中考专题复习三角形ppt课件
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中考数学考点专题复习 三角形与全等三角形
剖析
先看一个事实，如图，将等腰△ABC 的底边 BC 延长线上的任一点和顶 点 A 相连，所得的△DAB 和△DAC 无疑是不全等的，由此可知，有两边及 其一边的对角对应相等的两个三角形(简称“边边角”)不一定全等．因此， 在判定三角形全等时，一定要留心“边边角”，别上当哟．
正解 证明：∵EB＝EC，∴∠3＝∠4.又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝ ∠2＋∠4，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.在△AEB和△AEC中， ∵EB＝EC，∠1＝∠2，AB＝AC，∴△AEB≌△AEC(SAS)， ∴∠BAE＝∠CAE
的长可能是下列哪个值( B )
A．11
B．5 C．2 D．1
(2)(2015·巴中)若 a，b，c 为三角形的三边，且 a，b 满足 a2－9＋(b－
2)2＝0，则第三边 c 的取值范围是 1＜c＜5
．
【点评】 三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最 短”．根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a，b，可确 定三角形第三边长c的取值范围|a－b|＜c＜a＋b.
[对应训练] 1．(1)(2014·宜昌)已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第 三边的长可能是( )B A．5 B．10 C．11 D．12
(2)(2014·淮安)若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可 以为___4_．(只需填一个整数)
【例2】 (1)(2014·赤峰)如图，把一块含有30°角(∠A＝30°)的 直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌 面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝40°，那么 ∠AFE＝( ) D
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．(2015·柳州)如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB 的是( D )
第四单元三角形(新)中考数学第一轮中考考点复习公开课PPT2
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命题的真假：正确的命题是_真__命__题___，错误的命题是 _假___命__题__．判断一个命题为假命题时，只需举出一个反例；要 论证一个命题是真命题时，则需要加以推理和证明．
AC∥EF，∠C＝∠F.求证：BC＝DF.
证明：∵AD＝BE， ∴AD－BD＝BE－BD，∴AB＝ED.
∵AC∥EF，∴∠A＝∠E.
∠C＝∠F， 在△ABC 和△EDF 中， ∠A＝∠E，
AB＝ED， ∴△ABC≌△EDF(AAS)，∴BC＝DF.
1．三角形的有关概念及分类
定 义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所
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特 征：任意一个三角形都有三条角平分线，这三条角 平分线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的_内__心___．
规 律：(1)三角形两条角平分线的交点一定在第三条角 平分线上．
(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是_A_C__＝__B_C__．
【解析】添加AC＝BC.∵△ABC的两条高线AD，BE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°.在△ ADC和△ BEC中，
∠ ∠AC＝DC∠＝C∠，BEC，∴△ADC≌△BEC(AAS)． AC＝BC，
5．[2019·山西]如图，已知点B，D在线段AE上，AD＝BE，
逆命题：若命题2与命题1的题设、结论正好相反，则这样 的两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命 题，那么另一个命题叫做它的逆命题．
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命题的真假：正确的命题是_真__命__题___，错误的命题是 _假___命__题__．判断一个命题为假命题时，只需举出一个反例；要 论证一个命题是真命题时，则需要加以推理和证明．
AC∥EF，∠C＝∠F.求证：BC＝DF.
证明：∵AD＝BE， ∴AD－BD＝BE－BD，∴AB＝ED.
∵AC∥EF，∴∠A＝∠E.
∠C＝∠F， 在△ABC 和△EDF 中， ∠A＝∠E，
AB＝ED， ∴△ABC≌△EDF(AAS)，∴BC＝DF.
1．三角形的有关概念及分类
定 义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所
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特 征：任意一个三角形都有三条角平分线，这三条角 平分线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的_内__心___．
规 律：(1)三角形两条角平分线的交点一定在第三条角 平分线上．
(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是_A_C__＝__B_C__．
【解析】添加AC＝BC.∵△ABC的两条高线AD，BE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°.在△ ADC和△ BEC中，
∠ ∠AC＝DC∠＝C∠，BEC，∴△ADC≌△BEC(AAS)． AC＝BC，
5．[2019·山西]如图，已知点B，D在线段AE上，AD＝BE，
逆命题：若命题2与命题1的题设、结论正好相反，则这样 的两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命 题，那么另一个命题叫做它的逆命题．
中考数学总复习19直角三角形复习课件
特 别 常见的勾股数有3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24， 提 25及9，40，41等 醒
【例2】如图，P是等边三角形ABC内 的一点，连结PA，PB，PC，以BP为 边作∠PBQ=60°，且BQ=BP， 连结CQ. (1)观察并猜想AP与CQ之间的大小 关系，并证明你的结论； (2)若PA∶PB∶PC=3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由. 【思路点拨】(1) (2)由勾股定理的逆定理判别即可.
【解题导引】设出未知数，分别表示出C′D和AD，然后在 Rt△ADC′中利用勾股定理列方程求解. 【规范解答】根据勾股定理得AB=10 cm，设CD=x，则 C′D=x，AD=8-x，根据折叠可知BC′=BC=6 cm，因此 AC′=4 cm，在Rt△ADC′中，根据勾股定理得(8-x)2=42+x2， 解得x=3，因此C′D=3 cm，因此求得△ADC′的面积为6 cm2. 答案：6 cm2
启 示
所需要的量时，可以考虑通过设出未知数，然后列方程 (组)求解.
