MIT(麻省理工)信号与系统讲义-lecture3a
美国MIT信号与系统课程的基本结构
MIT 2009 年秋季学期信号与系统课程教学日程表 Wednesday / Recitation 备注 教学内容 Thursday / Lecture 教学内容 L1 ： Signals and Systems L3 ： Feedback， Cycles and Modes L5 ： Feedback Control Schemes L7 ： Laplace Transforms and Z Friday / Recitation 教学内容 R2 ： Difference Equations R4 ： Feedback， Cycles and Modes R6 ： Feedback Control Schemes R8 ： Laplace Transforms and Z
பைடு நூலகம்
由 S． Mahajan 和 D． Freeman 于 2009 年编著的《离 。教 学 内 容 涵 盖 了 散时间 信 号 与 系 统： 算 子 法 》 Oppenheim著作的全部主要内容。 此外， 还包括补充
表1 日期 / 课型 周次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Tuesday / Lecture 教学内容 （ Registration Day） L2 ： DT Systems L4 ： Feedback and Position Control L6 ： CT Systems，Difference Eqs． L8 ： CT Operator Representations （ For Columbus Day） L11 ： Frequency sponse ReHW1 due HW2 due HW3 due EX4 HW5 due HW6 due EX7 HW8 due HW9 due EX10 HW11 due HW12 due EX13
MIT(麻省理工)信号与系统讲义-lecture2
Observation: Even if the independent variable is time, there are interesting and important systems which have boundary conditions.
6
Ex. #5
• A rudimentary “edge” detector
“Proof” a) Suppose system is causal. Show that (*) holds.
b) Suppose (*) holds. Show that the system is causal.
19
LINEAR TIME-INVARIANT (LTI) SYSTEMS • Focus of most of this course - Practical importance (Eg. #1-3 earlier this lecture are all LTI systems.) - The powerful analysis tools associated with LTI systems
16
LINEARITY
A (CT) system is linear if it has the superposition property: If x1(t) →y1(t) and x2(t) →y2(t) then ax1(t) + bx2(t) → ay1(t) + by2(t)
y[n] = x2[n] Nonlinear, TI, Causal y(t) = x(2t) Linear, not TI, Noncausal Can you find systems with other combinations ? -e.g. Linear, TI, Noncausal Linear, not TI, Causal
信号与系统概论
其中 K为振幅， 正弦信号的周期
是角频率， 称 为初相位。
T ， 其2中 是1 频率。
与指数f 信号相似，正弦信号对时间的f 微分
或积分仍是正弦信号
若信号有有限功率，则称为功率有限信号。 能量有限信号一定是功率有限信号；反之， 则未必。
例如：正弦信号是功率有限信号，却是能量 无限信号。
能量信号和功率信号的判断方法
判断能量信号和功率信号的方法：
先计算信号能量，若为有限值则为能量信号，同 时也必是功率信号；否则，计算信号功率，若为 有限值则为功率信号；若上述两者均不符合，则 信号既不是能量信号，也不是功率信号。
信号时间变量运算的物理意义
信号的折叠变换，就是将“未来”与“过去”互 换，这显然是不能用硬件实现的，所以并无实际 意义，但它具有理论意义。
信号的时移变换用时移器(也称延时器)实现 ，当 t0＞0时，延时器为因果系统，是可以用硬件实现 的；当t0＜0时，延时器是非因果系统， 此时的 延时器变成为预测器。
f (t) f1 (t nT )
n
二、周期信号与非周期信号
非周期信号可以认为是周期为无穷大的周期信 号；
