高三一轮复习等差数列(一)
高考数学第一轮复习:《等差数列》
高考数学第一轮复习:《等差数列》最新考纲1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系.【教材导读】1.“a ,A ,b 是等差数列”是“A =a +b2”的什么条件? 提示:充分必要条件.2.如何推导等差数列的通项公式? 提示:可用累加法.3.如何推导等差数列的前n 项和公式? 提示:利用倒序相加法推导.1.等差数列的相关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为a n -a n -1=d (n ≥2,n ∈N *,d 为常数).(2)等差中项:若a ,A ,b 成等差数列,则A 叫做a 与b 的等差中项,且A =a +b2. 2.等差数列的通项公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1,公差为d ,则其通项公式为a n =a 1+(n -1)d . (2)通项的推广:a n =a m +(n -m )d . 3.等差数列的前n 项和公式(1)已知等差数列{a n }的首项a 1和第n 项a n ,则其前n 项和公式S n =n (a 1+a n )2.(2)已知等差数列{a n }的首项a 1与公差d ,则其前n 项和公式S n =na 1+n (n -1)2d .4.等差数列{a n }的性质(1)若m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q (其中m ,n ,p ,q ∈N *),特别地,若p +q =2m ,则a p +a q =2a m (p ,q ,m ∈N *).(2)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…成等差数列. (3)若下标成等差数列,则相应的项也成等差数列,即a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)成等差数列.(4)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 2n -1=(2n -1)a n . 5.等差数列的增减性与最值公差d >0时为递增数列,且当a 1<0时,前n 项和S n 有最小值;d <0时为递减数列,且当a 1>0时,前n 项和S n 有最大值.6.等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1)d 可得a n =dn +(a 1-d ),如果设p =d ,q =a 1-d ,那么a n =pn +q ,其中p ,q 是常数.当p ≠0时,(n ,a n )在一次函数y =px +q 的图象上,即公差不为零的等差数列的图象是直线y =px +q 上的均匀排开的一群孤立的点.当p =0时,a n =q ,等差数列为常数列,此时数列的图象是平行于x 轴的直线(或x 轴)上的均匀排开的一群孤立的点.【重要结论】1.等差数列{a n }中,若a m =n ,a n =m ,则a m +n =0. 2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m =S n (m ≠n ), 则S m +n =0.3.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m =n ,S n =m , 则S m +n =-(m +n ).1.已知数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,若⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n +1为等差数列,则a 11等于( )(A)0 (B)12 (C)23(D)2B 解析:由已知可得1a 3+1=13,1a 7+1=12分别是等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n +1 的第3项和第7项,其公差d =12-137-3=124,由此可得1a 11+1=1a 7+1+(11-7)d =12+4×124=23.解之得a 11=12. 2.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为( ) (A)1 (B)2 (C)4(D)8C解析:设等差数列{an }的公差为d ,∴⎩⎨⎧a 1+3d +a 1+4d =24,6a 1+6×52d =48,∴d =4,故选C.3.首项为24的等差数列,从第10项开始为负数,则公差d 的取值范围是( ) (A)(-3,+∞) (B)-∞,-83 (C)-3,-83(D)-3,-83D 解析:由题意知a 9≥0,a 10<0, ∴a 9=a 1+8d =24+8d ≥0,d ≥-3. a 10=a 1+9d =24+9d <0,d <-83. 综上知-3≤d <-83.故选D.4.设等差数列{a n }的前10项和为20,且a 5=1,则{a n }的公差为( ) (A)1 (B)2 (C)3(D)4B 解析:等差数列{a n }的前10项和为20,所以S 10=10(a 1+a 10)2=5(a 1+a 10)=5(a 5+a 6)=20.所以a 6=4-a 5=3.则{a n }的公差为a 6-a 5=3-1=2.故选B.5.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=3,S 5=25,则a 8=( ) (A)16(B)15(C)14 (D)13B 解析:设公差为d ,由a 2=3,S 5=25可得a 1+d =3,5a 1+5×42d =25 ∴a 1=1,d =2,则a 8=a 1+7d =15.考点一 等差数列的基本量运算(1)已知等差数列{a n }中,a 1010=3,S 2017=2017,则S 2018=( ) (A)2018 (B)-2018 (C)-4036(D)4036(2)已知等差数列{a n }满足a 2=3,S n -S n -3=51(n >3),S n =100,则n 的值为( ) (A)8 (B)9 (C)10(D)11(3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2=4,S 10=110,则S n +64a n的最小值为( ) (A)7 (B)152 (C)172(D)8解析:(1)由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得: S 2017=a 1+a 20172×2017=2a 10092×2017=2017a 1009=2017,则a 1009=1,据此可得:S 2018=a 1+a 20182×2018=1009(a 1009+a 2010)=1009×4=4036.故选D.(2)由S n -S n -3=51得,a n -2+a n -1+a n =51, 所以a n -1=17,又a 2=3,S n =n (a 2+a n -1)2=100,解得n =10.(3)设{a n }的公差为d ,由a 2=4,S 10=110得⎩⎨⎧a 1+d =4,10a 1+10×92d =110,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,d =2,故a n =2+2(n -1)=2n , S n =2n +n (n -1)2×2=n 2+n . 所以S n +64a n=n 2+n +642n=n 2+32n +12≥2n 2·32n +12=172,当且仅当n 2=32n ,即n =8时取等号.故选C.【反思归纳】 等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a 1,d ,n ,a n ,S n 五个量,可知三求二.解决这些问题一般设基本量a 1,d ,利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解,体现方程思想.(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题,一般是等差数列的性质和等差数列求和公式S n =n (a 1+a n )2结合使用,体现整体代入的思想.【即时训练】 (1)若等差数列{a n }的前5项和S 5=25,且a 2=3,则a 7=( ) (A)12 (B)13 (C)14(D)15(2)已知在等差数列{a n }中,a 1=20,a n =54,S n =3 700,则数列的公差d ,项数n 分别为( )(A)d =0.34,n =100 (B)d =0.34,n =99 (C)d =3499,n =100(D)d =3499,n =99(3)《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题:把100个面包分给5个人,使每个人的所得成等差数列,且使较大的三份之和的17是较小的两份之和,则最小的一份的量为( )(A)52(B)54(C)53 (D)56解析:(1)B 由题意得S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=25,a 3=5,公差d =a 3-a 2=2,a 7=a 2+5d=3+5×2=13.故选B.(2)C由⎩⎪⎨⎪⎧a n =a 1+(n -1)d S n =na 1+n (n -1)d 2,得⎩⎪⎨⎪⎧54=20+(n -1)d ,3700=20n +n (n -1)d 2,解得d =3499,n =100.故选C.(3)C 易得中间的那份为20个面包,设最小的一份为a 1,公差为d ,根据题意,有[20+(a 1+3d )+(a 1+4d )]×17=a 1+(a 1+d ),解得a 1=53.故选C.考点二 等差数列的判断与证明已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和,b n =S nn (n ∈N *).求证:数列{b n }是等差数列. 证明:设等差数列{a n }的公差为d , 则S n =na 1+12n (n -1)d , ∴b n =S n n =a 1+12(n -1)d .法一:b n +1-b n =a 1+12nd -a 1-12(n -1)d =d2(常数), ∴数列{b n }是等差数列.法二:b n +1=a 1+12nd ,b n +2=a 1+12(n +1)d , ∴b n +2+b n =a 1+12(n +1)d +a 1+12(n -1)d =2a 1+nd =2b n +1. ∴数列{b n }是等差数列.【反思归纳】 判定数列{a n }是等差数列的常用方法 (1)定义法:对任意n ∈N *,a n +1-a n 是同一个常数;(2)等差中项法:对任意n ≥2,n ∈N *,满足2a n =a n +1+a n -1; (3)通项公式法:数列的通项公式a n 是n 的一次函数;(4)前n 项和公式法:数列的前n 项和公式S n 是n 的二次函数,且常数项为0.【即时训练】 已知数列{a n }的首项a 1=1,且点(a n ,a n +1)在函数f (x )=x4x +1的图象上,b n =1a n(n ∈N *).(1)求证:数列{b n }是等差数列,并求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)试问数列{a n }中a k ·a k +1(k ∈N *)是否仍是{a n }中的项?如果是,请指出是数列的第几项;如果不是,请说明理由.解:(1)证明:由已知得a n +1=a n 4a n +1,1a n +1=4+1a n,∴1a n +1-1a n=4,即b n +1-b n =4, ∴数列{b n }是以1为首项,4为公差的等差数列, ∴数列{b n }的通项公式为b n =1+4(n -1)=4n -3. 又b n =1a n ,故数列{a n }的通项公式为a n =14n -3.(2)由(1)可得a k ·a k +1=14k -3·14(k +1)-3=116k 2-8k -3=14(4k 2-2k )-3, ∵4k 2-2k =2k (2k -1)∈N *,∴a k ·a k +1∈{a n },所以a k ·a k +1是数列{a n }中的项,是第4k 2-2k 项. 考点三 等差数列的性质(1)设数列{a n },{b n }都是等差数列,且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100,则a 37+b 37等于( )(A)0(B)37(C)100 (D)-37(2)等差数列{a n}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值是()(A)20 (B)22(C)24 (D)-8(3)等差数列{a n}的前m项和为30,前3m项和为90,则它的前2m项和为________.解析:(1)设{a n},{b n}的公差分别为d1,d2,则(a n+1+b n+1)-(a n+b n)=(a n+1-a n)+(b n+1-b n)=d1+d2,所以{a n+b n}为等差数列.又a1+b1=a2+b2=100,所以{a n+b n}为常数列.所以a37+b37=100.(2)因为a1+3a8+a15=5a8=120,所以a8=24,所以2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.(3)由S m,S2m-S m,S3m-S2m成等差数列,可得2(S2m-S m)=S m+S3m-S2m,即S2m=3S m+S3m3=3×30+903=60.答案:(1)C(2)C(3)60【反思归纳】一般地,运用等差数列性质可以优化解题过程,但要注意性质运用的条件,如m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q(m,m,p,q∈N*).【即时训练】(1)等差数列{a n}中,a1+a7=26,a3+a9=18,则数列{a n}的前9项和为()(A)66 (B)99(C)144 (D)297(2)设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和,且a1>0,若S5=S9,则当S n最大时,n等于()(A)6 (B)7(C)8 (D)9(3)在等差数列{a n}中,S n为前n项和,2a7=a8+5,则S11=()(A)55 (B)11(C)50 (D)60解析:(1)由a1+a7=2a4=26,得a4=13.由a3+a9=2a6=18,得a6=9.S 9=9(a 1+a 9)2=9(a 4+a 6)2=99.故选B.(2)因为S 5=S 9, 所以a 6+a 7+a 8+a 9=0. 又a 6+a 9=a 7+a 8, 所以a 7+a 8=0, 又a 1>0, 所以a 7>0,a 8<0.所以当n =7时S n 最大.故选B.(3)由2a 7=a 8+5,a 6=5,S 11=(a 1+a 11)·112=11a 6=55.故选A.答案:(1)B (2)B (3)A等差数列的最值问题教材源题:已知等差数列5,427,347,…的前n 项和为S n ,求使得S n 最大的序号n 的值. 解:由题意知,等差数列5,427,347,…的公差为-57, 所以S n =n 22×5+(n -1)-57 =75n -5n 214=-514n -1522+1 12556.于是,当n 取与152最接近的整数即7或8时,S n 取最大值.【规律总结】 求等差数列的前n 项和S n 的最值时,需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件.若对称轴取不到,需考虑最接近对称轴的自变量n (n 为正整数);若对称轴对应两个正整数的中间,此时应有两个符合题意的n 值.【源题变式】 等差数列{a n }的首项a 1>0,设其前n 项和为S n ,且S 5=S 12,则当n 为何值时,S n 有最大值?解:法一 设等差数列{a n }的公差为d , 由S 5=S 12得5a 1+10d =12a 1+66d ,d =-18a 1<0. 所以S n =na 1+n (n -1)2d =na 1+n (n -1)2·-18a 1 =-116a 1(n 2-17n ) =-116a 1n -1722+28964a 1,因为a 1>0,n ∈N *,所以n =8或n =9时,S n 有最大值. 法二 设等差数列{a n }的公差为d ,同法一得 d =-18a 1<0.设此数列的前n 项和最大,则⎩⎨⎧a n ≥0,a n +1≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧a n =a 1+(n -1)·-18a 1≥0,a n +1=a 1+n ·-18a 1≤0,解得⎩⎨⎧n ≤9,n ≥8,即8≤n ≤9,又n ∈N *,所以当n =8或n =9时,S n 有最大值.课时作业基础对点练(时间:30分钟)1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若6a 3+2a 4-3a 2=5,则S 7=( ) (A)28 (B)21 (C)14(D)7D 解析:解法一 由6a 3+2a 4-3a 2=5,得6(a 1+2d )+2(a 1+3d )-3(a 1+d )=5a 1+15d =5(a 1+3d )=5,即5a 4=5,所以a 4=1,所以S 7=7×(a 1+a 7)2=7×2a 42=7a 4=7,故选D.解法二 由6a 3+2a 4-3a 2=5,得6(a 4-d )+2a 4-3(a 4-2d )=5, 即5a 4=5,所以a 4=1,所以S 7=7×(a 1+a 7)2=7×2a 42=7a 4=7,故选D.2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 11=22,则a 3+a 7+a 8=( ) (A)18 (B)12 (C)9(D)6D 解析:设等差数列{a n }的公差为d ,由题意得S 11=11(a 1+a 11)2=11(2a 1+10d )2=22,即a 1+5d =2,所以a 3+a 7+a 8=a 1+2d +a 1+6d +a 1+7d =3(a 1+5d )=6,故选D.3.等差数列{a n }中,已知a 5>0,a 4+a 7<0,则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) (A)S 7 (B)S 6 (C)S 5(D)S 4C 解析:∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4+a 7=a 5+a 6<0,a 5>0,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0,a 6<0,∴S n 的最大值为S 5.故选C.4.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 11=22,a 4=-12,如果当n =m 时,S n 最小,那么m 的值为( )(A)10 (B)9 (C)5(D)4C 解析:解法一 设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎨⎧11a 1+11×102d =22,a 1+3d =-12,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-33,d =7.所以S n =-33n +n (n -1)2×7=72n 2-73n 2=72⎝ ⎛⎭⎪⎫n -73142-72×⎝ ⎛⎭⎪⎫73142,因为n ∈N *,所以当n =5时,S n 取得最小值,故选C.解法二 设等差数列{a n }的公差为d .由已知得11(a 1+a 11)2=22,所以11a 6=22,解得a 6=2,所以d =a 6-a 42=7,所以a n =a 4+(n -4)d =7n -40,所以数列{a n }是单调递增数列,又a 5=-5<0,a 6=2>0,所以当n =5时,S n 取得最小值,故选C.5.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中,甲所得为( )(A)54钱 (B)43钱 (C)32钱(D)53钱B 解析:依题意,设甲所得为a 1,公差为d ,则a 1+a 2=a 3+a 4+a 5=52,即2a 1+d =3a 1+9d =52,解得a 1=43,∴甲得43钱.故选B.6.公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 6=3a 4,且S 10=λa 4,则λ的值为( ) (A)15 (B)21 (C)23(D)25D 解析:由题意有:a 1+5d =3(a 1+3d )⇒a 1=-2d ,λ=S 10a 4=10a 1+10×92d a 1+3d=25,故选D.7.在数列{a n }中,若a 1=1,a n +1=a n +2(n ≥1),则该数列的通项a n =________. 解析:∵a n +1-a n =2(n ≥1),∴{a n }为等差数列,∴a n =1+(n -1)×2,即a n =2n -1. 答案:2n -1.8.(2019苏北四市一模)在等差数列{a n }中,已知a 2+a 8=11,则3a 3+a 11的值为________. 解析:设等差数列{a n }的公差为d ,由题意可得a 2+a 8=11=2a 5,则a 5=112,所以3a 3+a 11=3(a 5-2d )+a 5+6d =4×112=22.答案:229.由正数组成的等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,且a n b n =2n -13n -1,则S 5T 5=________.解析:由S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3,T 5=5(b 1+b 5)2=5b 3,得S 5T 5=a 3b 3=2×3-13×3-1=58.答案:5810.在等比数列{a n }中,a 2=3,a 5=81. (1)求a n ;(2)设b n =log 3a n ,求数列{b n }的前n 项和S n . 解:(1)设{a n }的公比为q ,依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q =3,a 1q 4=81,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,q =3.因此,a n =3n -1.(2)因为b n =log 3a n =n -1,所以数列{b n }的前n 项和S n =n (b 1+b n )2=n 2-n 2.能力提升练(时间:15分钟)11.今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,问:几何日相逢?( )(A)12日 (B)16日 (C)8日(D)9日D 解析:由题易知良马每日所行里数构成一等差数列,其通项公式为a n =103+13(n -1)=13n +90,驽马每日所行里数也构成一等差数列,其通项公式为b n =97-12(n -1)=-12n +1952,二马相逢时所走路程之和为2×1 125=2 250,所以n (a 1+a n )2+n (b 1+b n )2=2 250,即n (103+13n +90)2+n ⎝ ⎛⎭⎪⎫97-12n +19522=2 250,化简得n 2+31n -360=0,解得n =9或n =-40(舍去),故选D.12.已知数列{a n +1-a n }是公差为2的等差数列,且a 1=1,a 3=9,则a n =________. 解析:数列{a n +1-a n }是公差为2的等差数列,且a 1=1,a 3=9,∴a n +1-a n =(a 2 -1)+2(n -1), a 3-a 2 =(a 2-1)+2,∴3-a 2=(a 2-1)+2,∴a 2=1. ∴a n +1-a n =2n -2,∴a n =2(n -1)-2+2(n -2)-2+……+2-2+1=2×(n -1)n2-2(n -1)+1=n 2-3n +3. ∴a n =(n 2-3n +3)2.n =1时也成立. 则a n =(n 2-3n +3)2. 答案:(n 2-3n +3)2.13.等差数列{a n }中,a 1=12 015,a m =1n ,a n =1m (m ≠n ),则数列{a n }的公差d =________. 解析:因为a m =12 015+(m -1)d =1n ,a n =12 015+(n -1)d =1m ,所以(m -n )d =1n -1m ,所以d =1mn ,所以a m =12 015+(m -1)1mn =1n ,解得1mn =12015,即d =12015.答案:1201514.设同时满足条件:①b n +b n +22≤b n +1(n ∈N +);②b n ≤M (n ∈N +,M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界”数列.(1)若数列{a n }为等差数列,S n 是其前n 项和:a 3=4,S 3=18,求S n ; (2)判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列,并说明理由.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,则a 1+2d =4,S 3=a 1+a 2+a 3=3a 1+3d =18, 解得a 1=8,d =-2,∴S n =na 1+n (n -1)2d =-n 2+9n .(2){S n }是“特界”数列,理由如下:由S n +S n +22-S n +1=(S n +2-S n +1)-(S n +1-S n )2=a n +2-a n +12=d 2=-1<0,得S n +S n +22<S n +1,故数列{S n }适合条件①.而S n =-n 2+9n =-⎝ ⎛⎭⎪⎫n -922+814(n ∈N +),则当n =4或5时,S n 有最大值20,即S n ≤20,故数列{S n }适合条件②.综上,数列{S n }是“特界”数列.15.(2019南昌模拟)已知数列{a n }满足a 1=1,a n =a n -12a n -1+1(n ∈N *,n ≥2),数列{b n }满足关系式b n =1a n(n ∈N *).(1)求证:数列{b n }为等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式. (1)证明:因为b n =1a n,且a n =a n -12a n -1+1,所以b n +1=1a n +1=1a n 2a n +1=2a n +1a n .所以b n +1-b n =2a n +1a n-1a n=2.又b 1=1a 1=1,所以数列{b n }是首项为1,公差为2的等差数列. (2)解:由(1)知数列{b n }的通项公式为 b n =1+(n -1)×2=2n -1, 又b n =1a n,所以a n =1b n=12n -1.所以数列{a n}的通项公式为a n=1.2n-1。
高三数学等差数列1
求和
Sn=a1+a2+a3+…+an (项较少时用之方便)
s1
an=
sn
sn1
n 1
( 项和关系式)
n2
Sn
1 2
n(a1
an )
1 2
(a2
an1 )
1
1
na1 2 n(n 1)d nan 2 n(n 1)d
d 2
n2
(a1
d 2
等差数列(1)
等差等比抓首公;看清下标用性质。 五个元素三基本;求和项数很重要。 细心翻译常联想;心中公式是关键。
定义:
a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=d
0增
d
0常
0减
判断 :
1、定义法:an-an-1=d
2、递推公式:an-an-1= an+1-an 2an=an-1 +an+1
80a1+a2+..+ak,ak+1+ak+2+…a2k,…
(3) {an}是正数等比数列,则数列{logan}
在数列{an}中,a1=1,a2=2/3,且 1/an-1+1/an+1=2/an(n>1)则这个数 列的通项公式
利用递推公式判断{1/an}是 等差数列
通项公 式: an=a1+(n-1)d (迭代或累加)
4、递增数列{an}中,若 a2+a4=16,a1.a5=28,则an=?
