几何概型 会面问题
几何概型(有答案)
A
10 10
S
30
x
0 x 30
0 y 30
而二人会面 x y 10
SA P(A)= SS
３０２－２０２ ＝ ３０２
９ ５
练习:假设小明家订了一份报纸,送 报人可能在早上6:30至7:30之间把 报纸送到小明家,小明的爸爸离开家 去工作的时间在早上7:00至8:00之 间,问小明的爸爸在离开家前能得到 报纸的概率是多少? 书本上P137例2
练习
在500ml的水中有一个草履虫，现 从中随机取出2ml水样放到显微镜下 观察，则发现草履虫的概率是（ ） A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
练习 取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位 置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米 1m 1m 的概率有多大?
3m
解：如上图，记“剪得两段绳子长都不 小于1m”为事件A，把绳子三等分，于 是当剪断位置处在中间一段上时，事件 A发生。由于中间一段的长度等于绳子 长的三分之一，所以事件A发生的概率P （A）=1/3。
例9、（1）在面积为S的三角形ABC的AB边上 任取一点P，则三角形PBC的面积小于S∕2的 概率是＿＿＿； （2）向面积为S的三角形ABC内任投一点P， 则三角形PBC的面积小于S∕2的概率是＿＿＿；
典型例题讲解
例10、下图的矩形，长为5，宽为2， 在矩形内在随机地撒300颗黄豆，数 得落阴影部分的黄豆数为138颗，则 我们可以估计出阴影部分的面积 为 ．
解题方法小结：
对于复杂的实际问题，解题的 关键是要建立概率模型，找出 随机事件与所有基本事件相对 应的几何区域，把问题转化为 几何概型的问题，利用几何概 型公式求解。
练习
几何概型的五类重要题型
剖析几何概型的五类重要题型解决几何概型问题首先要明确几何概型的定义，掌握几何概型中事件A 的概率计算公式:积等）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积等）的区域长度（面积或体构成事件）（A A P =.其次要学会构造随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．1.几何概型的两个特征：(1)试验结果有无限多；(2)每个结果的出现是等可能的．事件A 可以理解为区域Ω的某一子区域，事件A 的概率只与区域A 的度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关．2..解决几何概型的求概率问题关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．3.用几何概型解简单试验问题的方法\ (1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解．(2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D.(3)把随机事件A 转化为与之对应的子区域d.(4)利用几何概型概率公式计算．4.均匀随机数在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率．一般地．利用计算机或计算器的rand （）函数可以产生0～1之间的均匀随机数．a ～b 之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生0～1之间的均匀随机数x= rand( )，然后利用伸缩和平移变换x= rand( )*(b-a)+a,就可以产生[a ，b]上的均匀随机数，试验的结果是产生a ～b 之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的．5.均匀随机数的应用(1)用随机模拟法估计几何概率；(2)用随机模拟法计算不规则图形的面积．下面举几个常见的几何概型问题.#一.与长度有关的几何概型例1 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．解 记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30×31=10米， ∴313010)(==E P . 方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．二.与面积有关的几何概型例2 如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为 cm.运动员在70 m 外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少思路点拨 此为几何概型，只与面积有关．$解 记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为2212241cm ⨯⨯π的大圆内，而当中靶点落在面积为222.1241cm ⨯⨯π的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率为01.0122412.1241)(2222=⨯⨯⨯⨯=cm cm B P ππ. 即：“射中黄心”的概率是.方法技巧 事件的发生是“击中靶心”即“黄心”的面积；总面积为最大环的圆面积．三.与体积有关的几何概型例3.在区间[0,l]上任取三个实数事件A={(x,y,z)| x 2+y 2+z 2＜1, x ≥0,y ≥0,z ≥0}(1)构造出随机事件A 对应的几何图形；（2)利用该图形求事件A 的概率.思路点拨: 在空间直角坐标系下，要明确x 2+y 2+z 2＜1表示的几何图形是以原点为球心，半径r=1的球的内部．事件A 对应的几何图形所在位置是随机的，所以事件A 的概率只与事件A 对应的几何图形的体积有关，这符合几何概型的条件．解：（1）A={(x,y,z)| x 2+y 2+z 2＜1, x ≥0,y ≥0,z ≥0}表示空间直角坐标系中以原点为球心，半径r=1的球的内部部分中x ≥0,y ≥0,z ≥0的部分，如图所示．(2)由于x,y,z 属于区间[0,1]，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A 为球在正方体内的部分．<∴6113481)(33ππ=⨯⨯=A P . 方法技巧：本例是利用几何图形的体积比来求解的几何概型，关键要明白点P(x,y,z)的集合所表示的图形．从本例可以看出求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可解，另外要适当选择观察角度.四.求会面问题中的概率例4 两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．思路点拨 两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即32小时．设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当-32≤x-y ≤32，因此转化成面积问题，利用几何概型求解． 解 设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当-32≤x-y ≤32. 两人到达约见地点所有时刻(x,y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x,y ）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为981)31(122=-==单位正方形阴影SSP.`方法技巧会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型．难点是把两个时间分别用x,y两个坐标表示，构成平面内的点(x,y),从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题．五.均匀随机数的应用例5 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(由曲线y= 2x与x轴、x=±1围成的部分）面积．思路点拨不规则图形的面积可用随机模拟法计算．解(1)利用计算机产生两组[0,1]上的随机数,a1=rand（），b1=rand( )．(2)进行平移和伸缩变换,a=*2,b=b1*2,得到一组[0,2]上的均匀随机数．(3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1.(4)计算频率NN1，则NN1即为落在阴影部分的概率的近似值．(5)利用几何概型公式得出点落在阴影部分的概率4SP=(6)因为NN1=4S,所以S=NN14即为阴影部分的面积.方法技巧根据几何概型计算公式，概率等于面积之比，如果概率用频率近似在不规则图形外套上一个规则图形，则不规则图形的面积近似等于规则图形面积乘以频率．而频率可以通过随机模拟的方法得到，从而求得不规则图形面积的近似值．。