常见的非周期信号是有限持续时间（finite duration）信号，即仅在一有限时间区间内存 在的信号，如图1-1(a) 所示。图1-1(b)是无限 持续时间的非周期信号。
判断周期信号的方法
时段总能量 t2 p(t)dt
平均功率 t1
t2 t1
1 R
v
2
(t
)dt
1
t2 t1
t2 t1
p(t)dt
1 t2 t1
t2 t1
1 R
v2
(t
)dt
英文版《信号与系统》第3章讲义
Fourier Series
xt ake
k
jk 0t
h t
jk t 0 y t a H jk e k 0 k
j t j H h t e dt
Filter
Frequency-Shaping Filter 频率成形滤波器 Frequency-Selective Filter 频率选择性滤波器
a k real even a k Purely imaginary odd
10
Chapter 3 §3.5.7 Parseval’s Relation（帕兹瓦尔关系式）
1 2 2 x t dt a k T T k
Fourier Series
Average Power of x t
Fourier Series
-4 -2 0
1
FS x t c k
2
4
t
T 4 0
2
-4 -2
1 2 1 ① c tdt 0 x T T 4 2
jk 2
1
1
0
t d2x FS d k 2 dt
2 4 t
11 2 1 k 1 ② d e 1 1 k 2 44 4 1 ck 2 2 d jk c 2 jk / 2 k 0 k 0
1 jk t 0 a x t e dt k T 0 T 0
1 T0 Specially a0 xtdt ——Average value 0 T 0 Example 1 1 a1 j a-1 j 1j 1 t j t 0 0 2 2 1 sin t e e 0 2 j 2 j ak 0 k 1
信号与系统课程介绍课件
详细描述
线性是指系统的输出与输入成正比关系，满 足叠加原理；时不变性是指系统的特性不随 时间的变化而变化；因果性是指系统的输出 只与过去的输入有关，与未来的输入无关； 稳定性是指系统在受到一定程度的干扰后能 够恢复到原来的状态。了解这些基本特性有
助于更好地理解和分析系统的行为。
04
信号与系统的关系
系统的定义与分类是系统基础知识的重要组成部分，它有助于理解系统的基本概念和性 质。
详细描述
系统是指由相互关联、相互作用的元素组成的集合，这些元素之间相互作用，共同完成 特定的功能或目标。根据不同的分类标准，系统可以分为线性系统、非线性系统、时不
变系统、时变系统等。
系统的数学模型
总结词
系统的数学模型是描述系统行为的重要工具，它可以通过数学方程来描述系统 的输入和输出之间的关系。
实验报告撰写规范
实验目的与意义
学生需在报告中明确实验目的和意义，阐述实验 的重要性。
实验步骤与结果
学生需详细记录实验步骤和实验结果，包括数据 记录、图表绘制等。
ABCD
实验原理
学生需简要介绍实验所涉及的原理和方法，为实 验操作提供理论依据。
分析与结论
学生对实验结果进行分析和讨论，得出结论，并 指出实验中存在的问题和改进方向。
信号的数学表示方法
总结词
信号可以用各种数学工具进行表示和分析，如时间域和频域表示法。
详细描述
在时间域中，信号可以表示为随时间变化的函数，通过导数、积分等数学运算可 以分析信号的形状、幅度、频率等特性。在频域中，信号可以表示为频谱或傅里 叶级数，通过分析频谱可以了解信号的频率成分和频率特性。
信号的基本特性
第三周
系统的稳定性、性 能分析和优化方法 。
信号与系统讲稿
信号与系统讲稿第一讲：引言授课时数学时学习目标了解信号的传递学习重点、难点、通信系统的组成关键点学习模式视觉模式，听觉模式讲授过程学习讲授内容体系设计预备知识引题材料移动通信技术可以说从无线电通信发明之日就产生了。
1897年，M·G·马可尼所完成的无线通信试验就是在固定站与一艘拖船之间进行的，距离为18海哩。
而现代移动通信技术的发展始于上世纪20年代，大致经历了五个发展阶段。
35年前，谁也无法想象有一天每个人身上都有一部电话，被连接到这个世界。
如今，人们可以通过手机进行通讯，智能手机更如同一款随身携带的小型计算机，通过3G等移动通讯网络实现无线网络接入后，可以方便的实现个人信息管理及查阅股票、新闻、天气、交通、商品信息、应用程序下载、音乐图片下载等。
下让我们来回顾一下移动通信网络技术的发展简史。
第一阶段从上世纪20年代至40年代，为早期发展阶段。
在这期间，首先在短波几个频段上开发出专用移动通信系统，其代表是美国底特律市警察使用的车载无线电系统。
该系统工作频率为2MHz，到40年代提高到30～40MHz,可以认为这个阶段是现代移动通信的起步阶段，特点是专用系统开发，工作频率较低。
1946年10月贝尔电话公司启动车载无线电话服务第二阶段从上世纪40年代中期至60年代初期。
在此期间内，公用移动通信业务开始问世。
1946年，根据美国联邦通信委员会(FCC)的计划，贝尔系统在圣路易斯城建立了世界上第一个公用汽车电话网，称为‚城市系统‛。