1.(2012·黄石中考)如图所示，矩
形纸片ABCD中，AB＝6 cm，
BC＝8 cm，现将其沿EF对折，
【名师点评】通过对方程思想在勾股定理中的应用的分析和总结，我们可以得到以下该类型 题目的创新点拨和解题启示：
创 利用方程思想解题时，首先通过分析题意，设出适当的 新 未知数，然后利用所设未知数表示出其他的边，并把它 点 们集中到一个直角三角形中，最后利用勾股定理等关系 拨 列方程求解.
解
题 在直角三角形中，根据题目所给的条件，无法直接求出
勾股定理 ◆中考指数：★★★☆☆ 知 勾股定理的三个应用 识 1．已知直角三角形的两边求第三条边； 点 2．已知直角三角形的一边及另两边关系求另两边，一般设 睛 未知数；
【例2】如图，P是等边三角形ABC内 的一点，连结PA，PB，PC，以BP为 边作∠PBQ=60°，且BQ=BP， 连结CQ. (1)观察并猜想AP与CQ之间的大小 关系，并证明你的结论； (2)若PA∶PB∶PC=3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由. 【思路点拨】(1) (2)由勾股定理的逆定理判别即可.
【解题导引】设出未知数，分别表示出C′D和AD，然后在 Rt△ADC′中利用勾股定理列方程求解. 【规范解答】根据勾股定理得AB=10 cm，设CD=x，则 C′D=x，AD=8-x，根据折叠可知BC′=BC=6 cm，因此 AC′=4 cm，在Rt△ADC′中，根据勾股定理得(8-x)2=42+x2， 解得x=3，因此C′D=3 cm，因此求得△ADC′的面积为6 cm2. 答案：6 cm2
启 示
所需要的量时，可以考虑通过设出未知数，然后列方程 (组)求解.
1.(2012·黄石中考)如图所示，矩
形纸片ABCD中，AB＝6 cm，
BC＝8 cm，现将其沿EF对折，
【名师点评】通过对方程思想在勾股定理中的应用的分析和总结，我们可以得到以下该类型 题目的创新点拨和解题启示：
创 利用方程思想解题时，首先通过分析题意，设出适当的 新 未知数，然后利用所设未知数表示出其他的边，并把它 点 们集中到一个直角三角形中，最后利用勾股定理等关系 拨 列方程求解.
解
题 在直角三角形中，根据题目所给的条件，无法直接求出
勾股定理 ◆中考指数：★★★☆☆ 知 勾股定理的三个应用 识 1．已知直角三角形的两边求第三条边； 点 2．已知直角三角形的一边及另两边关系求另两边，一般设 睛 未知数；
初中数学三角形ppt完整版
灵活运用。
输入 标题
易错点二
在全等三角形判定中，忽视判定条件的完整性。纠正 方法：明确全等三角形的五种判定方法，确保在解题 时满足所有必要条件。
易错点一
易错点三
三角函数计算错误或应用不当。纠正方法：熟练掌握 三角函数的定义和性质，加强计算训练，确保在解题
时正确应用三角函数。
易错点四
在相似三角形判定中，混淆判定条件。纠正方法：清 晰理解相似三角形的判定条件，注意区分不同判定方 法的应用场景。
利用相似比求面积的方法
首先确定两个相似三角形的对应边长之比，然后根据相似比求 出面积之比，最后利用已知三角形的面积求出未知三角形的面 积。
面积法在几何证明中的应用
面积法的基本思想
通过计算或比较相关图形的面积，从而证明几何命题的一种方法。
面积法在几何证明中的应用举例
例如，利用面积法证明勾股定理、证明两直线平行或垂直等。通过构造适当的图形，利用面积关系进行推 导和证明，可以使问题更加直观和易于理解。
通过两点之间线段最短的性质进行证明。
应用举例
在解决三角形边长问题时，可以直接应用三角形边长关系进 行判断或推理，如判断三条线段能否构成三角形、求三角形 周长的取值范围等。
三角形不等式定理
对于三角形的任意一边a，都有a < b + c，其中b、c为与a 相邻的两边。该定理表明三角形的任意一边都小于另外两边 之和。
在已知三角形的三边a、b、c的情况下，面积S=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+cb)(b+c-a)]。秦九韶公式是海伦公式的等价形式，提供了另一种计算三角形面 积的方法。
利用相似比求面积
相似三角形的性质
输入 标题
易错点二
在全等三角形判定中，忽视判定条件的完整性。纠正 方法：明确全等三角形的五种判定方法，确保在解题 时满足所有必要条件。
易错点一
易错点三
三角函数计算错误或应用不当。纠正方法：熟练掌握 三角函数的定义和性质，加强计算训练，确保在解题
时正确应用三角函数。
易错点四
在相似三角形判定中，混淆判定条件。纠正方法：清 晰理解相似三角形的判定条件，注意区分不同判定方 法的应用场景。
利用相似比求面积的方法
首先确定两个相似三角形的对应边长之比，然后根据相似比求 出面积之比，最后利用已知三角形的面积求出未知三角形的面 积。
面积法在几何证明中的应用
面积法的基本思想
通过计算或比较相关图形的面积，从而证明几何命题的一种方法。
面积法在几何证明中的应用举例
例如，利用面积法证明勾股定理、证明两直线平行或垂直等。通过构造适当的图形，利用面积关系进行推 导和证明，可以使问题更加直观和易于理解。
通过两点之间线段最短的性质进行证明。
应用举例
在解决三角形边长问题时，可以直接应用三角形边长关系进 行判断或推理，如判断三条线段能否构成三角形、求三角形 周长的取值范围等。
三角形不等式定理
对于三角形的任意一边a，都有a < b + c，其中b、c为与a 相邻的两边。该定理表明三角形的任意一边都小于另外两边 之和。
