辽宁省六校协作体2020-2021学年高三上学期期中数学(文)试题

辽宁省六校协作体2020-2021学年高三上学期期中数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}|42M x x =-<<，{}2|60N x x x =--<，则M N ⋃=（ ） A ．{}|43x x -<<B ．{}|42x x -<<-C ．{}|22x x -<<D ．{}|23x x <<2．已知()()()31z m m i m R =++-∈在复平面内对应的点为P ，则P 点不可能．．．在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知2sin2,3α=则1tan tan αα+=（ ）A B C ．3 D ．24．已知(), ()f x g x ，分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g +=（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．35．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos cos sin b C c B a A +=,则角A 的值为（ ）A ．3πB ．6πC ．2πD ．23π 6．ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1b =B ．a b ⊥C ．()4a b BC -⊥D ．1a b ⋅=-7．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则以下结论正确的是（ ）A ．若m α⊥，βn//，αβ⊥，则m n ⊥B ．若//m α，βn//，//αβ，则//m nC ．若//m α，n β⊥，//αβ，则m n ⊥D ．若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则//m n 8．等差数列3log (2)x ，3log (3)x ，3log (42)x +，…的第四项等于（ ）A ．3B ．4C ．3log 18D ．3log 249．已知三棱锥A BCD -中，AB CD ==2==AC BD ，AD BC ==，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ）A ．32πB ．24πCD ．6π10．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（ ）A ．1)mB ．1)mC ．1)mD ．1)m 11．关于函数()cos cos f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在区间()0,1单调递减；③()f x 在[],ππ-有2个零点；④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论．．．．．．的编号是（ ） A ．①②④ B ．②④C ．①④D ．①③ 12．已知函数()x f x e ax =-有两个零点1x 、2x ，12x x <，则下面说法不正确．．．的是（ ） A ．122x x +>B ．121x x <C ．a e <D ．有极小值点0x ，且1202x x x +<二、填空题13．函数lg 10x y =的值域是_________. 14．若向量()()1,2,1,1a b ==-，则2a b +与a 夹角的余弦值等于_____15．下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积是________________.三、双空题16．如图，已知ABC 中，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的平分线，且1,2AB AD AC ===.则BD DC 的值为_______，ABC 的面积为_______________.四、解答题17．已知函数()22cos cos 213f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期和对称轴方程；（2）讨论函数()f x 在44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的单调性． 18．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接DE 、BD 、BE .（1）证明：//PA 平面BDE ；（2）证明：DE ⊥平面PBC .试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（3）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值． 19．辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校文科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[)100,110、[)110,120、[)120130,、[)130140,、[]140,150．（1）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数和平均数；（同一组数据用该区间的中点值作代表；中位数精确到0.01）（2）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示：从数学成绩在[]130,150的学生中随机选取2人，求选出的2人中恰好有1人数学成绩在[]140,150的概率．20．已知数列{}n a 、{}n b 满足112,1a b ==，且1111434(2)434n n n nn n a a b n b a b ----=++⎧≥⎨=++⎩（1）令,,n n n n n n c a b d a b =+=-证明：{}n c 是等差数列，{}n d 是等比数列； （2）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（3）求数列{}n a 和{}n b 的前n 项和公式．