5、数列{an}中,a1=2,an+1 -an=3n(n∈N*),则数列的通项 为an=?
高考数学一轮复习《等差数列》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《等差数列》练习题(含答案)一、单选题1.若3与13的等差中项是4与m 的等比中项,则m =( ) A .12B .16C .8D .202.在等差数列{}n a 中,49a =,且2410,,a a a 构成等比数列,则公差d 等于( ) A .3-B .0C .3D .0或33.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若7614,10S a ==,则{}n a 的公差为( ) A .4B .3C .2D .14.已知数列{}n a ,{}n b 均为等差数列,且125a =,175b =,22120a b +=,则3737a b +的值为( ) A .760B .820C .780D .8605.在等差数列{an }中,若a 2+2a 6+a 10=120,则a 3+a 9等于( ) A .30B .40C .60D .806.在明朝程大位《算法统宗》中有首依筹算钞歌:“甲乙丙丁戊己庚,七人钱本不均平,甲乙念三七钱钞,念六一钱戊己庚,惟有丙丁钱无数,要依等第数分明,请问先生能算者,细推详算莫差争.”题意是:“现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人,他们手里钱不一样多,依次成等差数列,已知甲、乙两人共237钱,戊、己、庚三人共261钱,求各人钱数.”根据上题的已知条件,戊有( ) A .107钱B .102钱C .101钱D .94钱7.已知数列{an }是首项为1a ,公差为d 的等差数列,前n 项和为Sn ,满足4325a a =+,则S 9=( ) A .35B .40C .45D .50 8.正项等比数列{}n a 中,5a ,34a ,42a -成等差数列,若212a =,则17a a =( ) A .4B .8C .32D .649.已知{}n a 是公差不为零的等差数列,2414a a +=,且126,,a a a 成等比数列,则公差为( ) A .1B .2C .3D .410.设等差数列{}n a 的公差为d ,10a >,则“50a >”是“0d >”的( )A .充要条件B .必要不充分条件C .充分不必要条件D .既不充分也不必要条件11.设等差数列 {}n a 的前n 项和为n S ,若3710a a += ,则9S = ( ) A .22.5B .45C .67.5D .9012.在等差数列{}n a 中n S 为前n 项和,7624a a =- ,则9S =( ) A .28 B .30C .32D .36二、填空题13.记n S 为等差数列{n a }的前n 项和,若24a =,420S =,则9a =_________.14.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若4a ,5S ,{}750S ∈-,,则n S 的最小值为__________.15.已知数列{}n a 中,11a =,()1121n n n n a a n a na ++⋅=+-,则通项公式n a =______. 16.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若30a =,636S S =+,则7S =_____. 三、解答题17.已知等差数列{}n a 满足32a =,前4项和47S =. (1)求{}n a 的通项公式;(2)设等比数列{}n b 满足23b a =,415b a =,数列{}n b 的通项公式.18.已知等差数列{}n a 满足首项为3331log 15log 10log 42-+的值,且3718a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T .19.记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知221nn S n a n+=+. (1)证明:{}n a 是等差数列;(2)若479,,a a a 成等比数列,求n S 的最小值.20.已知在n的展开式中,前3项的系数成等差数列,求:(1)展开式中二项式系数最大项的项; (2)展开式中系数最大的项; (3)展开式中所有有理项.21.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知535S =,且4a 是1a 与13a 的等比中项,数列{}n b 的前n 项和245n T n n =+.(1)求数列{}{}n n a b 、的通项公式; (2)若14a <,对任意*n ∈N 总有1122111444n nS b S b S b λ+++≤---恒成立,求实数λ的最小值.22.这三个条件中任选一个,补充在下面题目条件中,并解答.①25a =,()11232,n n n S S S n n *+--+=≥∈N ;②25a =,()111322,n n n n S S S a n n *+--=--≥∈N ;③()132,12n n S S n n n n *--=≥∈-N . 问题:已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a =,且___________.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)已知n b 是n a 、1n a +的等比中项,求数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T参考答案1.B2.D3.A4.B5.C7.C8.D9.C10.B11.B12.D 13.18 14.6- 15.21nn - 16.717.(1)设等差数列{}n a 首项为1a ,公差为d .∵3427a S =⎧⎨=⎩∴()1122441472a d a d +=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩解得:1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩∴等差数列{}n a 通项公式()11111222n a n n =+-⨯=+(2)设等比数列{}n b 首项为1b ,公比为q∵2341528b a b a ==⎧⎨==⎩∴13128b q b q ⋅=⎧⎨⋅=⎩ 解得:24q =即112b q =⎧⎨=⎩或112b q =-⎧⎨=-⎩ ∴等比数列{}n b 通项公式12n n b -=或()12n n b -=--18.(1)根据题意得,13331log 15log 10log 42a =-+333331533log log log log 2log 211022⎛⎫=+=+=⨯= ⎪⎝⎭,因为数列{}n a 是等差数列,设公差为d ,则由3718a a +=,得112618a d a d +++=,解得2d =,所以()11221n a n n =+-⨯=-.(2)由(1)可得1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭,所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 19.(1)因为221nn S n a n +=+,即222n n S n na n+=+①,当2n ≥时,()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②,①-②得,()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----, 即()12212211n n n a n na n a -+-=--+,即()()()1212121n n n a n a n ----=-,所以11n n a a --=,2n ≥且N*n ∈, 所以{}n a 是以1为公差的等差数列. (2)[方法一]:二次函数的性质由(1)可得413a a =+,716a a =+,918a a =+,又4a ,7a ,9a 成等比数列,所以2749a a a =⋅,即()()()2111638a a a +=+⋅+,解得112a =-,所以13n a n =-,所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭, 所以,当12n =或13n =时,()min 78n S =-. [方法二]:【最优解】邻项变号法由(1)可得413a a =+,716a a =+,918a a =+,又4a ,7a ,9a 成等比数列,所以2749a a a =⋅,即()()()2111638a a a +=+⋅+,解得112a =-, 所以13n a n =-,即有1123210,0a a a a <<<<=.则当12n =或13n =时,()min 78n S =-. 20.(1)n展开式的通项公式为1C kn kk k nT -+=⋅3561C 2n kk n k x -=,依题意得122112C 1C 22n n ⋅⋅=+⋅,即2C 4(1)n n =-,得8n =,所以8的展开式有9项,二项式系数最大的项为5项,所以22433584135C 28T x x ==. (2)由(1)知,2456181C 2kk k k T x -+=,设展开式中系数最大的项为第1k +项,则1881188111C C 2211C C 22k k k k k k k k --++⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩,即()()()()()()8!8!2!8!1!9!8!8!2!8!1!7!k k k k k k k k ⎧≥⋅⎪⋅--⋅-⎪⎨⎪⋅≥⎪⋅-+⋅-⎩,即92228k k k k -≥⎧⎨+≥-⎩,解得23k ≤≤,所以2k =或3k =, 所以展开式中系数最大的项为737x 和327x . (3)由2456181C 2kk k k T x -+=(0,1,2,3,4,5,6,7,8)k =为有理项知,2456k -为整数,得0k =,6.所以展开式中所有有理项为4x 和716x. 21.(1)设等差数列{}n a 的公差为d , 由535S =得151035a d +=, 因为4a 是1a 与13a 的等比中项,所以()()2111312a d a a d +=+.化简得172a d =-且2123a d d =,解方程组得17,0a d ==或13,2a d==.故{}n a 的通项公式为7n a =或21n a n =+(其中N n *∈);因为245n T n n =+,所以214(1)5(1)n T n n -=-+-,(2)n ≥,所以22145[4(1)5(1)]81n n n b T T n n n n n -=-=+--+-=+,因为119b T ==,满足上式,所以()81N n b n n *=+∈;(2)因为14a <,所以21n a n =+, 所以(2)n S n n =+,所以221114488141n n S b n n n n ==-+---,所以22211221111114442141(2)1n n S b S b S b n +++=+++------1111335(21)(21)n n =+++⨯⨯-+111111123352121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭, 易见111221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭随n 的增大而增大,从而11112212n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭恒成立, 所以12λ≥,故λ的最小值为12.22.(1)解:选条件①时,25a =,1123n n n S S S +--+=,整理得()()113n n n n S S S S +----=,故13n n a a +-=(常数),且213a a -=, 所以数列{}n a 是以2为首项,3为公差的等差数列.故()13131n a a n n =+-=-;选条件②时,25a =,()*111322,n n n n S S S a n n +--=--≥∈N ,整理得()1112n n n n n S S S S a +---=--,故112n n n a a a +-+=,故数列{}n a 是等差数列,公差213d a a =-=,故()13131n a a n n =+-=-; 选条件③时,()*132,12n n S S n n n n --=≥∈-N ,且121S =, 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项,32为公差的等差数列,则()33121222n S n n n =+-=+,所以23122n S n n =+,则2n ≥时,131n n n a S S n -=-=-.又112311a S ===⨯-满足31n a n =-,所以31n a n =-,*n ∈N . (2)解:由(1)得:31n a n =-,由于n b 是n a 、1n a +的等比中项,所以()()213132n n n b a a n n +==-+⋅,则()()211111313233132n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭, 故()11111111113255831323232232n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭。
高考数学一轮复习课件5.2等差数列
• (1)(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中, 已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11= ()
•A.58 D.176
B.88
C.143
•(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知前6 项和为36,最后6项的和为180,Sn=324(n >6),则a9+a10=
【尝试解答】 (1)S11=11(a12+a11)=11(a42+a8)= 88.
法二 同法一得d=-53.
又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0. ∴5a13=0,即a13=0. ∴当n=12或13时,Sn有最大值, 且最大值为S12=S13=130.
求等差数列前n项和的最值常用的方法
(1)先求an,再利用
an≥0
aห้องสมุดไป่ตู้+1≤0
或
an≤0
an+1≥
0
求出其正负转折
•【思路点拨】 (1)由S2=a3求{an}的公差d, 进而代入求a2与Sn; •(2)易求d=-2,从而可求an;求出Sn后,根 据方程Sk=-35,求k值.
【尝试解答】 (1)由 S2=a3,得 a1+a2=a3,
∴d=a3-a2=a1=12,
因此 a2=a1+d=1,Sn=n42+n4.
【答案】
【解析】 设自上第一节竹子容量为a1,则第9节 容量为a9,且数列{an}为等差数列.
则aa71++aa82++aa93=+3aa4=1+42a11+d=6d4=. 3,
解之得a1=1232,d=676,故a5=a1+4d=6676.