当时使用三个频道，间隔为120kHz，通信方式为单工，随后，西德(1950年)、法国(1956年)、英国(1959年)等国相继研制了公用移动电话系统。
美国贝尔实验室完成了人工交换系统的接续问题。
这一阶段的特点是从专用移动网向公用移动网过渡，接续方式为人工，网的容量较小。
人工交换台第三阶段从上世纪60年代中期至70年代中期。
在此期间，美国推出了改进型移动电话系统(IMTS)，使用150MHz和450MHz频段，采用大区制、中小容量，实现了无线频道自动选择并能够自动接续到公用电话网。
MIT(麻省理工)信号与系统讲义-lecture3a
Properties of Convolution and DT LTI Systems
A DT LTI System is completely characterized by its unit sample response There are many systems with this repsonse to
Suppose the system is linear, and define hk[n] as the response to δ[n -k]:
From superposition:
Now suppose the system is LTI, and define the unit sample response h[n]:
There is only one LTI Systems with this repsonse to
- An Accumulator Unit Sample response
Step response
of an LTI system
step input
“input” Unit Sample response of accumulator
Choose value of n and consider it fixed
View as functions of k with n fixed
prod of overlap for
prod of overlap for
Calculating Successive Values: Shift, Multiply, Sum
The Distributive Property
Interpretation
The Associative Property
无线通讯基础-MIT
- Envelope instead follows the absolute value of the baseband waveform - Envelope detector can no longer be used for receiver
MIT OCW
The good news: less transmit power required for same transmitter SNR (compared to nonzero DC value)ir(t) 来自r(f) 21 fo f
y(t)
0
Qt(f) 1
f
2cos(2πf2t) 2sin(2πf2t) qt(t) y(t)
0
Yq(f)
0
Qr(f) qr(t) 2
f
j -fo
0
f j
fo 0 -j
f 1 -fo 0 1 fo f
0
f
f1 -f1 0
-j
f
I and Q channels are swapped at receiver if its LO signal is 90 degrees out of phase with transmitter
MIT OCW
M.H. Perrott
Impact of Having Zero DC Value for Baseband Signal
avg(x(t)) =0
X(f) Transmitter Output Y(f)
0
x(t) y(t)
f
-fo
2cos(2πfot)
0
fo
f
1 -fo 0
1 fo f
Baseband Input
MIT(麻省理工)信号与系统讲义-lecture7
Note for DT:
Passband
Stopband
Highpass Filters
Remember: highest frequency in DT
high frequency
high frequency
Bandpass Filters
Demo: Filtering effects on audio signals
Example #1: Audio System
Adjustable Filter
Equalizer
Speaker
Bass, Mid-range, Treble controls
For audio signals, the amplitude is much more important than the phase.
Signals and Systems
Fall 2003 Lecture #7
25 September 2003
1.
Fourier Series and LTI Systems
2.
Frequency Response and Filtering
3.