21．已知函数()11x x f x e x +=+-．（ 2.71828e = 1.64872=⋅⋅⋅）（1）讨论()f x 的单调性，并证明()f x 有且仅有两个零点；（2）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线x y e =在点()00,x A x e 处的切线也是曲线ln y x =的切线． 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是πtan (π)2y x αα=<<，曲线1C 的参数方程是cos sin x a a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2sin b ρθ=．（1）写出l 及1C 的极坐标方程；（2）已知12a =，1b =，l 与1C 交于,O M 两点，l 与2C 交于,O N 两点，求22||||||OM OM ON +的最大值．23．设0,0,0a b c >>>，1ab bc ca ++=．（1）求证：111a b c bc ca ab a b c++≥++．（2）求证：a b c ++≥参考答案1．A【解析】【分析】化简集合N ，进而求并集即可.【详解】由题意可得{}|42M x x =-<<，{}|23N x x =-<<，所以{}|43MN x x =-<<，故选：A .【点睛】本题考查集合的并集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2．B【分析】分3m <-、3m =-、31m -<<、1m =和1m 五种情况讨论，分析复数z 的实部和虚部的符号，可得出点P 可能所在的位置.【详解】当3m <-时，则30m +<，10m -<，此时复数z 所对应的点P 在第三象限； 当3m =-时，则z i =-，则复数z 所对应的点P 在y 轴上；当31m -<<时，则30m +>，10m -<，此时复数z 所对应的点P 在第四象限； 当1m =时，则4z =，此时复数z 所对应的点P 在x 轴上；当1m 时，则30m +>，10m ->，此时复数z 所对应的点P 在第一象限.因此，点P 不可能在第二象限.故选B.【点睛】本题考查复数对应点所在的象限，解题时要从复数的实部和虚部的符号来进行分析，考查分类讨论思想的应用，属于基础题.3．C【解析】1tan tan αα+=sin cos 12232cos sin sin cos sin 23ααααααα+==== ，选C. 4．C【分析】利用奇偶性及赋值法即可得到结果.【详解】由题意得：(1)(1)1f g ---=，又因为()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以(1)(1)(1)(1)1f g f g ---=+=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了奇函数与偶函数的定义在求解函数值中的应用，属于基础试题． 5．C【分析】根据正弦定理将边化角，可得()2sin sin B C A +=，由()sin sin B C A +=可求得sin A ，根据A 的范围求得结果.【详解】由正弦定理得：()2sin cos sin cos sin sin B C C B B C A +=+= A B C π++= ()()sin sin sin B C A A π∴+=-=()0,A π∈ sin 0A ∴≠ sin 1A ∴=2A π∴=本题正确选项：C【点睛】 本题考查正弦定理边角互化的应用，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式的应用，属于基础题.6．D【分析】由平面向量减法的三角形法则得出BC b =，然后利用ABC ∆的形状以及平面向量数量积来判断出各选项中命题的正误.【详解】2AB a =，2AC a b =+，2b AC a AC AB BC ∴=-=-=，2b BC ∴==， ()21111cos 212222a b AB BC AB BC B π⎛⎫⋅=⋅=⋅⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，则a 与b 不垂直， ()()()224444128a b BC a b b a b b -⋅-⋅=⋅-=⨯=--=-. 因此，D 选项正确.故选：D.【点睛】本题考查平面向量有关命题真假的判断，解题时可以充分利用平面向量加减法以及平面向量数量积的运算来进行判断，考查推理能力，属于中等题.7．C【分析】根据空间中平行与垂直关系的判定与性质定理和推论依次判断各个选项即可得到结果.【详解】m α⊥，αβ⊥ //m β∴或m β⊂，又βn// ,m n ∴可能互相平行，A 错误； 当//m α，βn//，//αβ时，,m n 可能平行、相交或异面，B 错误；n β⊥，//αβ n α∴⊥，又//m α n m ∴⊥，C 正确；若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，,m n 可能相交或异面，D 错误.故选：C【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面相关命题的辨析，考查学生对于空间中的平行与垂直位置关系的相关定理的掌握情况.8．A【解析】由()()()333log 2log 422log 3x x x ++=，得()x 40x -=，又20x >，故4x =则数列前三项依次为3log 8，3log 12，3log 18，3333d log 12log 8log 2=-=，从而第四项为333log 18log 32+= 故选A9．C【分析】 作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积.【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=，上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z ++=++=++=，=2R =，因此，此球的体积为343π⨯=⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.10．