长春市东北师大附中九年级(上)期末数学试卷含答案
2024年吉林省长春市南关区东北师大附中净月实验学校九年级(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.实数的绝对值是( )A. 2023B.C.D.2.作为我国核电走向世界的“国家名片”，“华龙一号”是当前核电市场接受度最高的三代核电机型之一，是我国核电企业研发设计的具有完全自主知识产权的三代压水堆核电创新成果，中核集团“华龙一号”示范工程全面建成后，每台机组年发电能力近200亿千瓦时．200亿用科学记数法表示为( )A.B.C.D.3.如图所示的几何体是由7个相同的小正方体组合成的，从左面看到的图形是( )2023-2024学年吉林省长春市南关区东北师大附中净月实验学校九年级（上）期末数学试卷A.B.C.D.4.如图，点A 、B 、C 在上，点D 是AB 延长线上一点，若，则的度数为( )A. 67B. 113C. 134D. 1375.在山坡上植树，要求两棵树间的坡面距离是3，测得斜坡的倾斜角为，则斜坡上相邻两棵树的水平距离是( )A. B. C. D.6.如图，四个三角形拼成一个风车图形，若，当风车转动，点B运动的路径长度为( )A.B.C.D.7.已知，且点，，都在函数的图象上，则( )A. B. C. D.8.如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为点C，交y轴于点则的面积为( )A. 4B. 5C. 8D. 10二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.分解因式______.10.若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为______.11.将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为______.12.计算：______.13.如图，在等腰直角中，，，分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为______.14.如图，点P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为______.三、解答题：本题共10小题，共78分。
2019—2020学年吉林省长春市南关区东北师大附中九年级(上)期末数学试卷(解析版)
2019—2020学年吉林省长春市南关区东北师大附中九年级(上)期末数学试卷(解析版)一、选择题（每小题3分,共24分）1．一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（）A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0,x2＝﹣2 D．x1＝0,x2＝2 2．下列各点在函数y＝﹣x2+1的图象上是（）A．（0,0）B．（1,1）C．（0,﹣1）D．（1,0）3．已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1,0）,则关于x 的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是（）A．x1＝1,x2＝﹣1 B．x1＝1,x2＝2 C．x1＝1,x2＝0 D．x1＝1,x2＝3 4．如图,AB是直径,,∠BOC＝40°,则∠AOE的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．将抛物线y＝先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线所对应的函数式为（）A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x﹣2）2﹣3C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2+36．如图,正六边形螺帽的边长是2cm,这个扳手的开口a的值为（）A．1 B．C．D．7．已知函数y＝﹣x2+bx+c,其中b＞0,c＜0,此函数的图象可以是（）A．B．C．D．8．如图,四边形ABCO是平行四边形,OA＝2,AB＝6,点C在x轴的负半轴上,将平行四边形ABCO绕点A逆时针旋转得到平行四边形ADEF,AD经过点O,点F恰好落在x轴的正半轴上．若点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上,则k的值为（）A．4B．12 C．8D．6二、填空题（每小题3分,共18分）9．某中学随机地调查了50名学生,了解他们一周在校的体育锻炼时间,结果如下表所示：则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是小时．10．抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0,3）,B（2,3）,抛物线所对应的函数表达式为．11．如果关于x的方程x2﹣x+k＝0（k为常数）有两个相等的实数根,那么k＝．12．如图,扇形纸叠扇完全打开后,扇形ABC的面积为300πcm2,∠BAC＝120°,BD＝2AD,则BD的长度为cm．13．如图,在半径为3的⊙O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC＝2,则cos D ＝．14．已知抛德物线y＝+1有下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0,2）的距离与到轴的距离始终相等,如图,点M的坐标为（,3）,P是抛物线y＝+1上一个动点,则△PMF周长的最小值是．三、解答题15．（11分）先化简,再求值：,其中x＝﹣3．16．（6分）小红玩抽卡片和旋转盘游戏,有两张正面分别标有数字1,﹣2的不透明卡片,背面完全相同；转盘被平均分成3个相等的扇形,并分别标有数字﹣1,3,4（如图所示）,小云把卡片背面朝上洗匀后从中随机抽出一张,记下卡片上的数字；然后转动转盘,转盘停止后,记下指针所在区域的数字（若指针在分格线上,则重转一次,直到指针指向某一区域为止）．请用列表或树状图的方法（只选其中一种）求出两个数字之积为负数的概率．17．（6分）现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高度发展,据调查,长春市某家快递公司今年三月份完成投递的快递总件数为10万件,预计五月份完成投递的快递总件数将增加到12.1万件,现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同,求该快递公司完成投递的快递总件数三月份到五月份的月平均增长率．18．（7分）某校在开展读书交流活动中,全体师生积极捐书,为了解所捐书籍的种类,对部分书据进行了抽样调查,李老师根据调查数据绘制了如下不完整的统计图,请根据统计图回答下面问题：（1）本次抽样调查的书有本；（2）将条形统计图补充完整；（3）本次活动师生共捐书1600本,请估计科普类书籍的本数．19．（7分）如图,已知AB是⊙O的直径,过O点作OP⊥AB,交弦AC于点D,交⊙O于点E,且使∠PCA＝∠ABC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠P＝60°,PC＝2,求PE的长．20．（7分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c,函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表：（1）此二次函数图象的对称轴是直线,此函数图象与x轴交点个数为．（2）求二次函数的函数表达式；（3）当﹣5＜x＜﹣1时,请直接写出函数值y的取值范围．21．（8分）周未,小丽骑自行车从家出发到野外郊游,从家出发0.5小时到达甲地,游玩一段时间后按原速前往乙地,小丽离家1小时20分钟后,妈妈驾车沿相同路线前往乙地,行驶10分钟时,恰好经过甲地,如图是她们距乙地的路程y（km）与小丽离家时间x（h）的函数图象．（1）小丽骑车的速度为km/h,H点坐标为；（2）求小丽游玩一段时间后前往乙地的过程中y与x的函数关系；（3）小丽从家出发多少小时后被妈妈追上？此时距家的路程多远．22．（9分）在四边形ABCD中,∠B+∠D＝180°,对角线AC平分∠BAD．（1）如图1,若∠DAB＝120°,且∠B＝90°,求证：AD+AB＝AC；（2）如图2,若将（1）中的条件“∠B＝90°”去掉,（1）中的结论是否成立？如果成立,请证明这个结论．（3）如图3,若∠DAB＝90°,请直接写出AD、AB与对角线AC的数量关系．23．（10分）二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象是抛物线,定义一种变换,先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′,再将得到的对称抛物线y′向上平移m（m＞0）个单位,得到新的抛物线y m,我们称y m叫做二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的m阶变换．（1）已知：二次函数y＝2（x+2）2+1,它的顶点关于原点的对称点为,这个抛物线的2阶变换的表达式为．（2）若二次函数M的6阶变换的关系式为y6′＝（x﹣1）2+5．①二次函数M的函数表达式为．②若二次函数M的顶点为点A,与x轴相交的两个交点中左侧交点为点B,在抛物线y6′＝（x﹣1）2+5上是否存在点P,使点P与直线AB的距离最短,若存在,求出此时点P的坐标．（3）抛物线y＝﹣3x2﹣6x+1的顶点为点A,与y轴交于点B,该抛物线的m阶变换的顶点为点C．若△ABC是以AB为腰的等腰三角形,请直按写出m的值．24．如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝16,BC＝12,点D、E分别为边AB、BC中点,点P从点A出发,沿射线AB方向以每秒5个单位长度的速度向点B运动,到点B停止．当点P不与点A重合时,过点P作PQ∥AC,且点Q在直线AB左侧,AP＝PQ,过点Q作QM⊥AB交射线AB于点M．设点P运动的时间为t（秒）（1）用含t的代数式表示线段DM的长度；（2）求当点Q落在BC边上时t的值；（3）设△PQM与△DEB重叠部分图形的面积为S（平方单位）,当△PQM与△DEB有重叠且重叠部分图形是三角形时,求S与t的函数关系式；（4）当经过点C和△PQM中一个顶点的直线平分△PQM的内角时,直接写出此时t的值．参考答案一、选择题1．解：∵x2﹣2x＝0,∴x（x﹣2）＝0,则x＝0或x﹣2＝0,解得：x1＝0,x2＝2．故选：D．2．解：∵y＝﹣x2+1,∴当x＝0时,y＝1≠0,故点（0,0）不在函数图象上,当x＝1时,y＝﹣12+1＝0≠1,故点（1,1）不在函数图象上,点（1,0）在函数图象上,当x＝0时,y＝1≠﹣1,故点（0,﹣1）不在函数图象上,故选：D．3．解：∵二次函数的解析式是y＝x2﹣3x+m（m为常数）,∴该抛物线的对称轴是：x＝．又∵二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1,0）,∴根据抛物线的对称性质知,该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2,0）,∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根分别是：x1＝1,x2＝2．故选：B．4．解：∵,∠BOC＝40°,∴∠BOC＝∠COD＝∠EOD＝40°,∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝60°．故选：D．5．解：根据“左加右减,上加下减”的法则可知,将抛物线y＝先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,那么所得到抛物线的函数关系式是y＝（x﹣2）2﹣3．故选：B．6．解：∵正六边形的任一内角为120°,∴∠1＝30°（如图）,∴a＝2cos∠1＝,∴a＝2．故选：D．7．解：∵a＝﹣1＜0,b＞0,c＜0,∴该函数图象的开口向下,对称轴是x＝﹣＞0,与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：D．8．解：由题意可得,OA＝2,AF＝2,∴∠AFO＝∠AOF,∵AB∥OF,∠BAO＝∠OAF,∴∠BAO＝∠AOF,∠BAF+∠AFO＝180°,解得,∠BAO＝60°,∴∠DOC＝60°,∵AO＝2,AD＝6,∴OD＝4,∴点D的横坐标是：﹣4×cos60°＝﹣2,纵坐标为：﹣4×sin60°＝﹣2,∴点D的坐标为（﹣2,﹣2）,∵D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上,∴﹣2＝,得k＝4,故选：A．二、填空题（每小题3分,共18分）9．解：＝6.4．故答案为：6.4．10．解：将A（0,3）,B（2,3）代入抛物线解析式得：,解得：b＝﹣2,c＝3,则抛物线解析式为y＝x2﹣2x+3．故答案为：y＝x2﹣2x+3．11．解：∵a＝1,b＝﹣1,c＝k,∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×k＝1﹣4k＝0,解得k＝．12．解：设AD＝x,则AB＝3x．由题意300π＝,解得x＝10,∴BD＝2x＝20cm．故答案为20．13．解：连接BC,∴∠D＝∠A,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB＝90°,∵AB＝3×2＝6,AC＝2,∴cos D＝cos A＝＝＝．故答案为：．14．解：过点M作ME⊥x轴于点E,ME与抛物线交于点P′,如图所示．∵点P′在抛物线上,∴P′F＝P′E．又∵点到直线之间垂线段最短,MF＝＝,∴当点P运动到点P′时,△PMF周长取最小值,最小值为ME+MF＝+3．故答案为：+3．三、解答题（共10小题,满分71分）15．解：原式＝（﹣）+＝+＝,当x＝﹣3时,原式＝＝＝．16．解：列表如下：由列表可知,有6种等可能的结果,其中两数之积为负数的有3种,∴P （两数之积为负数）＝＝．17．解：设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x ,根据题意得：10（1+x ）2＝12.1,解得：x 1＝0.1,x 2＝﹣2.1（不合题意舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%．18．解：（1）本次抽样调查的书有8÷20%＝40（本）,故答案为：40；（2）其它类的书的数量为40×15%＝6（本）,补全图形如下：（3）估计科普类书籍的本数为1600×＝480（本）．19．解：（1）连接OC ,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB ＝90°,∴∠BCO +∠ACO ＝90°,∵OC ＝OB ,∴∠B ＝∠BCO ,∵∠PCA ＝∠ABC ,∴∠BCO ＝∠ACP ,∴∠ACP +∠OCA ＝90°,∴∠OCP ＝90°,∴PC 是⊙O 的切线；（2）∵∠P＝60°,PC＝2,∠PCO＝90°,∴OC＝2,OP＝2PC＝4,∴PE＝OP﹣OE＝OP﹣OC＝4﹣2．20．解：（1）从表格看,函数的对称轴为：x＝﹣2,此函数图象与x轴交点个数为2个,一个在x＝﹣3或x＝﹣2之间,一个在x＝﹣2或﹣1之间,故答案为：2个；（2）函数对称轴为：x＝﹣2＝﹣,解得：b＝﹣4,x＝0,y＝﹣2＝c,故函数的表达式为：y＝﹣x2﹣4x﹣2；（3）x＝﹣5时,y＝﹣7,x＝1时,y＝﹣7,函数的顶点坐标为：（﹣2,2）,故y的取值范围为：﹣7＜y＜2．21．解：（1）由函数图可以得出,小丽家距离甲地的路程为10km,花费时间为0.5h,故小丽骑车的速度为：10÷0.5＝20（km/h）,由题意可得出,点H的纵坐标为20,横坐标为：,故点H的坐标为（,20）；故答案为：20；（,20）；（2）设直线AB的解析式为：y1＝k1x+b1,将点A（0,30）,B（0.5,20）代入得：y1＝﹣20x+30,∵AB∥CD,∴设直线CD的解析式为：y2＝﹣20x+b2,将点C（1,20）代入得：b2＝40,故y2＝﹣20x+40；（3）设直线EF的解析式为：y3＝k3x+b3,将点E（,30）,H（,20）代入得：k3＝﹣60,b3＝110,∴y3＝﹣60x+110,解方程组,解得,∴点D坐标为（1.75,5）,30﹣5＝25（km）,所以小丽出发1.75小时后被妈妈追上,此时距家25km；22．（1）证明：在四边形ABCD中,∠D+∠B＝180°,∠B＝90°,∴∠D＝90°,∵∠DAB＝120°,AC平分∠DAB,∴∠DAC＝∠BAC＝60°,∵∠B＝90°,∴∠ACB＝30°,∴AB＝AC,同理AD＝AC．