【答案】
67 66
2021届高三数学总复习第一轮——等差数列
等差数列高考大纲思维导图讲义导航知识梳理一、等差数列的定义如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示二、等差数列的通项公式等差数列是常见数列的一种,数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,已知等差数列的首项a1,公差d,那么第n项为a n=a1+(n﹣1)d,或者已知第m项为a m,则第n项为a n=a m+(n﹣m)d.三、等差数列的性质(1)若公差d>0,则为递增等差数列;若公差d<0,则为递减等差数列;若公差d=0,则为常数列;(2)有穷等差数列中,与首末两端“等距离”的两项和相等,并且等于首末两项之和;(3)m,n∈N+,则a m=a n+(m﹣n)d;(4)若s,t,p,q∈N*,且s+t=p+q,则a s+a t=a p+a q,其中a s,a t,a p,a q是数列中的项,特别地,当s+t=2p时,有a s+a t=2a p;(5)若数列{a n},{b n}均是等差数列,则数列{ma n+kb n}仍为等差数列,其中m,k均为常数.(6)a n,a n﹣1,a n﹣2,…,a2,a1仍为等差数列,公差为﹣d.(7)从第二项开始起,每一项是与它相邻两项的等差中项,也是与它等距离的前后两项的等差中项,即2a n+1=a n+a n+2,2a n=a n﹣m+a n+m,(n≥m+1,n,m∈N+)(8)a m,a m+k,a m+2k,a m+3k,…仍为等差数列,公差为kd(首项不一定选a1).四、等差数列的求和公式等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和的公式:①()12nnn a aS+=;②()112nn nS na d-=+.五、等差数列最值求解等差数列前n项和的最值问题可转化为项的正负问题,也可转化为二次函数最值问题.例题讲解一、等差数列定义的理解例1.下面数列中,是等差数列的有( ) ①4,5,6,7,8…②3,0,-3,0,-6,…③0,0,0,0…④110,210,310,410,… A .1个 B .2个C .3个D .4个例2.下列数列中不是等差数列的为( ) A.0,0,0,0,0 B.0,1-,2-,3-,4- C.2,3,4,5,6 D.0,1,2,1,0二、等差数列通项公式例1.在等差数列{}n a 中,已知32a =,5815a a +=,则10(a = ) A .64 B .26C .18D .13例2.在等差数列{}n a 中,214a =,55a =,则公差(d = )A .2-B .3-C .2D .3例3.已知{}n a 是等差数列,124a a +=,7828a a +=,则公差等于( ) A .2 B .4 C .6 D .8三、等差数列的性质例1.等差数列{}n a 中,已知21016a a +=,则468(a a a ++= ) A .16 B .20 C .24 D .28例2.等差数列{}n a 中,若4681012120a a a a a ++++=,则91113a a -的值是( )A .14B .15C .16D .17例3.已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=,则8a 的取值范围是( )A .(2,4)B .(,2)-∞C .(2,)+∞D .(4,)+∞四、等差数列的求和公式例1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若33S a =,且30a ≠,则43(S S = ) A .1B .53C .83D .3例2.等差数列{}n a 中,14739a a a ++=,36927a a a ++=,则数列{}n a 前9项的和9S 等于( ) A .99 B .66C .144D .297例3.设{}n a 是任意等差数列,它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为X ,Y ,Z ,则下列等式中恒成立的是( )A .23X Z Y +=B .44X Z Y +=C .237X Z Y +=D .86X Z Y +=六、等差数列最值求解例1.已知等差数列{}n a 中,39a a =,公差0d <,则使其前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是( ). A.4或5 B.5或6 C.6或7 D.不存在例2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=−3,S 5=−10,则a 5=__________,S n 的最小值_______.例3.在各项均为正数的等比数列{a n }中,214a =,且a 4+a 5=6a 3.练习A1.下列说法中正确的是( )A.若a ,b ,c 成等差数列,则222,,a b c 成等差数列B.若a ,b ,c 成等差数列,则222log ,log ,log a b c 成等差数列C.若a ,b ,c 成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列D.若a ,b ,c 成等差数列,则2,2,2a b c 成等差数列2.已知下列各数列,其中为等差数列的个数为( ) 1 4,5,6,7,8,... 2 3,0,-3,0,-6,... 3 0,0,0,0, (4)1234,,,,10101010… A.1 B.2C.3D.43.已若{}n a 是等差数列,则由下列关系确定的数列{}n b 也一定是等差数列的是( )A. 2n n b a =B. 2n n b a n =+C. 1n n n b a a +=+D. n n b na =4.已知数列{}n a 为等差数列,且39a =,53a =,则9a 等于( )A .9-B .6-C .3-D .275.已知等差数列{}n a 中,1232a a a ++=,3456a a a ++=,则91011a a a ++的值为( ) A .18 B .16 C .14 D .126.等差数列{}n a 中,若46101290a a a a +++=,则10141(3a a -= )A .15B .30C .45D .607.等差数列{}n a 中,31a =-,1117a =-,则7a 等于( )A .9-B .8-C .92-D .4-8.在等差数列{}n a 中,公差为12,1359960a a a a +++⋯+=,则246100(a a a a +++⋯+= ) A .60 B .70 C .75 D .859.已知等差数列{}n a 满足12910a a a ++⋯+=,则有( )A .3890a a +=B .2900a a +<C .1910a a +>D .4646a =10.已知数列{}n a 为等差数列,且17132a a a π++=,则7tan (a = )A.BC. D.11.已知0a >,0b >,并且1a ,12,1b成等差数列,则9a b +的最小值为( ) A .16 B .9C .5D .412.等差数列{}n a 中,已知21016a a +=,则468(a a a ++= ) A .16 B .20C .24D .2813.在等差数列{}n a 中,若4681012120a a a a a ++++=,则10122a a -的值为( ) A .20 B .22C .24D .2814.等差数列{}n a 中,156a a +=,65a =,那么9a 的值是( ) A .7- B .7 C .113-D .11315.已知等比数列{}n a 中,各项都是正数,且1321,,22a a a 成等差数列,则8967a a a a ++等于( )A.1+B.1-C.3+D.3-16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若33S a =,且30a ≠,则43(S S = ) A .1B .53C .83D .317.设等差数列{}n a 的前n 项和n S ,若4104a a +=,则13(S = ) A .13 B .14C .26D .5218.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5(S = ) A .5 B .7C .9D .1019.在等差数列{}n a 中,若351024a a a ++=,则此数列的前13项的和等于( ) A .8 B .13C .16D .2620.在等差数列{}n a 中,若14739a a a ++=,36927a a a ++=,则9(S = ) A .66 B .99C .144D .29721.已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若312S =,244a a +=,则6(S = ) A .6 B .12C .15D .1822.等差数列{}n a 前n 项和为n S ,111a =-,466a a +=-.则当n S 取最小值时,(n = ) A .6 B .7C .8D .923.数列{}n a 的通项公式为2328n a n n =-,则数列{}n a 各项中最小项是( )A .第4项B .第5项C .第6项D .第7项24.已知数列{}n a 是等差数列,若91130a a +<,10110a a <,且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值,那么当n S 得最小正值时,n 等于( ) A .20 B .17 C .19 D .2125.已知n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和,且564S S S >>,以下有四个命题:①数列{}n a 中的最大项为10S ②数列{}n a 的公差0d < ③100S >④110S <其中正确的序号是( )A .②③B .②③④C .②④D .①③④26.在等差数列{}n a 中,128a =-,公差4d =,若前n 项和n S 取得最小值,则n 的值为( ) A .7 B .8C .7或8D .8或927.数列{}n a 是首项为111a =,公差为2d =-的等差数列,那么使前n 项和n S 最大的n 值为( ) A .4 B .5C .6D .7练习B1.设{}n a 为等差数列,则下列数列中,成等差数列的个数为( )①2{}na ②{}n pa ③{}n pa q + ④{}(n na p 、q 为非零常数) A .1 B .2C .3D .42.等差数列{}n a 的公差0d >,前n 项和为n S ,则对2n >时有( ) A .1nn S a a n<< B .1nn S a a n <<C .1n n Sa a n<<D .1,,n n Sa a n的大小不确定3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,在同一个坐标系中,()n a f n =及()n S g n =的部分图象如图所示,则( )A .当4n =时,n S 取得最大值B .当3n =时,n S 取得最大值C .当4n =时,n S 取得最小值D .当3n =时,n S 取得最小值4.已知数列{}n a 是等差数列,n S 为其前n 项和.若3916S S =,则612(S S = )A .110B .310C .510D .7105.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足100S >,110S <,则下列数值最大的是( )A .4SB .5SC .6SD .7S6.等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ,若3221n n S n T n -=+,则77(ab = ) A .3727B .3828C .3929D .40307.一个有限项的等差数列,前4项之和为40,最后4项之和是80,所有项之和是210,则此数列的项数为( ) A .10 B .12 C .14 D .168.已知点(n ,*)()n a n N ∈都在直线3240x y --=上,那么在数列n a 中有79(a a += )A .790a a +>B .790a a +<C .790a a +=D .790a a =9.已知等差数列{}n a 满足3243a a =,则{}n a 中一定为零的项是( )A .6aB .8aC .10aD .12a10.在等差数列{}n a 中,15a =,470a a +=,则数列{}n a 中为正数的项的个数为( ) A .4 B .5 C .6 D .711.已知数列{}n a 中,132(3n n a a ++= *)n N ∈,且356820a a a a +++=,那么10a 等于( ) A .8 B .5 C .263D .712.若等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,记nn S b n=,则( ) A .数列{}n b 是等差数列,{}n b 的公差也为dB .数列{}n b 是等差数列,{}n b 的公差为2dC .数列{}n n a b +是等差数列,{}n n a b +的公差为dD .数列{}n n a b -是等差数列,{}n n a b -的公差为2d13.等差数列{}n a 中,已知113a =,254a a +=,33n a =,则n 为( )A .48B .49C .50D .5114.若等差数列的首项是24-,且从第10项开始大于零,则公差d 的取值范围是( )A .83d > B .3d < C .833d < D .833d <15.在数列{}n a 中,若1332()n n a a n N +=+∈,且247920a a a a +++=,则10a 为( ) A .5 B .7C .8D .1016.等差数列{}n a 前n 项和为n S ,111a =-,466a a +=-.则当n S 取最小值时,(n = ) A .6 B .7C .8D .917.在各项均为正数的等比数列{}n a 中,63a =,则48(a a += )A .有最小值6B .有最大值6C .有最大值9D .有最小值318.已知实数序列1a ,2a ,⋯,n a 满足:任何连续3项之和均为负数,且任何4项之和均为正数,则n 的最大值是( ) A .4 B .5C .6D .719.已知n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和,且564S S S >>,以下有四个命题:①数列{}n a 中的最大项为10S ②数列{}n a 的公差0d < ③100S >④110S <其中正确的序号是( )A .②③B .②③④C .②④D .①③④20.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中,如果21a =,那么这个数列前3项的和3S 的取值范围是( )A .(-∞,1]-B .[1,)+∞C .[2,)+∞D .[3,)+∞21.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且110a =,56S S ,下列四个命题中,假命题是( )A .公差d 的最大值为2-B .70S <C .记n S 的最大值为K ,K 的最大值为30D .20162017a a >练习C1.已知||0x y >>.将四个数,,x x y x y -+( )A .当0x >时,存在满足已知条件的x ,y ,四个数构成等比数列B .当0x >时,存在满足已知条件的x ,y ,四个数构成等差数列C .当0x <时,存在满足已知条件的x ,y ,四个数构成等比数列D .当0x <时,存在满足已知条件的x ,y ,四个数构成等差数列2.等差数列{}n a 的公差0d >,前n 项和为n S ,则对2n >时有( )A .1nn S a a n<< B .1nn S a a n<<C .1nn S a a n<< D .1,,nn S a a n的大小不确定3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,在同一个坐标系中,()n a f n =及()n S g n =的部分图象如图所示,则( )A .当4n =时,n S 取得最大值B .当3n =时,n S 取得最大值C .当4n =时,n S 取得最小值D .当3n =时,n S 取得最小值4.等差数列,的前项和分别为,,若,则 A . B .C .D .5.在等差数列中,,其前项和为,若,则 A . B .C .2008D .20096.设为等差数列,则下列数列中,成等差数列的个数为① ② ③ ④、为非零常数) A .1 B .2 C .3 D .47.设表示等差数列的前项和,已知,那么等于 A .B .C .D .8.等差数列中,,,则该数列前项之和为{}n a {}n b n n S n T 231n n S n T n =+(n na b =)232131n n --2131n n ++2134n n -+{}n a 12007a =-n n S 20082006220082006S S -=2009(S =)2009-2008-{}n a ()2{}na {}n pa {}n pa q +{}(n na p q n S {}n a n 51013S S =1020SS ()193101813{}n a 1m a k =1()k a m k m=≠mk ()A .B .C .D .9.设数列为等差数列,其前项和为,已知,,若对任意,都有成立,则的值为A .22B .21C .20D .1910.设等差数列的公差为,前项和为.若,则的最小值为 A .10 B .C .D .二.填空题(共2小题) 11.在等差数列中,,若它的前项和有最大值,则使取得最小正数的 19 .12.已知两个等差数列、的前项和分别为和,若,则使为整数的正整数的个数是 5个 .课后练习1.等差数列中,若,则 .2.设等差数列的前项和为,若,,则 0 ,的最小值为 .3.等差数列中,,,则取最大值时, 6或7 .4.已知等差数列的前项和为,能够说明“若数列是递减数列,则数列是递减数列”是假命题的数列的一个通项公式为 (答案不唯一) .5.设等差数列的前项和为,若,,则数列的公差等于 .6.若等差数列满足,则12mk-2mk12mk +12mk+{}n a n n S 14799a a a ++=25893a a a ++=*n N ∈n k S S k (){}n a d n n S 11a d ==8n nS a +()927212+{}n a 11101a a <-n n S n S n ={}n a {}n b n n A n B 7453n n A n B n +=+n na b {}n a 31110a a +=678a a a ++={}n a n n S 23a =-510S =-5a =n S {}n a 10a >49S S =n S n ={}n a n n S {}n a {}n S {}n a 27n a n =-+{}n a n n S 1122S =71a ={}n a 1-{}n a 1461,52a a a =+=2019a =20192二.解答题(共3小题)7.在等差数列中,已知,,. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)求.8.设等差数列满足,. (1)求的通项公式;(2)求的前项和及使得最大的序号的值.9.已知为等差数列,,. ( I ) 求数列的通项公式以及前项和. (Ⅱ)求使得的最小正整数的值.{}n a 1312a a +=2418a a +=*n N ∈{}n a 3693n a a a a +++⋯+{}n a 35a =109a =-{}n a {}n a n n S n S n {}n a 112a =-562a a ={}n a n n S 14n S >n。
高三数学数列知识点复习 等差数列一教案
城东蜊市阳光实验学校第三课时等差数列一、复习目的:1、理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式、前n项和公式并能解决实际问题;2、理解等差中项的概念,掌握等差数列的性质并能灵敏运用。
二、重难点:理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式、前n项和公式并能解决实际问题;理解等差中项的概念,掌握等差数列的性质,灵敏运用等差数列的性质解题.会求等差数列的公差、求项、求值、求S最值等通常运用等差数列的有关公式及其性质.和、求n三、教学方法:讲练结合,归纳总结,稳固强化。
四、教学过程〔一〕、谈最新考纲要求及高考命题考察情况,促使积极参与。
数列在历年高考都占有很重要的地位,一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。
对于本节来讲,客观性题目主要考察数列、等差数列及等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等根本知识和根本性质的灵敏应用,对根本的计算技能要求比较高。
〔1〕题型以等差数列及等比数列的公式、性质的灵敏应用为主的1~2道客观题目;〔2〕关于等差数列,等比数列的实际应用问题或者者知识交汇题的解答题也是重点;〔二〕、知识梳理,方法定位〔学生完成以下填空,教师准对问题讲解〕1.等差数列的概念:假设一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数d,这个数列叫做等差数列,常数d称为等差数列的公差.2.通项公式与前n项和公式⑴通项公式d n a a n )1(1-+=,1a 为首项,d 为公差.⑵前n 项和公式2)(1n na a n S +=或者者d n n na S n )1(211-+=. 3.等差中项:假设b A a ,,成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ,A ,b 成等差数列.4.等差数列的断定方法: ⑴定义法:d a a n n =-+1〔+∈N n ,d 是常数〕⇔{}n a 是等差数列;⑵中项法:212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质: ⑴数列{}n a 是等差数列,那么数列{}p a n +、{}n pa 〔p 是常数〕都是等差数列;⑵在等差数列{}n a 中,等间隔取出假设干项也构成一个等差数列,即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列,公差为kd .⑶d m n a a m n)(-+=;b an a n +=(a ,b 是常数);bn an S n +=2(a ,b 是常数,0≠a )⑷假设),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ,那么q p n m a a a a +=+;⑸假设等差数列{}n a 的前n 项和n S ,那么⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列;⑹当项数为)(2+∈N n n ,那么nn a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶;当项数为)(12+∈-N n n,那么nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. 6.等差数列中求n S 最值的方法:〔1〕、不等式组法;〔2〕、性质法;〔3〕、二次函数配方法。
高考一轮复习 等差数列 知识点+例题+练习
