随机过程讲义(南开大学内部)

舱舮舴 复合艐良艩艳艳良艮过程及应用 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舷
舱舮舴舮舱 复合艐良艩艳艳良艮过程 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舷
舱舮舴舮舲 复合艐良艩艳艳良艮过程在保险风险理论中的应用 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舸
3 连续时间马氏链
33
舳舮舱 定义 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舳舳
舳舮舱舮舱 马氏性与等价条件 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舳舳
对 h > 0般 有
pn(t
+
h) h
−
pn(t)
=
−λpn(t)
+
λpn−1(t)
+
o(h) ,
h
从而 pn(t) 在 t 的右导数为 −λpn(t) + λpn−1(t)舮 类似的可知 pn(t) 的左导数也存在。
这样
pn(t) = −λpn(t) + λpn−1(t), pn(0) = 0, n ≥ 1.
舱舮舵 艐良艩艳艳良艮 过程的其它扩展 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舰
舱舮舵舮舱 非齐次 艐良艩艳艳良艮 过程 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舰
舱舮舵舮舲 条件 艐良艩艳艳良艮 过程 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舰
舱舮舳 艐良艩艳艳良艮过程的其它性质 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舵
舱舮舳舮舱 顺序统计量 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舵
舱舮舳舮舲 过程的稀疏 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舶
舲舮舲舮舳 状态的周期性 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舲舰
舲舮舳 不变测度和平稳分布 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舲舰
舲舮舴 极限定理 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舲舳
定理 1.3 Tn, n = 1, 2, . . . 独立同分布且服从参数 λ 的指数分布。
证明 由
P (T1 > t) = P (N (t) = 0) = e−λt,
T1 服从参数为 λ 的指数分布。对 0 < t1 < t2 和充分小的 h1般 h2 > 0般
P (t1 − h1 < S1 ≤ t1 + h1, t2 − h2 < S2 ≤ t2 + h2) =P (N (t1 − h1) = 0, N (t1 + h1) − N (t1 − h1) = 1, N (t2 − h2) − N (t1 + h1) = 0,
P (X > t + s) = P (X > t)P (X > s).
引理 1.1 设随机变量 X, Y 独立，f : R × R → R 有界可测。令 g(x) = E[f (x, Y )]. 则 g(X) 可积，且
E[f (X, Y )] = E[g(X)].
称 {N (t), t ≥ 0} 为计数过程，若 N (t) 表示在时刻 t 之前发生事件的次数。因 此，计数过程 N (t) 满足：
p0(h) = P (N (h) = 0) = 1 − P (N (h) = 1) − P (N (h) ≥ 2) = 1 − λh + o(h),
得 p0(t + h) − p0(t) = (1 − p0(h))p0(t) = λhp0(t) + o(h).
从而 p0(t) 在 t 右可导，且右导数为 −λp0(t)舮 而
舨艩舩 N (t) ≥ 0舻 舨艩艩舩 N (t) 为整数值； 舨艩艩艩舩 对 0 ≥ s ≤ t般 N (s) ≤ N (t)舻 舨艩艶舩 对 0 ≤ s < t般 N (t) − N (s) 表在区间 (s, t] 发生事件的次数。
§1.1 定义
定义 1.1 称 {N (t), t ≥ 0} 为参数为 λ 的（齐次） Poisson 过程，若
N (t2 + h2) − N (t2 − h2) = 1) =e−λ(t1−h1) · λ2h1e−2λh1 · e−λ(t2−h2−t1−h1) · λ2h2e−2λh2 =4λ2h1h2e−λ(t2+h2).
所以，(S1, S2) 的联合密度函数为
g(s1, s2) =
λ2e−λs2, 0 < s1 < s2;
随机过程讲义 (内部交流)
目录
目录
1 Poisson 过程
1
舱舮舱 定义 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱
舱舮舲 另一个等价定义 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舳
上面方程等价于
(eλtpn(t)) = eλtpn−1(t).
容易得到
pn(t)
=
e−λt
(λt)n n!
.
舭舲舭
第一章 艐良艩艳艳良艮 过程
这样，艐良艩艳艳良艮 过程有如下的等价定义。 定义 1.2 称 {N (t), t ≥ 0} 为参数为 λ 的 Poisson 过程，若
(i) N (t) 是计数过程，且 N (0) = 0; (ii) N (t) 是独立增量过程； (iii) 对任意的 t ≥ 0, h > 0, 有
舱舮舵舮舳 艐良艩艳艳良艮 随机测度 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舱
2 离散时间马氏链
12
舲舮舱 定义与例 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舲
舭艩舭

第一章 艐良艩艳艳良艮 过程
第一章 Poisson 过程
称随机变量
X
服从参数为
λ
的
艐良艩艳艳良艮
分布，若
P (X
=
k)
=
e−λ
λk k!
般
k
=
0, 1, . . .舮
称随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布，若 P (X > t) = e−λt舮 此时，X 的密度
函数为 λe−λt般 t > 0般 分布函数为 1 − e−λt般 t > 0舮 指数分布满足无记忆性，即
舲舮舲 状态分类 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舴
舲舮舲舮舱 状态空间的分解 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舴
舲舮舲舮舲 状态的常返 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舵
(i) N (t)是计数过程，N (0) = 0;
(ii) N (t) 具有平稳独立增量，即对任意的 0 ≤ t0 < t1 < · · · < tn, t ≥ 0, h > 0, 有 N (t1) − N (t0), . . ., N (tn) − N (tn−1) 独立，且 N (t + h) − N (t) 与 N (h) 同分布；
舳舮舴 向前与向后微分方程组 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舴舳
舳舮舵 一类马氏链的构造 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舴舶
舳舮舶 强马氏性 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舴舸
舲舮舴舮舱 极限分布 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舲舳
舲舮舴舮舲 比率定理 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舲舶
舲舮舵 一些例子 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舲舷
舳舮舱舮舲 转移概率 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舳舵
舳舮舲 标准转移矩阵的分析性质 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舳舶