∴AD+AB＝AC；（2）解：（1）中的结论成立,理由如下：以C为顶点,AC为一边作∠ACE＝60°,∠ACE的另一边交AB延长线于点E, ∵∠BAC＝60°,∴△AEC为等边三角形,∴AC＝AE＝CE,∵∠D+∠ABC＝180°,∠DAB＝120°,∴∠DCB＝60°,∴∠DCA＝∠BCE,∵∠D+∠ABC＝180°,∠ABC+∠EBC＝180°, ∴∠D＝∠CBE,在△CDA和△CBE中,,∴△CDA≌△CEB（AAS）,∴AD＝BE,∴AD+AB＝AC；（3）解：结论：AD+AB＝AC．理由如下：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E,∵∠D+∠ABC＝180°,∠DAB＝90°,∴∠DCB＝90°,∵∠ACE＝90°,∴∠DCA＝∠BCE,又∵AC平分∠DAB,∴∠CAB＝45°,∴∠E＝45°．∴AC＝CE．又∵∠D+∠ABC＝180°,∠CBE+∠ABC＝180°, ∴∠D＝∠CBE,在△CDA和△CBE中,,∴△CDA≌△CBE（AAS）,∴AD＝BE,∴AD+AB＝AE．在Rt△ACE中,∠CAB＝45°,∴△ACE是等腰直角三角形,∴AE＝AC,∴AD+AB＝AC．23．解：（1）原二次函数的顶点为（﹣2,1）,则顶点关于原点的对称点为（2,﹣1）,则这个抛物线的2阶变换的表达式：y＝﹣2（x﹣2）2﹣1,故答案为：（2,﹣1）,y＝﹣2（x﹣2）2﹣1；（2）①6阶变换的关系式对应的函数顶点为：（1,﹣1）,则函数M的顶点为：（﹣1,1）, 则其表达式为：y＝﹣（x+1）2+1,故答案为：y＝﹣（x+1）2+1；②存在,理由：y＝﹣（x+1）2+1,令y＝0,则x＝﹣2或0,故点B（﹣2,0）,而点A（﹣1,1）,将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：,解得：, 故直线AB的函数表达式为：y＝x+2,y′＝（x﹣1）2+5＝x2﹣2x+6,6如下图,过点P作PD⊥AB交于点D,故点P作y轴的平行线交AB于点H,∵直线AB的倾斜角为45°,则DP＝PH,设点P（x,x2﹣2x+6）,则点H（x,x+2）,DP＝PH＝（x2﹣2x+6﹣x﹣2）＝（x2﹣3x+4）,∵＞0,故DP有最小值,此时x＝,故点P（,）；（3）抛物线y＝﹣3x2﹣6x+1的顶点为点A,与y轴交于点B,则点A（﹣1,4）、点B（0,1）,抛物线的m阶变换的函数表达式为：y＝3（x﹣1）2﹣4+m,故点C（1,m﹣4）,则AB2＝10,AC2＝4+（m﹣8）2,BC2＝1+（m﹣5）2,当AB＝AC时,10＝4+（m﹣8）2,解得：m＝8；当AB＝BC时,同理可得：m＝8或2,故m的值为：8+或8﹣或8或2．24．解：（1）如图1中,在RtABC中,∵AC＝16,BC＝12,∠C＝90°,∴AB＝＝＝20,∵PQ∥AC,∴∠A＝∠QPM,∵∠C＝∠PMQ＝90°,∴△ACB∽△PMQ,∴＝＝,∴＝＝,∴PM＝4t,MQ＝3t,当0＜t≤时,DM＝AD﹣AM＝10﹣5t﹣4t＝﹣9t+10．当＜t≤4时,DM＝AM﹣AD＝9t﹣10．（2）如图2中,当点Q 落在BC 上时,∵PQ ∥AC ,∴＝,∴＝, 解得t ＝,∴当点Q 落在BC 边上时t 的值为s ．（3）如图3﹣1中,当＜t ≤时,重叠部分是△DMK ,S ＝×DM ×MK ＝×（9t ﹣10）×（9t ﹣10）＝t 2﹣t +．如图3﹣2中,当≤t ≤4时,重叠部分是△PBK ,S ＝•PK •BK ＝×（20﹣5t ）•（20﹣5t）＝6t2﹣48t+96．（4）如图4﹣1中,当直线CQ平分∠PQM时,设直线CQ交AB于G,作GK⊥PQ于K．∵∠QKG＝∠QMG＝90°,∠GQK＝∠GQM,QG＝QG,∴△QGK≌△QGM（AAS）,∴QK＝QM＝3t,PK＝PQ﹣QK＝5t﹣3t＝2t,∴PG＝PK＝t,∵PQ∥AC,∴＝,∴＝,∴t＝．如图4﹣2中,当CM平分∠QMP时,作CG⊥AB于G．21 / 21∵•AC •BC ＝•AB •CG ,∴CG＝＝＝,AG＝＝＝, ∵∠CMG ＝∠GCM ＝45°,∴CG ＝GM＝, ∴AM ＝9t＝+,解得t ＝, 综上所述,满足条件的t的值为s或s ．。
2020-2021学年吉林省长春市东北师大附中新城学校九年级(上)期末数学试卷
2020-2021学年吉林省长春市东北师大附中新城学校九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.随机掷一枚硬币，落地后其反面朝上的概率是()A. 1B. 12C. 13D. 142.若a2=b3，则a+ba的值为()A. 52B. 23C. 32D. 533.若关于x的一元二次方程x2−3x+a=0的一个根是1，则a的值为()A. −2B. 1C. 2D. 04.将抛物线y=(x−1)2+2向下平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是()A. (1,2)B. (2,1)C. (1,−1)D. (1,5)5.下列计算正确的是()A. √6÷√3=2B. √72=49C. √3×√27=9D. √10−√5=√56.如图，已知直线l1//l2//l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE=3，DF=8，则BCAC的值为()A. 35B. 58C. 53D. 857.如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC=2，则树高BC为()(用含α的代数式表示)A. 2sinαB. 2tanαC. 2cosαD. 2tanα8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①ac<0；②b<0；③b2−4ac>0；④当x>0时，y随x的增大而减小.()A. ②③④B. ①②④C. ①②③D. ①③④二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.计算：√(−11)2=______ ．10.一元二次方程x2−x−3=0根的判别式的值是______．11.如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10cm，AOBO =DOCO=23，则容器的内径是______．12.如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点B的坐标为(3,−2)，则点B′的坐标是______ ．13.如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，∠A=90°，AB=6cm，AC=8cm，要把它加工成一个形状为▱DEFG的工件，使GF在边BC上，D、E两点分别在边AB、AC上，若点D是边AB的中点，则S▱DEFG的面积为______ cm2．14.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线y=a(x+3)2+c(a>0)的顶点为E，且经过点A、B，若△ABE为等腰直角三角形，则a的值是______ ．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.计算：√12sin60°−√8cos45°．16.如图三张不透明的卡片，正面图案分别是我国著名的古代数学家祖冲之、杨辉和赵爽的头像，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽出一张，记录图象后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，请你用画树状图(或列表)的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的概率．17.某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2018年投资1000万元，2020年投资1690万元，求这两年投资的年平均增长率．18.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，BC//AD，对角线AC⊥CD．(1)求证：△CBA∽△ACD．(2)若AB=2，CD=3，求△ABC与△DCA的面积比．19.图①、图②、图③都是5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．(1)在图①中边AB上找到格点D，并连接CD，使CD将△ABC面积两等分；(2)在图②中△ABC的内部找到格点E，并连接BE、CE，使△BCE是△ABC面积的1．4(3)在图③中△外部画一条直线l，使直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积是△ABC的1．820.如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点0处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要维续上升的高度BC约为多少米？《结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，√2≈1.4)21.某小区有一个半径为3m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1m处达到最大高度为3m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求水柱所在抛物线对应的函数关系式；(2)王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2m处，通过计算说明身高1.8m的王师傅是否被淋湿？22.【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第79页的部分内容请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．【结论应用】(1)在图①中，若AB=2，∠AOD=120°，则四边形EFGH的面积为______ ．(2)如图②，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，O是其内部任意一点，连接O与菱形ABCD各顶点，四边形EFGH的顶点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上，EO=2AE，EF//AB//GH，且EF=GH，若△EFO与△GHO的面积和为4√3，则菱形ABCD的周长为______ ．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=20，BC=15，动点P从点A出发(动点P不与△ABC的顶点重合)，沿折线AC−CB以每秒5个单位的速度向终点B运动，过点P作PD⊥AB于点D，以点P为直角顶点作Rt△PDE，使DE与点P所在的直角边平行，设点P的运动时间为t(秒)．(1)求AB的长；(2)当点E落在△ABC的直角边上时，求t的值；(3)当△PDE的两条直角边所在的直线截△ABC所得的三角形全等时，求△PDE与△ABC重叠部分图形的周长；(4)设Q为边DE的中点，作射线CQ，当CQ将△PDE分成面积比为1：3两部分时，直接写出t的值．24.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+3与抛物线y=−x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上.点P是抛物线上任意一点，过点P作PQ⊥y轴，交直线AB于点Q，连接BP，设点P的横坐标为m，△PQB的边PQ与PQ边上的高之差为d．(1)求此抛物线解析式．(2)求点Q的横坐标(用含m的代数式表示)；(3)∠BQP为锐角．①求d关于m的函数关系式；②当△AOB的顶点到PQ的最短距离等于d时，直接写出m的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵一枚硬币只有正反两面，∴随机掷一枚硬币，落地后其反面朝上的概率是12．故选：B．因为一枚硬币只有正反两面，所以共有两种情况，再根据概率公式即可解答．本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2.【答案】A【解析】解：∵a2=b3，∴ba =32，∴a+ba =1+ba=1+32=52．故选：A．根据已知条件得出ba =32，再把要求的式子a+ba化成1+ba，然后代值计算即可得出答案．此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：把x=1代入一元二次方程x2−3x+a=0得1−3+a=0，所以a=2．故选：C．把x=1代入一元二次方程x2−3x+a=0即可得到a的值．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．4.【答案】C【解析】解：抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标为(1,2)，∵向下平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为(1,−1)．故选：C．先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．5.【答案】C【解析】解：A、原式=√6÷3=√2，所以A选项错误；B、原式=√72=7，所以B选项错误；C、原式=√3×27=√81=9，所以C选项正确；D、√10与√5不能合并，所以D选项错误．故选：C．根据二次根式的除法法则对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的加减法对D进行判断．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．6.【答案】B【解析】解：∵l1//l2//l3，∴EFDF =BCAC，∵DE=3，DF=8，∴8−38=BCAC，即BCAC =58，故选：B．根据平行线分线段成比例定理解答即可．本题考查了平行线分线段成比例定理，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．7.【答案】B【解析】解：∵BC⊥AC，AC=2，∠BAC=α，∴tanα=BC，AC∴BC=AC⋅tanα=2tanα，故选：B．根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用锐角三角函数的定义即可求出BC的高度．本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解．8.【答案】C【解析】解：①∵由二次函数的图象可知：抛物线的开口向上，∴a>0；又∵二次函数的图象与y轴的交点在负半轴，∴c<0；∴ac<0，即①正确；=1，则b=−2a<0.故②正确；②由图象知，对称轴x=−b2a③由图象知，抛物线与x轴有2个交点，则b2−4ac>0，故③正确；④由图象可知当x>1时，y随x的增大而增大；故④错误．综上所述，正确的结论是：①②③．故选：C．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．此题考查学生掌握二次函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．解本题的关键是根据图象找出抛物线的对称轴．9.【答案】11【解析】解：√(−11)2=√121=11．故答案为：11．根据二次根式的性质进行化简即可．本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简．10.【答案】13【解析】解：∵a =1，b =−1，c =−3，∴△=b 2−4ac =1+12=13．所以一元二次方程x 2−x −3=0根的判别式的值为13．故答案为：13．根据一元二次方程根的判别式△=b 2−4ac 即可求出值．本题考查了根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式．11.【答案】15cm【解析】解：连接AD 、BC ， ∵AO BO =DO CO =23，∠AOD =∠BOC ， ∴△AOD∽△BOC ，∴ADCB =AO BO =23， ∵A ，D 两个端点之间的距离为10cm ，∴BC =15cm ，故答案为：15cm ．首先连接AD 、BC ，然后判定△AOD∽△BOC ，根据相似三角形的性质可得AD CB =AO BO =23，进而可得答案． 