概率(几何)定义
几何概型的解法归纳摘要：我们知道如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，其中每个等可能的基本结果可以用平面（或直线、空间）中的点来表示，而所有的基本结果对应于一个区域Ω，这时与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.事实上从某种意义上来说几何概型是古典概型的补充和推广.本文中将几何概型的问题分为两大类来解决.关键词：几何概型 ，概率，蒲丰投针引言 ：几何概率定义：设Ω是某一有界区域，（可以是一维空间的，也可以是二维、三维空间的）向Ω中随机投掷一点M ，如果点M 落在Ω中任一点是等可能的（或说是均匀分布的），则说这个试验是几何概型.对于几个可行试验，事件A=“点M 落在区域Ω⊂A 中”的概率，定义为()的测度的测度Ω=A A P这里的测度指长度 、面积 、体积等 .1 一般问题 1.1 直接解题法这类问题中，样本空间具有明显的几何意义，样本点所在的区域题中已经直接给出.这类问题结构比较简单，易于求解.下面举例说明.例 1 设一个质点落在xoy 平面上由x 轴，y 轴及直线1=+y x 所围成的三角形内，而且落在这个三角形内每一点处的可能性都相等.求此质点落在直线31=x 的左边的概率.解 由题意得出图（1），可知影阴部分即为题中所要求的样本点A ，大三角形即为样本空间Ω.211121=⨯⨯=Ωs185********=⨯⨯-=A s根据概率的几何定义，可得所求概率为：5518192P ssA Ω=== . 例2 随即地向半圆220x ax y -<<（a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x 轴的的夹角小于4π的概率.解 以Ω表示半圆202y ax x <<- 由题可知：点()y x ,应落在图（2）所示的影阴部分（记为区域A ）由于在极坐标下，图形A 的面积：2c o s40a s d rdr πθθA =⎰⎰=22cos 4012a d r πθθ⎛⎫⎪⎝⎭⎰ =22402cos a d πθθ⎰=()2401cos 2ad πθθ+⎰=4222sin 214πθπa a +=2214a ⎪⎭⎫⎝⎛+π221a s π=Ω应用几何概率公式得到所求的概率：2211142122a s P s a πππA Ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭===+ .1.2 间接解题法这一类几何概率问题中，样本空间所对应的几何区域题中没有直接指明，需要对问题作深入的分析，才能把样本空间归结为几何空间的某个区域.这一类结构比较复杂，解答富有技巧性，下面举例说明.例3 把长度为10的木棒任意分为三段，求这三段可以构成一个三角形的率. 解 设其中两段的长度分别为x 与y 则第三段的长度为y x --10，显然有图(1)11/31xyAπ/4a 图（2）oyx⎪⎩⎪⎨⎧<--<<<<<10100100100y x y x也就是 ⎪⎩⎪⎨⎧<+<<<<<100100100y x y x把()y x ,看作平面上的直角坐标中的点，则区域Ω可以用图（3）中的大三角形表示出来.为了使分成的三段能构成三角形，必须满足 角形任意两边之和大于第三边所以有：()()⎪⎩⎪⎨⎧>--+>--+-->+x y x y y y x x yx y x 101010 也就是 ⎪⎩⎪⎨⎧>+<<<<55050y x y x ， 于是区域A 可以用图（3）中的影阴部分表示，因此，所求概率为155121410102P S SA Ω⨯⨯===⨯⨯ .例 4 从区间()1,0内任意取两个数，求这两个数的积小于41的概率.解 以y x ,表示从()1,0内任意取的两个数，那么x 和y 的变化范围为：10<<x ，10<<y ,即样本空间是边长为1的正方形Ω，两数的积小于41的充要条件为：41<xy ，10<<x ，10<<y ，即当样本点()y x ,落在由双曲线41=xy 及四条直线：0=x ，1=x ，0=y ，1=y 所围成的区域A （如图（4））内时，两数的积小于41，因为区域Ω的面积大小为1，而区域A 的面积大小为：1141111l n 24424dx x s A =+=+⎰ . 于是，所求的概率为：11ln 21124ln 2124P s sA Ω+===+ . 例5 在线段AB 上任取三点1x ，2x ，3x 求1Ax ，2Ax ，3Ax 能构成三角概率.解 设线段AB 的长为1则101<<x ，102<<x ，103<<x 把()321,,x x x 看作空间一点的坐标系，则区域Ω可以用图（5）中的正方体表示出来.要使1Ax 2Ax 3Ax 能构成三角形，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+132231321xx x x x x x x x ，即六面体ODEBA 为所要求的样本点A ，所以所要求的概率为：111313212A P ννΩ-⨯⨯===.2 典型问题 2.1 会面问题例6 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面并约定先到者应等另一人一刻钟，过时即可离去.求两人会面的概率.解 以x 和y 分别表示甲 乙两人到达约会地点的时间 则两人能够会面的充要条件是：15x y -≤ ，在平面上建立直角坐标系，则()y x ,的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图（6）中的影阴部分所表示，因此所求概率为：222604576016P ssA Ω-=== .例7 甲、乙两艘轮船使向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.如果甲船的停泊时间是1小时，乙船是2小时求它们中的任何一艘都不需要等待码头空出的概率.图（3）101055y xy-x=15x-y=15图（6）606015150yx1/41/4图（4）yA11x图(5)OHFEDC BA111X3X2X1解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别是x 及y ，则x 及y 均可能取区间[]0,24内的任意一值，即024x ≤≤ ，024y ≤≤而要求它们中的任何一艘都不需要等待码头空出，也就是要求两船不可能会面，那么1y x -≥，或必须甲比乙早到1h 以上，或乙比甲早到2h 以上，即要2x y -≥ 在平面上建立直角坐标系如图（7），则(),x y 的所以可能结果是边长为24的正方形，而两艘船不可能会面的时间由图（7）中影阴部分表示,则所求概率为:()()22211241242220.89724P -+-==. 2.2 蒲丰投针问题蒲丰投针问题是一个著名的几何概型问题，它是法国科学家蒲丰在1777年提出的，在蒲丰投针问题中，投掷物针可以看作是一条线段，而针的落点是一组平行线构成的平面.蒲丰应用几何概型的一般方法，利用等可能性，巧妙地解了这个问题.例8 平面上画有等距离的平行线，每两条平行线之间的距离为l ，向平面任意投掷一枚长为()a a l <的针，试求针与平行线相交的概率.的距离，ϕ表解 设x 表示针落下后针的中点M 到最近的一条平行线πϕ≤≤0而示针与平行线所成的角（如图(8)a ），则：02l x ≤≤ ，针与一直线相交的充要条件是：sin 2ax ϕ≤. 