自主梳理1.等差数列的有关定义(1)一般地,如果一个数列从第____项起,每一项与它的前一项的____等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为____________ (n ∈N *,d 为常数).(2)数列a ,A ,b 成等差数列的充要条件是____________,其中A 叫做a ,b 的____________.2.等差数列的有关公式(1)通项公式:a n =____________,a n =a m +__________ (m ,n ∈N *).(2)前n 项和公式:S n =______________=________________.3.等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n =d 2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2n . 数列{a n }是等差数列的充要条件是其前n 项和公式S n =____________.4.等差数列的性质(1)若m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则有________________,特别地,当m +n =2p 时,________________.(2)等差数列中,S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列.(3)等差数列的单调性:若公差d >0,则数列为________;若d <0,则数列为__________;若d =0,则数列为____________.自我检测1. 已知等差数列{a n }中,a 5+a 9-a 7=10,记S n =a 1+a 2+…+a n ,则S 13的值为________.2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3=6,a 3=4,则公差d =________.3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 9=72,则a 2+a 4+a 9=________.4.若等差数列{a n }的前5项之和S 5=25,且a 2=3,则a 7=________.学生姓名教师姓名 班主任 日期时间段 年级 课时 教学内容 等差数列及其前n 项和教学目标 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等差数列与一次函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.重点 等差数列性质、公式灵活应用难点同上5.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 5a 3=59,则S 9S 5=________.探究点一 等差数列的基本量运算例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10=30,a 20=50,(1)求通项a n ;(2)若S n =242,求n .变式迁移1 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),它的前10项和S 10=110,且a 1,a 2,a 4成等比数列,求公差d 和通项公式a n .探究点二 等差数列的判定例2 已知数列{a n }中,a 1=35,a n =2-1a n -1 (n ≥2,n ∈N *),数列{b n }满足b n =1a n -1(n ∈N *).(1)求证:数列{b n }是等差数列;(2)求数列{a n }中的最大值和最小值,并说明理由.变式迁移2 已知数列{a n }中,a 1=5且a n =2a n -1+2n -1(n ≥2且n ∈N *).(1)求a 2,a 3的值.(2)是否存在实数λ,使得数列{a n +λ2n }为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.探究点三 等差数列性质的应用例3 若一个等差数列的前5项之和为34,最后5项之和为146,且所有项的和为360,求这个数列的项数.变式迁移3 已知数列{a n }是等差数列.(1)前四项和为21,末四项和为67,且前n 项和为286,求n ;(2)若S n =20,S 2n =38,求S 3n ;(3)若项数为奇数,且奇数项和为44,偶数项和为33,求数列的中间项和项数.探究点四 等差数列的综合应用例4 已知数列{a n }满足2a n +1=a n +a n +2 (n ∈N *),它的前n 项和为S n ,且a 3=10,S 6=72.若b n =12a n -30,求数列{b n }的前n 项和的最小值.变式迁移4 在等差数列{a n }中,a 16+a 17+a 18=a 9=-36,其前n 项和为S n .(1)求S n 的最小值,并求出S n 取最小值时n 的值.(2)求T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |.1.等差数列的判断方法有:(1)定义法:a n +1-a n =d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列.(2)中项公式:2a n +1=a n +a n +2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.(3)通项公式:a n =pn +q (p ,q 为常数)⇔{a n }是等差数列.(4)前n 项和公式:S n =An 2+Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列.2.对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n 项和公式,在两个公式中共五个量a 1、d 、n 、a n 、S n ,已知其中三个量可求出剩余的量,而a 与d 是最基本的,它可以确定等差数列的通项公式和前n 项和公式.3.要注意等差数列通项公式和前n 项和公式的灵活应用,如a n =a m +(n -m )d ,S 2n -1=(2n -1)a n 等.4.在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为①a ,a +d ,a +2d ;②a -d ,a ,a +d ;③a -d ,a +d ,a +3d 等可视具体情况而定.一、填空题1.已知{a n }为等差数列,a 3+a 8=22,a 6=7,则a 5=______.2.如果等差数列{}a n 中,a 3+a 4+a 5=12,那么a 1+a 2+…+a 7=________.3.已知{a n }是等差数列,a 1=-9,S 3=S 7,那么使其前n 项和S n 最小的n 是________.4.在等差数列{a n }中,若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,则a 9-13a 11的值为________.5.等差数列{a n }的前n 项和满足S 20=S 40,下列结论中正确的序号是________. ①S 30是S n 中的最大值;②S 30是S n 中的最小值;③S 30=0;④S 60=0.6.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 3=3,S 6=24,则a 9=________.7.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a m -1+a m +1-a 2m =0,S 2m -1=38,则m =________.8.在数列{a n }中,若点(n ,a n )在经过点(5,3)的定直线l 上,则数列{a n }的前9项和S 9=________.二、解答题9.设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列,它的前10项和S 10=110,且a 22=a 1a 4.(1)证明:a 1=d ;(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式.10.已知等差数列{a n}满足:a3=7,a5+a7=26,{a n}的前n项和为S n.(1)求a n及S n;(2)令b n=1a2n-1(n∈N*),求数列{b n}的前n项和T n. 11.在数列{a n}中,a1=1,3a n a n-1+a n-a n-1=0(n≥2).(1)证明数列{1a n}是等差数列;(2)求数列{a n}的通项;(3)若λa n+1a n+1≥λ对任意n≥2的整数恒成立,求实数λ的取值范围.。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案等差数列及其前n项和1
第二节 等差数列及其前n 项和等差数列(1)理解等差数列的概念.(2)掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题. (4)了解等差数列与一次函数的关系. 知识点一 等差数列的有关概念1.定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列.符号表示为a n +1-a n =d (n ∈N +,d 为常数).2.等差中项:数列a ,A ,b 成等差数列的充要条件是A =a +b2,其中A 叫作a ,b 的等差中项.易误提醒1.要注意概念中的“从第2项起”.如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起,每一项与它前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列.2.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别.[自测练习]1.现给出以下几个数列:①2,4,6,8,…,2(n -1),2n ;②1,1,2,3,…,n ;③常数列a ,a ,a ,…,a ;④在数列{a n }中,已知a 2-a 1=2,a 3-a 2=2.其中等差数列的个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:①由4-2=6-4=…=2n -2(n -1)=2,得数列2,4,6,8,…,2(n -1),2n 为等差数列;②因为1-1=0≠2-1=1,所以数列1,1,2,3,…,n 不是等差数列;③常数列a ,a ,a ,…,a 为等差数列;④当数列{a n }仅有3项时,数列{a n }是等差数列,当数列{a n }的项数超过3项时,数列{a n }不一定是等差数列.故等差数列的个数为2.答案:B2.若2,a ,b ,c,9成等差数列,则c -a =________. 解析:由题意得该等差数列的公式d =9-25-1=74,所以c -a =2d =72.答案:72知识点二 等差数列的通项及求和公式 等差数列的有关公式(1)通项公式:a n =a 1+(n -1)d . (2)前n 项和公式:S n =na 1+n (n -1)2d =(a 1+a n )n2. 必记结论1.巧用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d ,(n ,m ∈N +).(2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n ,(k ,l ,m ,n ∈N +),则a k +a l =a m +a n . (3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N +)是公差为md 的等差数列.(4)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列.2.前n 项和公式S n =d2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2n 视为关于n 的一元二次函数,开口方向由公差d 的正负确定;S n =(a 1+a n )n2中(a 1+a n )视为一个整体,常与等差数列性质结合利用“整体代换”思想解题.[自测练习]3.(2016·日照模拟)已知数列{a n }为等差数列,且a 1=2,a 2+a 3=13,那么a 4+a 5+a 6等于( )A .40B .42C .43D .45解析:设等差数列公差为d ,则有a 2+a 3=2a 1+3d =4+3d =13,解得d =3,故a 4+a 5+a 6=3a 5=3(a 1+4d )=3×(2+4×3)=42,故选B.答案:B4.(2015·兰州诊断)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 4=18-a 5,则S 8=( ) A .18 B .36 C .54D .72解析:由S 8=8×(a 1+a 8)2,又a 4+a 5=a 1+a 8=18,∴S 8=8×182=72.答案:D5.数列{a n }是公差不为0的等差数列,且a 2+a 6=a 8,则S 5a 5=________.解析:在等差数列中,由a 2+a 6=a 8得2a 1+6d =a 1+7d ,即a 1=d ≠0, 所以S 5a 5=5a 1+5×42d a 1+4d =5a 1+10da 1+4d =155=3.答案:3考点一 等差数列的基本运算|1.(2015·高考全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5=( ) A .5 B .7 C .9 D .11解析:法一:数列{a n }为等差数列,设公差为d ,∴a 1+a 3+a 5=3a 1+6d =3,∴a 1+2d =1,∴S 5=5a 1+5×42×d =5(a 1+2d )=5.法二:数列{a n }为等差数列,∴a 1+a 3+a 5=3a 3=3,∴a 3=1,∴S 5=5(a 1+a 5)2=5×2a 32=5.答案:A2.等差数列{a n }中,a 1=12 015,a m =1n ,a n =1m (m ≠n ),则数列{a n }的公差d 为________.解析:∵a m =12 015+(m -1)d =1n ,a n =12 015+(n -1)d =1m ,∴(m -n )d =1n -1m ,∴d =1mn ,∴a m =12 015+(m -1)1mn =1n ,解得1mn =12 015,即d =12 015. 答案:12 0153.(2015·通州模拟)已知等差数列{a n }中,a 2=-2,公差d =-2,那么数列{a n }的前5项和S 5=________.解析:将已知条件代入公式易得S 5=5(a 2-d )+5×42d =-20.答案:-20等差数列的基本运算的两个解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用,而a 1和d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知量和未知量是常用方法.考点二 等差数列的判断与证明|已知数列{a n }满足(a n +1-1)(a n -1)=3(a n -a n +1),a 1=2,令b n =1a n -1.(1)证明:数列{b n }是等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式. [解] (1)证明:1a n +1-1-1a n -1=a n -a n +1(a n +1-1)(a n -1)=13,∴b n +1-b n =13,∴{b n }是等差数列.(2)由(1)及b 1=1a 1-1=12-1=1,知b n =13n +23,∴a n -1=3n +2,∴a n =n +5n +2.等差数列的四种判定方法(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证a n -a n -1为同一常数; (2)等差中项法:验证2a n -1=a n +a n -2(n ≥3,n ∈N *)成立; (3)通项公式法:验证a n =pn +q ; (4)前n 项和公式法:验证S n =An 2+Bn .1.已知数列{a n }中,a 1=35,a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),数列{b n }满足b n =1a n -1(n ∈N *).求证:数列{b n }是等差数列. 证明:∵a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),b n =1a n -1, ∴当n ≥2时,b n -b n -1=1a n -1-1a n -1-1=12-1a n -1-1-1a n -1-1=a n -1a n -1-1-1a n -1-1=1. 又b 1=1a 1-1=-52,∴数列{b n }是以-52为首项,1为公差的等差数列.考点三 等差数列的性质及最值|(1)(2016·泉州质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 5+a 14=10,则S 18=( )A .20B .60C .90D .100[解析] 因为{a n }是等差数列,所以S 18=18(a 1+a 18)2=9(a 5+a 14)=90,故选择C.[答案] C(2)(2015·广州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2,项数是偶数,所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为25,则这个数列的项数为( )A .10B .20C .30D .40[解析] 本题考查等差数列的性质.这个数列的项数为2n ,于是有2×n =25-15=10,2n =10,即这个数列的项数为10,故选A.[答案] A(3)已知在等差数列{a n }中,a 1=31,S n 是它的前n 项的和,S 10=S 22. ①求S n ;②这个数列前多少项的和最大?并求出这个最大值.[解] ①∵S 10=a 1+a 2+…+a 10, S 22=a 1+a 2+…+a 22,又S 10=S 22,∴a 11+a 12+…+a 22=0, 即12(a 11+a 22)2=0,即a 11+a 22=2a 1+31d =0. 又a 1=31,∴d =-2.∴S n =na 1+n (n -1)2d =31n -n (n -1)=32n -n 2.②法一:由①知,S n =32n -n 2=-(n -16)2+256, ∴当n =16时,S n 有最大值256. 法二:由①知,令⎩⎪⎨⎪⎧a n =31+(n -1)·(-2)=-2n +33≥0,a n +1=31+n ·(-2)=-2n +31≤0(n ∈N *),解得312≤n ≤332,∵n ∈N *,∴n =16时,S n 有最大值256.求等差数列前n 项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数,借助二次函数的单调性以及数形结合的思想,从而使问题得解.(2)通项公式法:求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可.一般地,等差数列{a n }中,若a 1>0,且S p =S q (p ≠q ),则:①若p +q 为偶数,则当n =p +q 2时,S n 最大;②若p +q 为奇数,则当n =p +q -12或n =p +q +12时,S n 最大.2.(2015·深圳调研)等差数列{a n }中,已知a 5>0,a 4+a 7<0,则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A .S 7B .S 6C .S 5D .S 4解析:∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4+a 7=a 5+a 6<0,a 5>0,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0,a 6<0,∴S n 的最大值为S 5. 答案:C3.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 3=3,S 6=18,则a 8=________.解析:等差数列性质可得S 3=3,S 6-S 3=15,S 9-S 6=a 7+a 8+a 9=3a 8成等差数列,故有2(S 6-S 3)=S 3+S 9-S 6⇒2×15=3+3a 8,解得a 8=9.答案:917.整体思想在等差数列中的应用【典例】 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 1=1,S 4S 2=4,则S 6S 4的值为( )A.94 B.32 C.53D .4[思路点拨] 若利用a ,d 基本计算较繁,可考虑S 2,S 4-S 2,S 6-S 4成等差数列,采用整体求值较简便.[解析] 由等差数列的性质可知S 2,S 4-S 2,S 6-S 4成等差数列,由S 4S 2=4,得S 4-S 2S 2=3,则S 6-S 4=5S 2,所以S 4=4S 2,S 6=9S 2,S 6S 4=94.[答案] A[方法点评] 利用整体思想解数学问题,就是从全局着眼,由整体入手,把一些彼此独立但实际上紧密联系的量作为一个整体考虑的方法.有不少等差数列题,其首项、公差无法确定或计算烦琐,对这类问题,若从整体考虑,往往可寻得简捷的解题途径.[跟踪练习] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 10=10,S 20=30,则S 30=________. 解析:∵S 10,S 20-S 10,S 30-S 20成等差数列, 且S 10=10,S 20=30,S 20-S 10=20, ∴S 30-S 20=10+2×10=30, ∴S 30=60.答案:60A 组 考点能力演练1.已知等差数列{a n }满足:a 3=13,a 13=33,则数列{a n }的公差为( ) A .1 B .2 C .3D .4解析:设等差数列{a n }的公差为d ,则d =a 13-a 313-3=33-1310=2,故选择B.答案:B2.(2016·宝鸡质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 9=18,a n -4=30(n >9),若S n=336,则n 的值为( )A .18B .19C .20D .21解析:因为{a n }是等差数列,所以S 9=9a 5=18,a 5=2,S n =n (a 1+a n )2=n (a 5+a n -4)2=n2×32=16n =336,解得n =21,故选择D.答案:D3.(2015·武昌联考)已知数列{a n }是等差数列,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,{a n }的前n 项和为S n ,则使得S n 达到最大的n 是( )A .18B .19C .20D .21解析:a 1+a 3+a 5=105⇒a 3=35,a 2+a 4+a 6=99⇒a 4=33,则{a n }的公差d =33-35=-2,a 1=a 3-2d =39,S n =-n 2+40n ,因此当S n 取得最大值时,n =20.答案:C4.在等差数列{a n }中,a 2+a 3+a 4+a 5=40,则3a 1+a 11=( ) A .20 B .30 C .40D .60解析:本题考查等差数列的通项公式及性质的应用.由等差数列的性质得a 2+a 3+a 4+a 5=2(a 3+a 4)=40,解得a 3+a 4=20,即a 3+a 4=2a 1+5d =20,又3a 1+a 11=4a 1+10d =2(2a 1+5d )=40,故选C.答案:C5.已知数列{a n },{b n }都是等差数列,S n ,T n 分别是它们的前n 项和,并且S n T n =7n +1n +3,则a 2+a 5+a 17+a 22b 8+b 10+b 12+b 16=( ) A.345 B .5 C.314D.315解析:法一:令S n =(7n +1)n ,T n =(n +3)n ,则a n =14n -6,b n =2n +2,所以a 2+a 5+a 17+a 22b 8+b 10+b 12+b 16=22+64+232+30218+22+26+34=315.法二:设等差数列{a n },{b n }的公差分别为d 1,d 2,则a 2+a 5+a 17+a 22b 8+b 10+b 12+b 16=4a 1+42d 14b 1+42d 2=2a 1+21d 12b 1+21d 2=a 1+a 22b 1+b 22=S 22T 22=7×22+122+3=315.答案:D6.(2015·广州一模)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和,且S 8-S 3=20,则S 11=________. 解析:因为{a n }是等差数列,所以S 8-S 3=a 4+a 5+a 6+a 7+a 8=5a 6=20,所以a 6=4,所以S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6=44.答案:447.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=a 2=1,{nS n +(n +2)a n }为等差数列,则{a n }的通项公式为a n =________.解析:设b n =nS n +(n +2)a n ,则b 1=1×S 1+(1+2)a 1=1×a 1+3a 1=4,b 2=2×S 2+(2+2)a 2=2×(a 1+a 2)+(2+2)a 2=8,所以等差数列{b n }的首项为4,公差为4,所以b n =4+(n -1)×4=4n ,即nS n +(n +2)a n =4n .当n ≥2时,S n -S n -1+⎝⎛⎭⎫1+2n a n -⎝ ⎛⎭⎪⎫1+2n -1a n -1=0,所以2(n +1)n a n =n +1n -1a n -1,即2·a n n =a n -1n -1,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为公比,1为首项的等比数列,所以a n n =⎝⎛⎭⎫12n -1,所以a n =n2n -1. 答案:n 2n-18.设等差数列{a n }满足公差d ∈N *,a n ∈N *,且数列{a n }中任意两项之和也是该数列的一项.若a 1=35,则d 的所有可能取值之和为________.解析:本题考查等差数列的通项公式.依题意得a n =a 1+(n -1)d ,a i +a j =2a 1+(i +j -2)d =a 1+(m -1)d (i ,j ,m ∈N *),即(m -i -j +1)d =a 1,kd =a 1=35(其中k ,d ∈N *),因此d 的所有可能取值是35的所有正约数,即分别是1,3,32,33,34,35,因此d 的所有可能取值之和为1-35×31-3=364. 