此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形的判定和性质． 12.【答案】(−2,43)【解析】解：∵△AOB 与△A′OB′是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，而点B 的坐标为(3,−2)，∴点B′的横坐标为3×(−23)，纵坐标为−2×(−23)，即B′点的坐标为(−2,43).故答案为(−2,43).利用以原点为位似中心的位似图形上对应点的坐标变换规律，把B 点的横纵坐标都乘以−23得到点B′的坐标．本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．13.【答案】12【解析】解：过点A作AM⊥BC，交DE于点N，∵∠A=90°，AB=6cm，AC=8cm，∴BC=√62+82=10(cm)，∵12AB⋅AC=12BC⋅AM，∴AM=AB⋅ACBC ，即AM=6×810=4.8(cm)，∵四边形DEFG是平行四边形，∴DE//BC．又∵点D是边AB的中点，∴DE=12BC=5cm．∴DE=FG=5cm，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =ANAM=12，∴AN=MN=2.4cm，∴▱DEFG的面积为：5×2.4=12(cm2).故答案是：12．直接利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定与性质得出平行四边形DGFE的高，进而得出答案．此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出平行四边形的高是解题关键．14.【答案】13【解析】解：∵抛物线y=a(x+3)2+c(a>0)，∴该抛物线的对称轴为直线x=−3，∴AB=2×|−3|=6，∴点A的坐标为(0,−6)，∵△ABE为等腰直角三角形，AB=6，∴点E到AB的距离为3，∴点E的坐标为(−3,−9)，∴抛物线为y=a(x+3)2−9，∵点A(0,−6)在该抛物线上，∴−6=a(0+3)2−9，解得a=13，故答案为：13．根据题意和二次函数的性质，可以得到抛物线的对称轴，从而可以得到AB的长，然后即可得到点A的坐标，再根据△ABE为等腰直角三角形，即可得到点E到AB的距离，从而可以得到点E的坐标，然后根据点A在抛物线上，即可求得a的值．本题考查二次函数的性质、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15.【答案】解：√12sin60°−√8cos45°=2√3×√32−2√2×√22=3−2=1．【解析】首先计算开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法、减法，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．16.【答案】解：把古代数学家祖冲之、杨辉和赵爽的头像分别记为A、B、C，画树状图如图：共有9个等可能的结果，抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的结果有1个，∴抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的概率为19．【解析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的结果数，再根据概率公式计算可得．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】解：设平均每年投资增长的百分率是x．由题意得1000(1+x)2=1690，解得x1=0.3=30%，x2=−2.3(不合题意舍去)．答：这两年投资的年平均增长率为30%．【解析】设这两年投资的年平均增长率是x.根据2018年投资1000万元，得出2019年投资1000(1+x)万元，2020年投资1000(1+x)2万元，2020年投资1690万元．据此列方程求解．本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的关系，列出方程．18.【答案】(1)证明：∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∵BC//AD，∴∠ACB=∠CAD，∵∠B=∠ACD，∴△CBA∽△ACD；(2)解：∵△CBA∽△ACD，∴S△CABS△ACD =(ABCD)2=(23)2=49．【解析】(1)利用平行线的性质得∠ACB=∠CAD，加上∠B=∠ACD，则可判断△CBA∽△ACD；(2)根据相似三角形的性质求解．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．19.【答案】解：(1)如图①，点D即为所求；(2)如图②，点E即为所求；∵△ABC面积为12×5×4=10，△BCE的面积为12×5×1=52，∴△BCE是△ABC面积的14；(3)如图③，直线l即为所求．∵直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积为12×5×12=54，而10×18=54．∴直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积是△ABC的18．【解析】(1)根据网格即可在图①中边AB上找到格点D，使CD将△ABC面积两等分；(2)根据三角形的面积和网格即可在图②中△ABC的内部找到格点E，使△BCE是△ABC面积的14；(3)根据网格和三角形的面积即可在图③中△外部画一条直线l，使直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积是△ABC的18．本题考查了作图−运用与设计作图、三角形的面积，解决本题的关键是根据网格准确作图．20.【答案】解：如图作AH⊥CN于H．在Rt△ABH中，∵∠BAH=45°，BH=10.5−2.5=8(m)，∴AH=BH=8(m)，在Rt△AHC中，tan65°=CHAH，∴CH=8×2.1≈17(m)，∴BC=CH−BH=17−8=9(m)．【解析】如图作AH⊥CN于H.想办法求出BH、CH即可解决问题；本题考查解直角三角形−仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．21.【答案】解：(1)由题意知抛物线顶点坐标为(1,3)，设抛物线解析式为y=a(x−1)2+3，将点C(3,0)代入，得：4a+3=0，解得a=−34，∴抛物线解析式为y=−34(x−1)2+3；(2)当x=2时，y=−34(x−1)2+3=−34×(2−1)2+3=94>1.8，∴身高1.8m的王师傅不会被淋湿．【解析】(1)根据抛物线的顶点设出其顶点式，再将点C坐标代入计算即可；(2)求出x=2时y的值，与1.8比较大小即可得出答案．本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；(2)利用二次函数图象上点的坐标特征求出当x=2时y的值．22.【答案】√324【解析】【教材呈现】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OC=OB=OD，∵AO，BO，CO，DO的中点E，F，G，H，∴OE=OF=OG=OH，∴四边形EFGH是平行四边形，EG=FH，∴四边形EFGH是矩形．【结论应用】解：(1)∵AB=2，AB=1，∴EF=12∵∠BAD=90°，∴∠FEH=90°，∵∠AOD=120°，∴∠EOF=60°，∴△OEF为等边三角形，∴∠EFO=60°，∴EH=√3，∴四边形EFGH的面积为1×√3=√3，故答案为：√3．(2)过点G作GN⊥EF于点N，∵EF//GH，且EF=GH，∴四边形EFGH为平行四边形，∴FG//BC，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=∠EFG=60°，设EF=x，则NG=√32，∵△EFO与△GHO的面积和为4√3，∴12⋅x⋅√32x=4√3，解得：x=4，∴EF=4，∵EF//AB，∴△OEF∽△OAB，∴OEOA =EFAB，∵EO=2AE，∵EO=2AE，∴EFAB =23，∴AB=6，∴菱形ABCD的周长为24．故答案为：24．【教材呈现】由矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，再证出OE=OF=OG=OH，即可得出结论．【结论应用】(1)证明△OEF为等边三角形，得出∠EFO=60°，可求出EF=1，EH=√3，则答案可求出；(2)过点G作GN⊥EF于点N，由条件可知四边形EFGH为平行四边形，可得∠EFG=60°，设EF=x，则NG=√32x，由△EFO与△GHO的面积和列出方程求出x=4，证明△OEF∽△OAB，可求出AB的长，即可解决问题．本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，运用基本图形的性质解决问题．23.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=20，BC=15，∴AB=√AC2+BC2=√202+152=25；(2)如图1，P在AC上时，点E在BC上，DE//AC，∵DE//AC，∴∠CPE=∠DEP，∵PD⊥AB，∴∠ADP=90°，由题意得：AP=5t，sinA=BCAB =PDAP，即1525=PD5t，∴PD=3t，∴AD=4t，BD=25−4t，∵∠DPE=90°，∴∠APD+∠CPE=90°=∠APD+∠A，∴∠CPE=∠A=∠DEP，∴sin∠DEP=PDDE =35，∴DE=5t，∵DE//AC，∴DEAC =BDAB，即5t20=25−4t25，解得：t=10041；如图2，P在BC上时，点E在AC上，DE//BC，由题意得：CP =5t −20，PB =15−(5t −20)=35−5t ，∵∠EPD =∠PDB =90°，∴EP//AB ，∵DE//BC ，∴四边形EPBD 是平行四边形，∴DE =PB =35−5t ，∵∠CEP =∠A =∠PDE ，∴sin∠CEP =sin∠PDE ， ∴CP EP =1525=EP ED ，即5t−20EP =EP 35−5t =35， ∴EP =25(t−4)3，∴25(t−4)335−5t =35， 解得：t =16334；综上，t 的值是10041或16334；(3)如图3，P 在AC 上，△PDE 与△ABC 重叠部分图形是△PDE ，设直线PE 与BC 交于点F ，∵AP//DE，AD//PE，∴四边形APED是平行四边形，∴DE=AP=5t，AD=PE=4t，∵△ADP≌△PCF，∴PC=AD=4t，∵AC=AP+CP，即20=5t+4t，∴t=209，∴△PDE的周长=PD+PE+DE=3t+4t+5t=12t=12×209=803，即△PDE与△ABC重叠部分图形的周长是803；如图4，P在BC上，△PDE与△ABC重叠部分的图形是△PDE，设直线PE与AC交于点G，同理得：四边形DEPB是平行四边形，∴DE=PB，∵△GCP≌△PDB，∴PC=BD=5t−20，Rt△PDB中，cosB=BDPB =BCAB，∴5t−2035−5t =1525，解得：t=418，∴PB=35−5×418=758，∵∠C=∠PDB=90°，∠B=∠B，∴△PDB∽△ACB，∴△PDB 的周长△ACB 的周长=PB AB ，∴△PDB 的周长=75825×(15+20+25)=452， ∴△PDE 的周长=452，即△PDE 与△ABC 重叠部分图形的周长是452；综上，△PDE 与△ABC 重叠部分图形的周长为803或452；(4)分两种情况：①如图5，P 在AC 上，设PE 与CQ 交于点O ，连接PQ ，∵Q 是DE 的中点，∴DQ =EQ =52t ， ∴S △PDQ =S △PQE ，Rt △PDE 中，PD =3t ，PE =4t ，DE =5t ，∵S △OQE S △PDE =S △OQE 2S △PQE =14， ∴S △OQES △PQE=12， ∴OE PE =12，∴OE OP =1，∵DE//CP ，∴EQ PC =OE OP ，即52t 20−5t =1， 解得：t =83；②如图6，P在BC上，S△EOQS△EPD =14，同理得：OEOP=1，∵CP=5t−20，PB=35−5t，由上题知：四边形DEPB是平行四边形，∴DE=PB=35−5t，∴EQ=35−5t2，∵ED//PC，∴EQCP =OEOP=1，∴EQ=CP，∴35−5t2=5t−20，解得：t=5；综上，t的值是83或5．【解析】(1)利用勾股定理计算AB的长即可；(2)分两种情况：P在AC和BC上，根据三角函数定义和平行线分线段成比例列方程可得t的值；(3)分两种情况：P在AC和BC上，当P在AC上时，证明四边形APED是平行四边形，得DE=AP=5t，AD=PE=4t，根据△ADP≌△PCF，得PC=AD=4t，根据AC=AP+CP列方程可得结论；P在BC上，同理得：四边形DEPB是平行四边形，证明△PDB∽△ACB，根据相似三角形周长的比等于相似比可得结论；(4)分两种情况：P在AC和BC上，分别根据面积比可得EQ与CP的比，列方程可得结论．本题属于三角形综合题，考查了动点问题，三角形的面积，相似三角形的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．24.【答案】解：(1)∵直线y =−x +3与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，∴A(3,0)，B(0,3)，把A(3,0)，B(0,3)代入y =−x 2+bx +c 得到，解得{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3．(2)由题意P(m,−m 2+2m +3)，∵PQ ⊥y 轴，∴P ，Q 纵坐标相同，即−m 2+2m +3=−x +3，∴x =m 2−2m ，∴Q(m 2−2m,−m 2+2m +3)．(3)①如图1中，设抛物线与x 小的另一个交点为C(−1,0)，顶点为D(1,4)．当m <0时，d =(m 2−2m −m)−[3−(−m 2+2m +3)]=−m ．当0<m <2时，d =[m −(m 2−2m)]−[(−m 2+2m +3)−3]=m ．②当m <0时，由题意，−m =3−(−m 2+2m +3)或−m =−m 2+2m +3，解得，m =0(舍弃)或1(舍弃)或3−√212或3+√212(舍弃)， ∴m =3−√212．当0<m<2时，由题意，m=−m2+2m+3−3，解得m=1或0(舍弃)，∴m=1，．综上所述，满足条件的m的值为1或3−√212【解析】(1)求出A，B两点坐标，利用待定系数法求解即可．(2)根据P，Q两点的纵坐标相同，求解即可．(3)①分两种情形：m<0或0<m<2，分别求解即可．②分2种情形，m<0时，也有两种情形，分别构建方程求解，0<m<2时，构建方程求解即可．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
吉林省长市东北师大附中九年级数学上学期期末试卷(含解析) 新人教版