我们把x 和ϕ表示为平面上一点的直角坐标，则所有基本事件可以用边长为π及2l的矩形内的点表示出来，而“针与直线相交”这一事件所包含的基本事件可以用上图(8)b 中影阴部分内的点表示出来，因而所求概率为：0sin 222ad a P l l ssπϕϕππA Ω===⨯⎰. 例9 把针替换成三角形的蒲丰问题.平面上画有等距离的平行线，每二条平行线之间的距离为l ,向平面任意投掷一个三角形，该三角形的边长分别为c b a ,,(均小于)l ，求三角形与平行线相交的概率.分析 三角形与平行线相交，只可能有三种情况：第一种情况是三角形的一个顶点与平行线相合(如图9（1））；第二种情况是三角形的一条边与平行线相合(如图9（2））；第三种情况是三角形的两条边与平行线相交(如图9（3））.由于三角形的三个顶点及三条边所占有的区域的面积为零，在几何概率中，其概率也为零.所以上面叙述中第一种情况和第二种情况可以省略，仅考虑第三种情况即可，因此，三角形与平行线相交的概率可转化为三角形中有两条边与平行线相交时的概率.而假设当三角形的a 边与平行线相交时，必须导致b 边或c 边与平行线相交，这两个事件是两两互斥的，且这两个事件的和事件恰好是边长为a 的边与平行线相交这个事件，a 与平行线相交的概率符合蒲丰投针问题.解 分别用 321,,A A A 表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然0)()(21==A P A P ，所求概率为)(3A P .分别用 bc ac ab c b a A A A A A A ,,,,,表示边c b a ,,，二边 bc ac ab ,,与平行线相交，则 )()()()(3bc ac ab A P A P A P A P ++= 显然 )()()(ac ab a A P A P A P += )()()(bc ab b A P A P A P +=)()()(bc ac c A P A P A P +=所以 [])()()(21)(3c b a A P A P A P A P ++= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=l c l b l a πππ22221 lcb a π++=.2.3 贝特朗奇论问题x-y=2y-x=1212424yx图（7）图9（3）图9（2）图9（1）ϕπx=(a/2)sin ϕL/2图(8)bxLaϕx图(8)a几何概率在现代概率概念的发展中曾经起过重大作用，十九世纪时，不少人相信，只要找到适当的等可能性描述，就可以给概率问题以唯一的解答，后来人们对这种观点提出异议，并且具出许多反例. 例10 在单位圆上任作一弦，求弦长大于3的概率.分析 在这个几何概率问题中，对于术语“随机地”的含义解释不同，这个问题存在多种不同的答案.下面为其中的种.解法一 如图10（1），不妨设弦的一端点A 已取定，问题化为在圆上任取另一端点B ，故样本空间 为整个圆周， 因为单位圆的内接正三角形AMN 的边长恰为3，故弦长AB 大于3，当且仅当端点B 落在弧MN上，由于弧MN 的长为圆周长的31，故所求概率P =31.解法二 如图10（2），不妨直考虑与直径MN 垂直的弦，当且仅当弦心距小于21，即所作弦的中心在EF 上时弦长大于3，因此所求概率P =21.于3的充要解法三 如图10（3），弦由其中点位置确定，而弦长大条件是，弦的中点落在半径为21的同心圆内，故所求概率为：P =41 .认真分析上述解题过程可知究其原因，主要是在取弦时采用了不同的P =31 ；理解为等可能性假设，理解为在圆周上任取两点连成一弦，则所求在固定直线上任取一点作弦与此直径垂直的弦则P =21 ；理解为在圆内任取一点作弦的中点而作弦，则P = 41.这三种答案是针对不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的.结论从某种意义上说，几何概型是古典概型的补充和推广.几何概型在概率问题中占有重要的地位.几何概型在本文中被分为两大类来，一是一般性的问题，另一类是典型的问题.通过归纳我们发现几何概型的解题的一般步骤为：首先选择一定的观察角度（必要时可以辅之图形）；再把基本事件转化为与之对应的区域，并把随机事件A 转化为与之对应的区域；最后利用概率公式计算.FEOM N BA图10（2）图10(3)OBAO图10（1）NBA。
教师版几何概型(内含答案排好版了已经)
3.3 几何概型1．向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则△PBC 的面积小于2S 的概率为 。
答案：21 2．设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A 连结，求弦长超过半径的概率。
思路解析：该题属几何概型。
如图，AB=OA=R ，则弧AB 的长÷圆O 的周长=61。
3．取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。
答案：4π 1．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升自来水放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率。
答案：0.0054．甲乙两人约定在6时到7时之间在某一处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，这时方可离去。
求两人能会面的概率。
P （A ）=Q A A S =222604560- =167 1．在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形。
试求这正方形的面积介于36与812cm 之间的概率。
答案：41 图3-3-1-24．现向图3-3-1-2中所示正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率。
答案：14425 5．取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得的两段的长度都不小于1m 的概率有多大？ 答案：2/36．在1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机抽取10mL ，含有麦锈病种子的概率是多大？ 答案：含有麦锈病种子的概率为1001 8．小明家的晚报在下午5：30～6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明家一家人在下午6：00～7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐。
（1）你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大？（2）晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多大？思路解析：运用几何概型。
如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人到达的时间，纵坐标表示小明一家开饭时间，假设随机试验落在方形内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件。
高二数学几何概型知识与常见题型梳理
几何概型知识与常见题型梳理何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关，即 试验结果具有无限性，是不可数的。
这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。
通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理， 我们不难看出其要核是： 要抓住几何概型具有无限性和等可能性 两个特点，无限性是指在一次试验中， 基本事件的个数可以是无限的， 这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。
