人教课标版高中数学必修5第一章《解三角形》章末演练轻松闯关

第一章《解三角形》章末演练

[A.基础达标]

1．在△ABC 中，A ＝π

3，BC ＝3，AB ＝6，则C ＝( )

A.π4或3π

4 B.3π4 C.π4

D.π6 2．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B ＝( ) A ．±53 B.23 C ．－

53

D.53

3．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝1

3

，则△ABC 的面积为( )

A ．3 3

B ．2 3

C ．4 3 D. 3

4．如图，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°，与O 相距15海里的C 处．现甲船 以35海里/小时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向25海里的B 处的乙船，则甲船到达B 处需要的时间为( )

A.1

2小时 B ．1小时 C.3

2

小时 D ．2小时

5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A 2＝c －b

2c ，则△ABC 的形

状为( )

A ．等边三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等腰直角三角形

6．已知△ABC 中，3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则cos C 的大小是________．

7．在△ABC 中，已知cos A ＝35，cos B ＝5

13

，b ＝3，则c ＝________.

8．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏

西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.

9．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处进行该仪器的垂直弹射，观察点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到

弹射声音的时间比B 地晚2

17 s ．A 地测得该仪器在C 处时的俯角为15°，A 地测得最高点H

的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340 m/s)

10．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．

[B.能力提升]

1．在三角形ABC 中，已知三边之比a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，则sin A －2sin B

sin 2C 的值等于( )

A ．1

B ．2

C ．－2

D.12

2．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，则边长c 的取值范围是________．

3．在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝1

4，则c ＝________；sin A ＝________．

4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π

3.

(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；

(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．

5．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度向正东方向匀速行驶，经过t 小时小艇与轮船相遇，假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短的时间与轮船相遇，并说明理由．

参考答案

[A.基础达标]

1.解析：选C.由BC sin A ＝AB sin C ，得sin C ＝2

2.∵BC ＝3，AB ＝6，∴A >C ，则C 为锐角，

故C ＝π4

.

2.解析：选A.因为a sin A ＝b

sin B ，所以

15sin 30°＝20sin B

，解得sin B ＝2

3.因为b >a ，所以

B >A ，故B 有两解，所以cos B ＝±5

3

.

3.解析：选C.∵cos C ＝13，0

3，

∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×22

3

＝4 3.

4.解析：选B.在△OBC 中，由余弦定理，得CB 2＝CO 2＋OB 2－2CO ·OB cos 120°＝152

＋252＋15×25＝352，因此CB ＝35，35

35

＝1(小时)，因此甲船到达B 处需要的时间为1小时．

5.解析：选B.法一：由已知可得

1－cos A 2＝12－b

2c

，即 cos A ＝b

c

，b ＝c cos A .

由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc ，

则b ＝c ·b 2＋c 2－a 2

2bc

，

所以c 2＝a 2＋b 2，由此知△ABC 为直角三角形． 法二：由法一知b ＝c cos A ，由正弦定理，得

sin B ＝sin C cos A ．在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )， 从而有sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ， 即sin A cos C ＝0.在△ABC 中，sin A ≠0， 所以cos C ＝0.由此得C ＝π

2，

故△ABC 为直角三角形．

6.解析：由3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，得c 2＝a 2＋b 2－2

3ab .

根据余弦定理，cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

＝a 2＋b 2－a 2－b 2＋2

3ab

2ab ＝1

3，

所以cos C ＝1

3

.