Examples and Demos
The Eigenfunction Property of Complex Exponentials
Example #2: Frequency Selective Filters
信号与系统的基本概念、基本理论、基本方法及其应用ppt课件
精选课件
3
6. 冲击信号或者冲击函数是信号分析中的一个非常重要的 信号。
它的强度（能量）为1，它在除t=0点以外的其他点都 为0，在t=0点为无穷大。
它的傅里叶变换为1。也就是说它包含所有频率分量， 且每个分量的密度或者能量都相同，所以他可以作为检 验系统频率响应的重要检验信号。
信号与系统理论所体现的基本方法或者 基本思想就是变换的思想，从傅里叶级数展 开、傅里叶变换到拉斯变换、Z变换，无不体 现出变换的思想。通过变换，可以认识事物 的多个层面；通过变换，可以得到分析问题 解决问题的新方法。这种思想应该应用到我 们对所有问题的探索和研究工作中去。
精选课件
15
四、应用
（一）传感器系统
精选课件
11
（四）复频域分析（S域分析或拉斯变换）
1. 通过复频域的系统函数H(s)描述系统，建立系统 的S域模型，将微分方程转化为代数方程，从而 极大地简化系统分析的计算过程，降低复杂度。
2. 通过系统函数H(s)的零极点分布，判断系统的稳 定性，系统的时域特性等，简单方便。
3. 没有物理背景。
y t v ( f (t ), X i)
w X i 1 g 1 ( X i ,
)
i
y i g 2 X ei , i
其中wi为高斯噪声，ei为观测噪声。离散化
后，如果按照随机信号来处理，滤波过程实际上变
化为在噪声中检测和估值最接近值的问题。
精选课件
17
（二）传感器网络（物理层，MAC层）
MAC层主要研究以CSMA/CA协议为基础的 相关媒质接入协议，克服隐藏终端和暴露终端的 问题，提高网络吞吐量。
《信号与系统》课程讲义3-2
§3.2非周期信号的傅立叶变换一、傅立叶变换1．问题的引出①§3.2非周期信号的傅立叶变换()()()()1111211121Tjn t jn tT n f t F n e F n f t edt T ωωωω+∝−−=−∝=→=∑∫()()()dt e t f n F T n F t jn T T 1112211112ωωωπω−−∫==()()()0,1,0,1111111→→=−−=∆→∞→ωωωωωωωn F d n n n T ()()()11111012limlim ()j t T F n F F n T f t e dtωωπωωωω+∞−−∞→→∞===∫()()()1111111()jn tjn t n nF n f t F n ee n ωωωωωωω+∝+∝=−∝=−∝==∆∑∑②在极限情况下：()12j t F e d ωωωπ+∝−∝=∫§3.2非周期信号的傅立叶变换()()()ωϕωωj e F F =()ωω~F ()ωωϕ~2．傅立叶变换对3．①幅度频谱相位频谱()()j t F f t e dt ωω+∞−−∞==∫ℱ()()12j t f t F e d ωωωπ+∞−∞==∫()[]ωF ②ℱ-1()[]t f ①②§3.2非周期信号的傅立叶变换()t f ()ωF ω()ωϕω()()()[]ωωϕωωπd t F t f +=∫∝+∝−cos 21()()()()001cos cos F F t d t d ωωωϕωωωϕωωππ+∝+∝=+=⋅+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∫∫为实函数，则为偶函数，为奇函数若于是：4．三角形式()()()[()]1122j t j t f t F e d F e d ωωϕωωωωωππ+∞+∞+−∞−∞==∫∫()()1cos[()]2sin[()]2F t d j F t d ωωϕωωπωωϕωωπ+∞−∞+∞−∞=+++∫∫§3.2非周期信号的傅立叶变换5．不同性质信号频谱特点①周期信号——离散频谱②非周期信号——连续频谱6．傅立叶变换存在条件①充分条件：绝对可积，即()∞<∫+∞∞−dt t f ②但是：奇异函数的存在，使许多不满足绝对可积条件的信号也存在傅立叶变换§3.2非周期信号的傅立叶变换2π−2π)(ωϕω二、典型非周期信号的傅立叶变换1．单边指数衰减信号a2a1a21)(ωF ωa a F ωωϕωωarctg )(,1)(22−=+=③)()(t u e t f at−=a (>0)①ωωωωj a dt e e dt e t f F tj at t j +===−+∞−+∞∞−−∫∫1)()(0②§3.2非周期信号的傅立叶变换aa1a2)(ωF ω2．双边指数信号0)(,2)(22=+=ωϕωωa aF ③ta et f −=)(a (>0)①222)()(ωωωω+===−+∞∞−−+∞∞−−∫∫a a dt eedt et f F tj ta tj ②)(t f t1§3.2非周期信号的傅立叶变换2τ−2τE)(t f t)()(t EG t f τ=)2()(22ωττωττωSa E dt Ee F t j ==∫−−2)(ωττωSa E F =⎩⎨⎧=πωϕ0)(πτωπτπτωτπ)1(4)12(2)12(24+<<++<<n n n n τ1=f B τπω2=B )(ωF τπ2τπ4τE ω3．