因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相 同的，同属于“比例法”，即随机事件 A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形的 长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之 比来表示。
下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。
二常见题型梳理 1. 长度之比类型例1.小欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时 一班，求小等车时间不多于 10分钟的概率.例2在长为12cm 的线段AB 上任取一点 M ,并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的 面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率.2. 面积、体积之比类型几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型， 是概率考查中的重点， 下面就几何概型的知识与常见题型做一梳理，以期能使读者对于这一知识点做到脉络清晰，条理分明。
一基本知识剖析1. 几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成 比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
2. 几何概型的概率公式：构成事件A 的区域长度（面积或体 积） P （A ） = —-~————-试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体3. 几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件） 事件出现的可能性相等.4. 几何概型与古典概型的比较 ：一方面，古典概型具有有限性，积）’有无限多个; 2）每个基本 即试验结果是可数的；而几例3. （08高考6）.在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率&AB C 中，过直角顶点C 在 ACB 部做一条射线CM ,与线段 AC 的概率。
几何概型典型例题
几何概型例1、取一根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m 的概率是多少？例2、等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM<AC 的概率。
例3、甲、乙两人约定在6点到7点之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人15分钟，过时即可离去。
求两人能会面的概率。
例4、将长为1的棒任意折成三段，求：三段的长度都不超过a （1132a ≤≤）的概率。
1、（2009，山东）在区间[-1,1]上随机取一个数x ，cos2x π的值介于0到12之间的概率是（ ）A 、13 B 、2π C 、12 D 、23 2、（2009，辽宁）四边形ABCD 为长方形，AB=2，BC=1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 点的距离大于1的概率为（ ）A 、4πB 、14π-C 、8π D 、18π- 3、（2009，福建）点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为__________4、（2008，江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是_____________5、（2007，海南）设有关于x 的一元二次方程 2220x ax b ++=.（1）若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率。
6、（2010，青岛）若区域M 为{(,)x y |||||2x y +≤}，在区域M 内的点的坐标为(,)x y ，则220x y -≥的概率是（ ）A 、14B 、13C 、12D 、347（2010，海口）点D 为正三角形ABC 的边BC 的中点，从点D 发出的光线到AC 边上每一点的概率相同，则由点D 发出的光线，先后经过AC 边、AB 边反射后仍落在BC 边上的概率为（ ）A 、12B 、13C 、14D 、158、（2010，深圳模拟题）一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形内爬行，某时刻次蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（ ）A 、16π- B 、112π- C 、6π D 、12π 9、（2010，银川）设圆上的点是等可能分布的，作圆内接△ABC ，求△ABC 是锐角三角形的概率。
概率(几何)定义
几何概型的解法归纳摘要：我们知道如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，其中每个等可能的基本结果可以用平面（或直线、空间）中的点来表示，而所有的基本结果对应于一个区域Ω，这时与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.事实上从某种意义上来说几何概型是古典概型的补充和推广.本文中将几何概型的问题分为两大类来解决.关键词：几何概型 ，概率，蒲丰投针引言 ：几何概率定义：设Ω是某一有界区域，（可以是一维空间的，也可以是二维、三维空间的）向Ω中随机投掷一点M ，如果点M 落在Ω中任一点是等可能的（或说是均匀分布的），则说这个试验是几何概型.对于几个可行试验，事件A=“点M 落在区域Ω⊂A 中”的概率，定义为()的测度的测度Ω=A A P这里的测度指长度 、面积 、体积等 .1 一般问题 1.1 直接解题法这类问题中，样本空间具有明显的几何意义，样本点所在的区域题中已经直接给出.这类问题结构比较简单，易于求解.下面举例说明.例 1 设一个质点落在xoy 平面上由x 轴，y 轴及直线1=+y x 所围成的三角形内，而且落在这个三角形内每一点处的可能性都相等.求此质点落在直线31=x 的左边的概率.解 由题意得出图（1），可知影阴部分即为题中所要求的样本点A ，大三角形即为样本空间Ω.211121=⨯⨯=Ωs185********=⨯⨯-=A s根据概率的几何定义，可得所求概率为：5518192P ssA Ω=== . 例2 随即地向半圆220x ax y -<<（a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x 轴的的夹角小于4π的概率.解 以Ω表示半圆202y ax x <<- 由题可知：点()y x ,应落在图（2）所示的影阴部分（记为区域A ）由于在极坐标下，图形A 的面积：2c o s40a s d rdr πθθA =⎰⎰=22cos 4012a d r πθθ⎛⎫⎪⎝⎭⎰ =22402cos a d πθθ⎰=()2401cos 2ad πθθ+⎰=4222sin 214πθπa a +=2214a ⎪⎭⎫⎝⎛+π221a s π=Ω应用几何概率公式得到所求的概率：2211142122a s P s a πππA Ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭===+ .1.2 间接解题法这一类几何概率问题中，样本空间所对应的几何区域题中没有直接指明，需要对问题作深入的分析，才能把样本空间归结为几何空间的某个区域.这一类结构比较复杂，解答富有技巧性，下面举例说明.例3 把长度为10的木棒任意分为三段，求这三段可以构成一个三角形的率. 解 设其中两段的长度分别为x 与y 则第三段的长度为y x --10，显然有图(1)11/31xyAπ/4a 图（2）oyx⎪⎩⎪⎨⎧<--<<<<<10100100100y x y x也就是 ⎪⎩⎪⎨⎧<+<<<<<100100100y x y x把()y x ,看作平面上的直角坐标中的点，则区域Ω可以用图（3）中的大三角形表示出来.