答案:3649.已知{a n }是一个公差大于0的等差数列,且满足a 3a 6=55,a 2+a 7=16. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足:b 1=a 1且b n =a n +b n -1(n ≥2,n ∈N *),求数列{b n }的通项公式.解:(1)由题意得:⎩⎪⎨⎪⎧a 3a 6=55,a 3+a 6=a 2+a 7=16,∵公差d >0,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3=5,a 6=11,∴d =2,a n =2n -1.(2)∵b n =a n +b n -1(n ≥2,n ∈N *), ∴b n -b n -1=2n -1(n ≥2,n ∈N *).∵b n =(b n -b n -1)+(b n -1-b n -2)+…+(b 2-b 1)+b 1(n ≥2,n ∈N *),且b 1=a 1=1, ∴b n =2n -1+2n -3+…+3+1=n 2(n ≥2,n ∈N *). ∴b n =n 2(n ∈N *).10.(2015·南昌一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S 3=6,正项数列{b n }满足b 1·b 2·b 3·…·b n =2S n .(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)若λb n >a n 对n ∈N *均成立,求实数λ的取值范围. 解:(1)∵a 1=1,S 3=6,∴数列{a n }的公差d =1,a n =n .由题知,⎩⎪⎨⎪⎧b 1·b 2·b 3·…·b n =2S n ,①b 1·b 2·b 3·…·b n -1=2S n -1(n ≥2),②①÷②得b n =2S n -S n -1=2a n =2n (n ≥2), 又b 1=2S 1=21=2,满足上式,故b n =2n . (2)λb n >a n 恒成立⇒λ>n2n 恒成立,设c n =n 2n ,则c n +1c n =n +12n, 当n ≥2时,c n <1,数列{c n }单调递减,∴(c n )max =12,故λ>12. B 组 高考题型专练1.(2015·高考重庆卷)在等差数列{a n }中,若a 2=4,a 4=2,则a 6=( )A .-1B .0C .1D .6解析:由等差数列的性质知a 2+a 6=2a 4,所以a 6=2a 4-a 2=0,故选B. 答案:B2.(2015·高考全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和.若S 8=4S 4,则a 10=( )A.172B.192 C .10 D .12解析:设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d .由题设知d =1,S 8=4S 4,所以8a 1+28=4(4a 1+6),解得a 1=12,所以a 10=12+9=192,选B. 答案:B3.(2015·高考北京卷)设{a n }是等差数列,下列结论中正确的是( )A .若a 1+a 2>0,则a 2+a 3>0B .若a 1+a 3<0,则a 1+a 2<0C .若0<a 1<a 2,则a 2>a 1a 3D .若a 1<0,则(a 2-a 1)(a 2-a 3)>0解析:若{a n }是递减的等差数列,则选项A ,B 都不一定正确.若{a n }为公差为0的等差数列,则选项D 不正确.对于C 选项,由条件可知{a n }为公差不为0的正项数列,由等差中项的性质得a 2=a 1+a 32,由基本不等式得a 1+a 32>a 1a 3,所以C 正确. 答案:C4.(2015·高考安徽卷)已知数列{a n }中,a 1=1,a n =a n -1+12(n ≥2),则数列{a n }的前9项和等于________.解析:因为a 1=1,a n =a n -1+12(n ≥2),所以数列{a n }是首项为1、公差为12的等差数列,所以前9项和S 9=9+9×82×12=27. 答案:275.(2015·高考北京卷)已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=10,a 4-a 3=2.(1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 2=a 3,b 3=a 7.问:b 6与数列{a n }的第几项相等? 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4-a 3=2,所以d =2.又因为a 1+a 2=10,所以2a 1+d =10,故a 1=4. 所以a n =4+2(n -1)=2n +2(n =1,2,…).(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2=a 3=8,b 3=a 7=16,所以q =2,b 1=4.所以b 6=4×26-1=128.由128=2n +2,得n =63.所以b 6与数列{a n }的第63项相等.6.(2015·高考重庆卷)已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=92. (1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前n 项和T n . 解:(1)设{a n }的公差为d ,则由已知条件得a 1+2d =2,3a 1+3×22d =92, 即a 1+2d =2,a 1+d =32, 解得a 1=1,d =12, 故通项公式为a n =1+n -12,即a n =n +12. (2)由(1)得b 1=1,b 4=a 15=15+12=8.设{b n }的公比为q ,则q 3=b 4b 1=8,从而q =2, 故{b n }的前n 项和T n =b 1(1-q n )1-q =1×(1-2n )1-2=2n -1.。
高考一轮复习等差数列
等差数列1、在等差数列{a n}中,已知a3+a4=10,aa—3+a n-2=30,前n项之和是100,则项数a为() ﻫA、9B、10C、11D。
122、在等差数列{a n}中,a3+a6+a9=54,设数列{a n}的前n项和为S n,则S11=( )A、18B、99C。
198D。
2973。
设{an}是等差数列,下列结论中正确的是()A。
若a1a2>0,则a2a3>0B、若a1a3<0,则a1a2<0ﻫC。
若a1<a2,则a22<a1a3D。
若a1≥a2,则a22≥a1a34、已知等差数列数列{an}满足a n+1+a n=4a,则a1=( )A。
—1B、1C。
2D、35、在等差数列{a n}中,已知a1=3,a9=11则前9项和S9=( )A、63B、65C、72D、626、已知等差数列{aa}满足a1=—4,a4+a6=16,则它的前10项和S10=( )A。
138B、95C。
23D、1357、已知等差数列{an}的前n项和为S n,公差为d,若a1<0,S12=S6,下列说法正确的是()A。
a<0B。
S19〈0C。
当n=9时S n取最小值D、S10>08。
在等差数列{a n}中,已知a5+a10=12,则3a7+a9等于()A、30B、24C、18D、129、已知S n是等差数列{a n}的前n项和,且S6=3,S11=18,则a9等于( ) ﻫA。
3B、5C。
8D、1510、在等差数列{a n}中,a9=a12+6,a2=4,设数列{a n}的前n项和为Sa,则数列{}的前10项和为( ) ﻫA、B、C、D、11。
在等差数列{a n}中,已知a2+a3=13,a1=2,则a4+a5+a6= ______ 、12。
在公差大于1的等差数列{a n}中,已知a12=64,a2+a3+a10=36,则数列{|a n|}的前20项和为______ 。
13、已知{a n}为等差数列,S n为其前n项和、若a1=6,a3+a5=0,则S6= ______ 、14。
新高考一轮复习人教版 等差数列 作业
7.2等差数列基础篇固本夯基考点一等差数列及其前n项和1.(2022届辽宁渤海大学附中月考二)在等差数列{a n}中,若a2+a3+a4=6,a6=4,则公差d=()A.1B.2C.13D. 2 3答案D2.(2019课标Ⅰ理,9,5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.a n=2n-5B.a n=3n-10C.S n=2n2-8nD.S n=12n2-2n答案A3.(2021重庆二模,4)已知公差不为0的等差数列{a n}中,a2+a4=a6,a9=a62,则a10=()A.52B.5C.10D.40答案A4.(2022届福建南平10月联考,14)设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a2+2a4+a10=32,则S9=. 答案725.(2020课标Ⅱ文,14,5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.答案256.(2020新高考Ⅰ,14,5分)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a n},则{a n}的前n项和为.答案3n2-2n7.(2019课标Ⅲ理,14,5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1≠0,a2=3a1,则S10S5=.答案 48.(2022届海南东方琼西中学月考,17)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 10=30,a 20=50. (1)求通项公式a n ; (2)若S n =242,求n.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,依题意有{a 10=a 1+9d =30,a 20=a 1+19d =50,解得{a 1=12,d =2,所以a n =2n+10(n ∈N *). (2)由(1)可得S n =12n+n(n−1)2×2=n 2+11n,令n 2+11n=242,解得n=-22(舍)或n=11,故n=11. 9.(2022届广东肇庆统一检测一)在等差数列{a n }中,a 1=10,公差d>0,其前四项中删去某一项后(按原来的顺序)恰好是等比数列{b n }的前三项. (1)求d 的值;(2)设{a n }中不包含{b n }的项按从小到大的顺序构成新数列{c n },记{c n }的前n 项和为S n ,求S 100. 解析 (1)由a 1=10,公差为d,得a 2=10+d,a 3=10+2d,a 4=10+3d. ①若删去第1项,则(10+2d)2=(10+d)(10+3d),解得d=0,不符合题意; ②若删去第2项,则(10+2d)2=10×(10+3d),解得d=0或d=-52,不符合题意; ③若删去第3项,则(10+d)2=10×(10+3d),解得d=0(舍去)或d=10; ④若删去第4项,则(10+d)2=10×(10+2d),解得d=0,不符合题意. 综上可知,d=10.(2)由(1)可知,a n =10+(n-1)×10=10n,等比数列{b n }的前三项分别为10,20,40,所以数列{b n }是以10为首项,2为公比的等比数列,所以b n =10·2n-1, 所以b 7=640,b 8=1280,又a 107=1070,所以可知{a n }的前107项中有7项被删除,即c 100=a 107.设数列{a n }的前n 项和为H n ,数列{b n }的前n 项和为T n ,则S 100=H 107-T 7=107×(10+1 070)2-10×(1−27)1−2=56510.10.(2021新高考Ⅱ,17,10分)记S n 为公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和,若a 3=S 5,a 2·a 4=S 4. (1)求{a n }的通项公式;(2)求使得S n >a n 成立的n 的最小值.解析 (1)a 3=S 5⇒a 1+2d=5a 1+10d ⇒4a 1+8d=0⇒a 1+2d=0⇒a 1=-2d,① a 2·a 4=S 4⇒(a 1+d)(a 1+3d)=4a 1+6d,② 将①代入②得-d 2=-2d ⇒d=0(舍)或d=2, ∴a 1=-2d=-4,∴a n =-4+(n-1)×2=2n-6. (2)由(1)知a n =2n-6, S n =na 1+n(n−1)2d=-4n+n(n-1)=n 2-5n. S n >a n ⇔n 2-5n>2n-6⇔n 2-7n+6>0⇔(n-1)(n-6)>0, 解得n<1(舍)或n>6,∴n 的最小值为7.11.(2019课标Ⅰ文,18,12分)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 9=-a 5. (1)若a 3=4,求{a n }的通项公式;(2)若a 1>0,求使得S n ≥a n 的n 的取值范围. 解析 (1)设{a n }的公差为d.由S 9=-a 5得a 1+4d=0.由a 3=4得a 1+2d=4. 于是a 1=8,d=-2.因此{a n }的通项公式为a n =10-2n. (2)由(1)得a 1=-4d,故a n =(n-5)d,S n =n(n−9)d2.由a 1>0知d<0,故S n ≥a n 等价于n 2-11n+10≤0,解得1≤n ≤10.所以n 的取值范围是{n|1≤n ≤10,n ∈N *}.考点二等差数列的性质1.(2022届山东学情10月联考,6)已知等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n,且a4b6=13,则S7T11=()A.7 33B.13C.1433D.711答案A2.(2021广州月考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=6,S6=3,则S12等于()A.-3B.-12C.-21D.-30答案D3.(2020浙江高中发展共同体期末)已知{a n}是公差为d的等差数列,前n项和是S n,若S9<S8<S10,则()A.d>0,S17>0B.d<0,S17<0C.d>0,S18<0D.d>0,S18>0答案D4.(2020浙江,7,4分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d≠0,且a1d≤1.记b1=S2,b n+1=S2n+2-S2n,n∈N*,下列等式不可能...成立的是()A.2a4=a2+a6B.2b4=b2+b6C.a42=a2a8D.b42=b2b8答案D5.(2020北京,8,4分)在等差数列{a n}中,a1=-9,a5=-1.记T n=a1a2…a n(n=1,2,…),则数列{T n}()A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项答案B6.(2019江苏,8,5分)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 . 答案 167.(2021广东韶关一模,14)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 6+a 7=1,则S 12= ,若a 7<0,则使得不等式S n <0成立的最小整数n= . 答案 6;13综合篇 知能转换A 组考法一 等差数列的判定1.(2021山东聊城二模,8)已知数列{a n },a n =1f(n),其中f(n)为最接近√n 的整数,若{a n }的前m 项和为20,则m=( )A.15B.30C.60D.110 答案 D2.(2022届江苏泰州中学检测,20)已知数列{a n }满足a 1=6,a n-1a n -6a n-1+9=0,n ∈N *且n ≥2. (1)求证:数列{1a n −3}为等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式; (3)设b n =a n(n+1)2,求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)证明:当n ≥2时,a n-1a n -6a n-1+9=0⇒a n =6a n−1−9a n−1,∴1a n −3-1a n−1−3=a n−13a n−1−9-1a n−1−3=a n−1−33(a n−1−3)=13.又∵1a 1−3=13,∴数列{1a n −3}是以13为首项,13为公差的等差数列. (2)由(1)得1a n −3=13+(n-1)·13=n 3,∴a n =3(n+1)n.(3)∵b n=a n(n+1)2=3n(n+1)=3(1n−1n+1),∴T n=b1+b2+…+b n=3(1−12)+(12−13)+(13−14)+…+(1n−1n+1)=3(1−1n+1)=3n n+1.3.(2022届江苏苏州调研)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-2n+1+2(n∈N*).(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=a n4n,若T n=b1+b2+b3+…+b n,求T n.解析(1)当n=1时,a1=S1=2a1-2,解得a1=2,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1-2n,化简得a n=2a n-1+2n,即a n 2n -a n−12n−1=1,因此,数列{a n2n}是首项和公差均为1的等差数列,所以a n2n=n,a n=n·2n(n∈N*).(2)由(1)可得b n=n2n =n+12n−1-n+22n,则T n=220-321+321-422+…+n+12n−1-n+22n=2-n+22n.4.(2022届江苏百校联考一,17)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数.(1)证明:a n+2-a n=λ;(2)若{a n}为等差数列,求S10.解析(1)证明:由a n a n+1=λS n-1可得a n+1a n+2=λS n+1-1,两式相减得a n+1(a n+2-a n)=λa n+1,因为a n+1≠0,所以a n+2-a n=λ.(2)由S1=a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1,由(1)知a3=λ+1,因为{a n}为等差数列,所以2a2=a1+a3,即2(λ-1)=1+λ+1,解得λ=4,故a n+2-a n=4,所以数列{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,可得a2n-1=4n-3=2(2n-1)-1,数列{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,可得a2n=4n-1=2·2n-1,所以a n=2n-1(n∈N*),所以S10=10×(1+19)2=100.5.(2022届广东开学考,17)已知数列{a n}中,a1=1,且满足a n+1=a n-2n,b n=a n+n2(n∈N*).(1)证明:数列{b n}是等差数列,并求数列{b n}的通项公式;(2)设S n为数列{1b n·b n+1}的前n项和,求满足S n≥512的n的最小值.解析 (1)因为b n+1-b n =a n+1+(n+1)2-(a n +n 2)=a n+1-a n +2n+1=1,b 1=a 1+12=2,所以数列{b n }是首项为2,公差为1的等差数列.所以b n =2+(n-1)=n+1. (2)因为1b n ·b n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,所以S n =12-13+13-14+…+1n+1-1n+2=12-1n+2=n 2(n+2),由n 2(n+2)≥512解得n ≥10,所以满足S n ≥512的n 的最小值为10.6.(2021新高考Ⅰ,17,10分)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1={a n +1,n 为奇数,a n +2,n 为偶数.(1)记b n =a 2n ,写出b 1,b 2,并求数列{b n }的通项公式; (2)求{a n }的前20项和.解析 (1)由题意得a 2n+1=a 2n +2,a 2n+2=a 2n+1+1, 所以a 2n+2=a 2n +3,即b n+1=b n +3,且b 1=a 2=a 1+1=2, 所以数列{b n }是以2为首项,3为公差的等差数列, 所以b 1=2,b 2=5,b n =2+(n-1)×3=3n-1. (2)当n 为奇数时,a n =a n+1-1. 设数列{a n }的前n 项和为S n , 则S 20=a 1+a 2+…+a 20=(a 1+a 3+…+a 19)+(a 2+a 4+…+a 20)=[(a 2-1)+(a 4-1)+…+(a 20-1)]+(a 2+a 4+…+a 20) =2(a 2+a 4+…+a 20)-10,由(1)可知a 2+a 4+…+a 20=b 1+b 2+…+b 10=10×2+10×92×3=155, 故S 20=2×155-10=300,即{a n }的前20项和为300.7.(2021全国甲理,18,12分)已知数列{a n }的各项均为正数,记S n 为{a n }的前n 项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①数列{a n}是等差数列;②数列{√S n}是等差数列;③a2=3a1.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.解析选①②作为条件,证明③.证明:设等差数列{a n}的公差为d,因为{√S n}是等差数列,所以2√S2=√S1+√S3,即2√2a1+d=√a1+√3a1+3d,两边平方,得4(2a1+d)=a1+3a1+3d+2√a1(3a1+3d),整理得4a1+d=2√a1(3a1+3d),两边平方,得16a12+8a1d+d2=4(3a12+3a1d),化简得4a12-4a1d+d2=0,即(2a1−d)2=0,所以d=2a1,则a2=a1+d=3a1.选①③作为条件,证明②.证明:设等差数列{a n}的公差为d.因为a2=3a1,即a1+d=3a1,所以d=2a1.所以等差数列{a n}的前n项和S n=na1+n(n−1)2d=na1+n(n−1)2·2a1=n2a1.又a1>0,所以√S n=n√a1.则√S n+1-√S n=(n+1)√a1-n√a1=√a1,所以数列{√S n}是公差为√a1的等差数列.选②③作为条件,证明①.证明:设等差数列{√S n}的公差为d,因为√S1=√a1,√S2=√a1+a2=√a1+3a1=2√a1,所以d=√S2-√S1=2√a1-√a1=√a1,则等差数列{√S n}的通项公式为√S n=√a1+(n-1)√a1=n√a1,所以S n=n2a1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,且当n=1时,上式也成立,所以数列{a n}的通项公式为a n=(2n-1)a1,n∈N*,则a n+1-a n=(2n+1)a1-(2n-1)a1=2a1,所以数列{a n}是公差为2a1的等差数列.8.(2022届广东阶段测,17)已知数列{a n}满足a1=1,a n+a n-1=2n(n≥2,n∈N*).(1)记b n=a2n,求数列{b n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n.解析(1)依题意得,a2+a1=4,又a1=1,故b1=a2=3.因为a2n+2+a2n+1=4n+4,a2n+1+a2n=4n+2,所以b n+1-b n =a 2n+2-a 2n =(a 2n+2+a 2n+1)-(a 2n+1+a 2n )=(4n+4)-(4n+2)=2. 因此,{b n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为b n =2n+1. (2)解法一:因为a 2n +a 2n-1=4n,所以由(1)知a 2n-1=4n-a 2n =2n-1.当n=2k(k ∈N *)时,S n =(a 1+a 3+…+a 2k-1)+(a 2+a 4+…+a 2k )=(1+3+…+2k-1)+(3+5+…+2k+1)=(1+2k−1)·k 2+(3+2k+1)·k 2=k(2k+2)=n(n+2)2. 当n=2k-1(k ∈N *)时,S n =S n+1-a n+1=(n+1)(n+3)2-(n+2)=n(n+2)−12. 因此,S n ={n(n+2)−12,n 为奇数,n(n+2)2,n 为偶数.解法二:当n=2k(k ∈N *)时,S n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a 2k-1+a 2k )=4+8+…+4k=(4+4k)·k 2=k(2k+2)=n(n+2)2. 