在已知三角形的三边a、b、c的情况下，面积S=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+cb)(b+c-a)]。秦九韶公式是海伦公式的等价形式，提供了另一种计算三角形面 积的方法。
利用相似比求面积
相似三角形的性质
中考数学总复习 第5章 第20讲 直角三角形课件
解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9－x， ∵D是BC的中点，∴BD＝3，在Rt△NBD中，
x2＋32＝(9－x)2，解得x＝4，故线段BN的长为4
第十七页，共30页。
直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c. 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方，即有________． 2．勾股定理的逆定理：如果三角形一条(yī tiáo)边的 平方等于另外两条边的________(即满足式子 ________)，那么这个三角形是直角三角形．
【解析】(1)过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，利用勾股定理求 得AC的长即可；(2)分别求得乘车时间，然后比较(bǐjiào)即可得到答案．
解：(1)过点 C 作 AB 的垂线，交 AB 的延长线于 E 点， ∵∠ABC＝120°，BC＝20，∴BE＝10，CE＝10 3，在△ACE 中，∵AC2＝8100＋300，∴AC＝20 21＝20×4.6＝92(km) (2)乘客车需时间 t1＝8600＝131(小时)；乘列车需时间 t2＝19820＋ 2400＝1910(小时)，∴选择城际列车
因此，当知道直角三角形的两边时，可以求出第 三边；当只知道直角三角形的一边时，列出关系式， 转化(zhuǎnhuà)为方程解决. 求解时应注意辨别哪一 边是斜边．
第二十一页，共30页。
勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)及其逆定理的实际
1．(2014·黄石)小明听说“武黄城际列车”已经开通， 便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到 武昌客运站B，现在(xiànzài)可以在A坐城际列车到 武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌 客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝ 120°.请你帮助小明解决以下问题：
x2＋32＝(9－x)2，解得x＝4，故线段BN的长为4
第十七页，共30页。
直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c. 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方，即有________． 2．勾股定理的逆定理：如果三角形一条(yī tiáo)边的 平方等于另外两条边的________(即满足式子 ________)，那么这个三角形是直角三角形．
【解析】(1)过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，利用勾股定理求 得AC的长即可；(2)分别求得乘车时间，然后比较(bǐjiào)即可得到答案．
解：(1)过点 C 作 AB 的垂线，交 AB 的延长线于 E 点， ∵∠ABC＝120°，BC＝20，∴BE＝10，CE＝10 3，在△ACE 中，∵AC2＝8100＋300，∴AC＝20 21＝20×4.6＝92(km) (2)乘客车需时间 t1＝8600＝131(小时)；乘列车需时间 t2＝19820＋ 2400＝1910(小时)，∴选择城际列车
因此，当知道直角三角形的两边时，可以求出第 三边；当只知道直角三角形的一边时，列出关系式， 转化(zhuǎnhuà)为方程解决. 求解时应注意辨别哪一 边是斜边．
第二十一页，共30页。
勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)及其逆定理的实际
1．(2014·黄石)小明听说“武黄城际列车”已经开通， 便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到 武昌客运站B，现在(xiànzài)可以在A坐城际列车到 武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌 客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝ 120°.请你帮助小明解决以下问题：
全等三角形-中考数学总复习精品课件
三角形全等的条件
如何找边相等、 角相等
1.找“角”相等的途径主要有:对顶角相等;两直线平行,同位角、 内错角相等;余角等角代换;角平分线;平行四边形对角相等等.
2.找“边”相等主要借助中点、平行四边形对边相等来证明.
三角形全等的证明
如何找边相等、 角相等
3．判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的．
垂足分别是点 D，E，AD＝3，BE＝1，则 DE 的长是( B )
3 A.2
B．2
C．2 2
D. 10
61．2如0° 图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝________.