C【详解】120AC =，60sin 75AB =，sin 30sin 45AB BC=，所以sin 45602120(1)sin30sin(3045)AB BC ⨯===+.故选C. 11．A 【分析】利用偶函数的定义可判断出命题①的正误；去绝对值，利用余弦函数的单调性可判断出命题②的正误；求出函数()y f x =在区间[]0,π上的零点个数，并利用偶函数的性质可判断出命题③的正误；由()y f x =取最大值知()2,222x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，然后去绝对值，即可判断出命题④的正误. 【详解】对于命题①，函数()cos cos f x x x =+的定义域为R ，且()()cos cos f x x x -=-+-()cos cos x x f x =+=，则函数()y f x =为偶函数，命题①为真命题；对于命题②，当01x <<时，cos 0x >，则()2cos f x x =，此时，函数()y f x =在区间()0,1上单调递减，命题②正确； 对于命题③，当02x π<<时，cos 0x >，则()2cos 0f x x =>，当2x ππ≤≤时，cos 0x ≤，则()cos cos 0f x x x =-=，由偶函数的性质可知，当2x ππ-≤≤-时，()0f x =，则函数()y f x =在[],ππ-上有无数个零点，命题③错误；对于命题④，若函数()y f x =取最大值时，cos 0x ≥，则()2,222x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，()2cos f x x =，当()2x k k Z π=∈时，函数()y f x =取最大值2，命题④正确. 因此，正确的命题序号为①②④. 故选A.【点睛】本题考查与余弦函数基本性质相关的命题真假的判断，解题时要结合自变量的取值范围去绝对值，结合余弦函数的基本性质进行判断，考查推理能力，属于中等题.12．C【分析】()0,0,ln ln2m n m nm n m nm n-+<<>>≠-，由题意得出1122ln lnln lnx a xx a x=+⎧⎨=+⎩，将两式作差结合对数平均不等式可判断出A、B选项的正误，利用导数分析函数()y f x=的单调性，结合该函数的极值以及该函数有两个零点可判断出选项的正误，求出极值点，将1122ln lnln lnx a xx a x=+⎧⎨=+⎩中两等式相加可判断D选项的正误.【详解】()0,0,ln ln2m n m nm n m nm n-+<<>>≠-.()0,0,ln lnm nm n m nm n-<>>≠-，设0m n>>，即证ln lnm n-<，即证lnmn<令1t=>，即证不等式12ln t tt<-. 构造函数()()12ln1g t t t tt=-->，则()()22212110tg tt t t-'=-+=>，所以，函数()y g t=在()1,+∞上单调递增，则()()10g t g>=，∴当0m>，0n>且m n≠时，ln lnm nm n->-接下来考虑不等式()0,0,ln ln2m n m nm n m nm n-+<>>≠-，设0m n>>，即证()2ln lnm nm nm n-->+，即证21ln1mm nmnn⎛⎫-⎪⎝⎭>+，设1mtn=>，即证不等式()21ln1ttt->+.构造函数()()()21ln 11t h t t t t -=->+，则()()()()222114011t h t t t t t -=-=+'>+，所以，函数()y h t =在()1,+∞上单调递增，则()()10h t h >=，∴当0m >，0n >且m n ≠时，有ln ln m nm n->-.即当0m >，0n >且m n ≠ln ln 2m n m nm n -+<<-. 对于C 选项，()x f x e ax =-，()x f x e a '=-.①当0a ≤时，()0f x '>对于任意x ∈R 恒成立，此时函数()y f x =在R 上单调递增，该函数最多有一个零点；②当0a >时，令()0xf x e a '=-=，得ln x a =.当ln x a <时，()0f x '<，当ln x a >时，()0f x '>.所以，函数()y f x =在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增. 所以，函数()y f x =在ln x a =处取得极小值， 由于该函数有两个零点，则()()ln ln ln ln 1ln 0af a ea a a a a a a =-=-=-<，即1ln 0a -<，解得a e >，C 选项错误；对于A 、B 选项，由于函数()xf x e ax =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，由于a e >，则1>0x ，20x >，且有210x x >>，则1212x x e ax e ax ⎧=⎨=⎩，两个等式两边取自然对数得1122ln ln ln ln x a x x a x =+⎧⎨=+⎩，两式相减得1212ln ln x x x x -=-，12121ln ln x x x x -∴=-，121212ln ln 2x x x xx x -+<<-1212x x +<<，121x x ∴<，122x x +>，A 、B 选项都正确；对于D 选项，由C 选项可知，0ln x a =，将1122ln ln ln ln x a x x a x =+⎧⎨=+⎩中两个等式相加得()12122ln ln x x a x x +=+，()()1212122ln ln a x x x x x x =+->+，即1202x x x +<，D 选项正确.故选：C. 【点睛】本题考查极值点偏移的相关问题，在判断时可以利用对数平均不等式来进行判断，但在使用对数平均不等式时应该先证明出对数平均不等式，考查推理能力，属于难题. 13．(0,)+∞ 【分析】先求得函数的定义域,再由lg 10xy x ==可求得函数的值域.【详解】函数的定义域为(0,)+∞,又lg 10xy x ==,故函数lg 10xy =的值域是(0,)+∞.