2015-2016学年吉林省长春市东北师大附中九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣2．数据1，2，3，3，5，5，5的中位数和众数分别是（）A．5，4 B．3，5 C．5，5 D．5，33．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都均为8.8环，方差分别为S甲2=0.63，S乙2=0.51，S丙2=0.48，S丁2=0.42，则四人中成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（）A．50° B．80° C．90° D．100°5．用一个圆心角为120°，半径为2的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（）A．B．C．D．2A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣6）7．如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+38．如图，函数y=﹣x与函数的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积为（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．已知一元二次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1•x2=______．10．如图，网格图中每个小正方形的边长为1，则弧AB的弧长l=______．11．二次函数y=﹣2（x﹣5）2+3的顶点坐标是______．12．如图，以BC为直径的⊙O与△ABC的另两边分别相交于点D、E．若∠A=60°，BC=4，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）13．如图，点A、B、C在一次函数y=﹣2x+m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1、1、2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积的和是______．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣1）2+k（a、k为常数）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，CD∥x轴，与抛物线交于点D．若点A的坐标为（﹣1，0），则线段OB 与线段CD的长度和为______．三、解答题（共10小题，满分78分）15．解方程：x2+4x﹣7=0．16．在一个不透明的箱子中装有3个小球，分别标有A，B，C．这3个小球除所标字母外，其它都相同．从箱子中随机地摸出一个小球，然后放回；再随机地摸出一个小球．请你用画树形图（或列表）的方法，求两次摸出的小球所标字不同的概率．17．为了了解我校开展的“养成好习惯，幸福一辈子”的活动情况，对部分学生进行了调查，其中一个问题是：“对于这个活动你的态度是什么？”共有4个选项：A．非常支持 B．支持 C．无所谓 D．反感根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请你根据以上信息解答下列问题：（1）计算本次调查的学生人数和图（2）选项C的圆心角度数；（2）请根据（1）中选项B的部分补充完整；（3）若我校有5000名学生，你估计我校可能有多少名学生持反感态度．18．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，长春市加快了廉租房的建设力度，2013年市政府共投资2亿元人民币建设路廉租房8万平方米，预计到2015年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同，试求出市政府投资的增长率．19．如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长．20．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=﹣x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y=的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．21．甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理后铺设路面．乙队在中途停工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作．在整个工作过程中，甲队清理完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为线段OA，乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为折线BC﹣CD﹣DE，如图所示，从甲队开始工作时计时．（1）分别求线段BC、DE所在直线对应的函数关系式．（2）当甲队清理完路面时，求乙队铺设完的路面长．22．如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（﹣2，0），B（﹣3，3），顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）求点C的坐标；（3）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标．23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．（1）请说明图（1）中①、②两段函数图象的实际意义．（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在图（2）中的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量y（kg）与零售价x（元）之间的函数关系为反比例函数关系，如图（3）所示，该经销商拟每日售出不低于64kg该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计每日进货和销售的方案，使得日获得的利润z（元）最大．24．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，动点E、F同时从顶点B出发，其中点E从点B向点A以每秒1个单位的速度运动，点F从点B出发沿B﹣C﹣A的路线向终点A以每秒2个单位的速度运动，以EF为边向上（或向右）作等边三角形EFG，AH是△ABC中BC边上的高，两点运动时间为t秒，△EFG和△AHC的重合部分面积为S．（1）用含t的代数式表示线段CF的长；（2）求点G落在AC上时t的值；（3）求S关于t的函数关系式；（4）动点P在点E、F出发的同时从点A出发沿A﹣H﹣A以每秒2单位的速度作循环往复运动，当点E、F到达终点时，点P随之运动，直接写出点P在△EFG内部时t的取值范围．2015-2016学年吉林省长春市东北师大附中九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根可知△=0，求出a的取值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，∴△=22+4a=0，解得a=﹣1．故选B．【点评】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．2．数据1，2，3，3，5，5，5的中位数和众数分别是（）A．5，4 B．3，5 C．5，5 D．5，3【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．【解答】解：从小到大排列此数据为：1，2，3，3，5，5，5，数据5出现了三次最多为众数，3处在第4位为中位数．所以本题这组数据的中位数是5，众数是3．故选B．【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．3．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都均为8.8环，方差分别为S甲2=0.63，S乙2=0.51，S丙2=0.48，S丁2=0.42，则四人中成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵S甲2=0.63，S乙2=0.51，S丙2=0.48，S丁2=0.42，∴S甲2＞S乙2＞S丙2＞S丁2，故选D．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．4．如图，在⊙O 中，∠ABC=50°，则∠AOC 等于（ ）A ．50°B ．80°C ．90°D ．100°【分析】因为同弧所对圆心角是圆周角的2倍，即∠AOC=2∠ABC=100°．【解答】解：∵∠ABC=50°，∴∠AOC=2∠ABC=100°．故选D ．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．用一个圆心角为120°，半径为2的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】设圆锥底面的半径为r ，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，则2πr=，然后解方程即可．【解答】解：设圆锥底面的半径为r ，根据题意得2πr=，解得：r=．故选D ．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．2A ．（﹣3，﹣3）B ．（﹣2，﹣2）C ．（﹣1，﹣3）D ．（0，﹣6）【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3，相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2，∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．故选：B ．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键．7．如果将抛物线y=x 2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）A ．y=（x ﹣1）2+2B ．y=（x+1）2+2C ．y=x 2+1D ．y=x 2+3【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y=x2+2﹣1，即y=x2+1．故选C．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．8．如图，函数y=﹣x与函数的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，得出S△AOC=S△ODB=2，再根据反比例函数的对称性可知：OC=OD，AC=BD，即可求出四边形ACBD的面积．【解答】解：∵过函数的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，∴S△AOC=S△ODB=|k|=2，又∵OC=OD，AC=BD，∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=2，∴四边形ABCD的面积为：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×2=8．故选D．【点评】本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，是经常考查的一个知识点；同时考查了反比例函数图象的对称性．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．已知一元二次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1•x2= ﹣2 ．【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=即可得到答案．【解答】解：∵一元二次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1•x2==﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．10．如图，网格图中每个小正方形的边长为1，则弧AB的弧长l= ．【分析】首先根据根据勾股定理求得该扇形的半径，然后根据弧长公式进行计算．【解答】解：如图，∵OA=OB=3，∠AOB=90°，∴弧AB的弧长l==．故答案是：．【点评】本题考查了弧长的计算．弧长的公式l是=．11．二次函数y=﹣2（x﹣5）2+3的顶点坐标是（5，3）．【分析】因为顶点式y=a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数y=﹣2（x﹣5）2+3的顶点坐标．【解答】解：∵二次函数y=﹣2（x﹣5）2+3是顶点式，∴顶点坐标为（5，3）．故答案为：（5，3）．【点评】此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．12．如图，以BC为直径的⊙O与△ABC的另两边分别相交于点D、E．若∠A=60°，BC=4，则图中阴影部分的面积为π．（结果保留π）【分析】先根据三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB的度数，再由△OBD、△OCE是等腰三角形得出∠BDO+∠CEO的度数，由三角形内角和定理即可得出∠BOD+∠COD的度数，再根据扇形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣60°=120°，∵△OBD、△OCE是等腰三角形，∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BOD+∠COE=360°﹣（∠BDO+∠CEO）﹣（∠ABC+∠ACB）=360°﹣120°﹣120°=120°，∵BC=4，∴OB=OC=2，∴S阴影==π．故答案为：π．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件，要求同学们掌握扇形的面积公式．13．如图，点A、B、C在一次函数y=﹣2x+m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1、1、2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积的和是 3 ．【分析】本题可以利用A、B、C以及直线与y轴交点这4个点的坐标来分别计算阴影部分的面积，可将m看做一个常量．【解答】解：如图所示，将A、B、C的横坐标代入到一次函数中；解得A（﹣1，m+2），B（1，m﹣2），C（2，m﹣4）．由一次函数的性质可知，三个阴影部分三角形全等，底边长为2﹣1=1，高为（m﹣2）﹣（m﹣4）=2，可求的阴影部分面积为：S=×1×2×3=3．所以应填：3．【点评】本题中阴影是由3个全等直角三角形组成，解题过程中只要计算其中任意一个即可．同时，还可把未知量m当成一个常量来看．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣1）2+k（a、k为常数）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，CD∥x轴，与抛物线交于点D．若点A的坐标为（﹣1，0），则线段OB 与线段CD的长度和为 5 ．【分析】首先求出抛物线y=a（x﹣1）2+k（a、k为常数）的对称轴，然后根据A和B、C和D均关于对称轴直线x=1对称，分别求出B和D点的坐标，即可求出OB和CD的长．【解答】解：∵抛物线y=a（x﹣1）2+k（a、k为常数），∴对称轴为直线x=1，∵点A和点B关于直线x=1对称，且点A（﹣1，0），∴点B（3，0），∴OB=3，∵C点和D点关于x=1对称，且点C（0，a+k），∴点D（2，a+k），∴CD=2，∴线段OB与线段CD的长度和为5，故答案为5．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键求出抛物线y=a（x﹣1）2+k（a、k为常数）的对称轴为x=1，此题难度不大．三、解答题（共10小题，满分78分）15．解方程：x2+4x﹣7=0．【分析】首先把方程移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【解答】解：x2+4x﹣7=0，移项得，x2+4x=7，配方得，x2+4x+4=7+4，（x+2）2=11，解得x+2=±，即x1=﹣2+，x2=﹣2﹣【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程的知识，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．16．在一个不透明的箱子中装有3个小球，分别标有A，B，C．这3个小球除所标字母外，其它都相同．从箱子中随机地摸出一个小球，然后放回；再随机地摸出一个小球．请你用画树形图（或列表）的方法，求两次摸出的小球所标字不同的概率．【分析】依据题意画树状图法分析所有可能的出现结果即可解答．【解答】解：如图所示：P（两次摸出的小球所标字母不同）==．【点评】此题主要考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．为了了解我校开展的“养成好习惯，幸福一辈子”的活动情况，对部分学生进行了调查，其中一个问题是：“对于这个活动你的态度是什么？”共有4个选项：A．非常支持 B．支持 C．无所谓 D．反感根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请你根据以上信息解答下列问题：（1）计算本次调查的学生人数和图（2）选项C的圆心角度数；（2）请根据（1）中选项B的部分补充完整；（3）若我校有5000名学生，你估计我校可能有多少名学生持反感态度．