7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB， ③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是_②_____(只填序号)．
A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC
平移加翻折型
2．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，且 BC＝5，∠A＝70°，∠B＝75°，EC＝2，则下列结论中错误的是
( C)
A．BE＝3 B．∠F＝35° C．DF＝5 D．AB∥DE
平移型
3．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离，如果
对称型
解：(1)在△ABC 和△ADC 中，AABC＝ ＝AADC，，∴△ABC≌△ADC(SSS)， BC＝DC，
∴∠BAC＝∠DAC，即 AC 平分∠BAD (2) 由 (1) 得 ∠BAE ＝ ∠ DAE ， 在 △BAE 和 △DAE 中 ，
BA＝DA， ∠BAE＝∠DAE，∴△BAE≌△DAE(SAS)，∴BE＝DE AE＝AE，
浙江省中考考点复习数学课件：第18课 锐角三角函数与解直角三角形 (共22张PPT)
【例 1】 (2014·浙江宁波)为解决停车难的问 题，在如图 18-8 所示的一段长 56 m 的路段上 开辟停车位，每个车位都是长 5 m，宽 2.2 m 的矩形，矩形的边与路的边缘成 45°角，那么 这个路段最多可以划出________个这样的停车 位( 2取 1.4)．
【解析】 如解图． 易得 AC＝CD＝2.2 m， ∴AE＋CE＝2.2＋5＝7.2(m)．
在 Rt△ BPE 中，BE＝ 33PE＝ 33x(m)． ∵AB＝AE－BE＝6(m)，∴x－ 33x＝6， 解得 x＝9＋3 3．则 BE＝(3 3＋3)m． 在 Rt△ BEQ 中，∵∠QBE＝30°，∴QE＝ 33BE＝ 33(3 3＋3)＝(3＋ 3)m． ∴PQ＝PE－QE＝9＋3 3－(3＋ 3)＝6＋2 3≈9(m)． 答：电线杆 PQ 的高度约为 9 m．
【解析】 (1)∵α＝31°，β＝45°，PJ∥CD， ∴∠PME＝31°，∠PNE＝45°． ∵MN 所在直线与 PC 所在直线垂直，∴∠PEM＝90°． ∴EM＝tan∠PEPME≈03.600＝50(m)， EN＝tan∠PEPNE＝310＝30(m)． ∴MN＝EM－EN＝50－30＝20(m)． 答：两渔船 M，N 之间的距离为 20 m．
要点点拨
1．sin A，cos A，tan A 都指两条线段的比，没有单位．
特别关注 锐角三角函数值与边的长度无关，与边的比值
和角的大小有关．准确记忆特殊三角函数值，会对一些计 算．化简起重要作用，若不能掌握函数值的大小或变化规律， 则容易造成错误． 2．当∠A 是锐角时，0＜sin A＜1，0＜cos A＜1，tan A＞0．
建立坐标系，再根据已知的方位角与坐标系，通过添加辅助 线构建直角三角形．
中考数学第四单元“三角形”复习课件
第18讲 │ 考点随堂练
6．∠A 与∠B 互为补角，且∠A>∠B，那么∠B 的余角等于
(A )
A.12(∠A－∠B)
B.12(∠A＋∠B)
C.12∠A
D.12∠B
[解析] ∠A 与∠B 互为补角，则∠A＋∠B＝180°，所以 ∠B＝180°－∠A，则∠B 的余角为＝90°－(180°－∠A)＝ ∠A－90°＝∠A－12(∠A＋∠B)＝12(∠A－∠B)．
[解析] 经过一个点可以画无数条直线，经过三点可能可以 画 3 条直线，也可能画一条直线，直线可以向两方无限延 伸，所以直线不能比较长短．所以只有 C 是正确的，用直 线上的两个点表示直线，表示时位置可以交换．
第18讲 │ 考点随堂练
4．如图 18－3，已知点 A、B、C、D、E 在同一直线上，且 AC ＝BD，E 是线段 BC 的中点．
第18讲 │ 考点随堂练
第18讲 │ 归类示例
归类示例
类型之一 线与角的概念和基本性质
► 类型之一 线与角的概念和基本性质 命题角度： 1．线段、射线和直线的性质及计算 2．角的有关性质及计算
如图 18－2，将一副三角板叠放在 一起，使直角顶点重合于 O 点， 则∠AOC＋∠DOB＝___1_8_0_°__.
A．5 cm
B．6cm
C．10 cm
D．不能确定
图19－1
第18讲 │ 考点随堂练
7．如图 18－5，甲从 A 点出发向北偏东 70°方向走 50 m 至点 B， 乙从 A 出发向南偏西 15°方向走 80 m 至点 C，则∠BAC 的度数 是____1_2_5_°_______．
图 18－5 [解析] 90°－70°＝20°，所以∠BAC＝20°＋90°＋15°＝125°.
《解直角三角形》-完整版PPT课件
整理，得4t2-26t+39=0
解之，得
t1
13413,t2
13 13 4
∴台风抵达D港的时间为 1 3 1 3 小时.
B
∵轮船从A处用 1 3
≈25.5.
4
13
4
小时到达D港的速度为60÷
1
3413∴为台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6里/时.
例7 如图，公路MN和公路N上沿PN方向行驶时，学校是否会受 到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速 度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其 他特殊图形的组合；
（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现
例1 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行
计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，
那么BC= ，
3
∴tan30°= AC 1 3 BC 3 3
A
D
C
B
祝同学们学习进步！ 再见！
∴C1D0=201208（02米）
学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时= 时=1 24秒
150
小结：
1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题 2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决
C FG
∵ sinB= ，AG AB
D E
AG=AB•sinB=415•sin37°=415 06=
A
37 °B
249 25cm，
即EF 25cm
答：球的直径约为25cm
初三复习专题课件--全等三角形
所以AC＝BC且∠ACB＝90°，所以∠1＋∠2
＝90°，由BE⊥ l 得∠2＋∠3＝90°，所
以∠1＝∠3，在△ACD和△BCE中，∠ADC＝
∠BEC＝90°，所以△ACD≌△CBE。
（A.A.S.）
A
B
3
A
l
E
12
D
C
E
①
D
1
l
2
B
C
②
• （2）由△ACB是等腰直角三角形可知∠ACB＝90°，
即∠1＋∠2＝90°，AC＝BC，而由BE⊥ 得∠2l－
∠CBE＝90°，所以∠1＝∠CBE，于是
△ACD≌△CBE（AAS）
A
B
3
12
D
C
E
l
①
A
l
E
D
1
2
B
C
②
• 误点剖析：图②看上去较复杂，但只要针 对问题的要求，把观察点置于△ACD和 △CBE中，然后研究它们的边与角之间的关 系，就不致于混乱而感到复杂。
• 如果两个直角三角形有一条斜边和一 条直角边对应相等，那么这两个直角三角
形全等，简称为（斜边，直角边或HL ）
• 3.全等三角形的性质 • 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
• 三:典型例题
• 例1. 判断：都有两边长分别为3cm和5cm的 两个等腰三角形全等。
• 分析：以3cm为腰或以5cm为腰画两个等腰 三角形。
• 即∠APD＝∠BPC，所以△APD≌△CPB。
（SAS)，所以AD＝BC
D
• 误点剖析 实际上，△PBC
• 可看作是△PDA绕着P点按顺
C • 时针方向旋转60°得到，
中考数学专题复习 三角形动态问题 ——动点,动线,动图(25张PPT)
解：（1）∵长方形ABCD， ∴∠A=∠B=90°， ∵点E为AD的中点，AD=6cm， ∴AE=3cm， 又∵P和Q的速度相等可得出AP=BQ=1cm，BP=3， ∴AE=BP， 在△AEP和△BQP中，
∴△AEP≌△BPQ( SAS)， ∴∠AEP=∠BPQ， 又∵∠AEP+∠APE=90°， 故可得出∠BPQ+∠APE=90°， 即∠EPQ=90°， 即EP⊥PQ．
∠CBE+∠ECB=90∘
∴∠ACD=∠CBE
在△ADC和△CEB中，
{ ∠ADC=∠CEB=90∘ ∠ACD=∠CBE AC=CB， ∴△ADC≌△CEB， ∴AD=CE，DC=BE， ∴DE=CE−CD=AD−BE；
(3)DE=BE−AD. 易证得△ADC≌△CEB， ∴AD=CE，DC=BE， ∴DE=CD−CE=BE−AD.