故答案为:(0,)+∞. 【点睛】log a b a b =(0,a >且1a ≠,0b >).14【分析】利用坐标运算求得2a b +；根据平面向量夹角公式可求得结果. 【详解】()23,3a b +=()2cos 2,322a b a a b a a b a+⋅∴<+>===⨯+【点睛】本题考查向量夹角的求解，明确向量夹角的余弦值等于向量的数量积除以两向量模长的乘积.15．8π 【分析】由三视图可知，该几何体是圆柱内挖去一个同底等高的圆锥，由三视图中数据，利用柱体与锥体的体积公式求解即可. 【详解】由三视图可知，该几何体是圆柱内挖去一个同底等高的圆锥， 圆锥与圆柱的底面半径与高分别为2与3，所以几何体的体积为221232383πππ⨯⨯-⨯⨯⨯=， 故答案为8π 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 16．121 【分析】在ABD △和ADC 中,分别由正弦定理可得sin sin AB BDADB BAD=∠∠和sin sin AC CD ADC DAC=∠∠,进而可求得BD ABDC AC =; 设BAD ∠=α,分别表示出ABD △和ADC 的面积,再由二者面积之和为ABC 的面积,可求得α的值,进而可求出答案. 【详解】在ABD △中，由正弦定理得:sin sin AB BD ADB BAD=∠∠,在ADC 中，由正弦定理得:sin sin AC CDADC DAC=∠∠,因为BAD DAC ∠=∠,sin sin BDA ADC ∠=∠,所以12BD AB DC AC ==.设BAD ∠=α,则11sin sin 233ABDSαα=⨯⨯=,12sin 233ACDSαα=⨯⨯⨯=, 112sin 22sin cos 2ABCSααα=⨯⨯⨯=,2sin cos αααα+=,解得cos 2α=,即π4α=. 故1π12sin 122ABCS=⨯⨯⨯=. 故答案为:12;1. 【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的运用,考查了三角形面积公式的运用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.17．（1）最小正周期π，对称轴方程为62k x ππ=+，k Z ∈；（2）()f x 在区间46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增；在区间64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减．【解析】分析：（1）利用二倍角公式、两角和的余弦公式化简函数表达式，再利用周期公式和整体思想进行求解；（2）利用整体思想和三角函数的单调性进行求解． 详解：（1）()22cos cos 213f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭1cos2cos2sin 2226x x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，因为2ω=，所以最小正周期2T ππω==，令2=62x k πππ++，所以对称轴方程为62k x ππ=+，k Z ∈． （2）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，设44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，，36B x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，，易知46A B ππ⎡⎤⋂=-⎢⎥⎣⎦，， 所以，当44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，()f x 在区间46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增；在区间64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减．【名师点睛】本题考查二倍角公式、两角和公式、辅助角公式、三角函数的图象和性质等知识，意在考查学生的转化能力和基本计算能力．18．（1）证明见解析；（2）证明见解析；四面体EBCD 是鳖臑，四个面的直角分别是BCD ∠、BCE ∠、DEC ∠、DEB ∠；（3）4. 【分析】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接OE ，则点O 为AC 的中点，利用中位线的性质得到//PA OE ，然后再利用直线与平面平行的判定定理可证明出//PA 平面BDE ；（2）证明出BC ⊥平面PCD ，可得出DE BC ⊥，再利用三线合一的性质得出DE PC ⊥，再利用直线与平面垂直的判定定理可得出DE ⊥平面PBC ，然后结合定义判断出四面体EBCD 是鳖臑，并写出每个面的直角；（3）利用锥体的体积公式计算出1V 和2V 的表达式，即可得出12V V 的值. 【详解】（1）连接AC ，交BD 于O 点，连接OE ，则点O 为AC 的中点， 又E 为PC 的中点，//PA OE ∴，又PA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PA 平面BDE ；（2）因为PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥.由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D ⋂=，所以BC ⊥平面PCD .DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥.又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PC BC C ⋂=，所以DE ⊥平面PBC .