【分析】（1）由A的人数除以占的百分比得到调查学生人数，求出选项C及B占的百分比，乘以360°即可；（2）求出选项B的学生数，补全条形统计图即可；（3）根据选项D的百分比乘以5000即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：60÷30%=200（名），30÷200×360°=54°，则本次调查的学生人数为200名，图（2）选项C的圆心角度数为54°；（2）选项B的人数为200﹣（60+30+10）=100（名），补全条形统计图，如图（1）所示，（3）根据题意得：5000×5%=250（名），则估计我校可能有250名学生持反感态度．【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．18．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，长春市加快了廉租房的建设力度，2013年市政府共投资2亿元人民币建设路廉租房8万平方米，预计到2015年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同，试求出市政府投资的增长率．【分析】首先设每年市政府投资的增长率为x．根据到2015年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，列方程求解．【解答】解：设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，整理，得：x2+3x﹣1.75=0，解得：x1=0.5，x2=﹣3.5（舍去）．答：每年市政府投资的增长率为50%．【点评】此题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率．19．如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长．【分析】（1）欲证明PA为⊙O的切线，只需证明OA⊥AP；（2）通过相似三角形△ABC∽△PAO的对应边成比例来求线段AC的长度．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠B=90°．又∵OP∥BC，∴∠AOP=∠B，∴∠BAC+∠AOP=90°．∵∠P=∠BAC．∴∠P+∠AOP=90°，∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．又∵OA是的⊙O的半径，∴PA为⊙O的切线；（2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5，∴OA=OB=5．又∵OP=，∴在直角△APO中，根据勾股定理知PA==，由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°．∵∠BAC=∠P，∴△ABC∽△POA，∴=．∴=，解得AC=8．即AC的长度为8．【点评】本题考查的知识点有切线的判定与性质，三角形相似的判定与性质，得到两个三角形中的两组对应角相等，进而得到两个三角形相似，是解答（2）题的关键．20．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=﹣x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y=的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．【分析】（1）求出OA=BC=2，将y=2代入y=﹣x+3求出x=2，得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案；（2）求出四边形BMON的面积，求出OP的值，即可求出P的坐标．【解答】解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，∴OA=BC=2，将y=2代入y=﹣x+3得：x=2，∴M（2，2），把M的坐标代入y=得：k=4，∴反比例函数的解析式是y=；（2）把x=4代入y=得：y=1，即CN=1，∵S四边形BMON=S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON=4×2﹣×2×2﹣×4×1=4，由题意得： OP×AM=4，∵AM=2，∴OP=4，∴点P的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识点的应用，主要考查学生应用性质进行计算的能力，题目比较好，难度适中．21．甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理后铺设路面．乙队在中途停工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作．在整个工作过程中，甲队清理完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为线段OA，乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为折线BC﹣CD﹣DE，如图所示，从甲队开始工作时计时．（1）分别求线段BC、DE所在直线对应的函数关系式．（2）当甲队清理完路面时，求乙队铺设完的路面长．【分析】（1）先求出乙队铺设路面的工作效率，计算出乙队完成需要的时间求出E的坐标，再由待定系数法就可以求出结论．（2）由（1）的结论求出甲队完成的时间，把时间代入乙的解析式就可以求出结论．【解答】解：（1）设线段BC所在直线对应的函数关系式为y=k1x+b1．∵图象经过（3，0）、（5，50），∴∴线段BC所在直线对应的函数关系式为y=25x﹣75．设线段DE所在直线对应的函数关系式为y=k2x+b2．∵乙队按停工前的工作效率为：50÷（5﹣3）=25，∴乙队剩下的需要的时间为：÷25=，∴E（，160），∴，解得：∴线段DE所在直线对应的函数关系式为y=25x﹣112.5．（2）由题意，得甲队每小时清理路面的长为 100÷5=20，甲队清理完路面的时间，x=160÷20=8．把x=8代入y=25x﹣112.5，得y=25×8﹣112.5=87.5．答：当甲队清理完路面时，乙队铺设完的路面长为87.5米．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，工作总量=工作效率×工作时间的运用，解答时求出函数的解析式是关键．22．如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（﹣2，0），B（﹣3，3），顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）求点C的坐标；（3）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可直接求得二次函数的解析式；（2）把二次函数化成顶点式的形式即可求得C的坐标；（3）分成OA是平行四边形的一边和OA是平行四边形的对角线两种情况进行讨论，根据平行四边形的性质即可求解．【解答】解：（1）根据题意得：，解得：，则抛物线的解析式是y=x2+2x；（2）y=x2+2x=（x+1）2﹣1，则C的坐标是（﹣1，﹣1）；（3）抛物线的对称轴是x=﹣1，当OA是平行四边形的一边时，D和E一定在x轴的上方．OA=2，则设E的坐标是（﹣1，a），则D的坐标是（﹣3，a）或（1，a）．把（﹣3，a）代入y=x2+2x得a=9﹣6=3，则D的坐标是（﹣3，3）或（1，3），E的坐标是（﹣1，3）；当OA是平行四边形的对角线时，D一定是顶点，坐标是（﹣1，﹣1），则E的坐标是D的对称点（﹣1，1）．【点评】本题是二次函数与平行四边形的综合题，正确对平行四边形进行讨论是关键．23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．（1）请说明图（1）中①、②两段函数图象的实际意义．（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在图（2）中的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量y（kg）与零售价x（元）之间的函数关系为反比例函数关系，如图（3）所示，该经销商拟每日售出不低于64kg该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计每日进货和销售的方案，使得日获得的利润z（元）最大．【分析】（1）（2）中要注意变量的不同的取值范围；（3）可根据图中给出的信息，用待定系数的方法来确定函数．然后根据函数的特点来判断所要求的值．【解答】解：（1）当批发量在20kg到60kg时，单价为5元/kg当批发量大于60kg时，单价为4元/kg …（2）当20≤m≤60时，w=5m当m＞60时，w=4m……当240＜w≤300时，同样的资金可以批发到更多的水果．…（3）设反比例函数为则，k=480，即反比列函数为∵y≥64，∴x≤7.5，∴z=（x﹣4）=480﹣∴当x=7.5时，利润z最大为224元．【点评】主要考查分段函数、一次函数、二次函数的性质和应用，难点在于分段函数不熟．24．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，动点E、F同时从顶点B出发，其中点E从点B向点A以每秒1个单位的速度运动，点F从点B出发沿B﹣C﹣A的路线向终点A以每秒2个单位的速度运动，以EF为边向上（或向右）作等边三角形EFG，AH是△ABC中BC边上的高，两点运动时间为t秒，△EFG和△AHC的重合部分面积为S．（1）用含t的代数式表示线段CF的长；（2）求点G落在AC上时t的值；（3）求S关于t的函数关系式；（4）动点P在点E、F出发的同时从点A出发沿A﹣H﹣A以每秒2单位的速度作循环往复运动，当点E、F到达终点时，点P随之运动，直接写出点P在△EFG内部时t的取值范围．【分析】（1）由菱形的性质得出BC=AB=6得出CF=BC﹣BF=6﹣2t即可；（2）由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°，由等边三角形的性质和三角函数得出∠GFE=60°，GF=EF=BF•sin60°=t，证出∠GEC=90°，由三角函数求出CF==t，由BF+CF=BC得出方程，解方程即可；（3）分两种情况：①0＜t＜时，S=0；②当＜t≤2时，S=S△EFG﹣S△MEN，即可得出结果；③当2＜t≤3时，由①的结果容易得出结论；（4）由题意得出t=时，点P与H重合，E与H重合，得出点P在△EFG内部时，t的不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）根据题意得：BF=2t，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB=6，∴CF=BC﹣BF=6﹣2t；（2）点G落在线段AC上时，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵△EFG是等边三角形，∴∠GFE=60°，GE=EF=BF•sin60°=t，∵EF⊥AB，∴∠BFE=90°﹣60°=30°，∴∠GFB=90°，∴∠GFC=90°，∴CF==t，∵BF+CF=BC，∴2t+t=6，解得：t=2；（3）分三种情况：①当0＜t≤时，S=0；②当＜t≤2时，如图2所示，21S=S △EFG ﹣S △MEN =×（t ）2﹣××（﹣+2）2=t 2+t ﹣3，即S=t 2+t ﹣3； ③当2＜t ≤3时，如图3所示：S=t 2+t ﹣3﹣（3t ﹣6）2， 即S=﹣t 2+t ﹣；（4）∵AH=AB•sin60°=6×=3， ∴3÷2=，∴3÷2=，∴t=时，点P 与H 重合，E 与H 重合，∴点P 在△EFG 内部时，﹣＜（t ﹣）×2＜t ﹣（2t ﹣3）+（2t ﹣3），解得：＜t ＜；即：点P 在△EFG 内部时t 的取值范围为：＜t ＜． 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要进行分类讨论才能得出结果。
2022-2023学年吉林省长春市南关区东北师大附中九年级数学第一学期期末检测模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列各组图形中，两个图形不一定是相似形的是（）A．两个等边三角形B．有一个角是100︒的两个等腰三角形C．两个矩形D．两个正方形2．如图，△ABC∽△ADE ，则下列比例式正确的是（）A．AE ADBE DC=B．AE ADAB AC=C．AD DEAC BC=D．AE DEAC BC=3．下列事件中是必然事件是（）A．明天太阳从西边升起B．篮球队员在罚球线投篮一次，未投中C．实心铁球投入水中会沉入水底D．抛出一枚硬币，落地后正面向上4．如图所示，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴于点A，点C在函数y＝kx（x＞0）的图象上，若OA＝1，则k的值为（）A．4 B．2C．2 D2 5．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝40°，则∠D的度数是（）A ．140°B ．130°C ．120°D ．110°6．二次函数y ＝2x 2﹣4x ﹣6的最小值是（ ） A ．﹣8B ．﹣2C ．0D ．67．将方程x 2-6x+3=0左边配成完全平方式，得到的方程是（ ） A ．（x-3）2=-3B ．（x-3）2=6C ．（x-3）2=3D ．（x-3）2=128．在Rt ABC ，90C ∠=，3sin 5B =，则sin A 的值是（ ） A ．35B ．4 5C ．5 3D ．5 49．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M ，N 的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax 2﹣x+2（a≠0）与线段MN 有两个不同的交点，则a 的取值范围是（ ）A ．a≤﹣1或14≤a ＜13 B ．14≤a ＜13C ．a≤14或a ＞13D ．a≤﹣1或a≥1410．已知3sin 2α=，则α∠的度数是（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，△ABC 中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P 从A 出发，以每秒2厘米的速度向B 运动，点Q 从C 同时出发，以每秒3厘米的速度向A 运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间为_________________12．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2﹣7x +10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是_____．13．五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C ，D 分别为线段AB 的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为512-，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为________．14．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为_____．15．若实数x、y满足x4y80-+-=，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为．16．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为______米．（结果保留两个有效数字）（参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601）17．如图，在山坡上种树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为6m．测得斜坡的斜面坡度为i＝1：3（斜面坡度指坡面的铅直高度与水平宽度的比），则斜坡相邻两树间的坡面距离为_____．18．一个等边三角形边长的数值是方程x2﹣3x﹣10＝0的根，那么这个三角形的周长为_____．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B(-4，2)，BA⊥x轴于A．