矩形脉冲信号②③④带宽：①§3.2非周期信号的傅立叶变换2)()(τt Ee t f −=eE τπ2ττπE )(ωF 4．钟型脉冲dte Eedt e t f F t j t t j ∫∫∞+∞−−−∞+∞−−==ωτωω2)()()(2)2(02)(cos 2ωτττπω−∞+−==∫eE tdt eE t ②①EeE τtω§3.2非周期信号的傅立叶变换)(]cos 1[2)(2t G t Et f ττπ+=dte tE dt e t fF t j t j ∫∫+−−+∞∞−−+==ττωωτπω]cos 1[2)()(dt e E dt e E dt e E t j tj t j tj t j ∫∫∫+−−−+−−+−−++=ττωτπττωτπττω442)(2)(2)(πωττπωττωττ++−+=Sa E Sa E sa E 221)(1)sin(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=πωτωττπωτωωτSa E E 5．升余弦脉冲①②2τ2E 2τ−τE τ−()f t tτπ2τπ4τE ω2τE ()F ωπτ§3.2非周期信号的傅立叶变换())1(sin )(2sin )(2sin sin 22πωτωτωτωττπωτωττπωτωττωτωττ−−=+−−−E E E E ()()()222222222221()()1[][1]ωτωτπωτπωτωτπωτωτπωτωτωτπωτπ−−−−===⎡⎤−−−⎛⎞⎣⎦−⎜⎟⎝⎠i)而231cos lim ]1[sin lim ]1[sin lim 2222τωπτωττπωτωωτπωτωτωτττπωτπωτπωE E E E =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−→→→ii)§3.2非周期信号的傅立叶变换()t G t E t f ττπ⋅=cos )(2222()cos cos cos j t t tF E e dt E tdtττωττππωωττ−−−==∫∫dtt t E tdt t E ])cos()([cos cos cos 22020ωτπωτπωτπττ−++==∫∫ωτπτωτπωτπτωτπ−⋅−++⋅+=2)sin(2)sin(E E222)(12cos2)(2cos 2]2cos 2cos [πωτωτπτωτπωττπωτπωτωτπωτ−⋅=−=−++=E E E [例1]：求半波余弦脉冲的傅立叶变换解：§3.2非周期信号的傅立叶变换-2 21[例2]：求下列B f①解：①()4Sa 2F ωω=411==τf B i)ii)()f t t 频谱第一个零点对应的频率§3.2非周期信号的傅立叶变换[例2]：求下列B f-5 -1 1 5 1ωωωωωωω3cos 2Sa 82Sa 42Sa 4)(33=+=−j j e eF πω21=B 41=f B ii)②解：②i)()f t t§3.2非周期信号的傅立叶变换[例2]：求下列B f 0 1 2 1③()f t t§3.2非周期信号的傅立叶变换解：dte t dt teF t j tj ∫∫−−+−+=211)2()(ωωω2121221102102)1(1)1(1tj t j t j t j t j ej e j te j e j te j ωωωωωωωωωω−−−−−−++−−=ωωωωωωωωj j j j e j e j e j j e −−−−−+−−−=12)1()1(22ωωωωωωωj j j j e j e j e e j −−−−+−−+22)()1(22222222)1()1()12()1(ωωωωωωωj j j j e j e e e j −−−−−−=−=+−=2222222222)2(Sa )2sin2()(ωωωωωωωωωjjjjje j eeee−−−−=−=−−=i)πω2=B 1=f B ii)§3.2非周期信号的傅立叶变换[例2]：求下列B f 解：-4 0 4 t124441)4(]4cos 1[21)()(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=+==∫∫+−−+∞∞−−πωωπωωωSa dt e t dt e t f F t j tj 42πω=B 41=f B ④ii)④i)升余弦脉冲()f t §3.2非周期信号的傅立叶变换[例2]：求下列B f0 2 t1f(t)⑤34πω=B 32=f B ii)dte t dt e dt te F t j t j t j ∫∫∫−−−+−++=2232321210)42(2)(ωωωω232121022101)1(22t j t j tj e j e j e j t ωωωωωω−−−−−−=)]1()1[()(22123212−−−−=−−−ωωωωj j j eeej ωωωωωωω41sin 243sin 2)(2)1)(1()(2221232j j j e ee j j j j ⋅=−−=−−−ωωωω41sin 43sin82j e −=⑤解：i)§3.2非周期信号的傅立叶变换)(t δ1)()]([==∫+∞∞−−dt e t t f tj ωδ2Sa 2Sa 1ωτωτττ=⋅12Sa,0→→ωττ12τ−2ττ1三、奇异函数的傅立叶变换1．