,3171.7,4390.2,4390.2,3171.7,8293.26(2= 10、T LDL 分解：)015.0,579.3,9.1,10(diag D =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=16030.07895.05.018947.07.019.01L Cholesky 分解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1225.01408.10833.15811.18918.12333.12136.23784.18460.21623.3G 解：)1,1,2,2(--=x 12、16,12,1612111===∞A A A611,4083.1,61122212===∞A A A2)(940)()(12111===∞A Cond A Cond A Cond524)(748)()(22221===∞A C o n d A C o n d A C o n d⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--180.0000180.0000- 30.0000 180.0000- 192.0000 36.0000- 30.0000 36.0000- 9.0000,0.0139 0.1111- 0.0694- 0.1111- 0.0556 0.1111- 0.0694- 0.1111- 0.0139 1211A A1151.372,1666.0212211==--A A15、 1A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代不收敛； 2A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代不收敛； 3A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代收敛；第三章习题答案1、Lagrange 插值多项式：)80.466.5)(20.366.5)(70.266.5)(00.166.5()80.4)(20.3)(70.2)(00.1(7.51)66.580.4)(20.380.4)(70.280.4)(00.180.4()66.5)(20.3)(70.2)(00.1(3.38)66.520.3)(80.420.3)(70.220.3)(00.120.3()66.5)(80.4)(70.2)(00.1(0.22)66.570.2)(80.470.2)(20.370.2)(00.170.2()66.5)(80.4)(20.3)(00.1(8.17)66.500.1)(80.400.1)(20.300.1)(70.200.1()66.5)(80.4)(20.3)(70.2(2.14)(4--------⨯+--------⨯+--------⨯+--------⨯+--------⨯=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x L Newton 插值多项式：)80.4)(20.3)(70.2)(00.1(21444779.0)20.3)(70.2)(00.1(527480131.0)70.2)(00.1(855614973.2)00.1(117647059.22.14)(4----+------+-+=x x x x x x x x x x x N2、设)(x y y =，其反函数是以y 为自变量的函数)(y x x =，对)(y x 作插值多项式：)1744.0)(1081.0)(4016.0)(7001.0(01253.0)1081.0)(4016.0)(7001.0(01531.0)4016.0)(7001.0(009640.0)7001.0(3350.01000.0)(----+---+--+--=y y y y y y y y y y y N 3376.0)0(=N 是0)(=x y 在]4.0,3.0[中的近似根。

多项式插值

k i
为 f ( x) 关于 xi , x k 的一阶均差（差商）。称
xk xi 为 f ( x) 关于 xi , x j , xk 的二阶均差（差商）。称
f [ xi , x j , xk ]
f [ x j , xk ] f [ xi , x j ]
i jk
f [ x0 , x1 ,, xk ]
0 ( x) 1,
j ( x) ( x x0 )(x x1 )( x x j 1 ) ( x xi ), j 1, 2, , n
i 0
j 1
则可将 n 次插值多项式写成如下形式：
pn ( x)
a ( x)
j 0 j j
n
a0 a1 ( x x0 ) an ( x x0 )(x x1 )( x xn1 )
多项式插值
问题描述：
设 x0 , x1 ,
, xn 是 a, b 上的 n 1 个互异点，构造 n 次多
p( xi ) f ( xi ) yi , i 0,1, ,n
项式 p ( x) 满足：
多项式函数的基底为 0 ( x) 1, 1 ( x) x, , n ( x) xn ，由于
4.2.2 Newton插值公式
为了克服Lagrange插值多项式的缺点，能灵活地增加插值节点，使其具有“承袭性”，即可以充分利用已有的信息，我们引进Newton插值公式。
设已知函数 f ( x)在 [a, b]上的 n 1个互异插值节点 x0 , x1 , , xn 上的函数值 f 0 , f1 , , f n ，将基函数取作：

x0 x1 xk
f [ x0 , x1 ,, xn ] ( x x0 )(x x1 )( x xn1 )