(1)画出将△OAB绕原点旋转180°后所得的△OA1B1 ，并写出点B1 的坐标；(2)将△OAB平移得到△O2A2B2，点A的对应点是A2 （-2，4），点B的对应点B2 ，在坐标系中画出△O2A2B2；并写出B2的坐标；(3)△OA1B1与△O2A2B2成中心对称吗？若是，请直接写出对称中心点P的坐标．20．（6分）计算：（1）cos30tan454sin60tan60︒-⋅︒+︒︒； （2）03tan 302cos602cos45π-︒+︒+︒．21．（6分）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．如图1，把一张顶角为36º的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，我们把这两条线段叫做等腰三角形的三分线．(1)如图2，请用两种不同的方法画出顶角为45º的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数:(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种) ．(2)如图3，△ABC 中，AC=2,BC=3,∠C=2∠B ，请画出△ABC 的三分线，并求出三分线的长．22．（8分）已知：在△EFG 中，∠EFG ＝90°，EF ＝FG ，且点E ，F 分别在矩形ABCD 的边AB ，AD 上．（1）如图1，当点G在CD上时，求证：△AEF≌△DFG；（2）如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：EN＝AE+DN；（3）如图3，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN•MD．23．（8分）2019年9月30日,由著名导演李仁港执导的电影《攀登者》在各大影院上映后,好评不断,小亮和小丽都想去观看这部电影,但是只有一张电影票,于是他们决定采用模球的办法决定胜负,获胜者去看电影,游戏规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号1-4的四个球（除编号外都相同）,从中随机摸出一个球,记下数字后放回,再从中摸出一个球,记下数字,若两次数字之和大于5,则小亮获胜,若两次数字之和小于5,则小丽获胜．（1）请用列表或画树状图的方法表示出随机摸球所有可能的结果；（2）分别求出小亮和小丽获胜的概率,并判断这种游戏规则对两人公平吗？24．（8分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB=90°的点P的坐标．25．（10分）（1）已知关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝1．求证：无论a取何值，原方程总有两个不相等的实数根：（2）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠1）中的x和y满足下表：x …﹣1 1 1 2 3 …y … 3 1 ﹣1 1 m …①观察上表可求得m的值为；②试求出这个二次函数的解析式．26．（10分）“五一”小长假期间，小李一家想到以下四个5A级风景区旅游：A．石林风景区；B．香格里拉普达措国家公园；C．腾冲火山地质公园；D．玉龙雪山景区．但因为时间短，小李一家只能选择其中两个景区游玩（1）若小李从四个景区中随机抽出两个景区，请用树状图或列表法求出所有可能的结果；（2）在随机抽出的两个景区中，求抽到玉龙雪山风景区的概率．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】根据相似图形的定义，以及等边三角形，等腰三角形，矩形，正方形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、两个等边三角形，对应边的比相等，角都是60°，相等，所以一定相似，故A正确；B、有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似，故B正确；C、两个矩形，四个角都是直角，但四条边不一定对应成比例，不一定相似，故C错误；D、两个正方形，对应边的比相等，角都是90°，相等，所以一定相似，故D正确．故选：C．【点睛】本题考查了相似图形的判断，严格按照定义，对应边成比例，对应角相等进行判断即可，另外，熟悉等腰三角形，等边三角形，正方形的性质对解题也很关键．2、D【解析】∵△ABC∽△ADE ，∴AE DE AC BC，故选D．【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例这一性质是解答此题的关键．3、C【解析】必然事件就是一定会发生的事件，即发生的概率是1的事件，依据定义即可解决．【详解】解：A、明天太阳从西边升起，是不可能事件，故不符合题意；B、篮球队员在罚球线投篮一次，未投中，是随机事件，故不符合题意；C、实心铁球投入水中会沉入水底，是必然事件，故符合题意；D、抛出一枚硬币，落地后正面向上，是随机事件，故不符合题意．故选C．4、C【分析】作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC＝1BD，再证得四边形OADB是矩形，利用AC⊥x轴得到C（1，1），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值．【详解】解：作BD⊥AC于D，如图，∵ABC为等腰直角三角形，∴BD是AC的中线，∴AC＝1BD，∵CA⊥x轴于点A，∵AC⊥x轴，BD⊥AC，∠AOB＝90°，∴四边形OADB是矩形，∴BD＝OA＝1，∴AC＝1，∴C（1，1），把C（1，1）代入y＝kx得k＝1×1＝1．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了等腰直角三角形的性质．5、B【分析】根据圆周角定理求出∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠B，求出∠D+∠B=180°，再代入求出即可. 【详解】∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=40°，∴∠B=180°﹣∠ACB﹣∠BAC=50°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠D+∠B=180°，∴∠D=130°， 故选：B ． 【点睛】此题主要考查圆周角定理以及圆内接四边形的性质，熟练掌握，即可解题. 6、A【分析】将函数的解析式化成顶点式，再根据二次函数的图象与性质即可得． 【详解】222462(1)8y x x x =-=---因此，二次函数的图象特点为：开口向上，当1x ≤时，y 随x 的增大而减小；当1x >时，y 随x 的增大而增大 则当1x =时，二次函数取得最小值，最小值为8-． 故选：A ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟记函数的图象特征与性质是解题关键． 7、B【解析】试题分析：移项，得x 2－1x ＝－3， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方(－3)2，得 x 2－1x ＋(－3)2＝－3＋(－3)2， 即(x －3)2＝1． 故选B ．点睛：配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 8、B【分析】根据互余两角三角函数的关系：sin 2A+sin 2B=1解答． 【详解】∵在Rt △ABC 中,∠C =90︒， ∴∠A +∠B =90︒， ∴sin 2A+sin 2B=1，sin A >0， ∵sin B =35，∴sin A 45.故选B. 【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系. 9、A【分析】根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可； 【详解】∵抛物线的解析式为y=ax 1-x+1．观察图象可知当a ＜0时，x=-1时，y≤1时，满足条件，即a+3≤1，即a≤-1； 当a ＞0时，x=1时，y≥1，且抛物线与直线MN 有交点，满足条件， ∴a≥14， ∵直线MN 的解析式为y=-13x+53， 由215332y x y ax x ⎧-+⎪⎨⎪-+⎩＝＝，消去y 得到，3ax 1-1x+1=0，∵△＞0，∴a ＜13， ∴14≤a ＜13满足条件， 综上所述，满足条件的a 的值为a≤-1或14≤a ＜13， 故选A ． 【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 10、C【解析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】解：由3sin2α=，得α=60°，故选：C．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、167秒或1秒【分析】此题应分两种情况讨论．（1）当△APQ∽△ABC时；（2）当△APQ∽△ACB时．利用相似三角形的性质求解即可【详解】解：（1）当△APQ∽△ABC时，设用t秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．AP AQAB AC=，则AP=2t，CQ=3t，AQ=16-3t．于是167=163t8-，解得，t=16 7（2）当△APQ∽△ACB时，AP AQ AC AB=，设用t秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．则AP=2t，CQ=3t，AQ=16-3t．于是1616=738t-，解得t=1．故答案为t=167或t=1．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意将对应边转换，得到两组相似三角形是解题的关键．12、1【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案. 【详解】解：x2﹣7x+10＝0（x﹣2）（x﹣5）＝0，解得：x1＝2，x2＝5，故等腰三角形的腰长只能为5，5，底边长为2，则其周长为：5+5+2＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，需要熟悉三角形三边的关系以及等腰三角形的性质.13、20【分析】根据点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，可得AB，，再根据CD=BD-BC求出CD的长度，然后乘以5即可求解．【详解】∵点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，∴AB1，3=∴CD=BD﹣BC1)﹣(3-4，∴五边形CDEFG的周长=5（4）=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，则这个点叫这条线段的黄金分割点．14、1【解析】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，由题意知DE∥BC且DE=12BC，从而得2ADEABCS DES BC⎛⎫= ⎪⎝⎭，据此建立关于x的方程，解之可得．【详解】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE ∥BC ，且DE=12BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， 则2ADE ABC S DE S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭=14，即121124x -=， 解得：x=1，即四边形BCED 的面积为1，故答案为1．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质．15、1．【解析】先根据非负数的性质列式求出x 、y 的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解：根据题意得，x ﹣4=0，y ﹣2=0，解得x=4，y=2．①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2，∵4+4=2，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、2、2，能组成三角形，周长=4+2+2=1．所以，三角形的周长为1．16、6.2【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC 的长，从而可以解答本题.【详解】解：在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，∴BC=AB•sin ∠BAC=12×0.515≈6.2（米），答：大厅两层之间的距离BC 的长约为6.2米．故答案为6.2.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答.17、米．【分析】首先根据斜面坡度为i ＝16m 时的铅直高度，再利用勾股定理计算出斜坡相邻两树间的坡面距离．【详解】由题意水平距离为6米，铅垂高度米，（m），故答案为：【点睛】此题考查解直角三角形的应用，解题关键是掌握计算法则．18、12【解析】先解方程求出方程的根，再确定等边三角形的边长，然后求等边三角形的周长．【详解】解：x1﹣3x﹣10＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，即x﹣2＝0或x+1＝0，∴x1＝2，x1＝﹣1．因为方程x1﹣3x﹣10＝0的根是等边三角形的边长，所以等边三角形的边长为2．所以该三角形的周长为：2×3＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、等边三角形的周长等知识点．求出方程的解是解决本题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）图见解析，B1（4，-2）；（2）△图见解析，B2（-2，6）（3）△OA1B1与△O2A2B2成中心对称，对称中心P的坐标是（1，2）．【分析】（1）找出点A，点B关于原点O的对称点A1，B1，顺次连接起来即可；（2）找出点A，点B，点O的对应点，顺次连接起来即可；（3）根据中心对称图形的性质，找出对称中心P，写出坐标，即可．【详解】（1）△OA1B1如图所示；B1（4，-2）；（2）△OA2B2如图所示；B2（-2，6）；（3）△OA1B1与△O2A2B2成中心对称，对称中心P的坐标是（1，2）【点睛】本题主要考查图形变换和坐标，熟练掌握平变换和旋转变换的性质，是解题的关键．20、（1）3；（2）2 【分析】（1）利用特殊角的三角函数值分别代入计算即可；（2）利用特殊角的三角函数值以及零次幂的值分别代入计算即可．【详解】解：（1）原式3314322=⨯-⨯+3233=-3= （2）原式=31232212=-⨯++ 1111=-++2=．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆三角函数值是解题关键．21、（1）图见解析，90135,45︒︒︒⋅；（2）三分线长分别是3105210 【分析】（1）根据等腰三角形的判定定理容易画出图形；由等腰三角形的性质即可求出各个顶角的度数； （2）根据等腰三角形的判定定力容易画出图形，设B α∠=，则DCB DCA EAC α∠=∠=∠=，2ADE AED α∠=∠=，则AEC BDC ∽，ACD ABC △∽△得出对应边成比例，设AE AD x BD CD y ====，，得出方程组，解方程即可得．【详解】解:(1)作图如图1、图2所示:在图1中，AD CD =45ACD A ︒∴∠=∠=90ADC ︒∴∠=,45AB AC A ︒=∠=90ADC ︒∴∠=,45AB AC A ︒=∠=67.5B ACB ︒∴∠=∠=67.54522.5ECD ︒︒︒∴∠=-=DE CE ∴=22.5EDC ECD ︒∴∠=∠=135DEC ︒∴∠=45BED ︒∴∠=即三个等腰三角形的顶角分别为9013545︒︒︒、、在图2中，AD DE =，45DEA A ∴∠=∠=︒，90135ADE DEC ∴∠=︒∠=︒，BC DC =，67.5CDB B ∴∠=∠=︒45BCD ∠=︒，即三个等腰三角形的顶角分别为9013545︒︒︒、、(2)如图3所示，CD AE 、就是所求的三分线设B α∠=，则2DCB DCA EAC ADE AED αα∠=∠=∠=∠=∠=，，此时AEC BDC ACD ABC ∽，∽，设AE AD x BD CD y ====， ，∵AEC BDC ∽，∴:2:3x y =∵ACD ABC △∽△，∴()2::2x x y =+，解方程组:2:32:():2x y x x y =⎧⎨=+⎩解得：55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或55x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（负值舍去）AE ∴=，CD =和【点睛】本题是相似形的综合性题目，考查了等腰三角形的判定和性质、等腰三角形的画图、相似三角形的判定和性质、解方程组等知识，本题考查学生学习的理解能力及动手创新能力，综合性较强，有一定难度．