数学分析期末考试题1、2(第二份有答案)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、 判断题（每小题2分，共20分）
1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集． （ ）
2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等． （ ）
3.连续函数的全增量等于偏增量之和． （ ）
4.
xy y x f =),(在原点不可微． （ ）
5.若),(),(y x f y x f yx
xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =． （ ） 6.
dy y x xy
y )
1(sin 2
1
+⎰
+∞
在)1,0(内不一致收敛． （ ） 7.平面图形都是可求面积的． （ ） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ ） 9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”． （ ） 10.二重积分定义中分割T 的细度
T
不能用}{max 1i n
i σ∆≤≤来代替． （ ）
二、 填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy
+=，则其全微分=dz ．
2.设
3
2),,(yz
xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=
)(0P grad ． 3.设L 为沿抛物线
22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+L
ydx xdy
． 4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于 ．
5.曲面2732
22=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为 ． 三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限
xy
y x y x )(lim 22)
0,0(),(+→．
2． 设),(y x z z =是由方程z
e z y x
=++所确定的隐函数，求xy
z ．
3．设
]1,0[]1,0[⨯=A ，求⎰⎰++=A y x ydxdy
I 2
322)1(
. 4．计算抛物线)
0()(2
>=+a ax y x 与x 轴所围的面积.
四、(10分)密度
2
2),,(y
x z y x +=ρ的物体V 由曲面2
2
2y
x
z +=与2=z 所围成，求该物体关于z 轴的转动惯量． 五、（10分）求第二类曲面积分
⎰⎰
++S
dxdy z dzdx y dydz x 222其中S 是球面2
222)()()(R c z b y a x =-+-+-并取外侧为正向．
六、（第1小题8分，第2小题7分，共15分）． 1. 求曲线6
222=++z y x ，2
2
y
x z +=在点（1，1，2）处的切线方程和法平面方程． 2．证明：
2
2114
π=+⎰
+∞
dx x ． 七、（10分）应用积分号下的积分法，求积分)
0(ln )1cos(ln 1
0>>-⎰a b dx x
x
x x a
b ． 二、 填空题（每小题3分，共15分） 1.设)
sin(y x e z xy
+=，则其全微分=dz
d
y x y x x e dx y x y x y e xy
xy )]cos()sin([)]cos()sin([+++++++． 2.设
3
2),,(yz xy z y x f +=，则f
在点)1,1,2(0-P 处的梯度=
)(0P grad (1,-3,-3)． 3.设L 为沿抛物线
22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+L
ydx xdy
2 ． 4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于
b a 5
3
2．
5.曲面2732
22=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为1
1
1193--=-=-z y x ． 三、计算题（每小题5分，共20分）
1．求极限
xy
y x y x )(lim 22)
0,0(),(+→．
解：先求其对数的极限
)
ln(lim 2
2)
0,0(),(y x xy y x +→． 由于
)
0,(0ln )ln(2222222+
→=+→≤+r r y x r r y x xy 令， 所以
)
ln(lim 2
2)
0,0(),(y x xy y x +→=0，故xy
y x y x )(lim 22)
0,0(),(+→=1．
2． 设),(y x z z =是由方程z
e z y x =++所确定的隐函数，求xy
z ．
解：方程z
e z y x =++两边对x ，
y
求偏导数，得
x z e x z z ∂∂=∂∂+
1 y
z
e y z z
∂∂=∂∂+1 解得
1
1
-=∂∂=∂∂z
e y z x z 32
)
1()1()11(-=∂∂⋅--=-∂∂=z z z z z xy e e
y z e e e y z 。 3．设
]1,0[]1,0[⨯=A ，求⎰⎰++=A y x ydxdy
I 2
322)1(
. 解：先对
y 后对x 积分，得到
⎰⎰++=10232210)1(y x ydy dx I ⎰+-+=1022)2
111(dx x x 3122ln ++= 。
4．计算抛物线)
0()(2
>=+a ax y x 与x 轴所围的面积.
解：曲线
ACO 由函数]
,0[,a x x ax y ∈-=表示，ONA 为直线0=y ，于是