为了使分成的三段能构成三角形，必须满足 角形任意两边之和大于第三边所以有：()()⎪⎩⎪⎨⎧>--+>--+-->+x y x y y y x x yx y x 101010 也就是 ⎪⎩⎪⎨⎧>+<<<<55050y x y x ， 于是区域A 可以用图（3）中的影阴部分表示，因此，所求概率为155121410102P S SA Ω⨯⨯===⨯⨯ .例 4 从区间()1,0内任意取两个数，求这两个数的积小于41的概率.解 以y x ,表示从()1,0内任意取的两个数，那么x 和y 的变化范围为：10<<x ，10<<y ,即样本空间是边长为1的正方形Ω，两数的积小于41的充要条件为：41<xy ，10<<x ，10<<y ，即当样本点()y x ,落在由双曲线41=xy 及四条直线：0=x ，1=x ，0=y ，1=y 所围成的区域A （如图（4））内时，两数的积小于41，因为区域Ω的面积大小为1，而区域A 的面积大小为：1141111l n 24424dx x s A =+=+⎰ . 于是，所求的概率为：11ln 21124ln 2124P s sA Ω+===+ . 例5 在线段AB 上任取三点1x ，2x ，3x 求1Ax ，2Ax ，3Ax 能构成三角概率.解 设线段AB 的长为1则101<<x ，102<<x ，103<<x 把()321,,x x x 看作空间一点的坐标系，则区域Ω可以用图（5）中的正方体表示出来.要使1Ax 2Ax 3Ax 能构成三角形，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+132231321xx x x x x x x x ，即六面体ODEBA 为所要求的样本点A ，所以所要求的概率为：111313212A P ννΩ-⨯⨯===.2 典型问题 2.1 会面问题例6 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面并约定先到者应等另一人一刻钟，过时即可离去.求两人会面的概率.解 以x 和y 分别表示甲 乙两人到达约会地点的时间 则两人能够会面的充要条件是：15x y -≤ ，在平面上建立直角坐标系，则()y x ,的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图（6）中的影阴部分所表示，因此所求概率为：222604576016P ssA Ω-=== .例7 甲、乙两艘轮船使向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.如果甲船的停泊时间是1小时，乙船是2小时求它们中的任何一艘都不需要等待码头空出的概率.图（3）101055y xy-x=15x-y=15图（6）606015150yx1/41/4图（4）yA11x图(5)OHFEDC BA111X3X2X1解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别是x 及y ，则x 及y 均可能取区间[]0,24内的任意一值，即024x ≤≤ ，024y ≤≤而要求它们中的任何一艘都不需要等待码头空出，也就是要求两船不可能会面，那么1y x -≥，或必须甲比乙早到1h 以上，或乙比甲早到2h 以上，即要2x y -≥ 在平面上建立直角坐标系如图（7），则(),x y 的所以可能结果是边长为24的正方形，而两艘船不可能会面的时间由图（7）中影阴部分表示,则所求概率为:()()22211241242220.89724P -+-==. 2.2 蒲丰投针问题蒲丰投针问题是一个著名的几何概型问题，它是法国科学家蒲丰在1777年提出的，在蒲丰投针问题中，投掷物针可以看作是一条线段，而针的落点是一组平行线构成的平面.蒲丰应用几何概型的一般方法，利用等可能性，巧妙地解了这个问题.例8 平面上画有等距离的平行线，每两条平行线之间的距离为l ，向平面任意投掷一枚长为()a a l <的针，试求针与平行线相交的概率.的距离，ϕ表解 设x 表示针落下后针的中点M 到最近的一条平行线πϕ≤≤0而示针与平行线所成的角（如图(8)a ），则：02l x ≤≤ ，针与一直线相交的充要条件是：sin 2ax ϕ≤. 我们把x 和ϕ表示为平面上一点的直角坐标，则所有基本事件可以用边长为π及2l的矩形内的点表示出来，而“针与直线相交”这一事件所包含的基本事件可以用上图(8)b 中影阴部分内的点表示出来，因而所求概率为：0sin 222ad a P l l ssπϕϕππA Ω===⨯⎰. 例9 把针替换成三角形的蒲丰问题.平面上画有等距离的平行线，每二条平行线之间的距离为l ,向平面任意投掷一个三角形，该三角形的边长分别为c b a ,,(均小于)l ，求三角形与平行线相交的概率.分析 三角形与平行线相交，只可能有三种情况：第一种情况是三角形的一个顶点与平行线相合(如图9（1））；第二种情况是三角形的一条边与平行线相合(如图9（2））；第三种情况是三角形的两条边与平行线相交(如图9（3））.由于三角形的三个顶点及三条边所占有的区域的面积为零，在几何概率中，其概率也为零.所以上面叙述中第一种情况和第二种情况可以省略，仅考虑第三种情况即可，因此，三角形与平行线相交的概率可转化为三角形中有两条边与平行线相交时的概率.而假设当三角形的a 边与平行线相交时，必须导致b 边或c 边与平行线相交，这两个事件是两两互斥的，且这两个事件的和事件恰好是边长为a 的边与平行线相交这个事件，a 与平行线相交的概率符合蒲丰投针问题.解 分别用 321,,A A A 表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然0)()(21==A P A P ，所求概率为)(3A P .分别用 bc ac ab c b a A A A A A A ,,,,,表示边c b a ,,，二边 bc ac ab ,,与平行线相交，则 )()()()(3bc ac ab A P A P A P A P ++= 显然 )()()(ac ab a A P A P A P += )()()(bc ab b A P A P A P +=)()()(bc ac c A P A P A P +=所以 [])()()(21)(3c b a A P A P A P A P ++= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=l c l b l a πππ22221 lcb a π++=.2.3 贝特朗奇论问题x-y=2y-x=1212424yx图（7）图9（3）图9（2）图9（1）ϕπx=(a/2)sin ϕL/2图(8)bxLaϕx图(8)a几何概率在现代概率概念的发展中曾经起过重大作用，十九世纪时，不少人相信，只要找到适当的等可能性描述，就可以给概率问题以唯一的解答，后来人们对这种观点提出异议，并且具出许多反例. 例10 在单位圆上任作一弦，求弦长大于3的概率.分析 在这个几何概率问题中，对于术语“随机地”的含义解释不同，这个问题存在多种不同的答案.下面为其中的种.解法一 如图10（1），不妨设弦的一端点A 已取定，问题化为在圆上任取另一端点B ，故样本空间 为整个圆周， 因为单位圆的内接正三角形AMN 的边长恰为3，故弦长AB 大于3，当且仅当端点B 落在弧MN上，由于弧MN 的长为圆周长的31，故所求概率P =31.解法二 如图10（2），不妨直考虑与直径MN 垂直的弦，当且仅当弦心距小于21，即所作弦的中心在EF 上时弦长大于3，因此所求概率P =21.于3的充要解法三 如图10（3），弦由其中点位置确定，而弦长大条件是，弦的中点落在半径为21的同心圆内，故所求概率为：P =41 .认真分析上述解题过程可知究其原因，主要是在取弦时采用了不同的P =31 ；理解为等可能性假设，理解为在圆周上任取两点连成一弦，则所求在固定直线上任取一点作弦与此直径垂直的弦则P =21 ；理解为在圆内任取一点作弦的中点而作弦，则P = 41.这三种答案是针对不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的.结论从某种意义上说，几何概型是古典概型的补充和推广.几何概型在概率问题中占有重要的地位.几何概型在本文中被分为两大类来，一是一般性的问题，另一类是典型的问题.通过归纳我们发现几何概型的解题的一般步骤为：首先选择一定的观察角度（必要时可以辅之图形）；再把基本事件转化为与之对应的区域，并把随机事件A 转化为与之对应的区域；最后利用概率公式计算.FEOM N BA图10（2）图10(3)OBAO图10（1）NBA。