22、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）先用同角的余角相等，判断出∠AEF＝∠DFG，即可得出结论；（2）先判断出△AHF≌△DNF，得出AH＝DN，FH＝FN，进而判断出EH＝EN，即可得出结论；（3）先判断出AF＝PG，PF＝AE，进而判断出PG＝PD，得出∠MDG＝45°，进而得出∠FGE＝∠GDM，判断出△MGN∽△MDG，即可得出结论．【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠AEF+∠AFE＝90°，∵∠EFG＝90°，∴∠AFE+∠DFG＝90°，∴∠AEF＝∠DFG，∵EF＝FG，∴△AEF≌△DFG（AAS）；（2）如图2，，延长NF，EA相交于H，∴∠AFH＝∠DFN，由（1）知，∠EAF＝∠D＝90°，∴∠HAF＝∠D＝90°，∵点F是AD的中点，∴AF＝DF，∴△AHF≌△DNF（ASA），∴AH＝DN，FH＝FN，∵∠EFN＝90°，∴EH＝EN，∵EH＝AE+AH＝AE+DN，∴EN＝AE+DN；（3）如图3，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，∴∠P＝90°，同（1）的方法得，△AEF≌△PFG（AAS），∴AF＝PG，PF＝AE，∵AE＝AD，∴PF＝AD，∴AF＝PD，∴PG＝PD，∵∠P＝90°，∴∠PDG＝45°，在Rt△EFG中，EF＝FG，∴∠FGE＝45°，∴∠FGE＝∠GDM，∵∠GMN＝∠DMG，∴△MGN∽△MDG，∴MG MN DM MG，MG2＝MN•MD．【点睛】考核知识点：相似三角形判定和性质.作辅助线，构造全等三角形，利用相似三角形解决问题是关键.23、（1）见解析（2）38，38；公平【分析】(1)根据题意，列出树状图，即可得到答案；(2)根据概率公式，分别求出小亮和小丽获胜的概率,即可. 【详解】（1）画树状图如下：两数和的所有可能结果为：2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,5,6,7,8共16种．（2）∵两次数字之和大于5的结果数为6,∴小亮获胜的概率63 168 ==,∵两次数字之和小于5的结果数为6,∴小丽获胜的概率63 168 ==,∴此游戏是公平的．【点睛】本题主要考查简单事件概率的实际应用，画出树状图，求出概率，是解题的关键.24、（1）y＝x2－2x－1．（2）M（1，－2）．（1 P（1，－4）．【解析】分析：（1）根据抛物线的对称轴可求出B点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由于A、B关于抛物线的对称轴直线对称，若连接BC，那么BC与直线x=1的交点即为所求的点M；可先求出直线BC的解析式，联立抛物线对称轴方程即可求得M点的坐标；（1）若∠PCB=90°，根据△BCO为等腰直角三角形，可推出△CDP为等腰直角三角形，根据线段长度求P 点坐标．详解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，且A（﹣1，0），∴B（1，0）；可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣1），由于抛物线经过C（0，﹣1），则有：a（0+1）（0﹣1）=﹣1，a=1，∴y=（x+1）（x﹣1）=x2﹣2x﹣1；（2）由于A、B关于抛物线的对称轴直线x=1对称，那么M点为直线BC与x=1的交点；由于直线BC经过C（0，﹣1），可设其解析式为y=kx﹣1，则有：1k﹣1=0，k=1；∴直线BC的解析式为y=x﹣1；当x=1时，y=x﹣1=﹣2，即M（1，﹣2）；（1）设经过C点且与直线BC垂直的直线为直线l，作PD⊥y轴，垂足为D；∵OB=OC=1，∴CD=DP=1，OD=OC+CD=4，∴P（1，﹣4）．点睛：本题考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质以及特殊三角形的性质等知识，难度适中．25、（2）证明见解析；（2）①3；②y＝（x﹣2）2﹣2．【分析】（2）△＝（a+3）2﹣4（a+2）＝a2+2a+5＝（a+2）2+4＞2，即可求解；（2）①函数的对称轴为：x＝2，根据函数的对称轴知，m＝3，即可求解；②函数的顶点坐标为（2，﹣2），故抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2﹣2，将（2，2）代入上式并解得：a＝2，即可求解．【详解】（2）△＝（a+3）2﹣4（a+2）＝a2+2a+5＝（a+2）2+4＞2，故无论a取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）①函数的对称轴为：x＝2，根据函数的对称性可得，m＝3，故答案为：3；②函数的顶点坐标为（2，﹣2），故抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2﹣2，将（2，2）代入上式得：2＝a（2﹣2）2﹣2，解得：a＝2，故抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2．【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，此题中能读懂表格中的数值变化是解题的关键.26、（1）共有12种等可能结果；（2）1 2【解析】(1)用A、B、C、D分别表示石林风景区；香格里拉普达措国家公园；腾冲火山地质公园；玉龙雪山景区四个景区，然后画树状图展示所有12种等可能的结果数；（2）在12种等可能的结果中找出玉龙风景区被选中的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：（1）画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果；（2）∵抽到玉龙雪山风景区的结果数为6，∴抽到玉龙雪山风景区的概率为12.【点睛】本题考查利用列举法求概率，学生们要熟练掌握画树状图法和列表法，是解本题的关键.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.一元二次方程x2-2x=0的解是（）A. x=0B. x=2C. x1=0，x2=-2D. x1=0，x2=22.下列各点在函数y=-x2+1的图象上是（）A. （0，0）B. （1，1）C. （0，-1）D. （1，0）3.已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（）A. x1=1，x2=-1B. x1=1，x2=2C. x1=1，x2=0D. x1=1，x2=34.如图，AB是直径，，∠BOC=40°，则∠AOE的度数为（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°5.将抛物线y=先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线所对应的函数式为（）A. y=（x+2）2+3B. y=（x-2）2-3C. y=（x+2）2-3D. y=（x-2）2+36.如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值为（）A. 1B.C.D.7.已知函数y=-x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A. B.C. D.8.如图，四边形ABCO是平行四边形，OA=2，AB=6，点C在x轴的负半轴上，将平行四边形ABCO绕点A逆时针旋转得到平行四边形ADEF，AD 经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上．若点D在反比例函数y=（x＜0）的图象上，则k的值为（）A. 4B. 12C. 8D. 6二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是______小时．10.抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，3），B（2，3），抛物线所对应的函数表达式为______．11.如果关于x的方程x2-x+k=0（k为常数）有两个相等的实数根，那么k=______．12.如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC的面积为300πcm2，∠BAC=120°，BD=2AD，则BD的长度为______cm．13.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则cos D=______．14.已知抛德物线y=+1有下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是______．三、解答题（本大题共10小题，共79.0分）15.先化简，再求值：，其中x=-3．16.小红玩抽卡片和旋转盘游戏，有两张正面分别标有数字1，的不透明卡片，背面完全相同；转盘被平均分成3个相等的扇形，并分别标有数字，3，4（如图所示），小云把卡片背面朝上洗匀后从中随机抽出一张，记下卡片上的数字；然后转动转盘，转盘停止后，记下指针所在区域的数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一区域为止）．请用列表或树状图的方法（只选其中一种）求出两个数字之积为负数的概率．17.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长春市某家快递公司今年三月份完成投递的快递总件数为10万件，预计五月份完成投递的快递总件数将增加到12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同，求该快递公司完成投递的快递总件数三月份到五月份的月平均增长率．18.某校在开展读书交流活动中，全体师生积极捐书，为了解所捐书籍的种类，对部分书据进行了抽样调查，李老师根据调查数据绘制了如下不完整的统计图，请根据统计图回答下面问题：（1）本次抽样调查的书有______本；（2）将条形统计图补充完整；（3）本次活动师生共捐书1600本，请估计科普类书籍的本数．19.如图，已知AB是⊙O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使∠PCA=∠ABC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠P=60°，PC=2，求PE的长．20.已知二次函数y=-x2（2）求二次函数的函数表达式；（3）当-5＜x＜-1时，请直接写出函数值y的取值范围．21.周未，小丽骑自行车从家出发到野外郊游，从家出发0.5小时到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小丽离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，行驶10分钟时，恰好经过甲地，如图是她们距乙地的路程y（km）与小丽离家时间x（h）的函数图象．（1）小丽骑车的速度为______km/h，H点坐标为______；（2）求小丽游玩一段时间后前往乙地的过程中y与x的函数关系；（3）小丽从家出发多少小时后被妈妈追上？此时距家的路程多远．22.在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．（1）如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，求证：AD+AB=AC；（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B=90°”去掉，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明这个结论．（3）如图3，若∠DAB=90°，请直接写出AD、AB与对角线AC的数量关系．23.二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′，再将得到的对称抛物线y′向上平移m（m＞0）个单位，得到新的抛物线y m，我们称y m叫做二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的m阶变换．（1）已知：二次函数y=2（x+2）2+1，它的顶点关于原点的对称点为______，这个抛物线的2阶变换的表达式为______．（2）若二次函数M的6阶变换的关系式为y6′=（x-1）2+5．①二次函数M的函数表达式为______．②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中左侧交点为点B，在抛物线y6′=（x-1）2+5上是否存在点P，使点P与直线AB的距离最短，若存在，求出此时点P的坐标．（3）抛物线y=-3x2-6x+1的顶点为点A，与y轴交于点B，该抛物线的m阶变换的顶点为点C．若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，请直按写出m的值．24.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=16，BC=12，点D、E分别为边AB、BC中点，点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒5个单位长度的速度向点B运动，到点B停止．当点P不与点A重合时，过点P作PQ∥AC，且点Q在直线AB左侧，AP=PQ，过点Q作QM⊥AB交射线AB于点M．设点P运动的时间为t（秒）（1）用含t的代数式表示线段DM的长度；（2）求当点Q落在BC边上时t的值；（3）设△PQM与△DEB重叠部分图形的面积为S（平方单位），当△PQM与△DEB 有重叠且重叠部分图形是三角形时，求S与t的函数关系式；（4）当经过点C和△PQM中一个顶点的直线平分△PQM的内角时，直接写出此时t的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵x2-2x=0，∴x（x-2）=0，则x=0或x-2=0，解得：x1=0，x2=2．故选：D．利用因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：∵y=-x2+1，∴当x=0时，y=1≠0，故点（0，0）不在函数图象上，当x=1时，y=-12+1=0≠1，故点（1，1）不在函数图象上，点（1，0）在函数图象上，当x=0时，y=1≠-1，故点（0，-1）不在函数图象上，故选：D．把所给点的坐标代入函数解析式判断即可．本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵二次函数的解析式是y=x2-3x+m（m为常数），∴该抛物线的对称轴是：x=．又∵二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），∴关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根分别是：x1=1，x2=2．故选：B．关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根就是二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标．本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，也可以利用代入法求得m的值，然后来求关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根．4.【答案】D【解析】解：∵，∠BOC=40°，∴∠BOC=∠COD=∠EOD=40°，∴∠AOE=180°-∠BOE=60°．故选：D．由在同圆中等弧对的圆心角相等得，∠BOC=∠COD=∠EOD=40°从而求得∠AOE的度数．本题利用了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等．