∠MNC=∠C′PM=75°， ∠C′PN=∠BPN， ∴∠NPM=2×75°=150°， ∴∠C′PB=30°， 由折叠的性质可知：∠C′PN=∠BPN， ∴∠NPB′=15°．
平移问题
11.如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿 着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B=90°，AB=8， DH=3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（ D ）
折叠与对称
8.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E 分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合， 若∠A=75°，则∠1+∠2= 150° ；
9.如图，将长方形纸片ABCD折叠，折痕为EF，若
AB＝2，BC＝3，则阴影部分的周长为___1_0____．
∵AE=ME,AB=MN,BF=NF, ∴ME+DE+MN+CD+CF+NF =AE+DE+AB+CD+CF+BF =AD+AB+CD+BC =2+3+2+3 =10.
2020年中考数学复习：三角形内角和定理 课件( 共13张PPT)
或∠A=900- ∠B，或∠B=900- ∠A
回顾练习 1、△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，则∠C的度数是 ＿600 2、△ABC中，∠A=50°，∠C=90°，则∠B的度数是 ＿400
3、如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，CD平分 ∠ACB，求∠ACD的度数．
解：在△ABC中 ∵∠A=70°，∠B=50°， ∴∠ACB=180°﹣70°﹣50°=60° （三角形内角和定理）． ∵CD平分∠ACB，
在⊿ABD中，∠D=900 （已知） ∠ABD=400（已求）
∴∠A=900-400（直角三角形两锐角互余）
练习3:如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点
P．当∠A=70°时，则∠BPC的度数为 125．°
解：∵△ABC中，∠A=70°（已知） ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣70°=110°
（三角形内角和定理）
∴BP，CP分别为∠ABC与∠ACP的平分线， ∴∠2+∠4= （∠ABC+∠ACB）
= ×110°=55°（角平分线性质）
∴∠P=180°﹣（∠2+∠4） =180°﹣55°=125°
（三角形内角和定理）
今天作业： 《新课堂》33页中6题,11题 画图，写步骤，做纸上
今天自习课： 《新课堂》32页3题、 33页4题 画图，写步骤，做纸上
三角形内角和定理复习
知识回顾
1.三角形的内角和等于 1800
.
推理：∵∠A, ∠B, ∠C是⊿ABC的内角
∴ ∠A+∠B+∠C=1800
或∠A=1800- ∠B+∠C，……
或在⊿ABC中，∠A+∠B+∠C=1800
中考数学专题复习 三角形与多边形
第一部分 夯实基础
第四章 三角形
第2节 三角形与多边形
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课标导航
·理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，会按照边长的 关系和角的大小对三角形进行分类，了解三角形的稳定性．
·探索并证明三角形的内角和定理．掌握它的推论．证明三角形的任意两边之 和大于第三边．
·了解三角形重心的概念． ·探索并证明三角形的中位线定理． ·了解多边形的定义，多边形的定点、边、内角、外角、对角线等概念；探索 并掌握多边形内角和与外角和公式．
∴BF＝2BT＝2 3.
∵∠A F E ＝120°，∠A F B ＝∠A B F ＝30°，
∴∠B F E ＝90°.
∴S
△PE
F＝
S
△B EF
＝1·E 2
F
·BF
＝1×2×2 2
3＝2
外心 三角形三边垂直平分线的交点，外心到各顶点的距离相等.
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3．(1)下列说法错误的是( D ) A．三角形的内心是三角形内切圆的圆心 B．三角形的外心是三角形外接圆的圆心 C．三角形的重心到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的 2 倍 D．等腰三角形的四心重合
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2．(1)如图，在△ABC 中，AE 是中线，AD 是∠BAC 的角平分线，AF ⊥BC 于点 F，∠B＝30°，∠C＝50°.
①BE＝ EC ； ②∠BAD＝ 50 °； ③∠DAF＝ 10 °； ④S△AEC ＝ S△ABE.(填“>”“＜”或“＝”)
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AD×BC×14.