几何概型例题分析及习题(含答案)
2几何概型例题分析及练习题(含答案)［例1］甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另一人 15分钟，若另一人仍不 到则可以离去，试求这人能相见的概率。
解：设X 为甲到达时间，y 为乙到达时间.建立坐标系，如图［例2］设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与 A 连接，求弦长超过半径 2倍的概率［例3］将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过丄2的概率。
解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为1 x y ，则基本事件组所对应的几何区域可表示为{(x,y)|O x 1,0 y 1,0 x y 1}，即图中黄色区域，此区域面积为1。
2事件“三段的长度都不超过 1”所对应的几何区域可表2 示为1 1 1A {( x, y)|(x, y) ， x -,y J x y 才即图中最中间三角形区域，此区域面积为 丄(丄)2 12 2 81此时事件“三段的长度都不超过1”的概率为P -8 1 2 14|x y| 15时可相见，即阴影部分602 452 602rinx-尸一 13flJ 1 S 哎y60 K解：| AB| | AC| ,2R .BCD圆周7 16A［例4］两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机的接收范围是25,下午3： 00张三在基地正东30内 部处，向基地行驶，李四在基地正北 40内部处，向基地行 驶，试问下午3： 00,他们可以交谈的概率。
解：设x,y 为张三、李四与基地的距离x ［0,30］，y ［0,40］，以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对（x,y ），表示区域总 面积为1200，可以交谈即x 2 y 2 25程x 2 ax b 0两根均为正数的概率a 2 4b 0-252 120025 192［例5］在区间［1,1］上任取两数a,b ， 运用随机模拟方法求二次方解:（2）X2 a 0x2 b 0（1 ）利用计算器产生变换 a a1 2 1，0至1区间两组随机数a1,b1b1 2 1，事件A表示b三角形的概率。
几何概型的经典题型及答案(供参考)
几何概型的常见题型及典例分析一．几何概型的概念1．概念：若是每一个事件发生的概率只与组成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，那么称如此的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2．特点：（1）无穷性，即一次实验中，所有可能显现的结果（大体事件）有无穷多个； （2）等可能性，即每一个大体事件发生的可能性均相等. 3．计算公式：.)(积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P =说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行气宇.4．古典概型和几何概型的区别和联系：（1）联系：每一个大体事件发生的都是等可能的.（2）区别：①古典概型的大体事件是有限的，几何概型的大体事件是无穷的；②两种概型的概率计算公式的含义不同.二．常见题型（一）、与长度有关的几何概型例一、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cosxπ的值介于0到21之间的概率为( ). A.31 B.π2 C.21 D.32分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个大体事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，大体事件是无穷多个，而且每一个大体事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos2x π的值介于0到21之间,需使223xπππ-≤≤-或322xπππ≤≤∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为32，由几何概型知使cos 2x π的值介于0到21之间的概率为31232===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 应选A.例二、 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？思路点拨 从每一个位置安装都是一个大体事件，大体事件有无穷多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．解 记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30×31=10米， ∴313010)(==E P . 方式技术 咱们将每一个事件明白得为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机遇都一样，而一个随机事件的发生那么明白得为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，如此的概率模型就能够够用几何概型来求解．例3、在半径为R 的圆内画平行弦，若是这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R 的概率。
高考数学复习点拨约会型几何概型问题
高考数学复习点拨约会型几何概型问题第一篇：高考数学复习点拨约会型几何概型问题谈“约会型”概率问题的求解由两个量决定的概率问题，求解时通过坐标系，借助于纵、横两轴产生公共区域的面积，结合面积产生问题的结论，我们称此类问题为“约会型”概率问题；“约会型”概率问题的求解，关键在于合理、恰当引入变量，再将具体问题“数学化”，透过数学模型，产生结论。
请看以下几例：例1、甲、乙两人约定在晚上7时到8时之间在公园门口会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，这时即可离去，那么两人见面的概率是多少？解：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，那么两人能见面的充要条件是|x-y|≤15，如图由于(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，可能会面的时间由图中阴影部分所表示，记“两人能见面”为事件A602-4527=因此，两人见面的概率P(A)=16602点评：显然，“以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间”很关键，由这一句，将一个实际问题引入了数学之门，进一步分析会发现：要见面x,y必须满足|x-y|≤15，于是，结论也就顺其自然的产生了。
例2、A、B两列火车都要在同一车站的同一停车位停车10分钟，假设它们在下午一时与下午二时随机到达，求这两列火车必须等待的概率；解：以x轴和y轴分别表示A、B两列火车到达的时间两列火车必须等待，则|x-y|≤10，如图由于(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，可能等待的时间由图中阴影部分所表示，记“两列火车必须等待” 为事件A 602-50211=因此，这两列火车必须等待的概率是P(A)= 23660点评：本题与例1相同，“火车必须等待”，那么它们的到达时间差必须不大于10分钟，于是，将A、B两列火车到达车站的时间分别用x,y 表示，结论很快产生。