第三章插值法 Hermite插值

(((xxxxxjjj11))222((xx xxjj11))22 ((xx ((xxjj xxjj11))22((xxjj xxjj11))22 ((
xx jj
xxnn
))22 xxnn
))22
(1 c( x x j )) l（2j x）
f ( x)
f1
求次数不超过3的多项式 P3 ( x) 使满足插值条件：
分析

P3 ( p'3
xi ) ( x1
yi ,(i ) f '1

0,1,2)
已知 ( x0 , y0 ), ( x1, y1 ), ( x2 , y2 ) 三点，由牛顿插值多项式，
可确定2次多项式，在此基础上，增加了节点，则增加三次项即
其中C为待定常数, l j ( x) (5.3)式求导，得
n
i0 i j
x xi x j xi
(5.3)

j
(
x)

cl
2 j
(
x)

2[c(
x

x
j
)

1]l
j
(
x)l j
(
x)
由 j ( x j ) 0，得
0

j
(
x
j
)

cl
2 j
(
x
j
)

2l j ( x j
)lj ( x j
(5.8)
mk 1
H3 ( x) ykk ( x) yk1 k1( x) mk k ( x) mk1k1( x) (5.9)
其中
k ( x)

高一数学(插值多项式)20131023Adoc

－ 1 －一、填充題 (20格每格5分共100分)1.已知多項式f (x )的次數不超過3次﹐且滿足f (5) = 11﹐f (6) = 8﹐f (7) = 4﹐f (8) = 5﹐求f (9) = ____________﹒17令f (x ) = (6)(7)(8)(5)(7)(8)(5)(6)(8)118)4(56)(57)(58)(65)(67)(68)(75)(76)(78)x x x x x x x x x ---------⨯+⨯+⨯--------- (5)(6)(7)5(85)(86)(87)x x x ---+⨯---﹐ 則f (9) = 32142143143211845(1)(2)(3)1(1)(2)21(1)321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯---⨯--⨯⨯-⨯⨯ = - 11 + 32 - 24 + 20 = 52 - 35 = 17﹒2.已知二次函數f (x )使函數圖形通過坐標平面上的三點A ( - 1,4)﹐B (0, - 2)﹐C (1, - 4)﹐D (3,d )﹐則d = ____________﹒4依題意知f ( - 1) = 4﹐f (0) = - 2﹐f (1) = - 4設f (x ) = A (x + 1)(x - 0) + B (x - 0)(x - 1) + C (x - 1)(x + 1) f ( - 1) = B ⨯ ( - 1) ⨯ ( - 2) = 4 ⇒ B = 2f (0) = C ⨯ ( - 1) ⨯ 1 = - 2 ⇒ C = 2f (1) = A ⨯ 2 ⨯ 1 = - 4 ⇒ A = - 2∴f (x ) = - 2(x + 1)(x - 0) + 2(x - 0)(x - 1) + 2(x - 1)(x + 1)⇒ d = f (3) = - 2 ⨯ 4 ⨯ 3 + 2 ⨯ 3 ⨯ 2 + 2 ⨯ 2 ⨯ 4 = 4﹒35432()3717880220f x x x x x x =-----，則(7)f =______.1+ 4 + 21 + 130 + 30 - 10∴(7)10f =- 4.設二次多項式f (x )﹐滿足f (111) = 12﹐f (112) = 6﹐f (113) = 4﹐求f (114) = ____________﹒6設f (x ) = a (x - 112)(x - 113) + b (x - 113) + 4﹐∵f (111) = 2a - 2b + 4 = 12﹐f (112) = - b + 4 = 6﹐∴a = 2﹐b = - 2﹐得f (x ) = 2(x - 112)(x - 113) - 2(x - 113) + 4﹐故f (114) = 2 ⨯ 2 ⨯ 1 - 2 ⨯ 1 + 4 = 6﹒5.