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顶点连中点，倍长造全等 点 D 是 BC 的中点，延长 AD 到 E，使 AD＝DE，则有 点 D 为 BC 的中点，延长 ED △ACD≌△EBD，AC∥BE. 到点 F，使 DF＝ED，连接 CF，则有△BED≌△CFD.
第四章 三角形
第2节 三角形与多边形
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课标导航
·理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，会按照边长的 关系和角的大小对三角形进行分类，了解三角形的稳定性．
·探索并证明三角形的内角和定理．掌握它的推论．证明三角形的任意两边之 和大于第三边．
·了解三角形重心的概念． ·探索并证明三角形的中位线定理． ·了解多边形的定义，多边形的定点、边、内角、外角、对角线等概念；探索 并掌握多边形内角和与外角和公式．
∴BF＝2BT＝2 3.
∵∠A F E ＝120°，∠A F B ＝∠A B F ＝30°，
∴∠B F E ＝90°.
∴S
△PE
F＝
S
△B EF
＝1·E 2
F
·BF
＝1×2×2 2
3＝2
外心 三角形三边垂直平分线的交点，外心到各顶点的距离相等.
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3．(1)下列说法错误的是( D ) A．三角形的内心是三角形内切圆的圆心 B．三角形的外心是三角形外接圆的圆心 C．三角形的重心到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的 2 倍 D．等腰三角形的四心重合
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2．(1)如图，在△ABC 中，AE 是中线，AD 是∠BAC 的角平分线，AF ⊥BC 于点 F，∠B＝30°，∠C＝50°.
①BE＝ EC ； ②∠BAD＝ 50 °； ③∠DAF＝ 10 °； ④S△AEC ＝ S△ABE.(填“>”“＜”或“＝”)
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AD×BC×14.
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顶点连中点，倍长造全等 点 D 是 BC 的中点，延长 AD 到 E，使 AD＝DE，则有 点 D 为 BC 的中点，延长 ED △ACD≌△EBD，AC∥BE. 到点 F，使 DF＝ED，连接 CF，则有△BED≌△CFD.
人教版九年级数学中考总复习《直角三角形与勾股定理》课件20张 (共20张PPT)
考点精讲
【例】（2016广东）如图1-4-5-1，
Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°， CD⊥AB交AB于点D，以CD为较短的直角 边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E= 30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作 Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC， ∠HCI=90°. 若AC=a，求CI的长.
课堂巩固训练
1. 将一副直角三角板按如图1-4-5-11放置，若∠AOD=20°，
则∠BOC的大小为
（B）
A. 140°
B. 160°
C. 170° D. 150°
2. 如图1-4-5-12，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂
思路点拨：在Rt△ACD中，利用30°角的性质和勾股定理求出 CD的长；同理在Rt△ECD中求出FC的长，在Rt△FCG中求出CH 的长；最后在Rt△HCI中，利用30°角的性质和勾股定理求出 CI的长. 解：在Rt△ACB中，∠B=30°，∠ACB=90°， ∴∠A=90°-30°=60°. ∵CD⊥AB， ∴∠ADC=90°. ∴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱACD=30°.
•1、多少白发翁，蹉跎悔歧路。寄语少年人，莫将少年误。 •2、三人行，必有我师焉；择其善者而从之，其不善者而改之。2021/10/312021/10/312021/10/3110/31/2021 8:14:06 PM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/312021/10/312021/10/3110/31/2021
【例】（2016广东）如图1-4-5-1，
Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°， CD⊥AB交AB于点D，以CD为较短的直角 边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E= 30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作 Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC， ∠HCI=90°. 若AC=a，求CI的长.
课堂巩固训练
1. 将一副直角三角板按如图1-4-5-11放置，若∠AOD=20°，
则∠BOC的大小为
（B）
A. 140°
B. 160°
C. 170° D. 150°
2. 如图1-4-5-12，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂
思路点拨：在Rt△ACD中，利用30°角的性质和勾股定理求出 CD的长；同理在Rt△ECD中求出FC的长，在Rt△FCG中求出CH 的长；最后在Rt△HCI中，利用30°角的性质和勾股定理求出 CI的长. 解：在Rt△ACB中，∠B=30°，∠ACB=90°， ∴∠A=90°-30°=60°. ∵CD⊥AB， ∴∠ADC=90°. ∴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱACD=30°.
