实系数一元二次方程Ⅰ

三、例题举隅
例1、在复数集中解方程： 6 2 2 x 4 x 5 0 x 1, 2 1 i 2 变式1、在复数集中因式分解：
2x 4x 5
2
在实数集内， 实系数一元二次方程 2 bx c 0 若 ax
能否推广到 复数集？
6 6 2( x 1 i )( x 1 i) 2 2
教学目标：
1、理解在复数范围内，实系数一元二次方程总有两个根， 并掌握根的求法． 2、当Δ<0时，实系数一元二次方程有两个共轭的虚根． 3、实系数一元二次方程根与系数的关系．
教学重点与难点：
教学重点：实系数一元二次方程的求法与根的特点， 根与系数的关系． 教学难点： 在复数集内分解因式．
教学方法：启发式为主． 教学手段：多媒体辅助教学． 教学过程：
有根x1、x 2 ,则ax 2 bx c可因式分解为 ( x x1 )( x x 2 ) a
二次项系 数a一定 在复数集内，二次三项 式 2 在复数集内， 实系数一元二次方程 bx要提出！ 若 ax c 0 2
ax bx c一定可以因式分解为( x x1 )( x x ) a a 有根x1 ,x 2 ,则ax 2 bx c可因式分解为 ( x x1 )( x2 x 2 )
x1 ,x2为实系数一元二次方程 2 bx c 0的两个根 ax
三、例题举隅
例1、在复数集中解方程： 6 2 2 x 4 x 5 0 x 1, 2 1 i 2 变式1、在复数集中因式分解：
2x 4x 5
2
6 6 2( x 1 i )( x 1 i) 2 2
2、实系数一元二次方程根与系数的关系 3、在复数范围内分解因式
2
韦达定理依然成立
四、课堂练习
ex1、在复数集中解方程： 2 (1) x 2 0 2 (2) x x 1 0 2 (3) x 2ix 2 0 ex2、在复数集中分解因式 ： 2 (1) x 6 ( x 6i )( x 6i ) (2) x 4 16 ( x 2i )( x 2i )( x 2)( x 2)
ex3、已知 1 i是方程 2 x a 0(a R) x 的一个根，求及另一个根. a
3 3 (3) 6 x 4 3( x 1 3x i )( x 1 i) 3 3 2
2
ex3、已知 1 i是方程 2 x a 0(a R) x
(2) 0时，虚数根成对且共轭 b c x (3)韦达定理成立 1 x 2 a ，x1 x 2 a
（Viete，Francois，seigneurdeLa Bigotiere） 韦达
是法国十六世纪最有影响的数学家之一，韦达 在欧洲被尊称为“代数学之父”。韦达最重要的 贡献是对代数学的推进： 韦达讨论了方程根的各种有理变换， 发现了方程根与系数之间的关系。 (所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系 的结论称为韦达定理) 欧拉在《微分公式》（1777年）一文中第一次 用i来表示-1的平方根，首创了用符号i作为虚数 的单位
2
称为实系数一元二次方 程．
1、讨论实系数一元二次 方程ax bx c 0的根 2 b b 2两个 ac 4 2 ax bx c 0 配方得： x 不等实根 2a 4a 2
2
2
b b 4ac (1) 当b 4ac 0 x1, 2 2a 2a 两个 b 2 相等实根 (2) 当b 4ac 0 x1 x 2 2a 2 b 4ac b 一对 2 i 共轭虚根 (3) 当b 4ac 0 x 2a 2a
2
2、共轭虚根定理： (虚根成对出现 ) 若实系数一元二次方程 有一虚根为 bi a (a、b R)，则可知另一虚根为 bi． a
3、实系数一元二次方程 根与系数的关系
b x1 x 2 a (1)当 0时， 达 定 理 韦 成立 x x c 1 2 a (2)当 0时， b 2 x1 x 2 a b 4ac b 韦达定理 x1, 2 i 2a 2a x x c 依然成立 1 2 a
一、实系数一元二次方程
求-1的平方根
根的情况： பைடு நூலகம்数集 没有实数根
求x 1 0的根
2
复数集
i
实系数一元二次方程
？
对于方程 2 bx c 0(a,b,c R,a 0） ax
如果没有实 根，是否也存在着虚 根呢？ 数 数
二、实系数一元二次方程的解
方程ax bx c 0(a, b, c R, a 0)
2
的一个根，求及另一个根. a
解：x1 1 i是方程的一个虚根
方程x 2 x a 0的另一虚根是 2 1 i x
2
x1 x2 a 2
四、课堂小结
1、实系数一元二次方程在复数集中的解
0，方程有两个不相等的 实数根 0，方程有两个相等的实 数根 0，方程有一对共轭虚根
变式2、 2 x 2 4 x k 0(k R) 变式3、 2 x ix 5 0
2
例2、已知 i 2是关于 的方程 x 2 px q 0 3 x 2 的一个根求实数 q的值． , p,
解：x1 2 3i是方程的一个虚根
方程2 x px q 0的另一虚根是 2 2 3i x p x1 x 2 2 4 p8 q x1 x 2 13 q 26 2
总结：
对于方程ax bx c 0(a, b, c R, a 0)
2
1、在复数范围内求解方 (求根公式或因式分解 程 ) 2、有关结论 (1)实系数一元二次方程在 复数范围内定有两个根 b x 2 0，方程有两个不相等的 实数根 1、
2a 2a b 0，方程有两个相等的实 x1、 数根 2 2a b 0，方程有一对共轭虚根、 x1 2 i 2a 2a