函数的周期性解读

函数的周期性

一、正弦函数的周期

三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = x α 无周期性，指数函数 y = a x 无周期性，对数函数 y =log a x 无周期，一次函数 y = kx +b 、二次函数 y = ax 2+bx +c 、三次函数 y = ax 3+bx 2 + cx +d 也无周期性.

周期性是三角函数独有的特性.

1、正弦函数 y =sin x 的最小正周期

在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP . 正弦函数的周期性

动点P 每旋转一周，正弦线MP 的即时位置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P 的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.

因此，正弦函数y =sin x 的最小正周期2π.

2、y =sin （ωx ）的最小正周期

设ω>0，y =sin （ωx ）的最小正周期设为L .

按定义 y = sin ω（x +L ） = sin （ωx + ωL ） = sin ωx . 令ωx = x ' 则有 sin （x ' + ωL ） = sin x ' 因为sin x 最小正周期是2π，所以有

ω

ωπ

2π2=

⇒=L L

例如 sin2x 的最小正周期为π2

π

2= sin

2

x 的最小正周期为π42

1π2=

3、正弦函数 y =sin （ωx +φ） 的周期性

对正弦函数sin x 的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx +φ）. 它的最小正周期与y = sin ωx 的最小正周期相同，都是ω

π

2=L .

如⎪⎭

⎫

⎝

⎛+

=2π3sin x y 的最小周期与 y = sin （3x ）相同，都是3π2.

于是，余弦函数⎪⎭⎫ ⎝

⎛

--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2πsin 2πsin cos x x x y 的最小正周期与sin x 的最小正周期相同，都是

2π.

二、复合函数的周期性

将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x →ωx ，sin x →sin ωx

后者周期变为

)0(π

2>ωω

而在以下的各种变换中，如

（1）初相变换sin ωx → si n （ ωx +φ）；

（2）振幅变换sin （ωx +φ）→ A sin （ ωx +φ）；

（3）纵移变换 A si n （ ωx +φ） → A si n （ ωx +φ）+m ；

后者周期都不变，亦即 A si n （ ωx +φ） +m 与si n （ωx ）的周期相同，都是ω

π

2.

而对复合函数 f （sin x ）的周期性，由具体问题确定.

1、复合函数 f （sin x ） 的周期性 【例题】 研究以下函数的周期性： （1）2 sin x ； （2）x sin

（2）x sin 的定义域为［2k π，2k π+π］，值域为［0，1］，作图可知， 它是最小正周期为2π的周期函数.

【解答】 （1）2sin x 的定义域为R ，值域为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡2 ,21，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数. 【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log a x ，sin x ，x

sin 1

， sin （sin x ）都是最小正周期2π的周期函数.

2、y = sin 3 x 的周期性

对于y = sin 3x =(sin x )3，L =2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.

图上看到，y = sin 3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.

3、y = sin 2 x 的周期性

对于y = sin 2x = (sin x )2，L =2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？ 可以通过作图判定，分别列表作图如下.

图上看到，y = sin 2x 的最小正周期为π，不是2π.

4、sin 2n x 和sin 2n -1 x 的周期性

y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到. 因为 cos2x 的周期是π，故 sin 2x 的周期也是π.

sin 2x 的周期，由cos x 的2π变为sin 2x 的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.

因此，正弦函数sin x 的幂符合函数sin m x ，当m =2n 时，sin m x 的最小正周期为π；m = 2n –1时，sin m x 的最小正周期是2π.

5、幂复合函数举例

【例1】 求 y =|sin x |的最小正周期.

【解答】 x x y 2sin |sin |==最小正周期为π.

【例2】 35

)(sin x y =求的最小正周期.

【解答】 533

5

)(sin )(sin x x =最小正周期为2π.

【例3】 求5

2

)(sin x y =的最小正周期.

【解答】

525

2

)(sin )(sin x x =最小正周期为π.

【说明】 正弦函数sin x 的幂复合函数p

q x )(sin . 当q 为奇数时，周期为2π；q 为偶数时，周期为π.

三、周期函数的和函数

两个周期函数，如 sin x 和 cos x ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 si nx + cos x 的最小正周期如何？

)4

π

sin(2cos sin +=+x x x

和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.

对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？

1、函数 sin x + sin2 x 的周期性

sin x 的最小正周期为2π，sin2x 的最小正周期是π，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下.

表上看到函数sin x +sin2x 的最小正周期是2π.

2、函数 sin x + sin2x 的周期性

依据上表，作sin x +sin2x 的图像如右.

从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由si nx ，sin2x 的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.

从图上看到，sin x +sin2x 仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.

3、函数sin x +sin

3

2

x 的周期性 sin x 的最小正周期为2π，sin 3

2

x 的最小正周期是3π. 它

们之间的和sin x + sin 3

2

x 的最小正周期也由“较大的”决定吗？

即“和函数”的周期为3π吗？

不妨按周期定义进行检验. 设2

π0=x 则x 0 +3π=

π32

π

+ 2312π32sin 2πsin 2π)(0+

=⎪⎭

⎫

⎝⎛∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x f )(23127π32sin 27πsin π32ππ)3(00x f f x f ≠+-=⎪⎭

⎫

⎝⎛∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+

因此3π不是sin x + sin

3

2

x 的最小正周期.