•1、多少白发翁，蹉跎悔歧路。寄语少年人，莫将少年误。 •2、三人行，必有我师焉；择其善者而从之，其不善者而改之。2021/10/312021/10/312021/10/3110/31/2021 8:14:06 PM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/312021/10/312021/10/3110/31/2021
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3
C、基本定理、推论
三角形的边角关系 全等三角形的性质和判定 等腰三角形的性质和判定 角的平分线的性质和判定 线段的垂直平分线的性质和判定 轴对称性质和判定
4
D、基础知识和技能
掌握计算角的大小的方法 掌握解决几何证明题的能力 掌握几何命题的证明 证明线段相等、角相等的方法及运用
5
E、能力的培养和提高
这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的
角平分线。在三角形中，连结一个顶点和它的
对边中点的线段叫做三角形的中线。人三角形
一个顶点向它的对边画线段，顶点和垂足间的
线段叫做三角形的高。
16
三角形全等的有关概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形。 两个全等三角形生命时，互相生命的顶 点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对 应边，互相重合的角叫做对应角。 有是把全等三角形对应边或角的高、中 线和角平分线称为全等三角形的对应的 高、中线和角平分线。
15
三角形的有关概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接 所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段 叫做三角形的边。相邻两边的公共端点叫做三 角形的顶点。相邻两边所组成的角叫做三角形 的内角。（简称为角）。由三角形三角形的一 边和另一边的延长线组成的角，叫做三角形的 外角
三角形一个角的增分线与这个角的对边相交，
19
互逆命题、互逆定理的概念
在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二 个命题的结论，而第一人命题的结论又是第二 个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做 它的逆命题。 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那 么它也是一个定理，这两个定理叫做 互逆定理， 其中一个叫做另一亿的逆定理。
17
等腰三角形的有关概念
有两边相等的三角形叫做等腰三角形。 在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰， 另外一边叫做底边，两腰的夹角叫做 顶 角，腰和底边的夹角叫做底角。
18
轴对称和轴对称图形的概念
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够 与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于 这条直线 对称，两个图形中的对应点叫做关于 这条直线的对称点。这条直线叫做对称轴。两 个图形关于直线对称也称轴对称。 如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的 部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称 图形，这条直线就是它的对称轴。
的两个内角的和。 推论3：三角形的一个外角大于任何一个与
3、关于某直线对称，是对两个图形说的，它表 示两个图形之间的对称关系：轴对称图形是对 一个图形说的，它表示某个图形的特性。这两 个概念有联系也有区别。
14
逆命题、逆定理
1、交换一个命题的题设和结论，所得到的 命题与原命题是互逆命题。
2、原命题是真命题，它的逆命题不一定也 是真命题，如果原命题经过证明是真命 题，逆命 题刀是真命题，那么它们组成 一对逆定理。
20
角一平分线的有关概念
把一个角分成两个相等的角的射线叫做 角的平分线。 由直线外一点引到直线的垂线段的长度 叫估这个点到这条直线的距离。
21
线段的垂直平分经的有关概念
1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直 线 ，叫做这条线段的垂直平分线，或中 垂线。
2、连结两点之间线段的长度叫做这两点之 间的距离。
三角形
三角形 全等三角形 尺规作图 等腰三角形
1
A、内容提要
三角形的边角关系 三角形的分类 判定两个三角形全等的方法 等腰三角形的性质和判定 尺规作图 轴对称和轴对称图形 逆命题、逆定理
2
B、基本概念
三角形的有关概念 三角形全等的有关概念 等腰三角形的有关概念 轴对称和轴对称图形的有关概念 互逆命题和互逆定理的有关概念 角的平分线 线段的垂直平分线
1、作一条线段等于已知线段。
2、作一个角等于已知角。
3、平分已知角。
4、经过一点作已知直线的垂线。
5、作一条线段的垂线。
12
尺规作图
一、几何作图题的基本步骤有哪些？其中 哪几步 是基本步骤？
答：作图题有以下步骤：已知、求作、作法（作 图）、证明。其中 已知、求作和作法（作图） 是基本步骤。
二、作一个符合已知条件的三角形的关键是什么？ 弄清作图的先后顺序，把作图的过程尽量的分角
直角三 角形
等腰 三角 形
等边三 角形
不等 边三 角形
8
判定三角形全等的方法
一般的三角形： SAS、ASA、AAS、SSS
直角三角形：上述方法和 HL
9
等腰三角形的性质和判定（1）
等腰三角形的性质 等腰三角形具有一般三角形甩具有的性质
之外还有如下性质： 性质定理：等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角） 推论1；三线合一。 推论2：等边三角形的三个内角都相等，且
成几个基本作图或用尺规可以直接完成的作图
13
轴对称和轴对称图形
1、线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它 的对称轴。线段的垂直平分线上的的点和这条 线段的两端点的距离相等。这的逆命题也成立。
2、角是轴对称图形。角的平分线甩在的直线是 它的对称轴。在角的平分线上的点到这个角的 两国宾距离相等。它的逆命题也成立。
理清各知识点和关系，把知识点系统化 及各知识点的灵活运用 基本图形及基本图形的变化和综合
6
三角形的边角关系
两边的和大于第三边，两边的差小于第 三边 内角的和等于1800。一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和，大于其中任何 一个内角
7
三角形的分类
三角形可以按角或按边分类如下：
按角分
按边分
锐角 钝角 三角 三角 形形
每一个内角都等于600
10
等腰三角形的性质和判定（2）
等腰三角形的判定 判定定理：在一个三角形中，如果有两个
角相等，那么这两个角所对的边也相等。 （等角对等边） 推论1：有三个角相等的三角形是等边三角 形。 推论2：有一个角等于600的等腰三角形是 等边三角形。
11
尺规作图
尺规作图的工个基本作图。它们是：
22
三角形 的边角关系定理（1）
边的关系： 定理：三角形的任意两边的和大于第三边。 推论：三角形的两边的差小于第三边。 可归纳为：三角形的任意一边大于其它两
边的差且小于其它两边的和
23
三角形的边角关系定理（2）