設a ﹐b ﹐c 為相異三個實數且()()()()()()()()()()()()()x b x c x a x c x a x b f x a b c a b a c b a b c c a c b ------=⋅+⋅+⋅------﹐求f (2010) = ____________﹒2010∵deg f (x ) ≤ 2且f (a ) = a ﹐f (b ) = b ﹐f (c ) = c∴f (x ) = x故f (2010) = 2010﹒6.三次多項式f (x )﹐f (1) = 5﹐f (2) = 6﹐f (3) = 11﹐f (4) = 8﹐則f (x )除以(x - 1)(x - 2)(x - 3)之餘式為____________﹒2x 2 - 5x + 8∵deg f (x ) = 3且f (1) = 5﹐f (2) = 6﹐f (3) = 11﹐f (4) = 8﹐∴設f (x ) = a (x - 1)(x - 2)(x - 3) + b (x - 2)(x - 3) + c (x - 3) + 11﹐∵f (2) = - c + 11 = 6﹐∴c = 5﹐f (1) = 2b - 2c + 11 = 5﹐∴b = 2﹐f (4) = 6a + 2b + c + 11= 8﹐∴2a =-﹐∴所求 = 2(x - 2)(x - 3) + 5(x - 3) + 11 = 2x 2 - 5x + 8﹒7.若432432()5462(1)(1)(1)(1)f x x x x x a x b x c x d x e =-+-+=++++++++，則(,,,,)a b c d e =________，且(0.99)f -=________. (四捨五入到小數點第二位),9,25,33,18),--17.6711 6 10 16, 181 7 17 11 7 17,331 811 8, 25111, 9-+--+---+--+-----(,,,,)(1,9,25,33,18)a b c d e =-- ∴432()(1)9(1)25(1)33(1)18f x x x x x =+-+++-++432(0.99)(0.01)9(0.01)25(0.01)33(0.01)18f -=-+-+17.67≈8.已知二次多項式f (x )滿足f ( - 1) = 3﹐f (1) = 1﹐f (2) = 3﹐求f (3)的值﹒7利用二次插值公式﹐得(1)(2)(1)(2)(1)(1)()313(11)(12)(11)(12)(21)(21)x x x x x x f x --+-+-=⋅+⋅+⋅----+-+-﹒ 故214142(3)3131(2)87623f ⨯⨯⨯=⋅+⋅+⋅=+-+=-﹒9. 若432825308(1)(1)(2)(1)(2)(3)x x x x a b x c x x d x x x -+-+=+-+--+---(1)(2)(3)(4)e x x x x +----，則d =________.2308x -+1 7 18 12, 42 10 1621 5 8, 4 3 631 2,2 441, 2 abcde-+--→+-+-+→+--→+→↓∴2d =10.已知二次多項式f (x )滿足f (1)= 10﹐f (2) = 5﹐f (3) = 6﹐求f (0)的值﹒21利用二次插值公式﹐得 (2)(3)(1)(3)(1)(2)()1056(12)(13)(21)(23)(31)(32)x x x x x x f x ------=⋅+⋅+⋅------﹒ 故(02)(03)(01)(03)(01)(02)(0)105621(12)(13)(21)(23)(31)(32)f ------=⋅+⋅+⋅=------﹒ 【另解】利用牛頓插值法﹐設f (x) =a(x- 1)(x- 2) +b(x- 1) +c再將x= 1﹐2﹐3分別代入f (x)﹐得(1)10(2)5(3)226f cf b cf a b c==⎧⎪=+=⎨⎪=++=⎩解得a= 3﹐b=- 5﹐c= 10﹐即f (x) = 3(x- 1)(x- 2) - 5(x- 1) + 10故f (0) = 6 + 5 + 10 = 21﹒11.