【高中数学】第1讲 空间几何体(知识点串讲)(含答案)

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由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是三棱锥．B 错误，对等
腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故不正确．C 错误，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六
边形．而若以正六边形为底面，则侧棱长必然要大于底面边长．易知 D 正确．]
练习．给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
【高中数学】第一讲 空间几何体
【知识梳理】
1．多面体的结构特征
2．旋转体的形成 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球
【考点精炼】
旋转图形 矩形
直角三角形 直角梯形
半圆
考点一：空间几何体的结构特征
旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线
直径所在的直线
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例 1．（2019 年温州月考）下列结论正确的是( ) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
A． 2 3
C．4 3
B． 3 3
D．3 2
【知识梳理】
8．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R， ①若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； ②若球为正方体的内切球，则 2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝ a2＋b2＋c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1.
一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 4R2＝a2＋b2＋c2 求解．
【考点精炼】
考点六：与球有关的切接问题
例 6、(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱 ABC­A1B1C1 内有一个体积为 V 的球．若 AB⊥BC，AB＝6，BC
＝8，AA1＝3，则 V 的最大值是( ) A．4π
B．9π 2
A．正方形 C．菱形 【答案】C [如图，
B．矩形 D．一般的平行四边形
在原 图形 OABC 中， 应有 OD＝ 2O′D′ ＝2×2 2＝ 4 2(cm) ，CD ＝C′D′＝ 2 cm，所 以 OC＝ OD2＋CD2＝ 4 22＋22＝6(cm)，所以 OA＝OC，故四边形 OABC 是菱形．]
它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧 棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．]
【知识梳理】
3．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为 45°或 135°，z′轴与 x′轴 和 y′轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保 持原长度不变；平行于 y 轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.
面面积之和．
5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展 开图
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侧面积 公式
S 圆柱侧＝2πrl
S 圆锥侧＝πrl
S 圆台侧＝π(r1＋r2)l
6．柱、锥、台和球的表面积和体积
几何体
名称
表面积
体积
柱体 (棱柱和圆柱)
S 表面积＝S 侧＋2S 底
V＝Sh
锥体 (棱锥和圆锥)
S 表面积＝S 侧＋S 底
V＝1Sh 3
台体 (棱台和圆台)
S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下
V＝1(S 上＋S 下＋ S 上 S 下)h 3
球
S＝4πR2
V＝4πR3 3
【考点精炼】
考点四：空间几何体的表面积 例 4．(2019·山东泰安检测)如图，直角梯形 ABCD 中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将
【知识梳理】
4．多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底
面面积之和．
5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
圆台
侧面展 开图
侧面积 公式
S 圆柱侧＝2πrl
6．柱、锥、台和球的表面积和体积
名称
S 圆锥侧＝πrl 表面积
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C．6π
D．32π 3
[变式探究 1] 若本例中的条件变为“直三棱柱 ABC­A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上”，若 AB＝ 3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球 O 的表面积．
[变式探究 2] 若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球 O 的球面上”，若该棱锥的高为 4，底面 边长为 2，求该球的体积．
“三变” 与 y 轴平行的线段的长度变为原来的一半 图形改变
平行性不改变 “三不变” 与 x，z 轴平行的线段的长度不改变
相对位置不改变
(3)平面图形的直观图与原图形面积的关系：S
＝ 直观图
2S 4
原图．
【考点精炼】
考点二：空间几何体的直观图 例 2、（2019 年金台区月考）如图，矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )
练习．给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【知识梳理】
3．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A [①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为
旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，
坐标轴的夹角改变 “三变” 与 y 轴平行的线段的长度变为原来的一半
图形改变 平行性不改变
“三不变” 与 x，z 轴平行的线段的长度不改变 相对位置不改变
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(3)平面图形的直观图与原图形面积的关系：S
＝ 直观图
2S 4
原图．
【考点精炼】
考点二：空间几何体的直观图 例 2、（2019 年金台区月考）如图，矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )
【考点精炼】
考点五：空间几何体的体积 例 5、(2018·天津卷)如图，已知正方体 ABCD­A1B1C1D1 的棱长为 1，则四棱锥 A1­BB1D1D 的体积为
________.
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练习、(2019·山东青岛月考)如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且△ADE， △BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为( )
练习、如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为 45°、腰和上底长均为 2 的 等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )
A．2＋ 2
B．1＋ 2
C．4＋2 2
D．8＋4 2
【答案】D [由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示，
∴这个平面图形的面积为4×2＋2＋2 2＝8＋4 2.] 2
9.空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形
与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA＝a，PB＝b，PC＝c，
即为 M 到 N 的最短路径．
EN＝1×16＝4，EM＝2，∴|MN|＝ EM2＋EN2＝ 22＋42＝2 5.] 4
[训练] (2019·山东潍坊检测)如图，底面半径为 1，高为 2 的圆柱，在 A 点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁 要围绕圆柱由 A 点爬到 B 点，则蚂蚁爬行的最短距离为________.
A．2 17 C．3
B．2 5 D．2
[训练] (2019·山东潍坊检测)如图，底面半径为 1，高为 2 的圆柱，在 A 点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁 要围绕圆柱由 A 点爬到 B 点，则蚂蚁爬行的最短距离为________.
【知识梳理】
4．多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底
考点三：空间几何体的平面展开图 例 3、(2018·全国卷Ⅰ改编)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，M，N 分别是圆柱上、下底面圆周上的两 点，其中 OE⊥ON，如图所示，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为( )
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A．2 17
B．2 5
C．3
D．2
【答案】B [圆柱的侧面展开图及 M，N 的位置(N 为 EP 的四等分点)如图所示，连接 MN，则图中 MN
S 圆台侧＝π(r1＋r2)l 体积
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几何体 柱体
(棱柱和圆柱) 锥体
(棱锥和圆锥) 台体
(棱台和圆台)
球
【考点精炼】
S 表面积＝S 侧＋2S 底 S 表面积＝S 侧＋S 底 S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下
S＝4πR2
V＝Sh
V＝1Sh 3
V＝1(S 3
上＋S
下＋
S 上 S 下)h
V＝4πR3 3
直角梯形绕 BC 边旋转一周，则所得几何体的表面积为________.
练习．(2019·广东湛江月考)一个六棱锥的体积为 2 3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等， 则该六棱锥的侧面积为________.
【知识梳理】
7.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
考点四：空间几何体的表面积 例 4．(2019·山东泰安检测)如图，直角梯形 ABCD 中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将
直角梯形绕 BC 边旋转一周，则所得几何体的表面积为________.
练习、(2018·全国卷Ⅲ)设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且
其面积为 9 3，则三棱锥 D­ABC 体积的最大值为( )
A．12 3
B．18 3
C．24 3
D．54 3
《空间几何》参考答案
【考点精炼】
考点一：空间几何体的结构特征 例 1．（2019 年温州月考）下列结论正确的是( ) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 【答案】D [A 错误，如图，
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A．正方形 C．菱形
B．矩形 D．一般的平行四边形
练习、如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为 45°、腰和上底长均为 2 的 等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )
A．2＋ 2 C．4＋2 2
B．1＋ 2 D．8＋4 2
考点三：空间几何体的平面展开图 例 3、(2018·全国卷Ⅰ改编)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，M，N 分别是圆柱上、下底面圆周上的两 点，其中 OE⊥ON，如图所示，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为( )
(1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为 45°或 135°，z′轴与 x′轴
和 y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保
持原长度不变；平行于 y 轴的线段在直观图中长度变为原来的一半. 坐标轴的夹角改变
【答案】2 1＋π2 [把圆柱的侧面沿 AB 剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接 AB′， 即为蚂蚁爬行的最短距离．
因为 AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且 AA′＝2π×1＝2π.所以 AB′＝ A′B′2＋AA′2＝ 4＋2π2＝2 1＋π2，所以蚂蚁爬行的最短距离为 2 1＋π2.]