第二章习题运筹学

第二章习题

12、对于下面的线性规划问题，以()632,,A A A B =为基写出相对应的典式。

⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪

⎨⎧=≥=+++-=++-=++-+-61,010

8341242723..2min 6

3215214321321 j x x x x x x x x x x x x t s x x x j 解：由题可以知：

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡---=100834010042001213A []000121-=T

C

取一个基()65

4

A A A

B =，即：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=183004021B 且⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡---=834042213N

[]012-=T B C []001=T

N C

在matlab 中可以计算得到：

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-14740812104101

B []T b B b 39531-==-

1-=b C T B ⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡-=--832

1

4

51T N T B C N B C 由()

N T

N T B T B x C N B C b C Z --=-1可得典式的目标函数：

5418

3

21451x x x Z +---=

由b Nx B x N B =+-1可得：

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧-=+---=+++=++-39474225

581214

5

34

121

6541

54

3152

1x x x x x x x x x x x 由此与题中线性规划问题相对应的典式为：

⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎨

⎧

=≥-=+---=+++=++-+---=6,,1,039

4742255

812145341

21..8321451min 65415431521541 j x x x x x x x x x x x x t s x x x Z j

14、用单纯形法求解线面的线性规划问题，并在平面上画出迭代点走过的路线。

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+≤+--=0

,10443186052..2min 21221212121x x x x x x x x x t s x x z 解：由题先将题中线性规划问题化为标准形：

⎪⎪

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎪⎨

⎧=≥=+=++=++=++--=6,,1,010*********..2min 625214213212

1 j x x x x x x x x x x x x t s x x z j 由此可写出A ，即为：⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=10

0010

010*********

000152A

则可以得出()65

43

A A A A

B =是一个单位矩阵，且()010441860＞T

b =，

所以基B 是可行基，6543,,,x x x x 为基变量，21,x x 为非基变量。基B 对应的基本可

行解为：()T

x 1044186000=，其目标函数值00=z 。方程组b Ax =已是

典式，得到一张单纯形表如下：

1

x 2

x 3

x 4

x

5

x

6

x

RHS

2 1 0 0 0 0 0 3

x 2 5 1 0 0 0 60 4

x 1 1 0 1 0 0 18 5

x 3* 1 0 0 1 0 44 6

x 0 1 0

0 0 1 10

由题可知，()21A A N =，[][]12

0000--==T N T

B c c 检验数可由T

N T B k c N B c -=-1ζ可得：21=ζ不是负数，则当前解不是最优解，1A 列

中有三个元素大于零，取：

344

344,118,260min ,,min 313212111=

⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧a b a b a b 故转轴元为31a ，1x 为进基变量，5x 为出基变量。

目前的新基为()61

4

3

ˆA A A A B =,进行旋转变换后得下表：

1

x 2

x

3

x 4

x 5x 6

x

RHS

0 3

1

0 0 32-

0 3

88

-

3

x 0 313

1 0 3

2-

0 392 4

x 0

*

3

2

0 1 31-

0 310 5

x 1 3

1 0 0 3

1

0 3

44

6

x 0

1 0

0 1

10

它对应的基本可行解为:T

x ⎪⎭

⎫

⎝⎛=1003103920344,其目标函数值为

3880-

=z 。但3

1

2=ζ为正数，仍不是最优解，此时以22a 为转轴元，2x 为进基变