設多項式f (x)分別除以x- 1﹐x- 3﹐x- 5所得餘式依序為1﹐4﹐8﹐且f (x)除以(x- 1)(x- 3)(x- 5)的餘式為r(x)﹐求r(x)的常數項﹒18-設f (x)除以(x- 1)(x- 3)(x- 5)所得的商式為q(x)⇒f (x) = (x- 1)(x- 3)(x- 5)q(x) +r(x)且deg r(x) ≤ 2將x= 1﹐3﹐5代入上式﹐得f (1) =r(1)﹐f (3) =r(3)﹐f (5) =r(5) ∴r(1) = 1﹐r(3) = 4﹐r(5) = 8依插值公式得(3)(5)(1)(5)(1)(3)()(1)(3)(5)(13)(15)(31)(35)(51)(53)x x x x x x r x r r r ------=⨯+⨯+⨯------ r (x )的常數項(03)(05)(01)(05)(01)(03)1(0)148(13)(15)(31)(35)(51)(53)8r ------==⨯+⨯+⨯=-------﹒ 12.由於多項式函數連續﹑容易求值…等特點﹐我們常用它來模擬﹑近似其他函數﹐各種多項式的插值法因此應運而生﹒已知多項式f (x )滿足f ( - 3) = 24﹐f (1) = - 4﹐f (3) = - 6﹐試回答下列問題﹕(1)deg f (x )最低為多少﹖(2)應用「拉格朗日插值法」求此最低次多項式﹒(1)2;(2)f (x ) = x 2 - 5x(2)設f (x ) = a (x - 1)(x - 3) + b (x + 3)(x - 3) + c (x + 3)(x - 1)則f ( - 3) = ( - 4)( - 6)a = 24 ⇒ a = 11(1)(4)(2)42f b b =-=-⇒=1(3)(6)(2)62f c c ==-⇒=- 故f (x ) = x 2- 5x ﹒13.多項式f (x ) = ax 2 + bx + c 滿足f (2010) = 4﹐f (2011) = 2﹐f (2012) = 6﹐請算出此多項式﹒(1)牛頓插值法f (x) = 3(x- 2010)(x- 2011)- 2(x- 2010) + 4(2)拉格朗日插值法f (x) = 3(x- 2010)(x- 2011)+ 2(x- 2011)(x- 2012)- 2(x- 2010)(x- 2012)牛頓插值法﹕令f (x) =a(x- 2010)(x- 2011) +d(x- 2010) +e﹐f (2010) = 4 ⇒e= 4﹐f (2011) = 2 ⇒d+ 4 = 2 ⇒d=- 2﹐f (2012) = 6 ⇒ 2a- 4 + 4 = 6 ⇒a= 3﹐∴f (x) = 3(x- 2010)(x- 2011) - 2(x- 2010) + 4﹒拉格朗日插值法﹕令f (x) =a1(x- 2010)(x- 2011) +a2(x- 2010)(x- 2012) +a3(x- 2011)(x- 2012)﹐f (2010) = 4 ⇒ 2a3= 4 ⇒a3= 2﹐f (2011) = 2 ⇒-a2= 2 ⇒a2=- 2﹐f (2012) = 6 ⇒ 2a1= 6 ⇒a1= 3﹐∴f (x ) = 3(x - 2010)(x - 2011) - 2(x - 2010)(x - 2012) + 2(x - 2011)(x - 2012)﹒14.下表是某燒瓶中的水冷卻時﹐在三個時間點水溫的紀錄表﹕(1)求滿足f (5) = 77﹐f (6) = 68﹐f (8) =32的二次函數f (x )﹒(2)借用(1)中的f (x )估計當時間x = 7（分）時的水溫﹒(1)f (x ) = - 3(x - 5)(x - 6) - 9(x - 5) + 77;(2)53︒C(1)利用牛頓插值法﹐設f (x ) = a (x - 5)(x - 6) + b (x - 5) + c ﹒再將x = 5﹐6﹐8分別代入f (x )﹐得(5)77(6)68(8)6332f c f b c f a b c ==⎧⎪=+=⎨⎪=++=⎩﹒解得a =- 3﹐b = - 9﹐c = 77﹐即f (x ) = - 3(x - 5)(x - 6) - 9(x - 5) + 77﹒(2)將x = 7代入f (x )﹐得f (7) = - 6 - 18 + 77 = 53﹐即借用f (x )估計當時間x = 7（分）時的水溫為53︒C ﹒15.設432()31728113f x x x x x =-+-+，則(3)f =______，又4(3f =______.2243222(3)64(34)133810331728113(381)(31)2f x x x x x x x x x x x x =+=⇒-=⇒-+=-+-+=-+-++∴令∴4(0223f =+=。