5.【答案】B【解析】解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线y=先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是y=（x-2）2-3．故选：B．根据函数图象平移的法则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．6.【答案】D【解析】解：∵正六边形的任一内角为120°，∴∠1=30°（如图），∴a=2cos∠1=，∴a=2．故选：D．根据正六边形的内角度数可得出∠1=30°，再通过解直角三角形即可得出a的值，进而可求出a的值，此题得解．本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：∵a=-1＜0，b＞0，c＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是x=-＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：D．根据已知条件“a＜0、b＞0、c＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y=ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．8.【答案】A【解析】解：由题意可得，OA=2，AF=2，∴∠AFO=∠AOF，∵AB∥OF，∠BAO=∠OAF，∴∠BAO=∠AOF，∠BAF+∠AFO=180°，解得，∠BAO=60°，∴∠DOC=60°，∵AO=2，AD=6，∴OD=4，∴点D的横坐标是：-4×cos60°=-2，纵坐标为：-4×sin60°=-2，∴点D的坐标为（-2，-2），∵D在反比例函数y=（x＜0）的图象上，∴-2=，得k=4，故选：A．根据平行四边形的性质和旋转的性质可以求得点D的坐标，从而可以求得k的值．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、坐标与图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9.【答案】6.4【解析】解：=6.4．故答案为：6.4．根据平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数进行计算．此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，根据加权平均数的计算公式列出算式是解题的关键．10.【答案】y=x2-2x+3【解析】解：将A（0，3），B（2，3）代入抛物线解析式得：，解得：b=-2，c=3，则抛物线解析式为y=x2-2x+3．故答案为：y=x2-2x+3．将A与B两点代入抛物线解析式求出b与c的值，即可确定出解析式．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．11.【答案】【解析】解：∵a=1，b=-1，c=k，∴△=b2-4ac=（-1）2-4×1×k=1-4k=0，解得k=．根据根的判别式为零时，有两个相等的实数根，就可以求出k的值．本题比较容易，考查一元二次方程根的判别式为零时有两个相等的实数根的应用．12.【答案】20【解析】解：设AD=x，则AB=3x．由题意300π=，解得x=10，∴BD=2x=20cm．故答案为20．设AD=x，则AB=3x．由题意300π=，解方程即可．本题考查扇形的面积公式、解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．13.【答案】【解析】解：连接BC，∴∠D=∠A，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=3×2=6，AC=2，∴cos D=cos A===．故答案为：．连接BC，根据同弧所对的圆周角相等得到∠D=∠A，在直角三角形ABC中，根据余弦的定义即可得到结果．本题考查了圆周角定理，解直角三角形，连接BC构造直角三角形是解题的关键．14.【答案】+3【解析】解：过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示．∵点P′在抛物线上，∴P′F=P′E．又∵点到直线之间垂线段最短，MF==，∴当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，最小值为ME+MF=+3．故答案为：+3．过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E，结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值，即可得出当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF周长的取最小值时点P的位置是解题的关键．15.【答案】解：原式=（-）+=+=，当x=-3时，原式===．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．由列表可知，有种等可能的结果，其中两数之积为负数的有3种，∴P（两数之积为负数）==．【解析】首先根据题意列出图表，然后由图表求得所有可能的结果，再根据概率公式即可求出答案．此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】解：设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得：10（1+x）2=12.1，解得：x1=0.1，x2=-2.1（不合题意舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%．【解析】设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12．万件，列出方程求解即可．本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．18.【答案】40【解析】解：（1）本次抽样调查的书有8÷20%=40（本），故答案为：40；（2）其它类的书的数量为40×15%=6（本），补全图形如下：（3）估计科普类书籍的本数为1600×=480（本）．（1）由艺术类书籍的数量及其所占百分比可得抽取的总数量；（2）用样本容量乘以其它类书籍对应的百分比求出具体数量，从而补全图形；（3）用总数量乘以样本中科普类书籍数量所占比例可得．本题考查的是条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19.【答案】解：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCO+∠ACO=90°，∵OC=OB，∴∠B=∠BCO，∵∠PCA=∠ABC，∴∠BCO=∠ACP，∴∠ACP+∠OCA=90°，∴∠OCP=90°，∴PC是⊙O的切线；（2）∵∠P=60°，PC=2，∠PCO=90°，∴OC=2，OP=2PC=4，∴PE=OP-OE=OP-OC=4-2．【解析】（1）连接OC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，求得∠BCO+∠ACO=90°，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BCO，等量代换得到∠BCO=∠ACP，求得∠OCP=90°，于是得到结论；（2）解直角三角形即可得到结论．本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．20.【答案】2个【解析】解：（1）从表格看，函数的对称轴为：x=-2，此函数图象与x轴交点个数为2个，一个在x=-3或x=-2之间，一个在x=-2或-1之间，故答案为：2个；（2）函数对称轴为：x=-2=-，解得：b=-4，x=0，y=-2=c，故函数的表达式为：y=-x2-4x-2；（3）x=-5时，y=-7，x=1时，y=-7，函数的顶点坐标为：（-2，2），故y的取值范围为：-7＜y＜2．（1）从表格看，函数的对称轴为：x=-2，此函数图象与x轴交点个数为2个，一个在x=-3或x=-2之间，一个在x=-2或-1之间，即可求解；（2）函数对称轴为：x=-2=-，解得：b=-4，x=0，y=-2=c，即可求解；（3）x=-5时，y=-7，x=1时，y=-7，函数的顶点坐标为：（-2，2），即可求解．本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．21.【答案】20 （，20）【解析】解：（1）由函数图可以得出，小丽家距离甲地的路程为10km，花费时间为0.5h，故小丽骑车的速度为：10÷0.5=20（km/h），由题意可得出，点H的纵坐标为20，横坐标为：，故点H的坐标为（，20）；故答案为：20；（，20）；（2）设直线AB的解析式为：y1=k1x+b1，将点A（0，30），B（0.5，20）代入得：y1=-20x+30，∵AB∥CD，∴设直线CD的解析式为：y2=-20x+b2，将点C（1，20）代入得：b2=40，故y2=-20x+40；（3）设直线EF的解析式为：y3=k3x+b3，将点E（，30），H（，20）代入得：k3=-60，b3=110，∴y3=-60x+110，解方程组，解得，∴点D坐标为（1.75，5），30-5=25（km），所以小丽出发1.75小时后被妈妈追上，此时距家25km；（1）根据函数图中的数据，由小丽从家到甲地的路程和时间可以求出小丽骑车的速度；（2）先求出直线AB的解析式，再根据直线AB∥CD，求出直线CD的解析式；（3）求出直线EF的解析式，联立直线CD和直线EF的解析式，求出交点D的坐标即可．本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键在于读懂题意，根据函数图所给的信息求出合适的函数解析式并求解．22.【答案】（1）证明：在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，∴∠D=90°，∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC=60°，∵∠B=90°，∴∠ACB=30°，∴AB=AC，同理AD=AC．∴AD+AB=AC；（2）解：（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，∵∠BAC=60°，∴△AEC为等边三角形，∴AC=AE=CE，∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，∴∠DCB=60°，∴∠DCA=∠BCE，∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠CBE，在△CDA和△CBE中，，∴△CDA≌△CEB（AAS），∴AD=BE，∴AD+AB=AC；（3）解：结论：AD+AB=AC．理由如下：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=90°，∴∠DCB=90°，∵∠ACE=90°，∴∠DCA=∠BCE，又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB=45°，∴∠E=45°．∴AC=CE．又∵∠D+∠ABC=180°，∠CBE+∠ABC=180°，∴∠D=∠CBE，在△CDA和△CBE中，，∴△CDA≌△CBE（AAS），∴AD=BE，∴AD+AB=AE．在Rt△ACE中，∠CAB=45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AE=AC，∴AD+AB=AC．【解析】（1）由直角三角形的性质得出AD=AC，AB=AC即可解决问题；（2）以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△CDA≌△CBE即可解决问题；（3）过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△CDA≌△CBE即可解决问题．本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】（2，-1）y=-2（x-2）2-1 y=-（x+1）2+1【解析】解：（1）原二次函数的顶点为（-2，1），则顶点关于原点的对称点为（2，-1），则这个抛物线的2阶变换的表达式：y=-2（x-2）2-1，故答案为：（2，-1），y=-2（x-2）2-1；（2）①6阶变换的关系式对应的函数顶点为：（1，-1），则函数M的顶点为：（-1，1），则其表达式为：y=-（x+1）2+1，故答案为：y=-（x+1）2+1；②存在，理由：y=-（x+1）2+1，令y=0，则x=-2或0，故点B（-2，0），而点A（-1，1），将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b得：，解得：，故直线AB的函数表达式为：y=x+2，y6′=（x-1）2+5=x2-2x+6，如下图，过点P作PD⊥AB交于点D，故点P作y轴的平行线交AB于点H，∵直线AB的倾斜角为45°，则DP=PH，设点P（x，x2-2x+6），则点H（x，x+2），DP=PH=（x2-2x+6-x-2）=（x2-3x+4），∵＞0，故DP有最小值，此时x=，故点P（，）；（3）抛物线y=-3x2-6x+1的顶点为点A，与y轴交于点B，则点A（-1，4）、点B（0，1），抛物线的m阶变换的函数表达式为：y=3（x-1）2-4+m，故点C（1，m-4），则AB2=10，AC2=4+（m-8）2，BC2=1+（m-5）2，当AB=AC时，10=4+（m-8）2，解得：m=8；当AB=BC时，同理可得：m=8或2，故m的值为：8+或8-或8或2．（1）原二次函数的顶点为（-2，1），则顶点关于原点的对称点为（2，-1），即可求解；（2）①6阶变换的关系式对应的函数顶点为：（1，-1），则函数M的顶点为：（-1，1），即可求解；②DP=PH=（x2-2x+6-x-2）=（x2-3x+4），即可求解；（3）点A（-1，4）、点B（0，1），抛物线的m阶变换的函数表达式为：y=3（x-1）2-4+m，故点C（1，m-4），即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理的运用等，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．24.【答案】解：（1）如图1中，在RtABC中，∵AC=16，BC=12，∠C=90°，∴AB===20，∵PQ∥AC，∴∠A=∠QPM，∵∠C=∠PMQ=90°，∴△ACB∽△PMQ，∴==，∴==，∴PM=4t，MQ=3t，当0＜t≤时，DM=AD-AM=10-5t-4t=-9t+10．当＜t≤4时，DM=AM-AD=9t-10．（2）如图2中，当点Q落在BC上时，∵PQ∥AC，∴=，∴=，解得t=，∴当点Q落在BC边上时t的值为s．（3）如图3-1中，当＜t≤时，重叠部分是△DMK，S=×DM×MK=×（9t-10）×（9t-10）=t2-t+．如图3-2中，当≤t≤4时，重叠部分是△PBK，S=•PK•BK=×（20-5t）•（20-5t）=6t2-48t+96．（4）如图4-1中，当直线CQ平分∠PQM时，设直线CQ交AB于G，作GK⊥PQ于K．∵∠QKG=∠QMG=90°，∠GQK=∠GQM，QG=QG，∴△QGK≌△QGM（AAS），∴QK=QM=3t，PK=PQ-QK=5t-3t=2t，∴PG=PK=t，∵PQ∥AC，∴=，∴=，∴t=．如图4-2中，当CM平分∠QMP时，作CG⊥AB于G．∵•AC•BC=•AB•CG，∴CG===，AG===，∵∠CMG=∠GCM=45°，∴CG=GM=，∴AM=9t=+，解得t=，综上所述，满足条件的t的值为s或s．【解析】（1）分点M在线段AD上或点M在线段AD的延长线时两种情形分别求解．（2）当点Q落在BC上时，由PQ∥AC，可得=，由此构建方程即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3-1中，当＜t≤时，重叠部分是△DMK．②如图3-2中，当≤t≤4时，重叠部分是△PBK，分别求解．（4）分两种情形：①如图4-1中，当直线CQ平分∠PQM时，设直线CQ交AB于G，作GK⊥PQ于K．利用全等三角形的性质，平行线分线段成比例定理，构建方程即可．②如图4-2中，当CM平分∠QMP时，作CG⊥AB于G．求出AM的长，构建方程即可解决问题．本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．。