当n=2k+1(k ∈N *)时,S n =a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a 2k +a 2k+1)=1+6+10+…+(4k+2) =1+(6+4k+2)·k 2=k(2k+4)+1=(n−1)(n+3)2+1=n(n+2)−12,S 1=a 1=1=1×3−12也满足上式. 故S n ={n(n+2)−12,n 为奇数,n(n+2)2,n 为偶数.9.(2021全国乙理,19,12分)记S n 为数列{a n }的前n 项和,b n 为数列{S n }的前n 项积,已知2S n +1b n=2. (1)证明:数列{b n }是等差数列; (2)求{a n }的通项公式.解析 (1)证明:由b n =S 1·S 2·…·S n 可得,S n ={b 1,n =1,b nb n−1,n ≥2.由2S n +1b n=2知,当n=1时,2S 1+1b 1=2,即2b 1+1b 1=2,所以b 1=S 1=32,当n ≥2时,2b n b n−1+1b n =2,即2b n =2b n-1+1,即b n -b n-1=12,故数列{b n }是首项为32,公差为12的等差数列.(2)由(1)知,b n =32+(n-1)×12=n+22,故当n ≥2时,S n =b n b n−1=n+2n+1,S 1也符合该式, 即S n =n+2n+1(n ∈N *),从而a 1=S 1=32, 当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n+2n+1-n+1n =-1n(n+1),a 1不符合该式,所以a n ={32,n =1,−1n(n+1),n ≥2. 考法二 等差数列前n 项和的最值问题1.(多选)(2022届石家庄二中开学考试,11)设数列{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和,a 1>0且S 6=S 9,则( ) A.d>0 B.a 8=0C.S 7或S 8为S n 的最大值D.S 5>S 6 答案 BC2.(多选)(2022届广东珠海二中10月月考,11)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则( ) A.a 5=0B.{a n }的前n 项和中S 5最小C.nS n 的最小值为-49D.S n n的最大值为0 答案 BC3.(2022届湖南天壹名校联盟摸底,3)已知等差数列{a n }的通项公式为a n =9-2n,则其前n 项和S n 的最大值为( )A.15B.16C.17D.18 答案 B4.(2021上海松江一模)记S n 为数列{a n }的前n 项和,已知点(n,a n )在直线y=10-2x 上,若有且只有两个正整数n 满足S n ≥k,则实数k 的取值范围是( )A.(8,14]B.(14,18]C.(18,20]D.(18,814] 答案 C 5.(多选)(2022届江苏苏州调研,10)设S n 是公差为d(d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和,则下列命题正确的是( )A.若d<0,则数列{S n }有最大值B.若数列{S n }有最大项,则d<0C.若对任意的n ∈N *,S n+1>S n 恒成立,则S n >0D.若对任意的n ∈N *,均有S n >0,则S n+1>S n 恒成立答案 ABD6.(2021湖南百校联考,17)在①a n+1a n =-12,②a n+1-a n =-16,③a n+1=a n +n-8这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的S n 存在最大值,则求出最大值;若问题中的S n 不存在最大值,请说明理由. 问题:设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=4, ,求{a n }的通项公式,并判断S n 是否存在最大值. 注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分.解析 方案一:选①.因为a n+1a n =-12,a 1=4,所以{a n }是首项为4,公比为-12的等比数列.所以a n =4×(−12)n−1=(−12)n−3, 当n 为奇数时,S n =4[1−(−12)n]1+12=83(1+12n ), 因为S n =83(1+12n )随着n 的增大而减小,所以S n 的最大值为S 1=4. 当n 为偶数时,S n =83(1−12n ),且S n =83(1−12n )<83<4.综上,S n 存在最大值,且最大值为4. 方案二:选②.因为a n+1-a n =-16,a 1=4,所以{a n }是首项为4,公差为-16的等差数列,所以a n =4+(n-1)(−16)=-16n+256,由-16n+256≥0,得n ≤25, 所以S n 存在最大值,且最大值为S 25(或S 24),因为S 25=25×4+25×242×(−16)=50,所以S n 的最大值为50.方案三:选③.因为a n+1=a n +n-8,所以a n+1-a n =n-8,所以a 2-a 1=-7,a 3-a 2=-6,……,a n -a n-1=n-9(n ≥2),则a n -a 1=a 2-a 1+a 3-a 2+…+a n -a n-1=(−7+n−9)(n−1)2=n 2−17n+162,又a 1=4,所以a n =n 2−17n+242, 当n ≥16时,a n >0恒成立,故S n 不存在最大值.7.(2018课标Ⅱ,17,12分)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1=-7,S 3=-15.(1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并求S n 的最小值.解析 (1)设{a n }的公差为d,由题意得3a 1+3d=-15.由a 1=-7得d=2.所以{a n }的通项公式为a n =2n-9.(2)由(1)得S n =n 2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,S n 取得最小值,最小值为-16.8.(2022届湖南湘潭模拟,17)已知S n 为数列{a n }的前n 项和,且a n+1=a n +d(n ∈N *,d 为常数),若S 3=12,a 3a 5+2a 3-5a 5-10=0.求:(1)数列{a n }的通项公式;(2)S n 的最值.解析 (1)由a n+1=a n +d(d 为常数)知数列{a n }是等差数列,且d 为公差.由S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2=12得a 2=4, 由a 3a 5+2a 3-5a 5-10=0得(a 3-5)(a 5+2)=0,所以a 3=5或a 5=-2,由{a 2=4,a 3=5得a 1=3,d=1,此时a n =n+2. 由{a 2=4,a 5=−2得a 1=6,d=-2,此时a n =-2n+8.所以a n =n+2或a n =-2n+8.(2)当a n =n+2时,S n =n 2+5n 2,因为S n =n 2+5n 2是关于正整数n 的增函数,所以S 1=3为S n 的最小值,S n 无最大值;当a n =-2n+8时,S n =-n 2+7n=-(n −72)2+494,因为n 为正整数,所以当n=3或n=4时,S n 取最大值S 3=S 4=12,S n 无最小值.B 组1.(多选)(2022届河北大联考)若直线3x+4y+n=0(n ∈N *)与圆C:(x-2)2+y 2=a n 2(a n >0)相切,则() A.a 1=65B.数列{a n }为等差数列C.圆C 可能经过坐标原点D.数列{a n }的前10项和为23答案 BCD2.(多选)(2022届鄂东南联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,下列说法正确的是( )A.若S n =n 2-11n+1,则a n =2n-12B.若a n =-2n+11,则数列{|a n |}的前10项和为49C.若a n =-2n+11,则S n 的最大值为25D.若数列{a n }为等差数列,且a 1011<0,a 1011+a 1012>0,则当S n <0时,n 的最大值为2021 答案 CD。
高三一轮复习 数列的复习
数列的复习【知识整理】:一 、等差数列1.等差数列的通项公式:①a n =a 1+____×d②(推广公式)a n =a m +______×d注意:数列{}n a 是等差数列的充要条件是此数列的通项公式为q pn a n +=,其中p,q 为常数,特别地,数列{}n a 是公差不为0的等差数列的充要条件是此数列的通项公式为q pn a n +=,其中p,q 为常数,且0≠p .2、等差中项如果b A a ,,成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.注意:①b 是a 、c 的等差中项的充要条件是a ,b ,c 成等差数列;②若a ,b ,c 成等差数列,那么c b b a b c a b c a b ca b -=--=-+=+=;;;22都是等价的;③若数列{}n a 是等差数列,则()*-+∈≥-=-N n n a a a a n n n n ,211,整理得211+-+=n n n a a a . 3、等差数列的性质{}n a 是等差数列,d 为公差.(1)1123121,+---+=+==+=+=+k n k n n n n a a a a a a a a a a 即 (2)若m, n, p, q ∈N*,若m +n =p +q ,则_________________若m, n, p ∈N*,若m +n =2p ,则__________________ (3)()mn a a d d m n a a mn m n --=⇔-+= (m, n, ∈N*,且m ≠ n ).(4)序号成等差数列的项又组成一个等差数列,即 ,,,2m k m k k a a a ++仍成等差数列,公差为()*∈Nm k md ,.(5)若{}{}n n b a ,都是等差数列,则数列{}{}{}{}{}2121,,,,,(λλλλλλb k c b a b a b a ka c a n n n n n n n ++++,,,,均为常数)也是等差数列.(6)连续三个或三个以上k 项和依次组成一个等差数列,即)2(,,,232*∈≥--N k k S S S S S k k k k k 且 成等差数列,公差为d k 2.(7)①当项数为奇数()12+n 项时,其中有()1+n 个奇数项,n 个偶数项.1-+=n a S S 偶奇;()112++=+n a n S S 偶奇; ()nn S S na S a n S n n 1,,111+=∴=+=++偶奇偶奇. ②当项数为偶数n 2项时,()11,-,,+++=+===n n n n a a n S S nd S S na S na S 奇偶奇偶偶奇 ∴1+=n na a S S 偶奇. 能力知识清单:1、等差数列{}n a 中,若()0,,=≠==+nm n n a n m n a m a 则. 2、等差数列{}n a 中,若()()n m S n m n S m S n m m n +-=≠==+则,, 3、等差数列{}n a 中,若()0,=≠=+nm m n S n m S S 则; 4、若{}n a 与{}n b ,为等差数列,且前1-21-2m m m m n n T S b a T S n =,则与项和为二、等比数列1. 等比数列的通项公式:①a n =a 1q n -1 ② a n =a m q n -m2、若﹛a n ﹜为等比数列,m, n, p, q ∈N*,若m +n =p +q ,则___________ 3. 等比数列的前n 项和公式: S n = ⎪⎩⎪⎨⎧=≠)1()1(q qS n = _________________()1≠q4、等比数列{a n }的前n 项和S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成 数列,且公比为________ 7.等比中项:如果a ,b ,c 成等比数列,那么b 叫做a 与c 的等比中项,即b²=_____________________三、判断和证明数列是等差(等比)数列常有四种方法:(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。
高三一轮复习-等差数列教案
《等差数列》一、考纲要求1.了解等差数列与一次函数的关系;等差数列前n项和公式与二次函数间的关系.2.理解等差数列的概念.n项和公式;能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题.二、教学策略分析本节课采用了讲练结合的教学策略:教师讲解例题→学生反应练习→点评→学生稳固提高→点评→学生归纳总结→学生完成课后作业,以学生为本,关注学生的开展.在学生解题的过程中引导他们对等差数列的知识进行整理和深入思考、提高运用知识的能力.设计能够激发学生发散思维的练习题,使学生在掌握方程的根本方法的同时,能够结合等差数列的性质提高解题效率,力求使各层次的学生都有所提高. 三、教学过程(一)展示近四年全国卷对数列的考察(二)知识点梳理等差数列的定义及相关性质(三)例题讲解、变式练习例1等差数列{a n}的前n项和记为S n.已知a10=30,a20=50.①求通项a n;②若S n=242,求n.变式1〔1〕20xx全国卷一理数(2)20xx全国卷一理数例2已知数列{a n}的各项均为正数,前n项和为S n,且满足2S n=a2n+n-4.(1)求证:{a n}为等差数列;(2)求{a n}的通项公式。
变式2〔20xx全国卷二理数〕(四)课堂小结1、本节内容在高考中主要考查等差数列的定义、通项公式、前n项和公式、等差中项、等差数列的性质.高考中各种题型都有,一般选择题、填空题主要考查等差数列的定义、通项公式、性质及前n项和公式,难度不大,解答题则综合考查等差数列的相关知识,有时会与其他知识综合命题,难度中等。
从能力考查来看,主要考查学生的运算能力、数据处理能力及转化与化归的思想意识。
2.准确理解概念,掌握等差数列的有关公式和性质;注意不同性质的适用条件和考前须知。
(五)课后作业完成一轮活页等差数列及其性质。
2023年高考数学(文科)一轮复习——等差数列及其前n项和
第2节 等差数列及其前n 项和考试要求 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式:a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数).(2)若a ,A ,b 成等差数列,则A 叫做a ,b 的等差中项,且A =a +b 2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1,公差是d ,则其通项公式为a n =a 1+(n -1)d .(2)前n 项和公式:S n =na 1+n (n -1)d 2=n (a 1+a n )2. 3.等差数列的性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n .(3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和,则数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.1.已知数列{a n }的通项公式是a n =pn +q (其中p ,q 为常数),则数列{a n }一定是等差数列,且公差为p .2.在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性:当d >0时,{a n }是递增数列;当d <0时,{a n }是递减数列;当d =0时,{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn (A ,B 为常数).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *,都有2a n +1=a n +a n +2.( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( )(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0且关于n 的二次函数.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×解析 (3)若公差d =0,则通项公式不是n 的一次函数.(4)若公差d =0,则前n 项和不是n 的二次函数.2.(2022·南宁一模)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,S 3=92,则数列{a n }的通项公式a n =( )A.nB.n +12C.2n -1D.3n -12答案 B解析 设等差数列{a n }的公差为d ,则S 3=3a 1+3×22d =3+3d =92,解得d =12,∴a n =1+(n -1)×12=n +12.3.(2021·宝鸡二模)已知{a n }是等差数列,满足3(a 1+a 5)+2(a 3+a 6+a 9)=18,则该数列的前8项和为( )A.36B.24C.16D.12答案 D解析 由等差数列性质可得a 1+a 5=2a 3,a 3+a 6+a 9=3a 6,所以3×2a 3+2×3a 6=18,即a 3+a 6=3,所以S 8=8(a 1+a 8)2=8(a 3+a 6)2=12. 4.在等差数列{a n }中,若a 1+a 2=5,a 3+a 4=15,则a 5+a 6=( )A.10B.20C.25D.30答案 C解析 等差数列{a n }中,每相邻2项的和仍然构成等差数列,设其公差为d ,若a 1+a 2=5,a 3+a 4=15,则d =15-5=10,因此a 5+a 6=(a 3+a 4)+d =15+10=25.5.一物体从1 960 m 的高空降落,如果第1秒降落4.90 m ,以后每秒比前一秒多降落9.80 m ,那么经过________秒落到地面.答案 20解析 设物体经过t 秒降落到地面.物体在降落过程中,每一秒降落的距离构成首项为4.90,公差为9.80的等差数列.所以4.90t +12t (t -1)×9.80=1 960,即4.90t 2=1 960,解得t =20.6.(易错题)在等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d <0,则使数列{a n }的前n 项和S n 取最大值的正整数n 的值是________.答案 5或6解析 ∵|a 3|=|a 9|,∴|a 1+2d |=|a 1+8d |,可得a 1=-5d ,∴a 6=a 1+5d =0,且a 1>0,∴a 5>0,故S n 取最大值时n 的值为5或6.考点一 等差数列的基本运算1.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( )A.a n =2n -5B.a n =3n -10C.S n =2n 2-8nD.S n =12n 2-2n答案 A解析 设首项为a 1,公差为d .由S 4=0,a 5=5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+4d =5,4a 1+6d =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-3,d =2.所以a n =-3+2(n -1)=2n -5,S n =n ×(-3)+n (n -1)2×2=n 2-4n . 2.(2022·太原调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 8=a 8=8,则公差d =( )A.14B.12C.1D.2 答案 D解析 ∵S 8=a 8=8,∴a 1+a 2+…+a 8=a 8,∴S 7=7a 4=0,则a 4=0.∴d =a 8-a 48-4=2. 3.(2020·全国Ⅱ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1=-2,a 2+a 6=2,则S 10=________.答案 25解析 设等差数列{a n }的公差为d ,则a 2+a 6=2a 1+6d =2×(-2)+6d =2.解得d =1.所以S 10=10×(-2)+10×92×1=25.4.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 9=-a5.(1)若 a 3=4,求{a n }的通项公式;(2)若a 1>0,求使得S n ≥a n 的n 的取值范围.解 (1)设{a n }的公差为d .由S 9=-a 5可知9a 5=-a 5,所以a 5=0.因为a 3=4,所以d =a 5-a 32=0-42=-2,所以a n =a 3+(n -3)×(-2)=10-2n ,因此{a n }的通项公式为a n =10-2n .(2)由(1)得a 5=0,因为a 1>0,所以等差数列{a n }单调递减,即d <0,a 1=a 5-4d =-4d ,S n =n (n -9)d 2, a n =-4d +d (n -1)=dn -5d ,因为S n ≥a n ,所以nd (n -9)2≥dn -5d , 又因为d <0,所以1≤n ≤10.感悟提升 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而a 1和d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.考点二 等差数列的判定与证明例1 (2021·全国甲卷)已知数列{a n }的各项均为正数,记S n 为{a n }的前n 项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①数列{a n }是等差数列;②数列{S n }是等差数列;③a 2=3a 1.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.解 ①③⇒②.已知{a n }是等差数列,a 2=3a 1.设数列{a n }的公差为d ,则a 2=3a 1=a 1+d ,得d =2a 1,所以S n =na 1+n (n -1)2d =n 2a 1. 因为数列{a n }的各项均为正数, 所以S n =n a 1, 所以S n +1-S n =(n +1)a 1-n a 1=a 1(常数),所以数列{S n }是等差数列. ①②⇒③.已知{a n }是等差数列,{S n }是等差数列.设数列{a n }的公差为d ,则S n =na 1+n (n -1)2d =12n 2d +⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1-d 2n . 因为数列{S n }是等差数列,所以数列{S n }的通项公式是关于n 的一次函数,则a1-d2=0,即d=2a1,所以a2=a1+d=3a1.②③⇒①.已知数列{S n}是等差数列,a2=3a1,所以S1=a1,S2=a1+a2=4a1.设数列{S n}的公差为d,d>0,则S2-S1=4a1-a1=d,得a1=d2,所以S n=S1+(n -1)d=nd,所以S n=n2d2,所以n≥2时,a n=S n-S n-1=n2d2-(n-1)2d2=2d2n-d2,对n=1也适合,所以a n=2d2n-d2,所以a n+1-a n=2d2(n+1)-d2-(2d2n-d2)=2d2(常数),所以数列{a n}是等差数列.感悟提升 1.证明数列是等差数列的主要方法:(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证a n-a n-1为同一常数.即作差法,将关于a n-1的a n代入a n-a n-1,再化简得到定值.(2)等差中项法:验证2a n-1=a n+a n-2(n≥3,n∈N*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论:(1)通项公式:a n=pn+q(p,q为常数)⇔{a n}是等差数列.(2)前n项和公式:S n=An2+Bn(A,B为常数)⇔{a n}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.训练1 (2021·全国乙卷)设S n为数列{a n}的前n项和,b n为数列{S n}的前n项积,已知2S n+1b n=2.(1)证明:数列{b n}是等差数列;(2)求{a n}的通项公式.(1)证明因为b n是数列{S n}的前n项积,所以n ≥2时,S n =b n b n -1, 代入2S n +1b n =2可得,2b n -1b n +1b n=2, 整理可得2b n -1+1=2b n ,即b n -b n -1=12(n ≥2).又2S 1+1b 1=3b 1=2,所以b 1=32, 故{b n }是以32为首项,12为公差的等差数列.(2)解 由(1)可知,b n =32+12(n -1)=n +22,则2S n +2n +2=2,所以S n =n +2n +1, 当n =1时,a 1=S 1=32,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n +2n +1-n +1n =-1n (n +1). 