第3节差商及Newton插值多项式

x1
)
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 )
3 ( x0 ) 3 ( x1 ) 3 ( x2 )
2
f (xj)
j0 3 ( x j )
再由数学归纳法可证得：
f [ x0 , x1 ,, xk1 , xk ]
k f (xj)
j0 k 1( x j )
性质2:差商具有对称性,即k阶差商 f[x0 , x1 , … , xk-1 , xk ] 中，任意调换 xi , xj 的次序，其值不变。
f [ x, x0 , x1, x2 ]
f [ x, x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x x2
f [x, x0 , x1] f [x0 , x1, x2 ] ( x x2 ) f [x, x0 , x1, x2 ]
f (x) f (x0 ) (x x0 ) f [x0, x1] (x x0 )(x x1) f [x0, x1, x2 ] (x x0 )(x x1)(x x2 ) f [x, x0 , x1, x2 ]
一般地，称k-1 阶差商的一阶差商
f [x0, x1,, xk1, xk ]
f [x0, x1,, xk1] f [x1, x2,, xk ] x0 xk
为f(x)关于点 x0 , x1,, xk 的 k 阶差商。
例如，已知f(x)在 x0 0.1, x1 0.3, x2 0.5 的函数值为：
因为Newton插值多项式与Lagrange插值多项式满足相同的插值条件，由插值多项式的存在唯一性知
Nn(x)=Ln(x)
因此，Newton插值多项式与Lagrange插值多项式的误差相同。这样，由
Rn( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn ) f [x, x0 , x1,, xn ]