由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形， 即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD ∠、BCE ∠、DEC ∠、DEB ∠； （3）由已知，PD 是阳马P ABCD -的高，所以11133ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅； 由（2）知，DE 是鳖臑D BCE -的高，BC CE ⊥， 所以21136BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅. 在Rt PCD ∆中，因为PD CD =，点E 是PC的中点，所以DE CE ==， 于是212212234162BC CD PD V CD PD CD V CE DE BC CE DECD ⋅⋅⋅====⋅⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与平面平行与垂直的判定，同时也考查了锥体体积公式的应用，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.19．（1）中位数是121.67；平均数是123；（2）35. 【分析】（1）利用中位数左边矩形面积之和为0.5可求出中位数，将每个矩形底边中点值乘以相应矩形的面积，再相加可得出这100名学生语文成绩的平均数；（2）计算出数学成绩在[]130,150、[]140,150的学生人数，列举出所有的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】 （1）0.050.40.30.750.5++=>，0.750.50.25-=，∴这100名学生语文成绩的中位数是0.2513010121.670.3-⨯=. 这100名学生语文成绩的平均数是：1050.051150.41250.31350.21450.05123⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）数学成绩在[)100,140之内的人数为4130.050.40.30.210097310⎛⎫⨯++⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，∴数学成绩在[]140,150的人数为100973-=人，设为1a 、2a 、3a ，而数学成绩在[)130140,的人数为10.2100210⨯⨯=人，设为1b 、2b ， 从数学成绩在[]130,150的学生中随机选取2人基本事件为：()12,a a 、()13,a a 、()11,a b 、()12,a b 、()23,a a 、()21,a b 、()22,a b 、()31,a b 、()32,a b 、()12,b b ，共10个，选出的2人中恰好有1人数学成绩在[]140,150的基本事件为：()11,a b 、()12,a b 、()21,a b 、()22,a b 、()31,a b 、()32,a b ，共6个，∴选出的2人中恰好有1人数学成绩在[]140,150的概率是35．【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算平均数与中位数，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，考查计算能力，属于中等题.20．（1）证明见解析；（2）1122n n a n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，1122nn b n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；（3）数列{}n a 的前n 项和为21122n n n S n =++-，数列{}n b 的前n 项和为21122n n n T n =+-+.【分析】（1）在等式()11114342434n n n n n n a a b n b a b ----=++⎧≥⎨=++⎩中将两式分别相加或相减，利用等差数列的定义可证明出数列{}n c 是等差数列，利用等比数列的定义可证明出数列{}n d 为等比数列； （2）求出数列{}n c 、{}n d 的通项公式，可建立关于n a 、n b 的方程组，解出n a 、n b ，即可得出数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（3）利用分组求和法可求出数列{}n a 和{}n b 的前n 项和. 【详解】（1）()11114342434n n n nn n a a b n b a b ----=++⎧≥⎨=++⎩，将上述两等式相加得()()11448n n n n a b a b --+=++，即112n n n n a b a b --+=++，因此()122n n c c n --=≥，又1113c a b =+=， 所以数列{}n c 是首项为3，公差为2的等差数列，()32121n c n n ∴=+-=+. 又由题设得()()1142n n n n a b a b ---=-，即()112n n n n a b a b ---=-， 因此()1122n n d d n -=≥，又1111d a b =-=， 所以数列{}n d 是首项为1，公比为12的等比数列，1111122n n n d --⎛⎫⎛⎫∴=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）由（1）知21n c n =+，112n n d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，即12112n n n n n a b n a b -+=+⎧⎪⎨⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1122nn a n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，1122nn b n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；（3）设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ， 则1211111112222222n n S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22111111112212112222222212n n n n n n n n n n ⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭=++++++++=++=++- ⎪⎝⎭-，同理可得21122n n n T n =+-+.