冲激函数傅立叶变换ii)理解：①i)ℱω()F ω()t δtt§3.2非周期信号的傅立叶变换)(ωδ)(2]1[ωπδ=Ef (t )Eπ2)(ωδω②的逆变换2[]lim Sa 2lim Sa 2lim Sa()2()22k kE E E E k E τττωτωττππωπδωππ→∞→∞→∞====ii)ℱiii)ℱ)(lim ωδωπ=∞→Sak kk *)(sin limωδπωω=∞→k k *πωδ21)]([1=−i)ℱt§3.2非周期信号的傅立叶变换1)()]([==∫+∞∞−−dt e t t t j ωδδ'11()1()22j tj t t e d t j e d ωωδωδωωππ+∞+∞−∞−∞⇒=⋅⇒=∫∫⇒⇒=ωδj t )](['[()]()nnnd t j dt δω=dtejt dt ejt dt etj nn tj tj ∫∫∫+∞∞−−+∞∞−−+∞∞−−−=⇒−=⇒=ωωωωπδωπδωπδ)()(2)()(2)(2)(⇒=⇒∫+∞∞−−dt e t j t j n n n ωωδπ)(2)(2．冲激偶ℱℱ)(ωδ′②的逆变换)(2][ωδωπnnnnd d jt =ℱ()t δ′傅立叶变换①ℱ()()2n n nt j δωπ↔§3.2非周期信号的傅立叶变换()Sgn()f t t =3．符号函数1-1Sgn(t )-e -ate at0→a 222[Sgn()]j t j ωωω−==ℱωωωωj a j a dt edt etj a tj a ++−−=−∫∫∞−+−+∞+110)(0)(22211ωωωω+−=++−=a j j a a j §3.2非周期信号的傅立叶变换11()Sgn()22u t t =+⇒4．阶跃函数()()ωωπδωωπδj j t u 1221221)]([+=⋅+⋅=ℱ§3.2非周期信号的傅立叶变换6512++−ωωj )3(1)2(1)3)(2(16512+−+=++=++−ωωωωωωj j j j j 6512++−ωωj )()(32t u e e tt −−−[例3]：求下列函数逆变换)()(ωδωδ+′②①因为：所以：]=)()(ωδωδ+′ππ212+j t ②ℱ-1[]=①解：ℱ-1[§3.2非周期信号的傅立叶变换作业：3-16(b)(c)，3-19。
信号与系统概论课件
03
描述信号通过系统的响应，通常使用差分方程或微分方程来建立系统的数学模型。通过求解这些方程，可以得到系统对不同类型信号的响应。
信号的时域和频域表示
在信号处理中，信号可以在时域或频域进行表示和分析。系统对信号的变换可以在时域或频域进行，从而改变信号的特性。
傅里叶变换和拉普拉斯变换
傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种常用的信号变换方法。通过傅里叶变换，可以将信号从时域转换到频域，分析信号的频率成分；通过拉普拉斯变换，可以将信号从时域转换到复平面，用于分析信号的稳定性和收敛性。
通过傅里叶变换将信号转换为频域表示，可以对信号进行压缩编码，减小存储和传输的数据量。
01
频谱分析
通过傅里叶变换将信号分解成不同频率分量的组合，可以分析信号的频率成分和特征。
02
信号去噪
利用傅里叶变换将信号转换到频域，对噪声进行滤除，从而实现信号的去噪处理。
在进行傅里叶变换之前，需要对信号进行采样，采样频率应满足一定条件，否则会产生频谱混叠。
稳定性定义
1
2
3
通过计算系统的极点和零点，可以确定系统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统是稳定的。
劳斯-赫尔维茨判据
通过分析系统的频率响应，可以确定系统的稳定性。如果系统的频率响应在负频率范围内没有穿越虚轴，则系统是稳定的。
奈奎斯特判据
通过绘制系统的伯德图，可以观察系统的稳定性。如果系统的相角在无穷远处趋于-π，则系统是稳定的。
对于某些非稳定信号，傅里叶变换可能无法得到正确的结果，需要进行适当的预处理或采用其他变换方法。
稳定性
采样定理
05
系统的稳定性分析
பைடு நூலகம்
VS
信号与系统入门学习教程(完整版)
t 练习 : ESa ( ) 2
sin( t ) Sa (t ) t
Sa(0) 1最大
Sa(n ) 0
Sa(t ) Sa(t )
Sa(t ) dt
Sa ( t ) dt
0
2
17
5.钟形信号（高斯函数）
f (t ) Ee
t 2
t
1 sgn(t ) 1
(t 0) (t 0)
sgn( t ) 2u (t ) 1
1 1 u (t ) sgn( t ) 2 2
P41 习题1 7
32
三、单位冲激信号
持续时间无穷小, 瞬间幅度无穷大, 涵盖 面积恒为1的一种理想信号, 记为 (t ).