例3、小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学，小强每天早上六点到七点之间到达小明家，约小明一同前往学校，问小强能见到小明的概率是多少？解：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示小强的到达时间，纵坐标表示小明离开家的时间，由于区域内任意一点的出现是等可能的，因此，符合几何概型的条件；由题意，只要点落在阴影部分内，就表示小强能见到小明，即事件A发生，用心爱心专心⎧6≤x≤7⎪所以，由⎨6.5≤y≤7.5⎪y>x⎩1602-⨯30272得P(A)=，=86027即小强能见到小明的概率是。
几何概型 会面问题
1.5
父亲在离开家前能得到报纸满足的条件为： 间
x≤y。
0.5
所构成的区域为上图红色边框的五边形， o
7 面积为 8 。
1
x
（1，0） 送报人到达时间
求解 步骤三：
：代入概率计算公式计算结果
解：设送报人到达的时间为x,小明离开家的时间为y。( x，y )对应着平面中的点，
所有基本事件构成一个边长为1的正方形，面积为1。
转化 步骤二：
：把基本事件事件A转化成对应的区域
小明在离开家前得到报纸
X≤Y
父y
记送报人到达的时间为x,
亲 离
开
小明离开家去上班的时间为y。
家 时
1.5
间
( x，y )对应着平面中阴影部分
的点，所有基本事件构成的区域是
0.5
一个边长为1的正方形，面积为1。 o
x
1 送报人到达时间
父y
亲
离
开
家 时
父亲在离开家前能得到报纸要求x≤y,所构成的区域为一个五边形，
7 面积为 8
7
，所以P(A)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8 1
7 8
送报纸问题
普通高中课程标准试验教材人教A版
高中数学必修3.3.1
一、几何概型的特点：
(1)无限性：即基本事件有无限个； (2)等可能性： 即每个基本事件的发生都是等可能的。
二、几何概型的概率公式：
三、几何概型问题的求解步骤：
（1）判定：判定事件是否是几何概型； （2）转化：分别把试验全部结果、事件A转化成对应的区域； （3）求解：代入概率计算公式计算结果。
问题： 假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30-7:30之间 把报纸送到他家，他离开家去工作的时间在早上7:00-8:00之 间，问他在离开家前能得到报纸（称为事件A)的概率是多少？
高一数学几何概型试题答案及解析
高一数学几何概型试题答案及解析1.已知实数x，y满足0≤x≤2π，|y|≤1则任意取期中的x，y使y＞cosx的概率为（）A．B．C．D．无法确定【答案】A【解析】0≤x≤2π，|y|≤1所对应的平面区域如下图中长方形所示，“0≤x≤2π，|y|≤1，且y＞cosx”对应平面区域如下图中蓝色阴影所示：根据余弦曲线的对称性可知，蓝色部分的面积为长方形面积的一半，故满足“0≤x≤2π，|y|≤1，且y＞cosx”的概率P=．故选A．【考点】几何概型.2.甲、乙两人约定某天晚上7：00～8：00之间在某处会面，并约定甲早到应等乙半小时，而乙早到无需等待即可离去，那么两人能会面的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设甲到达会面处的时该为７点x分钟,则，设乙到达会面处的时该为７点y分钟,则；根据题意知所有可能情况为不等式组，两人能会面则必须满足，画出不等式组所表示的平面区域：，则所求的概率为：，故选C．【考点】几何概率．3.向如图中所示正方形内随机地投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为 ()．A．B．C．D．【答案】C【解析】观察这个图可知：阴影部分是一个小三角形，在直线AB的方程为6x-3y-4=0中，令x=1得A（1，），令y=-1得B（，-1）．∴三角形ABC的面积为S=AC×BC=×（1+）（1-）=，则飞镖落在阴影部分（三角形ABC的内部）的概率是：P=．故选C．【考点】几何概型．4.在区间（0,1）中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是【答案】【解析】设在区间（0,1）中随机地取出的两个数为，满足条件的为图中阴影部分，所以概率为阴影部分面积：总面积=．【考点】几何概型．5.有四个游戏盘面积相等，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )【答案】A【解析】第一个转盘中奖的概率为；第二个转盘中奖的概率为；第三个转盘中奖的概率为；第四个转盘中奖的概率为，所以中奖最高为A。
古典概型与几何概型课后习题解答汇总
游戏3：取两球同色的概率为：
32 1 43 2
取两球异色的概率为： 3113 1 43 43 2
规则公平
2、在所有首位不为0的八位数电话号码中，任取一个电话 号码，求： （1）头两位数码都是8的概率； （2）头两位数码至少有一个不超过8的概率； （3）头两位数码不相同的概率。
解： (1) 1 1 1 9 10 90
(3) 3 2 2 15 5
(4) 3 2 2 15 5
一、课本疑难习题解析
P142 B组 1、甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小 时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这 两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。
解：设甲到达的时间为x，乙到达的时间为y，则：
0 x, y 24
（1）A在边上，可以在左边和右边的两个位置中选 一个来站。所以概率为： 1
2
（2）分A在左B在右以及A在右B在左两种情形：2
4
21 3 2
1
1 6
（3）A或B在边上，即为A和B至少有一人在边上，这一事件的
对立事件是：A和B都不在边上，则概率为：
1 21 21 1 1 5 43 21 6 6
（2）分析：如果试过的钥匙不扔掉，概率应为：
22 1 44 4
2、假设有5个条件很类似的女孩，把她们分别记为A，C，
J，K，S。她们应聘秘书工作，但只有3个秘书职位，因
此5人中仅有三人被录用，如果5个人被录用的机会相等，
分别计算下列事件的概率：
3 （1）女孩K得到一个职位； 5 （2）女孩K和S各自得到一个职位；
9:3:3:1
yy
yy
RR
Rr
几何概型会面问题课件
2
练习2：甲乙两人相约上午8点到9点在某 地会面，先到者等候另一人20分钟，过 时离去，求甲乙两人能会面的概率.
y 60
20
O
2 2
20
60
x
60 - 40 5 P (A ) = = 2 60 9
即 点 M 落在图中的阴影部 分.所有的点构成一个正 方形，即有无穷多个结果. 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的，所以落在正 方形内各点是等可能的.
5 4 3 2 1
.M(X,Y)
0 1
2 3 4 5
x
二人会面的条件是： | X
Y | 1,
y
5 4 3 2 +1
P(A)=0.01
2.两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子,并在 绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于3m的 概率.
解：记“灯与两端距离都大于3m”为事件A，
由于绳长8m，当挂灯位置介于中间2m 时，事件A发生，于是
2 1 事件A发生的概率P( A) 8 4
3.ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB的中点,在
y=x -1
阴影部分的面积 P(A) 正方形的面积 1 2 25 2 4 9 2 25 25.
0
1
2 3 4
5 x
练习1: 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30 之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00— 8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是 多少?