【点睛】本题考查利用定义证明等差数列和等比数列，以及利用分组求和法求和，解题时要熟悉分组求和法对数列通项结构的要求，考查计算能力，属于中等题. 21．（1）单调递增，证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出函数()y f x =的定义域为{}1x x ≠，利用导数得出函数()y f x =在(),1-∞和()1,+∞上均为增函数，并利用零点存在定理得出函数()y f x =在()1,+∞上有一个零点1x ，得出11111x x e x +=-，再证明出1x -也满足方程11xx e x +=-，从而得出函数()y f x =有两个零点；（2）由题意得出00011x x ex +=-，利用这个关系式得出函数ln y x =在点()00,xe x --处的切线斜率为0e x ，从而证明出题中结论. 【详解】（1）函数()y f x =的定义域为{}1x x ≠，()()2201xf x e x '=+>-，所以，函数()y f x =在(),1-∞、()1,+∞上单调递增.又()2230f e =->，323502f e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭.所以，函数()y f x =在区间()1,+∞有唯一零点1x ，即()10f x =，即11111xx e x +=-. 又11x -<-，()111111111110111x x x x f x e x x x -----=+=+=+++，因此，函数()y f x =在区间(),1-∞有唯一零点1x -. 综上所述，()y f x =有且仅有两个零点； （2）因为00ln x ex -=- ，所以点()00,x B e x --在曲线ln y x =上.由题设()00f x =，即00011x x e x +=-. 所以直线AB 的斜率0000000000000111.111x x x x x e x x x k e x x e x x x -+++-+====----+ 因为曲线xy e =在点()00,x A x e处切线的斜率是0e x ，曲线ln y x =在点()0,x B ex --处切线的斜率也是0e x ，因此，曲线xy e =在点()00,x A x e处的切线也是曲线ln y x =的切线.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，同时也考查了利用零点存在定理判断零点的存在性以及利用导数研究两函数的公切线问题，考查推理论证能力，属于难题. 22．（1）l ：π(,π)2θαρα=∈<<R ．1C ：2cos a ρθ=．（21 【分析】（1）把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入tan y x α=可得l 的极坐标方程;由1C 的参数方程可得1C 的普通方程,进而可求出它的极坐标方程;（2）结合（1）,将l 的极坐标方程分别与1C ,2C 的极坐标方程联立,可求得||,||OM ON ,进而结合三角函数的性质,可求出22||||||OM OM ON +的最大值.【详解】解：（1）把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入tan y x α=得πtan tan (π)2θαα=<<， 所以l 的极坐标方程是π(,π)2θαρα=∈<<R ． 1C 的普通方程是2220x y ax +-=，其极坐标方程是2cos a ρθ=．（2）1C ：cos ρθ=，2C ：2sin ρθ=，θα=分别代入1C ，2C 得||cos OM α=-，||2sin ON α=．所以22π2||||||2cos 2cos sin 1cos 2sin 22)14OM OM ON αααααα+=-=+-=-+． 因为ππ2α<<，所以7ππ3π2444α-<-<-,则当7π8α=时，π3π242α-=-,此时πsin(2)14α-+1.所以22||||||OM OM ON +1. 【点睛】本题考查了普通方程、极坐标方程及参数方程间的转化,考查了利用极坐标方程求交点问题,考查了学生的计算能力,属于基础题. 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【分析】（1）由基本不等式可得到,2a b bc ca c +≥=，2b c ca ab a+≥=，2a c bc ab b+≥=，三个式子相加可得到结论; （2）由2222222()2222a b c a b c ab bc ca a b c ++=+++++=+++,再结合基本不等式证明()22222222a b c ab bc ac ++≥++=,进而可得到结论.【详解】证明：（1）因为0,0,0a b c >>>,所以2a b bc ca c+≥=，2b c ca ab a +≥=，2a c bc ab b+≥=，当且仅当a b c bc ca ab ==,即a b c ==时,等号成立.三个式子相加得,11122a b c bc ca ab a b c ⎛⎫⎛⎫++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故111a b c bc ca ab a b c++≥++． （2）由题意,()()()()22222222222222a b c a b b c a c ab bc ac ++=+++++≥++=,当且仅当a b c ==时,等号成立.所以2221a b c ++≥.因为2222222()2222a b c a b c ab bc ca a b c ++=+++++=+++．所以2()3a b c ++≥，即a b c ++≥【点睛】本题考查了不等式的证明,考查了基本不等式的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于中档题.。