数学分析期末考试题1、2(第二份有答案)

一、 判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集． （ ）2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等． （ ）3.连续函数的全增量等于偏增量之和． （ ）4.xy y x f =),(在原点不可微． （ ）5.若),(),(y x f y x f yxxy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =． （ ） 6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛． （ ） 7.平面图形都是可求面积的． （ ） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ ） 9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”． （ ） 10.二重积分定义中分割T 的细度T不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替． （ ）二、 填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dz ．2.设32),,(yzxy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad ． 3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy． 4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于 ．5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为 ． 三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限xyy x y x )(lim 22)0,0(),(+→．2． 设),(y x z z =是由方程ze z y x=++所确定的隐函数，求xyz ．3．设]1,0[]1,0[⨯=A ，求⎰⎰++=A y x ydxdyI 2322)1(. 4．计算抛物线)0()(2>=+a ax y x 与x 轴所围的面积.四、(10分)密度22),,(yx z y x +=ρ的物体V 由曲面222yxz +=与2=z 所围成，求该物体关于z 轴的转动惯量． 五、（10分）求第二类曲面积分⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222其中S 是球面2222)()()(R c z b y a x =-+-+-并取外侧为正向．六、（第1小题8分，第2小题7分，共15分）． 1. 求曲线6222=++z y x ，22yx z +=在点（1，1，2）处的切线方程和法平面方程． 2．证明：22114π=+⎰+∞dx x ． 七、（10分）应用积分号下的积分法，求积分)0(ln )1cos(ln 10>>-⎰a b dx xxx x ab ． 二、 填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dzdy x y x x e dx y x y x y e xyxy )]cos()sin([)]cos()sin([+++++++． 2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad (1,-3,-3)． 3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy2 ． 4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于b a 532．5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为111193--=-=-z y x ． 三、计算题（每小题5分，共20分）1．求极限xyy x y x )(lim 22)0,0(),(+→．解：先求其对数的极限)ln(lim 22)0,0(),(y x xy y x +→． 由于)0,(0ln )ln(2222222+→=+→≤+r r y x r r y x xy 令， 所以)ln(lim 22)0,0(),(y x xy y x +→=0，故xyy x y x )(lim 22)0,0(),(+→=1．2． 设),(y x z z =是由方程ze z y x =++所确定的隐函数，求xyz ．解：方程ze z y x =++两边对x ，y求偏导数，得x z e x z z ∂∂=∂∂+1 yze y z z∂∂=∂∂+1 解得11-=∂∂=∂∂ze y z x z 32)1()1()11(-=∂∂⋅--=-∂∂=z z z z z xy e ey z e e e y z 。

3．设]1,0[]1,0[⨯=A ，求⎰⎰++=A y x ydxdyI 2322)1(. 解：先对y 后对x 积分，得到⎰⎰++=10232210)1(y x ydy dx I ⎰+-+=1022)2111(dx x x 3122ln ++= 。

4．计算抛物线)0()(2>=+a ax y x 与x 轴所围的面积.解：曲线ACO 由函数],0[,a x x ax y ∈-=表示，ONA 为直线0=y ，于是⎰=xdy S D ⎰⎰+=ACO ONA xdy xdy dx axax a ⎰-=0)12(2061)2(a dx x ax a =-=⎰。

四、(10分)密度22),,(yx z y x +=ρ的物体V 由曲面222yxz +=与2=z 所围成，求该物体关于z 轴的转动惯量．解：根据物体关于坐标轴的转动惯量的定义，得dV z y x y x J Vz ),,()(22ρ⎰⎰⎰+= 作柱面坐标变换⎪⎩⎪⎨⎧===,,sin ,cos :z z r y r x T θθ有Vr z r J .),,(=θ在xy 坐标面上的投影为}4),{(22≤+=y x y x D ， 则V 在T 下的原象为}20,20,22),,{(2πθθ≤≤≤≤≤≤='r z rz r V于是有dz r dr d J r z ⎰⎰⎰=πθ20202242ππ35256)22(22024=-=⎰dr r r 。

五、（10分）求第二类曲面积分⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222 其中S 是球面2222)()()(R c z b y a x =-+-+-并取外侧为正向． 解：由轮换对称性知，只须计算⎰⎰Sdxdy z 2，由,)()(222b y a x R c z ----±=- 利用极坐标变换可得：⎰⎰Sdxdyz2dxdy b y a x R c dxdyb y a x Rc Rb y a x Rb y a x ))()(())()((222222)()(222222)()(⎰⎰⎰⎰≤-+-≤-+-----------+=dr r R d c R 220204-=⎰⎰ϕπ c R 338π= 最后得到⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222)(383c b a R ++=π 。

六、（第1小题8分，第2小题7分，共15分）． 1. 求曲线6222=++z y x ，22y x z +=在点)2,1,1(0P 处的切线方程和法平面方程． 解：令6),,(222-++=z y x z y x F ，22),,(y x z z y x G --=，- 则两曲面在点)2,1,1(0P 处的法向量为： )2,1,1//()4,2,2()2,2,2())(),(),((00001===P z y x z y x P F P F P F n )1,2,2()1,2,2())(),(),((00002--=--==P z y x y x P G P G P G n 于是曲线的切向量为：)0,1,1//()0,5,5(55122211--=-=--=j i kj i τ 从而切线方程为：21111-=--=-z y x ， 法平面方程为：0)1()1()1(1=-⋅-+-⋅y x ，即0=-y x ． 2．证明：22114π=+⎰+∞dx x ． 证明:设411x t +=,则dt t t dx 4345)1(41----= ,有=+⎰+∞dx x4011dt t t 434110)1(41---⎰ )431,411(41--B =)431,43(41-B = 2243sin 41πππ=⋅=。

七、（10分）应用积分号下的积分法，求积分)0(ln )1cos(ln 10>>-⎰a b dx xxx x a b ． 解：令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-<<-=0,01,10,ln )1cos(ln )(x x a b x x x x x x g ab . 则)(x g 在]1,0[上连续,因此有dx x g dx xxx x I ab ⎰⎰=-=1010)(ln )1cos(ln )ln (])1cos(ln [10⎰⎰⎰-==b a ab yy ba x x x dy x dx dy x x 令⎪⎩⎪⎨⎧=≤<=0,010,)1cos(ln ),(x x x xy x f y则),(y x f 在],[]1,0[b a ⨯上连续,所以有dx dy x x y ba ])1(ln cos [10⎰⎰dx x x s co dy yb a ⎰⎰=)1(ln 10 )(cos )1(0tb a t y e x dt t e dy -+-+∞==⎰⎰令 dy y yba ⎰+++=2)1(11 2222ln 2122++++=a a b b 。