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4、经过点(0,1)，(1,2)，(2,5)的插值多项式 P(x) （ D ）
（A） x
（B） x 1
（C） 2x 1 （D） x2 1
x 0 2 51
5、已知函数 y f (x) 的数据表
，
y 3 6 9 0
则 y f (x) 的拉格朗日插值基函数 l2 (x) （ A ）
（A） x(x 2)( x 1) （B） (x 2)( x 5)( x 1)
第三章习题
1、 n 次拉格朗日插值多项式的余项是( A )
(A) Rn (x)
f (n (n
1) ( )
1)!
n1
(
x)
(B) Rn (x)
f
(n)
n
(
!
)
n
(
x)
f (n1) ( )
(C) Rn (x) (n 1)!
(D)
Rn (x)
f (n) ( )
n!
x 0 0.5 1 1.5 2 1 1 x x 1 x 2 1 x3 3 x2 1。
2
2
22
又： R3 x f x px 满足： R0 1, R1 2, R2 3, R0 0 ，
使
xi
x
xi1 ，
令 h xi1 xi ，则： R(x)
f
'' (
2
)
(x
xi
)(x
xi1 )
，
解：对
x
[0,
2
]
，必有某个
x
i
使
xi
x
xi1 ，
令 h xi1 xi ，则： R(x)
f
'' (
2
)
(x
xi
)(x
xi1 )
，
又：
f
'' (x)
cos x
1,
max
xi x xi1
(x
xi
（A） x(x 2)( x 1) （B） (x 2)(x 1)
5(5 2)(5 1)
(5 2)(5 1)
（C） (x 5)(x 1) （D） x(x 2)
2(2 5)
1 (1 2)
7、设 P(x) 是在区间[a,b] 上的 y f (x) 的分段线性插值函数，
以下条件中不是 P(x) 必须满足的条件是（ C ）
解角 300 ,450 ,600 ,500化为弧度，分别为 , , , 5 。
6 4 3 18
按拉格朗日插值一次式,取 6 , 4 为节点，得
sin
5
18
L 1
5
18
5
18 4
1 2
5
18 6
2 0.7761 2
64
46
误差
R 1
5
18
1 2
(
sin
)
5
18
6
5
18
5(5 2)(5 1)
(0 2)(0 5)(0 1)
（C） x(x 5)( x 1) （D） x(x 2)( x 5)
2(2 5)(2 1)
1 (1 2)(1 5)
x 0 2 51
6、已知函数 y f (x) 的数据表
，
y 3 6 9 0
则求 f (2.6) 的二次拉格朗日插值基函数 l1(x) （ B ）
（A） P(x) 在[a,b] 上连续（B） P(xk ) yk （C） P(x) 在[a,b] 上可导（D） P(x) 在各子区间是线性函数
8、令解：
当
求
的一次插值多项式，并估计插值误差。
；
，介于 x 和 0，1 决定的区间内；
时，
。
9、已知： f 1 0, f 1 3, f 2 4 ，求函数 f x 过这
4
2 sin 5 0.0118
648 18
取 , 为节点，得
43
sin
5
18
L 1
5
18
5
18 3
2 2
5
18 4
3 0.7601 2
43
34
误差
R 1
5
18
1 2
(
sin
)
5
18
4
5
18
3
2
sin 0.006 595
129 6 3
取6
,
4
,
3
为节点，按拉格朗日插值二次式（3-11），
2、由数据
y 2 1.7 1 0.2 2 4.2
所确定的插值多项式是次数不大于（ D ）的多项式．
（A）二次（B）三次（C）四次（D）五次
3、经过点 A(0,1), B(1,2),C(2,3) 的插值多项式 P(x) （ B ）
（A） x
（B） x 1
（C） 2x 1 （D） x2 1
故：
x
a
h2 8
M2
M2 8
9.9104 ，
所以 x 有三位有效数字．
12、给出 f(x)=cosx，x [0, ]的一张等距步长分布的函数表,并
2
按线性插值计算任何 x [0, ]的 cosx 的值。问步长取多大才
2
能保证其截断误差绝对不超过
1
×10 4
？
2
解：对
x
[0,
2
]
，必有某个
x
i
)(
x
xi1
)
h2 4
所以： max R(x) 1 h2 1 104 h 2102 。
0x / 2
82
13、设 f x 可导， f 0 1, f 1 2, f 2 3, f 0 0 试求满足下表
的插值多项式 p x，并求余项表达式。
x
0
1
2
p x f 0 f 1 f 2
p x 0
得
sin
5
18
L 2
5
18
5
18
4
5
18
3
1 2
6 4 6 3
5
18
4
6
6
5
18
3
4
3
2 2
5
18
3
6
6
5
18
4
3
4
3 2
0.7654
误差
R 2
5
18
1 ( cos ) 5
6
18
6
5
18
4
5
18
3
3
cos 0.000767 4
34 992 6
三点的二次插值多项式 L2 x 。
解：
L2
x
x 1 11
x 2 1 2
0
x
1
1 1
x 2 1 2
3
x 1 x 1 2 12 1 4
5 x2 3 x 7 ． 6 23
10 已知特殊角300 ，450 ，600 的正弦函数分别为1 2, 2 2, 3 2 求sin 500 近似值(用一、二次方法)，并估计截断误差。
11、设有 10 到 999 之间整数的平方根表,已知10 x 999 ,利用
线性插值求 x 的近似值．试求绝对误差限并估计有效数字的位
数．（假设表上已给的函数值足够精确）
解：设
x a ，则：
x
a
h2 8
M2 ，
其中：
M2
max 10 x 999
x max 1 7.9103 ， h 1 ， 10x999 4x x
解根据插值条件， p x应该是三次多项式插值。节点 0,1, 2 上对 f x 的二
次 Lagrange 插值多项式 L2 x x 1 。记3 x xx 1x 2 。
设：
px L2 x c3 x
它显然满足表中第二行，我们可以用第三行：p0 f 0 来确定系数 c 。
实际上：
p0 L2 0 c3 0 1 2c 0