长方形ABCD内随机取一点,求取到的点到O的距
离大于1的概率
1 2 2 1 1 2 P 1 . 2 1 4
4.在1000 mL水中有一个草履虫,现从中随机 取出3 mL水样放到显微镜下观察,则发现草 3 履虫的概率是 1000 5.在△ABC内任取一点P，则△ABP与△ABC 的面积比大于0.5的概率是多少？
谈谈几何概型中的会面问题
谈谈几何概型中的会面问题山东省郓城一中 曹铭 274700概率是应用数学中最重要的分支之一，在我们社会生活中的每一个角落，大到广播电视进行天气预报，科学家进行科学试验；小到你回家取钥匙开门，或是玩扑克牌游戏，都会有概率的问题存在，甚至当你和朋友约会时，也会遇到有趣的概率问题，请看： 星期天，你和朋友约好去公园，你们约定在上午八点到九点在公园门口见面，先到者等候另一个人20分钟就独自进公园，那么，你和朋友能够在门口见面的概率（称为事件A ）是多少？分析：显然，你和朋友会等可能地在八点到九点之间任一时间到达公园门口，我们用图1友到达的时间，当点落到图中阴影部分时，你和朋友才能在门口见面， 那么其概率应该是图中阴影部分面积和方形区域面积的比。
P （A）=95604060222=-。
如果你和朋友约好在公园门口不见不散，那么你们当中一个人要等另一个人半个小时以上（称为事件B 分析：还是用同样的方法，如右图2所示，当点落在图中阴影部分时，你或者你的朋友要有一个人等另一个人半个小时以上。
P （B ）=41603022=。
这一类问题叫做几何概型中的“会面问题”，在实际中，这一类问题是经常见到的，比如在十字路口遇 到红灯的概率，到车站等车的概率等等， 都可以用这种方法来解决。
请看下面一个例子：长途汽车站每天有甲乙两辆发往北京的长途客车，如果在白天六点到十八点12个小时以内，两车随机地到达车站等候发车，甲车需要在车站停留2个小时，乙车需要在车站停留3个小时，那么两辆车同时在车站停留等候发车（称为事件C ）的概率是多少？解：如图3纵坐标表示乙车到站的时间，当点落在图中阴影部分区域时，表明甲乙两车在车站“会面”，则：P （C ）=2881071229210122222=--。
图3 8989。
辽宁省大连铁路中学高一人教B版数学必修三学案：《几何概型中的会面问题》
复习提问
学生自主学习
学生总结归纳教师补充
讲解新课:
当堂
检测
基础知识
本节课主要借助2010年高考题给出框图的一些出题方法,让学生体会框图与其他知识是怎样的结合的。
拓展知识
作业
布置
成才之
几何概型
计算公式
课后
反思
对于几何概型中的会面问题是比较难的一个问题，需要考虑两个变量，不过只要掌握了它的本质，那问题就可以迎刃而解了.
教学
难点
几何概型的会面问题
教学
重点
公式及应用；
教具
准备
教材、练习卷
教学过程
教学内容
学习
方法
教师
指导
关 键
（重点学生、关键点、规律总结 ）
例1.假设你家订了一份报纸，送报人在早上6：30至7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少？
A表示的是阴影部分面积
例10。将长为l的棒随机折成3段，求3段长度能构成三角形的概率。
解：设A=“3段长度能构成三角形”，x，y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l－x－y，
试验的全部结果可构成集合
Ω=｛（x，y)｜ 0〈x<l，0<y〈l，0〈x+y〈l}
要使3段长度能构成三角形,当且仅当任意两段长度之和大于第3段长度。
解：这里涉及到两个变量，把送报人的时间设为x变量，父亲上班的时间设为y变量，于是得到数对（x，y)，表示某一天两个变量之间的关系.
总的情况是Ω=｛(x，y）｜ 6。5≤x≤7.5， 7≤y≤8}.
事件A满足的条件是A=｛（x，y）|y≤x,x∈Ω，y∈Ω｝。
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《送报纸问题》教学设计
一、教学背景
送报纸问题是普通高中课程标准试验教科书必修3.3.1例2中的问题，在先前的教学过程中，学生普遍反映理解有困难。
具体体现为如何把有实际背景的应用题转化为数学问题，即数学建模。
本节微课按几何概型问题求解步骤为主线，分散难点，引导学生学习。
二、教学目标
（1）掌握几何概型问题的求解步骤；
（2）会处理以送报纸为典型的几何概型的会面问题；
（3）掌握数学建模的一般步骤。
三、教学方法
本节微课以教师讲授为主，配合PPT的使用，适当引导
四、教学过程
（1）复习回顾
①几何概型的特点
几何概型的特点有两个，
无限性:即基本事件有无限多个；
等可能性：即每个基本事件发生都是等可能的
②几何概型的概率公式
若事件A是一个几何概型问题，那么事件A的概率为：
③几何概型问题的求解步骤
判定：判断事件是否是几何概型
转化：分别把基本事件、事件A转化成对应的区域
求解：代入概率计算公式计算出结果
【设计意图】复习几何概型的主干知识，重点是几何概型问题的求解步骤，为后续的例题讲解作铺垫，同时为把建模进行分解。
（2）例题讲解
问题：假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30-7:30之间把报纸送到他家，他离开家去工作的时间在早上7:00-8:00之间，问他在离开家前能得到报纸（称为事件A)的概率是多少？
①我们先来判定一下该问题是不是几何概型问题
引入变量：
记送报人到达小明家的时间，记为x,x在6:30-7:30之间，
记小明离开家去上班的时间，记为y,y在7:00-8:00之间，是几何概型问题：
无限性满足，因为x,y的取值都有无穷个。
等可能性也满足,因为x,y在各自的范围内都是是任意取值的。
②求解步骤二：转化，把基本事件、事件A转化成对应的区域
转化基本事件对应的区域
将时间的范围转化成对应实数的区间。
基本事件对应的区域是边长为1的正方形。
找事件A对应的区域
小明在离开家前能得到报纸，对应着的变量的关系是X≤Y。
X≤Y表示的是直线X-Y=0左上方的区域，是一个五边形。
求解步骤三：求解，代入概率计算公式计算出结果
基本事件构成一个边长为1的正方形，面积为1。
7
事件A构成一个五边形，面积为
8。