立体几何中的动态问题

立体几何中的动态问题

立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等；求解方法一般根据圆锥曲线的定义判断动点轨迹是什么样的曲线；利用空间向量的坐标运算求轨迹的长度等．

一、常见题目类型

(优质试题·金华十校高考模拟)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点

M 、N 分别是直线CD 、AB 上的动点，点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包

括边界)，记直线D 1P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为π3

，则点P 的轨迹是( )

A ．圆的一部分

B ．椭圆的一部分

C ．抛物线的一部分

D ．双曲线的一部分

【解析】 把MN 平移到平面A 1B 1C 1D 1中，直线D 1P 与MN 所成角为

θ，直线D 1P 与MN 所成角的最小值是直线D 1P 与平面A 1B 1C 1D 1所成角，

即原问题转化为：直线D 1P 与平面A 1B 1C 1D 1所成角为π3

，点P 在平面A 1B 1C 1D 1的投影为圆的一部分，

因为点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，

所以点P 的轨迹是椭圆的一部分．故选B.

【答案】 B

(优质试题·浙江名校协作体高三联考)已知平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，且AB ＝1，AD ＝CD ＝2.ADEF 是正方形，在正方形ADEF 内部有一点M ，满足MB ，MC 与平面ADEF 所成的角相等，则点M 的轨迹长度为( )

A.43

B.163

C.49π

D.83

π 【解析】 根据题意，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DE 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，如图1所示，则B (2，1，0)，C (0，2，0)，设M (x ，0，z )，易知直线MB ，MC 与平面ADEF 所成的角分别为∠AMB ，∠DMC ，均为锐角，且∠AMB ＝∠DMC ，所以sin ∠AMB ＝sin ∠DMC ⇒AB MB ＝CD MC ，即2MB ＝MC ，因此2（2－x ）2＋12＋z 2＝

x 2＋22＋z 2，整理得⎝⎛⎭⎫x －832

＋z 2＝169，由此可得，点M 在正方形ADEF 内的轨迹是以点O ⎝⎛⎭⎫83，0，0为圆心，半径为43的圆弧M 1M 2，如图2所示，易知圆心角∠M 1OM 2＝π3

，所以lM 1M 2＝π3×43＝49

π.故选C.

【答案】 C

(优质试题·杭州市高考模拟)

在等腰直角△ABC 中，AB ⊥AC ，BC ＝2，M 为BC 中点，N 为AC

中点，D 为BC 边上一个动点，△ABD 沿AD 翻折使BD ⊥DC ，点A

在面BCD 上的投影为点O ，当点D 在BC 上运动时，以下说法错误

的是( )

A ．线段NO 为定长

B ．|CO |∈[1，2)

C ．∠AMO ＋∠ADB >180°

D ．点O 的轨迹是圆弧

【解析】 如图所示，对于A ，△AOC 为直角三角形，ON 为斜边AC

上的中线，ON ＝12

AC 为定长，即A 正确；对于B ，D 在M 时，AO ＝1，CO ＝1，所以|CO |∈[1，2)，即正确；对于D ，由A 可知，点O 的轨

迹是圆弧，即D 正确，故选C.

【答案】 C

求解立体几何中的轨迹问题时，首先要探究点的轨迹的形成过程，同时还要注意动点的性质以及点、线、面之间的位置关系，若动点的性质满足解析几何中圆锥曲线的定义，也可借助定义求出轨迹．

二、巩固提高

(1)(优质试题·台州市高考模拟)如图，在棱长为2的正四面体A -BCD 中，

E 、

F 分别为直线AB 、CD 上的动点，且|EF |＝ 3.若记EF 中点P 的轨迹

为L ，则|L |等于________．(注：|L |表示L 的测度，在本题，L 为曲线、平面图形、空间几何体时，|L |分别对应长度、面积、体积)

(2)(优质试题·宁波诺丁汉大学附中高三期中考试)如图，矩形ABCD

中，AB ＝1，BC ＝3，将△ABD 沿对角线BD 向上翻折，若翻折过

程中AC 长度在⎣⎡

⎦⎤102，132内变化，则点A 所形成的运动轨迹的长度为________．

解析：(1)如图，当E 为AB 中点时，F 分别在C ，D 处，满足|EF |＝3，

此时EF 的中点P 在EC ，ED 的中点P 1，P 2的位置上；当F 为CD 中

点时，E 分别在A ，B 处，满足|EF |＝3，此时EF 的中点P 在BF ，AF

的中点P 3，P 4的位置上，连接P 1P 2，P 3P 4相交于点O ，则四点P 1，P 2，

P 3，P 4共圆，圆心为O ，圆的半径为12，则EF 中点P 的轨迹L 为以O 为圆心，以12

为半径的圆，其测度|L |＝2π×12

＝π. (2)过A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，连接CE ，A ′E .

因为矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，

所以AE ＝32，CE ＝72

. 所以A 点的轨迹为以E 为圆心，以

32为半径的圆弧．∠A ′EA 为二面角A -BD -A ′的平面角． 以E 为原点，以EB ，EA ′所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示空间直角坐标系E -xyz ，设∠A ′EA ＝θ，

则A ⎝⎛⎭⎫0，32cos θ，32sin θ，C ⎝⎛⎭

⎫－1，－32，0， 所以AC ＝

1＋34（cos θ＋1）2＋34sin 2θ＝5＋3cos θ2， 所以102≤ 5＋3cos θ2≤132，解得0≤cos θ≤12

， 所以60°≤θ≤90°，所以A 点轨迹的圆心角为30°，

所以A 点轨迹的长度为π6·32＝3π12

.