角的关系： 三角形内角和定理：三角形的三个内角的
和等于1800 推论1：直角三角形中两锐角互余。 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻
C、基本定理、推论
三角形的边角关系 全等三角形的性质和判定 等腰三角形的性质和判定 角的平分线的性质和判定 线段的垂直平分线的性质和判定 轴对称性质和判定
4
D、基础知识和技能
掌握计算角的大小的方法 掌握解决几何证明题的能力 掌握几何命题的证明 证明线段相等、角相等的方法及运用
5
E、能力的培养和提高
这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的
角平分线。在三角形中，连结一个顶点和它的
对边中点的线段叫做三角形的中线。人三角形
一个顶点向它的对边画线段，顶点和垂足间的
线段叫做三角形的高。
16
三角形全等的有关概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形。 两个全等三角形生命时，互相生命的顶 点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对 应边，互相重合的角叫做对应角。 有是把全等三角形对应边或角的高、中 线和角平分线称为全等三角形的对应的 高、中线和角平分线。
15
三角形的有关概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接 所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段 叫做三角形的边。相邻两边的公共端点叫做三 角形的顶点。相邻两边所组成的角叫做三角形 的内角。（简称为角）。由三角形三角形的一 边和另一边的延长线组成的角，叫做三角形的 外角
三角形一个角的增分线与这个角的对边相交，
19
互逆命题、互逆定理的概念
在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二 个命题的结论，而第一人命题的结论又是第二 个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做 它的逆命题。 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那 么它也是一个定理，这两个定理叫做 互逆定理， 其中一个叫做另一亿的逆定理。
17
等腰三角形的有关概念
有两边相等的三角形叫做等腰三角形。 在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰， 另外一边叫做底边，两腰的夹角叫做 顶 角，腰和底边的夹角叫做底角。
18
轴对称和轴对称图形的概念
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够 与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于 这条直线 对称，两个图形中的对应点叫做关于 这条直线的对称点。这条直线叫做对称轴。两 个图形关于直线对称也称轴对称。 如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的 部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称 图形，这条直线就是它的对称轴。
的两个内角的和。 推论3：三角形的一个外角大于任何一个与
3、关于某直线对称，是对两个图形说的，它表 示两个图形之间的对称关系：轴对称图形是对 一个图形说的，它表示某个图形的特性。这两 个概念有联系也有区别。
14
逆命题、逆定理
1、交换一个命题的题设和结论，所得到的 命题与原命题是互逆命题。
2、原命题是真命题，它的逆命题不一定也 是真命题，如果原命题经过证明是真命 题，逆命 题刀是真命题，那么它们组成 一对逆定理。
20
角一平分线的有关概念
把一个角分成两个相等的角的射线叫做 角的平分线。 由直线外一点引到直线的垂线段的长度 叫估这个点到这条直线的距离。
21
线段的垂直平分经的有关概念
1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直 线 ，叫做这条线段的垂直平分线，或中 垂线。
2、连结两点之间线段的长度叫做这两点之 间的距离。
三角形
三角形 全等三角形 尺规作图 等腰三角形
1
A、内容提要
三角形的边角关系 三角形的分类 判定两个三角形全等的方法 等腰三角形的性质和判定 尺规作图 轴对称和轴对称图形 逆命题、逆定理
2
B、基本概念
三角形的有关概念 三角形全等的有关概念 等腰三角形的有关概念 轴对称和轴对称图形的有关概念 互逆命题和互逆定理的有关概念 角的平分线 线段的垂直平分线
1、作一条线段等于已知线段。
2、作一个角等于已知角。
3、平分已知角。
4、经过一点作已知直线的垂线。
5、作一条线段的垂线。
12
尺规作图
一、几何作图题的基本步骤有哪些？其中 哪几步 是基本步骤？
答：作图题有以下步骤：已知、求作、作法（作 图）、证明。其中 已知、求作和作法（作图） 是基本步骤。
二、作一个符合已知条件的三角形的关键是什么？ 弄清作图的先后顺序，把作图的过程尽量的分角
直角三 角形
等腰 三角 形
等边三 角形
不等 边三 角形
8
判定三角形全等的方法
一般的三角形： SAS、ASA、AAS、SSS
直角三角形：上述方法和 HL
9
等腰三角形的性质和判定（1）
等腰三角形的性质 等腰三角形具有一般三角形甩具有的性质
之外还有如下性质： 性质定理：等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角） 推论1；三线合一。 推论2：等边三角形的三个内角都相等，且
成几个基本作图或用尺规可以直接完成的作图
13
轴对称和轴对称图形
1、线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它 的对称轴。线段的垂直平分线上的的点和这条 线段的两端点的距离相等。这的逆命题也成立。
2、角是轴对称图形。角的平分线甩在的直线是 它的对称轴。在角的平分线上的点到这个角的 两国宾距离相等。它的逆命题也成立。
理清各知识点和关系，把知识点系统化 及各知识点的灵活运用 基本图形及基本图形的变化和综合
6
三角形的边角关系
两边的和大于第三边，两边的差小于第 三边 内角的和等于1800。一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和，大于其中任何 一个内角
7
三角形的分类
三角形可以按角或按边分类如下：
按角分
按边分
锐角 钝角 三角 三角 形形
每一个内角都等于600
10
等腰三角形的性质和判定（2）
等腰三角形的判定 判定定理：在一个三角形中，如果有两个
角相等，那么这两个角所对的边也相等。 （等角对等边） 推论1：有三个角相等的三角形是等边三角 形。 推论2：有一个角等于600的等腰三角形是 等边三角形。
11
尺规作图
尺规作图的工个基本作图。它们是：
22
三角形 的边角关系定理（1）
边的关系： 定理：三角形的任意两边的和大于第三边。 推论：三角形的两边的差小于第三边。 可归纳为：三角形的任意一边大于其它两
边的差且小于其它两边的和
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三角形的边角关系定理（2）
角的关系： 三角形内角和定理：三角形的三个内角的
和等于1800 推论1：直角三角形中两锐角互余。 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