故a n =⎩⎪⎨⎪⎧32,n =1,-1n (n +1),n ≥2. 考点三 等差数列的性质及应用角度1 等差数列项的性质例2 (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,且4+a 5=a 6+a 4,则S 9等于( )A.72B.36C.18D.9 (2)在等差数列{a n }中,若a 5+a 6=4,则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)=( )A.10B.20C.40D.2+log 25答案 (1)B (2)B解析 (1)∵a 6+a 4=2a 5,∴a 5=4,∴S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5=36. (2)由等差数列的性质知a 1+a 10=a 2+a 9=a 3+a 8=a 4+a 7=a 5+a 6=a 4,则2a 1···2a 10=2a 1+a 2+…+a 10=25(a 5+a 6)=25×4,所以log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)=log 225×4=20. 角度2 等差数列前n 项和的性质例3 (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5=7,S 10=21,则S 15等于( )A.35B.42C.49D.63(2)(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块答案 (1)B (2)C解析 (1)在等差数列{a n }中,S 5,S 10-S 5,S 15-S 10成等差数列,即7,14,S 15-21成等差数列,所以7+(S 15-21)=2×14,解得S 15=42.(2)设每一层有n 环,由题可知从内到外每环之间构成公差d =9,a 1=9的等差数列.由等差数列的性质知S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等差数列,且(S 3n -S 2n )-(S 2n -S n )=n 2d ,则9n 2=729,得n =9,则三层共有扇面形石板S 3n =S 27=27×9+27×262×9=3 402(块).角度3 等差数列前n 项和的最值例4 等差数列{a n }中,设S n 为其前n 项和,且a 1>0,S 3=S 11,则当n 为多少时,S n 最大?解 法一 设公差为d .由S 3=S 11,可得3a 1+3×22d =11a 1+11×102d ,即d =-213a 1.从而S n =d 2n 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1-d 2n =-a 113(n -7)2+4913a 1, 因为a 1>0,所以-a 113<0.故当n =7时,S n 最大.法二 易知S n =An 2+Bn 是关于n 的二次函数,由S 3=S 11,可知S n =An 2+Bn 的图象关于直线n =3+112=7对称. 由解法一可知A =-a 113<0,故当n =7时,S n 最大.法三 设公差为d .由解法一可知d =-213a 1.要使S n 最大,则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0,a n +1≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧a 1+(n -1)⎝ ⎛⎭⎪⎫-213a 1≥0,a 1+n ⎝ ⎛⎭⎪⎫-213a 1≤0, 解得6.5≤n ≤7.5,故当n =7时,S n 最大.法四 设公差为d .由S 3=S 11,可得2a 1+13d =0, 即(a 1+6d )+(a 1+7d )=0,故a 7+a 8=0, 又由a 1>0,S 3=S 11可知d <0,所以a 7>0,a 8<0,所以当n =7时,S n 最大.感悟提升 1.项的性质:在等差数列{a n }中,若m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则a m +a n =a p +a q .2.和的性质:在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,则(1)S 2n =n (a 1+a 2n )=…=n (a n +a n +1);(2)S 2n -1=(2n -1)a n .(3)依次k 项和成等差数列,即S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…成等差数列.3.求等差数列前n 项和的最值,常用的方法:(1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,或者利用性质求其正负转折项,便可求得和的最值;(2)利用公差不为零的等差数列的前n 项和S n =An 2+Bn (A ,B 为常数,A ≠0)为二次函数,通过二次函数的性质求最值.训练2 (1)(2021·洛阳质检)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 17=272,则a 3+a 9+a 15=( )A.24B.36C.48D.64(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=-2 020,S 2 0202 020-S 2 0142 014=6,则S 2 023等于( )A.2 023B.-2 023C.4 046D.-4 046(3)设等差数列{a n }满足a 1=1,a n >0(n ∈N *),其前n 项和为S n ,若数列{S n }也为等差数列,则S n +10a 2n的最大值是________. 答案 (1)C (2)C (3)121解析 (1)因为数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,所以S 17=272=a 1+a 172×17=2a 92×17=17a 9,∴a 9=16,所以a 3+a 9+a 15=3a 9=48.(2)∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列,设公差为d ′, 则S 2 020 2 020-S 2 0142 014=6d ′=6,∴d ′=1,首项为S 11=-2 020,∴S 2 0232 023=-2 020+(2 023-1)×1=2,∴S 2 023=2 023×2=4 046,故选C.(3)设数列{a n }的公差为d ,依题意得2S 2=S 1+S 3,∴22a 1+d =a 1+3a 1+3d ,把a 1=1代入求得d =2,∴a n =1+(n -1)×2=2n -1,S n =n +n (n -1)2×2=n 2,∴S n +10a 2n =(n +10)2(2n -1)2=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n +102n -12=⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(2n -1)+2122n -12=14⎝ ⎛⎭⎪⎫1+212n -12≤121.∴S n +10a 2n 的最大值是121.1.在等差数列{a n }中,3a 5=2a 7,则此数列中一定为0的是() A.a 1 B.a 3 C.a 8 D.a 10答案 A解析 设{a n }的公差为d (d ≠0),∵3a 5=2a 7,∴3(a 1+4d )=2(a 1+6d ),得a 1=0.2.(2021·重庆二模)已知公差不为0的等差数列{a n }中,a 2+a 4=a 6,a 9=a 26,则a 10=( )A.52B.5C.10D.40答案 A解析 设公差为d ,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+d +a 1+3d =a 1+5d ,a 1+8d =(a 1+5d )2,由于d ≠0,故a 1=d =14,所以a 10=14+14×9=52.3.已知数列{a n }满足5an +1=25·5an ,且a 2+a 4+a 6=9,则log 13(a 5+a 7+a 9)=() A.-3 B.3 C.-13 D.13答案 A解析 数列{a n }满足5an +1=25·5an ,∴a n +1=a n +2,即a n +1-a n =2,∴数列{a n }是等差数列,公差为2.∵a 2+a 4+a 6=9,∴3a 4=9,a 4=3.∴a 1+3×2=3,解得a 1=-3.∴a 5+a 7+a 9=3a 7=3×(-3+6×2)=27,则log 13(a 5+a 7+a 9)=log 1333=-3.故选A.4.(2022·太原一模)在数列{a n }中,a 1=3,a m +n =a m +a n (m ,n ∈N *),若a 1+a 2+a 3+…+a k =135,则k =( )A.10B.9C.8D.7 答案 B解析 令m =1,由a m +n =a m +a n 可得a n +1=a 1+a n ,所以a n +1-a n =3, 所以{a n }是首项为a 1=3,公差为3的等差数列,a n =3+3(n -1)=3n ,所以a 1+a 2+a 3+…+a k =k (a 1+a k )2=k (3+3k )2=135. 整理可得k 2+k -90=0,解得k =9或k =-10(舍).5.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次弟,孝和休惹外人传.”意为:996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第一个开始,以后每人依次多17斤,直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明,使孝顺子女的美德外传,则第八个孩子分得斤数为( )A.65B.176C.183D.184答案 D解析 根据题意可知每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{a n },其中d =17,n =8,S 8=996.由等差数列前n 项和公式可得8a 1+8×72×17=996,解得a 1=65.由等差数列通项公式得a 8=65+(8-1)×17=184.则第八个孩子分得斤数为184.6.(2021·全国大联考)在等差数列{a n }中,若a 10a 9<-1,且它的前n 项和S n 有最大值,则使S n >0成立的正整数n 的最大值是( )A.15B.16C.17D.14答案 C解析 ∵等差数列{a n }的前n 项和有最大值,∴等差数列{a n }为递减数列, 又a 10a 9<-1,∴a 9>0,a 10<0, ∴a 9+a 10<0,又S 18=18(a 1+a 18)2=9(a 9+a 10)<0, 且S 17=17(a 1+a 17)2=17a 9>0. 故使得S n >0成立的正整数n 的最大值为17.7.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 6=1,S 12=4,则S 18=________. 答案 9解析 在等差数列中,S 6,S 12-S 6,S 18-S 12成等差数列,∵S 6=1,S 12=4,∴1,3,S 18-4成公差为2的等差数列,即S 18-4=5,S 18=9.8.等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,若S n T n =3n -22n +1,则a 7b 7等于________. 答案 3727解析 a 7b 7=2a 72b 7=a 1+a 13b 1+b 13=a 1+a 132×13b 1+b 132×13=S 13T 13=3×13-22×13+1=3727. 9.(2021·西安一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足a 1=32,a 2=2,2(S n +2+S n )=4S n +1+1,则数列{a n }的前16项和S 16=________.答案 84解析 将2(S n +2+S n )=4S n +1+1变形为(S n +2-S n +1)-(S n +1-S n )=12,即a n +2-a n+1=12,又a 1=32,a 2=2,∴a 2-a 1=12符合上式,∴{a n }是首项a 1=32,公差d =12的等差数列,∴S 16=16×32+16×152×12=84.10.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 2a 4=65,a 1+a 5=18.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)是否存在常数k ,使得数列{S n +kn }为等差数列?若存在,求出常数k ;若不存在,请说明理由.解 (1)设公差为d .∵{a n }为等差数列,∴a 1+a 5=a 2+a 4=18,又a 2a 4=65,∴a 2,a 4是方程x 2-18x +65=0的两个根,又公差d >0,∴a 2<a 4,∴a 2=5,a 4=13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1+d =5,a 1+3d =13,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =4,∴a n =4n -3. (2)由(1)知,S n =n +n (n -1)2×4=2n 2-n , 假设存在常数k ,使数列{S n +kn }为等差数列. 由S 1+k +S 3+3k =2S 2+2k , 得1+k +15+3k =26+2k ,解得k =1. ∴S n +kn =2n 2=2n ,当n ≥2时,2n -2(n -1)=2,为常数,∴数列{S n +kn }为等差数列.故存在常数k =1,使得数列{S n +kn }为等差数列. 11.设数列{a n }的各项都为正数,其前n 项和为S n ,已知对任意n ∈N *,S n 是a 2n 和a n 的等差中项.(1)证明:数列{a n }为等差数列;(2)若b n =-n +5,求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值.(1)证明 由已知可得2S n =a 2n +a n ,且a n >0,当n =1时,2a 1=a 21+a 1,解得a 1=1.当n ≥2时,有2S n -1=a 2n -1+a n -1,所以2a n =2S n -2S n -1=a 2n -a 2n -1+a n -a n -1,所以a 2n -a 2n -1=a n +a n -1,即(a n +a n -1)(a n -a n -1)=a n +a n -1,因为a n +a n -1>0,所以a n -a n -1=1(n ≥2).故数列{a n }是首项为1,公差为1的等差数列.(2)解 由(1)可知a n =n ,设c n =a n ·b n ,则c n =n (-n +5)=-n 2+5n=-⎝ ⎛⎭⎪⎫n -522+254, 因为n ∈N *,所以n =2或3,c 2=c 3=6,因此当n =2或n =3时,{a n ·b n }取最大项,且最大项的值为6.12.(2020·新高考山东卷)将数列{2n -1}与{3n -2}的公共项从小到大排列得到数列{a n },则{a n }的前n 项和为__________.答案 3n 2-2n解析 法一(观察归纳法) 数列{}2n -1的各项为1,3,5,7,9,11,13,…;数列{3n -2}的各项为1,4,7,10,13,….现观察归纳可知,两个数列的公共项为1,7,13,…,是首项为1,公差为6的等差数列, 则a n =1+6(n -1)=6n -5.故其前n 项和为S n =n (a 1+a n )2=n (1+6n -5)2=3n 2-2n . 法二(引入参变量法) 令b n =2n -1,c m =3m -2,b n =c m ,则2n -1=3m -2,即3m =2n +1,m 必为奇数.令m =2t -1,则n =3t -2(t =1,2,3,…).a t =b 3t -2=c 2t -1=6t -5,即a n =6n -5.以下同法一.13.(2022·衡水模拟)已知在数列{a n }中,a 6=11,且na n -(n -1)a n +1=1,则a n =______;a 2n +143n 的最小值为________.答案 2n -1 44解析 na n -(n -1)a n +1=1,∴(n +1)a n +1-na n +2=1,两式相减得na n -2na n +1+na n +2=0,∴a n +a n +2=2a n +1,∴数列{a n }为等差数列.当n =1时,由na n -(n -1)a n +1=1得a 1=1,由a 6=11,得公差d =2,∴a n =1+2(n -1)=2n -1,∴a 2n +143n =(2n -1)2+143n=4n +144n -4≥24n ·144n -4=44, 当且仅当4n =144n ,即n =6时等号成立.14.等差数列{a n }中,公差d <0,a 2+a 6=-8,a 3a 5=7.(1)求{a n }的通项公式;(2)记T n 为数列{b n }前n 项的和,其中b n =|a n |,n ∈N *,若T n ≥1 464,求n 的最小值.解 (1)∵等差数列{a n }中,公差d <0,a 2+a 6=-8, ∴a 2+a 6=a 3+a 5=-8,又∵a 3a 5=7,∴a 3,a 5是一元二次方程x 2+8x +7=0的两个根,且a 3>a 5, 解方程x 2+8x +7=0,得a 3=-1,a 5=-7,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1+2d =-1,a 1+4d =-7,解得a 1=5,d =-3. ∴a n =5+(n -1)×(-3)=-3n +8.(2)由(1)知{a n }的前n 项和S n =5n +n (n -1)2×(-3)=-32n 2+132n . ∵b n =|a n |,∴b 1=5,b 2=2,b 3=|-1|=1,b 4=|-4|=4, 当n ≥3时,b n =|a n |=3n -8.当n <3时,T 1=5,T 2=7;当n ≥3时,T n =-S n +2S 2=3n 22-13n 2+14.∵T n ≥1 464,∴T n =3n 22-13n 2+14≥1 464,即(3n-100)(n+29)≥0,解得n≥100,3∴n的最小值为34.。
新高考一轮复习人教版 等差数列 作业1
7.2 等差数列一、选择题1.(2022届广西北海模拟,10)已知递增等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4=10,且a 1,a 2,a 3+1成等比数列,则公差d=( )A.1B.2C.3D.4答案 A ∵S 4=10,∴4a 1+4×32d=10,即2a 1+3d=5①, ∵a 1,a 2,a 3+1成等比数列,∴(a 1+d)2=a 1(a 1+2d+1),即a 12+2a 1d+d 2=a 12+2a 1d+a 1,也即d 2=a 1②,联立①②解得{d =1,a 1=1或{d =-52,a 1=254(舍去). 2.(2021皖北协作体模拟,4)等差数列{a n }的公差为d,当首项a 1与d 变化时,a 2+a 10+a 21是一个定值,则下列选项中一定为定值的是( )A.a 10B.a 11C.a 12D.a 13答案 B ∵等差数列{a n }的公差为d,∴a 2+a 10+a 21=a 1+d+a 1+9d+a 1+20d=3(a 1+10d)=3a 11.∵当a 1与d 变化时,a 2+a 10+a 21是一个定值,∴3a 11是定值,即a 11是一个定值.故选B.3.(2021陕西宝鸡一模,3)在1和2两数之间插入n(n ∈N *)个数,使它们与1,2组成一个等差数列,则当n=10时,该数列的所有项的和为( )A.15B.16C.17D.18答案 D 设在1和2两数之间插入n(n ∈N *)个数,使它们与1,2组成一个等差数列{a n },a 1=1,当n=10时,可得a 12=2,所以数列的所有项的和为12(a 1+a 12)2=12×(1+2)2=18.故选D. 4.(2022届河南三市联考,4)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5=( )A.5B.7C.9D.11答案 A 由等差数列{a n }的性质及a 1+a 3+a 5=3,得3a 3=3,∴a 3=1,∴S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=5.故选A. 5.(2020呼和浩特一模,3)在等差数列{a n }中,若a 1+a 2=5,a 3+a 4=15,则a 5+a 6=( )A.10B.20C.25D.30答案 C 设{a n }的公差为d.由题意得4d=10,则a 5+a 6=a 1+4d+a 2+4d=5+20=25.故选C.6.(2021陕西宝鸡二模,5)已知{a n }是等差数列,满足3(a 1+a 5)+2(a 3+a 6+a 9)=18,则该数列的前8项和为( )A.36B.24C.16D.12答案 D 由等差数列的性质可得a 1+a 5=2a 3,a 3+a 6+a 9=3a 6,所以3×2a 3+2×3a 6=18,即a 3+a 6=3,所以S 8=8(a 1+a 8)2=8(a 3+a 6)2=12.故选D. 7. (2021河南安阳模拟,5)已知数列{a n },{b n },{c n }均为等差数列,且a 1+b 1+c 1=1,a 2+b 2+c 2=3,则a 2020+b 2020+ c 2020=( )A.4037B.4039C.4041D.4043答案 B 因为数列{a n },{b n },{c n }均为等差数列,所以数列{a n +b n +c n }也是等差数列,且首项为a 1+b 1+c 1=1,公差d=(a 2+b 2+c 2)-(a 1+b 1+c 1)=3-1=2,所以a 2020+b 2020+c 2020=1+(2020-1)×2=4039.故选B. 思路分析 根据等差数列的性质得出数列{a n +b n +c n }也是等差数列,利用等差数列通项公式可求相应项.8.(2021吉林丰满月考,4)在数列{a n }中,a 1=0,a n+1-a n =2,S n 为其前n 项和,则S 10=( )A.200B.100C.90D.80答案 C 因为数列{a n }中,a 1=0,a n+1-a n =2,所以数列{a n }是以0为首项,2为公差的等差数列,则S 10=10×92×2=90. 9.(2021安徽马鞍山质监,11)在等差数列{a n }中,a 8a 7<-1,且它的前n 项和S n 有最小值,当S n <0时,n 的最大值为( )A.7B.8C.13D.14答案 C 因为等差数列{a n }的前n 项和S n 有最小值,所以d>0,又a 8a 7<-1,所以a 7<0,a 8>0,所以a 7+a 8>0, 又S 13=13(a 1+a 13)2=13a 7<0, S 14=14(a 1+a 14)2=7(a 7+a 8)>0, 所以当S n <0时,n 的最大值为13.方法总结 利用等差数列的性质,可将前n 项和与项建立关系:S 2n+1=(2n+1)a n+1,S 2n =n(a n +a n+1).10.(2021宁夏吴忠一模,7)数列{a n }是等差数列,S n 为其前n 项和,且a 1<0,a 2020+a 2021<0,a 2020·a 2021<0,则使S n <0成立的最大正整数n 是( )A.2020B.2021C.4040D.4041答案 C 设数列{a n }的公差为d,由a 1<0,a 2020+a 2021<0,a 2020·a 2021<0,可知a 2020<0,a 2021>0,所以d>0,数列{a n }为递增数列,S 4041=4041(a 1+a 4041)2=4041a 2021>0,S 4040=2020(a 1+a 4040)=2020(a 2020+a 2021)<0,所以可知n 的最大值为4040.故选C.11.(2021山西吕梁一模,3)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 5=2,S 4=28,则S n <0时,n 的最小值为( )A.10B.11C.12D.13答案 C 设等差数列{a n }的公差为d,因为a 5=2,S 4=28,故a 1+4d=2,4(a 1+a 4)2=28,即2a 1+3d=14,解得a 1=10,d=-2,故S n =n×10+12n(n-1)×(-2)=-n 2+11n=-n(n-11),n ∈N *,令S n =-n(n-11)<0,得n>11,且n ∈N *,故n 的最小值为12.故选C.12.(2022届西南名校联考,6)设等差数列{a n }的前n 项和是S n ,若a 2<-a 11<a 1,则( )A.S 11>0且S 12<0B.S 11<0且S 12<0C.S 11>0且S 12>0D.S 11<0且S 12>0答案 A 由题意知,a 1+a 11>0,a 2+a 11=a 1+a 12<0,得S 11=11(a 1+a 11)2>0,S 12=12(a 1+a 12)2<0.