截断切割的优化设计

长方

摘要

本篇论文着重讨论了长方体截断切割的最优排序策略，用排列组合得到720 种所可行解及其费用并对于原问题建立了决策并对所给出的算法进行了分析和检验。当E=3时我归纳出解决问题的最优法则, 从而提出了将面间距统一成判断权重来作为排序准则的算法,

最后我结合实际问题将本问题进行了拓展讨论了当最终产品(成品)在毛坯(待加工长方体)中位置不预定时应如何实施加工方案以达到节省费用和节约资源的目的,使我们的方案适用于更为广阔的领域

关键字:权重、捆绑法、排列组合、最小路径

一、问题的重述与分析

在日常的工业生产中，工人师傅会常常采取一分为二的截断切割方式从一块长方体材料中切出一个小长方体，其加工总费用与水平切割、垂直切割的截面面积、调整刀具时的额外费用e以及切割面的排列顺序。通常要经过6 次截断切割完成.水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍.先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.

对于本问题我们首先面临的是各面加工次序的排列问题和我们当考虑到原成品和成品的位置不确定的时候我们如何采取策略来达到最优的切割方式

二、模型假设

1、机器切割与刀具无任何误差

2、人为操作（换刀，位置摆放等）完全正确

3、金属不会因为加工过程中环境因素而发生微小的变形

4、目标长方体所在位置与原成品任一表面不重合

5、切割刀具为一个且水平放置

6、水平方向只需平行移动水平刀具或调整后平行移动

三、符号说明

A，B，C分别表示原长方体的长、宽、高，单位：cm

a，b，c分别表示目标长方体的长、宽、高，单位：cm

毛坯的左表面右表面前表面后表面上表面下

表面最终产品的左表面右表面前表面后表面上表面

下表面（为方便做题，分别记为253614）

r 水平切割单位面积费用与垂直切割单位面积费用之比

e 调整一次垂直刀具的额外费用

p 垂直切割单位面积费用

ti 加工过程中的第i 刀切割第ti 个面

wi 第i 次切割的切割费用单位:元

vi 第i 次切割被切割掉部分的面积单位:平方厘米

di 最终产品与毛坯的对应表面的距离i = 1,2,，，，6

其它变量如果出现则在使用时另行说明

四、模型建立

模型一：

1求出费用最小下的最优切割方式（方法同模型二）以各个切割面为顶点，任意

每两个顶点之间的切割费用（考虑额外费用e）即权重，画出类似模型二中图，

再利用Dijkstra算法求出最短路径及所求最优切割方式

A

1

C 6

2 a b C5 B

3 A 4

模型二：

根据调整刀具需额外费用e的次数（E）可分为以下几种可能

1、E=3次的情形就是首先切割对应的平行面如：1、4面

2、5面

3、6面，将其平行的对面用捆绑法进行捆绑，分别记为V1、V2、V3。并对其进行排列组合一共有6种情况。根据每个截面积给其赋予相应的权重，

V11 v14 v22 v25 v33 v36

2、E=4次的情形就是首先选一对互相平行的平面切割，再在剩下的任一对平行面中选取一个平面进行切割，剩余3个平面任意切割，共有12种情况。

分别为：（142356）（142653）（143265）（143562）

（253164）（253461）（251346）（254316）

（361245）（364215）（362451）（362154）

同理，将此12种情况，用Dijkstra算法求出最短路径即此种情况下最小费用的最优切割反方式

3、与1、2同理，当E=5次时，求出此种情况下最小费用的最优切割方式。

五、模型求解

在以上模型建立中所得出当E=3、4、5、6次时各种情况下最小费用的最优切割方式的基础上，分析费用e对最优切割方式的影响如下表：

e取值最少费用最优切割方案

e=2

e=2.1

e=2.2

e=2.3

e=2.4

e=2.5

e=3

e=3.5

e=4

e=4.5

e=5

e=5.5

e=6

e=6.5

e=7

e=7.5

e=8

e=8.5

e=9

e=9.5

e=10

e=10.5

e=11

e=11.5

e=12

总结规律，画出切割方式与e的变化图像，列出其表格，求出当e等于？时的唯一最优切割方式，即所求

六模型的分析和检验

由以上的计算与分析可知，r以及e是在毛坯与成品要求已固定情况下影响费用和切割方式的重要因素，当e=3时，根据优化准则，可以找到最优的切割方式当e大于3时求出各种情况下的最优解，再在e的影响下对其各最解进行比较得出所求

七、模型的评价与推广

对于成品位置不固定，成品表面可以无限靠近毛坯表面这个模型，则可以将此问题看做为选择毛坯的八个角中的一个，也即选择普通模型的六刀中的前三刀的费用，成品未切割的也即靠近毛坯表面的三个面的补刀费用，以及换刀的费用，三者之和就是总费用。此模型亦可以用最优准则及实用准则来取得较好的优化效果评价，由于时间急迫，加上第一次学写论文有很多的漏洞，在模型的求解中没有算出结果