f (t )
f (3t 2)
f (t 2)
f (3t 2)
P41习题1 5
22
二、微分和积分
d 微分运算 : f ' (t ) f (t ) dt
积分运算 :
t
f ( )d
三、两信号相加或相乘
f1 (t ) sin(t ) f 2 (t ) sin(8t )
f1 (t ) f 2 (t ) sin(t ) sin(8t ) f1 (t ) f 2 (t ) sin(t ) sin(8t )
23
d 微分运算 : f ' (t ) f (t ) dt
积分运算 :
t
f ( )d
24
sin(t )
sin(t )
2
二、系统的概念
系统是某些元件或部件以特定方式连接而成的整体
MIT信号与系统网络课程练习题答案
1 x(−t) 2
1 t
−4 −2
-1
2
4
1
xe (t)
t
−4 −2
-1
2
4
8
xo (t)
1 t
−4 −2
-1
2
4
The value of the even part (and the odd part for that matter) at t = 0 is ambiguous as it depends on how the plot for x(t) is defined at t = 0. The plots in this solution assume that the value of x(t) at t = 0 is halfway between 0 and 2, i.e. 1. Using a different definition you may get an even part that is discontinuous at t = 0. This is also correct provided it is consistent with your assumption of what the value of x(t) is at the discontinuity. For instance, if you assume that x(0) = 2, then the plot of the even part will have a “spike” at t = 0 of height 2.
t x(1 − 3 )
2 1 9 t
−6 −3
3
6
−1
t Figure 2.a.3: x(1 − 3 )
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Fall 2003 Lecture #3 11 September 2003
1) 2) 3) 4) Representation of DT signals in terms of shifted unit samples Convolution sum representation of DT LTI systems Examples The unit sample response and properties of DT LTI systems
Focus for now:
DT Shifted unit samples CT Shifted unit impulses
Representation of DT Signals Using Unit Samples
That is ..
Coefficients
Basic Signals
SignalsThe Sifting Property of the Unit Sample
Suppose the system is linear, and define hk[n] as the response to δ[n -k]:
From superposition:
Now suppose the system is LTI, and define the uhoose value of n and consider it fixed
View as functions of k with n fixed
prod of overlap for
prod of overlap for
Calculating Successive Values: Shift, Multiply, Sum
There is only one LTI Systems with this repsonse to
- An Accumulator Unit Sample response
Step response
of an LTI system
step input
“input” Unit Sample response of accumulator
Properties of Convolution and DT LTI Systems
A DT LTI System is completely characterized by its unit sample response There are many systems with this repsonse to
From TI:
From LTI:
Convolution Sum
Convolution Sum Representation of Response of LTI Systems
Interpretation
Sum up responses over all k
Visualizing the calculation of
Exploiting Superposition and Time-Invariance
Question:Are there sets of “basic” signals so that:
a) We can represent rich classes of signals as linear combinations of these building block signals. b) The response of LTI Systems to these basic signals are both simple and insightful. Fact: For LTI Systems (CT or DT) there are two natural choices for these building blocks
The Distributive Property
Interpretation
The Associative Property
Implication (Very special to LTI Systems)
Properties of LTI Systems Causality
Stability