故选A. 13.(2022届陕西宝鸡期末,10)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差为d.已知a 3=12,S 10>0,a 6<0,则下列选项不正确的是( )A.数列{S n a n}的最小项为第6项 B.-245<d<-4 C.a 5>0D.S n >0时,n 的最大值为5答案 D S 10=102(a 1+a 10)=5(a 5+a 6)>0,又a 6<0,所以a 5>0,故选项C 正确;由a 3=12,且a 5>0,a 6<0,a 5+a 6>0,得{a 5=12+2d >0,a 6=12+3d <0,a 5+a 6=24+5d >0,解得-245<d<-4,选项B 正确;由上分析知,当1≤n ≤5时,a n >0,当n ≥6时,a n <0,所以S 11=11a 6<0,又S 10>0,故S n >0时,n 的最大值为10,故选项D 错误;由于d<0,因此数列{a n }是递减数列,由上述分析知当1≤n ≤5时,S n a n >0,当6≤n ≤10时,S n a n <0,当n ≥11时,S n a n >0,故数列{S n a n}中最小的项为第6项,选项A 正确.故选D.14.(多选)(2021山东济宁鱼台一中月考,11)设{a n }是等差数列,S n 为其前n 项和,且S 7<S 8,S 8=S 9>S 10,则下列结论正确的是( )A.公差d<0B.a 9=0C.S 11>S 7D.S 8、S 9均为S n 的最大值答案ABD 由S 7<S 8得a 1+a 2+a 3+…+a 7<a 1+a 2+…+a 7+a 8,即a 8>0,又∵S 8=S 9,∴a 1+a 2+…+a 8=a 1+a 2+…+a 8+a 9,∴a 9=0,故B 中结论正确;同理由S 9>S 10得a 10<0,∴公差d=a 10-a 9<0,故A 中结论正确;对于C,若S 11>S 7,则a 8+a 9+a 10+a 11>0,可得2(a 9+a 10)>0,由结论a 9=0,a 10<0,知a 9+a 10<0,矛盾,故C 中结论错误;∵S 7<S 8,S 8=S 9>S 10,d<0,∴S 8与S 9均为S n 的最大值,故D 中结论正确.故选ABD.二、填空题15.(2022届豫南名校联考(二),15)已知S n 为数列{a n }的前n 项和,数列{S n n}是等差数列,若a 2=2a 1,S 12=468,则a 1= .答案 6解析 设等差数列{S n n }的公差为d,则d=S 22-S 11=a 1+a 22-a 1=3a 12-a 1=a 12,所以S n n =a 1+(n-1)×a 12=na 12+a 12,所以S n =n 2a 12+na 12,由S 12=122a 12+12a 12=468,可得a 1=6. 16.(2021吉林顶级名校月考,14)记S n 分别为等差数列{a n }的前n 项和,若a n =21-2n,则S 10= . 答案 100解析 由a n =21-2n 得a 1=19,a 10=1,所以前10项的和S 10=19+12×10=100. 17.(2021广东深圳外国语学校模拟,13)已知等差数列{a n }的前n 项和S n =225,其前三项和为6,后三项和为39,则该数列有 项.答案 30解析 设等差数列{a n }共有n 项(n ≥3),其前三项和为6,即a 1+a 2+a 3=6,则有3a 2=6,解得a 2=2.后三项和为39,即a n-2+a n-1+a n =39,则有3a n-1=39,解得a n-1=13.等差数列{a n }的前n 项和S n =225,即S n =(a 1+a n )×n 2=(a 2+a n -1)×n 2=15n 2=225,解得n=30.故该数列有30项. 思路分析 设等差数列{a n }共有n 项(n ≥3),由等差数列的性质求出a 2、a n-1,由等差数列的前n 项和的公式可得S n =(a 1+a n )×n 2=(a 2+a n -1)×n 2=225,解方程可得n 的值. 18.(2022届四川绵阳第一次诊断,13)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=2,S 7=35,则a 6= . 答案 7解析 由等差数列性质知S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4=35,故a 4=5.又∵a 1=2,∴公差d=1.∴a n =n+1,则a 6=7. 19.(2022届广西模拟,15)在等差数列{a n }中,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,以S n 表示{a n }的前n 项和,则使S n 达到最大值的n 是 .答案 20解析 因为a 1+a 3+a 5=3a 3=105,a 2+a 4+a 6=3a 4=99,所以a 3=35,a 4=33,从而公差d=-2,则a 1=39,S n =39n+12n(n-1)(-2)=-n 2+40n=-(n-20)2+400,所以当n=20时,S n 取最大值. 三、解答题20.(2022届吉林一调,17)已知数列{a n }是等差数列,S n 是{a n }的前n 项和,a 4=-10,S 8=S 9.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求S n .解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,可知{a 1+8d =0,a 1+3d =-10,解得{a 1=-16,d =2.从而a n =-16+2(n-1)=2n-18(n ∈N *). (2)由(1)知,a 1=-16,d=2,则S n =-16n+n(n -1)2×2=n 2-17n(n ∈N *). 21.(2022届河南调研,18)已知数列{a n }满足a 1=4,a n+1=2a n +2n+1(n ∈N *),设数列{a n }的前n 项和为S n .(1)证明:数列{a n 2n }是等差数列. (2)求S n .解析 (1)证明:由a n+1=2a n +2n+1,得a n+12n+1-a n 2n =1. 因为a 121=2,所以数列{a n 2n }是以2为首项,1为公差的等差数列. (2)由(1)得a n 2n =2+(n-1)×1=n+1,所以a n =(n+1)·2n ,所以S n =2×21+3×22+…+n×2n-1+(n+1)×2n ①,2S n =2×22+3×23+…+n×2n +(n+1)×2n+1②,①-②得-S n =2×21+22+…+2n -(n+1)×2n+1=-n ·2n+1,所以S n =n ·2n+1.22.(2022届陕西宝鸡月考,18)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =14(a n +1)2(n ∈N *). (1)求a 1,a 2;(2)求证:数列{a n }是等差数列.解析 (1)在S n =14(a n +1)2(n ∈N *)中,令n=1,可得a 1=S 1=(a 1+1)24,∴a 1=1. 令n=2,可得1+a 2=(a 2+1)24,得a 2=3或-1(舍去). (2)证明:∵a 1=1,S n =14(a n +1)2(n ∈N *),∴当n ≥2时,S n-1=14(a n-1+1)2,∴S n -S n-1=a n =14(a n +1)2-14(a n-1+1)2=(a n -a n -1)(a n +a n -1+2)4,化简得(a n +a n-1)·(a n -a n-1-2)=0. ∵a n >0,∴a n -a n-1=2(n ≥2),∴{a n }是以1为首项,2为公差的等差数列.23.(2022届哈尔滨期中,20)在数列{a n }中,a 1=4,na n+1-(n+1)a n =2n 2+2n.(1)求证:数列{a n n}是等差数列; (2)求数列{1a n}的前n 项和S n . 解析 (1)证明:na n+1-(n+1)a n =2n 2+2n 的两边同除以n(n+1),得a n+1n+1-a n n=2. 又a 11=4,所以数列{a n n }是首项为4,公差为2的等差数列. (2)由(1)得a n n =4+2(n-1),即a n n =2n+2,所以a n =2n 2+2n,故1a n =12n 2+2n =12(1n -1n+1), 所以S n =12(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)=12·(1-1n+1)=n 2(n+1). 24.(2021石景山一模,17)已知有限数列{a n }共有30项,其中前20项成公差为d 的等差数列,后11项成公比为q 的等比数列.记数列的前n 项和为S n .从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知.求:(1)d,q 的值;(2)数列{a n }中的最大项.条件①:a 2=4,S 5=30,a 21=20;条件②:S 3=0,a 20=-36,a 22=-9;条件③:S 1=48,a 21=20,a 24=160.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解析 选择条件①:a 2=4,S 5=30,a 21=20.(1)因为{a n }的前20项成等差数列,a 2=4,S 5=30,所以{a 1+d =4,5a 1+5×42d =30,解得{a 1=2,d =2.所以a 20=2+19×2=40.因为数列{a n }的后11项成公比为q 的等比数列,所以q=a 21a 20=12. 综上,d=2,q=12. (2){a n }的前20项成等差数列,d>0,所以前20项逐项递增,即前20项中的最大项为a 20=40.数列{a n }的后11项成等比数列,a 20=40,q=12,所以后11项逐项递减,即后11项中的最大项为a 20=40. 综上,数列{a n }的最大项为第20项,其值为40.选择条件②:S 3=0,a 20=-36,a 22=-9.(1)因为{a n }的前20项为等差数列,S 3=0,a 20=-36,所以{3a 1+3d =0,a 1+19d =-36,所以{a 1=2,d =-2. 因为数列{a n }的后11项成公比为q 的等比数列,a 20=-36,a 22=-9,所以q 2=a 22a 20=14,所以q=±12. 综上,d=-2,q=±12. (2){a n }的前20项成等差数列,d<0,所以前20项逐项递减,即前20项中的最大项为a 1=2.i.当q=12时,a n =-36(12)n -20(20≤n ≤30且n ∈N *). 所以当20≤n ≤30时,a n <0.所以数列{a n }的最大项为第1项,其值为2.ii.当q=-12时,a n =-36(-12)n -20(20≤n ≤30且n ∈N *).后11项中的最大项为a 21=18. 故数列{a n }的最大项为第21项,其值为18.综上,当q=12时,数列{a n }的最大项为第1项,其值为2. 当q=-12时,数列{a n }的最大项为第21项,其值为18. 选择条件③:S 1=48,a 21=20,a 24=160.(1)因为数列{a n }的后11项成公比为q 的等比数列,a 21=20,a 24=160,所以q 3=a 24a 21=8,解得q=2.所以a 20=a 21q=10. 又因为{a n }的前20项成等差数列,S 1=a 1=48,所以d=a 20-a 120-1=-2. 综上,d=-2,q=2.(2)数列{a n }的前20项成等差数列,d<0,所以前20项逐项递减,即前20项中的最大项为a 1=48.数列{a n }的后11项成等比数列,a 20=10,q=2.所以a n =10·2n-20(20≤n ≤30且n ∈N *).所以后11项逐项递增.后11项中的最大项为a 30=10240.综上,数列{a n }的最大项为第30项,其值为10240.25.(2020朝阳二模,16)已知{a n }是公差为d 的等差数列,其前n 项和为S n ,且a 5=1, .若存在正整数n,使得S n 有最小值.(1)求{a n }的通项公式;(2)求S n 的最小值.从①a 3=-1,②d=2,③d=-2这三个条件中选择符合题意的一个条件,补充在填空线上并作答. 解析 选择①.(1)因为a 5=1,a 3=-1,所以d=1.所以a n =1+(n-5)×1=n -4.(2)由(1)可知a 1=-3.所以S n =n(a 1+a n )2=12n(n-7)=12(n -72)2-498. 因为n ∈N *, 所以当n=3或4时,S n 取得最小值,最小值为-6. 故存在正整数n=3或4,使得S n 有最小值,最小值为-6. 选择②.(1)因为a 5=1,d=2,所以a n =1+(n-5)×2=2n -9.(2)由(1)可知a 1=-7.所以S n =n(a 1+a n )2=n 2-8n=(n-4)2-16,所以当n=4时,S n 取得最小值,最小值为-16. 故存在正整数n=4,使得S n 有最小值,最小值为-16. (不可以选择③)。
高考数学(数列)第一轮复习
高考数学(数列)第一轮复习资料知识点小结1. 等差数列的定义与性质() 定义:为常数,a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项:,,成等差数列x A y A x y ⇔=+2()()前项和n S a a n nan n d n n =+=+-11212{}性质:是等差数列a n()若,则;1m n p q a a a a m n p q +=++=+{}{}{}()数列,,仍为等差数列;2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ,,……仍为等差数列;232--()若三个数成等差数列,可设为,,;3a d a a d -+ ()若,是等差数列,为前项和,则;42121a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}()为等差数列(,为常数,是关于的常数项为52a S an bn a b n n n ⇔=+ 0的二次函数){}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值;或者求出中的正、负分界=+2 项,即:当,,解不等式组可得达到最大值时的值。
a d a a S n n n n 110000><≥≤⎧⎨⎩+当,,由可得达到最小值时的值。
a d a a S n n n n 11000<>≤≥⎧⎨⎩+{}如:等差数列,,,,则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123(由,∴a a a a a n n n n n ++=⇒==----12113331()又·,∴S a a aa 31322233113=+===()()∴·S a a n a a n nn n n =+=+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-12122131218 ∴=n 27)2. 等比数列的定义与性质 定义:(为常数,),a a q q q a a q n nn n +-=≠=1110 等比中项:、、成等比数列,或x G y G xy G xy ⇒==±2()前项和:(要注意)n S na q a q qq n n ==--≠⎧⎨⎪⎩⎪111111()()!{}性质:是等比数列a n()若,则··1m n p q a a a a m n p q +=+= (),,……仍为等比数列2232S S S S S n n n n n -- 时应注意什么求由n n a S .3 (时,,时,)n a S n a S S n n n ==≥=--12111 4.. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗? 例如:(1)求差(商)法{}如:满足……a a a a n n n n 121212251122+++=+<>解:n a a ==⨯+=1122151411时,,∴n a a a n n n ≥+++=-+<>--2121212215212211时,……<>-<>=12122得:n n a∴a n n =+21∴a n n n n ==≥⎧⎨⎩+141221()()[练习]{}数列满足,,求a S S a a a n n n n n +==++111534 (注意到代入得:a S S S S n n n n n+++=-=1114 {}又,∴是等比数列,S S S n n n 144== n a S S n n n n ≥=-==--23411时,……· (2)叠乘法{}例如:数列中,,,求a a a a nn a n n n n 1131==++ 解:a a a a a a n n a a nn n n 213211122311·……·……,∴-=-= 又,∴a a nn 133==(3)等差型递推公式由,,求,用迭加法a a f n a a a n n n -==-110()n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪-22321321时,…………两边相加,得:()()()a a f f f n n -=+++123()()()…… ∴……a a f f f n n =++++023()()() [练习]{}()数列,,,求a a a a n a n n n n n 111132==+≥-- ()()a n n=-1231 (4)等比型递推公式()a ca d c d c c d n n =+≠≠≠-1010、为常数,,, ()可转化为等比数列,设a x c a x n n +=+-1 ()⇒=+--a ca c x n n 11令,∴()c x d x dc -==-11∴是首项为,为公比的等比数列a d c a dc c n +-⎧⎨⎩⎫⎬⎭+-111∴·a d c a d c c n n +-=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1111∴a a d c c dc n n =+-⎛⎝⎫⎭⎪---1111[练习]{}数列满足,,求a a a a a n n n n 11934=+=+()a n n =-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-84311(5)倒数法例如:,,求a a a a a n nn n 11122==++由已知得:1221211a a a a n n n n+=+=+∴11121a a n n +-= ∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭=111121a a n 为等差数列,,公差为()()∴=+-=+11112121a n n n · ∴a n n =+215.. 你熟悉求数列前n 项和的常用方法吗? 例如:(1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。
高三数学数列第一轮复习资料
(一) 数列的基础知识一、复习要点1、 数列的定义:2、 数列的前n 项和=n S ;11a S ==-1n S ;=+1n S ;n a = ;=+1n a ;3、 已知数列{}n a 的前n 项和n S ,求n a :二、练习1、 已知数列1,4,7,10,……3m+7,求其通项公式n a 及该数列的项数。
2、 已知数列{}n a 的前n 项和n S ;求n a(1)n S =3n n -2 (2)232+-=n n S n (3)121-=+n n S3、 已知数列2,10,4……)13(2-n ,……,那么8是第 项。
4、 已知数列{}n a 中,221+=+n n n a a a 且1a =1,求432,,a a a 及n a 5、 数列通项9,11=++=n n S nn a ,求n 6、 数列{}n a 中,n S =522++n n ,求876a a a ++的值7、 数列{}n a 中,1a =1,2321n a a a a n =⋅⋅ ,求53a a +8、 写出通项公式(1)3,5,9,17,……n a =(2)n a ,1615,87,43,21= (3)42,30,20,12,6,2---……n a =等差数列1、 定义:2、 通项公式 ,则+=m n a a d若q p n m +=+,则 ,若k n m 2=+,则=k a ,A 是b a ,的等差中项,则A=3、 前n 项和n S =(1)0,01<>d a 时{}n a 是 数列,n S 有 值,满足条件⎩⎨⎧<≥+001n n a a(2)0,01><d a 时{}n a 是 数列,n S 有 值,满足条件(3)K K K K k S S S S S 232,,--仍是 数列4、 特殊数列求和:1+2+3+……+n = ;1+3+5+7+……+()12-n = 练习:1、已知等差数列{}n a 中,255=a ,,10010=S 求3015,S S2、在等差数列{}n a 中,若8124=+a a ,求15S 及8a3、等差数列{}n a 中,12010=S ,求92a a +4、等差数列{}n a 中,公差2-=d ,5097741=++++a a a a ,求=++++99963a a a a5、等差数列{}n a 和{}n b 中前n 项和分别为n n T S ,,若132+=n n T S n n ,求99b a 6、等差数列{}n a 中,82=a ,01210=+a a ,求n S d a 及,1,并求n S 的最大值。
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变式训练
变题:在等差数列 {an }中,已知a1 24 ,前 n项和为sn ,且s10 s15 , 判断 sn 能否取得最值,并说明理由.
拓展思考:
在等差数列 {an }中,已知 a1 24 ,前 n项和为sn ,且s10 s15 , (1)求数列{ an } 的前20项和 T20 , (2)求数列{ an } 的前n项和 Tn .
高三一轮复习
等差数列(一)
执教人:南通市第三中学 沈春华
1.等差数列的定义:
1.等差数列的定义:
如果一个数列从 第二项 起,每一项源自减去 它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么 这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差 数列的 公差 ,公差通常用 d 表示.
1.等差数列的定义:
如果一个数列从第二项起,每一项减去它 的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这 个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数 列的公差,公差通常用 d 表示. 关系式:an 1 an d (常数)
已知S8 100 ,S16 392 ,则S24
.
用函数的观点看等差数列
通项公式
an f (n) dn (a1 d )
前n项和公式
一次型函数
n( n 1) Sn na1 d 2
d 2 d f ( n ) n ( a1 )n 2 2
二次型函数
例题讲解
2
4.等差数列的前n项和公式
(首项为 a1,公差为d ):
n(a1 a n ) sn 2 n( n 1) na1 d 2
基础训练 1.在数列{an } 中,若 a1 1, an 1 an 2 ,则该 数列的通项 a n . 2.(必修5 第36 页 例2)在等差数列 an 中,已 知 a3 10, a9 28,则 a12 . 3. 在等差数列{ an} 中,已知 a11 a15 8 ,则 a4 a22 . 4.(必修5 第44 页习题3(3))在等差数列{an }中, 2 已知 a1 2, d , S n 20 ,则 n = . 3 5.(必修5 第41 页 练习4)已知等差数列{an }中,
1.等差数列的定义: 2.首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列的 通项公式:
通项公式的推广:
an a1 (n 1)d
an am (n m)d
1.等差数列的定义: 若数列{an }从第二项起,每一项与它的前 {an } 叫等差 一项的差等于同一个常数,则数列 数列. 2.首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列的 通项公式:an a1 (n 1)d 通项公式推广: an am (n m)d 3.等差中项:如果a、b、c三个数成等差数列,那 么 b a c .我们把 b称为a与c的等差中项.
小结:
1.基础知识
小结:
1.基础知识 2.有关性质
小结:
1.基础知识 2.有关性质 3.思想方法
小结:
1.基础知识 2.有关性质 3.思想方法
作业:
例题:在等差数列{an } 中,已知 a1 24 ,前 n项和为 sn ,且 s10 s15 , (1) 求数列{an }的通项公式;
例题讲解
例题:在等差数列{an } 中,已知 a1 24 ,前 n项和为 sn ,且 s10 s15 , (1)求数列 {an } 的通项公式; sn 取得最大值,并求出它的 (2)当n取何值时, 最大值.